INTERVALOS DE CONFIANZA

Rosa Helida Yaneth Meza Reyes

Estimación puntual y por intervalo

Las medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra se denominan

ESTADÍSTICOS, podrían ser consideradas como un punto estimado de la media y

desviación estándar real de población o de los PARAMETROS.

¿Qué pasa si no deseamos una estimación puntual como media basada en una

muestra, qué otra cosa podríamos obtener como margen, algún tipo de error?

“Un Intervalo de Confianza”

ESTIMADOR PUNTUAL: Utiliza un número único o valor para localizar una

estimación del parámetro.

ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA: Denota un rango dentro del

cual se puede encontrar el parámetro y el nivel de confianza que el intervalo

contiene al parámetro.

LIMITES DE CONFIANZA: Son los límites del intervalo de confianza inferior (LIC)

y superior (LSC), se determinan sumando y restando a la media de la muestra X̄

un cierto número Z (dependiendo del nivel o coeficiente de confianza) de errores

estándar de la media σ X̄ .

INTERPRETACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA: Tener un 95% de

confianza en que la media poblacional real y desconocida se encuentra entre los

valores LIC y LSC.

NIVEL DE SIGNIFICANCIA = 1- INTERVALO DE CONFIANZA = ERROR TIPO 1

= ALFA

¿Cómo obtenemos un intervalo de confianza?

Estimación puntual + error de estimación

¿De dónde viene el error de estimación?

P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2

Intervalo de confianza donde se encuentra el parámetro con un NC =1-a

Desv. estándar X multiplicador de nivel de confianza deseado Za/2

Por Ejemplo:

Si la media de la muestra es 100 y la desviación estándar es 10, el intervalo de

confianza al 95% donde se encuentra la media para una distribución normal es:

100 + (10) X 1.96 => (80.4, 119.6) 1.96 = Z0.025

El 95% de Nivel de Confianza significa que sólo tenemos un 5% de oportunidad de

obtener un punto fuera de ese intervalo.

Esto es el 5% total, o 2.5% mayor o menor. Si vamos a la tabla Z veremos que

para un área de 0.025, corresponde a una Z de 1.960.

C. I. Multiplicador Z a /2

99 2.576

95 1.960

90 1.645

85 1.439

80 1.282

Para tamaños de muestra >30, o s conocida usar la distribución Normal

Para muestras de menor tamaño, o s desconocida usar la distribución t

El ancho del intervalo de confianza decrece con la raiz cuadrada del tamaño de la

muestra.

Ejemplo:

Dadas las siguientes resistencias a la tensión: 28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psi

Estimar la media puntual

X media = 28.08 con S = 1.02

Estimar el intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% (t = 3.182 con

n-1=3 grados de libertad)

Xmedia±3.182*S/√n = 28.08±3.182*1.02/2=(26.46, 29.70)

Ejemplo1

Los siguientes datos representan las edades que tenían al momento de morir por enfermedad una muestra de 20 personas de un pueblo:

80 90 85 82 75 58 70 84 87 81 87 61 73 84 85 70 78 95 77 52

Hallar un intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional de la edad de muerte.

n = 20

a = .05

Intervalo de confianza del 95 % para s2 será de la forma:

El intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional será (70.6253, 260.507).

19 s2

χ . 0252

)(19 s2

χ . 9752,

χ . 9752 =32. 8523χ . 025

2 =8 .9065

Ejemplo 2

Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15

estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534,

523, 452, 464, 562, 584, 507, 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

Solución:

Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35 y la desviación típica 42,54.

Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad, obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12

Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la media tenemos:

(505,35 - 2,12 · 42,54 / 4 ,, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4) operando

( 482,80 ,, 527,90 )

Ejemplo 3

- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.

a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del

90%, para la media de la población.

b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cuál sería el máximo error que podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual.

Solución:

a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo una Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:

( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 ) operando

( 30,06 ,, 35,34 )

b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del 95% la media de la población puede valer

32,7 ± 2 · 12,64 / 8

Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16

Ejemplo 4

Con los datos del problema 1, calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalo de confianza para la varianza e indique cual sería el máximo error por exceso y por defecto que podría cometerse utilizando el estimador insesgado de la varianza.

Solución:

Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale 1809,29 y la cuasi varianza 1922,37

En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad de 0,95.

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza tenemos:

( 17 · 1809,29 / 26,30 ,, 17 · 1809,29 / 7,96 ) operando

( 1169,50 ,, 3864,06 )

Por tanto el error por defecto sería 1922,37 - 3864,06 = -1941,69 y el error por exceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87.

Ejemplo 5

Calcula un intervalo de confianza, con un 90%, para el número total, N, de ranas del estanque del problema anterior, teniendo en cuenta que la proporción de ranas marcadas es p=

30/N

SOLUCIÓN:

Como el intervalo de confianza de ranas marcadas en el ejercicio anterior (iguales condiciones de confianza que en el presente) es (0,02816 ; 0,11184). Esto quiere decir que como 30/N oscila entre ambos extremos del intervalo, ocurre que:

30/N = 0,02816, de donde N= 1065,34 y por otra parte, como máximo, 30/N=0,11184, de donde N = 268,24. Por tanto nuestro intervalo es (269 , 1065 ).

Ejemplo 6

los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades: 42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 3530 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 3254 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 2142 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 2753 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 5856 59 60 40 24 Elabore una tabla de frecuencias.Calcule la media y la desviación típica. SOLUCIÓN: Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible establecer una serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a adjudicar a cada uno de los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador puede seguir diferentes criterios en función del objetivo del estudio. Una tabla de frecuencias elaborada a partir de estos datos podría ser la siguiente: Edad                               n                     20-29              1430-39              1740-49                            2250-59                            1860-69                                9Total               80        Cálculo de la media: Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros de la cooperativa y dividiendo por el total que en este caso es  ochenta, el resultado es una media de  43,29. También: 

Edad xi ni xini

 20-29 25 14 35030-39 35 17 59540-49 45 22 99050-59 55 18 99060-69 65 9 585Total   80 3510 

, por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.Cálculo de la desviación típica: Edad xi ni

   20-29 25 14 -18,875 356,2656 4987,7187530-39 35 17 -8,875 78,7656 1339,0156340-49 45 22 1,125 1,2656 27,8437550-59 55 18 11,125 123,7656 2227,7812560-69 65 9 21,125 446,2656 4016,39063Total   80     12598,75

  

Sx =

La desviación típica es de 12,5 años 

Ejemplo 7

Queremos estimar, con un nivel de confianza del 99%, la proporción de alumnos de cierto instituto que tienen

dos o más hermanos. ¿De qué tamaño mínimo tendremos que seleccionar la muestra si admitimos un error

máximo de 0,1? (En otro estudio reciente se obtuvo que esta proporción era de 0,4).

Solución:

Para un nivel de confianza del 99%, tenemos que 1 0,99 z

/2

2,575

El error máximo que admitimos es E 0,1.

Para pr tomaremos el valor del estudio anterior, es decir, pr 0,4.

Así, sustituyendo en la expresión anterior, tenemos que:

Deberemos tomar, como mínimo, una muestra de 160 alumnos.

Ejemplo 8

El 65% de los alumnos de cierta localidad utiliza con regularidad la biblioteca del pueblo. Halla un intervalo en

el que se encuentre el 95% de las proporciones de alumnos que utilizan la biblioteca en muestras de tamaño

60.

Solución:

La proporción de alumnos que utilizan la biblioteca, en muestras de 60, se distribuye según una

Para el 95%, tenemos que 1 0,95 z

/2

1,96.

El intervalo característico será:

(0,65 1,96 · 0,062; 0,65 1,96 · 0,062); es decir:

(0,53; 0,77)

Esto significa que, en el 95% de las muestras de 60, la proporción está entre 0,53 y 0,77