intervalo de confianza

ESTADÍSTICA INFERENCIALProbabilidades

ESTIMACION(Inferencia Estadística)

Intervalo de Confianza


En estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valoraproximado de un parámetros de una población(Media, Mediana, Moda, Desviación Estándar) apartir de los datos proporcionados por una muestra . En su versión más simple, una estimación dela media de una determinada característica de una población de tamaño N sería la media de esamisma característica para una muestra de tamaño n.

Inferencia estadística: Conclusión que se refiere a una población de observaciones obtenida sobrela base de una muestra de observaciones .

Existe dos formas generales de realizar inferencia estadística acerca de un parámetropoblacional, la primera consiste en estimar el valor de dicho parámetro entre dos pares de valoresllamado intervalo de clase y la segunda es probar una hipótesis respecto a su valor

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Previo al desarrollo de el tópico referido se requiere conocer ciertos conceptos entre loscuales se tiene:

Estimador: Un estimador de un parámetro poblacional es una función de los datosmuéstrales. En pocas palabras, es una fórmula que depende de los valores obtenidos de unamuestra, para realizar estimaciones. Sera un buen estimador aquel que posea por lo menos dospropiedades , la primera la distribución muestral tenga su centro sobre el parámetro que seestima es decir sea insesgado, la segunda que la extensión o alcance de la distribución muestraldel estimador sea lo mas pequeño posible , es decir la varianza del estimador sea mínima

Error de estimación: es la distancia entre el valor del parámetro poblacional y el de suestimador.

Intervalo de confianza: es una expresión del tipo [θ1, θ2] ó θ1 ≤ θ ≤ θ2, donde θ es elparámetro a estimar que puede ser la media o promedio de una o dos muestra o en otro caso laprobabilidad de ocurrencia . Este intervalo contiene al parámetro estimado con unadeterminada certeza o nivel de confianza.

Coeficiente de confianza: representa la probabilidad de que un intervalo de confianzacontenga el parámetro estimado




ESTIMACION(Concepto de Intervalo de Confianza)

Se llama intervalo de confianza en estadística a un par de números entre los cuales se estima que estará

cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números

determinan un intervalo. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de

datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la

estimación se representa por 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circuntancias, α es el llamado

error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación

mediante tal intervalo.

Numero(Muestra) ≤ Parámetro de la Población ≤ Numero(Muestra)

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Muestra_aleatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_poblacional

http://es.wikipedia.org/wiki/Error_aleatorio

Para la resolución de problemas se emplean la siguiente formula tomando en consideración si elparámetro a estimar es un atributo o una variable cuantitativa, por otro lado si se trata de un sologrupo o son dos grupos, también es conveniente determinar si se trata de una muestra grade (N>30)o pequeña (N<= 30)

Tipo de Estimador

Error Intervalo de Confianza

Media Aritmética

Diferencia de Medias

Proporciones

Diferencias de Proporciones

ESTIMACION(Concepto de Intervalo de Confianza)


INTERVALOS DE CONFIANZA

Intervalo de confianza de media poblacional μ; conociendo la media y a la desviación

Estándar σ: Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n con una desviación estándarconocida, el intervalo de confianza de (1- α)*100% para μ será :

Donde es el valorde Z a la derecha delcual se tiene un área deα/2



n Tamaño de la muestra

Media de la Muestra

Media de la Población

1.- La duración de la batería de cierto modelo de teléfono móvil se puede aproximar por una distribución

normal. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 baterías y se obtienen las siguientes datos duraciones (enmese): 33, 34, 26, 37, 30, 39, 26, 31, 36, 19. Halla un intervalo de confianza al 95 % para la duración media deese modelo de batería sabiendo que su desviación estándar es 5


ESTIMACION(Ejercicio de Intervalo de Confianza)

Ejercicios de Intervalos de confianza de media poblacional μ; conociendo a la desviación Estándar σ:

Solución : Lo que se pregunta en el ejercicio es

¿cual seria la vida promedia de la población de lasbaterías? Conociendo la vida una de una muestra deestas.

Según la formula anterior debemos calcula la mediade la muestra ത𝑋 = 𝟑𝟏. 𝟏𝟏 y su desviación Estándar(σ= 5) en la mayoría de las ocasiones estos dosvalores se conocen y no es necesario calcularlos elcalculo de el valor de la media o promedio de esteejercicio en especifico se les deja a los lectores.Nota (visto en Estadística II) , el valor de Z se buscaen la tabla de distribución Normal al igual que sehizo en los cálculos del tamaño de lamuestra.(Z=1.96)

31.11 −1.96 ∗ 5

10≤ μ ≤ 31.11 +

1.96 ∗ 5

10

28,01 ≤ μ ≤ 34,24Redondeando los valores

28 ≤ μ ≤ 34

Se concluye que la vida útil de la batería de los celulares es aproximadamente entre 28 y 34 meses



2.-En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros lee al año, obteniéndose una media de 5

libros. Se sabe que la población tiene una distribución normal con desviación típica 2. a) Halla un intervalo deconfianza al 80 % para la media poblacional, b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacionalno superior a 0,25 con un nivel de confianza del 95 %, ¿a cuántas personas como mínimo sería necesarioentrevistar?

Solución : Para la primera pregunta en este caso

cuantos libros en promedio lee determinadapoblación, conociendo las característica de lamuestra las cuales son la media que es 5 libros ladesviación estándar o desviación típica que es de 2dos libros y con un nivel de confianza de NC=0.80

aplicando la misma formula aplicada en el tamañode la muestra para encontrar Z por lo tantobuscando en la taba de distribución normal estevalor Z=1.28

Para la pregunta b cual seria la cantidad mínima depersonas que tendría que entrevistar para que elerror sea como mínimo de 25%

5 −1.28 ∗ 2

10.000≤ μ ≤ 5 +

1.28 ∗ 2

10.000

𝟒, 𝟗𝟕 ≤ 𝛍 ≤ 𝟓.𝟎𝟐

a)

b)𝑍𝛼2 ∗𝜎

𝑛= 0.25

despejando el valor de ntenemos y sustituyendo Valores

𝑍𝛼2 ∗𝜎

0.25≤ 𝑛 → 𝑛 =

𝑍𝛼2 ∗𝜎

0.25

2

=1.96∗2

0.25

2= 𝟐𝟒𝟓,𝟖𝟔

Se debe entrevistar como mínimo a 246 personas paraque el error sea no mayo a 25%

Intervalo de confianza de dos poblaciones μ1-μ2; Conociendo las características de las muestras media ydesviación estándar (Diferencia de medias o promedios) : Si son la medias de las muestras aleatoriasindependientes de tamaño n1 y n2 de población con varianza conocida un intervalo de confianza (1- α)*100%para μ1-μ2 será :


Este tipo de formula se usa para tomar una decisión de cual de las dos población es mejor La decisión se toma dela siguiente forma: Supongamos que tenemos dos poblaciones A y B y dan ciertos datos y pregunta ¿cual esmejor ? Tendríamos tres posibles respuesta la Población A , la población B ó es indiferente, veamos:

si al hacer los cálculos este valor es - Y este valor es + La población A y La B son Iguales

si este valor es + Y este valor es + La población A es mejor

si este valor es - Y este valor es - La población B es mejor


Ejercicios de Intervalo de confianza de dos poblaciones Diferencia de Medias o Promedios3.-Un consumidor de cierto producto quiere aplicar la técnica de estimación estadística para decidir sicomprar la marca A o la marca B del producto. Para esto va a estimar la diferencia entre los tiempos de vidapromedio de las dos marcas del producto. Si dos muestras aleatorias independientes de 10 unidades de cadamarca llevados a un laboratorio han dado las medias de vida útil respectiva de 1230 horas y 1190 horas; ¿esacertada la decisión del consumidor si decide adquirir la marca a? Aplique el nivel de confianza del 95% ysuponga que las dos poblaciones tienen distribución normal con desviaciones estándar respectivamente de120 y 160 horas.


SoluciónDatos:n1 y n2 = 10ത𝑋1=1230ത𝑋2=1190σ1= 120σ2 = 160Nc= 95%Buscandoen tablaZ=1,96

1230− 1190 − 1,96 ∗1202

10+

1602

10≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 1230− 1190 + 1,96 ∗

1202

10+

1602

10

40 − 1,96 ∗ 130,92 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 40 + 1,96 ∗ 130,92

−215,17 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 295

Se pude concluir que ninguna de las marcas es mejor que la otra no hay diferencia significativa entre ambas


Intervalo de confianza para P de una muestra grande: si p es la proporción de

éxito en una muestra aleatoria de tamaño n y q=1-p un intervalo de confianza a de (1-α )*100%para el parámetro l p es:

Intervalo de confianza para P1-P2 de una muestra grande: si p1 y p2 son las

proporciones de éxito en una muestra aleatoria de tamaño n1 y n2 y q1=1-p1 y q2 =1-p2 unintervalo de confianza a de (1-α )*100% para la diferencia entre los parámetros es p 1 y p2 es:

Donde es el valor de Z a la derecha del cual se tiene un área de α/2



Probabilidad de la Muestra

Probabilidad de la Población



Ejercicios de Intervalo de confianza para P de una muestra grande4.-De una muestra aleatoria de 2100 personas de una población hay 630 que leen un determinadodiario. Calcular el intervalo de confianza para la proporción poblacional para un nivel de confianzadel 99 %.

SoluciónDatos:n= 2100Nc= 99%Buscandoen tablaZ=2,58

𝑃 =630

2100= 0,30 ; Po lo tanto q= 1-P = 1-0,30 = 0,70

Sustituyendo en la formula tenemos que:

0,30 − 2,58 ∗0,3 ∗ 0,7

2100≤ 𝑝 ≤ 0,30 + 2,58 ∗

0,3 ∗ 0,7

2100

Obteniéndose :0,2742 ≤ 𝑝 ≤ 0,325

Se concluye que la población que lee el diario en cuestión esta entre 27 y el 32% Nota ( los resultados se multiplican por 100% ya que son probabilidades)



Ejercicios Intervalo de confianza para P1-P2 de una muestra grande se aplica las mismas condiciones que la diferencia de medias o promedios

5.-El gerente de control interno de una empresa le encarga a dos de sus técnicos, la verificación de lavalidez de un conjunto de certificados de ventas. Para ello se toma una muestra de 120 y se le distribuye60 a cada uno de ellos. Después de presentar su informe, se encuentra que el primer técnico examina a40 y encuentra 10 falsos, mientras que el segundo técnico examina 50 y encuentra 15 falsos. Debido a ladiferencia de entre estos porcentajes el gerente solicitó un intervalo de confianza del 95% para ladiferencia de verdadera. ¿Este intervalo de confianza justificará la creencia del gerente de que los dostécnicos emplean métodos diferentes?

SoluciónDatos:

P1=10

40= 0,25 ;

q1= 0,75

P2=15

50= 0,3

q2= 0,70

Nc= 95%Buscando entablaZ=1,96

0,25 − 0,30 − 1,96 ∗0,25∗0,75

120+

0,3∗0,7

120≤ 𝑝1 − 𝑝2 ≤ 0,25 − 0,30 + 1,96 ∗

0,25∗0,75

120+

0,3∗0,7

120

−0,05 − 0,112 ≤ 𝑝1 − 𝑝2 ≤ −0,05 + 0,112

−0,16 ≤ 𝑝1 − 𝑝2 ≤ 0,062

Se Concluye que no hay diferencia significativa y los técnico no emplean métodos diferentes

intervalo de confianza

Documents