INTERPOLACION En el subcampo matemtico del anlisis numrico, se denomina interpolacin a la construccin de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniera y otras ciencias es frecuente disponer de un cierto nmero de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un muestreo o experimento y pretender construir una funcin que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolacin es la aproximacin de una funcin complicada por una ms simple. Si tenemos una funcin cuyo clculo resulta costoso, podemos partir de un cierto nmero de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una funcin ms simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la funcin obtenida que si evalusemos la funcin original, si bien dependiendo de las caractersticas del problema y del mtodo de interpolacin usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata, a partir de n puntos distintos xk llamados nodos de obtener una funcin f que verifique

a la que se denomina funcin interpolante de dichos puntos. Algunas formas de interpolacin que se utilizan con frecuencia son la interpolacin lineal, la interpolacin polinmica, de la cual la anterior es un caso particular, o la interpolacin por medio de splines.

Dentro de las aplicaciones tenemos casos particulares como:

Fotografa [editar]En el campo de la fotografa y mundo de la imagen digital, la interpolacin aplica este mismo patrn para conseguir un tamao mayor de la imagen inicial, rellenando la informacin que falta con datos inventados a partir de un algoritmo especfico. Existen varios algoritmos, los ms famosos:

Interpolacin por aproximacin: Es uno de los mtodos ms antiguos que se basa en obtener el promedio de valores de los 2 pixeles ms prximos. La interpolacin bilineal es una mejora de la anterior, promediando en este caso 4 pixeles adyacentes.

Interpolacin bicbica: Usada por programas como Adobe Photoshop o Paint Shop Pro es el mtodo de interpolacin considerado estndar (promedia 16 pixeles adyacentes). Photoshop adems usa algunas variaciones como Interpolacin bicbica enfocada o Interpolacin bicbica suavizada que se basa en aplicar algunos cambios a la imagen final. Interpolacin en escalera (Stair Interpolation): Se basa en la interpolacin bicbica con la diferencia que se va interpolando en incrementos de un 10% en cada paso con respecto al anterior. Interpolacin S-Spline: Este mtodo de interpolacin determina el color de un pixel desconocido basndose en la totalidad de colores de la imagen, a diferencia que los mtodos anteriores. Interpolacin Lanczos: Disponible de forma gratuita en el excelente visualizadoreditor IrfanView, y GIMP 2.3 y posteriores versiones, se basa en la calidad de la imagen y ofrece resultados muy similares al mtodo Mitchell. Interpolacin Genuine Fractals: Por ltimo, el sistema de interpolacin de Genuine Fractals que parece tener tambin unos resultados bastante aceptables.

Enlaces externosAlgoritmo de interpolacin por aproximacin Algoritmo de interpolacin bilineal Algoritmo de interpolacin bicbica Ejemplos de interpolacin en escalera (Stair Interpolation) Algoritmo de interpolacin S-Spline usada por programas como PhotoZoom o SSpline. Algoritmo de interpolacin de Lanczos usada por programas como IrfanView Ejemplos de interpolacin por GF con Genuine Fractals Interpolacin de imgenes, en ingls

Antes de intoducirnos en el tema de interpolacion daremo un teorema el cual garantiza la unicidad del polinomio que interpola los puntos sim importar el metodo que se aplique.

Teorema: Sea x0 , x1 ,..., x m una lista de puntos en la cual ningn elemento se repite mas de k veces. Se f una funcin cuyos valores estn dados en estos nmeros sobre un intervalo que contiene estos puntos. Existe entonces un polinomio nico de grado a lo mas n, con la propiedad de que Pn ( xi ) = y i ...(0 i n) (Ver demostracin libro 6 pag. 286) Estos apuntes trataran nicamente los polinomios de interpolacin de NEWTON, LAGRANGRE y AITKEN.

POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE NEWTON Uno de estas formas de interpolacin se denomina Polinomios de Interpolacin de Newton, que trabaja directamente en la tabla obtenida mediante el proceso de Diferencias Divididas; En el desarrollo de estas diferencias finitas, se obtuvo en primer lugar las diferencias finitas ordinarias y luego las diferencias finitas divididas, para lo cual haremos una introduccin rpida a dichas diferencias:

DIFERENCIAS FINITAS ORDINARIASEstas se definan para funciones evaluadas sobre valores discretos equidistantes, es decir, sea F definida sobre X 0 , X 1, X 2 ,......, X n Se define Fk = Fk +1 Fk 1.1. Propiedades 1.1.1. (cFk ) = cFk +1 cFk = c( Fk +1 Fk ) = cFk 1.1.2. ( Fk + G k ) = Fk +1 + G k +1 ( Fk + G k ) = Fk +1 + G k +1 Fk G k = Fk +1 Fk + G k +1 G k = Fk + G kn m n+ m 1.1.3. ( Fk ) = Fk

Diferencia finita hacia adelante

EJEMPLO: 2 Fk = (Fk ) = ( Fk +1 Fk ) = ( Fk +1 ) ( Fk ) = Fk + 2 Fk +1 Fk +1 + Fk = Fk + 2 2 Fk +1 + Fk 3 Fk = (2 Fk ) = ( Fk + 2 2 Fk +1 + Fk ) = Fk + 2 ( 2 Fk +1 ) + Fk = Fk +3 Fk + 2 2 Fk + 2 + 2 Fk +1 + Fk +1 Fk = Fk +3 3Fk + 2 + 3Fk +1 Fk n n n n n Fk = Fk + n Fk + ( n 1) + Fk + ( n 2 ) + ...... + ( 1) n 0 1 2 m

m m n Fk = (1) i Fk + ( n i ) i i =0

EJEMPLOX K K+1 K+2 K+3 K+4 1 2 3 4 5 F 1 8 27 64 125 1 Fi 7 19 37 61 2 Fi 12 18 24 3 Fi 4 Fi

6 6

0

La anterior, es una tabla perfecta

EJERCICIOS PROPUESTOS1) Verificar si dados los puntos (1,1), (1.4, 1.1832), (2.2, 1.4832), (2.6, 1.6125), (3, 1.7321). Es una tabla perfecta? De lo contrario explicar porque no lo es. 2) Verificar si FK = FK -2 FK+1, cumple la propiedad 2. 3) Verificar si FK = F2K - F2K+1, cumple la propiedad 2. Qu condicin se debe cumplir para que se de la igualdad. Una vez vistas las diferencias finitas ordinarias abordaremos lo que es la columna vertebral del algoritmo de Newton:

DIFERENCIAS FINITAS DIVIDIDASSea F una funcin de valor real definida sobre xk , xk +1 , ..... xk + n no necesariamente equidistante. Se define:

F ( x k , x k +1 ) =

F ( x k ) F ( x k +1 ) x k x k +1

Primer grado 2 grado n grado

F ( x k , x k +1 , x k + 2 ) =

F ( x k , x k +1 ) F ( x k + 2 ) xk xk +2

F ( x k , x k +1 ,......., x k + n ) =

F ( x k , x k +1 ,....... x k + n 1 ) F ( x k + n ) xn xk +n

Sin perder generalidad k = 0 tenemos

F ( x 0 , x1 ) =

FX 0 F X 1 x 0 x1

=

FX1 FX 0 x1 x 0

F ( x 0 , x1 , x 2 ) =

F ( x 0 , x1 ) F ( x1 , x 2 ) F ( x1 , x 2 ) F ( x 0 , x1 ) = x0 x2 x 2 x0 F ( x 0 , x1 .......x n 1 ) F ( x1 , x 2 ....... x n ) x0 xn

F ( x 0 , x1 ,....... x n ) =

Hallar F ( x3 , x2 , x1 ); F ( x2 , x3 ); F ( x5 , x4 , x3 ); F ( x1 , x5 )

EJERCICIO PROPUESTO1) Para F ( x) = 25 x 3 6 x 2 + 7 x 88 hallar hasta el 4 grado con x = 1, 1.3, 1.6, 1.9, 2.2Observamos que tanto las diferencias finitas ordinarias como en las divididas se cumple que dichas diferencias son constantes, en el orden n correspondiente a una funcin polinmica de grado n. Esta propiedad es muy importante para la produccin del polinomio que ajusta la tabla. La siguiente propiedad relaciona las diferencias finitas divididas con las ordinarias. TEOREMA Sea f una funcin definida sobre X0, X1,Xn; tal que h = XK XK-1; entonces se cumple:

n f 0 f ( X 0 , X 1 ,..., X n ) = n!h n

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Demostrar

f ( X 0 , X 1 ,..., X n ) =

( X 0 X1 ) ( X 0 X 2 ) ( X1 X 0 ) ( X1 X 2 ) ( X 2 X 0 ) ( X 2 X1 )

f0

+

f1

+

f2

2. Ejercicios 1, 2, 6, 10, 13; pgina 131.

Para hallar dicho polinomio, tendremos en cuenta cada una de las constantes obtenidas en cada columna de dicha tabla. Sea f una funcin definida en X 0 , X 1 , X 2 ,..., X n Definimos y denotamos el polinomio de interpolacin de Newton como:I. Lineal

P1 ( x) = F ( x 0 ) + F ( x 0 , x1 )( x x 0 ); donde F( x0 , x1 ) es la primer diferencia finita divididaII. Cuadrtico

P2 ( x ) = P1 ( x ) + F ( x 0 , x1 , x 2 )( x x 0 )( x x1 )P2 ( x) = F ( x 0 ) + F ( x 0 , x1 )( x x 0 ) + F ( x 0 , x1 , x 2 )( x x 0 )( x x1 )Observamos que el an se vuelve cero a partir del momento en que las diferencias finitas son constantes, esta es una aplicacin del teorema.n

III.

Pn ( x) = f ( x 0 ) + f [ x0 ,..., x k ]( x x 0 )( x x1 )...( x x k 1 )k =1

donde

f [ x0 ,... x k ] =divididas.

f [ xi +1 ,..., xi + k ] f [ xi ,..., xi + k +1 ] se obtiene en la tabla de diferencias xi + k xi

3. Demostracin Lineal [ P1 ( x)]

x1 x 0 = F ( x1 ) F ( x 0 ) x x 0 = P1 ( x) F ( x 0 ) [ F ( x1 ) F ( x0 )]( x x0 ) P1 ( x) F ( x 0 ) = x1 x 0 P1 ( x) = F ( x 0 , x1 )( x x 0 ) + F ( x 0 )

Aclaremos estas ideas con un ejemplo bastante sencillo.

: Ejemplo 1: Con los siguientes datos, halle los polinomios de interpolacin de Newton de grado: a)uno b) dos c) tres; (-2; 21), (0;-1), Solucion: i 0 1 2 3 Xi F(xi) PDD SDD TDD ( X 1 , X 0 ) =-11 Xo =-2 F(x0)=21 F X1=0 F(x1)=-1 F ( X 2 , X 1 ) =13 ( X 2 , X 1 , X 0 ) F =8 F ( X 3 , X 2 , X 1 , X 0 ) =0 X2=1 F(x2)=12 F ( X 3 , X 2 ) 45 F ( X 3 , X 2 , X 1 ) =8 X3=4 F(x3)=147 (1; 12), (4; 147):

Donde las iniciales, PDD= Primera Diferencia Dividida, SDD= Segunda Diferencia Dividida y TDD= Tercera Diferencia Dividida, respectivamente. Nota: Vemos que la ltima diferencia dividida de la tabla es cero, por lo tanto la tabla es llamada Tabla Perfecta. Ahora, como observamos que la columna de SDD (segunda diferencia dividida), tiene valores iguales; el polinomio interpolante es de grado 2. a) El polinomio de grado uno de Newton es: P1 ( x) = F ( x 0 ) + F ( x 0 , x1 )( x x0 ) = 21 + (11)( x (2)) = 21 11( x + 2) = 21 11x 22 luego..P1 ( x) = 11x 1 b) El polinomio de grado dos de Newton es: P2 ( x) = F ( x0 ) + F [ x 0 , x1 ]( x x 0 ) + F [ x0 , x1 , x 2 ]( x x 0 )( x x1 ) = 21 11( x + 2) + 8( x + 2)( x 0) .......... = 21 11x 22 + 8 x 2 + 16 x luego..P2 ( x) = 8 x 2 + 5 x 1 c) El polinomio de grado tres de Newton es: No existe. Nota: Notemos que el polinomio de grado 2 de Newton tiene la formaP2 ( x) = F ( x 0 ) + F [ x 0 , x1 ]( x x 0 ) + F [ x 0 , x1 , x 2 ]( x x 0 )( x x1 )

As tenemos, de una forma mas general, que

Pn ( x) = Pn 1 ( x ) + F [ x0 , x1 ,... x n ]( x x0 )( x x1 )...( x x n 1 )

Ejemplo 2: Sea f ( x) = x con los nodos 1; 4; 9; 16. Encuentre los polinomios de interpolacin de Newton de grado a) uno b) dos c) tres; calcule el valor de cada uno de estos polinomios y halle el error relativo. Solucion:i 0 1 2 3 Xi Xo =1 X1=4 X2=9 X3=16 F(xi) PDD SDD TDD ( X 1 , X 0 ) =1/3 F(x0)=1 F F(x1)=2 F ( X 2 , X 1 ) =1/5 F ( X 2 , X 1 , X 0 ) =-1/60 F ( X 3 , X 2 , X 1 , X 0 ) =1/1260 F(x2)=3 F ( X 3 , X 2 ) =1/7 F ( X 3 , X 2 , X 1 ) =-1/210 F(x3)=4

5 en

a-) El polinomio de Newton grado uno es P1 (x) = 1 + 1/3 * (x 1 ) Reemplazando por x=5 tenemos: P1 (5) = 1 + 1/3 * (5 1 )=1+4/3=7/3=2,333333 b-) El polinomio de Newton de grado dos es: P2 (x) = 1 + 1/3 * ( x 1 ) -1/60 ( x - 1) (x - 4) Reemplazando obtenemos P2 (5) = 1 + 1/3 * ( 5 1 ) -1/60 ( 5 - 1) (5 - 4)=2,266666 c-) El polinomio de Newton de grado tres es: P3 (x) = 1 + 1/3 * ( x 1 ) -1/60 ( x - 1) (x - 4)+1/1260( x - 1 )( x - 4 )( x - 9 ) Reemplazando tenemos: P3 (5) = 1 + 1/3 * (51) -1/60 (5-1) (5-4)+1/1260(5-1)(5-4 )(5-9) = 2,253968 Ahora realizamos una tabla que me resuma lo hecho anteriormente; incluyendo el error relativo, para lo cual el valor real de 5 es 2,236067

F(x)

POLINOMIO DE NEWTON Primer grado Segundo grado Aproximacin ER Aproximacin ER 1,368% 2,333333 4,349% 2,266666

Tercer grado Aproximacin ER 0,8% 2,253968

Nota: Es claro que la aproximacin de 5 va mejorando a medida que consideramos un polinomio de grado mayor de Newton. Aunque, no lo suficientemente rpido ya que los puntos tomados son bastante alejados. Teorema 1.1 Sea () el polinomio de aproximacin de Newton de grado , y sea la funcin a la cual nos queremos aproximar. Entonces, el error de grado n en el polinomio de Newton, denotado por , esta dado por: f n +1( ) Rn = ( x x 0 )( x x1 )...( x x n ) (n + 1)! Donde x0 < < x y f C n +1 (Ver demostracin ene. Libro 3) Ejemplo 3: Tomemos la funcin del ejemplo anterior, f ( x ) = x , donde claramente f C . Supongamos que queremos calcular 1,5 y consideramos los nodos 1; 2; 3; 4.

Solucion:i 0 1 2 3 Xi F(xi) PDD SDD TDD ( X 1 , X 0 ) =-0,414213 Xo =1 F(x0)=1 F X1=2 F(x1)= 1,414213 F ( X 2 , X 1 ) =0,3178245 ( X , X , X ) F 2 1 0 =-0,04819425 F ( X 3 , X 2 , X 1 , X 0 ) =0,00775216 X2=3 F(x2)=1,732050 F ( X 3 , X 2 ) =0,267949 F ( X 3 , X 2 , X 1 ) =-0,02493775 X3=4 F(x3)=2

El polinomio de Newton de grado tres es:P3 ( x) = 1 + 0,4142139 ( x 1) 0,04819425 ( x 1)( x 2) + 0,007752166 ( x 1)( x 2)( x 3)

Luego tenemos que:P3 (1,55) = 1 + 0,4142139 (1,55 1) 0,04819425 (1,55 1)(1,55 2) + 0,007752166 (1,55 1)(1,55 2)(1,55 3) P3 (1,55) = 1,222062

Calculando el error se obtiene: Rn = f n +1( ) 15 / 16 x 7 / 2 ( x x 0 )( x x1 )...( x x n ) = ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) (n + 1)! 24

Como f ( x) = x entonces f ( iv ) ( x) = 15 / 16 x 7 / 2 Ahora, para algn (1,1,5) se debe satisfacer la igualdad. Vamos a tomar un muy arbitrario (corriendo el riesgo de que no sea una eleccin conveniente) hacemos:

=

x0 + x 1 + 1,5 = = 1,25 2 2

Es decir trabajamos con el punto medio entre el valor inicial de los datos y el valor a aproximar; por lo tanto R4 = 15 / 16(1,25) 7 / 2 (1,25 1)(1,25 2)(1,25 3)(1,25 4) = 0,016141615 24

Podemos tambin ver estos coeficientes de la siguiente forma: Teorema: Si f C n +1 en [a,b] y x0 ,..., x n son nodos en [a,b], entonces existe en (a,b) tal que f n ( ) f [ x0 ,..., x n ] = n! POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE LAGRANGE

Presentamos ahora una forma alternativa del polinomio de interpolacin P(x) asociado con una tabla de datos (xi , yi) con 0 i n. Es importante entender que existe uno y solo un polinomio de interpolacin de grado n asociado con los datos (suponiendo, claro esta, que las n+1 abscisas xi son distintas). Sin embargo, existe ciertamente la posibilidad de expresar este polinomio de maneras distintas y de llegar a el a travs de distintos algoritmos. El problema al utilizar Polinomio de Newton para aproximar es que se debe tener la derivada y muchas veces este lado no se tiene; una forma de evitar esto es trabajar con una interpolacin de Lagrange, que es una reformulacin del Polinomio de Newton que evita las diferencias divididas y se representa como: Fn ( x) = Li ( x) F ( x i ) + R ni =0 n

(3.3.1.2)

Donde Li ( x) = j =0i i

n

x xj xi x j

; es productoria y Rn es el error.

Para obtener el polinomio de grado uno (lineal) reemplazamos n=1

F1 ( x ) = Li ( x) F ( x i )i =0

1

= L0 ( x) F ( x 0 ) + L1 ( x) F ( x1 ) L0 ( x ) = j =0 i j n =1

x xj xi x j

=

x x1 x 0 x1

L1 ( x) =F1 ( x) =

x x0 x1 x 0

x x1 x x0 f ( x0 ) + f ( x1 ) x 0 x1 x1 x 0

Ahora calcularemos el polinomio de interpolacin de grado dos (Cuadrtico), haciendo n=2:2

F2 ( x ) = Li ( x ) F ( x i )i =0

= L0 ( x) F ( x 0 ) + L1 ( x) F ( x1 ) + L2 ( x) F ( x 2 )F2 ( x ) = x x1 x x 2 x x0 x x 2 x x 0 x x1 f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) x 0 x1 x 0 x 2 x1 x 0 x1 x 2 x 2 x 0 x 2 x1

La aproximacin del polinomio cbico es:

F3 ( x ) = Li ( x) F ( x i )i =0

3

= L0 ( x) F ( x 0 ) + L1 ( x) F ( x1 ) + L2 ( x) F ( x 2 ) + L3 ( x) F ( x 3 )F3 ( x) = x x 0 x x 2 x x3 x x1 x x 2 x x3 f ( x0 ) + f ( x1 ) x 0 x1 x 0 x 2 x 0 x3 x1 x 0 x1 x 2 x1 x3 + x x 0 x x1 x x3 x x 0 x x1 x x 2 f ( x2 ) + f ( x3 ) x 2 x 0 x 2 x1 x 2 x3 x3 x 0 x 3 x1 x3 x 2

La ecuacin (3.3.3.2) se obtiene de manera directa del polinomio de Newton, sin embargo, el razonamiento detrs de la formulacin de lagrange se comprende directamente al darse cuenta que cada termino Li(x) ser 1 en x=xi y 0 en todos los otros puntos(Ver figura). De esta forma, cada producto Li(x) f(xi) toma el valor de f(xi) en el punto xi En consecuencia, la sumatoria de todos los productos en la ecuacin (3.3.2) es el

nico polinomio de n-simo grado que pasa exactamente a travs de todos los n+1 puntos, que se tienen como datos. GRAFICA

Descripcin visual del razonamiento detrs del polinomio de Lagrange. Esta figura muestra un caso de segundo grado. Cada uno de los tres trminos de la ecuacin (3.3.2) pasa a travs de uno de los puntos que se tienen como datos y es cero en los otros dos. La suma de los tres trminos, por lo tanto, debe ser el nico polinomio de segundo grado f2(x) que pasa exactamente a travs de os tres puntos. EJEMPLO Con un polinomio de interpolacin de Lagrange de primero, segundo y tercer grado evalu

1,5 ; basndose en los datos dados a continuacin:1 2 3 4 f(x0)= 1 f(x1)= 1,414213 f(x2)= 1,732050 f(x3)= 2

x0 = x1 = x2 = x3 =

Solucin: Primero hallamos el polinomio lineal:

F1 ( x) =

x2 x 1 (1) + (1,414213) = 0.414213 x + 0.585787 F1 (1.5) = 1.2071065 1 2 2 1 x2 x3 x 1 x 3 x 1 x 2 (1) + (1.414213) + (1.732050 ) F2 (1.5) = 1.219153825 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

Ahora hallamos el polinomio cuadrtico: F2 ( x) =

Finalmente el polinomio cbico es:F3 ( x) = x2 x3 x4 x 1 x 3 x 4 x 1 x 2 x 4 x 1 x 2 x 3 (1) + (1.414213) + (1.732050 ) + (2) 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3

F3 ( x) = 1.22205934Como se esperaba, ambos resultados concuerdan con los que se obtuvieron antes al usar el polinomio de interpolacin de Newton. EJERCICIO PROPUESTO Hallar el valor de

2 utilizando 3 funciones diferentes y llenar la siguiente tablaSegundo grado Tercer grado ER Aproximacin EN ER Aproximacin EN ER

Primer grado Aproximacin EN F(x) G(x) H(x)

1) Obtenga el Polinomio de Lagrange de grado dos a partir del Polinomio deNewton. 2) Estime el log 5 usando interpolacin lineal, cuadrtica y cbica; y compare los errores. Cul es el mejor mtodo? Porqu?. 3) Del libro de Burden resolver los ejercicios 3 y 10 de la pgina 119.

POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE AITKENUna de las dificultades de la interpolacin de Lagrange, es que el error es difcil (o imposible) de calcular. La forma habitual de trabajar es ir incrementando el orden de los polinomios, hasta que se obtiene un valor deseado. Sin embargo, cada clculo es independiente del previo, perdindose contacto entre uno y otro. Los polinomios de Legendre tambin se pueden generar aprovechando los clculos previos, en forma iterativa. El polinomio de interpolacin de Aitken nos permite generar los polinomios de grados ms altos partiendo de polinomios de grados ms bajos. Se genera un dispositivo triangulas de polinomios Pk,d mediante un determinante de orden 2. Aqu Pk,d es cierto polinomio de grado d que se interpola sobre un conjunto de d+1 puntos que dependen de k. El esquema de Aitken es el que sigue:

Para d = 0, 1, 2,..., n genrese el polinomio Pk,d como sigue: Pk,0(x) = Fk(x) Pk , d +1 ( x ) = Pk , d +1 ( x) = k = 0, 1, 2, ........, n xk xd Pd , d 1 xk xd Pk , d d X0 X1 X2 . . . Xk . . . Xn

( xk x) Pd , d ( x) ( xd x) Pk , d ( x )

; k = d + 1, d + 2, ........., n

xd x ; k = d + 1, d + 2, ........., n xk x 1 2 ............. n X0 X P1,1 P2,1 . . . Pk,1 . . . Pn,1 P2,2 . . . Pk,2 . . . Pk,2 . . . . . . Pn,n . . . . . . X1 X X2 X . . . Xk X . . . Xn X

La disposicin de los polinomios Pk,d se muestra en la siguiente tabla: 0 P0,0 P1,0 P2,0 . . . Pk,0 . . . Pn,0

EJEMPLO

Hallar una aproximacin de 1,5 utilizando el polinomio de interpolacin de Aitken de grado 3; para los siguientes valores:x0 = x1 = x2 = x3 = 1 2 3 4 f(x0)= 1 f(x1)= 1,414213 f(x2)= 1,732050 f(x3)= 2

Solucin:

Utilizando las formulas descritas anteriormente; tenemos:

P1,1 ( x) = k =1 d=0 P2,1 ( x) = k=2 d=0 P3,1 ( x ) = k =3 d=0 P2, 2 ( x) = k=2 d =1 P3, 2 ( x ) = k =3 d =1 P3,3 ( x) = k =3 d=2

P0,0 1 x1 x 0 P1,0

x0 x 1 1 1.5 1 = = 1.20710678 x1 x 2 1 1.414213 2 1.5

P0,0 1 x 2 x 0 P2, 0

x0 x 1 1 1.5 1 = = 1.1830127 x2 x 3 + 1 1.73205081 3 1.5

P0, 0 1 x3 x0 P3,0

x0 x 1 1 1 1.5 = = 1.1666667 x3 x 4 1 2 4 1.5

P1,1 1 x 2 x1 P2,1

x1 x 1 1.20710678 2 1.5 = = 1.22205934 x2 x 3 2 1.1830127 3 1.5

P1,1 1 x3 x1 P3,1

x1 x 1 1,20719678 = x3 x 4 2 1.16666667

23 = 1.21721681 4 1.5

P2, 2 1 x3 x 2 P3, 2

x2 x 3 1.5 03 1 = = 24 x3 x 4 3 1.21721681 4 1.5

k 0 1 2 3 4

Xk -4 -2 0 2 4

Pk,0 256 16 0 16 256

Pk,1 -584 -192 -24 256

Pk,2 396 116 116

Pk,3

Pk,4

-24 186

81

Ejercicios propuestos 1. Dado el ejemplo anterior; realizar la aproximacin de 1,5 utilizando:

x a. f ( x) = 2

3 b. g ( x) = x

x c. h( x) = 4

Realizar una tabla con los polinomios de grado uno, dos y tres, donde se relacione l error relativo. Hallar los puntos de tabulacin de forma tal que el mximo intervalo que los contenga sea de longitud 2

EJERCICIOS PROPUESTOS1. El nmero de turistas que visitaron Espaa en el periodo 1975-1990 est reflejado en la siguiente tabla: 1975 24,1 1980 30,1 1985 38,1 1990 43,2

AosMillones de turistas

Calcular, utilizando un polinomio de interpolacin adecuado (cuadrtico, al menos), el nmero de turistas que visitarn Espaa en 1995. 2. En la tabla siguiente se indica el tiempo (en das) y el peso (en gramos) de tres embriones de cierta especie animal: 3 5 8

Tiempo

Peso 8 22 73 a) Obtener el polinomio de interpolacin de 2 grado correspondiente. b) Determinar, a partir de dicho polinomio, el peso que correspondera a un embrin de 6,5 das. 3. Dada la siguiente tabla, obtener por interpolacin lineal el valor de x 0 1 1 1,4142 2 1,7321 .

(Sol. 0,7514) 4. De una funcin f(x) se conocen los valores f(1)=0, f(2)=4, f(5)=52. Hallar el correspondiente polinomio cuadrtico de interpolacin. Estimar el valor de la funcin en x=3 y en x=6. (Sol. P(x) = 3x2 5x +2, P(3)=14 y P(6)=80)

5. Obtener la ecuacin de la interpolacin cuadrtica que pasa por los puntos A(0,4), B(1,3) y C(-1, 9). (Sol. P(x)= 2x2 3x + 4) 6. El aumento de lneas telefnicas instaladas en Espaa durante los tres ltimos aos fue:

AosMillones de lneas a) Es lineal el aumento producido?

1995 1996 1997 8,457 8,882 9,640

b) Calcular el valor esperado en 1998 mediante una extrapolacin cuadrtica. (Sol. 10,731) 7. Dada la tabla de la funcin y = f(x) x 1 f(x) 2 2 -1 3 6 4 0

Calcular el error cometido cuando se calcula f(4) mediante la interpolacin cuadrtica, obtenida usando los otros valores de la tabla. (Sol. 23)

Polinomios de HermiteLos polinomios osculadores son una generalizacin de los polinomios de Taylor y de Lagrange. Estos interpolan la funcin dada, coincidiendo con ella en n+1 puntos y en sus m derivadas. Un caso particular son los polinomios de Hermite, que interpola la funcin dada, y coincide con ella en n+1, y en n puntos de la derivada primera. El polinomio de Hermite est dado porH2n+1(x) = Sumj=0n f(xj)Hn,j(x) + Sumj=0n f'(xj)HHn,j(x) donde Hn,j(x) = [1 - 2(x-xj)L'n,j(xj)]L2n,j(x) y HHn,j(x) = (x-xj)L2n,j(x) y los Ln,j son los polinomios de Lagrange.

Ejercicios: Dibujar esquemticamente los polinomios de Hermite (los y los HH) H

Si bien la descripcin anterior es completa, el hecho de tener que evaluar los polinomios de Lagrange y sus derivadas, lo hace un poco tedioso. Una forma simple de encontrar los coeficientes es utilizando diferencias finitas, pero definiendo nuevos puntos zi en la forma:z1 = z2 = x1 z3 = z4 = x2 y en general: z2i = z2i-1 = xi

Se hace el clculo de diferencias finitas explicado anteriormente, pero como f[z2i,z2i-1]=f[xi,xi] y este no est definido, entonces se usa la expresin del lmitef[z2i,z2i-1]=f'(xi)

Ejercicios: Modificar el programa divideddiff.for para calcular los polinomios de Hermite. Plotear la funcin y su derivada para nuestro viejo conocido caso de J0

SplinesLas interpolaciones con polinomios sufren de un problema bsico, y es la aparicin de grandes oscilaciones espreas, especialmente si el grado del polinomio es alto. Una forma alternativa de obtener funciones interpoladoras, es dividiendo el intervalo en sucesivos intervalos, y generar polinomios de bajo grado en cada uno de estos intervalos. Esto se llama aproximacin polinomial por piezas. Para que el resultado quede "bien", estos polinomios deben mantener continuidad en la funcin, la derivada primera y la derivada segunda, en cada uno de estos puntos lmites. Dada una funcin f definida en [a,b], y un grupo de nodos a = x0 < x1 < ... < x n = b , se llama cubic spline interpolant S, a la funcin que satisface las siguientes condiciones para j