2reporte interpolacion bicubica

Universidad Politécnica de Chiapas. Selvas Gómez José Roberto. Interpolación Bi-Cúbica de IM.

Resumen—El siguiente documento explica el proceso usado para interpolar una imagen médica partiendo de los conocimientos previos sobre interpolación lineal a donde se conocen 2 puntos y se desea conocer un nuevo punto intermedio. La interpolación bilineal, el vecino más cercano y la interpolación Bi-Cúbica funcionan de forma similar, en cada uno de los casos para determinar el valor para un pixel interpolado, se encuentra el punto en la imagen original que corresponde a la imagen interpolada, asignándole el valor del pixel interpolado calculando el promedio ponderado del conjunto de pixeles hallados en la vecindad de dicho punto.Estos conceptos permiten realizar la interpolación Bi-Cúbica de una imagen médica, que es en la que se enfoca este trabajo

La diferencia principalmente reside en cómo la imagen es percibida por el espectador, y porque la interpolación Bi-Cúbica hace uso de más datos, los resultados son generalmente más suaves. La interpolación Bi-Cúbica crea curvas más suaves que la interpolación bilineal y presenta un menor número de "artefactos", o píxeles que se destacan como visible deterioro de la calidad aparente de la imagen.

I.INTRODUCCIÓN

En este documento se hace una descripción del proceso de interpolación Bi-Cúbica de una imagen médica. Retomando técnicas anteriores de interpolación lineal, bilineal y vecino más cercano, estas técnicas servirán para el desarrollo del proceso de interpolación Bi-Cúbica. Según los autores del libro “Fundamentos de Procesamientos de Imágenes” [1], José J. Esqueda y Luis E. Palafox, definen una interpolación como:

El proceso en el cual se estiman los valores de una imagen en una sección específica cuando por ejemplo se cambia el tamaño de una imagen y en la nueva imagen existen más pixeles que en la imagen original.

Esto es usado debido a que ciertas situaciones que se desean manipular o procesar una imagen, en este caso medica es necesario realizar acercamientos (zoom); los cuales normalmente producen que las imágenes se distorsionen ya que los pixeles reales de la imagen aumentan de tamaño y es posible notar a simple vista

los cambios de la imagen. Al usar la interpolación en el momento de aumentar de tamaño la imagen, dichos pixeles no aumentan de tamaño si no que en el espacio de la imagen en el que solo había un pixel se pueden

encontrar una cantidad de pixeles dado por el factor

determinado de la función. De tal forma que es posible acercar la imagen sin perder la calidad en la visualización.

Según en el libro de “Elementos de Métodos Numéricos para Ingeniería.”[2], define la interpolación lineal

cuando ya se tienen conocidos los puntos extremos y

la interpolación más simple es la lineal, es decir que la

función varia linealmente con para el tramo

comprendido entre y , de modo que la

de un punto vendrá dada a si como se muestra

en la Ecuación (1) y en la Ecuación (2) en la que se lleva

acabo el análisis en función de para interpolación

bilineal del vecino más cercano. Y observada en la imagen (1).

…Ecuación (1)

.....Ecuación (2)

Imagen (1) se muestra una recta formada por dos puntos con valores

conocidos y , en la que posteriormente se calcula un

nuevo punto interpolado .

Para lograr el proceso de interpolación Bi-Cúbica se recurre a la técnica de interpolación bilineal, la cual consiste en hacer una serie de interpolaciones lineales

Universidad Politécnica de Chiapas, Ing. Biomédica

Interpolación Bi-Cúbica de Imágenes Médicas. Selvas Gómez José Roberto

[email protected] Politécnica de Chiapas

Ing. Biomédica, 05 de junio del 2013

1

mailto:[email protected]


en los dos planos de la imagen es decir una en el eje X y otra en el eje Y. De acuerdo con G. Passariello y F. Mora en su libro “Imágenes Médicas: Adquisición, análisis, procesamiento e interpretación.”[3], definen el procesamiento de la imagen como:

La realización en software de algoritmos de extracción de la información contenida en las imágenes. El procesamiento puede ser realizado por computadoras de uso general o por procesadores especialmente concebidos para este tipo de cálculo. Permitiendo en su arquitectura una reducción considerable del tiempo de respuesta. El procesador tiene acceso directo al bloque de almacenamiento y generalmente realiza el cálculo sobre la memoria temporal.

Una vez terminada el proceso, la información es almacenada en la memoria permanente para su posterior utilización. El procesamiento se caracteriza por ser específico para cada aplicación son generalmente inadecuados para otra. Con esto se entiende que cada tipo de procesamiento tiene sus ventajas y desventajas, dependiendo de la aplicación y la capacidad del equipo de procesamiento que se esté utilizando. Por lo cual en casi todos los procesamientos se utiliza escala de grises para el color de la imagen, es decir, ocho bits de color

De igual manera se relacionan conceptos básicos relacionados con el procesamiento de imágenes [2].

Vision por computadora: adquisición, procesamiento, clasificación y reconocimiento de imágenes digitales.

Pixel: elemento básico de una imagen (picture element).

Imagen: arreglo bidimensional de pixeles con diferente intensidad luminosa (escala de gris).

Color: el color se forma mediante la combinación de los tres colores básicos rojo, verde y azul (RGB).

Brillo: indica si un área está más o menos iluminada.Dentro de los métodos descritos encontramos tres utilizados y ya previamente mencionados para el procesamiento de imágenes, el de interpolación del vecino más cercano, interpolación bilineal, e interpolación Bi-Cubica que es lo que más nos interesa analizar, debe hacerse mención que los tres métodos de interpolación funcionan de forma similar, en cada caso para determinar el valor para un pixel interpolado, se encuentra el punto en la imagen original que corresponde a la imagen interpolada. Se asigna el valor del pixel interpolado calculando el promedio ponderado del conjunto de pixeles hallado en la vecindad de dicho punto.

Según el libro “Teledetección: nociones y aplicaciones” [4], La diferencia de cada una de las técnicas consiste en:

- Vecino más cercano: al pixel interpolado se le asigna el valor del pixel que corresponde. Como se aprecie en la Imagen (2).

Imagen (2). Vecino mas cercano. - Interpolación bilineal: consiste en realizar 3

interpolaciones lineales sucesivas entre los valores de los 4 pixeles cuyos centros rodean a nuestro punto, da resultados mejores que el método del vecinos más cercano, a costa de un mayor tiempo de cálculo (ténganse en cuenta que cada operación hay que realizarla para cada pixel de la imagen). Apreciada en la Imagen (3).

Imagen (3).Interpolacion ilineal- Interpolación Bi-Cúbica: es una aproximación de la

fórmula de Shannon, que utiliza los valores del entorno de los pixeles más cercana. Se interpola horizontalmente en cada una de las 4 líneas con el polinomio de tercer grado que paso por los 4 puntos conocidos y luego se interpola verticalmente con el polinomio de tercer grado que pasa por esos 4 puntos calculados, como se aprecia en la imagen (4).

-Imagen (4). Interpolacion Bi-Cúbica.

Nótese que el número de pixeles considerado aumenta la complejidad de cálculo como lo demuestra la Ecuación (3), Ecuación (4) la cual da como resultado una Ecuación (5), a aplicar, esta se refiere al cálculo de la duplicidad de interpolación del pixelaje para el caso de la técnica de interpolación bilineal, no obstante la Ecuación (6), esta de muestra el cálculo de la duplicidad para la interpolación del pixelaje para el caso de la técnica de interpolación Bi-Cúbica.

- Caso interpolación bilineal para pixelaje: Los puntos a interpolar n


2


…Ecuación (3)Los puntos n duplicados el número de pixeles

…. Ecuación (4)Si hacemos un número de 3 interpolaciones esta quedaría de la siguiente manera:

… Ecuación (5)Este método de interpolación consiste en trazar una línea entre el valor bajo y alto redondeada de la función inversa devuelto y calcular el valor resultante con la función de línea. Apreciada en la imagen (5).

Imagen (5). Interpolacion bilineal.

- Caso interpolación Bi-Cúbica para pixelaje.Partiendo de la Ecuación (3) y Ecuación (4) se define la Ecuación para el cálculo de la interpolación Bi-Cúbica.

…Ecuación (6).

Este método produce el mejor resultado, pero el algoritmo es más lento. Se calcula el valor con una curva cúbica con los 4 pixeles vecinos, observada en la imagen (6).

Imagen (6). Interpolacion Bi-Cúbica.Se hace a partir de un polinomio que la conforma una ecuación lineal formada por los puntos A y B y los datos donde se encontraran el punto a interpolar, así mismo por una función cubica tomando como C y D, como se muestra en la ecuación (7) y convirtiéndola con las ecuaciones (8) y (9).

…Ecuación (7)

… Ecuación (8)

Ecuación (9)

Es por eso que la interpolación bilineal es más lenta que el método del vecino más cercano y el método cubico es más lento que el método bilineal, considerando que tomamos un mayor nivel de pixeles notaremos mejores resultados.

La interpolación bilineal tiene la ventaja de que cuando se aplica a regiones adyacentes dentro de la imagen, produce valores consistentes a lo largo de los bordes

entre las regiones vecinas, sin embargo su implementación requiere más tiempo de cálculo. Es bueno señalar que la interpolación no solo resulta útil para implantar una imagen sino también en la realización de técnicas como rotaciones, efectos esféricos, cilíndricos, ondulatorios, etc.

Pues bien la interpolación Bi-Cubica definida en el libro “Teledetección: nociones y aplicaciones” [4], como la aproximación de la fórmula de Shannon que consiste en una mayor relación de la señal-ruido como lo define John R. Pierce en el libro “Señales: las ciencias de las comunicaciones” [5].

La fórmula una vez simplificada resulta ser una convolución o combinación lineal entre los 16 valores del entorno, cuyos coeficientes se calculan según las distancias en vertical y en horizontal a los bordes de la cuadricula.

La calidad visual obtenida es muy buena y el algoritmo es fácilmente implementable, por lo que ese es el método de interpolación más usado para imágenes que se vayan a interpretar visualmente

Si la imagen se va a someter a una clasificación automática posterior, a veces se recomienda usar el método del vecino más cercano a fin de dejar inalterados los valores radiométricos obtenidos por el sensor que se suponen son los de la imagen bruta aunque esto es discutible.

II. DESARROLLO

La práctica de interpolación bilineal se elabora en base a 7 scripts en MATLAB, en dichos scripts se colocan las funciones necesarias para poder realizar la interpolación Bi-Cúbica de una imagen médica.

Uno de los script define al proceso de interpolación cubica consiste en polinomios cúbicos segmentarios que se ajustan a puntos de datos dados. La esencia de la interpolación cubica radica en aplicar un polinomio cúbico a cada intervalo entre dos puntos de datos consecutivos. Por otro lado, también se requiere que la primera y segunda derivadas de los polinomios cúbicos sean continuas en cada punto de datos. Por consiguiente, tanto el valor funcional como la primera y segunda derivadas son continuos en todo el dominio.


3

http://wiki.blender.org/index.php/File:Bilinear_scale_node.gif


Sin embargo, para determinar los coeficientes del polinomio cúbico de cada intervalo es preciso determinar simultáneamente los coeficientes de todos los intervalos, como se muestra en los planos de la imagen (7)

Imagen (7). Plano de interpolacion Bi-Cúbica.

Para interpolar un punto lo que se hace es sacar la función cubica que pasa por cada uno de los puntos del plano. Después hago pasar una función cubica por cada uno de ellos en el punto x veo cuánto vale la z que se debe hacer

La cantidad de interpolaciones depende de la cantidad de la imagen en la imagen bi-Cúbica e la imagen bilineal no importa la cantidad de pixeles que debo hacer, entiendo que en este tipo de interpolación Bi-Cubica se hace un trabajo más forzoso.

Con la interpolación Bi-Cúbica, se hacen 5 interpolaciones y en cada interpolación de cada punto se hace una matriz de 4x4.

De esta matriz aplicamos la inversa de cada uno de los puntos del plano para un caso de interpolación cubica de 4 elementos se resuelve por el método de la inversa que en Matlab el método de la inversa o si la haces en banda Matlab detecta que la debe hacer por guaus Jordán en la ayuda de Matlab arrojando el hecho de usar más operaciones.

Independientemente de por qué método lo hagas el resultado será el mismo, de donde la m son los valores de la segunda derivada de la interpolación de la función cubica que interpola los datos de los puntos observados.

De donde la interpolación bilineal es una técnica relativamente simple, no tan complicada como el "vecino más cercano", donde la interpolación de píxeles

vacíos se llenan con sólo copiar los píxeles adyacentes, el método bilineal toma los cuatro puntos que están más próximos a las esquinas en diagonal, y sus valores promedios para producir el píxel medio. La interpolación Bi-Cúbica, en cambio, tiene no sólo los cuatro píxeles diagonales más cercanos, sino sus puntos más cercanos también, para un total de 16 pixeles.

III. RESULTADOS

Como resultado de la interpolación bilineal se obtiene una imagen que tiene una mayor cantidad de pixeles por fila y por columna que la imagen original. Esto visualmente da como resultado mayor tamaño de la imagen produciendo un efecto de zoom, y como este zoom se hace mediante una interpolación bilineal, la imagen no pierde tanta cantidad como si se utilizara el método del vecino más próximo. En la imagen (8) e imagen (8) se parecía una comparación entre la imagen original y la imagen interpolada para que pueda notarse la diferencia entre ellas, para este proceso se eligió una imagen de corazón abierto.

Imagen (8). Imagen real antes de hacer el efecto zoom en la interpolacion bilineal con una dimension de 130x82.

Imagen (9). Imagen interpolada bilinealmente con dimensiones 766x486

En cuanto al resultado comparativo entre la imagen original y la imagen interpolada bicubicamente, se obtiene los siguientes resultados apreciados en la imagen (10) y la imagen (11).


4 1 0 01 4 1 00 1 4 00 0 1 4

4


Imagen (10). Imagen real antes de hacer el efecto zoom en la interpolacion Bi-Cúbica con una dimension de 520x325.

Imagen (11). Imagen interpolada Bi-Cubicamente con dimensiones 1040x650.

Imagen (12). Imagen continua en las intersecciones pero no diferenciable por que no toca ningun angulo.

Imagen (13). Imagen de interpolacion del vecino mas cercano.

El hecho de hacer estas comparaciones sobre los resultados en imágenes tanto en la tecnica de interpolacion bilineal y la interpolacion Bi-Cúbica es observar la suavidad de la imagen ya que la interpolación Bi-Cúbica crea curvas más suaves que la interpolación bilineal.

IV. CONCLUSIÓN

Como conclusión es importante mencionar que las ventajas que podemos encontrar en la técnica de interpolación Bi-Cúbica producen menos desvanecimiento de bordes y otros procesos de distorsión que la interpolación bilineal, pero es

computacionalmente más exigente. Se deduce que la interpolación bilineal es una técnica relativamente simple, no es mucho más complicada del término "vecino más cercano", donde la interpolación de píxeles vacíos se llenan con sólo copiar los píxeles adyacentes. Por cada píxel "perdido" (los píxeles que tienen que ser creados para cubrir la imagen) el método bilineal toma los cuatro puntos que están más próximos a las esquinas en diagonal, y sus valores promedios para producir el píxel medio. Por otro lado la interpolación Bi-Cúbica, en cambio, tiene no sólo los cuatro píxeles diagonales más cercanos, sino sus puntos más cercanos también, para un total de 16 pixeles. La diferencia principalmente reside en cómo la imagen es percibida por el espectador, y porque la interpolación Bi-Cúbica hace uso de más datos, los resultados son generalmente más suaves.

La interpolación Bi-Cúbica crea curvas más suaves que la interpolación bilineal y presenta un menor número de píxeles que se destacan como visible deterioro de la calidad aparente de la imagen. De igual forma en el procesamiento de imágenes médicas es necesario cumplir con ciertos entandares para que no se pierda información que puede resultar valiosa para realizar un diagnóstico y este método de interpolación cuenta con ese punto a su favor. Finalmente se puede añadir que los métodos de interpolación se encuentran inmersos sin darnos cuenta en nuestra vida diaria, ya que están diseñados para que puedan ser ejecutados de forma eficiente, y por ello, comúnmente no son percibidos.

Referencias:[1] J. J. Esqueda, L. E. Palafox, “Fundamentos de Procesamiento de Imágenes”, Universidad Autónoma de Baja California.[2] Richard L. Burden, J. Douglas Faires, “Elementos de Métodos Numéricos para Ingeniería”, (Pp.107-850).[3] G. Passariello, F. Mora, “Imágenes Médicas: Adquisición, análisis, procesamiento e interpretación” Universidad Simón Bolívar.[4] Carlos Pérez Gutiérrez, Angel Luis M. Nieto, Casa del Libro Gandhi, “Teledetección: nociones y aplicaciones”.[5] John R. Pierce, A. Michael Noll, “Señales: las ciencias de las comunicaciones”.

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2reporte interpolacion bicubica

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