7/17/2019 integrales por sustitucion trigonometrica UNIVERSIDAD AERONAUTICA EN QUERETQARO

http://slidepdf.com/reader/full/integrales-por-sustitucion-trigonometrica-universidad-aeronautica-en-queretqaro 1/2

ACADEMIA DE CIENCIAS BASICAS

Universidad Aeronautica en Queretaro

Calculo II

Examen Primer Parcial

Nombre del Alumno: Grupo:

Resuelve lo siguiente. Justifica bien tus respuestas y detalla todo el procedimiento de

tus soluciones.

1. Supongamos que queremos resolver la integral

   ba

dx

x2√ 

9 − x2(1)

Recordar el siguiente recuadro donde nos dice que tipo de sustitucion realizar de acuerdo al

interior de la raız que aparezca en el integrando.

Expresión Substitución Identidad

1 

 

tan2

  

 

sec2

 u 

 a tan  

 

2   

 

2

1 sin2  cos2 

u 

 a sin      

2  

 

2

sec2  1 tan2 

u 

 a sec 

     

2   

3 

2

s u2  

a2

s a2  u

2

s a2 

 u2

a

θ 

a2 − u

2

a

u

θ 

u

 a  2  + 

  u  2

a

u

θ 

u2 − a

20   

Triángulo

 

 

Como la raız que aparece en (1) es

√ 

32

− x2

, entonces debemos utilizar la sustitucionx = 3 sin θ

de donde calculamos todos los elementos que necesitamos para nuesta integral, es decir

dx = 3 cos θdθ

x2 = 9 sin2

θ

√ 9 − x2 =

 9 − 9sin2

θ = 

9(1 − sin2θ) =

√ 9cos2 θ = 3 cos θ

7/17/2019 integrales por sustitucion trigonometrica UNIVERSIDAD AERONAUTICA EN QUERETQARO

http://slidepdf.com/reader/full/integrales-por-sustitucion-trigonometrica-universidad-aeronautica-en-queretqaro 2/2

sustituyendo todo lo anterior en nuestra integral tenemos (por ahora no consideramos loslimites de integracion)

   dx

x2√ 

9 − x2=

   3cos θdθ

9sin2θ 3cos θ

= 1

9

   dθ

sin2θ

= 1

9

   1

sin θ

2

dθ = 1

9

   csc2 θdθ  = −

1

9 cot θ

(2)ahora recordar que cot θ =   cat.ady.

cat.op.  y observando el primer triangulo de la figura anterior tenemos

que cot θ =√ 9−x2

x  . Sustituyendo esto en (2) se tiene que

   dx

x2√ 

9 − x2= −

1

9

√ 9 − x2

x

recordando que en realidad nuestra integral era con lımites entonces

   ba

dx

x2√ 

9 − x2= −

1

9

√ 9 − x2

x

b

a

= −1

9

√ 9 − b2

b  −

√ 9 − a2

a

.