integrales, identidades y derivadas

8/17/2019 Integrales, Identidades y Derivadas

1/8

Ingeniería Mecánica – E.P.N.

INTEGRALES DEFINIDAS

( )

( )

es.n por part Integraciovduu.vudv

C a

xarcsen xa

dx

C a x xlna x

dx

C xa xln xa

dx

C arcsen(x) x1

dx

C a x

a xln

2a

1

a x

dx

C xa

xaln

2a

1

xa

dx

C a xarctan

a1

xadx

C arctan(x) x1

dx

C csc(x) x)dxcsc(x)cot(

C sec(x) x)dx sec(x)tan(

C cot(x)(x)dxcsc

C tan(x)(x)dx sec

C cot(x)csc(x)lnC 2

xtanlncsc(x)dx

C tan(x) sec(x)lnC

!

2

xtanln sec(x)dx

C sen(x)lncot(x)dx

C sec(x)lntan(x)dx

C sen(x)cos(x)dx

C cos(x) sen(x)dx

C ln(a)

adxa

C edxe

C 1n

xdx x

C xln x

dx

22

22

22

22

22

2

22

22

22

2

2

2

x x

x x

1nn

→−=

+=−

+−+=−

+++=+

+=−

++−

=−

+−+

=−

+

=

+

+=+

+−=

+=

+−=

+=

+−=+=

++=+

+=

+=

+=

+=

+−=

+=

+=

++

=

+=

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ +

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES

La variable que entra a sustituir tiene como potencia el índice de mayor de lostérminos irracionales.

222)( x " c#x xdxc#x x −=++→++∫

INTEGRALES BINOMIAS

1

( ) $(x) g(x)lnln(%) $(x) %

&(x)

g(x)'

(x)

$(x)

g(x)

(x)&(x)

g(x)

$(x)

g(x) =⇔=

⇔+=


2/8

z


1)n(pdx )#x(a x*1)an(p

1+nnp

1)an(p

)#x(a x,)

1+dx )#x(a x*1)a(+

1)#+n(np

1)a(+

)#x(a x-)

1+npdx )#x(a x*1+np

anp

1+np

)#x(a x)

1+npdx )#x(a x*1)#+(np

1)an(+

1)#+(np

)#x(a x)

" #ax / pn

1+0)

" #xa / n

1+

/ 2) p

pdivisor de s x " / 1) p

&+npdx )#x(a x

1 pn+1 pn1+

pnn+1 pn1+

1 pn+ pn1+

pnn+1 pn1n+

sn

sn

n s

pn+

≠+⇔++

++++

+

+−

≠+⇔++

+++−

+

+

≠++⇔+++

+++

+

≠++⇔+++

+−−

++

+

=+→∈++

=+→∈+

∉

==→∈

∈→+

∫

∫

∫

∫

∫

+++

+++

−+

−++−

−

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

(( )

(( )

( )

n+n)x)dxcos((+n)x)cos((+2

1n(nx)dx sen(+x).se

n+n)x)dx sen((+n)x) sen((+2

1 s(nx)dx sen(+x).co

n+n)x)dxcos((+n)x)cos((+2

1 s(nx)dxcos(+x).co

1(x)csc(x)1 cot (x) sec(x)tan N n(x)dxtan

t 1dt dxt tan(x) + pares donde ndx

(x)cos(x) sen

E3 3 4CI5N46 N 78NCI5NE 595:3565 E

t 1

2dt dx )2.arctan(t x

t 1

t 1 ) cos(x

t 1

2t sen(x)

t 2

x tan

2 xtan1

2 xtan1

) cos(x

2 xtan1

2 x2tan

sen(x)

2222n

2+

n

22

2

2

2

2

2

≠⇔+−−=

≠⇔−++=

≠⇔−++=

−=−=→∈

+=→=→

+=→=⇔

+

−=

+=

=→+

−=

+=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

sec(")#

a xdxa x#

tan(")#

a xdx x#a

sen(")#

a xdx x#a

222

222

222

=→−

=→+

=→−

∫

∫

∫

INTEGRAL DEFINIDA (notación sigma !

2

C H E

V I C

H E V

OJO: hacer el triangulo conrespecto a la sustitución de x.

bxa

222 x#a −


3/8


( )

1)(nni

-

1)1)(2nn(ni

aiai

#iai#i)(ai

ai; ;ai

i; ;i

22n

1i

0

n

1i

2

1n

n

1i

1n

1i

n

1i

n

1i

n

1i

n

1i

n

1i

n

1i

n

1i

+=

++=

+=

±=±

=

=

∑

∑ ∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

=

=

+=

+

=

===

==

==

CALCULO DE AREAS

∫

∫

∫

=

===

+===

=

−=⇒>∈

→=→

∈≥∈−

∈1

2

#

a

t g(?)?@(t)d 4

$(x)?(t) % g(t) x %

etricasones Para+* de $unci

% xr > rsen>) %rcos x

d> .r 2

1 4

aresenadas Pol * en coord

$(x)AdxBg(x) 4 $(x)Ba#Ag(x) si en x

a# g(x) $(x)tre curvasrendida en*4rea co+p

BcdA:x $(x) x

Ba#A:x $(x) x

*si $(x)

);((

LONGITUD DE ARCO DE CUR"A

( )

∫

∫

∫

∫

+=

→+=

→+=

→+=

22

2

1

22

2

1

22

2

)()(

)'(

)'()'(

)('1

d%dx 6

arescoord. Pol d r r 6

a+etricascoord. Par dt % x 6

tangularescoord. ecdx x $ 6

t

t

#

a

θ

θ

θ

"OLUMEN DE UN SÓLIDO DE RE"OLUCION

3

∫ ∫ +=d

c

#

a

$(x)dx $(x)dx 4


4/8


?ori"ontal de un eDealrededord% %? % p F? p

laslas 4rande Metodo dedel eDe %alrededor d% % $

#

a

d

c

→=⇒=

→→=

∫

∫

)()(2....2

)(2

π π

π

4

p

h

w El rectángul !ebe

e"tar paralel al e#e !e

rtac$%n.

MGtodo de las Cáscaras

x =

a.cos(t)y =b.sen(t)

ELIPSE

x = a(tsen(t))y = b(!cos(t))

ELIPSE

r = a(!"cos(&)) → #$%&I'&E


5/8


APLICACIONES DE LA DERI"ADA

Monoton#a$si y * + , es ' en x - y *si y * + , es ( en x - y *

P%ntos Cticos$

Es el cambio de monotonía+ y = * + puntos en donde ,(x) no est/ de0nida.c1ncava ∪2 convexa ∩

y o + , es c1ncava ∪ en x - , *

y * + , es convexa ∩ en x - , *y = * + puntos de in3exi1n en x - , = *4 puntos en donde cambia la

concavidad.

M'imos ) M#nimos$!ra 5orma+ anali6ando y antes y después de un punto critico.

7/x %elativo+ si a ∈ I ⊂ &,

⇒ ,(a) ≥ ,(x) ∀ x ∈ I

7ín %elativo+ si a ∈ I8 ⊂ &, ⇒ ,(b) ≤ ,(x) ∀ x ∈ I8

7/x $bsoluto+ en x = e ∈ &,

⇒ ,(b) ≥ ,(x) ∀ x ∈ &,

7ín $bsoluto+ en x = , ∈ &,

⇒ ,(,) ≤ ,(x) ∀ x ∈ &, 9Por lo tanto para calcular el m/x2 o mín absoluto se debe calcular el

recorrido de la ,unci1n.9$l:;n punto critico de !er orden siempre existir/ un extreme relativo que

al:uno de ellos puede ser extreme absoluto (m/x2 o mín) pero no todoextremo absoluto puede ser extremo relativo.

8da 5orma+ la 8da derivada evaluada en los puntos críticos de !er orden.,(a) * + en x = a + ∃ mín relativo

,(b) * + en x = b + ∃ m/x relativo

As#ntotas$Es una a del centro del plano cartesiano2 lo que si:ni0ca que la :ra0ca y laasíntota tendr/n la misma pendiente.

9 ?erticales+ :eneralmente existen donde en los puntos en donde no estade0nida la ,(x)

ssi+ ±∞=→

)( x $ li+a x

⇒ en x = a ∃ asíntota.

9 'blicuas+ y = mx " b4 a la derec@a si x→"∞2 a la i6quierda si

x→∞

+x x $ li+#

x $ li+ x

x $ li++

x

x x

−=

==

+∞→

+∞→+∞→

)(

)(')(

$ la derec@a4 si m=* ⇒ la asíntota es

@ori6ontal en y=bREGLA DE L*+OPITAL

Sean , y : 8 ,unciones derivables en el mismo intervalo2 si la derivada de ,(x)

y :(x) existen en un mismo punto $ del intervalo tal que :(x)≠ *

)


6/8


∞±

∞±==

==⇒

→

→→

*

*

)(

)(

)('

)('

)(

)(

x g

x $ li+el si+pre Hue

6 x g

x $ li+

x g

x $ li+

a x

a xa x

4 entonces derivas por separado el num. y

denom.Los limites de las ,unciones de las ,ormas indeterminadas+ *.∞2 **2 ∞*2 !∞ se

pueden aplicar también la re:la LAopital siempre que la ,unci1n se lotrans,orme al:ebraicamente y quede de la ,orma *-*2 o ∞-∞

DERI"ADAS DE PARAMETRICAS

dt dx

dt %d

%

n

n=

+


7/8


IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

( )

( )

( )

−

+

=−+

−

+−=

−+

±=±

−

+−=−

−

+=+

−

+=−

−

+=+

−=

+=

+−

=

+=

−=

−=

−=

−=

−=−=−=

=−

+=+

+=−−=+−=−+=+ −=−=−

=+

=+

=+

2tan

2tan

)()(

)()(

2ct

2ct

)c"()c"(

)c"()c"(

;

% x

% x

% sen x sen

% sen x sen

% x % x

% x

% x

%)cos(x)cos(

%) sen(xtan(%)tan(x)

2

% x sen

2

% x2sencos(%)cos(x)

2

% xcos

2

% x2coscos(%)cos(x)

2

% x sen

2

% x2cos sen(%) sen(x)

2

% xcos

2

% x2sen sen(%) sen(x)

sen(x)

cos(x)1

cos(x)1

sen(x)

sen(x)1

cos(x)1

2 xtan

2

cos(x)1

2 xcos

2

cos(x)1

2 x sen

2

tan(x)cot(x)

2cot(x)

1(x)cot cot(2x)

(x)tan1

2tan(x)

tan(2x)

(x)2sen11(x)2cos(x) sen(x)coscos(2x)

(x)2sen(x)cos sen(2x)

%)tan(x)tan( 1

tan(%)tan(x) %)tan(x

%) sen(x)sen( %)cos(x)cos( %)cos(x

%) sen(x)sen( %)cos(x)cos( %)cos(x

%)cos(x)sen( %) sen(x)cos( %) sen(x

%)cos(x)sen( %) sen(x)cos( %) sen(x

sen(%) %) sen( % %)cos(

(x)csc(x)cot 1

(x) sec(x)tan1

1(x)cos(x) sen

2

2

2222

22

22

22

,


8/8

3* 4)


n.log(x) )log(x

log(%)log(x) %

xlog

log(%)log(x)log(x.%)

(a)log

(x)log (x)log

(x).log 1(x)log

1(a)(#).log log (1)log

1(a) x log a

(%)log x %a

n

#

#

a

aa

#aa

a

(x)log

a

x

a

=

−=

+=

=

=

==

==

=⇔=

PRODUCTOS NOTABLES , FACTORI-ACION

nnnnnnn#na##a

nnn#a

nn#naa#a

c# u.vvu donde:v xu xvu xvu xc#xax

#caca#c#ac#a

#a#a#a#a#a

#a#a#a#a

#a#a#a#a

#a##a#aa#a

#a#a#a

#a##aa#a

#a#a#a

+++−−

+−

++=+

==+++=+++=++

+++++=++

++++=+

++−=−

+−+=+

+±+±=±

−+=−

±+±=±

+±=±

−−−− 133221

22

2222

222244

2233

2233

4322344

22

32233

222

...3-2-1

)2)(1(

2-1

)1()(

))((.)(

222)(

)2)(2(

))((

))((

4+4)(

))((

33)(

2)(

&a.ian/s

g&a.os

s/n cos tan

π-B C* D √(C)-8

√(C)-C

π- F √(8)-

8

√(8)-

8

!

π-C B* √(C)-8

D √(C)

12

√3

12

1

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