La integral definidaDesde su origen, la nocin de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los mtodos de medicin de reas subtendidas bajo lneas y superficies curvas. La tcnica de integracin se desarroll sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teoras sobre derivadas y en el clculo diferencial.Concepto de integral definidaLa integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las reas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funcin f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la funcin entre los puntos a y b al rea de la porcin del plano que est limitada por la funcin, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.La integral definida de la funcin entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definidaLa integral definida cumple las siguientes propiedades: Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la funcin f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la funcin es menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado. La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin (es decir, se puede sacar la constante de la integral). Al permutar los lmites de una integral, sta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integracin a trozos):

Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x)g (x), se verifica que:

Ilustracin grfica del concepto de integral definida.Funcin integralConsiderando una funcin f continua en [a, b] y un valor x[a, b], es posible definir una funcin matemtica de la forma:

donde, para no inducir a confusin, se ha modificado la notacin de la variable independiente de x a t. Esta funcin, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre defuncin integralo, tambin,funcin reapues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el rea.

Interpretacin geomtrica de la funcin integral o funcin rea.Teorema fundamental del clculo integralLa relacin entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominadoteorema fundamental del clculo integral, que establece que, dada una funcin f (x), su funcin integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del clculo integral es posible definir un mtodo para calcular la integral definida de una funcin f (x) en un intervalo [a, b], denominadoregla de Barrow: Se busca primero una funcin F (x) que verifique que F (x) = f (x). Se calcula el valor de esta funcin en los extremos del intervalo: F (a) y F (b). El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendr entonces dado por: