“Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso Climático”

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO

DOCENTE: VELASQUEZ HACHA, IGNACIO

ALUMNOS: FARFAN GUTIERREZ, RODRIGO ALONSO

CARRERA: INGENIERIA CIVIL

CURSO: CALCULO II

CUSCO – 2014

INTEGRALES MULTIPLES APLICADAS A LA INGENIERIA CIVIL

PRESENTACION

Tengo el agrado de dirigirme a usted Lic. Ignacio Velásquez Hacha para dar a conocer dicho trabajo, que pretende demostrar y ejemplificar las aplicaciones que tiene las integrales múltiples en la ingeniería civil, dando lugar a un concepto general, para lograr una mejor interpretación del tema.

INTRODUCCION

El uso de integrales ya sean simples dobles o triples es una de las mejores

herramientas matemáticas aplicables en el soporte y análisis teórico de las

diversas áreas de la ingeniería civil como la hidráulica, la ingeniería estructural,

la programación lineal, la toma de decisiones, la estadística, la mecánica de

suelos, la mecánica de sólidos, debido a que mediante estas integrales

lograremos cálculos muy precisos y potencialmente ventajosos para el área de

trabajo en el que se van a aplicar.

APLICACION DE LAS INTEGRALES MULTIPLES EN LA INGENIERIA CIVIL

CONCEPTOS GENERALES:

Si f(x; y; z) está definida sobre un conjunto acotado R formado por todos los puntos tales que a1 ≤ x ≤ b1; y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) y z1 (x; y) ≤ z ≤ z2 (x; y) entonces:

Siempre que ambas integrales existan.

PROPIEDADES:

Siendo S la unión de dos subconjuntos disjuntos S1 y S2

ECUACIONES APLICATIVAS

CONDUCCIÓN DEL CALOR EN UNA BARRA UNIDIMENSIONAL

Consideraremos el problema de la difusión de calor en una barra delgada que se encuentra perfectamente aislada por su superficie lateral.

Si la barra es lo suficientemente delgada como para suponer que la temperatura es constante sobre cualquier sección transversal, el estado del sistema está descrito por una función escalar u = u(t, x), la cual proporciona el valor de la temperatura de la barra al instante t y en la posición longitudinal x.

Supondremos que u(t, x) y todas las otras funciones que utilizaremos son tan regulares como sea necesario para que ciertas expresiones que involucran sus derivadas estén bien definidas.

Es bien sabido que, en un cuerpo térmicamente conductor, el calor fluye desde las zonas de mayor temperatura hacia las de menor temperatura. Más aún, de acuerdo a la ley de Fourier, la rapidez a la cual el calor fluye entre zonas contiguas es proporcional a la diferencia de temperaturas por unidad de longitud, y el factor de proporcionalidad depende de las propiedades conductoras del cuerpo en cuestión.

Así, en el instante t, la rapidez con que el calor Q fluye desde un punto x hacia uno a su derecha, digamos x+δx con δx ≪ 1, puede aproximarse por

Donde k = k(x) > 0 es un coeficiente de conductividad térmica que depende del material del cual está hecho la barra. En el límite se obtiene

Notemos que dQ/dt > 0 cuando ∂u/∂x (t, x) < 0. Esto es consistente pues si ∂u/∂x (t, x) < 0 entonces la temperatura es (localmente) decreciente, de modo que su valor es menor a la derecha del punto x, y por lo tanto el calor fluye hacia la derecha. Análogamente, si ∂u/∂x (t, x) > 0 entonces el valor de la temperatura es mayor a la derecha del punto x, y por lo tanto el calor fluye hacia la izquierda, esto es, dQ/dt < 0.

Sea (x1, x2), con x1 < x2, un intervalo de observación correspondiente a una sección longitudinal de la barra.Sea (t1, t2), con t1 < t2, un intervalo correspondiente a un lapso de tiempo. Como la barra está térmicamente aislada por su superficie lateral, el intercambio de calor sólo ocurre a través de los puntos extremos x1 y x2 del intervalo (x1, x2). En virtud de lo anterior, la cantidad neta de calor Q1 que entra a la sección (x1, x2) en el lapso (t1, t2) está dada por

Pero, usando el teorema fundamental del cálculo, podemos escribir

Y en consecuencia

Al interior de la barra puede haber una fuente de calor, cuya tasa de producción de calor por unidad de tiempo y de longitud está dada por una función F = F(t, x). Por lo tanto, la cantidad neta de calor producida en el segmento (x1, x2) durante el lapso (t1, t2) está dada por

Por otra parte, la cantidad de calor que entra al segmento (x1, x2), junto con el que se produce en su interior, provocará un cambio en la distribución de temperatura sobre dicho segmento en el lapso de tiempo que va de t1 a t2. La cantidad de calor por unidad de longitud necesaria para un cambio δu = u(t2, x) − u(t1, x) de la temperatura en el punto x está dada por

Donde el factor de proporcionalidad c = c(x) > 0 es la capacidad calorífica específica1. Luego, la cantidad de calor total necesaria para el cambio de temperatura en el segmento (x1, x2) es

y éste debe ser igual a la cantidad neta de calor que entra y que se produce en el segmento (x1, x2) durante el lapso (t1, t2), esto es,

Más explícitamente,

De la arbitrariedad de los puntos x1 < x2 y t1 < t2, un argumento clásico de localización2 permite concluir que u = u (t, x) necesariamente satisface la ecuación en derivadas parciales

Si la barra es de material homogéneo, es decir, k(x) = k y c(x) = c se obtiene

Donde α = k/c, f = F/c, y, con el fin de simplificar la notación, hemos utilizado las notaciones

Al coeficiente α > 0 se le llama difusividad térmica del material.

MECANICA DE MATERIALES:

Método de Doble Integración:

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral.

El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:

x = LA→ y = 0

Y, debido al apoyo en ‘B’:

x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’:

x = LA→ y = 0

x = LA → θ =

ANALISIS ESTRUCTURAL

En nuestra propuesta de enfoque estructural funcional del tratamiento del Cálculo Integral, éste será tratado en primera instancia en el desarrollo de la teoría de la Integral Definida, y con posterioridad se irá generalizando dicho enfoque de invariante por el propio estudiantado y se aplicará al desarrollo de las restantes variantes (integral doble. triple, de línea, y de superficie). A continuación describiremos nuestro invariante y la lógica de su aplicación a las distintas variantes descritas.Componentes relativas al enfoque estructural-funcional de la teoria de integración:

1. Definición de integral.2. Teorema de Newton - Leibnitz.3. Teorema sobre el cambio de variable en la integral.

Después de tratada la teoría de la integral definida, se va generalizando y aplicando el anterior sistema aquí obtenido, a las restantes variantes.Este proceso no lo mostraremos en la primera componente del sistema (definición de integral), pues las ideas que permiten dicho proceso de generalización descansan en el enfoque estructural - funcional del concepto general de integral que presenta sus respectivas componentes.

Aplicación del invariante a la variante de las Integrales Múltiples.Se debe llevar a los estudiantes a generalizar el TEOREMA DE NEWTON-LEIBNITZ que en esencia refiere que:

Siendo F(x) una primitiva de f(x) (la derivada de F(x) es f(x)).Para ello se referirá que al pasar a la teoría bidimensional se produce un cambio cuantitativo que origina un cambio cualitativo, se produce una negación dialéctica, se vuelve sobre el mismo punto, pero sobre un nivel cualitativamente superior. Se aprovechará entonces la analogía con la derivación, en la cual la

expresión  se determina calculando la derivada parcial respecto a y considerando a x constante, y derivando con posterioridad respecto a x la expresión así obtenida. Lo anterior conduce de forma natural al concepto de integral iterada de segundo orden (se integra primero respecto a una variable considerando la otra constante y después respecto a la restante), quedando sólo por precisar los límites de integración en que se debe evaluar dicha integral iterada.

Tomando una región de integración regular respecto a y:

Y teniendo en cuenta que los puntos a y b en que se evalúa la primitiva en el Teorema de Newton - Leibnitz, son los extremos de la región de integración o lo que es lo mismo, estos puntos constituyen la frontera de dicha región, resultaría natural evaluar la integral iterada en la frontera de la región de integración. Basado en la heurística anterior, que debe ser desarrollada a través del trabajo grupal estudiantil, en la que el docente jugaría el rol de facilitador, se obtiene el Método de cálculo de la integral doble para regiones regulares respecto a la variable y:

De forma análoga se obtiene la expresión equivalente para regiones regulares con respecto a x. El cálculo de integrales sobre regiones que no sean regulares respecto a ninguna de las variables se lleva a cabo tomando una partición de dicho región en subregiones regulares respecto a x o respecto a y, aplicándose con posterioridad la propiedad de aditividad de la integral con respecto a la región de integración. Los métodos de cálculo de la integral triple son análogos a los descritos para la integral doble.

El teorema del cambio de variable (tercera componente del enfoque estructural funcional de la teoría de integración) debe ser generalizado aquí también, de la integral definida a la integración múltiple. El señalado teorema en el caso de la integral definida en esencia refiere que:

Si pretendemos en la integral doble introducir el cambio de

variable  e inducir en este caso su expresión,

debemos hallar la forma del elemento matemático que generalice a  , siendo natural en este caso considerar como tal al módulo del siguiente jacobiano (determinante de la matriz jacobiana):

Este tipo de generalización fue vista ya por el estudiante cuando se estudió el proceso de extensión de la derivada de una función definida de forma implícita por una ecuación, a la derivada parcial de una función definida de forma implícita por un sistema de ecuaciones, en la cual, las derivadas ordinarias son sustituidas por los respectivos jacobianos). En consecuencia, el teorema sobre la transformación de coordenadas en la integral doble, en esencia nos aportaría la siguiente expresión:

Con la cual, con posterioridad el estudiantado podrá deducir la expresión de la integral al realizar cambio de coordenadas a polares, las que deben ser introducidas apoyados en preceptos geométricos. El tratamiento del cambio de variables en la integral triple es análogo al de la integral doble, y aquí, de forma similar, los alumnos podrán inferir, con la ayuda mínima indispensable del profesor, la expresión de la integral triple al realizar los respectivos cambios de coordenadas a cilíndricas y esféricas, también introducidas por vías geométricas.

MOMENTOS ESTÁTICOS

El momento estático de una región B tridimensional respecto a los planos coordenados xy, yz y xz, se definen de la siguiente manera:

Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función ρ: R3 →R, la cual es continua ∀(x, y,z)∈B ,entonces los momentos estáticos alrededor de los planos xy, yz y xz, denotados M xy , M y yz ,M xz , respectivamente, se obtienen a partir de las siguientes expresiones:

MOMENTOS DE INERCIA

Los momentos de inercia del sólido B respecto a los planos coordenados, se obtienen como sigue:

MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS

Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función ρ: R3 →R, la cual es continua ∀( x, y,z)∈B , entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados, denotados IX , IY e IZ se obtienen a partir de:

El momento polar de inercia, I0, es:

BIBLIOGRAFIA

Dirección Web:http://calculoavanzado.usach.cl/Apunte/Libro/Calculo%20Avanzado%20USACH.pdfCálculo Avanzado y Aplicaciones.   4 Marzo 2009 Miguel Martínez, Carlos Silva, Emilio Villalobos

Dirección Web:http://www.uhu.es/sixto.romero/EDP_libro.pdfIntroducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP’s). 2001. Sixto Romero, Francisco J. Moreno, Isabel M. Rodríguez

Dirección Web:http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdfIntegrales Múltiples y sus aplicaciones .Geraldine Cisneros

Dirección Web:http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_MultipleWeisstein, Eric W . « Partial Derivative »   (en inglés).   MathWorld .   Wolfram Research . Wikipedia.