ANÁLISIS MATEMÁTICO II

F.Q

.H

Horario A- B

INTEGRAL DEFINIDA

(2015- II)

UNIVERSIDAD SAN LUIS GONZAGA

DE ICA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

1

INTEGRAL DEFINIDA Sea R la región definida por la gráfica de la función y = f(x), el eje X y las rectas

verticales 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏, siendo f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo 𝑎; 𝑏 .

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2

Consideremos una partición 𝑃 En el intervalo 𝑎; 𝑏 en n sub intervalos

talque 𝑃 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2… . 𝑥𝑛

Estos sub intervalos original rectángulos inscritos en la región R de longitud

de base ∆𝑥 y cuyos puntos extremo son:

𝑎 = 𝑥0, 𝑥1 , 𝑥2 , … . ……𝑥𝑛= 𝑏 / 𝑥0 < 𝑥1, <, ………… .< 𝑥𝑛 Las longitudes de cada sub intervalos son:

∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛 y 𝑥𝑖= 𝑎 + 𝑖∆𝑥

a b

INTEGRAL DEFINIDA

Sea f una función continua en un 𝑎; 𝑏 y

consideremos n partición del intervalo entonces:

f

∆𝑥= 𝑏−𝑎

𝑛

A≈ ∆𝑥. 𝑓 𝑥1 + ∆𝑥. 𝑓 𝑥2 + ∆𝑓 𝑥3 +⋯ .+∆𝑥𝑓(𝑥𝑛)

∆𝑥 𝑥𝑖

= ∆𝑥𝑓(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖 = a + i∆𝑥

El área de cada rectángulo es: 𝑓 𝑥1 . ∆𝑥 y la suma de todas las áreas es:

INTEGRAL DEFINIDA

Sea f una función continua en un intervalo 𝑎; 𝑏 y f(x) ≥ 0.

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4

DEFINICIÓN. 1-

Se dice que f es integrable en el intervalo cerrado 𝑎; 𝑏 si existe un

numero real A tal que

∆𝑥𝑓(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

lim𝑛→+∞

= 𝑨

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛 Donde 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥

Esta suma se conoce como la SUMA DE RIEMANN

En honor al matemático BERNHARD RIEMANN (1826-1866)

INTEGRAL DEFINIDA

Sea f una función continua en un intervalo 𝑎; 𝑏 y f(x) ≥ 0.

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5

DEFINICIÓN 2.-

la integral definida de la función f de a a b

Esta dada por : 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = lim𝑛→+∞

∆𝑥𝑓(𝑥𝑖)𝑛

𝑖=1

Si el limite existe

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

La integral definida de la función real f continua en el intervalo 𝑎; 𝑏 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Se interpreta geométricamente como la medida del área de la región plana R

limitada por la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≥ 0 el eje X y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏.

NOTA La integral definida 𝑓(𝑦)

𝑑

𝑐𝑑𝑦=A(R)

región plana R esta limitada por la curva x = 𝑓(𝑦) ≥ 0 el eje Y y las rectas

horizontales y= 𝑐 𝑦 𝑦 = d.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

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6

3 rectángulos de base iguales

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

3

𝐴 ≈ 𝑓(𝑥1)∆𝑥 + 𝑓(𝑥2)∆𝑥 + 𝑓(𝑥3)∆𝑥

n rectángulos de base iguales

b= ∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛

𝐴 ≈ ∆𝑥𝑓(𝑥1) + ∆𝑥𝑓(𝑥2) + ⋯+ ∆𝑥𝑓(𝑥𝑛)

𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥

𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥

𝑛

𝑖=1

𝐴 ≈

SUMA DE RIEMANN

𝐴 ≈ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥

3

𝑖=1

a b

INTEGRAL DEFINIDA Sea f una función continua en un 𝑎; 𝑏 y consideremos n partición tan

fina como se requiera cuando 𝑛 →→ ∞

f

∆𝑥=𝑏−𝑎

𝑛

A≈ ∆𝑥. 𝑓 𝑥1 + ∆𝑥. 𝑓 𝑥2 + ∆𝑓 𝑥3 +⋯ .+∆𝑥𝑓 𝑥𝑛 +⋯

∆𝑥 𝑥𝑖

= lim𝑛→∞ (

𝑏−𝑎

𝑛)𝑓(𝑎 + 𝑖∆𝑥)𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖 = a + i∆𝑥

………..

El área de la región que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos.

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.H

8

FORMULAS MAS USUALES DE

SUMA

𝑐𝑓 𝑖 = 𝑐 𝑓(𝑖)

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1.-

𝑐 = 𝑐𝑛

𝑛

𝑖=1

2.-

𝑖 =𝑛(𝑛 + 1)

2

𝑛

𝑖=1

3.-

𝑖2 =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

𝑛

𝑖=1

4.-

𝑖3 = 𝑛2(𝑛 + 1)2

4

𝑛

𝑖=1

5.-

𝑖4 =𝑛(𝑛 + 1)(6𝑛3 + 9𝑛2 + 𝑛 − 1

30

𝑛

𝑖=1

6.-

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9

Exprese el lim𝑛→∞

2

𝑛4 12𝑘2 + 𝑛2

2𝑘 4𝑘2+𝑛2

𝑛𝑛𝑘=1 como la integral definida de una

función en el intervalo 0,2 y luego calcule la integral obtenida.

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10

EJERCICIOS

1.-

F.Q

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11

F.Q

.H

12

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL

CALCULO

Sea f una función continua en un intervalo

𝑎; 𝑏 𝑦 𝐺 𝑥 una función definida por:

𝐺 𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑥

𝑎

𝑑𝑡 ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 → 𝐺′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏

OBSERVACIÓN

1.

2.

3.

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13

Ejemplo Hallar 𝐺′(𝑥) en cada caso

𝐺 𝑥 = 𝑡6

1 + 𝑡4

𝑥2

𝑥3

𝑑𝑡 𝐺 𝑥 = 𝑡2 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

1−𝑥2

cos (𝑥)

𝑑𝑡

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14

Si𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 𝑡2 𝑑𝑥 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑓′𝑥2

𝑥1

Ejemplo

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Sea f una función continua en un intervalo 𝑎; 𝑏 y G es una

antiderivada de f ∀ 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏

F.Q

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15

)()()()( aGbGxGdxxfb

a

b

a

entonces

F.Q

.H

16

Ejemplo Halle explícitamente la función f, si la función derivada 𝑓′ es

continua para 𝑥 ≥ 1 y 𝑓 𝑥 = 1

𝑓 𝑡 1+𝑡2𝑥2

1𝑑𝑡

F.Q

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17

PROPIEDADES ELEMENTALES DE LAS

INTEGRALES DEFINIDAS

Sea f una función continua en un intervalo 𝑎; 𝑏 .

PROPIEDAD 1: Integral de una función constante

Si k es una constante, → 𝑘𝑏

𝑎𝑑𝑥 = 𝑘(𝑏 − 𝑎)

PROPIEDAD 2: Integral del producto de una constante por una función.

𝑘𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

PROPIEDAD 3: f y g son funciones continuas en el 𝑎; 𝑏 .

𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

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.H

18

PROPIEDAD 4 Descomposición de una Integral Definida

PROPIEDAD 5:Monotonia de la integral definida.

PROPIEDAD 6: f y g son funciones continuas en el 𝑎; 𝑏 𝑦 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ 𝑔(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Sea f una función continua en un intervalo 𝑎; 𝑏 𝑦 c una constanta que ∈ 𝑎; 𝑏

𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)

𝑐

𝑎

𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑐

𝑑𝑥

1.- Sea f una función continua en un intervalo 𝑎; 𝑏 y f(x) ≥ 0.

→ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≥ 0

2.- Sea f una función continua en un intervalo 𝑎; 𝑏 y f(x) ≤ 0. → 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ 0

F.Q

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19

PROPIEDAD 7: Acotación de la Integral Definida

PROPIEDAD 8: Teorema del valor medio para integrales definidas.

PROPIEDAD 9:: si f es una función continua en el −𝑎; 𝑎

1.- 𝑓(𝑥)𝑎

−𝑎𝑑𝑥 = 2 𝑓(𝑥)

𝑎

0𝑑𝑥 si f es una función par

Sea f una función continua en un intervalo 𝑎; 𝑏 𝑦 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥

𝑐

𝑎

𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

Sea f una función continua en un intervalo 𝑎; 𝑏 entonces existe c ∈ 𝑎; 𝑏 tal

que:

𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎)

2.- 𝑓(𝑥)𝑎

−𝑎𝑑𝑥 = 0 si f es una función impar

Donde 𝒇 𝒄 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐.

F.Q

.H

20

Ejemplos:

F.Q

.H

21

Ejemplo:

F.Q

.H

22

Ejemplo

F.Q

.H

23

Ejemplo

F.Q

.H

24

Ejemplo

F.Q

.H

25

MÉTODO DEL CAMBIO DE VARIABLE PARA

INTEGRAL DEFINIDA

Sea g una función derivable en un intervalo 𝑎; 𝑏 Con

derivada de g continua en 𝑎; 𝑏 y f una función continua

en un intervalo 𝑎; 𝑏 donde el 𝑅𝑎𝑛(𝑔)∁ 𝑎; 𝑏 entonces:

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑧 𝑑𝑧𝑔(𝑏)

𝑔(𝑎)

𝑏

𝑎

Donde

𝑧 = 𝑔(𝑥)

𝑑𝑧 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥

F.Q

.H

Ejemplos:

F.Q

.H

Ejemplos:

F.Q

.H

28

Ejemplo Si 𝑓 𝑥4

1𝑑𝑥 = 21 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑓

1−𝑥

2

−1

−7𝑑𝑥

29

Ejercicios

F.Q

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30

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES PARA

INTEGRAL DEFINIDA

Sea f una función c en un continua en el intervalo 𝑎; 𝑏 y 𝑢 𝑦 𝑣 funciones derivables entonces:

Donde

b

a

b

a

b

a

vduvudxxf .)(

F.Q

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31

Ejemplo

F.Q

.H

32

Ejemplo

F.Q

.H

33

Ejemplo

F.Q

.H

34

Ejemplo

F.Q

.H

35

Ejemplo

F.Q

.H

36

Ejemplo

F.Q

.H

37

Ejemplo

F.Q

.H

38

Ejemplo Hallar las constantes a y b si 𝐼𝑛 = 𝑠𝑒𝑐

𝑛 𝑥𝜋

40

𝑑𝑥 tal que

𝐼𝑛 = 𝑎 + 𝑏𝐼𝑛−2

F.Q

.H

39

Ejemplo Sean dos funciones con segunda derivadas continuas tales que 𝑓 0 =𝑔 0 = 0 y 𝑓 1 = 𝑔 1 = 0.

Pruebe que 𝑓 𝑥 𝑔′′ 𝑥1

0𝑑𝑥 = 𝑓′′ 𝑥 𝑔 𝑥

1

0𝑑𝑥

F.Q

.H

40

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

ÁREA DE REGIONES PLANAS

CASO 1

Sea R la región limitada por la gráfica de

la función y = f(x), el eje X y las rectas

𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏, siendo f(x) ≥ 0 y f

continua en el intervalo 𝑎; 𝑏 .

( )

b

a

A f x dx

CASO 2

Sea R la región limitada por la gráfica de la

función y = f(x), el eje X y las rectas

𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏, siendo f(x) ≤ 0 y f continua en

el intervalo 𝑎; 𝑏 .

b

a

dxxfA )(

F.Q

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41

ÁREA DE REGIONES PLANAS

CASO 3

Sea R la región limitada por la gráfica de

la función x = f(y), el eje Y y las rectas

𝑥 = 𝑐 𝑦 𝑥 = 𝑑.

CASO 4

d

c

dyyfA )(

X

Y

O

f( y )

c

d

El área de la región R limitada por las

rectas x = a x = b , y las graficas

de las funciones f y g ; ( g( x ) f( x ) )

f( x )

g( x ) a b

A

[ ( ) ( )]

b

a

A f x g x dx

CASO 5 :

El área de la región R limitada por las graficas de las funciones

𝒙 = 𝒇(𝒚) , 𝒙 = 𝒈 𝒚 y las rectas y = c , y = d

X

Y

O

f( y ) g( y )

c

d

A

[ ( ) ( )]

d

c

A f y g y dy

F.Q

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43

3. Hallar las abscisas (o las ordenadas según sea el caso) de

los puntos de intersección necesarios entre las curvas.

PASOS PARA HALLAR EL ÁREA DE UNA REGIÓN

PLANA LIMITADA POR CURVAS

1. Graficar las curvas involucradas y delimitar la región

cuya área se desea determinar.

2. Escoger la variable respecto de la cual se va a integrar,

procurando que el proceso sea lo más sencillo posible.

4. Plantear las integrales según lo explicado en la idea

central, tantas veces como requiera el caso..

. 5. Calcular las integrales.

Calcular el área de la figura limitada por la curvas

Ejemplo

𝑦 =1

𝑥2+1 ; 𝑦 =

𝑥2

2

solución

1

dx

1

𝑥2+1 =𝑥2

2

2 = 𝑥4 + 𝑥2

𝑥4 + 𝑥2 − 2 = 0

(𝑥2−1)(𝑥2+2) = 0

𝑥 = 1 𝑜 𝑥 = −1

1

1

22)

2

1

1( dx

xx

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45

Ejemplo Calcular el área de la región limitada por la curva 𝑦 = 𝑥 y la recta 𝑦 + 𝑥 = 2.; x=0

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46

Ejemplo Calcular el área de la región limitada por la parábola 𝑦 =𝑥2

2 y la grafica

de f si 𝑓′ 𝑥 =−2𝑥

1+𝑥2 2 𝑦 𝑓 0 = 1 .

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47

Ejemplo Si el área limitada por la curva 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 , 𝑦 = 𝑎𝑥 es 36𝑢2. Hallar el valor de a

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48

Ejemplo Calcular el área de la región limitada por la parábola 𝑦 = 6 + 4𝑥 − 𝑥2 y la recta 𝑦 = 2𝑥 − 2.