institutotecnolÓgic oy de estudios superioresd …

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

ESCUELA DE GRADUADOS

APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS NO-LINEALES DE OPTI-MIZACIÓN EN SISTEMAS DE POTENCIA.

TESIS

presentada como requisito parcial para optar a l grado académico de

MAESTRO EN CIENCIAS Especialidad en Potencia.

por

Fernando Gómez Gómez

1970

A G R A D E C I M I E N T O

El autor agradece l a magnífica asesoría y valiosa

cooperación del Dr. Mayer Sasson en l a realización

de este trabajo. Igualmente a l Departamento de

Ingeniería Industrial y a l Centro Electrónico de

Cálculo del I T E S M por l a prestación de sus

servicios. A l a señorita Amanda Seceñas por su ex

celente trabajo de mecanografía.

A mis padres

Se investiga un método de solución a los problemas de "Despacho

Económico de Potencia Real" y "Despacho Económico de Potencia Real y Reac-

t i v a " , propuesto originalmente por G. Dauphin, D. Feingold y G. Sphon

(Ref. 5, Cap. I ) . E l método consiste en un proceso iterativo en e l que l a

aproximación a l a solución se hace por l a minimización de una función l i -

neal en cada paso, sujeta a restricciones lineales y no lineales. Se pre-

sentan los conceptos matemáticos generales y su aplicación a l problema en

cuestión. Se escribieron programas para computadora de carácter experi-

mental. Las pruebas realizadas sobre ejemplos específicos dieron resulta-

dos satisfactorios. Las características de convergencia del método son ha-

lagadoras y lo hacen comparable con otros métodos suficientemente experi-

mentados. Con los procedimientos computacionales empleados se requiere

gran capacidad de memoria, por lo tanto se recomienda e l uso de procesos de

cálculo optimizados para uso eficiente de l a computadora.

RESUMEN

Resumen v

Lista de Símbolos v i i i

I. INTRODUCCIÓN 1

I I . MATEMÁTICA DEL PROBLEMA

2.1 Problema Simplificado 3

2.1.1 Linealización 4 2.1.2 Problema Lineal 5

2.1.3 Solución Conjunta 5

2.2 Problema General 6

2.2.1 Linealización 7 2.2.2 Problema Lineal 8 2.2.3 Solución Conjunta 9

I I I . ECUACIONES DEL SISTEMA

3.1 Ecuaciones Fundamentales 10 3.2 Estudio de Flujos 11 3.3 Características de l a Matriz Jacobiana 12

3.3.1 Relación de Compatibilidad 13

IV. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

4.1 Despacho de Potencia Real 14 4.2 Despacho de Potencia Real y Reactiva 15 4.3 Interpretación de los Planteamientos Teórico y Práctico 15

V. MÉTODO DE SOLUCIÓN

5.1, Problema Simplificado 17

5.1.1 Fundamento Matemático 17 5.1.2 Algoritmo de Solución 19

5.2 Problema General 22

5.2.1 Relación de Compatibilidad 22 5.2.2 Fundamento Matemático 25 5.2.3 Aleoritmo de Solución 27

C O N T E N I D O

VI. PROGRAMA PARA COMPUTADORA

6.1 Características del Programa 31

6.1.1 Información 31 6.1.2 Matriz Y-Bus 31 6.1.3 Estudio de Flujos 31 6.1.4 Vector Característico 32 6.1.5 Programación Lineal 32

6.2 Diagramas de Flujo 33

6.3 Variables del Programa 33

VII. APLICACIÓN Y RESULTADOS

Ejemplo 1. 35 Prueba de Optimalidad 37

Ejemplo 2. 40 Ejemplo 3. 42

VIII. CONCLUISIONES Y RECOMENDACIONES

8.1 Características de Convergencia 44 8.2 Selección de Variables para e l Programa de Programación Lineal 44 8.3 Detección de Incompatibilidades 45 8.4 Nodo "Slack" 45 8.5 Otras Aplicaciones 46

APENDICES

I. LA MATRIZ JACOB LANA ES SINGULAR 47

I I . ÁLGEBRA LINEAL 48

I I I . PROGRAMACIÓN LINEAL 51

111.1 Programación Lineal 51

111.1.1 Planteamiento del Problema 51 111.1.2 Propiedades de Una Solución a l Problema General de

Programación Lineal 52 111.1.3 Procedimiento Simplex 53 111.1.4 Procedimiento Computacional 55 111.1.5 Desigualdades 56 111.1.6 No Restricción de No Negatividad 56 111.1.7 Bases A r t i f i c i a l e s 57

111.2 Normalización del Problema 58

111.2.1 Función Objetivo 58 111.2.2 Restricciones 59 111.2.3 Coeficientes de l a Función Objetivo 60 111.2.4 Vector de Términos Independientes 62

XV DIAGRAMAS DE FLUJO Y PROGRAMA 63

Lista de Símbolos

a costo de carga ligera

b costo diferencial

C costo total

E voltaje

EMAX límites superior de voltaje

EMIN límite inferior de voltaje

F función de costo

6 conjunto de nodos generadores

R conjunto de nodos con restricción de voltaje, factor de corrección

n,N número total de nodos del sistema

N6 número de nodos generadores

NK número de nodos con restricción de voltaje

P potencia real calculada

PG potencia real generada

PL potencia real de carga

PMAX límite superior de potencia real

PMIN límite inferior de potencia real.

PH = PG-PL potencia real neta

Q potencia reactiva calculada

QG potencia reactiva generada

QL potencia reactiva de carga

QMAX límite superior de potencia reactiva

QMIN límite inferior de potencia reactiva

QN = QG-QL potencia reactiva neta

Y admitancia

δ ángulo del voltaje

θ ángulo de l a admitancia.

X. INTRODUCCIÓN

El incremento actual en e l tamaño de los sistemas eléctricos de

potencia - generación, transmisión y consumo - acentúa l a necesidad de o-

perarlos en condiciones óptimas de calidad con e l menor costo posible. Los

métodos de cálculo tradicionales que util i z a n fórmulas aproximadas1 ya no

son adecuados y es evidente l a necesidad de emplear técnicas más precisas.

En éste sentido, y gracias a l advenimiento de l a computadora d i g i t a l , se

ha intensificado l a investigación de métodos de solución a l problema, re-

curriendo a las técnicas matemáticas antiguas y modernas en e l campo dé l a

optimización a,a, 4.

En e l año de 1967 G. Dauphin, D. Feingold y G. Sphon5 presenta-

ron un escrito titulado "Methods of Optimizing the Production of Generating

Stations of a Power Network" en e l cual se expone una teoría sobre l a solu-

ción de problemas en sistemas de potencia basada en procedimientos de opti-

mización de problemas lineales. Desde e l punto de vista teórico e l método

es atractivo, sin embargo, no se tenía conocimiento de su comportamiento

real.

El objeto principal de este trabajo es e l de investigar e l método

mencionado y probar su aplicación a los problemas de "Despacho Económico de

Potencia Real" y "Despacho Económico de Potencia Real y Reactiva", para ad-

quir i r experiencia en su uso y establecer bases de comparación con otros mé-

todos. En e l capitulo I I se plantea e l problema en términos matemáticos ge-

nerales y se dan las bases para l a solución. En e l capitulo I I I se presenta

un resumen de las ecuaciones del comportamiento eléctrico de una red.

-2-

Las teorías y procedimiento del capitulo I I se desarrollan en

términos del problema real en los capítulos IV y V y se exponen las ca-

racterísticas particulares del mismo. Una descripción sintetizada de los

programas para computadora utilizados en l a investigación se da en e l ca-

pítulo VI. En e l capítulo VII se reporta un extracto representativo de

los resultados obtenidos. Las conclusiones y recomendaciones derivadas

del trabajo se presentan en e l capítulo VIII. En e l apéndice I se hace

l a demostración de una característica importante de las ecuaciones del

sistema. Finalmente los apéndices I I y I I I incluyen algunos conceptos

básicos de álgebra matricial y programación li n e a l . E l último es parti-

cularmente importante porque en él se muestra l a adaptación del problema

linea l que se presenta en e l curso de l a solución,a l a forma típica de ur

problema de programación l i n e a l .

REFERENCIAS

1. L.K. Kirchmayer, Economic Operation of Power Systems. New York, J . Wiley, 1958.

2. J.F. Dopazo, O.A. K l i t i n , G.W. Stagg, M. Watson, "An Optimization Technique for Real and Reactive Power Allocation," PROC. IEEE, Vol. 55, pp. 1877 - 1885, Nov. 1967.

3. H.W. Dommel, W.F. Tinney, "Optimal Power Flow Solutions," TRANS. IEEE, Vol. PAS-87, pp. 1866-1876, Oct. 1968.

4. A.M. Sasson, "Nonlinear programming solutions for the load flow, minimum loss, and economic dispatching problems," Ibid, Vol. PAS-88, pp. 399-409, 1969.

5. G. Dauphin, D. Feingold, G. Sphon,"Methods of optimizing the produc-tion of generating stations of a power network," PROC. PICA, Conf. Ree, Pittsburgh, Pa. pp. 133-140, May. 1967.

II. MATEMATICA PEL PROBLEMA

Las ecuaciones que rigen e l comportamiento eléctrico de un siste-

ma de potencia son del tipo no l i n e a l . El método de optimización que se

describe alterna l a solución de estas ecuaciones con l a minimización de una

función l i n e a l . En e l problema l i n e a l , sin embargo, se involucra e l efecto

de l a no linealidad por medio de las llamadas en e l texto relaciones de com-

patibilidad. En este capítulo se presenta l a formulación y solución en tér-

minos matemáticos generales. En e l capítulo IV se formulan los problemas en

l a terminología normalmente utilizada en Ingeniería Eléctrica. Allá se dan

las explicaciones adicionales sobre l a correspondencia e interpretación de

los planteamientos teórico y práctico. El "Despacho de Potencia Real" y e l

"Despacho de Potencia Real y Reactiva" se tratan por separado con los nom-

bres de "Problema simplificado" y "Problema general". En los capítulos s i -

guientes se aplican los conceptos y procedimientos aquí expresados a los

problemas de optimización en sistemas de potencia.

2.1 Problema Simplificado

Consiste en minimizar l a función de las variables x¿ :

(2.1)

sujeto a las restricciones lineales:

y satisfaciendo las ecuaciones no lineales:

(2.2)

donde

-3-

-4-

2 " » za» • • •» zn>

Y - (y a, y a, y m)

C — (*x » "a» • • • » ^n» wx * w a» • • • » wm^

j "1» •••» n+m

Además se tiene que no todas las ecuaciones (2.2) son independientes, es de-

c i r , no se puede asignar valor arbitrario a todas las Cj.

2.1.1 Linealización

Si se mantienen constantes las i - 1 , m, y se linealizan

las primeras n restricciones (2.2) alrededor de un punto de operación se

tiene e l siguiente conjunto de ecuaciones lineales.

j , 1-1, n

La matriz de coeficientes (Jacobiano) de éste sistema de ecuacio-

nes es singular. Como se explica en e l apéndice I I , para que un sistema

t a l tenga solución se debe cumplir l a relación de compatibilidad:

(2.3)

Las \¿ son las componentes del vector característico asociado con l a raíz

cero del Jacobiano transpuesto.

Con 'variaciones £ x¿ dadas, l a función f varía en

(2.4)

-5-

Restando (2.3) de (2.4) se obtiene

(2.5)

Por l a minimizaciÓn de £f puede llegar a encontarse un nuevo valor de £

menor que e l anterior. Has adelante se presenta e l algoritmo de solución.

2.1.2 Problema lineal

E l problema line a l consiste entonces en

minimizar

sujeto a

y

2.1.3 Solución conjunta

El procedimiento iterativo se puede sintetizar en las siguientes

etapas t

1) Asignar valores arbitrarios a C j , j " l , ..., n+m, j j * l . Hacer K»l

y calcular £.

2) Resolver las ecuaciones gj (Y»Z) " C j , j"2 n+m y evaluar

q - *L - gx Of,Z)

3) Evaluar l a matriz Jacoblana y e l vector característico.

4) Resolver e l problema de programación li n e a l para obtener

1-1, ..., n

-6-

5) Calcular los nuevos valores

c i nuevo " * i nuevo " x i viejo + KA xi» 1 - 2» •••» n

e (una tolerancia), i - 1 , ..., n, solución óptima

6) Resolver las ecuaciones gj(Y,Z) • Cy j"2, n+m y evaluar

°x nuevo " *x n u e v o " % (Y,Z)

7) Bvaluaf f n u e v < ) . Si £ n u e v 0 > £ v l e j 0 , hacer K - K/2 y volver a l

paso 5). S i ¿nuevo < fviejo» regresar a l a etapa 3)

Explicación. con las etapas 1) y 2) se obtiene una solución i n i c i a l . La

solución del problema de programación lineal de l a etapa 4) suministra un

conjunto de correcciones A x ¿ . No se puede aplicar todas por l a no inde-

pendencia de las ecuaciones g¿. La A * i no se tiene en cuenta. En l a e-

tapa 6) se calcula e l valor de n u e v o * Si debido a l a no linealidad re-

sulta que f

n u e v o > ¿viejo» 8 6 reduce e l valor de K y se repite e l proceso

desde l a etapa 5). Cuando para cualquier valor de K se llega a que

..., n, l a solución nueva coincide con l a anterior y ya

no es posible reducir más f, luego esta es l a sblución óptima.

2.2 Problema general

Minimizar

con las restricciones lineales

j"*l» . • • » n*hn

j " l i • • • t m

-7-

y las restricciones no lineales

gj Or.z) - Cj , j—1, • • •, n+m

2.2.1 Lineallzación

Linealizando alrededor del punto de operación resulta e l siguien-

te sistema de ecuaciones lineales,

<2.6)

El Jacobiano es matriz singular, por lo tanto debe cumplirse la relación de

compatibilidad

(2.7)

donde (X,u) es e l vector característico (n+m componentes) de raíz cero del

Jacobiano transpuesto. En e l problema simplificado las y¿ permanecieron

constantes pero- ahora van a ajustarse dentro de ciertos límites. Como se

verá más adelante, de l a solución del problema lineal se obtiene AYp»

p-1, m. Con Ay^ dado, l a correspondiente ecuación en (2.6) se puede

eliminar» resultando e l siguiente sistema l i n e a l .

j " l , ..., n+m,

j^n+k

1*1, ..., n

p»l, ..., m,

P1*k

-8

El superíndice (k) significa que e l Jacobiano original se ha reducido en e l

renglón y columna (n+k). La nueva matriz sigue siendo singular, así que l a

relación de compatibilidad exige que

(2.8)

donde es e l vector característico (n+m-1 componentes) de raíz

cero del Jacobiano reducido transpuesto.

Para cada k-1 m habrá una relación de compatibilidad diferente, además

de l a expresada por (2.7).

Sumando l a ecuación (2.7) con las m ecuaciones (2.8) se tiene

Con variaciones dadas ^w, ^y, l a variación en f se puede expresar como

2.2.2 Problema lineal

.El problema lineal en este caso consiste en

minimizar A f " (ec. 2.9)

Sujeto a l a restricción (2.7) y las m restricciones (2.8)

Además de las restricciones de desigualdad

j "1, •.., n+m

i " l , ..., m

Es' importante observar que en l a expresión para £f, las AS son funciones

lineales de las

-9-

2.2.3 Solución conjunta

A continuación se indica sintéticamente e l procedimiento a seguir

en l a solución del problema general,

1) Asignar valores arbitrarios a Cj, j«l, ..., n+m, j j * l , n+1 y a y^,

i-1 , ..., m. Hacer K-l y calcular £

2) Resolver las ecuaciones gj(Y,Z) • C j , j»l, n+m, j j * l , n+1 y evaluar

Cx - * « gx (Y,Z); C n 4 l - *k - g n 4 i (Y,Z)

3) Evaluar l a matriz Jacobiana y los m+1 vectores característicos.

4) Resolver e l problema de programación lineal para encontrar,

5) Aplicar correcciones solamente a aquellos términos "C" y "y1' 1 u e 1* * n~

dependencia de las ecuaciones no lineales permita.

c j nuevo " C J viejo

6) Resolver las ecuaciones independientes del conjunto gj y evaluar e l res-

to de las variables "C" y "y". S i hay violación de restricciones de de-

sigualdad en "C" o "y"• reducir K y volver a l a etapa 5). Repetir hasta

que no haya violaciones.

7) Evaluar f nuevo. S i f nuevo>f viejo, reducir K y regresar a 5). S i

f nuevo < f viejo, regresar a l a etapa 3). El proceso termina cuando

..., m son más pequeños que una

tolerancia establecida.

-10-

III. Kr.1UnT0NBS DEL SISTEMA

3.1. Ecuaciones Fundamentales

Las ecuaciones que rigen e l comportamiento eléctrico de un sistema de

potencia son l a conocidas como "Leyes de Kirchoff", que en forma matricial

se expresan como:

I - Y E (3.1)

donde,

I es e l vector de corrientes impresas en cada uno de los nodos.

Y es l a matriz nodal de. admitancias, "Y-Bus".

V es e l vector de voltajes de cada uno de los nodos, con respecto a ti e r r a .

La expresión (3,1) representa un sistema de ecuaciones, cada una

de las cuales es*:

(3.2)

La potencia compleja en e l nodo i es:

Sustituyendo (3.2) en (3.3):

(3.3)

(3.4)

En coordenadas polares.:

Reemplazando en (3.4):

*Lossímbolos con barra horizontal encima indican cantidades complejas.

-11-

Apllcando l a identidad e^d - eos d + j sen d, las componentes real e imagi-

narla de l a potencia son:

(3.5)

Las potencias activa y reactiva en e l nodo i son, pues, funciones de

los voltajes y ángulos de todos los nodos del sistema. Representando estas

funciones por P¿ (E, .6) y Qi(E, 6) respectivamente, e l balance de potencias

en cada uno de loa nodos se puede establecer como sigue:

PNi - Pi(E,6) (3.6a)

QNi - Qi(E,6) i - 1, n (3.6b)

Es claro que las n ecuaciones (3.6a), a l igual que las (3.6b) no son

independientes, puesto que, e l asignar potencias netas a todos los nodos,

supone conocer de antemano las pérdidas del sistema. Usualmente se plantean

n-1 ecuaciones, siendo l a n - ésima l a correspondiente a l nodo de holgura.

3.2 Estudio de Fluloa

Cada nodo está caracterizado por cuatro variables, PNi, QNi, E i , 6 i ,

dos de las cuales son especificadas y las otras dos deben ser encontradas.

Generalmente, para estudios de flujos, los nodos se clasifican en los s i *

guientes tres tipos:

1) Nodo de holgura, con E, 6 especificados y PN, QN desconocidos. Usual-

mente 6 slack *> 0, como referencia.

2) Nodos Generadores, con PN, E especificados y QN, 6 desconocidos.

-12-

3) Nodos de Carga, con FN, QN especificados y E, 6 desconocidos.

En estas condiciones, para e l estudio de flujos por e l método de New-

ton, en forma polar, es necesario únicamente plantear las siguientes ecua-

ciones :

Ecuación (3.6a) para nodos generadores.

Ecuaciones (3.6a) y (3.6b) para nodos de carga.

Si N es e l número total de nodos del sistema y NC e l número de nodos

de carga, e l número de ecuaciones necesarias para resolver e l estudio de -

flujos es: N + NC - 1.

3.3. Características de l a matriz Jacobiana

La matriz Jacobiana del conjunto de ecuaciones (3.6) es una matriz -

cuadrada de orden 2n X 2n, que se puede escribir como:

J -

donde P'6, P'E, Q'6, Q'E son matrices de orden nXn cuyos elementos son:

(p'ehj -

(P'E)^ -

( Q ^ -

(Q'E>tj - i , j " 1, ..., n

-13-

En e l Apéndice I se demuestra que l a matriz J es singular, lo cual es

consecuente con l a no independencia del conjunto de ecuaciones (3.6)

3.3.1 Relación de Compatibilidad

Si se hacen pequeflas variaciones de potencia neta A P » A Q » * a s varia-

ciones en E y 6, A.E, A5, necesarias para mantener las igualdades (3.6), -

vienen dadas por l a siguiente ecuación matricial, que se deduce por l a ex-

pansión en serie de Taylor de las funciones Pi(E,6), Qi(E,6), despreciando

términos de orden superiort

w Como se demuestra en e l apéndice I I , para que un sistema de ecuaciones l i -

neales Ax - b, siendo A matriz singular, sea compatible, una condición nece-

saria y suficientes es que:

T

[v] . [bj - 0 (3.8)

donde £VJ es e l vector caracteritico asociado con l a raiz característica -T

de valor cero de l a matriz A . En nuestro caso, l a relación de compatibili-

dad (3.8) puede escribir como:

es e l vector característico de raíz cero del Jacobia-

(3.7)

donde,

no transpuesto.

-14-

IV. PLAW1EAMIENI9 PRh PROBLEMA

La técnica de optimización objeto del presente trabajo se va a a-

pllcar a los problemas de "Despacho de Potencia Real" y "Despacho -

de Potencia Real y Reactiva".

4.1 Despacho de Potencia Real

Dado un sistema de potencia, con especificaciones de:

a) Cargas

b) Límites superior e inferior para las generaciones activas.

c) Voltajes en los nodos generadores.

d) Costos de carga liviana y costos diferenciales.

determinar las condiciones de operación tales que l a producción de energía

activa tenga e l más bajo costo, satisfaciendo las ecuaciones eléctricas del

sistema.

Matemáticamente:

Minimizar (4.1)

sujeto a

(4.2)

El =• constante i c G (4.3)

y

Ci(PGi) - a¿ + bt PGi

Recuérdese que

PNi - PGi - PLi

QNi - QGi - QLi

-15-

Ci(PGi) es l a función de costo del generador equivalente conectado ál nodo

i . C es e l costo total de producciónde potencia real. Las cargas FLi y -

QLi se consideran constantes.

4.2 Despacho de Potencia Real y Reactiva

Dado un sistema de potencia con especificaciones de:

a) Cargas

b) Limites superior e inferior para las generaciones activas

c) Limites superior e inferior para las generaciones reactivas

d) Límites superior e inferior para los voltajes en todos los nodos

e) Costos de carga liviana y costos diferenciales

determinar las condiciones de operación tales que l a producción de energía

activa tenga e l más bajo costo, satisfaciendo las ecuaciones eláctricas del

sistema. Matemáticamente,

Minimisar

sujeto a

PMINi < PGi < PMAXi ieG

QMINi < QGi QKAXi ieG

EMINi E i ^ EMAXi i - 1, ..... n

PNi - Pi(E,6) i - 1, .... n

QNi - Qi(E,6) i - 1 n

Las cargas se consideran constantes y también se asume que e l costo de

producción de energía reactiva es cero.

4.3. Interpretación de los planteamientos teórico y práctico.

La correspondencia con e l planteamiento de los problemas en términos

-16-

generales del capítulo I I es ahora evidente. Las restricciones no lineales

gj(Y,Z) - Cj están representadas por las ecuaciones de potencia

Pj(E»6) " PNj, Qj(E,6) - QNj, donde los voltajes E y ángulos 6 corresponden

a las variables Y,Z respectivamente. Hacer un "Estudio de Flujos" equivale

a resolver estas ecuaciones.

Como se explicó en l a sección (3.2), asociados con cada nodo del

sistema hay cuatro cantidades, dos especificadas y dos desconocidas y en

base a ésto se hizo l a clasificación de los nodos en tres tipos. Cuando

las cantidades desconocidas son PN (x) y/o QN (w) , l a correspondiente e-

cuación es dependiente y a las variables asociadas 6 (Z) y/o E (Y) se las

puede asignar un valor arbitrario. En caso contrario, 6 y/o E desconocidos,

los respectivos PN y/o QN son especificados y l a ecuación es independiente.

La solución del problema l i n e a l , tanto en e l caso simplificado

como en e l general, proporciona correcciones AP>AQ ¿A? que son aplicables

solo en e l evento de que PN, QN, o E estén dentro de las cantidades especi-

ficábles en e l nodo correspondiente. El resto de correcciones se encuentra

por l a solución de las ecuaciones no lineales. Por ejemplo, l a corrección

A E k se puede aplicar s i k es un nodo del tipo 1) o del tipo 2) pero debe

ignorarse s i k es un nodo del tipo 3) en cuyo caso e l verdadero AE^ resul-

ta en l a solución del sistema no l i n e a l . En l a sección (5.2.3) se hace una

clasificación de variables teniendo en cuenta estas características. En l a

sección (8.2) se presenta una discusión sobre l a selección de las variables

para e l problema l i n e a l .

-17-

V. METODO DE SOLUCION

E l método de solución consiste en un proceso iterativo en que, pa-

ra cada uno de los pasos, se minimiza una función lineal de varias variables,

cada una de las cuales estando restringida a tomar valores dentro de ciertos

límites. En virtud de que las restricciones son también del tipo l i n e a l , e l

esquema se ajusta perfectamente para ser soluble por un método de programa"

ción l i n e a l . Se u t i l i z a e l algoritmo Simplex.

5.1 Problema Simplificado

5.1.1 Fundamento Matemático

E l problema consiste en minimizar l a suma de los costos totales de

producción de energía activa,

minimizan C es equivalente a minimizar

Si las PG¿ se varían en una pequeña cantidad P G ¿ , l a función de costo se -

varía en:

Para e l problema simplificado se consideran constantes ios voltajes E¿, ieG,

per lo tanto, del sistema de ecuaciones (3.7 ) se tiene que:

(5.4)

con l a relación de compatibilidad

(5.5)

(5.1)

(5.2)

-18-

donde X es e l vector característico de raíz cero áe l a matriz singular

Bs un vector rial que

(5.6)

(Nótese que A ? i m¿^PGí ai VL± es constante)

Poniendo (5.5) en forma de sumatoria,

En los nodos de carga Aft>i - 0, por lo tanto (5.5) se convierte en

(5.7)

(5.8)

Es claro que cuando F es mínimo, 0 para cualquier vector£A,PG~J compa-

tib l e con las restricciones. De (5.8) se puede . deducir las condiciones ne-

cesarias para optimalidad, como sigue:

también lo es. En e l mínimo,

siempre habrá una R t a l que

(5.9)

19-

5.1.2 Algoritmo de Solución

Si se i n i c i a a partir de una solución factible (aquella en l a cual

se cumplen las restricciones), e l método encuentra otra solución factible de

menor costo, s i existe. En realidad, e l proceso puede iniciarse a partir de

una solución no factible. En este caso, e l primer paso lleva las variables

a l a región permisible.

Se tiene entonces e l siguiente problema parcial:

Enoontrar las APGi tales que l a función,

(5.10)

sea mínima baio las siguientes restricciones:

(5.11)

Es fácil plantear este problema en l a forma normal de un problema

de programación l i n e a l , donde las variables de l a función objetivo son las

/SPCi y las restricciones lineales vienen dadas por (5.11). Es de advertir

que en e l algoritmo simplex las variables no pueden ser negativas, sin em-

bargo, en nuestro problema es permitido que las APGi tomen . valores negati-

vos. En e l apéndice III' se muestra l a adaptación de nuestro problema par-

c i a l a l a forma típica.de un problema de programación l i n e a l .

La solución del problema de programación line a l suministra un con-

junto de correcciones APGi que, aplicadas a las PGi anteriores, da un nuevo

conjunto de potencias generadas PGi nuevas que resulta en un costo de produ-

-20

ceion menor. Sin embargo, l a aplicación de todas las correcciones no resul-

t a , en general, consecuente con las leyes eléctricas del sistema de potencia,

porque ésto equivaldría a asignar un valor específico a las pérdidas del s i s -

tema, desconocidas bajo las nuevas condiciones de operación. Lo que se debe

hacer es aplicar todas las correcciones menos una y resolver las ecuaciones

(3.6), (estudio de flujos) tomando e l nodo que no se corrigló como e l slack

para, encontrar su verdadera APG.

Entonces, PGi(nueva) - PGi(vieja) + ¿gGt i¿ slack

En virtud de que las ecuaciones (3.6) son no lineales, puede suce-

der, que e l nuevo valor de F sea mayor que e l anterior; lo que indica que l a

corrección /\PGi es demasiado grande. Debe hacerse entonces,

PGi(nueva) - PGi(vieja) + K ApGi, K<1; i¿ slack

y un nuevo estudio de flujos. Esto se repite con valores de K sucesivamente

más pequeños hasta lograr un costo menor. En e l límite, cuando K=0, se ha

regresado a l estado original, indicando que ésta es l a solución más económi-

ca. Cuando se encuentre un conjunto de K APGi t a l que l a nueva solución

tenga un costo menor que l a anterior, se comienza nuevamente e l proceso com-

pleto a partir de l a última solución.

Por las razone8 expuestas* arriba se deduce que e l mínimo del pro-

blema lineal y del problema no lineal no coinciden, razón por l a cual las

condiciones (5.9) no se cumplen exactamente.

A continuación se describe sintéticamente los pasos a seguir para

l a solución del problema.

1) Estudio de flujos I n i c i a l , escogiendo PGI, ieG, i^slack, entre límites

calcular F.

-21-

2) Para un nodo j cuya PG esté entre límites, escoger Xj - bj como l a j -

ásima componente del vector [ XJ

3.) Resolver las ecuaciones ( 5 . 6 ) para las demás componentes \í, i - 1, ... n;

i * j

4) Resolver e l siguiente problema de programación lineal

Minimizar

5) Calcular PGi(nueva) - PGi (viejo) + K¿^Gi i j* slack (Inicialmente K*l).

6) Estudio de flujos para encontrar PG del nodo slack.

7) Con las nuevas PGi calcular F nuevo. Si Fnuevo> Fviejo, hacer K » %

y volver a l a etapa 5 ) . Este proceso se continua hasta encontrar que

F nuevo<: Fviejo..

8) Regresar a l a etapa 2).

El proceso termina cuando, para I K APGi I e, una tolerancia, no -

se ha logrado que Fnuevo<Fviejo.

Explicación adicional. Para encontrar e l valor característico asociado a l a

raíz cero de l a matriz singular [P'fi] T , hay que asignar un valor arbitrario

a una de las n componentes \i, y a partir de asta, encontrar los demás valores.

-22-

Aqul, a l a componente j se le asigna e l valor b j , e l costo incrementa! del

generador j . Así, e l término correspondiente de l a función objetivo se

hace cero y e l ¿&Gj puede tomar cualquier valor, cumpliendo siempre con e l

principio de optimalldad. Sin embargo, dicha escogencia puede hacerse ar-

bitrariamente por lo que se dice en e l párrafo anterior a (5.9)

5.2 Problema General

En e l despacho de potencia real y reactiva, las potencias PGi,

QGi y los voltajes E l , ieG, van a ser los parámetros de control y su varia-

ción está restringida dentro' de ciertos límites.

5.2.1 Relación de Compatibilidad

Las ecuaciones eléctricas del sistema de potencia son:

PNX - P t (E,5)

QNi - Qi (E,5)

La matrís Jacobiana del sistema (5.12) es:

(5.12)

-23-

(5.13)

S i A E k es una variación dada en l a magnitud del voltaje en e l nodo k, l a ecuación

( n + k) puede ser eliminada y e l arreglo (5.13) toma l a siguiente forma:

(5.14)

Tenemos ahora un nuevo sistema de ecuaciones Ax • b, donde l a matriz A, de orden (2n-l) X

(2n-l), es singular, (note que las primeras n columnas son linealmente dependientes.

Ver apéndice I ) , por lo tanto t para que e l sistema sea compatible, se debe cumplir l a

relación (3.8).

-24

el vector característico (2n-l componentes) asociado con la raíz cero de -

l a matriz reducida en e l renglón y columna (n+k). La relación de compa-

ti b i l i d a d (3.8) en este caso es:

que es lo mismo que

donde,

vector de n componentes

vector de n-1 componentes. Se ha suprimí-

do e l elemento k.

- 0

25-

columna (n+k) del Jacobiano original sin e l elemento (n+k). Si

hacemos,

l a relación de compatibilidad se expresa finalmente como:

(5.15)

S i las A p i i * l «*» A Q i ••• n» Ifti y A^k »• relacionan según

(5.15), e l sistema de ecuaciones (5.14) (incógnitas A6¿ i"l> ••• n ; A E i

i«l, ... n, i^k) tiene solución.

Más generalmente, s i K es e l conjunto de nodos con variación dada en magni-

tud de voltaje y A p » Aft *on variaciones de energía activa y reactiva, las

condiciones necesarias y suficientes para que e l sistema de ecuaciones (5.13)

tenga solución son:

(5.16)

(5.17)

*-7<it TW**™*^0 Matemático

Ahora se replantea e l problema, introduciendo los nuevos elementos.

-26-

Sumando l a ecuación (5.16) con las NK ecuaciones (5.17) y teniendo en cuen-

ta que cuando i i G, A P i - AQi - O

- 0 (5.18)

Al igual que antes, e l problema consiste en minimizar l a suma de los costos

totales de producción de energía activa, o lo que es lo mismo, minimizar

S i se producen variaciones APGi, l a variación en F es:

(5.19)

Teniendo en cuenta además las variaciones en QGi, ieG y en E i , leK, l a va-

riación en F correspondiente se puede obtener restando (5.18) de (5.19) -

(Note que A P i "APGi, AQi " AQGi, con PLi • constante, QLi - constante).

(5.20)

Si F es mínimo, cualquier conjunto de variaciones APi» AQi i e G , A E *

ieK, compatible con las restricciones, dará lugar a un AF 0. De (5.20)

pueden deducirse las condiciones necesarias para optimalidad, en l a misma -

forma que se hizo con (5.9).

Iniciando de una solución factible se puede llegar a otra de menor

costo por l a minimización de l a función £F. Repitiendo este procedimiento

paso a paso, se llega finalmente a l a solución óptima. En cada iteración -

-27-

debe, entonces, resolverse e l siguiente problema de programación l i n e a l :

Minimizar AF - fXAPi.AQ 1» A E i ) (-5.20)

teniendo en cuenta las restricciones lineales

PMIN < (Pi + APi) < FMAXi ieG

QMIN< (Qi + AQiXQMAXi ieG (5.21)

EMIN< (Ei + A E i X EMAXi ieK

y además, cumpliendo con las relaciones de compatibilidad (5.16) y (5.17).

En e l apéndice ( I I I ) se indica e l planteamiento del problema en

la forma típica de un problema de programación l i n e a l .

La solución del problema de programación lineal suministra un con-

junto de correccionesA p i> AQi ieG, A E i , ieK, que aplicadas a los valo-

res anteriores, darían una solución de menor costo. Sin embargo, esta so-

lución resultante de l a aplicación de todas las correcciones no es compati-

ble oon las leyes eléctricas de l a red.

5 , 2 « 3 Asgortt"? gotortfo

Podemos cl a s i f i c a r las variables en dos tipos:

Y i , que representa a las P i , ieG, i?* slack, E i , ieK, ieG

X i , que representa a las Qi, ieG; E i , ieK, i¿G; Pslack.

Obsérvese que s i ieG, 1 es un nodo del tipo 1) o del tipo 2) y s i itfG, i es

un nodo del tipo 3).

Las correeciones¿Yi solución del problema de programación .lineal se aplican

<Ur«ctem«nte « sus respectivas variables,

-28

Con estos nuevos datos se procede a hacer un estudio de flujos

para encontrar e l verdadero valor de las X i . La solución así obtenida -

cumple con las leyes de Kirchoff, aunque no necesariamente es de menor -

costo que l a anterior debido a l a no linealidad de las ecuaciones de l a red.

Otro evento que puede presentarse es que algunas o todas de las

nuevas Xi violen las restricciones de desigualdad (5.21). Se sugiere en-

tonces disminuir l a corrección y hacer

Y i nuevo - Y i anterior + KAYi K < 1

y un nuevo estudio de flujos. Esto se repite con valores de K sucesivamen-

te más pequeffos hasta lograr que todas las nuevas variables.Xi estén dentro

de l a región permisible. En e l límite, cuando K"0, se ha regresado a l es-—-

tado original lo que indica que cualquier movimiento en e l sentido de mini-

mizar F implica l a violación de alguna restricción. Por lo tanto, ésta es

l a solución óptima. Una discusión a l respecto se presenta en l a sección(8.1)

Una vez que se ha logrado e l cumplimiento de todas las restriccio-

nes por medio del procedimiento anterior, puede suceder que e l nuevo valor -

de F sea mayor que e l anterior. Esto indica que l a corrección es aún demasía'

do grande. Se debe entonces seguir reduciendo (o comenzar a reducir, según

e l caso) K hasta que F nuevo<F viejo. De nuevo, en e l límite, cuando K-0,

no se ha hecho ningún movimiento a partir de l a solución factible de l a eta-

pa anterior, siendo, en consecuencia, ésta l a óptima.

Cuando se encuentre algún conjunto de K A Y i t a l que l a nueva so-

lución factible tenga menor costo que l a anterior, se procede a repetir %<?dp

e l procedimiento descrito, a partir de esta solución.

29-

A continuación se describe sintéticamente los pasos a seguir en

l a solución del problema.

1) Estudio de flujos i n i c i a l , asegurándose de que todas las variables Y i ,

X i , queden entre límites. Calcular F.

2) Calcular e l vector característico de raíz cero, £x> r.J, de l a matriz completa •

3) Para cada keK, encontrar e l vector característico de raíz cero,

jx^, j|, de l a matriz reducida |"j k J • Son en total NKvectores.

4) Para cooo KeK, calcular

5) Resolver e l siguiente problema de programación l i n e a l :

Minimizar

Sujeto a

EMINi - E i < ^Ei<EMAXi - E i ieK

PMINi - P61<^ J A P i < P M A X i " P G i i e G

QMINi - QGis^ AQi<QMAXi - QGi ieG

-30-

6) Calcular Yi nuevo - Yi viejo + k AYi

(Inicialmente K-l)

7) Con Yi nuevos, hacer un estudio de flujos para encontrar los verdade-

ros Xi nuevos. Si algunas Xi violan restricciones, hacer K«= y vol-

ver a l a etapa 6). Repetir hasta que todas las Xi cumplan las res-

tricciones o hasta cuando | K A Y i | s, una tolerancia, en cuyo ca-

so e l proceso termina.

8) Con todas las variables dentro de límites, calcular F nuevo. Si

F nuevo> F viejo, hacer K-fc y volver a l a etapa 6), repitiendo hasta

encontrar que F nuevo<F viejo. De lo contrario, regresar a l a eta-

pa 2). S i cuano | K A Y i J <^ e aún no se ha logrado que F nuevo <

F viejo, l a solución óptima es l a obtenida en l a etapa 7).

-31-

VI PROGRAMA PARA COMPUTADORA

Para l a solución automática del problema se ha escrito programas

para l a versión FORTRAN (3.2)/ MASTER de l a computadora CD-3300

6.1 Características del programa

A continuación se describen las características más importantes -

del programa, incluyendo a l f i n a l una relación de las variables utilizadas.

6.1.1 . Información

Los datos necesarios son:

1) Número total de nodos y de nodos generadores.

2) Especificación del tipo de nodo.

3) Parámetros del sistema de transmisión.

4) Coeficientes de costo.

5) Límites superior e inferior de potencias activa y reactiva y de

voltajes.

6) Consumo de potencia activa y reactiva en cada nodo.

6.1.2 Matriz Y-Bus

Con los datos de impedáñelas primitivas y susceptancias de las -

líneas se forma l a matriz de admitancias de nodo Y-Bus haciendo uso de l a

subrutina REPOL para hacer cambios de coordenadas rectangulares a coordena-

das polares.

6.1.3. Estudio de flujos

Se u t i l i z a e l método de Newton con las cantidades expresadas en

forma polar* La matriz Jacobiana completa se calcula y almacén» con e l -

-32-

nombre AT. Luego, por medio de l a subrutina REDUCE, se elimina los ren-

glones y columnas que no se necesitan para e l estudio de flujos (Ver

sección 3.2). La matriz resultante se almacena en l a variable AJ. Las -

ecuaciones (3.6) se resuelven por inversión de l a matriz AJ, utilizando

l a subrutina INVER. Las iteraciones del estudio de flujos terminan cuan-

do las diferencias PE¿ - P¿ y QE¿ - Q¿ son todas más pequeñas que una to-

lerancia dada.

6.1.4 Vector característico

a) Para e l problema de Despacho Real se necesita e l vector caract.

de raíz cero de l a matriz | P¿ J « Para esto se u t i l i z a l a sub-

rutina CARACT, con argumentos AT, N.

b) En e l problema de Despacho Real y Reactivo hay que calcular tan-

to vectores característicos como nodos con restricción de volta-

je mas uno. En cada caso se u t i l i z a l a subrutina REDUCE para e-

liminar e l renglón y columna correspondientes de l a matriz AT y -

luego se usa l a subrutina CARACT con argumentos AT, 2N-1. En e l

último caso los argumentos son AT y 2N.

6.1.5 Programación l i n e a l .

Una vez formada l a función objetivo y l a matriz de restricciones

(ver apéndice III.2) se u t i l i z a l a subrutina SIMPLEX para resolver e l pro-

blema de programación l i n e a l . Para entrar al Simplex, las variables hay

que desdoblarlas en dos partes como se indica en e l apéndice citado. A l a

salida se hace provisión para volverlas a integrar.

33-

6.2 Diagramas de flujo

En e l apéndice IV se presentan los siguientes diagramas de flujo

macroscópicos.

a) Diagrama de flujo general para los dos problemas tratados*

b) Estudio de flujos.

c) Cálculo de los vectores característicos para e l problema de Despacho

Real y Reactivo.

6.3 Variables del programa

A continuación se definen las variables más importantes utilizadas

en e l programa.

N: Numero total de nodos del sistema.

NEL: Número de elementos de l a red.

NG: Número de nodos generadores.

NSt Número del nodo slack.

TND: Especificación del tipo de nodo.

Rj Resistencia de las líneas.

X: Reactancia de las líneas.

GT: Conductancia equivalente entre los nodos y ti e r r a .

BT: Susceptancia equivalente entre los nodos y tie r r a .

Y: Matrís de admitancias de nodo Y-Bus.

TH: Angulo de las admitancias.

PL: Potencia activa de carga.

QL: Potencia reactiva de carga.

PG: Potencia activa generada.

QG: Potencia reactiva generada.

PE: Potencia activa neta»

QB: Potencia reactiva neta.

-34-

P: Potencia activa calculada, función de voltajes y ángulos.

Q* Potencia reactiva calculada, función de voltajes y ángulos.

PMAX, PHINt Límites superior e inferior de potencia activa generada.

QMAX, QMIN: Límites superior e inferior de potencia reactiva generada.

EMAX, EMINi Límites superior e inferior de voltajes.

ANG: Angulo del voltaje.

B: Costo diferencial.

AI: Matriz Jacobiana completa.

AJ: Matriz reducida para estudios de flujo.

DPQj Diferencias AP y AQ.

DAE: Diferencias A E y A 5»

BS: Tárminos independientes en e l problema de programación l i -

neal.

VS: Variables del problema de programación real.

D: Matriz de restricciones.

DS: Solución del problema de programación l i n e a l .

C: Coeficientes de l a función objetivo.

AL, T: Vectores característicos.

COSTO 1, COSTO 2, Costos antes y después de cada ciclo completo de optimi-

zación.

35-

VII APLICACION Y RESULTADOS

en este capítulo se muestra l a aplicación del método a un siste-

ma de prueba de 5 nodos cuyo diagrama u n i f i l a r se muestra en l a Fig. 1.

Este 8Í8tema ha sido utilizado por otros autores1 para probar otros méto-

dos de optimización.

En las tablas I y I I se dan los datos de impedanclas de las lí-

neas y las cargas del sistema. En l a tabla I I I se dan los límites de o-

peraeion y coeficientes de costo

Fig. 1. Sistema de potencia de 5 nodos

T A B L A I

Impedancias en p.u. sobre l a base de 100 MVA

T A B L A II

Especificación de Cargas

T A B L A I I I

Límites de operación y coeficientes de costo

T A B L A IV

Resultados del Flujo de Carga I n i c i a l

-36-

-37-

El estudio de flujos i n i c i a l se hizo tomando como base las gene-

raciones mínimas. El nodo 5 se tomé como e l nodo slack. La tabla IV mues-

tra los resultados obtenidos. r

Bajo estas condiciones, e l costo de operación es 976.3397 pesos/

hora. Obsérvese que l a generación del nodo 5 ha sobrepasado e l límite má-

ximo.

Se hizo e l despacho de potencia real por e l método descrito y se

llegó a l a solución mínima en l a tercera iteración. En todas las iteracio-

nes, e l costo siempre fue menor que en l a anterior, luego no hubo necesidad

de modificar l a corrección (Ver Sec. 5.1.2). En l a tabla V se muestran los

resultados en cada iteración. En este ejemplo, como en todos los que se ha

tratado, se observa que en l a primera iteración se logre gran acercamiento

hacia l a solución óptima. (Tabla V 2a. parte)

En l a tabla VI se muestran e l vector característico, y las corre-

cciones de potencia activa generada y l a función objetivo solución del pro-

blema de programación l i n e a l , en cada iteración.

Prueba de Optimalidad

Con l a notación de l a sección (5.1.1), e l

tos 1,4,5) es:

Si multiplicamos este vector por k

-38-

T A B L A V

-39-

cont. Tabla V

T A B L A VI

Resultados del problema de programación lineal

Función objetivo en cada iteración (A?)

S* tient ahora las siguientes relaciones.

-40-

Refiriéndonos a las condiciones de optimalidad (5.9), vemos que

las relaciones a) y b) cumplen exactamente (con PG¿ » 0, X¿ puede tomar

cualquier valor comparado con bj). La relación 3) no cumple l a condición

de optimalidad. Sin embargo, s i se analiza e l curso de l a variación de

APG*» •• observa que está muy próxima a tomar valor positivo. Que esta-

mos muy cerca del mínimo se puede comprobar ya que

esta es l a razón por l a cual, en l a solución fin a l no se cumple que £¡J* 0.

Sin.embargo, e l valor f i n a l A ? es muy pequeño negativo. Obsérvese l a tra-

yectoria de AP a través de las iteraciones. Para todos los fines prácti-

cos se puede decir que l a solución fin a l obtenida es l a óptima.

Ejemplo 2.

En e l siguiente ejemplo, a diferencia del anterior, en cada i t e -

ración (excepto l a primera) hubo necesidad de alterar l a corrección porque

e l costo resultó mayor que en l a iteración anterior. Se llegó a l mínimo en

l a quinta iteración. El sistema es e l mismo que e l de l a Fig. 1, con los

siguientes cambios en los datos (las cifras entre paréntesis corresponden a

las del ejemplo anterior):

E j - 1.049 (1.050), E4 - 0.985 (1.05), Qa - 17.0 (0.06), Qg - 11.0 (-10.44)

El estudio de flujos i n i c i a l se hizo en base de las generaciones promedio

entre e l límite superior y e l límite inferior. E l nodo 5 se tomó como e l

slack. En l a tabla VII se muestran los resultados obtenidos, donde l a i t e -

ración 0 corresponde a i flujo de carga i n i c i a l .

-41-

T A B L A VII

RESULTADOS DEL DESPACHO REAL PARA EL EJEMPLO 2

Aquí nuevamente ae observa que en l a primera iteración se llega bastante cerca

de l a solución óptima.

Referencing

1. J.F. Dopazo, O.A. K l i t i n , G.W. Stagg, y M. Watson, "An Optimization Tech-nique for Real and Reactive Power Allocation." Proc. IEEE, Vol. 55. pp. 1877*1885, Nov. 1967.

-42-

Ejemplo 3.

Se aplicó e l método descrito para resolver e l problema de "Des-

pacho de Potencia Real y Reactiva" utilizando e l mismo sistema de poten-

ci a con los datos de carga de l a tabla I I . En l a tabla V l I I se muestran

loe limites empleados.

T A B L A VIII

Especificación de límites

El estudio de flujos i n i c i a l se hizo en base de las potencias generadas y

voltajes en los nodos generadores en sus valores promedios. En l a tabla IX

se indican los resultados.

T A B L A IX

Flujo de Carga Básico

-43-

Bajo estas condiciones e l costo total que de 852.59 pesos/hora. Nótese que

l a generación reactiva del nodo 4 ha violado ligeramente su limite inferior.

Se llegó a l a solución mínima en l a segunda iteración. Los resultados para

cada iteración se muestran en l a tabla X.

T A B L A X

Resultados de Despacho Real y Reactivo en cada iteración

Según l a notación de l a sección (5.2.3), las variables X¿ corresponden a ,

Q*, 0,, Eg, E3 y PB

La solución del problema de programación li n e a l en cada iteración dio para

•atas contidades los valores dados en l a tabla XI.

T A B L A XI

Solución del problema lineal

Una comparación de las tablas X y XI muestra cómo se van confundiendo las

soluciones del problema line a l y del no lineal en las cercanías del mínimo.

-44-

VIII CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

8.1 Características de convergencia

Como se ha observado en e l capítulo de resultados, e l método avan-

za rápidamente hacia l a solución óptima en l a primera iteración, indepen-

dientemente del punto de operación i n i c i a l . Sin embargo, se ha impuesto l a

condición de que l a solución i n i c i a l debe satisfacer todas las restriccio-

nes. (En lo que sigue se hace referencia a l a sección 5.2.3).

Aunque siempre es posible i n i c i a r e l proceso con unNconjunto dado

de variables Y¿ que estén dentro de sus límites, l a solución de las ecuacio-

nes no lineales puede dar lugar a valores de las variables X¿ fuera de sus

límites, siendo este e l caso más común.

Se eliminó l a prueba de restricciones de l a etapa 7) del algorit-

mo y con esta modificación se trató un ejemplo en e l que inicialmente había

cuatro violaciones en las X¿. El resultado fué que en l a solución mínima

no hubo violaciones, dentro de cierto margen de tolerancia. Esta caracte-

rística es muy importante pues hace a l método más versátil, y es una conse-

cuencia de l a inclusión de las variables X¿ en l a función objetivo del pro-

blema de programación l i n e a l , como se entiende de l a discusión que sigue.

8.2 Selección de variables para e l problema de programación l i n e a l .

La solución del problema de programación lineal suministra un con-

junto de correcciones, no todas de las cuales se aplican para no interferir

con las leyes eléctricas de l a red. Sin embargo, l a inclusión de las varia-

bles dependientes X¿ sirve de "ligazón" entre e l problema lineal y e l pro-

blema no l i n e a l , en e l sentido de que éstas ejercen influencia en l a sele-

-45-

cción de las variables independientes Y¿ de l a siguiente iteración, logran-

do así soluciones más cerca de l a factibilidad. En caso contrario, (no in-

clusión de las X¿ en l a función objetivo) las variables independientes Y¿

tendrían más "libertad de acción", "olvidándose" de las restricciones que

pesan sobre e l resto de variables del problema.

8.3 Detección de Incompatibilidades

A primera vista y antes de cualquier estudio no se puede saber s i

los límites de variación (generalmente impuestos por e l usuario) son compa-

tibles. El método detecta esta eventualidad cuando l a solución del proble-

ma line a l contiene variables a r t i f i c i a l e s con valor diferente de cero.

(La definición de este término se encuentra en e l apéndice I I I ) .

8.4 Nodo 'Slack"

En e l proceso de solución se calculan correcciones a las variables

PG¿, todas las cuales se aplican menos una, l a correspondiente a l nodo Slack.

La escogencia óptima del nodo Slack para estudios de flujo de carga ha sido

discutido en otros trabajos 1. En e l problema que nos ocupa, e l c r i t e r i o de

selección del nodo Slack se basa, más que en consideraciones de convergencia

de l a solución del flujo de carga, en relación con las restricciones de po-

tencia. La escogencia debe ser t a l que ofrezca e l menor riesgo de violación

del límite superior de potencia activa. Se desea que, después del estudio

de flujos,

PG slack s^PMAX slack

se recomienda entonces, que se seleccione e l nodo slack del conjunto de no-

dos para los cuales l a diferencia PMAX¿ - PG¿ sea mayor que las pérdidas to-

tales de potencia activa del sistema.

-46-

8.5 Otras Aplicaciones.

El método se aplica para encontrar e l mínimo de l a función

Otro c r i t e r i o de optimización en sistemas de potencia consiste en minimizar

las pérdidas de potencia totales del sistema. Si éstas se representan por

donde representa l a demanda total de potencia activa. Si ésta es

constante, minimizar Rj. equivale a minimizar,

Como puede observarse, este problema es una particularización del problema

original s i se hace,

En este trabajo se ha operado con funciones de costo del tipo,

Basta, pues, poner todos los a¿ • 0 y todos los b¿ " 1 (en general, b¿ « k,

con k e l mismo para todo i ) , para u t i l i z a r los mismos programas. Se hicie-

ron pruebas en este estudio, llegando a resultados satisfactorios.

Referencias

1. L.L. Freris y A.M. Sasson, "Investigation of the Load-Flow problem," Proc. IEE, Vol. 115, pp. 1459-1470, 1968.

-47

A P E N D I C E l

LA MATRIZ JACOBIANA ES SINGULAR

Los elementos (P¿)ij» ij"l» ••• *»i del jacoblano se pueden dedu-

c i r derivando (3.5a) respecto a 6.

(I.la)

(I.Ib)

La suma de los n elementos del renglón 1 es:

según se deduce de (I.la) y (I.lb).

Análogamente se demuestra que:

í»l, ..., n

En consecuencia, las primeras n columnas del Jacobiano son linealmente de-

pendientes, por lo tanto l a matriz completa es singular.

Es evidente que cualquier matriz obtenida del Jacobiano eliminan-

do un renglón y columna de orden i , n«cl^2n, tiene l a misma propiedad y -

también es singular.

-48-

A P E N D I C E II

ALGEgRA mm

RESUMEN

Definición.- El rango de una matriz cuadrada A de orden n, no nula, es i -

gual a r, e l orden del mayor determinante en A diferente de cero. Si r<n,

la matriz se llama singular y contiene r vectores linealmente independientes.

Sistema de Ecuaciones Lineales.- Considérese e l sistema de n ecuaciones l i -

neales con n incógnitas, AX » b (H.l)

Teorema 1.

La condición necesaria y suficiente para que este sistema tenga

solución es que l a matriz de coeficientes |^ A~[ y l a ampliada con los térmi-

nos independientes^ Ai b j tengan e l mismo rango.

El sistema homogéneo

AX - 0 (II.2)

cumple con esta condición.

Teorema 2.

La condición necesaria y suficiente para que e l sistema homogéneo

(II.2) con n ecuaciones y n incógnitas tenga solución distinta de l a t r i v i a l

es que r«cn. Esto implica que e l determinante de A debe ser cero.

Vector característico.- Considérese l a transformación lineal

AX - Y (II.3)

-49

donde A es matriz cuadrada de orden n y X e Y son vectores.

Todo vector X t a l que

AX - XX ( T T "

Se llama vector característico respecto de l a transformación ( I I . 3 ) .

Raíces características. De (II.A) se obtiene

AX - XX - (A - XI)X - 0 (II.5)

donde I es l a matriz indentidad de orden n.

Según e l teorema 2., para que (II.5) tenga solución se requiere -

que

Det

El desarrollo de este determinante es un polinomio de grado n en X

cuyas raíces se llaman valores característicos de l a matriz A. Las matrices

A y A 7 tienen las mismas raices características. Cada raíz característica

Xi tiene un vector característico Xi asociado a e l l a , cuyas componentes son

l a solución de (II.4) con X - Xi.

Si e l rango de una matriz cuadrada A de orden n es r<n (A es.sin*

guiar), a l menos n-r de sus raíces características tienen valor cero.

Relación de Compatibilidad

Considérese e l sistema de ecuaciones (II.1) y sea VI e l vector ca-

racterístico asociado con l a raíz característica Xi de A? Entonces, por

(II.4)'.

A T Vi - Xi Vi i-1 n (II.6)

Las ecuaciones (II.1) pueden escribirse como

X A b (II. 7)

-50-

Premultiplicando (II.6) por X T y teniendo en cuenta (II.7),

b T V i - U X T Vi

que también puede escribirse como

Xi V i T X - V i T b i - 1 , n (II.8)

Si e l rango de A es r-n-1, (A y A T son singulares) A T tiene por lo menos una

raíz característica de valor cero. Sea ésta XJ y Vj e l correspondiente vec-

tor característico.

Entonces, por (II.6),

A T VJ - 0 (II.9)

Po8t-multiplicando (II.7) por V j ,

X T A T Vj - b T Vj (11.10)

De (II.9) y (11.10) se deduce que e l vector de términos'Independientes" b de-

be satisfacer l a relación

b T Vj - 0 (II. II)

Bajo estás condiciones, los dos lados de l a j-ésima ecuación (II.8) son cero,

(note que, en general, V T b - b T V) lo que permite asignar un valor arbitra-

r i o a la incógnita Xj y e l resto de las variables pueden obtenerse de las n-1

ecuaciones restantes (II.8). El cumplimiento de l a relación (11.11) asegura

que e l rango de l a matriz original y l a aumentada sea e l mismo.

Referencias

1. F. Ayres, J r . , "Matrices," McGraw-Hill, 1969.

2. A.M. Sasson, "Optimización de Diseño y Operación de Sistemas de Potencia," Instituto Tecnológico de Monterrey, México, Reporte de Investigación 3, 1970.

-51-

A P E N D I C E I I I

M U PROGRAMAgyOy LINEAL

En este apéndice se va a dar un resumen de l a teoría básica de l a

programación lineal y del procedimiento computacional simplex. Después se

indica l a adaptación de nuestro problema a l a forma canónica.

I I I . l . l Planteamiento del Problema

El problema general de programación lineal consiste en encontrar

un vector (Xy Xj, Xj, x ^ que minimice l a función objetivo lineal

Cj x l + Ca Xg + ... + Cj Xj + ... + C n x,

Sujeto a l a restricciones lineales

Xj 0 j-1, ..., n

y

«xi * i + «xa *a + ••• + * i j x j + + xn " b i

«81 * l + «38 ^ + - + «3J X j + + "SI» % " B8 » e o a Ü * i + a i a *a+ ••• + a i j x j + ••• + a i n *n " b i « 0

% «i + % 3 ^ + ••• + a m j x j + •••'+ *mn *n " bm

donde las a^j, b i y Cj son constantes dadas y m<n y todos los bi> 0.

Se u t i l i z a generalmente l a siguiente notación en forma matricial:

Minimizar

CX (III.1)

Sujeto a X^O (III.2)

y AX - b (III.3a)

-52-

o XxPi + XaPa + ... + xn?a - P 0 (III.3b)

III.1.2 Propiedades de una solución al problema de programación lineal

Se darán las definiciones y teoremas más importantes que caracte-

rizan a una solución del problema general de programación li n e a l . La prue-

ba de estos teoremas se encuentra en l a referencia 1

Definición 1. Una solución factible es un vector X que satisface las con-

diciones (III.2) y (III.3)

Definición 2. Una solución factible básica es una solución factible con no

mas de m x¿ positivas.

Definición 3. Una solución factible básica no degenerada es una solución -

factible básica con exactamente m x¿ positivas.

Definición 4. Una solución factible mínima es una solución factible que -

también minimiza (III.1)

Teorema 1 El conjunto de todas las soluciones factibles a un problema

de programación lineal es un conjunto convexo.

Teorema 2 La función objetiva (III.1) asume su mínimo en un punto ex-

tremo del conjunto convexo K generado por el conjunto de so-

luciones factibles al problema de programación lineal. Si a?

sume su mínimo en más de un punto extremo, entonces toma e l

mismo valor para toda combinación convexa de estos puntos -

particulares.

Teorema 3 Si un conjunto de k<m vectores Px , P a, ... P k puede ser

encontrado que sea linealmente independiente y t a l que

-53-

* i p i + *a*a + ... + %Pk " po <po " b>

y todo x^O, entonces e l punto X • (XJ , XG , ..., x^, 0, ... 0) es un punto

extremo del conjunto convexo de soluciones factibles. X es un vector n-

dimensional cuyos últimos n-k elementos son cero.

Teorema 4 Si X - (x^, XG, ..., x R) es un punto extremo de K, entonces -

los vectores asociados con x¿ positivos forman un conjunto linealmente inde-

pendiente , Por lo tanto, cuando más m de las X¿ son positivas.

Del anterior teorema se desprende que asociado con cada punto extremo de K

hay un conjunto de m vectores linealmente independientes del conjunto dado

Pi» Pa , ..., Pn.

Teorema 5 El vector X - (x¿ , XG, ..., x ^ es un punto extremo de K s i y

únicamente s i las xj positivas son coeficientes de vectores linealmente i n -

dependientes Pj en

III.1.3 Procedimiento Simplex

El procedimiento Simplex permite obtener una solución factible mí-

nima en un número finitos de pasos. Los teoremas enunciados indican que las

soluciones de punto extremo, incluyendo l a mínima, tienen m vectores l i n e a l -

mente independientes asociados con cada una. E l esquema Simplex partiendo -

de una solución factible básica o de punto extremo, en cada paso encuentra

una nueva solución factible cuyo correspondiente valor de l a función objeti-

vo es menor que e l de l a solución anterior, generando en cada paso m vecto-

res linealmente independientes distintos.

-54-

Generación de Soluciones de punto extremo

Se tílene l a solución factible básica i n i c i a l

("lo' xao* ***' "mo» ®» •••» ®)

Entonces

*io p i + x 3 o P a +••• + x m o P

m - p o

*lo q + X3 0 Ca + ... + x m Q C m - Z Q

donde todas las 0, C x son los coeficientes de l a función objetivo y Z 0

es e l valor de l a función objetivo para l a solución dada

Como los vectores P x, P a, ... P m son linealmente independientes,

cualquier vector del conjunto P x, P a, ... P n se puede expresar en función -

de P i , P a, ... P m, como:

XJJ Pj + x a j Pa + ... + x m j P m - Pj j - 1 , n

Se define ahora

* i j c i + *aj ca + ••• + V j Cm " z j J - l t ...f n (III.4)

Teorema 6 Si para cualquier j f i j o se cumple l a condición Zj - Cj>0,

entonces un conjunto de soluciones factibles puede ser construido t a l que

Z<Z 0 P a r a cualquier miembro del conjunto, donde e l límite inferior de Z -

puede ser f i n i t o o i n f i n i t o . (Z es e l valor de l a función objetivo para -

cualquier miembro del conjunto de soluciones factibles.

Teorema 7 Si para cualquier solución factible básica X - ( x 1 0 , x 3 o , ...,Xja0)

se cumplen las condiciones Zj - Cj 0 para todo j-1, n entonces X es

una solución factible mínima.

-55

III.1.4 Procedimiento Computacional

Haciendo operaciones sucesivas de pivote, se puede transformar un

sistema lineal a l a siguiente forma llamada canónica (una operación -

de pivote consiste en operaciones elementales de renglón que reemplazan un

sistema lin e a l por otro equivalente en que una variable especificada resul-

ta con coeficiente unitario en una ecuación y cero en las demás):

xx + *i» m+i + ... + ex , n 2^ - b r

*a + «a . m+i x

m+i + • • • + «3 »n Xn " ba

*m + V m+i Xm+i + ••• + « W *n m \

que, en l a notación (III.3b) es,

*l Pi + ... + \ P m + V i Pm-H + ••• + Xn Pn " Po

Los vectores unitarios ? x , .... P m sonlinealmente independientes

por lo tanto e l punto X • (b x, ba, ... b m, 0, ...» 0) es una solución fac-

tib l e básica.

Algoritmo

1) Para todo j-1, ... n, calcular Zj según (III.4) y luego Zj - Cj (note

que para las variables básicas, en este caso x l, ... x^, Zj - Cj « 0)

2) Seleccionar k t a l que,

max (Zj - Cj) " Z k - C k > 0

3) Seleccionar r t a l que,

4) Ejecutar operación de pivote sobre e l elemento a ^ . Todas las opera-

-56-

ciones elementales de renglón que se efectúan sobre l a matriz A deben

también efectuarse sobre e l vector b.

5) Regresar a l a etapa 7) y repetir e l mismo procedimiento sobre e l s i s -

tema resultante.

El proceso termina cuando, en l a etapa 2), 2j - Cj 0 para todo j , -

en cuyo caso ésta es l a solución mínima.

III.1.5 Desigualdades

Si e l problema originalmente contiene restricciones de desigual-

dad lineales del tipo,

Se definen nuevas variables Xhi no negativas, llamadas de holgura, para con-

v e r t i r l a desigualdad en igualdad:

Estas variables entran eon coeficiente 1 (o -1, según e l caso) en l a ecuación

correspondiente y coeficiente 0 en l a demás. En l a función objetivo entran

con coeficiente 0.

III.1.6 No Restricción de no negatividad.

Si alguna variable del problema original, xk, no tiene restricción

de no negatividad, se expresa como l a diferencia de dos variables no negati-

vas

-57-

III.1.7 Bases a r t i f i c i a l e s .

Si e l problema originalmente no contiene una matriz unitaria que

pueda ser usada para l a solución básica i n i c i a l , se emplea e l método de l a

base a r t i f i c i a l , como sigue:

Sea e l problema original,

minimizar

sujeto a

Por e l método de l a base a r t i f i c i a l , e l sistema anterior se aumenta en l a •

siguiente forma:

minimizar

sujeto a

y

Al coeficiente tu se le da un valor positivo bastante grande

58-

Si e l problema es factible, es decir, s i las restricciones son compatibles,

en l a solución mínima fin a l no debe aparecer ninguna variable a r t i f i c i a l -

con valor positivo.

III.2 Normalización del problema

En esta sección se explicará l a organización del problema- de pro-

gramación lineal planteado en e l paso 5) del algoritmo de l a sección 5.2.3

para ajustarlo a l a forma canónica (III.1).

Las mismas explicaciones son válidas para e l problema del paso 4)

del algoritmo de l a sección 5.1.2.

III.2.1. Función objetivo.

La función a minimizar es

que se puede escribir como

donde

NG • número de elementos del conjunto G

NK • número de elementos del conjunto K.

Hay, por lo tanto, 2NG + NK variables.

Además, como no hay restricción de no negatividad, cada variable

debe representarse como l a diferencia de otras dos variables no negativas.

Esto es, en forma generalizada:

-59-

Ahora e l sistema contiene 4NG + 2NK variables. (III.5)

III.2.2 Restricciones

Cada variable original tiene l a siguiente restricción, expresada

en forma generalizada:

l a cual se puede representar por las dos desigualdades

Los términos XMAX - X ¿ y X¿ - XMINj van a formar parte del vector de tér-

minos independientes b de (111.3a). Mientras las variables cumplen con las

restricciones, éstos son positivos. Por cada una de estas restricciones -

de desigualdad se agrega una variable de holgura para convertirla en igual-

dad:

Habrá 4NG + 2NK de estas variables.

Cada una de las restricciones de igualdad

-60-

Se puede escribir como,

y l a restricción de igualdad

se puede escribir como

Por cada restricción de igualdad se agrega una variable a r t i f i c i a l XA¿.

Habrá entonces NK+1 de estas variables.

En l a figura adjunta se muestra l a matriz de restricciones para

e l caso particular NG«2, NK»3. A esta matriz hay que agregarle a l a dere-

cha l a matriz-unitaria correspondiente a l a base i n i c i a l , que está consti-

tuida por las 4NG+2NK variables de holgura de las restricciones de desi-

gualdad más las NK+1 variables a r t i f i c i a l e s correspondientes a las r e s t r i -

cciones de igualdad.

En t o t a l , e l número de renglones es

m « 4NG + 3NK + 1

y e l número de columnas es

n - 8NG + 5NK + 1

III.2.3 Coeficientes de l a función objetivo

La función objetivo aumentada tiene n variables. Las coeficien-

-62-

tes de las primeras 4NG+2NK vienen dados por (III.5); las siguientes

4NG+2NK tienen coeficientes cero por ser variables de holgura y las últi-

mas NK+1 tienen coeficiente de valor grande por ser variables a r t i f i c i a -

les.

111.2.4 Vector de términos independientes

Este vector tiene m componentes. Las primeras 2NG+NK son los

XMAXt - Xi. Los siguientes 2NG+NK son los X± - XMtt^ y las últimas NK+1

tienen valor cero por corresponder a las restricciones de igualdad (rela-

ciones de compatibilidad).

111.2.5 Observación

Como puede apreciarse, las dimensiones de l a matriz de r e s t r i -

cciones pueden resultar excesivamente grandes, aún para redes pequeñas, lo

que exige que, para l a solución del problema de programación l i n e a l , se u-

t i l i c e n programas para computadora optimizados, tomando ventaja de l a gran

esparcidad de-dicha matriz.

Referencias

1. S.I. Gass, "Linear Programming," McGraw-Hill Book Company, Inc., 1964

-65-

Cálculo de Vectores característicos de una matriz A s i n g u l a r c)

F O R T R A N (3.2J/MASTER

PROGRAM OPCOMP

C OPTIMIZACION CON PROGRAMACION LINEAL. PROBLEMA COMPLETO. C EJEMPLO OEL ARTICULO OE DOPA70.

OTMENS I ON R(7). X(7)» IP<7)» 10(7) OT MENSION GT(5)«BT(5>«GY<5«5>»HY(5«5)»Y(5»5)tTH(5«5J DIMENSION EMAX(5)»EMIN(5>»PMAX(5)*PMlN(5>,0MAX(5>»QMIM(5) DIMENSION E (5) ,ANG<S> »P<5)»0<5)»PG(5),06<5)»RE(5),QE<5) DIMENSION PL(5)»QL(5)»B(5)»TND(5) DIMENSION AT (10*10) * A J d O f 10) »DPQ(6) »0AF(6) DIMENSION RS(2B)»VS<11>*DS(61),D(28*62)»C(61)•IBA(22) DIMENSION AL(10)»ALL(5*9),U(5)»T(10) t R E U O )»CE(10) READ 600, N, NEL• NG» NS READ 602. (TND(I)• I=1»N) DO 63 1=1,NEL

63 READ 603. R ( I ) , X(I)> IP(I)» IQ(I) RF AO 604, (GT(I)» I=1»N) READ 604, (BT ( I ) , 1=1,N) READ 601, (EMAX(I), 1=1,N) READ 601, (EMIN(I)* 1=1»N) READ 601, (PLU) I=1»N) RFAO 601, (QL(I)• I=1»N) 00 64 1=1,M ANG(I)=0. OG(I)=0. E(T)=(EMAX(I)*EMlN(I))/2. IF(TND(I)) 6 6 » 6 6 » 6 5

65 PG(I)=0. 8(T)=0. PMAX(I)=0. PMTN(I)=0. QMAX(I)=0. OMTN(I)=0. GOTO 64

66 READ 606, PMAX(I), PMIN(I), QMAX(I), QMlN(I)* B(I) PG(I) = (PMAX(I).*PMIN(I) )/2.

64 CONTINUE DO 71 1=1,N PF<I)=PG(I)-PL<I) QF(I)=OG(I)-QL(I)'

71 CONTINUE N?=?<>N N2M1=2*N-1 NRMR=4«NG*3*N*1 NC MR=4«NG*2*N NVP=?»NG*M N R ? = ? O N G NG4=4*N6 NG4N = 4*\iG*N

NJ»2*N-NG-1 RHO=l80./3.1416 TOLS=.000001" TOLF=.000001

C FORMACION DF LA MATRIZ DE ADMITANCIAS DE NODO *Y BUS* DO 55 1=1,N

FORTRAN (3.?)/MASTER

D<> 55 J=] ,N IF(I.NF.j) GOTO 56 GY(ItJ)xGT(I) BY<I,J)=RT(I) GOTO 55

56 GY(I,J)=0. BY<I«J)=0.

55 CONTINUE 00 57 1=1,NEL CALL PEROL (R U) » X(I)» Z» AZ) Yl=l./Z AY=-AZ G1=Y1»C0SF(AY) Bl=Yl*SlNF(AY) IPP=IP(I) 100=10(1) GY(IPP,IPP)=GY(IPP»IPP)+61 BY(IPP,IPP)=BY(IPP*IPP)*B1 GY(IQO,IQO)=GY(IQO»IQQ)*G1 BY(IOQvIOQ)=BY(IOQ»IQQ)*B1 GY(J.PP»TGQ)=6Y(IPP»IQQ) *61 8Y(IPP»IQO)=BY<IPP»IQQ)*B1 GY(I0Q»IPP)=GY(IPP»IQQ) BY(I0Q»IPP)=BY(IPP»IQQ)

57 CONTINUE 00 5B- T = l ,N DO 58 J=l,N IF(I.EO.J) GOTO 58 GY(I,J)=-GY(I,J) BY<I,J)=-RY(I»J)

58 CONTINUE DO 59 1 = 1 ,N DO 59 J=T»N CALL REPOL ( G Y U t J ) t RY(I.J)» Y l * AY) Y(T,J)=Y1 TH(I,J)=-AY

59 CONTINUE DO 60 1 = 1 ,N DO 60 J=1,N IF( I . L F . J ) GOTO 60 Y(T»J)=Y(J,I) T H ( I . J ) = T H ( J » T )

60 CONTINUE C IMPPFSION DE DATOS Y VALORES INICIALES

PRTNT 502 DO 70 1=1,N

70 PRTNT 503* I» F U ) » ANG (I) • PG(Í)* QG (I) * P H D » Q L d ) PRTNT 526'

526 FOPMAT(/30H POTENCIAS P Y O ESPECIFICADAS) PRTNT 510» ( P E d ) » I = 1*N) PR/INT 510» (QE(I> • I«1»N) IND1=1 IND2=1 NITC=1

FORTRAN <3.?)/MASTER

NAJ=0

M T TF= 0 C SE I N I C I A E L ESTUDIO DE F L U J O S C CALCULO DF. POTENCIAS P Y O

2* DO 1 I«1.M

S ? = 0. 00 2 J=1.M S1«S1 *F < I >•€ <J> *Y(I•J)«COSF(TH<I . J ) * A N G ( I ) - A N G ( J ) ) S?=S? + F. m * E U > * Y ( I , J , * S l N F (TH(I, J ) • ANG (I)-ANG ( J ) )

2 CONTINUE P(T)=S1 Q<I)=S?

1 CONTINUE C DIFERENCIAS EN POTENCJAS ALMACENADAS EN »DPQ*

K = l M = N DO 3 1=1,N IF(TND(I)) 4»3»5

4 DPQ(K)=PE(l)-P(I) K = K + 1 GOTO 3

5 D P O ( K ) = P E ( I ) - P ( I ) D P Q ( M ) = Q E ( I ) - Q ( I ) MsM+l K=K+]*

3 CONTINUE C PRUEBA PARA CONVERGENCIA

DO 6 1 = 1, N-J IF(ABSF(DPQ(I))-TOLF) 6.7,7

6 CONTINUE IF(IND2.E0.2) GOTO 27

7 CONTINUE C FORMACION D F L J A C O B I A N O COMPLETO ALMACENADO EN *AT*

Dü 9 1=1,N DO 8 J=l,N K=T •N L=J*N I F ( Y ( I , J ) . L T . 0 . 1 ) GOTO 54 I F ( I - J ) 10.11,10

10 ARG=TH(I,J)fANG(I)-ANG(J) AT ( I , J ) =F (I ) *E-( J ) »Y (I « J ) *SI NF ( ARG) AT^I,L)=E(I)*Y(I,J)*COSF(ARG) AT(K»J)=-F(I)*F(J)*Y(I,J)*COSF(ARG) AT (K ,L) S F (I) *Y>¿Í ,J)*SINF(ARG) GOTO 8

11 S1=0. S2=(f. S3=0. S4 = 0. DO 12 M=l,N IF(M-I) 13,12,13

13 A R G = T H ( T » ^ ) * A N G ( I ) - A N G ( M ) SlsSl*E<I>*E(M)»Y(I,M)*SlNF(ARG)

FORTRAN (3.2)/MASTER

S?=S?+E(M)*Y(I»M)*COSF(ARG) S3=S3+F (1 i * E < M) * Y ( I»M)*COSF(AR6) S4 = S4 + E <M)»Y(I»M)*SINF(ARti)

1? CONTINUE AT<I,J)=-S1 AT(I»L)=2.»E(I)»YU»I)*COSF(TH(I»I) >*S2 AT<K,J)=S3 AT(K,L>=2.»E(I)»Y<I,I)*SINF<TH(I*I>> *S4 GOTO 8

54 AT<I,J)=0. AT(I»L)=0• AT(K » J)=0 • AT (K,L)=0 «

8 CONTINUE 9 CONTINUE

C JACOBIANO REDUCIDO PARA ESTUDIO DE FLUJOS ALMACENADO EN *AJ* DO 14 1=1,N2 DO 14 J=1,N2 AJ(I,J)=AT <I»J>

14 CONTINUE K = 0 DO 15 1*1,N IF(TND(In 17,16*15

16 CALI. REDUCE <AJ, N2-K, I) K = K4-1

17 CALL "REDUCE <AJ, N2-K, I + N-K) K = K + 1

15 CONTINUE CALL INVER (NJ, Aj)

C CALCULO DE CORRECCIONES EN VOLTAJE Y ANGULO, ALMACENADAS EN *DAE* DO 19 1=1,NJ S=0. DO 18 J=],NJ

18 S=S*AJ(I,J>*DPQ(J) DAEd)=S

19 CONTINUE C APLICACION DE LAS CORRECCIONES CALCULADAS

K=] M = M DO 23 1=1,N IF(TNOU)) 24,?3»25

24 AMfi (I) = ANG (I)tDAE-(K) K = K + 1 GOTO 23

25 ANG(I)= ANG(I)+DAE(K) E(T)=E(I)•DAE<M) M = M*1 K = K*1

23 CONTINUE NITF=NITF*1 IND2=2 GOTO 26

C POTENCIAS 'REACTIVAS EN NODOS GENERADORES Y ACTIVA EN EL MODO SLACK 27 DO 28 .1 = 1,N


IF(TND(I) ) 30,29,28

29 PG(t)=P(T)*PL(T) 30 QGU)=0<I)*G)L(I) 28 CONTINUE

PRINT 501, NAJ PRINT 50? DO 6? 1 = 1. N ANG(I)=ANG<I)*PRO PRINT 503, I» F(I>, ANG(I). PG (I) » QG (I > » PL<I>, Q U I ) ANG(I)=ANG(I)/RHO

62 CONTINUE PRINT 504. MlTF DO 155 1=1,N IF(E(I).LT.EMIN(I).OR.Ed).GT.EMAX(I)) GOTO 156 IF(TND <I)) 157,157,155

157 IF(PG(I).LT.PMIN(I).OR.PG(I).GT.PMAX(I)) GOTO 156 IF(0G(I).LT.QMIN(I).OR.OG<I).GT.QMAK(I)) GOTO 156

155 CONTINUE *IF(IND1.F0.2) GOTO 151

156 CONTINUE C CALCULO DEL COSTO ANTES DE OPTIMIZAR

COSTOl=0. DO 31 1=1,N IF frTND(I)) 32,32*31

32 COST01=COSTOl*R(I)*PG(I) 31 CONTINUF

PRÍNT 505, COSTOl V=?,45

100 CALL CARACT (AT, N2, 1, V, AL) PRINT 500« NITC PRTNT 520

.520 FORMAT(/?2H VECTOR CARACTERISTICO) PRTNT 510, ( A L ( I ) , I S1,N2)

C CALCULO DE LA MATRIZ DE VALORES CARACTERISTICOS *ALL* DO 101 1 = 1,N K = I*N N?K=N2-K' DO 102 J=1,N2 RE(J)=AT(K,J) CF(J)=AT(J»K)

102 CONTINUE IF(I.EO.N) GOTO 104 DO 103 J=K,N2M1

103 CE(J>=CE(J*1) 104 CALL REDUCE (AT, N2, K)

CALL CARACT (AT, N2M1, 1, V, T) S=0. DO 105 J=1,N2M1 ALL(I,J)=T(J) S = W ( J ) ¿ C E ( J )

105 CONTINUE U(I)=S IF(I.EQ.N) GOTO 101 DO 106 L=1,N2M1


DO 107 Jsl»N2K JJ=N2-J*í AT<L»JJ)=AT(L*JJ-1)

107 CONTINUE AT(L,K)=CEÍL)

106 CONTINUE 00 108 Jsl»N? DO 109 L=liN2K LL=N?-L*1 AT(LL*J)=AT(LL-1•J)

109 CONTINUE AT(K,J)=RE(J)


C FORMACION DE LA MATRIZ.DE RESTRICCIONES «D» DO 110 I=1,NRMP DO 110 J=1,NCMR

110 D<I*J)=0. DO 111 Isl.NVR DO 11U=1»NVR Ip<I.NF.'i) GOTO 111 K=T*NVP L=J*NVR D(T-*J)=1. 0(T«L)a-l. 0(K»J)-s-l. D(K -,L)=1.

111 CONTINUE L=MCMR DO 119 Is|,N L=L*1 K = 0 K 1 =NG DO 112 J s l , N NG2J=NG2*J NG4NJ=NG4N*J IFÍTNDÍJ)) 113*113*114

113 K = K*1 K1=K1+1 NMJ=N* J JK=NVR*K JK1=NVR*K1 D(L»K)=ALL(I»J) I F ( I - J ) 115*116.117

115 n<L,Kl)=ALL(I»WMJ-l) GOTO 118

116 D ( L , K » = 0 . GOTO 118

117 D(L»K1)=ALL(I*NMJ) 118 D(L•JK)=-D(L«K)

0<L*JKl)=-D<L*Kl) 114 IF(I.NE.J) GOTO 112

D(L»NG2J)«-U<I) D(L»NG4NJ)=U(I)

FORTRAN ( 3»2)/MASTER

11? CONTINUE

119 CONTINUE K = 0 K1=MG 00 120 J=1,N IF(TND(J))'121*121*120

121 K=K+1 KlsKl+1 M.MJsN*J JK=NVR*K JK]=NVR+KT 0 ( N P M R . K ) s A L ( J ) 0(NRMR,K1)»AL(NMJ) D (NRMR » J K 5*--L) (NRMR,K ) 0(NRMR•JK i)=-0 ( NRMR *K1) C<K)=B(J)

120 CONTINUE C COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO *C»

DO 122 J=l*NVR jjsNVR*J IF(J.LF.NG2) GOTO 123 K=J-NG2 C(J)=U(K) GOTO 124

123 L=NCMR*1 S=0. DO 125 I=L*NRMR

125 S=S*Dd*J) IF(J.LE.NG) GOTO 126 C <J)=-S GOTO 124

126 C(J)=C(J)-S 124 C(JJ)=-C<J) 122 CONTINUE

C VECTOR DE TERMINOS INDEPENDIENTES *BS* K = 0 DO 127 I=1*N NG?I=NG2*I NG4NI=NG4N*I N C M R I = N C M P + I I F ( T N D ( I ) ) 128,128*129

128 KsK*l NGK=NG*K NVPK=MvR*K NG3NK=3*NG+N*K BS(K)=PMAX(I)-PG(I) BS(NGK) SQMAXd)-QG(I) 8S(NVRK)=PGd)-PMINd) BS(NG3NK)=QG(I)-QMIN(I>

129 BS(NG2I>=FMAX(I)-Ed) BS<NG4NI)=E(I)-EMIN(I) BS(NCMRI)=0.

127 CONTINUE PRINT 55?

FORTRAN (3.2)/MASTfcR

552 F0PMAK/34H VECTOR OE TERMINOS INDEPENDIENTES)

PRTNT 510* <BSd>* I=1»NRMR) C MODIFICACIONES OPR VIOLACION DE RESTRICCIONES

NTS=NCMR DO 130 T=],NCMR I F ( B S ( D ) 131.132*132

131 IBA(I)=1 NTS=NTS+1 C(NTS)=0. BS(I)s-BS(T) DO 133 Jsl.NCMR

133 0(TtJ)s-0<I»J) DO 134 Kr1« NRMR IF(K.EO.I) 60T0 135 OIK»NTS)=0. GOTO 134

135 D(K«NTS)=-1. 134 CONTINUE

GOTO 130 132 IBA(I)=0 130 CONTINUE

K=MTS DO 136 1=1*NRMR K = K*«1 IF (I.I.E.NCMR) GOTO 137 C(K)=100. GOTO 136

137 IF ( I 6 A ( I ) . E Q . l ) GOTO 138 C(K)=0. GOTO 136

138 C(K)=100. 136 CONTINUE

C TRANSFORMACION DE VARIARLES K = 0 K) =NG K2=NG2 DO 139 Ir]»N K?=K2*1 VS(K2)=E(I) IF(TNO(I)) 140»140»139

140 K=K+1 K1=K1*1 VS(K)=PG(I) VS(Kl^tíGd)

139 CONTINUE PPTNT 553 /

553 FOPMAT(/17H VARIABLES REALES) PRTNT 510* (VS(I)* I=1*NVR) CALL SIMPLEX (NRMR * NTS• D» BS* C» DS)

C AJUSTES PARA INTERPRETACION DEL SIMPLEX DO 141 I=1*NVR K=NVR*I DSd)=DS(T)-OS(K)

141 CONTINUE


PRINT 523 523 FORMAT</?7H CORRECCIONES SEGUN SIMPLEX)

PRTNT 510, <OS(I>, I=1*NVR) FAC=1.

142 COST02*0, 00 143 I=i,NVR

143 DS(I)=DS<T>«FAC C CRITERIO DE FINALIZACION

' DO 144 1=1,NVR IF(ABSF(DS(I))-TOLS) 144,145,145

144 CONTINUE GOTO 154

145 00 146 Is),NVR IF(ABSF<DS<I))-TOLF) 146»147»147

146 CONTINUE TOLF=TOLF».l

C APLICACION DE LAS CORRECCIONES DADAS POR SIMPLEX 147 ,Ks()

K1=NG2 DO 148 1 = 1 ,N K1=K1*1 IF(TND(I)) 149,150*148

149 K=K*1 PG(I)=VS(K)+DS(K) E(T)=VS(K])•DS(Kl) C0ST02=C0ST02*R(I)*PG(I) PEÍI)=PG(I)-PL(I> GOTO 148

150 KsK+l E(T)=VS(K1)*0S(K1)

148 CONTINUE PRTNT 554

554 FORMAT(/28H VARIABLES REALES CORREGIDAS) PRTNT 510, (PG(I), I=1«N) PRTNT 510-, (QG(I> , I=1*N) PPINT 510, (E(I> « 1=1,N)'

C SE REGRESA A ESTUDIO DE FLUJOS IND1=2 NTTF=0 GOjO 26

151 CONTINUE C0STO2=COST02+R(NS)»PG(NS) PRTNT 505, C0ST02 IF <CO-<T02-COST01> 152*153*153

152 C0ST01pC0ST02 NTTC=NITC*1 NAJ=0 GOTO 100

153 FAC=.5 NAJ=NAJ*1 GOTO 142

154 CONTINUE PRINT 508

500 .F0RMAT(//5X, 25HITERACION COMPLETA NUMERO, 14)


SUBROUTINE SIMP|_EX(M. N» A, B» C. X) DIMENSION A(28.62)*C(61)»TBV(28)»ZC<61)»X(61).B(28) DO 31 T = 1.M DO 32 J=1.M L=N*J I F ( I - J ) 33.34,33

33 A(I.t)=0. GOTO 32

34 A(T,L)=1. 3? CONTINUE 31 CONTINUE

DO 3 1 = 1, IRV(I)=N4

3 CONTINUE N=N*M N1=N*1 DO 2 1=1,M

2.A(T,N1)=B(I) F=n. NPTV=l

4 G=-99^99. SM=99999. DO 6 J=.1,M DO 1 K=1,M IF(J.EQ.IRV(K)) GOTO 20

1 CONTINUE S=6. DO 5 1=1,M L=TBV<I) S=S*C(L)*A(I.J)

5 CONTINUE ZC(J)=S-C(J) GOTO 30

20 ZC(J)=0. 30 IF(ZC(J).LE.G) GOTO 6

G=ZC(J) JC = J

6 CONTINU.. IF(G-0.000001) 27,27,28

27 PRINT 204 29 CONTINUE

PRINT 205 DO 15/J=1,N DO 14 4 = 1 ,M IF(J.EQ.IBV(I)) GOTO 13

14 CONTINUE X(J)=0. GOTO 15

13 X(J)=A(1,N1) PRINT 206. J» X(J)

15 CONTINUE GOTO 19

28 L=0 DO 8 I«1,M


IF(A( I , J C ) ) 21»21»22

21 L = L*1 GOTO 8

22 Q=A(I,N1)/A(I,JC) IF(Q.GE.SM) GOTO 8

IR=I 8 CONTINUE

I F ( L - M ) 24,23,24 23 PRTNT 208

GOTO 29 24 PTV=A(IR,JC)

IBV(IR)=JC IF(PIV.EQ.1.) GOTO 10 DO 9 J=l,Nl A(TP»J)=A(IR»J)/PIV

9 CONTINUE 10 DO 12 1 = 1 ,M

'IF(I.EQ.IR) GOTO 12 IF (A (I • JC).EQ.O.) GOTO 12 E=A(I,JC) DO 11 J=1,N1 IF(J-JC) 26*25,26

25 A(T,J>=0. GOTO 11

26 A(T,J)c=A(I,J)-E*A(IR»J) 11 CONTINUE 12 CONTINUE

F = 0. DO 7 1 = 1 ,M L=IBV(I) F=F*C(L)*A(I»N1)

7 CONTINtrE-NPTV=NPIV*1 GOTO 4

19 CONTINUE PRTNT 207, F

204 FORMAT(/9H SOLUCION) 205 FORMAT(16H VARIABLE VALOR) 206 F.ORMATU5, F12.4) 207 FORMAT(19H FUNCION OBJETIVO =,F10.4/) 208 FORMAT(/20H SOLUCION DEGENERADA)

RETURN. END

PROGRAM VARIABLES

00322 F 00034 IBV

00274 F 00317 IR 00301 G 00264 J .00262 I 00310 JC

STATEMENT NUMBERS

00305 00265 00273

K

L Nl

002'

0031 003!

1

?

4

5

00577

00541

JLQ52IL

10

11 J_2_

01077

01142 _0JL152_

00560 0062*

13 14

00736 0072?

22

23 .24. 25 26

01003

01040

01130 01134

30

31 32-33 34

00644

00502 _0LQAJ.2_ 00463 0Q467


SUBROUTINE CARACT (8* N» K* XK* XC)

DIMENSION XC<10)»8(10*10)*A( 10*10)*ALFA(10) N1=N-1 DO 1 1=1,N DO 1 J=1,M A< I*J)=B(J*I)

1 CONTINUE IF(K.NE.N) GOTO 11 DO 2 1=1,Nl Ai_FA(I)=A(I,N)

2 CONTINUE 3 CALL INVFR ( N l , A) DO 10 1=1,N IFU.GE.K) GOTO 6 S=0. DO 4 J = l , N l S=S*A(I,J)»ALFA(J)

4 CONTINUE 5 XCd)=-XK*S GOTO 10

6 IF(I-K) 8,7,8 7 XC(I)=XK GOTO 10

8 S = 0. DO 9 J = l , N l S=S*ACI-1,J)»ALFA(J)

9 CONTINUE GOTO 5

10 CONTINUE GOTO 17

11 DO 15 J=1,N IF(J.NE.K*1) GOTO 13 DO 12 L=1*N1 ALFA(L)=A(L»K)

12 CONTINUE 13 DO 14 I=K,Nl

A(T »J)=A<1*1,J) 14 CONTINUE 15 CONTINUE

DO 1* 1=1,Nl DO 16 J=K,Nl A ( I , J ) s A ( I , J * l )

16 CONTINUE GOTO 3

17 CONTINUE RETURN END

PROGRAM VARIABLES

.00000 A 00336 I 00345. L 003: 00310 ALFA 00337 J

STATEMENT NUMRFRS

1 00461 5 00562 9 00612 13 00664 ? nn5l4 6__.AQ5.6I IO G 0.6.2 3 : L4 00 671 3 00524 7 00574 11 00634 15 007ol 4 00552 8 00600 12 006.5A 16 00720

http://6__.AQ5.6I

FORTRAN < 3 . 2 ) / M A S T E R

SU«H0UTINF REPOL (X, Y» R, T)

IF(X) 1,?,3 1 IF ( Y ) 4 , 5, 4 2 IF(Y) 6,7,8 3 IF(Y) 9,10,9 4 T=3.141593*ATAN(Y/X)

GOTO 12 5 T=3.141593 GOTO 1?

6 T = -3.141593/2. GOTO 1?

7 T = 0. R = 0. GOTO 13

8 T=3.141593/2. GOTO 12

9 T s A TAN(Y/X) GOTO 12

10 T=0. 12 RsSQRT(X»X•Y*Y) 13 CONTINUE

RETURN END

STATEMENT NUMBERS

1 00014 3 00024 5 00040 7 00047

2 00020 * 00030 6 00043 8 00054

FORTRAN DIAGNOSTIC RESULTS FOR REPOL

NO ERRORS

REPOL P 00160 C 00000 D 00000

E

I

FORTRAN ( 3 . 2 ) / M A S T E R

SUBROUTINF INVFR(N • A) DIMENSION A (10»10) DO 10 I»I.»N . 0=1./A(I,I) DO 15 J=l*N

15 A(T»J)=A(I,J)*D A(I»I)=D DO 20 K«1.M IF(I-K) llf20»ll

11 D=A(K,I) A ( K t I ) = 0 . DO 22 J=1«N

22 A(K,J)sA(K*J)-D«A(I«J) 20 CONTINUE 10 CONTINUE

RETURN END

PROGPAM VARIABLES

00004 D 00000 I 00007 J 0001

STATEMENT NUMBERS

10 00160 11 00124 15 00077 20 00150

FORTRAN DIAGNOSTIC RESULTS FOR IisiVFR

RRORS

N V E R P 0023? C 00000 D 00000

FORTRAN (3•2)/MASTER

SURROUTINF REDUCE (At N» K)

DIMENSION A (10,10) IF(K.EO.N) GOTO 3 N1=N-1 DO 1 J=1.N DO 1 IsK,Nl A(I»J)=A(T-rl,J)

1 CONTINUE DO 2 1=1,Nl DO 2 J=K,Nl A(T»J)=A(I,J*1)


RFTURN END

PROGRAM VARIABLES

0 0 0 0 3 I 00002 J 00000 Nl

STATEMENT NUMBFRS

1 00052 2 00100 3 00117 32765 00036

FORTRAN DIAGNOSTIC RESULTS FOR REDUCE

NO ERRORS

REDUCE P 00163 C 00000 D 00000 XtLGO

institutotecnolÓgic oy de estudios superioresd …

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