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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

MODELO VALOR ACTUAL NETO (VAN) PROBABILISTICO CON TASA DE INTERES VARIABLE:

UN MODELO ECONOMETRICO PARTICULAR 2001-2006

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS

(ECONOMÍA FINANCIERA)

P R E S E N T A

SERGIO MENDOZA SANDOVAL

MÉXICO, D.F. OCTUBRE DE 2008.

Dedicatoria

A mi Mamá Vicki y a la memoria de mi Padre, Don Lino Mendoza de quiénes me encuentro profundamente orgulloso por el ejemplo que me inculcaron, a éllos les debo mis valores, la fortaleza y la enseñanza para poder enfrentar la vida.

Gracias Mamá, Gracias Papá. A mi esposa, Arcelia, con quién he compartido y enfrentado la vida y a mis hijos, Christopher, Alan y Sergio, todos éllos motivos de mi vida, sin su valor y apoyo no hubiera sido posible culminar este proyecto de vida.

Gracias Esposa.

Agradecimientos

De manera muy especial a mis hermanos: Rosario, Maricela, Jorge, Virginia y Lino por su incondicional y valioso apoyo en todos los sentidos. Gracias por confiar en mí. Mi más profundo agradecimiento a la Escuela Superior de Economía, del Instituto Politécnico Nacional, por abrirme sus puertas para mi formación académica. A mis profesores de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Economía, por compartir sus conocimientos y experiencia, fundamental para la realización de este trabajo, en especial para mi Director de Tesis el M. en C. José Ramos Poutou. A mis profesores: Dr. Humberto Ríos Bolívar, M. en C. Héctor Allier Campuzano, Dr. Francisco Almagro Vázquez y Dr. Gerardo Ángeles Castro, por sus enseñanzas y valiosos consejos. Al General de División P.A Víctor Manuel Noble Contreras y al C.P. Raúl Pérez Lozano por su gran apoyo y amistad, al Lic. Oscar Rivera Espinosa un joven y gran amigo. A mis amigos y amigas, por su amor, cariño y comprensión, además de aceptarme con todos mis defectos y virtudes.

Gracias a todos.

I

ÍNDICE

SIGLAS Y ABREVIATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

GLOSARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

ÍNDICE DE CUADROS, FIGURAS, GRÁFICOS Y TABLAS . . . . . . . . . . . . .

VI

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XII

INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIII

1 SEMBLANZA HISTÓRICA DE LA TEORÍA DE LOS FLUJOS DESCONTADOS

1.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Comparación de alternativas de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Operaciones del valor del dinero en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2 LA CONSTRUCCIÓN DE LOS FLUJOS DE CAJA

2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2 Elementos del flujo de caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3 Estructura de un flujo de caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4 Flujos de caja de proyectos en empresas en marcha . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.5 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.6 Simulación para la evaluación de un proyecto de inversión, utilizando como criterio de evaluación: el valor actual neto (van) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3 LA TASA DE INTERÉS ALEATORIA EN LA VALORACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN

3.1 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.2 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.3 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

II

3.4 Simulación del modelo probabilístico para la solución de la tasa de interés aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

III

Siglas y abreviaturas ARIMA: Modelo autoregresivo de primer orden de integración con medias móviles BNt : Beneficio neto del flujo de caja en el periodo t CF : Cash flow Et : Egreso del proyecto FCFFi : Free cash flow to the firm (por sus siglas en inglés) flujos de efectivo F.E: Flujos de efectivo FEN: Flujos de efectivo netos I0 : Inversión inicial it : Tasa de descuento fija (it + ut ) : Tasa de descuento variable (aleatoria) ( 1 + it) : Factor de descuento [1 + (it + ut )] : Factor de descuento aleatorio MCO : Mínimos cuadrados ordinarios t: t-ésimo año TIIE: Tasa de interés interbancaria de equilibrio TIMA : Tasa de interés mínima atractiva TIR : Tasa interna de rendimiento VAi : Valor anual V.D.: Valor de desecho VAN : Valor actual neto VFi : Valor futuro VPi : Valor presente

IV

VPN : Valor presente neto Yt : Ingreso del proyecto

V

Glosario Capital de trabajo : Diferencia del activo circulante respecto al pasivo circulante, cuyo margen positivo permite a las empresas cumplir con sus obligaciones a corto plazo. Costos: se agrupan, según el objeto del gasto, en costos de fabricación, gastos de operación, financieros y otros. Costo de operación : valoración monetaria de la suma de recursos destinados a la administración, operación y funcionamiento de un organismo, empresa o entidad publica. Depreciación : Es la pérdida o disminución en el valor material o funcional del activo fijo tangible, la cual se debe fundamentalmente al desgaste de la propiedad porque no se ha cubierto con las reparaciones o con los reemplazos adecuados. Gastos financieros : Representa los gastos de intereses por los préstamos obtenidos. Métodos de flujos descontados : Podemos exponer que las alternativas de inversión

se pueden comparar de distintas maneras. Las comparaciones son de valor presente (VP) y valor anual (VA) son dos procedimientos de uso común. Entre los métodos que existen para comparar alternativas de inversión, figuran:

1. Método del valor presente. 2. Método del valor anual. 3. Método del valor futuro. 4. Método del periodo de reembolso. 5. Método de la tasa de rendimiento o rentabilidad. 6. Método de la razón ahorro/inversión o beneficio/costo.

VI

Índice de cuadros, gráficos y tablas Cuadro 2.1

Cálculo de depreciación en miles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Cuadro 2.2

Flujo de caja de un proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Cuadro 2.3

Tabla de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Cuadro 2.4

Flujo de caja de un inversionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Cuadro 2.5

Flujo de caja de un inversionista incorporando el efecto del ahorro tributario de los intereses del préstamo . . . . . . . . . . . .

50 Cuadro 2.6

Flujo de caja de una situación sin proyecto . . . . . . . . . . . . . . .

53

Cuadro 2.7

Flujo de caja de una situación con proyecto . . . . . . . . . . . . . . .

53

Cuadro 2.8

Flujos diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Cuadro 2.9

Flujo incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Cuadro 3.4.1

Muestra en pantalla en eviews del modelo de tesis . . . . . . . .

78

Cuadro 3.4.2

Forma de calcular en eviews de un correlograma . . . . . . . . . .

85

Cuadro 3.4.3

Análisis del correlograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Cuadro 3.4.4

Análisis del correlograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

Cuadro 3.4.5

Modelo a primera diferencia con 150 datos . . . . . . . . . . . . . .

86

Cuadro 3.4.6

Evidencia de una serie estacionaria en un correlograma . . . .

87

Cuadro 3.4.7

Modelo a segunda diferencia con 150 datos . . . . . . . . . . . . .

87

Cuadro 3.4.8

Pruebas anidadas, para saber si existe o no una raíz unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 Cuadro 3.4.9

Correlograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Cuadro 3.4.10

Una prueba para yt sin la primera diferencia . . . . . . . . . . . . .

89

Cuadro 3.4.11

Una prueba para yt con la primera diferencia . . . . . . . . . . . . .

90

Cuadro 3.4.12

Prueba Phillips Perron para saber si existe o no una raíz unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

VII

Cuadro 3.4.13

Correlograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Cuadro 3.4.14

Rango de la serie TIIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Cuadro 3.4.15

Modificación del rango de la serie TIIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Cuadro 3.4.16

Range ≠ sample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

Cuadro 3.4.17

Range = sample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

Cuadro 3.4.18

Elección para pronosticar (forecast) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Cuadro 3.4.19

Elección de la variable original TIIE, para pronosticar . . . . . . .

100

Cuadro 3.4.20

Elección del rango completo de la serie TIIE . . . . . . . . . . . . . .

100

Cuadro 3.4.21

Elección del rango para los tres últimos datos conocidos de la serie TIIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100 Cuadro 3.4.22

Efecto de la serie TIIE pronosticada para datos conocidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 Cuadro 3.4.23

Elección del rango para los tres últimos datos no conocidos de la serie TIIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102 Cuadro 3.4.24

Efecto de la serie TIIE pronosticada para datos no conocidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102 Cuadro 3.4.25

Resultados del pronóstico de la TIIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

Cuadro 3.4.26

Gráfica de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

Cuadro A 4.1

Efecto total del cambio de una posición a otra . . . . . . . . . . . . .

112

Cuadro A 4.2

Efecto en términos de temporalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

Cuadro A 4.3

Modelo dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

Cuadro A 4.3

Solución de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

Cuadro A 5.1

Patrón que describe el modelo ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

Cuadro A 5.2

Patrón que describe una serie para llegar de una fase a otra cuando se realiza una aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121 Figura 1.1.1

Representación gráfica de la relación existente entre valor futuro y valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

VIII

Figura 1.1.2 Representación gráfica de la relación de la función de utilidad del individuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Figura 1.1.3

Representación gráfica de la relación de la función de utilidad del individuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Figura 1.1.4

Representación gráfica del rendimiento marginal decreciente del capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Figura 1.1.5

Representación gráfica del mercado de capitales . . . . . . . . . .

6

Figura 1.2.1

Diagrama de flujo de efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Figura 1.2.2

Diagrama de flujo de efectivo para dos situaciones mutuamente exclusivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 Figura 1.3.1

Diagrama de flujo de efectivo que muestra la relación entre presente y futuro en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 Figura 1.3.2

Serie de flujos de efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Figura 1.3.3

Diagrama de efectivo que muestra la relación entre el valor presente y una anualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 Figura 1.3.4

Diagrama de flujos de efectivo equivalentes . . . . . . . . . . . . . .

36

Figura 1.3.5

Diagrama de flujo de efectivo de pago diferido . . . . . . . . . . . .

37

Figura 1.3.6

Diagrama de flujo de efectivo que muestra la relación entre una anualidad y el valor futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 Gráfica 3.4.1

Gráfica de la forma funcional de la TIIE . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Gráfica 3.4.2

Gráfica de datos lineales reales, estimados y residuos . . . . . .

74

Gráfica 3.4.3

Gráfica de datos de una exponencial reales, estimados y residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 Gráfica 3.4.4

Gráfica de datos cuadráticos reales, estimados y residuos . . .

75

Gráfica 3.4.5

Datos sin tendencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Tabla 1.2.1

Obtención de alternativas de inversión mutuamente exclusivas partiendo de propuestas de inversión . . . . . . . . . . .

8 Tabla 1.2.2

Perfiles de flujo de efectivo para dos alternativas de inversión mutuamente exclusivas que tienen vidas diferentes . . . . . . . .

10

IX

Tabla 1.2.3 Perfiles de flujo de efectivo para varios horizontes de planificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Tabla 1.2.4

Perfiles de flujo de efectivo para Tres propuestas de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Tabla 1.2.5

Perfiles de flujo de efectivo para cuatro propuestas de inversión mutuamente exclusivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Tabla 1.2.6

Datos ilustrativos del significado de la tasa interna de rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 Tabla 1.2.7

Perfil de flujo de efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Tabla 1.3.1

Ilustración del efecto del interés compuesto sobre una cantidad de valor presente (o Tabla de Amortización) . . . . . .

27 Tabla 2.1

Tabla de depreciación y tabla de ingresos . . . . . . . . . . . . . .

59

Tabla 2.2

Tabla de ingresos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Tabla 2.3

Tabla de amortización intangible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Tabla 2.4

Flujo de caja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Tabla 2.5

El valor actual neto como resultado de la acumulación de los valores actuales de cada flujo de efectivo Neto (FEN) . . . . . . .

64 Tabla 2.6

El valor actual neto para una tasa de interés del 10% . . . . . . .

65

Tabla 3.4.1

Tasas de Interés Interbancarias promedio mensual, en por ciento anual (TIIE a 91 días), período: ene 1997 - sep 2007 .

72 Tabla 3.4.2

t-student calculado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Tabla 3.4.3

Datos numéricos reales, estimados y residuos de la serie TIIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 Tabla 3.4.4

Cálculos de estimación de la serie TIIE en eviews . . . . . . . . . .

79

Tabla 3.4.5

Cálculos de estimación de la serie TIIE en eviews con rezago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 Tabla 3.4.6

Datos para comprobar que el polinomio característico sea invertible y que la raíz característica, sea ≠ 1 . . . . . . . . . . . .

81 Tabla 3.4.7

Datos para comprobar que el polinomio característico sea invertible y que la raíz característica, sea ≠ 1 . . . . . . . . . . . .

82

X

Tabla 3.4.8 Cálculos de estimación de la serie TIIE en eviews . . . . . . . . . . 83 Tabla 3.4.9

Comparación t-student con el Dickey-Fuller . . . . . . . . . . . . . . .

89

Tabla 3.4.10

Evidencia, de que un modelo es lineal, o exponencial (linealizado) por la 1ª diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90 Tabla 3.4.11

Prueba Phillips al nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Tabla 3.4.12

Prueba Phillips con 1ª diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Tabla 3.4.13

La otra prueba son los criterios de Akaike y Shwartz . . . . . . . .

95

Tabla 3.4.14

Prueba de certeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

XI

Resumen El objetivo en este trabajo, es desarrollar el (VAN) tradicional, a partir de los supuestos

que lo sustentan y posteriormente agregarle un supuesto diferente con la finalidad de

hacerlo mas efectivo en el análisis tradicional de inversiones. Es decir, trataremos de

realizar una modesta modificación (aportación), a la tradición milenaria de los flujos

descontados con una aplicación probabilística en las finanzas modernas.

Este trabajo proporciona una expresión aproximada para calcular el valor actual neto

(VAN) de una inversión en el caso de tipos de interés variables. En efecto, si los tipos

de interés son variables aleatorias, la mayor dificultad que presenta el cálculo del VAN

es encontrar una expresión matemática-estadística para el factor de descuento, puesto

que el tipo de interés está incluido en el denominador. En tal situación, el primer

problema es determinar si se deja modelar el factor de descuento aleatorio y después

calcular su valor. No cabe ninguna duda de que este procedimiento no es muy

complicado, incluso cuando la función de densidad de la variable aleatoria inicial es

elemental. En este trabajo, a partir del momento de primer orden de integración del tipo

de interés aleatorio, se obtiene un resultado muy aproximado, salvando los problemas

mencionados.

De los resultados de este trabajo, podemos decir que en la estimación del (VAN) con

tasas de interés variable a futuro, es posible tomar buenas decisiones de inversión, no

solo en situaciones estables de la economía, sino principalmente, en situaciones de

inestabilidad económica, ya que si bien en ciencias como la física, de la cual el genio

del siglo xx en esta materia, Albert Einsten afirmaba que todo estaba predeterminado y

por lo tanto dios no jugaba a los dados, nosotros pensamos que en una ciencia como lo

es la economía, dios si juega a los dados.

XII

Abstract The aim in this paper is to develop the (NPV) traditional, based on the assumptions

behind it and then add a different course in order to become more effective in analysing

traditional investments. In other words, try to make a modest change (input), the ancient

tradition of flows discounted with a probabilistic application in modern finance.

This paper provides an approximated expression for the net present value (NPV) of an

investment in the case of random interest rates. In effect, if the rates of interest are

random variables, the most difficulty when trying to calculate the NPV is to find the

mathematical-statistical expectation of the discount factor because the interest rate is

included in the denominator. In this way, the first problem is to determine if left modeling

random discount factor and after to calculate its mean. There is not any doubt that this

is not very complicated procedure even when the density function of the initial random

variable is elementary. In this paper, starting from the moment of first order of

integration the random interest rate, we obtain a very approximated result avoiding the

aforementioned problems.

The results of this work, we can say that in the estimation of (NPV) with variable interest

rates in future, it is possible to make good investment decisions, not only in situations

stable economy, but mainly in situations of economic instability Because while sciences

such as physics, in which the genius of the twentieth century in this area, Albert Einsten

stated that everything was predetermined and therefore not playing god to the dice, we

think that a science as it is the economy, if God plays dice.

XIII

Introducción En la ciencia económica, uno de los objetivos han sido las investigaciones de las causas y los efectos de los mercados financieros en el resto de la economía. Para ello existe una rama de la ciencia económica llamada finanzas cuyo objetivo se centra en el proceso mediante el cual estos mercados especiales tratan los flujos de efectivo a través del tiempo, así como las decisiones de financiamiento e inversión. No obstante, existe un sin número de metodologías y fórmulas o modelos que sirven para determinar decisiones ya sea en el ahorro y/o en la inversión.

En el caso de México, según varios análisis realizados por algunos investigadores, han observado que la tasa de interés no es una variable fundamental ni para el ahorro, ni para la inversión, debido a su alta manipulación fuera del contexto estrictamente económico. Ante las deficiencias del cálculo, se encuentran: 1.- El hecho de que la tasa de descuento, contiene como un (coeficiente) constante a la tasa de interés. Obviamente en este escenario, calcular el financiamiento a pagos fijos con la tasa de interés actual, provoca una manipulación discrecional de la misma por parte de las instituciones financieras, que les permite mantenerla constante en caso de que vaya a la baja y poderla ajustar cuando vaya a la alza, permitiéndoles que el crédito en México sea muy rentable para las Instituciones Financieras y demasiado caro para las empresas que se tienen que financiar. 2.- Obtener financiamiento se dificulta por la incertidumbre de los flujos y la estacionalidad de los mismos.

En este contexto el objetivo de este trabajo de tesis, es probar que en un entorno de volatilidad e incertidumbre económica, la incorporación de las variaciones en la tasa de interés, - en el factor de descuento del modelo VAN-, nos permitirá construir un modelo VAN probabilístico, que mejorará la efectividad del mismo para identificar mejores decisiones de inversión. Es decir, queremos construir un modelo que permita tomar decisiones de apalancamiento (endeudamiento) e inversión, bajo escenarios altamente volátiles en general y en particular aplicar este modelo al caso de las empresas mexicanas. Para lograr el objetivo, se introduce el método de los flujos descontados mediante el modelo del valor actual neto “VAN” que incorpora la tasa de interés interbancaria de equilibrio “TIIE”, y se asocia con un modelo econométrico de serie de tiempo.

La hipótesis teórica a comprobar, es que el modelo VAN probabilístico aplicado con una tasa de interés variable, permitirá predicciones más certeras.

Para comprobar la hipótesis de la tesis, se realiza en el primer capítulo una semblanza histórica de la teoría de los flujos descontados, posteriormente con las aportaciones más significativas de las teorías, técnicas y métodos para realizar una inversión y finalmente con ejemplos de operaciones para calcular el valor del dinero en el tiempo.

En el capítulo dos se presenta la construcción de los flujos de caja con el propósito de resaltar su importancia, ya que constituye uno de los elementos más importantes tanto en el estudio de un proyecto de inversión, como en la evaluación del modelo VAN, ya que estos flujos conforman el cociente en este modelo. Así mismo se presenta de manera simultánea un detallado repaso de la literatura referente a los desarrollos teóricos y empíricos en la construcción de los flujos de caja, y finalmente se presenta una simulación para la evaluación de un proyecto de inversión utilizando como criterio de evaluación el modelo del valor actual neto.

XIV

En el capítulo tres se lleva a cabo una revisión de la fórmula que determina el valor actual neto y posteriormente se realiza con su respectiva demostración matemática la propuesta de un modelo VAN probabilístico que incorpora una tasa de interés variable mediante un modelo econométrico de serie de tiempo que realizará una aproximación acertada en medida de lo posible a la realidad.

El fundamento en el que se basará dicha demostración en primera instancia, es una fórmula matemática conocida y formalizada por Irving Fisher en 1930 y utilizada por Keynes. Esta formulación es conocida como el VAN (Valor Actual Neto) o bien también conocida como VPN (Valor Presente Neto), y consiste en traer a valor presente los flujos de efectivo (FCFFi) “Free Cash Flow to the Firm” (por sus siglas en inglés) descontados por un factor de descuento, de la siguiente manera:

MÉTODO DE VALUACIÓN DE FLUJOS DESCONTADOS. VAN = FCFFi � flujo de efectivo (1+i)n � factor de descuento

No obstante, al estudiar esta metodología; lo que pretendemos demostrar en este capítulo, es que en la actualidad, es un modelo de aplicación general que obviamente si funciona, pero según nuestra apreciación no es óptimo en un entorno de volatilidad e incertidumbre económica, ya que es un modelo donde se asume que los flujos de fondo son predecibles y determinísticos. Por lo que podemos decir que es un modelo determinístico y estático.

Es decir, por ejemplo en la realidad ¿Cuál es la probabilidad de que la tasa de interés no varíe en el tiempo?: obviamente esa probabilidad es muy baja o tiende a cero, por lo que proponemos un modelo basado en el mismo principio, pero modificado en su razonamiento matemático, donde su base heurística está formulada en una hipótesis de la utilidad esperada “principio de la utilidad marginal decreciente”, donde se concluye que los agentes económicos son maximizadores de utilidades que deciden con base en probabilidades y ganancias. O sea que los agentes, no se guían solo por expectativas de rendimiento, sino también de ganancias. Por ejemplo: Algún agente puede observar que si gasta $ 15.00 quince pesos en una combinación del juego “MELATE” puede obtener una bolsa que está garantizada en $ 9,000,000.00 nueve millones de pesos; no obstante aunque la expectativa del rendimiento es infinitamente mayor a la inversión, la incertidumbre, es de igual intensidad que la tasa de rendimiento, y por tanto el agente maximizador de utilidades prefiere quedarse con sus $ 15.00 quince pesos en la bolsa, que desperdiciarlos, porque le son de mayor utilidad conservarlos.

Por ello, los resultados de este trabajo muestran que el modelo teórico VAN probabilístico propuesto constata que los agentes económicos son maximizadores no solo de rendimiento, sino también de utilidad. MODELO PROPUESTO: VAN PROBABILISTICO VAN = ____FCFFt � flujo de efectivo [1+( it + ut)]

n � factor de descuento, serie de tiempo it + ut

Capítulo 1

Semblanza histórica de la teoría de los flujos descontados

1.1 Introducción En el estudio de las finanzas, se puede decir que estas también se refieren al proceso mediante el cual los mercados especiales tratan los flujos de efectivo a través del tiempo. Estos mercados, reciben el nombre de mercados financieros, la toma de decisiones de financiamiento e inversión requiere de la comprensión de los principios económicos básicos de los mercados financieros.

De manera paulatina, iremos observando que estos mercados son los que hacen posible que los individuos y las empresas soliciten u otorguen préstamos. Por consiguiente, las personas pueden usar los mercados financieros para ajustar sus patrones de consumo a través del tiempo. De la misma forma, las empresas los pueden usar para ajustar sus patrones de gasto e inversión a lo largo del tiempo. Nuestra reflexión nos conlleva a observar que tanto las personas como las empresas pueden usar los mercados financieros al tomar sus decisiones de inversión. Por ello presentaremos una de las ideas mas importantes que tienen las finanzas: el VAN (Valor Actual Neto).

El objetivo en este punto, es desarrollar el VAN tradicional, a partir de los supuestos que lo sustentan y posteriormente agregarle un supuesto diferente con la finalidad de hacerlo mas efectivo en el análisis tradicional de inversiones. Es decir, trataremos de realizar una “modesta modificación (aportación)”, a la tradición milenaria de los flujos descontados con una aplicación probabilística en las finanzas modernas.

2

Es importante tener en mente los supuestos con los que trabaja el VAN: 1. En el VAN las decisiones de inversión no admiten demora (ahora o nunca), infravaloran el proyecto si posee una flexibilidad operativa (se puede hacer ahora, o mas adelante, o no hacerlo). La posibilidad de retrasar un desembolso inicial puede afectar profundamente la decisión de invertir. 2. El VAN supone que la tasa de descuento, es conocida y constante, no toma en cuenta que el riesgo que involucra depende en parte del tiempo que le quede al proyecto y del efecto en el valor actual del apalancamiento operativo, es decir, la tasa de descuento varía con el tiempo y es incierta. 3. trabaja con pronósticos de precios que en muchos sectores son difíciles de aceptar, a pesar de los análisis de sensibilidad y las simulaciones. 4. El VAN difícilmente toma en cuenta flexibilidades de tipo operativo y las interacciones entre proyectos.

Las principales limitaciones del VAN surgen debido a que es un método desarrollado inicialmente para la valuación de bonos sin riesgo, en donde se hace una analogía entre los cupones del bono (que son constantes) y los flujos de caja del proyecto. La idea del cupón y del tiempo de maduración que lleva implícita no admite la valuación de proyectos ligados a la economía real, impulsados por las nuevas tecnologías e inmersos en una nueva economía, en donde se da tratamiento a un gran número de variables especialmente difíciles de cuantificar. Teoría del valor actual Una importante decisión en las empresas es escoger aquellos activos que le reporten mayor beneficio. Para esto es necesario conocer el valor de estos. Una alternativa es “oír la voz del mercado”, sin embargo esto no es suficiente, si no, más bien preguntarnos como el mercado llega a determinar este precio. La respuesta la entrega la teoría del valor actual que nos permite determinar el precio de un activo en base a la capacidad generadora de ingresos que este posea en el futuro. Entendemos por valor actual a la corriente de flujos generada por un activo descontado a una determinada tasa de interés.

Para determinar el valor actual de cualquier activo debemos tener presente 2 factores: los flujos futuros que este activo generará y la tasa de descuento aplicable a estos flujos. El concepto de tasa de descuento no es otra cosa que la consideración del valor del dinero en el tiempo. Es lógico suponer que $ 100 hoy no es lo mismo que $ 100 mañana. Lo anterior se basa en que $ 100 pesos hoy rendirán un determinado interés si lo depositamos, por ejemplo, en el banco. Por esta razón vale más $ 100 hoy que $ 100 mañana. Esto indica que el valor del dinero en el tiempo disminuye a medida que aplazamos más el cobro de un flujo determinado. Podemos decir entonces que si el cobro esperado al final del año 1 es C1 entonces el valor actual de dicho cobro es:

3

VA = Factor de descuento* C1 donde Factor de descuento = 1/(1 + i)n Hemos empleado una tasa de interés denominada i. Esta tasa no es elegida al azar, sino que debe cumplir ciertos requisitos: 1. Debe ser equivalente a la tasa exigida por inversiones equivalentes, es decir, con igual grado de riesgo. 2. La tasa de interés, a la cual llamaremos tasa de descuento, indica el costo de oportunidad que tiene el capital, pues indica la rentabilidad a la cual se renuncia por invertir en ese proyecto determinado. 3. La tasa de descuento se conoce también como el costo del dinero en el tiempo, pues como ya se mencionó, un peso hoy vale más que un peso mañana El concepto de valor actual neto indica que si bien el valor actual de un activo es $ 100, Usted no es rico en $ 100. Debemos incorporar el costo que tiene realizar dicha inversión. Por lo tanto, valor actual neto no es otra cosa que la diferencia entre ingresos y costos expresados en moneda equivalente en un momento del tiempo. Fundamentos del valor actual Para comprender el concepto de valor actual debemos introducirnos en el tema de la elección intertemporal de consumo. Esta elección no es otra cosa que la elección que realizan los individuos entre cuanto consumir hoy y cuanto mañana.

Existe un mecanismo que nos permite transferir riqueza (o ingreso) entre hoy y mañana, pues de otra forma, tendríamos que consumir todo hoy. Este mecanismo se conoce como mercados de capitales, que no es otra cosa que un lugar (no necesariamente lugar físico) donde la gente intercambia dinero de hoy y dinero de mañana.

Si existe un mercado de capitales perfecto, lo que significa que la tasa para prestar y pedir prestado es la misma, el valor futuro de A pesos es A(1 + i). Idénticamente, el valor actual de B pesos es B/(1 + i). De esta forma podemos prestar y pedir prestado a la tasa de interés i y por tanto decidir cuanto consumir hoy y cuanto mañana.

4

FIGURA 1.1.1 Podemos terminar en cualquier parte de la línea recta de la figura 1.1.1 dependiendo de cuanta riqueza deseemos invertir. Esta línea recta no es otra cosa que una representación gráfica de la relación existente entre valor futuro y valor presente.

Nace la pregunta de que depende la elección entre cuanto consumir hoy y cuanto mañana para un individuo cualquiera, pues la elección de uno no tiene por que ser necesariamente la de otro. La respuesta nace de los gustos personales de cada individuo, que en teoría económica están representados por su función de utilidad.

Independientemente de cual sea el punto exacto de elección de un individuo, este puede escoger entre ser un “avaro” o un “derrochador”, en la figura 1.1.2 se puede observar al individuo que prefiere consumir menos hoy y más mañana y en la figura 1.1.3 al que prefiere gastar más hoy y endeudarse para esto. FIGURA 1.1.2

Valor Presente

ValorFuturo

Periodoactual

H

Línea del Mercado deCapitales

B D

F

PeriodoFuturo

Consumoactual

ConsumoFuturo

Periodoactual

H

B D

F

G

A

Elecciónprobable de

untacaño

5

FIGURA 1.1.3 Consideración de oportunidades de inversión Existe la posibilidad de invertir no solo en acciones o títulos, sino también en activos reales tales como: casas, aviones o automóviles. Si ordenamos nuestros proyectos de mejor a peor obtenemos: FIGURA 1.1.4 La figura 1.1.4, muestra que el capital presenta un rendimiento marginal decreciente, ya que es lógico suponer que los proyectos más rentables se harán primero. Al incorporar las posibilidades de inversión, el bienestar de cualquier individuo mejora. Esto se debe a que la inversión en activos reales trae aparejada un corriente de flujos futuros.

Como existe un mercado de capitales, el individuo puede ajustar su pauta de consumo como quiera. Ahora bien, independientemente de su actitud frente a prestar o pedir prestado, podrá gastar más ahora y el próximo año, que si invirtiera exclusivamente en el mercado de capitales.

Consumoactual

ConsumoFuturo

Periodoactual

H

B D

F

E

C

Elección

probable de

underrochador

Periodo

Periodo

1ºinve

2ºinve

3ºinve Frontera de

Posibilidades deProducción

6

FIGURA 1.1.5 Podemos observar en la figura 1.1.5 que la inversión JD es una actitud inteligente, de hecho la más inteligente posible. La máxima cantidad posible que se puede obtener hoy a partir de los flujos de la inversión es JK. Este es el valor actual de la inversión. Ahora si descontamos a esto el costo de la inversión, es decir JD obtenemos el valor actual neto, que no es otra cosa que DK.

El valor actual neto es el incremento de su riqueza a partir de la inversión en activos reales. Por lo tanto, un valor actual neto positivo no es más que sinónimo de aumento de riqueza y, por lo tanto, un objetivo más que deseable para cualquier administrador financiero o inversionista.

Periodo Futuro

Periodoactual

J D K

G

H

L

M

7

1.2 Comparación de alternativas de inversión 1.2.1 Introducción En este capítulo se tratarán de resolver de manera muy simple los problemas mediante la formulación y análisis, obteniendo el mayor número de soluciones factibles (alternativas); comparando las alternativas de inversión, se escogerá la mejor solución y se aplicará. El proceso de evaluar las alternativas y elegir la solución que se prefiera es el tema que trataremos a continuación.

Así mismo, se aplicará el concepto de valor de dinero en el tiempo, para comparar las alternativas de inversión. Aunque con frecuencia intervienen múltiples objetivos en la comparación de alternativas, por ahora la atención se centra en la comparación de alternativas mutuamente exclusivas, con base a consideraciones monetarias. Alternativas mutuamente exclusivas significa que no se puede escoger más de una. El adagio de “no poder comer y guardar el pastel simultáneamente” ilustra la noción de alternativas mutuamente exclusivas. Un sistema que se puede usar para comparar alternativas económicas de inversión que se resume como sigue:

1. Definir el conjunto de alternativas de inversión mutuamente exclusivas y económicamente factibles para que se les compare.

2. Definir el horizonte de planificación que se utilizará en el estudio económico. 3. Obtener los perfiles de flujo de efectivo para cada alternativa. 4. Especificar el valor del dinero en el tiempo que se va a utilizar. 5. Especificar la medida (o medidas) de mérito o eficacia que se van a utilizar. 6. Comparar las alternativas utilizando la medida (o medidas) de mérito o eficacia. 7. Realizar los análisis suplementarios necesarios. 8. Escoger la mejor alternativa.

Por otra parte se presentan los procedimientos para comparar alternativas de inversión, con el objeto de mejorar el tipo de mediciones de los aspectos cuantitativos de las alternativas de inversión de capital. Debe insistirse en el hecho de que ninguna evaluación económica puede sustituir el juicio de gerentes experimentados interesados en los aspectos cuantitativos y en los no cuantitativos de las alternativas de inversión. Los aspectos típicos de las alternativas, que no se toman en consideración en este capítulo son: seguridad, consideraciones sobre el personal, calidad de productos, efectos ambientales y capacidad de la ingeniería y de la construcción. Estos factores son importantes y a menudo controlan decisiones sobre gastos de capital. Sin embargo, nuestro interés se centra en el aspecto monetario de las alternativas. En el capítulo se ofrecen enfoques lógicos para analizar las alternativas de inversión y recomendar una acción a seguir considerando solamente los factores económicos. El proceso para decidir que alternativa escoger toma en cuenta los factores monetarios y los no monetarios.

8

1.2.2 Definición de alternativas mutuamente exclusivas

Una opción que se seleccione entre un conjunto de alternativas mutuamente exclusivas, puede estar constituida por varias propuestas de inversión. Thuesen y Cols., distinguen las propuestas de inversión de las alternativas de inversión, señalando que estas últimas son opciones de decisiones; las propuestas de inversión son proyectos o empresas únicas que están siendo consideradas como posibilidades de inversión.

“Ejemplo 1.2.1”19 Para ilustrar la preparación de alternativas mutuamente exclusivas, a partir de un conjunto de propuestas de inversión, considérese una situación en que intervienen m propuestas de inversión, definiéndose x, como 0 si la propuesta j no está incluida en una alternativa y definiéndose xj como 1 si la propuesta j se incluye en una alternativa. Utilizando la variable binaria xj se pueden formar 2m alternativas mutuamente exclusivas. Así, si hay tres propuestas de inversión es posible formar ocho alternativas de inversión mutuamente exclusivas, como se describe en la tabla 1.2.1

TABLA 1.2.1 Obtención de alternativas de inversión mutuamente exclusivas partiendo de propuestas de inversión. Alternativa x1 x2 x3 Explicación 1 0 0 0 No hacer nada (no se incluyen las propuestas 1,2 y 3) 2 0 0 1 Solo se acepta la propuesta 3 3 0 1 0 Solo se acepta la propuesta 2 4 0 1 1 Solo se aceptan las propuestas 2 y 3 5 1 0 0 Solo se acepta la propuesta 1 6 1 0 1 Solo se aceptan las propuestas 1 y 3 7 1 1 0 Solo se aceptan las propuestas 1 y 2 8 1 1 1 Solo se aceptan las tres propuestas

Entre las alternativas que se forman, algunas pueden no ser factibles, según las restricciones que se le impongan al problema. Para ilustrar el caso, puede haber una limitación presupuestaria que excluya la posibilidad de combinar las tres propuestas; así, se elimina la alternativa 8. Además, algunas propuestas pueden ser mutuamente exclusivas. Por ejemplo, las propuestas 1 y 2 pueden ser diseños alternativos de computadora y sólo una se va a escoger; en este caso se elimina la alternativa 7. Otras propuestas pueden ser propuestas dependientes, de tal modo que no se pueda escoger una a menos que también se escoja la otra. Como la ilustración de una propuesta dependiente, la propuesta 3 puede suponer la obtención de ciertas terminales de computadora que dependen de la elección del diseño de computadora asociado con la propuesta 2. En tal situación, las alternativas 2 y 6 no son factibles. Así, según las restricciones presentes, el número de alternativas factibles mutuamente exclusivas que resultan puede ser considerablemente menor que 2m.

19 John A. White;Marvin H. Agee y Kenneth E. Case, 1981, Técnicas de Análisis Económico en Ingeniería, México, Limusa, 1ªe, p. 172.

9

1.2.3 Definición del horizonte de Planificación Al comparar alternativas de inversión es importante hacerlo durante cierto periodo de tiempo. Dicho periodo se define como horizonte de planificación. Por ejemplo, para el caso de inversiones el periodo durante el cual se requiere de equipo para prestar un servicio se puede usar como horizonte de planificación. De modo análogo, en alternativas de una solo operación de inversión, el periodo en que se perciben ingresos puede definir el horizonte de planificación.

En cierto sentido, el horizonte de planificación define el ancho de la “ventana” que se usa para ver los flujos de efectivo que produce una alternativa. Para hacer una evaluación objetiva se debe usar la misma ventana para ver todas las alternativas. En algunos casos el horizonte de planificación se determina con facilidad, en otros la duración de uno o más proyectos es tan incierta que causa inquietud acerca del periodo que se debe usar. Algunos métodos de uso común para determinar el horizonte de planificación que se ha de utilizar en estudios de economía son:

1. Mínimo común múltiplo de la vida del conjunto de alternativas factibles

mutuamente exclusivas, designado por ^

Τ . 2. Vida del proyecto más corto entre las alternativas, designada por Ts. 3. Vida del proyecto más largo entre las alternativas, designada por T1.

4. Algún otro periodo menor que ^

Τ .

5. Algún otro periodo mayor que ^

Τ . En las obras de análisis económico el método que es más común para elegir el horizonte de planificación, es el método del mínimo común múltiplo. En muchos casos tal elección se hace en forma implícita. Usando este procedimiento cuando se consideran tres alternativas y las vidas individuales son seis, siete y ocho años, se

obtiene un horizonte de planificación de ^

Τ = 168 años. Si las vidas hubieran sido de

seis, seis y ocho años, o seis, ocho y ocho años, ^

Τ = 24 años. No es aconsejable la

confianza absoluta en ^

Τ como horizonte de planificación. Si se usa la vida del proyecto más corto para definir el horizonte de planificación, se requieren estimaciones para los valores de las porciones que no se utilizan de la vida de alternativas restantes. Así, para la situación que antes se consideró, con Ts = 6 años, se deben estimar los valores de recuperación o residuales al final de los 6 años de uso para las otras dos alternativas.

Si se utiliza la vida del proyecto más largo, T1, para determinar el horizonte de planificación, se deben tomar algunas decisiones difíciles para el periodo comprendido entre Ts y T1. Si la alternativa que se escoge es prestar un servicio, dicho servicio se debe seguir prestando durante todo el horizonte de planificación, cualquiera que sea la alternativa que se elija. En consecuencia, cuando la alternativa de vida más corta llega al final, se debe sustituir por algún otro activo capaz de prestar el servicio que se requiere. Sin embargo, puesto que probablemente habrá progresos tecnológicos durante el periodo Ts, existirán nuevos y mejores candidatos para la elección en el tiempo Ts. Así, la especificación de los flujos de efectivo para la alternativa de vida más corta durante el periodo Ts a T1 es una empresa difícil. Como resultado de ello, rara vez se usa T1 como horizonte de planificación.

10

Algunas organizaciones han adoptado un horizonte de planificación estándar para todas las alternativas económicas. Designando por T el horizonte de planificación de la

organización, se tienen diferentes casos, según si .^^

Τ≥Τ≤Τ oT Sí el horizonte de planificación que se escoge es menor que el mínimo común múltiplo de las vidas, se deben proporcionar flujos de efectivo para cada alternativa durante un periodo igual al horizonte de planificación. Cuando éste es mayor o igual que el mínimo común múltiplo de las vidas, se recomienda basar el análisis económico en un periodo igual al mínimo común múltiplo de las vidas. La razón para esta última recomendación es que en el

tiempo ^

Τ se puede efectuar un nuevo análisis económico con base en las alternativas

existentes en dicho tiempo. Después de ^

Τ años podrían existir nuevas alternativas, y además, se pueden estimar con precisión los valores de los flujos de efectivo

producidos después de ^

Τ si se espera hasta el tiempo ^

Τ para hacer las estimaciones. “Ejemplo 1.2.2”20 Para ilustrar las dificultades asociadas con la elección del horizonte de planificación considérense los dos perfiles de flujo de efectivo dados en la tabla 1.2.2. Las alternativas A y B tienen vidas previstas de cuatro y seis años, respectivamente. TABLA 1.2.2 Perfiles de flujo de efectivo para dos alternativas de inversión mutuamente exclusivas que tienen vidas diferentes

Alternativa A FIN DEL

AÑO

FLUJO DE EFECTIVO

(A)

Alternativa B FIN DEL

AÑO

FLUJO DE EFECTIVO

(B)

0 1-4

-$5000 -$3000

0 1-6

-$6000 -$2000

Utilizando el método de mínimo común múltiplo de las vidas se usaría un horizonte de planificación de T = 12 años. Para usar un horizonte de planificación de 12 años se tendrían que responder las siguientes preguntas: ¿Qué flujos de efectivo se prevén para los años 5 a 12 si se escoge la alternativa A? ¿Cuáles serán los flujos de efectivo para la alternativa B durante los años 7 a 12? Como se indica en la tabla 1.2.3, el enfoque tradicional consiste en suponer que la alternativa A se repetirá dos veces y la alternativa B se repetirá una vez y que habrá flujos de efectivo idénticos durante estos ciclos de vida repetitivos. Los efectos de la


11

inflación, así como la posibilidad de mejoras tecnológicas, tienden a invalidar tales supuestos.

Si se empleara el método de vida más corta se usaría un horizonte de planificación de cuatro años. En tal caso se debe indicar una estimación del valor de recuperación de la alternativa B al final del cuarto año, como indica el asterisco en la tabla 1.2.3 Usando el método de vida más larga se obtiene un horizonte de planificación de seis años. En este caso se debe tomar una decisión acerca de los flujos de efectivo en los años 5 y 6 para la alternativa A, si se debe hacer una inversión inicial para prestar el servicio requerido para los años 5 y 6, ésta se hará al final del año 4. el hecho supuesto en la tabla 1.2.3 es que la alternativa A se repetirá con flujos de efectivo idénticos, aplicándose un valor de recuperación terminal de $2,500 después de dos años de uso. TABLA 1.2.3 Perfiles de flujo de efectivo para varios horizontes de planificación

T = T = 12 T = TS = 4 T = 10 FIN DEL AÑO

FLUJO DE EFECTIVO

(A)

FLUJO DE EFECTIVO

(B)

FIN DEL AÑO

FLUJO DE EFECTIVO

(A)

FLUJO DE EFECTIVO

(B)

FIN DEL AÑO

FLUJO DE EFECTIVO

(A)

FLUJO DE EFECTIVO

(B)

0 -$5000 - $6000 0 -$5000 - $6000 0 -$5000 - $6000 1 - 3000 - 2000 1 - 3000 - 2000 1 - 3000 - 2000 2 - 3000 - 2000 2 - 3000 - 2000 2 - 3000 - 2000 3 - 3000 - 2000 3 - 3000 - 2000 3 - 3000 - 2000 4 - 8000 - 2000 4 - 3000 - 2000 4 - 8000 - 2000 5 - 3000 - 2000 + 2000* 5 - 3000 - 2000 6 - 3000 - 8000 6 - 3000 - 8000 7 - 3000 - 2000 7 - 3000 - 2000 8 - 8000 - 2000 T = T1 = 6 8 - 8000 - 2000 9 - 3000 - 2000 Fin del

año FE (A) FE (B) 9 - 3000 - 2000

10 - 3000 - 2000 0 -$5000 - $6000 10 - 3000 - 2000 11 - 3000 - 2000 1 - 3000 - 2000 + 2500* + 2000*

12 - 3000 - 2000 2 - 3000 - 2000 3 - 3000 - 2000 4 - 8000 - 2000 5 - 3000 - 2000 6 - 3000 - 2000 + 2500* _________________________________________________________________ Supóngase que se debe usar un horizonte de planificación estándar de 10 años; las

mismas preguntas que se formularon cuando el horizonte de planificación era de ^

Τ , Ts o T1 se aplican cuando el horizonte de planificación es de 10 años. Como se describe en la tabla 1.2.3, se podría suponer que se repetirán ciclos de vida idénticos hasta el final del horizonte de planificación y se deberán proporcionar estimaciones de valores de recuperación terminal en dicho tiempo.

Aunque el uso de un horizonte de planificación estándar tiene la ventaja de ser coherente para comparar alternativas de inversión, hay también algunos peligros que se deben considerar. En algunos casos las principales ventajas asociadas con una alternativa se podrían obtener en las últimas etapas de la vida del proyecto. Si el

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horizonte de planificación fuera menor que la vida del proyecto, tales alternativas rara vez se aceptarían. “Ejemplo 1.2.3”21 Como segunda ilustración del proceso de elección del horizonte de planificación, considérense los diagramas de flujo de efectivo dados en la figura 1.2.1. las dos alternativas son mutuamente exclusivas y se refieren a una sola operación. Es imposible predecir que alternativas de inversión habrá en el futuro, pero se prevé que el capital que se recupere se pueda reinvertir y obtener un rendimiento del 10% anual. $6000 $4500 5000 $4000 $3500 $3500 $3500 $3000 $2000 (+) $1000 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 (-) Alternativa 1 Alternativa 2 MARR = 10% $4000 $5000

FIGURA 1.2.1 Diagrama de flujo de efectivo para el problema del ejemplo. Para este tipo de situación se sugiere un horizonte de planificación de seis años, produciéndose flujos de efectivo nulos en los años 5º y 6º de la alternativa 1. al cabo de seis años los valores futuros netos para las dos alternativas serán: VF1(10%) = $4500(F\P, 10,2) + $3500(P\A,10,3)(F\P,10,6) - $4000(F\P,10,6) = $13,778.87 VF2(10%) = $1000(F\A,10,6) + $1000(A\G,10,6)(F\A,10,6) - $5000(F\P,10,6) = $16,014.01 Por lo cual se recomendaría la alternativa 2.

Si no se prestó cuidadosa atención a la situación planteada y se supuso un horizonte de planificación del mínimo común múltiplo de las vidas, con flujos de efectivo idénticos en ciclos de vida repetitivos, entonces se recomendaría la alternativa 1. Por tanto es importante considerar la situación particular que se plantee, en vez de emplear una regla empírica para establecer horizontes de planificación que no toman en cuenta la naturaleza de las inversiones. 21 John A. White;Marvin H. Agee y Kenneth E. Case, 1981, Técnicas de Análisis Económico en Ingeniería, México, Limusa, 1ªe, p. 178.

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El horizonte preferido sería un horizonte de planificación estándar y “reflexible”. Todos los análisis económicos de “rutina” se basarían en un horizonte de planificación estándar de, por ejemplo, 5 a 10 años; los análisis económicos no rutinarios se basarían en un horizonte de planificación apropiado para la situación. 1.2.4 Elaboración de perfiles de flujo de efectivo

Una vez especificado el conjunto de alternativas mutuamente exclusivas y tomada la decisión acerca del horizonte de planificación, se pueden elaborar perfiles de flujo de efectivo para las alternativas. Como se ha recalcado, se deben elaborar los perfiles de flujo de efectivo dando cuidadosa consideración a las situaciones futuras, en vez de confiar completamente en los flujos de efectivo pasados. Se obtienen flujos de efectivo para una alternativa de inversión sumando los flujos de efectivo de todas las propuestas incluidas en la alternativa en consideración. “Ejemplo 1.2.4”22 Para ilustrar el enfoque que se debe adoptar, supóngase que se utiliza un horizonte de planificación de cinco años y que hay tres propuestas de inversión. En la tabla 1.2.4 se dan los perfiles de flujos de efectivo para las propuestas. Se dispone de una limitación del presupuesto de $50,000 para inversión entre las propuestas. La propuesta 2 es dependiente de la propuesta 1, y las propuestas 1 y 3 son mutuamente exclusivas. Con base en las restricciones asociadas con las combinaciones de propuestas, solo se deben considerar cuatro alternativas de inversión. La alternativa A es la alternativa de no hacer nada; la alternativa B supone la propuesta 1 solamente; la alternativa C es una combinación de las propuestas 1 y 2, y la alternativa D supone la propuesta 3 solamente. En la tabla 1.2.5 se dan dos perfiles de flujo de efectivo para las cuatro alternativas. TABLA 1.2.4 Perfiles de flujo de efectivo para Tres propuestas de inversión

FIN DE AÑO

FLUJO DE EFECTIVO

(1)

FLUJO DE EFECTIVO

(2)

FLUJO DE EFECTIVO

(3) 0 - $20,000 -$30,000 -$50,000 1 - 4,000 + 4,000 - 5,000 2 + 2,000 + 6,000 + 10,000 3 + 8,000 + 8,000 + 25,000 4 + 14,000 + 10,000 + 40,000 5 + 25,000 + 20,000 + 10,000

22 John A. White;Marvin H. Agee y Kenneth E. Case, 1981, Técnicas de Análisis Económico en Ingeniería, México, Limusa, 1ªe, pp. 179-180.

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TABLA 1.2.5 Perfiles de flujo de efectivo para cuatro propuestas de inversión mutuamente exclusivas FIN DE AÑO

FLUJO DE EFECTIVO

(A)

FLUJO DE EFECTIVO

(B)

FLUJO DE EFECTIVO

(C)

FLUJO DE EFECTIVO

(D) 0 0 - $20,000 - $50,000 -$50,000 1 0 - 4,000 0 - 5,000 2 0 + 2,000 + 8,000 + 10,000 3 0 + 8,000 + 16,000 + 25,000 4 0 + 14,000 + 24,000 + 40,000 5 0 + 25,000 + 45,000 + 10,000

La alternativa de no hacer nada es la situación de estatus quo y sirve de base

para analizar otras alternativas. En algunos casos la alternativa de no hacer nada no es factible (Por ejemplo, falta de cumplimiento de las normas contra la contaminación). Además, la alternativa de no hacer nada no tiene necesariamente flujos de efectivo nulos asociados con ella. En principio, se deben predecir los flujos de efectivo que resultarían si se continuara el método actual y se deben comparar estos con los asociados con otras alternativas.

En casi todas las evaluaciones económicas, es innecesario hacer un pronóstico detallado de todas las partidas de costos, ingresos e investigaciones asociadas con cada alternativa. Los costos y los ingresos serán los mismos, aunque se elimine la alternativa. Si una alternativa de reducción del costo no afecta los ingresos por ventas, es innecesario hacer un pronóstico de tales ingresos. La atención se concentra en las partidas del costo y del ingreso que se ven afectadas por la alternativa que se escoge.

Puesto que se deben efectuar análisis económicos para juzgar, los méritos de las alternativas de inversión en el futuro, los datos que se requieren difieren de los que normalmente proporciona el sistema de contabilidad. Como se indica con anterioridad, el objetivo fundamental de la contabilidad es mantener un registro histórico uniforme de los resultados financieros de las operaciones de la organización. Las cifras de la contabilidad se basan en definiciones compatibles con ese objetivo. Los métodos contables no están diseñados para determinar el valor económico de curso de acción alternativa. 1.2.5 Especificaciones del valor del dinero en el tiempo Un paso importante en la evaluación de alternativas de inversión consiste en especificar la tasa de interés o descuento que se ha de utilizar. Aunque un proyecto puede ser financiado enteramente por fondos internos, se recomienda usar una tasa de interés para evaluar alternativas de inversión. Una razón para hacerlo así, es reflejar el costo de invertir dinero en un proyecto en particular en vez de invertirlo en otra parte y obtener un rendimiento por esa inversión. El costo de desaprovechar otras oportunidades de inversión se conoce como costo de oportunidad, como se indica con anterioridad. Excepto cuando intervienen otros beneficios intangibles, la tasa de descuento utilizada debe ser mayor que el costo de obtener capital adicional, de manera que cubra las inversiones no lucrativas que una empresa debe hacer por razones no monetarias. Ejemplos de estos, serían las inversiones de equipo contra la contaminación, aparatos de seguridad e instalaciones de recreo para los empleados.

15

La tasa de descuento que se especifica, establece la tasa de interés mínima atractiva (TIMA) de la firma para que se justifique una alternativa de inversión. Si el valor presente de una alternativa de inversión fuera negativo indicaría que un flujo de efectivo negativo es equivalente a la alternativa de inversión por lo que no se recomendaría para su adopción. Algunas empresas establecen una tasa de descuento estándar o tasa de interés mínima atractiva para usarla en todos los estudios de economía; otras mantienen una postura flexible. Una empresa la describió como:

“El rendimiento de la inversión (razón de utilidades a inversión bruta) de la compañía XYZ, durante los últimos cinco años, ha sido aproximadamente igual a una tasa de rendimiento del 15% anual. En consecuencia, se está estableciendo el 15% anual como un requerimiento mínimo provisional para alternativas de inversión cuyos resultados se pueden cuantificar principalmente en dólares. El principio que se aplica es que se espera que tales alternativas mantengan o mejoren la actuación general de rendimiento de inversión para la compañía. El requerimiento mínimo se basa en los resultados financieros generales de la compañía (frente a los resultados de varias partes de esta) con objeto de evitar situaciones en que alternativas de inversión de un nivel de atracción determinado se comprendan sin conocimiento en una parte de la compañía y se rechacen en otra. La tasa de interés mínima atractiva del 15% se recomienda como guía, no como una regla reflexiva para la toma de decisiones. Además, ésta TIMA se pretende aplicar a alternativas que tienen riesgos que por lo común se asocian con inversiones que se hacen principalmente en la planta y sus instalaciones. Para alternativas que requieren gastos con riesgos considerablemente menores, como las que se dedican solo a alternativas de inventarios o las de comprar o arrendar, se puede aplicar un rendimiento mínimo inferior.”

Otros procedimientos que se usan para establecer las TIMA incluyen:

1. Agregar un porcentaje fijo al costo del capital para la empresa 2. La tasa promedio de rendimiento durante los últimos cinco años que se usa la

TIMA de este año. 3. Usar diferente TIMA para diferentes horizontes de planificación. 4. Usar diferente TIMA para diferentes magnitudes de inversión inicial. 5. Usar diferente TIMA para nuevas inversiones mejor que para proyectos de

abatimiento de los costos. 6. Usar la TIMA como un instrumento de la gerencia para estimular o desalentar

las inversiones de capital, según la situación económica general de la empresa. 7. Usar el rendimiento promedio sobre la inversión del accionista para todas las

compañías del mismo grupo industrial Las compañías usan diversos métodos para establecer las tasas de descuento que

se van a utilizar para efectuar análisis económicos. La determinación de la mejor tasa de descuento ha sido tema de controversia en las

obras de análisis económico durante muchos años. En algunos aspectos la situación es casi igual que hace 20 años. Por esta razón, entre otras, el procedimiento de ocho etapas utilizado para comparar alternativas económicas de inversión, se considera el paso 7 (Realización de análisis suplementarios). En muchos casos se preferirá una alternativa en particular para una escala de posibles tasas de descuento; en otros

16

casos la alternativa que se prefiera será muy sensible a la tasa de descuento que se use. Por tanto, según la situación que se estudie, puede ser innecesario especificar un valor particular para la tasa de descuento, ya que es posible que sea suficiente una escala de valores posibles.

Más adelante, será conveniente designar la tasa de interés o la tasa de descuento usada, como la tasa de interés mínima atractiva (TIMA) e interpretar su valor usando el concepto de costo de oportunidad. Se argumentará que no se debe invertir dinero en una alternativa si no se puede obtener un rendimiento por lo menos igual a la TIMA por que se supone que existen otras oportunidades de inversión que rendirán lo mismo que esta. Para las inversiones en el sector público, se requiere una interpretación diferente para determinar la tasa de descuento que se debe usar. 1.2.6 Especificación de la medida de mérito (Métodos de flujos descontados)

Podemos exponer que las alternativas de inversión se pueden comparar de distintas maneras. Las comparaciones son de valor presente (VP) y valor anual (VA) son dos procedimientos de uso común. Entre los métodos que existen para comparar alternativas de inversión, figuran:

7. Método del valor presente. 8. Método del valor anual. 9. Método del valor futuro. 10. Método del periodo de reembolso. 11. Método de la tasa de rendimiento o rentabilidad. 12. Método de la razón ahorro/inversión o beneficio/costo.

Cada una de las medidas de mérito o medidas de eficiencia, ha sido usada muchas veces para comparar alternativas de inversión en el mundo real. Se pueden describir brevemente como sigue:

1. El método del valor presente convierte todos los flujos de efectivo en una suma equivalente en el tiempo cero.

2. El método del valor anual convierte todos los flujos de efectivo en una serie anual uniforme equivalente de flujos de efectivo en el horizonte de planificación.

3. El método del valor futuro convierte todos los flujos de efectivo en una suma equivalente al final del horizonte de planificación.

4. El método del periodo de reembolso determina cuanto tiempo se requerirá, a una tasa de interés cero, para recuperar la inversión inicial.

5. El método de la tasa de rendimiento determina la tasa de interés que proporciona un valor futuro de cero.

6. El método de la razón ahorros/inversión determina la razón del valor actual de los ahorros al valor actual de la inversión.

Con excepción del método del periodo de reembolso, todas las medidas de mérito

mencionadas son métodos equivalentes para comparar alternativas de inversión. Por tanto, la aplicación de cada una de ellas al mismo conjunto de alternativas de inversión dará la misma recomendación (Con la posible excepción del método del periodo de reembolso).

Puesto que los métodos del valor presente, valor anual, valor futuro, tasa de rendimiento y razón ahorro/inversión son equivalentes, ¿Por qué existe más de un método? La razón principal para tener diferentes medidas equivalentes de eficiencia

17

para alternativas económicas, son las diferencias en las preferencias de los gerentes. Algunos individuos (y empresas) prefieren expresar el valor económico neto de una alternativa de inversión como una sola suma; por tanto, se usa el método del valor presente o el método del valor futuro. Otros prefieren considerar que el valor económico neto se extiende uniformemente en el horizonte de planificación, por lo que usan el método del valor anual. Otro grupo más desea expresar el valor económico neto como una tasa o porcentaje; en consecuencia prefieren el método de la tasa de rendimiento. Finalmente, algunos prefieren el valor económico neto expresado como un porcentaje de la inversión requerida; la razón ahorro/inversión es un método para proporcionar tal información. Como muchas organizaciones han establecido procedimientos para efectuar análisis económicos, es oportuno considerar las medidas de mérito más común. Entre las mencionadas, los métodos que más se emplean actualmente son los del valor presente, la tasa de rendimiento y el periodo de reembolso. Sin embargo, el U.S. postal service y algunos organismos gubernamentales han adoptado recientemente cierta versión del método ahorro/inversión (O beneficio/costo) para comparar alternativas de inversión; por lo que, está aumentando su aceptación. Según el tipo de organización se ofrecen diseños especiales de formas para ayudar al analista a efectuar su trabajo. 1.2.6.1 Método del valor presente El valor presente de la alternativa j se puede representar como:

( ) ( )tn

t

jtj iAiVP

−

=

∑ +=0

1 (1.2.1)

Donde: VPj (i) = Valor presente de la alternativa j usando TIMA de i %. n = Horizonte de planificación. Ajt = flujo de efectivo para la alternativa j al final del periodo t. i = TIMA. La alternativa que tiene el máximo valor presente es la que se recomienda por el método del valor presente.

18

“Ejemplo 1.2.5”23 Se adquiere un recipiente a presión por $10,000, se conserva cinco años y se vende por $2,000. los costos anuales de operación y mantenimiento fueron de $2,500. usando una tasa de interés mínima atractiva del 10 % , anual ¿Cuál fue el valor presente de la inversión? VP1(10 %) = - $10,000 - $2,500 (P/A 10,5) + $2,000 (P/F 10,5) = - $18,235.20 Así, un solo gasto de $ 18,235.20 en el tiempo cero es equivalente al perfil de flujo de efectivo para la alternativa de inversión. 1.2.6.2 Método del valor anual el valor anual de la alternativa j se calcula así

( ) ( ) ( )nPiAtFiPAiVAn

t

jtj ,/,/0

= ∑

=

o

( ) ( )( )nPiAiVPiVA jj ,/= (1.2.2)

Donde VAj(i) designa el valor anual de la alternativa j usando i = TIMA. La alternativa que tiene el máximo valor anual es la que se escoge usando el método del valor anual. “Ejemplo 1.2.6”24 Determinar el valor anual de una inversión de $10,000 para adquirir una computadora analógica que durará ocho años y tendrá un valor de recuperación de cero en el tiempo. Se supone que los costos de operación y mantenimiento serán de $ 1000 en los primeros cuatro años y de $1500 en los últimos cuatro años. La tasa de interés mínima atractiva se especifica en el 10 % anual. Un método para determinar el valor anual es: VA1 (10 %) = - $10,000 (A/P 10,8) - $ 1000 - $ 500 (F/A 10,4) (A/F 10,8) = - $ 3077/año

23 John A. White;Marvin H. Agee y Kenneth E. Case, 1981, Técnicas de Análisis Económico en Ingeniería, México, Limusa, 1ªe, p. 189. 24 IDEM.

19

1.2.6.3 Método del valor futuro el valor futuro de la alternativa j se puede determinar usando la relación

( ) ( ) tnn

t

jtj iAiVF−

=

+=∑ 10

(1.2.3)

En donde VFj (i) se define como el valor futuro de la alternativa j usando una TIMA de i %. El método del valor futuro es equivalente al método del valor presente y el método del valor anual, porque la razón de VFj (i) y VPj (i) es igual a una constante, (F/P i,n) y la razón de VFj (i) y VAj(i) es igual a una constante (F/A i,n). la alternativa que tiene el máximo valor futuro es la que prefiere cuando se usa el método del valor futuro. “Ejemplo 1.2.7”25 Para el ejemplo anterior, el valor futuro es

VF1 (10 % ) = - $10,000 (F/P 10,8) - $ 1000 (F/A 10,8) - $ 500 (F/A 10,4)

= - $35,192.40 o VF1 (10 % ) = VA1 (10 %) (F/A 10,8) = - $ 3700 (11.4359) = - $ 35,18826 Nota. La diferencia entre $ 35,192.40 y $ 35,188.26 se debe a errores de redondeo. 1.2.6.4 Método del periodo de reembolso El método del periodo de reembolso consiste en determinar el tiempo que se requiere para recuperar la inversión inicial, basada en una tasa de interés cero. Designando con C0j la inversión inicial para la alternativa j y con Ijt el ingreso neto recibido de la alternativa j durante el periodo t, si se supone que no hay otros flujos de efectivo negativos, entonces el valor mínimo de mj tal que

j

m

t

ji CIj

0

1

≥∑=

Define el periodo de reembolso para la alternativa j. la alternativa que tiene el menor periodo de reembolso es la que se prefiere.

25 John A. White;Marvin H. Agee y Kenneth E. Case, 1981, Técnicas de Análisis Económico en Ingeniería, México, Limusa, 1ªe, p.190.

20

“Ejemplo 1.2.8”26 Basándose en los datos dados en la tabla 1.2.6,

∑=

=<++=3

1

0 000,10$3130$2500$2000$t

t CI

y

∑=

=>+++=4

1

0 000,103510$3130$2500$2000$t

t CI

En consecuencia, m es igual a 4, lo que indica que se requieren cuatro años para reembolsar la inversión original.

Ciertas organizaciones han usado algunas variaciones en el método de reembolso o pago; sin embargo, las deficiencias básicas del método de reembolso que se ha descrito, están presentes en las variaciones con que estamos familiarizados; se ignora el ritmo de los flujos de efectivo y la duración del proyecto.

Para ilustrar las deficiencias del periodo de reembolso, considérense las alternativas descritas en la figura 1.2.5. En el primer caso, si se usara el periodo de reembolso para comparar las alternativas A y B se preferiría la segunda. En el segundo caso las alternativas C y D serían igualmente preferidas.

A pesar de sus deficiencias, el método del periodo de reembolso continúa siendo uno de los que más se emplean para juzgar la conveniencia de invertir en un proyecto. La razón de su aceptación son los siguientes puntos:

1. No se requieren cálculos de la tasa de interés. 2. No se requiere una decisión en cuanto a la tasa de descuento (TIMA) que se ha

de usar. 3. Se explica y se comprende fácilmente. 4. Refleja la actitud de un gerente cuando la inversión de capital es limitada. 5. Protege contra la incertidumbre de flujos de efectivo futuros. 6. Proporciona una medida aproximada de la liquidez de una inversión.


21

$1000 $750 $500 $500 $250 $250 $250 $250 (+) 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 (-) Alternativa A Alternativa B $1000 $1000 (a) $1250 $750 $750 $250 (+) $250 $250 $250 $250 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 (-) Alternativa C Alternativa D $1000 $1000 (b) FIGURA 1.2.2 Diagrama de flujo de efectivo para dos situaciones mutuamente exclusivas, cada una de las cuales tiene dos alternativas de inversión mutuamente exclusivas.

El método del periodo de reembolso se recomienda como un método suplementario para evaluar alternativas de inversión. En particular, se sugiere usar el método después de haber evaluado el conjunto de alternativas factibles utilizando los métodos basados en el “valor del dinero en el tiempo”. Las dos o tres alternativas principales que se obtengan, usando el método del valor presente se podrían comparar utilizando el método del periodo de reembolso al hacer la elección final. Un procedimiento alternativo consiste en tratar la minimización del periodo de reembolso y la maximización del valor de al menos dos objetivos. 1.2.6.5 Método de la tasa de rendimiento La tasa de rendimiento para una alternativa se define como la tasa de interés que iguala el valor futuro a cero. Designando con *

ji la tasa de rendimiento para la

alternativa j,

( )tnn

t

jjt iA

−

=

∑ +=0

*10 (1.2.4)

22

Este método de definir la tasa de rendimiento se conoce en las obras de análisis económico como tasa de rendimiento del flujo de efectivo, tasa interna de rendimiento y tasa de rentabilidad; aquí se empleará el término tasa interna de rendimiento (TIR). Obsérvese que el valor presente y el valor anual se pueden obtener multiplicando ambos miembros de la ecuación 1.2.3 por el factor apropiado de interés

( )[ ].,/,.. * nFPdecires j Por consiguiente, la tasa interna de rendimiento se define también

como la tasa de interés que da un valor presente o un valor anual de cero. Según la forma de un perfil de flujo de efectivo particular, podría ser más conveniente usar una formulación del valor presente o del valor anual para determinar la tasa interna de rendimiento para una alternativa.

Es importante comprender la definición de tasa de rendimiento inherente al uso del método TIR. En particular, se define la tasa interna de rendimiento de una inversión, como la tasa de interés que gana el saldo no recuperado de una inversión. Este concepto se define en el apartado 1.3 al tratar la aportación del pago de un préstamo al principal. Se ilustra nuevamente en la tabla 1.2.6, en donde se invierten $10,000 para obtener los ingresos indicados en un periodo de seis años. At designa el flujo de efectivo al final del periodo t, Bt representa el saldo no recuperado al comienzo del periodo t, Et es el saldo no recuperado al final del periodo t e It se define como el interés sobre el saldo no recuperado durante el periodo t. Existen las siguientes relaciones:

Si i es la tasa de interna de rendimiento, entonces En será igual a cero. Como se indica en la tabla 1.2.6, si i es 20 %. En es aproximadamente cero. En consecuencia, i* es aproximadamente 20%. La equivalencia de En que es cero y el valor futuro que es cero se comprende fácilmente si se considera que En es realmente el valor futuro del perfil de flujo de efectivo. Para comprobar esto, obsérvese que:

TABLA 1.2.6 Datos ilustrativos del significado de la tasa Interna de rendimiento. t At Bt I a

tI Et

0 1 2 3 4 5 6

-$10,000 + 2,000 + 2,500 + 3,130 + 3,510 + 4,030 + 4,400

-- - $10,000 - 10,000 - 9,000 - 8,270 - 6,414 - 3,667

-- - $2,000 - 2,000 - 1,900 - 1,654 - 1,283 - 733

-$10,000 - 10,000 - 9,500 - 8,270 - 6,414 - 3,667

0 a Basada en i = 0.20.

E0 = A0 Bt = Et-1 t = 1,…..,n It = Bti t = 1,…..,n Et = At + Bt + It t = 1,…..,n

23

En = An + Bn + In

Empleando la definición de In, En = An + Bn (1+ i)

Por la relación entre Bn y En-1, se ve que

En = An + En-1 (1+ i) Puesto que existe una relación similar entre En-1 y En-2 , se observa que

En = An + An-1(1 + i) + En-2 (1+ i)2 Generalizando, la relación recursiva entre Et y Et-1 , obtenemos

En = An + An-1(1 + i) + An-2(1 + i)2 +…+A0 (1+ i)n Por lo tanto, se ve que

En = VF (i %) Como se esperaba.

El ejemplo anterior ilustra que las operaciones del valor del dinero en el tiempo que se emplean en el método TIR equivale a suponer que todo el dinero que se recibe se invierte y gana interés a una tasa igual a la tasa de rendimiento interna. En particular, si el flujo de efectivo neto en el periodo t es negativo, se le designa con Ct; sí es positivo, se le designa con It. Suponiendo que rt es la tasa de reinversión para flujos de efectivo positivo produciendo en el periodo t e i´ es la tasa de rendimiento para flujos de efectivo negativos, entonces se puede definir la siguiente relación:

( ) ( )∑ ∑= =

−−+=+

n

t

n

t

n

t

n

tt iCrI0 0

1111 (1.2.5)

El valor futuro de dinero reinvertido que se reciba debe ser igual al valor futuro de las inversiones. Si rt es igual i´, la ecuación 1.2.4 se convierte en

( )( ) 1

0

10−

=

+−=∑ nn

t

tt iCI (1.2.6)

Igualando At a It – Ct, se define el método TIR dado por la ecuación 1.2.4. por tanto, se ve que la tasa de rendimiento que se obtiene usando el método TIR se puede interpretar como la tasa de reinversión para todos los fondos que se recuperan. Puesto que la determinación de la tasa de rendimiento supone despejar *

ji de la

ecuación 1.2.4, se ve que (para una alternativa j dada) es necesario determinar los valores de X que satisfacen el siguiente polinomio de grado 0 = A0χn + A1χn-1 +…+ An-1χ

+ An en donde χ = (1+i*). En general, pueden existir n raíces (Valores de χ) distintas para un polinomio de grado n; sin embargo, muchos perfiles de flujo de efectivo que se encuentren en la práctica tendrán una sola raíz (Tasa de rendimiento única). El número de raíces positivas reales de un polinomio de grado n con coeficientes reales es menor o igual al número de cambios de signo en la secuencia de flujos de efectivo, A0, A1,…, An-1, An. Puesto que el patrón único de flujo de efectivo comienza con un flujo

24

negativo de efectivo, seguido por flujos positivos de efectivo, normalmente existirá una raíz única. “Ejemplo 1.2.9”27 Como ejemplo de un perfil de flujo de efectivo que tiene raíces múltiples, considérense los datos dados en la tabla 1.2.7. El valor futuro de la serie de flujo de efectivo será cero usando una tasa de interés del 20 % ó del 50% VF (20%) = -$1000 (1.2)3 + $4200 (1.2)2 - $5850 (1.2) + $2700 = 0 VF´ (50%) = -$1000 (1.3)3 + $4200 (1.3)2 - $5850 (1.3) + $2700 = 0 En la figura 1.2.6 se muestra la grafica del valor futuro para este ejemplo. El polinomio del valor futuro es de tercer grado y hay tres cambios de signo en la secuencia ordenada de flujos de efectivo (-,+,-,+); sin embargo, solo hay dos raíces únicas, correspondientes a i = 0.20 e i = 0.50. En este caso, hay una raíz repetida correspondiente a i = 0.50, que el polinomio de valor futuro se puede escribir VF (i%) = $1000 (1.2 - χ) (1.3 - χ)2 En donde χ = (1 + i). TABLA 1.2.7 Perfil de flujo de efectivo FIN DEL AÑO FLUJO DE EFECTIVO

0 1 2 3

-$1000 4200 - 5850 - 2700

-


25

1.3 Operaciones de valor del dinero en el tiempo 1.3.1 Introducción Por lo regular las alternativas de diseño se comparan utilizando criterios diferentes, entre ellos el funcionamiento del sistema y el rendimiento económico. Entre las características de funcionamiento del sistema que son de interés se incluyen, entre las más importantes, la calidad, la seguridad y consideraciones de servicio al cliente. Entre las características de rendimiento económico que por lo general se toman en cuenta, figuran las necesidades de inversión inicial, la rentabilidad de la inversión y el perfil de flujo de efectivo. Los perfiles de flujo de efectivo suelen ser muy distintos en las diversas alternativas de diseño, y para poder comparar los rendimientos económicos de las mismas se deben compensar las diferencias que los flujos de efectivo presentan a través del tiempo.

El concepto de valor del dinero en el tiempo es fundamental en la comparación de los rendimientos económicos de alternativas de diseño. En este capítulo se estudian algunas operaciones matemáticas que se basan en el valor del dinero en el tiempo, haciendo énfasis en el modelado de perfiles de flujo de efectivo. Para proporcionar motivación y un ambiente familiar, el tratamiento de las operaciones de valor del dinero en el tiempo se presenta principalmente en el contexto de los recursos personales. Sin embargo cada uno de los conceptos que se examinan en este capítulo se pueden aplicar, y se aplican, en el mundo de los negocios. 1.3.2 Cálculos de interés Al considerar el valor del dinero en el tiempo, es conveniente representar matemáticamente la relación entre el valor actual o presente de una sola suma de dinero y su valor futuro. Midiendo el tiempo en años, si una sola suma de dinero tiene un valor actual o presente de P, su valor en n años sería igual a

Fn = P + In En donde Fn es el valor acumulado de P durante n años, o el valor futuro de p, e In es el incremento del valor de p durante n años. In se conoce como el interés acumulado en las transacciones de préstamo, y es una función de P, n y la tasa de interés anual, i. la tasa de interés anual se define como el cambio de valor de $1 durante un periodo de un año.

Con los años, se han expuesto dos enfoques para calcular el valor In. El primero considera In como una función lineal del tiempo. Puesto que i es el coeficiente de cambio durante un periodo de un año, se afirma que P cambia de valor en una cantidad Pi cada año. Por tanto, se deduce que In es el producto de P, i y n, o

In = Pin y

Fn = P(1 + in) Esto se conoce como enfoque de interés simple.

26

El segundo enfoque que se usa para calcular el valor de In es el de interpretar i como el coeficiente de cambio en el valor acumulado del dinero. Por lo tanto, se afirma que se verifican las siguientes relaciones:

In = iFn-1

Y

Fn = Fn-1(1 + i) Este enfoque se conoce como enfoque de interés compuesto.

El enfoque que se usa en una situación en particular depende de cómo se defina la tasa de interés. Puesto que en la actualidad prácticamente todas las transacciones monetarias se basan en tasas de interés compuesto, en vez de interés simple, se supondrá que se trata de interés compuesto, a menos que se indique lo contrario.

Un método cómodo de representar el valor del dinero en el tiempo es considerar flujos de efectivo positivos y negativos como si los generaran un prestatario y un prestamista. En particular, suponga que usted prestó $1000 a un individuo que convino en pagarle una tasa de interés compuesto al 7% anual. La capacidad de $1000 se conoce como principal. Al final de un año, recibirá usted $1070 del prestatario. Así, se podrá decir que $1070 dentro de un año valen $1000 de hoy con base en una tasa de interés de 7% anual o, a la inversa que $1000 hoy tendrán un valor de $1070 dentro de un año con base en una tasa de interés del 7% anual.

Si el individuo pide prestados los $1070 durante un año más, entonces le deberá usted $1144.90, porque el interés por $1070 durante un año es igual a (0.07) x ($1070), o sea $74.90. En forma equivalente, pedir prestados $1000 durante dos años, al 7% de interés anual ocasionará una deuda de $1144.90 si el interés se capitaliza anualmente. El interés compuesto supone el cálculo de cargos por interés durante un periodo basándose en el principal insoluto más cualquier cargo de interés acumulado hasta el comienzo de ese periodo. El interés, durante un periodo de interés dado, se convierte en principal para el propósito de calcular el interés en el periodo siguiente. La relación entre el principal y la capitalización de interés se da en la tabla 1.3.1

Recuerde que se aplican cálculos de interés simple cuando el cargo por interés durante cualquier periodo se basa sólo en el principal insoluto y no en los cargos acumulados de interés. El interés, durante un periodo de interés dado, no se convierte en principal para calcular el interés en el periodo de interés siguiente. En la ilustración anterior, la cantidad que se debe al final de dos años es el principal de $1000 más los cargos por interés de (0.07)($1000) = $70 cada año, o un total de $1140. Así, en este ejemplo los $1144.90 para el caso de interés compuesto se comparan con los $1140 para el caso de interés simple. (En algunos casos la diferencia es mucho más notable.)

27

TABLA 1.3.1 Ilustración del efecto del interés compuesto sobre una cantidad actual de valor P (o Tabla de Amortización) Fin de periodo

(A) Cantidad acumulada

(B) Interés para el Siguiente periodo

(C) = (A) + (B)

0 1 2 3 : n-1 n

P P(1+i) P(1+i)2 P(1+i)3 : P(1+i)n-1 P(1+i)n

Pi P(1+i)i P(1+i)2i P(1+i)3i P(1+i)n-1i

P + Pi = P(1+i) P(1+i)+ P(1+i)i = P(1+i)2 P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)3 P(1+i)3 + P(1+i)3i = P(1+i)4 P(1+i)n-1 + P(1+i)n-1i = P(1+i)n

a El valor de fin de periodo (n-1) de la columna (C) proporciona el valor de fin de periodo n de la columna (A). “Ejemplo 1.3.1”28 La persona A pide prestados $4000 a la persona B y conviene en pagar $1000 más el interés que se acumule al final del primer año, y $3000 más el interés que se acumule al final del cuarto año. ¿Cuáles son las cantidades para los dos pagos si se aplica interés simple anual del 8%? Para el primer año, el pago es de $1000 + (0.08) ($4000) = $1320. Para el cuarto año, el pago es de $3000 + (0.08) ($4000-$1000) (3) = $3720. 1.3.3 Suma única de dinero Para ejemplificar las operaciones matemáticas que se requieren al modelar perfiles de flujo de efectivo usando interés compuesto, considérese primero la inversión de una sola suma de dinero, P, en una cuenta de ahorro durante n periodos de interés. Desígnese con i la tasa de interés por periodo de interés y con F el total que se acumule en la cuenta al final de n periodos de interés. Como se muestra en la tabla 1.3.1, suponiendo que no se retira dinero durante dicho tiempo, el monto del fondo después de n periodos es igual a P(1 + i)n. Como una comodidad para el cálculo de valores de F (el valor futuro) cuando se dan valores de P (el valor actual). La cantidad (1 + i)n se conoce como factor de capitalización de una sola imposición o pago29 y se designa con (F\P i,n). La expresión (F\P i,n) se lee como: obtener F, dado el valor P al i% por periodo durante n periodos. Lo expuesto antes se resume como sigue. Sea P = el valor equivalente de una cantidad de dinero en el tiempo cero o valor actual F = el valor equivalente de una cantidad de dinero en el tiempo n, o valor futuro i = la tasa de interés por periodos de interés n = el número de periodos de interés Así, el valor futuro se relaciona con el valor actual como sigue: 28 John A. White;Marvin H. Agee y Kenneth E. Case, 1981, Técnicas de Análisis Económico en Ingeniería, México, Limusa, 1ªe, p. 84. 29 El factor (1 + i)n también se conoce como factor de pago simple – cantidad compuesta

28

F = P(1 + i)n (1) O, de modo equivalente

F = P(F\P, i, n) (2) En la figura 1.3.1 se muestra un diagrama de flujo de efectivo que describe la relación entre F y P. recuérdese que F se verifica n periodos después de P. “Ejemplo 1.3.2”30 Un individuo recibe en préstamo $1000 al 6% de interés compuesto anual. El préstamo se reembolsará después de cinco años. ¿Cuánto se deberá pagar? F = P(F\P 6,5)

= $1000(1 + 0.06)5 = $1000(1.2382) La cantidad que se deberá de pagar es de = $1,338.20 F 0 1 2 . . . . n-1 n Fin de periodo F ocurre n periodo después de P F = P(F\P i,n) P = F(P\F i,n)

P

Figura 1.3.1. Diagrama de flujo de efectivo que muestra la relación entre P y F en el tiempo. Como se pueden determinar cómodamente valores de F cuando se dan valores de P, i y n, es sencillo determinar valores de P cuando se tienen valores de F, i y n. En particular, puesto que

F =P(1 + i)n (3)


29

Dividiendo ambos miembros entre (1 + i)n se halla que el valor actual y el valor futuro tienen la relación

P = F(1 + i) -1 (4) O P = F(P\F i,n) En donde P = F(1 + i) –n y (P\F i,n) se designan como: factor del valor actual de una imposición.∗ “Ejemplo 1.3.3”31 Para ilustrar la obtención de P dados F, i, n, supóngase que desea acumular $2000 en una cuenta de ahorros dentro de dos años y que la cuenta paga una tasa de interés compuesto al 6% anual. ¿Cuánto se debe depositar hoy?

P = F(P\F 6,2) = $2000(1 + 0.06) -2 = $2000 (1.06) -2 = $2000 (0.8900) = $1,780 1.3.4 Series de flujo de efectivo Al haber considerado la transformación de una suma única de dinero en una equivalente de valor futuro cuando se da una cantidad en valor actual y viceversa, se generaliza el estudio para considerar la conversión de una serie de flujos de efectivo a un equivalente en valor actual y valor futuro. En particular, desígnese con Ak la magnitud de un flujo de efectivo (ingreso o egreso) al final del periodo k. Usando interés compuesto discreto, el equivalente en valor actual de la serie de flujo de efectivo es igual a la suma de equivalentes en valor actual de los flujos de efectivo individuales. En consecuencia,

P = A1(1 + i) -1 + A2(1 + i) -2 + . . . + An-1(1 + i) –(n-1) + An(1 + i) –n (5) o, usando la notación de suma,

P = ∑=

n

k 1

Ak(1 + i)-k (6)

o, de modo equivalente,


30

P = ∑=

n

k 1

Ak (P\F i,k) (7)

“Ejemplo 1.3.4”32 Considérese la serie de flujos de efectivo descritos por el diagrama de flujo de efectivo que se da en la figura 1.3.2. Usando una tasa de interés compuesto del 6% periodo de interés, el equivalente en valor actual es P = $300(P\F 6,1) - $300(P\F 6,3) + $200(P\F 6,4) + $400(P\F 6,6) + $200(P\F 6,8) = $300(0.9434) - $300(0.8396) + $200(0.7921) + $400(0.7050) + $200(0.6274) = $597.04 El equivalente en valor futuro es igual a la suma de los equivalentes en valor futuro de los flujos de efectivo individuales. Así,

FIGURA 1.3.2. Serie de flujos de efectivo

F = A1 (1 +i)n-1 + A2 (1 + i) + . . . + An-1 (1 + i) + An (8) o, usando la notación de suma,


$400 $300 (+) $200 $200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Fin de periodo (-) $300

31

F = ∑=

n

k 1

Ak (1 + i)n-k (9)

= ∑=

n

k 1

Ak (F\P i,n-k) (10)

De manera alternativa, puesto que se sabe que el valor futuro de una cantidad actual es

F = P (1 +i)n, (11) Sustituyendo la ecuación (6) en (11)

F = (1 +i)n ∑=

n

k 1

Ak(1 + i)-k

Por lo tanto,

F = ∑=

n

k 1

Ak(1 + i) n-k (12)

Para el ejemplo que se considera, el valor de la serie en el tiempo t = 8 es F = $300(F\P 6,7) - $300(F\P 6,5) + $200(F\P 6,4) + $400(F\P 6,2) + $200 = $300(1.3036) - $300(1.2382) + $200(1.2625) + $400(1.1236) + $200 = $951.36 De manera alternativa, puesto que se sabe que el valor actual es igual a $597.04 F = P(F\P 6,8) = $597.04(1.06)8 = $597.04(1.3938) =$951.36 Obsérvese que al calcular el valor de una serie de flujos de efectivo el monto del valor futuro que se obtiene corresponde al final del periodo n. Así, si se obtiene un flujo de efectivo al final del periodo n, no se gana interés por esta cantidad al calcular el importe del valor futuro al final del n-ésimo periodo.

Obtener los equivalentes en valor actual y valor futuro de una serie de flujos de efectivo sumando respectivamente, los valores actuales y los valores futuros individuales, puede ser tarea muy lenta si en la serie intervienen muchos flujos de efectivo. Sin embargo, con el advenimiento y el uso generalizado de calculadoras de bolsillo (algunas de las cuales tienen capacidad para efectuar automáticamente cálculos de interés compuesto), minicomputadoras y sistemas de cálculo con tiempo compartido, no es difícil de tratar toda la serie en la forma antes descrita.

32

Cuando no se dispone de tales medios, es posible usar procedimientos más eficientes si la serie de flujos de efectivo tiene una de las siguientes formas:

Serie uniforme de flujos de efectivo

Ak = A . k= 1,…,n

Serie de flujos de efectivo tipo gradiente

Serie geométrica de flujos de efectivo 1.3.4.1 serie uniforme de flujos de efectivo Existe una serie uniforme de flujos de efectivo cuando todos los flujos de efectivo de una serie son iguales. Para el caso de una serie uniforme el equivalente en valor actual es

( )∑=

−+=

n

k

kiAP

1

1 (13)

Donde A es la magnitud de un flujo de efectivo individual de la serie. Haciendo X=(1+i)-1 y sacando A de la suma se obtiene

∑=

=n

k

kXAP1

A k=1 Ak = Ak-1 (1 + j) k=2,…,n

0 k=1 Ak = Ak-1 + G k=2,…,n

33

∑=

−=n

k

kXAX1

1

Haciendo h=k – 1 se obtiene la serie geométrica

∑−

=

=1

0

n

h

hXAXP (14)

Puesto que la suma de la ecuación 14 representa los n primeros términos de una serie geométrica, el valor de la suma en forma cerrada es

X

XX

nn

h

h

−

−=∑

−

= 1

11

0

(15)

Por lo tanto, sustituyendo la ecuación (15) en la (14) se obtiene

−

−=

X

XAXP

n

1

1

Racing X whit (1+i)-1 yields the following relationship between P and A. y A.

( )

( )

+

−+=

n

n

ii

iAP

1

11 (16)

Que se expresa comúnmente ( )nAiPAp ,/= (17)

En donde ( )nAiP ,/ se conoce como factor del valor actual de una serie uniforme y se tabula en el apéndice A para varios valores de i y n. “Ejemplo1.3.5”33 Un individuo desea depositar una suma única de dinero en una cuenta de ahorros de tal modo que pueda hacer cinco retiros anuales de $ 2000 antes de que se agote el fondo. Si el primer retiro lo ha de hacer en un año después del depósito y si la cuenta paga interés a una tasa del 7% de interés compuesto anual, ¿Cuánto se debe depositar? Debido a la relación de P y A, como se describe en la figura 1.3.3, en la que P se verifica un periodo antes de la primera A, se ve que

( )nAiPAp ,/= ==>


34

( )( )

+

−+=

n

n

ii

iAP

1

11

( )( )

+

−+=

5

5

07.0107.0

107.012000P

P = 2000(4.1002) P = 8200.4

FIGURA 1.3.3. Diagrama de efectivo que muestra la relación entre P y A. Así, si se depositan $ 8200.40 en una cuenta que paga 7% de interés compuesto anual, se pueden hacer cinco retiros anuales iguales de $ 2000. “Ejemplo 1.3.6”34 En el ejemplo 1.3.5, supóngase que en el primer retiro no se hará sino hasta tres años después del depósito. Como se describe en la figura 1.3.4, el valor de P que se ha de determinar se tiene en t = 0, mientras que una sencilla aplicación del factor (P\A 7,5) dará una suma única equivalente en t = 2. En consecuencia, el valor se obtiene en t = 2. se debe retrotraer en el tiempo a t = 0. Esta última operación se efectúa fácilmente usando el factor (P\F, 7,2) por lo tanto P = A(P\A 7,5)(P\F 7,2) donde


A A A A 0 1 2 n - 1 n Fin de periodo P ocurre un periodo antes de la primera A P = A(P\A i, n) A = P(A\P i,n) P

35

( )nAiPAp ,/= = A(P\A 7,5) igual a:

( )( )

+

−+=

n

n

ii

iAP

1

11

Y (P\F i,n) = (1 + i)-n igual a: (1+0.07)-2

( )( )

+

−+=

5

5

07.0107.0

107.012000P (1+0.07)-2 , por lo tanto:

P = 2000 (4.1002)(0.8734) P = 7162.23 Difiriendo el primer retiro dos años se reduce el monto del depósito en $8200.40 - $ 7162.23 = $ 1038.17. La relación recíproca entre P y A se expresa

( )( )

−+

+=

11

1n

n

i

iiPA (18)

O, ( )nPiAPA ,/= (19)

La expresión (A\P i,n) se denomina factor de recuperación de capital . El factor (A\P i,n) se usa con frecuencia en el financiamiento personal para comprar alternativas económicas de inversión.

36

FIGURA 1.3.4 Diagramas de flujos de efectivo equivalentes. “Ejemplo 1.3.7”35 Supóngase que se depositan $ 10,000 en una cuenta que paga interés compuesto a la tasa de 7% anual. Si de la cuenta se hacen diez retiros anuales iguales, efectuándose el primer año después del depósito, ¿Cuánto se puede retirar cada año para agotar el fondo con el último retiro? Como se sabe que A y P están relacionados por

A = P(A\P i,n)

Entonces ( )

( )

−+

+=

11

1n

n

i

iiPA

( )( )

−+

+=

107.01

07.0107.0000,10

10

10

A

Entonces A = $ 10,000 (0.1424) A = $ 1,424


$ 2000 $ 2000 $ 2000 $ 2000 $ 2000 = 0 1 2 3 4 5 6 7 $8200.40 I = 7% p 0 1 2 3 4 5 6 7 P

37

Ejemplo 1.3.8 Supóngase que en el ejemplo 1.3.7 se demora el primer retiro dos años, como se describe en la figura 1.3.5 ¿cuánto se puede retirar en cada uno de los diez años?

FIGURA 1.3.5. Diagrama de flujo de efectivo del ejemplo de pago diferido. El monto del fondo en t = 2 es

V2 = P(F\P i,n)

Según lo que hemos estudiado hasta el momento

F = P(1+I)n , donde n = t

Por lo tanto: V2 = 10000 (1 + 0.07)2

V2 = 10000 (1.1449) = $ 11,449 Por consiguiente, el importe de los retiros anuales iguales será A = V2 (A\P i,n) A = V2 (A\P 7,10) V2 A = V2 (A\P i,n) A = P(A\P i,n) Entonces

( )( )

−+

+=

11

1n

n

i

iiPA

A A A A A A A A A A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 i = 7% $ 10,000

38

( )( )

−+

+=

107.01

07.0107.0449,11

10

10

A

A = 11,449 (0.1424)

A = 1,630.34 Así, demorando el primer retiro dos años se incrementa el monto de cada retiro en $ 206.34. El valor futuro de una serie uniforme se obtiene recordando que

F = P(1 + i)n (20) Sustituyendo la ecuación (16) en la ecuación (20) para P y simplificando se obtiene

( )

−+=

i

iAF

n11

(21)

O de modo equivalente, F = A(F\A i,n) (22)

En donde (F\A, i,n) se conoce como factor de capitalización de una serie uniforme. “Ejemplo 1.3.8”36 Si se hacen depósitos anuales de $ 1000 en una cuenta de ahorros durante 30 años, ¿cuánto habrá en el fondo inmediatamente después del último depósito si el fondo paga interés compuesto a la tasa de 8% anual?

F = A(F\A i,n)

F = A(F\A 8,30)

( )

−+=

i

iAF

n11

( )

−+=

08.0

108.011000$

30

F

F = $ 1000 (113.283)

F = $ 113,283


39

De la ecuación 21 se obtiene fácilmente la relación recíproca entre A y F. específicamente se halla que

( )

−+=

11n

i

iFA (23)

O, de modo equivalente F = F(A\F i,n) (24)

La expresión (A\F i,n) se conoce como factor de amortización constante, porque se usa para determinar el monto de los depósitos que se deben colocar (amortizar) en un fondo para acumular una cantidad futura que se desea. Como se describe en la figura 1.3.6, F se verifica al mismo tiempo que el último A. Así, el último A o depósito no gana interés F F ocurre al mismo tiempo que la última A F = A(F\A i,n) A = F(A\F i,n) . . . . 0 1 2 n-1 n A A A A

FIGURA 1.3.6. Diagrama de flujo de efectivo que muestra la relación entre A y F. “Ejemplo 1.3.10”37 Si se desea acumular $ 150,000 en 35 años, ¿cuánto se debe depositar anualmente en un fondo que paga 8% de interés compuesto anual para acumular la cantidad que se desea inmediatamente después del último depósito? A = F(A\F i,n)

A = F(A\F 8,35)

( )

−+=

11n

i

iFA

( )

−+=

108.01

08.0000,150

35A

A = 150,000 (0.0058) A = $ 870


40

Capítulo 2

La construcción de los flujos de caja

2.1 Introducción La proyección de los flujos de caja constituye uno de los elementos más importantes del estudio de un proyecto, ya que la evaluación del mismo se efectuará sobre los resultados que en ella se determinen. La información básica para realizar esta proyección está contenida en los estudios de mercado, técnico y organizacional, así como en el cálculo de los beneficios. Al proyectar el flujo de caja, será necesario incorporar información adicional relacionada, principalmente, con los efectos tributarios de la depreciación, de la amortización del activo nominal, valor residual, utilidades y pérdidas. El problema más común asociado a la construcción de los flujos de caja es que existen diferentes flujos para diferentes fines: uno para medir la rentabilidad del proyecto, otro para medir la rentabilidad de los recursos propios y un tercero para medir la capacidad de pago frente a los préstamos que ayudaron a su financiación. También se producen diferencias cuando el proyecto es financiado con deuda o mediante leasing. Por otra parte, la forma de construir un flujo de caja también difiere si es un proyecto de creación de una nueva empresa o si es uno que se evalúa en una empresa en funcionamiento.

41

2.2 Elementos del flujo de caja El flujo de caja de cualquier proyecto se compone de cuatro elementos básicos: a) los egresos iniciales de fondos, b) los ingresos y egresos de operación, c) el momento en que ocurren estos ingresos y egresos, y d) el valor de desecho o salvamento del proyecto. Los egresos iniciales corresponden al total de la inversión inicial requerida para la puesta en marcha del proyecto. El capital de trabajo, si bien no implicará un desembolso en su totalidad antes de iniciar la operación, se considerará también como un egreso en el momento cero, ya que deberá quedar disponible para que el administrador del proyecto pueda utilizarlo en su gestión. Por su parte, la inversión en capital de trabajo puede producirse en varios periodos. Si tal fuese el caso, sólo aquella parte que efectivamente deberá estar disponible antes de la puesta en marcha se tendrá en cuenta dentro de los egresos iniciales. Los ingresos y egresos de operación constituyen todos los flujos de entradas y salidas reales de caja. Es usual encontrar cálculos de ingresos y egresos basados en los flujos contables en estudio de proyectos, los cuales, por su carácter de causados o devengados, no necesariamente ocurren en forma simultánea con los flujos reales. Por ejemplo, la contabilidad considera como ingreso el total de la venta, sin reconocer la posible recepción diferida de los ingresos si ésta se hubiese efectuado a crédito. Igualmente, concibe como egreso la totalidad del costo de ventas, que por definición corresponde al costo de productos vendidos solamente, sin inclusión de aquellos costos en que se haya incurrido por concepto de elaboración de productos para existencias. La diferencia entre devengados o causados reales se hace necesaria, ya que el momento en que realmente se hacen efectivos los ingresos y egresos será determinante para la evaluación del proyecto. Sin embargo, esta diferencia se hace mínima cuando se trabaja con flujos anuales, ya que las cuentas devengadas en un mes se hacen efectivas por lo general dentro del periodo anual. El flujo de caja se expresa en momentos. El momento cero reflejará todos los egresos previos a la puesta en marcha del proyecto. Si se proyecta reemplazar un activo durante el periodo de evaluación, se aplicará la convención de que en el momento del reemplazo se considerará tanto el ingreso por la venta de equipo antiguo como el egreso por la compra del nuevo. Con esto se evitarán las distorsiones ocasionadas por los supuestos de cuando se logra vender efectivamente un equipo usado o de las condiciones de crédito de un equipo que se adquiere. El horizonte de evaluación depende de las características de cada proyecto. Si el proyecto tiene una vida útil esperada posible de prever y si no es de larga duración, lo más conveniente es construir el flujo en ese número de años. Si la empresa que creará con el proyecto tiene objetivos de permanencia en el tiempo, se puede aplicar la convención generalmente usada de proyectar los flujos a diez años, donde el valor de desecho refleja el valor remanente de la inversión (o el valor del proyecto) después de ese tiempo.

42

Los costos que componen el flujo de caja se derivan de los estudios de mercado, técnico y organizacional que son temas a tratar de manera particular. Cada uno de ellos define recursos básicos necesarios para la operación óptima en cada área y cuantifica los costos de su utilización. Un egreso que no es proporcionado como información por otros estudios y que debe incluirse en el flujo de caja del proyecto es el impuesto a las utilidades. Para su cálculo deben tomarse en cuenta algunos gastos contables que no constituyen movimientos de caja, pero que permiten reducir la utilidad contable sobre la cual deberá pagarse el impuesto correspondiente. Estos gastos, conocidos como gastos no desembolsables, están constituidos por las depreciaciones de los activos fijos, la amortización de activos intangibles y el valor libro o contable de los activos que se venden. Puesto que el desembolso se origina al adquirirse el activo, los gastos por depreciación no implican un gasto en efectivo, sino uno contable para compensar, mediante una reducción en el pago de impuestos, la pérdida de valor de los activos por su uso. Mientras mayor sea el gasto por depreciación, el ingreso gravable disminuye y, por tanto, también el impuesto pagadero por las utilidades del negocio. Aunque existen muchos métodos para calcular la depreciación, en los estudios de viabilidad generalmente se acepta la convención de que es suficiente aplicar el método de línea recta sin valor residual; es decir, supone que se deprecia todo el activo en proporción similar cada año. Lo anterior se justifica porque al no ser la depreciación un egreso de caja, sólo influye en la rentabilidad del proyecto por sus efectos indirectos sobre los impuestos. Al depreciarse todo el activo, por cualquier método se obtendrá el mismo ahorro tributario, diferenciándose sólo el momento en que ocurre. Al ser tan marginal el efecto, se opta por el método de línea recta que además de ser fácil de aplicar es el que entrega el escenario más conservador. Aunque lo que interesa al preparador y evaluador de proyectos es incorporar la totalidad de los desembolsos, independientemente de cualquier ordenamiento o clasificación de costos que permita verificar su inclusión. Una clasificación usual de costos se agrupa, según el objeto del gasto, en costos de fabricación, gastos de operación, financieros y otros. Los costos de fabricación pueden ser directos o indirectos (estos últimos conocidos también como gastos de fabricación). Los costos directos los componen los materiales directos y la mano de obra directa, que debe incluir las remuneraciones, la previsión social, las indemnizaciones, gratificaciones y otros desembolsos relacionados con un salario o sueldo. Los costos indirectos, por su parte, se componen por la mano de obra indirecta (jefes de producción, choferes, personal de reparación y mantenimiento, personal de limpieza, guardias de seguridad); materiales indirectos (repuestos, combustibles y lubricantes, útiles de aseo), y los gastos indirectos, como energía (electricidad, gas, vapor), comunicaciones (teléfono, radio, télex, intercomunicadores), seguros, arriendos, depreciaciones, etc.

43

Los gastos de operación pueden ser gastos de venta o gastos generales y de administración. Los gastos de ventas están compuestos por los gastos laborales (como sueldos, seguro social, gratificaciones y otros), comisiones de ventas y de cobranza, publicidad, empaques, transportes y almacenamiento. Los gastos generales y de administración los componen los gastos laborales, de representación, seguros, alquileres, materiales y útiles de oficina, depreciación de edificios administrativos y equipos de oficina, impuestos y otros. Los gastos financieros, que se analizan en sus distintos aspectos en los capítulos siguientes, los constituyen los gastos de intereses por los préstamos obtenidos. El ítem “otros gastos” se agrupan la estimación de incobrables y un castigo por imprevistos, que usualmente corresponde a un porcentaje sobre el total.

2.3 Estructura de un flujo de caja La construcción de los flujos de caja pueden basarse en una estructura general38 que se aplica a cualquier finalidad del estudio de proyectos. Para un proyecto que busca medir la rentabilidad de la inversión, el ordenamiento propuesto es el que se muestra en la tabla siguiente:

+ Ingresos afectos a impuestos - Egresos afectos a impuestos - Gastos no desembolsables = Utilidad antes de impuesto - Impuesto = Utilidad después de impuesto + Ajustes por gastos no desembolsables - Egresos no afectos a impuestos + Beneficios no afectos a impuestos = Flujo de caja Ingresos y egresos afectos a impuesto son todos aquellos que aumentan o disminuyen la utilidad contable de la empresa. Gastos no desembolsables son los gastos que para fines de tributación son deducibles, pero no ocasionan salidas de caja, como la depreciación, la amortización de los activos intangibles o el valor libro de un activo que se venda. Al no ser salidas de caja se restan primero para aprovechar su descuento tributario y se suman en el ítem Ajuste por gastos no desembolsables. De esta forma, se incluye sólo su efecto tributario. Egresos no afectos a impuestos son las inversiones, ya que no aumentan ni disminuyen la riqueza contable de la empresa por el solo hecho de adquirirlos. Generalmente es sólo un cambio de activos (máquina por caja) o un aumento simultáneo de un activo con un pasivo (máquina y endeudamiento). Beneficios no afectos a impuesto son el valor de desecho del proyecto y la

38 El modelo general es propuesto por Nassir Sapag en criterios de evaluación de proyectos, Madrid: McGraw-Hill, 1993.

44

recuperación del capital de trabajo si el valor de desecho se calculó por el mecanismo de valoración de activos, ya sea contable o comercial. Es menester saber que la recuperación del capital de trabajo no debe incluirse como beneficio cuando el valor de desecho se calcula por el método económico, ya que representa el valor del negocio funcionando. Ninguno está disponible como ingreso aunque son parte del patrimonio explicado por la inversión en el negocio.

“Para aplicar una simulación a los conceptos señalados, considérese que en el estudio de viabilidad de un nuevo proyecto se estima posible producir y vender 50,000 unidades anuales de un producto a $ 500 cada una durante los dos primeros años y a $ 600 a partir del tercer año, cuando el producto se haya consolidado en el mercado. Las proyecciones de ventas muestran que a partir del sexto año éstas se podrían incrementar en un 20%. El estudio técnico definió una tecnología óptima para el proyecto que requeriría las siguientes inversiones para un volumen de 50,000 unidades.

Terrenos $ 12,000,000 Obras físicas $ 60,000,000 Maquinarias $ 48,000,000

Una de las maquinarias, cuyo valor es de $ 10,000,000, debe reemplazarse cada ocho años por otra similar. La máquina usada podría venderse en $ 2,500,000. El crecimiento de la producción para satisfacer el incremento de las ventas requeriría invertir $ 12,000,000 en obras físicas adicionales y $ 8,000,000 en maquinarias. Los costos de fabricación para un volumen de hasta $ 55,000 unidades anuales son de:

Mano de obra $ 20 Materiales $ 35 Costos indirectos $ 5

Sobre este nivel de producción es posible importar directamente los materiales a un costo unitario de $ 32. Los costos fijos de fabricación se estiman en $ 2,000,000 sin incluir depreciación. La ampliación de la capacidad hará que estos costos se incrementen en $ 200,000. Los gastos de administración y ventas se estiman en $ 800,000 anuales los primeros cinco años y en $ 820,000 cuando se incremente el nivel de operación. Los gastos de venta variables corresponden a comisiones del 2% sobre las ventas. La legislación vigente permite depreciar las obras físicas en 20 años y todas las máquinas en 10 años. Los activos intangibles se amortizan linealmente en cinco años. Los gastos de puesta en marcha ascienden a $ 2,000,000 dentro de los que se incluye el costo del estudio de viabilidad, que asciende a $ 800,000.

45

La inversión en capital de trabajo se estima en el equivalente a seis mese de costo total desembolsable. La tasa de impuestos a las utilidades es de 15% y la rentabilidad exigida al

capital invertido es de 12%.”39

Para la construcción del flujo de caja se procederá según la estructura enunciada anteriormente: a) Ingresos afectos a impuesto: Están constituidos por los ingresos esperados por la venta de los productos, lo que se calcula multiplicando el precio de cada unidad por la cantidad de unidades que se proyecta producir y vender cada año y por el ingreso estimado de la venta de la máquina que se reemplaza al final del octavo año. b) Egresos afectos a impuesto: Corresponde a los costos variables resultantes del costo de fabricación unitario por las unidades producidas, el costo anual fijo de fabricación, la comisión de ventas y los gastos fijos de administración y ventas. c) Gastos no desembolsables: Están compuestos por la depreciación, la amortización de intangibles y el valor libro del activo que se vende para su reemplazo. La depreciación se obtiene de aplicar la tasa anual de depreciación a cada activo, tal como se desprende del siguiente cuadro: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Obra física inicial

3000

3000

3000

3000

3000

3000

3000

3000

3000

3000

Obra Física ampliación

600

600

600

600

600

Maquinaria Inicial(a)

3800

3800

3800

3800

3800

3800

3800

3800

3800

3800

Maquinaria Inicial(b)

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

1000

Maquinaria Reemplazo

1000

1000

Maquinaria ampliación

800

800

800

800

800

DEPRECIACION TOTAL

7800

7800

7800

7800

7800

9200

9200

9200

9200

9200

Cuadro 2.1 calculo de depreciación en miles La amortización de intangibles corresponde al 20% anual del total de activos intangibles posibles de contabilizar, incluyendo el costo del estudio. El valor libro es el saldo por depreciar del activo que se vende al término del octavo año. Como tuvo un costo de $ 10 millones y se deprecia en 10 años, su valor libro corresponde a $ 2 millones.

39 Nassir Sapag Chain; Reinaldo Sapag Chain, 2003, Preparación y Evaluación de Proyectos, México, McGraw-

Hill, 4ª e, pp. 269-270.

46

d) Cálculo de impuestos: Se determina como el 15% de las utilidades antes de impuesto. e) Ajuste por gastos no desembolsables: Para anular el efecto de haber incluido gastos que no constituían egresos de caja, se suman la depreciación, la amortización de intangibles y el valor libro. La razón de incluirlos primero y eliminarlos después obedece a la importancia de incorporar el efecto tributario que estas cuentas ocasionan a favor del proyecto. f) Egresos no afectos a impuesto: Están constituidos por aquellos desembolsos que no son incorporados en el Estado de Resultado en el momento en que ocurren y que deben ser incluidos por ser movimientos de caja. En el momento cero se anota la inversión en terrenos, obras físicas y maquinarias (120,000,000) más la inversión relevante en activos intangibles (de los $ 2 millones se excluye el costo del estudio por ser un costo comprometido independientemente de la decisión que se tome respecto de hacer o no el proyecto). En el momento cinco (final del quinto año), la inversión para enfrentar la ampliación de la capacidad de producción a partir del sexto año, y en el momento ocho, la inversión para reponer el activo vendido. La inversión en capital de trabajo se calcula como el 50% (medio año) de los costos anuales desembolsables y se anota primero en el momento cero y, luego el incremento en esta inversión, en los momentos dos y cinco. g) Valor de desecho: Se calculó por el método económico, dividiendo el flujo del año diez, sin valor de desecho, menos la depreciación anual por la tasa de retorno exigida. En el cuadro 2.2 se muestra el resultado del flujo de caja del proyecto. Flujo de caja del inversionista El flujo de caja analizado en la sección anterior permite medir la rentabilidad de toda la inversión. Si se quisiera medir la rentabilidad de los recursos propios, deberá agregarse el efecto del financiamiento para incorporar el impacto del apalancamiento de la deuda. Como los intereses del préstamo son un gasto afecto a impuesto, deberá diferenciarse qué parte de la cuota que se le paga a la institución que otorgó el préstamo es interés y qué parte es amortización de la deuda, porque el interés se incorporará antes del impuesto mientras que la amortización, al no constituir cambio en la riqueza de la empresa, no está afecta a impuesto y debe compararse en el flujo después de haber calculado el impuesto.

47

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ingresos 25,000 25,000 30,000 30,000 30,000 36,000 36,000 36,000 36,000 36,000 Venta activo 2500 Costos variables

-3,000

-3,000

-3,000

-3,000

-3,000

-3,420

-3,420

-3,420

-3,420

-3,420

Costos fab. fijos

-2,000

-2,000

-2,000

-2,000

-2,000

-2,200

-2,200

-2,200

-2,200

-2,200

Comisiones venta

-500

-500

-600

-600

-600

-720

-720

-720

-720

-720

Gastos adm. Venta

-800

-800

-800

-800

-800

-820

-820

-820

-820

-820

Depreciación -7,800 -7,800 -7,800 -7,800 -7,800 -9,200 -9,200 -9,200 -9,200 -9,200 Amortización intang.

-400

-400

-400

-400

-400

Valor libro -2,000 Utilidad antes impto.

10,500

10,500

15,400

15,400

15,400

19,640

19,640

20,140

19,640

19,640

Impuesto -1,575 -1,575 -2,310 -2,310 -2,310 -2,946 -2,946 -3,021 -2,946 -2,946 Utilidad neta 8,925 8,925 13,090 13,090 13,090 16,694 16,694 17,119 16,694 16,694 depreciación 7,800 7,800 7,800 7,800 7,800 9,200 9,200 9,200 9,200 9,200 Amortización intang.

400

400

400

400

400

Valor libro 2,000 Inversión inicial

-

121,200

Inversión de reemplazo

-

10,000

Inversión de ampliación

-

20,000

Inversión cap. Trabajo

-3,150

-50

-380

Valor de desecho

139,011

Flujo de caja -124,350 17,125 17,075 21,290 21,290 910 25,894 25,894 18,319 25,894 165,011

Cuadro 2.2 Por último, deberá incorporarse el efecto del préstamo para que, por diferencia, resulte el monto que debe invertir el inversionista. Existen dos posibilidades para incorporar estos efectos, lográndose con ambas el mismo resultado. La primera es adaptar la estructura expuesta, incorporando en cada etapa los afectos de la deuda. La otra es realizar lo que algunos denominan flujo adaptado. El primer caso, la estructura general del flujo queda como sigue: + Ingresos afectos a impuestos - Egresos afectos a impuestos - Interés del préstamo - Gastos no desembolsables = Utilidad antes de impuestos - Impuesto = Utilidad después de impuesto + Ajuste por gastos no desembolsables - Egresos no afectos a impuestos + Beneficios no afectos a impuestos + Préstamo - Amortización de la deuda = Flujo de caja

48

Si para el ejemplo del acápite anterior se supone que el inversionista podrá obtener un préstamo inicial de $ 80,000,000 a una tasa de interés real del 8%, que deberá ser pagada en cuotas anuales iguales durante ocho años, lo primero que tendrá que calcularse es el monto de la cuota y la composición de cada una entre interés y amortización. El monto de la cuota anual se calcula aplicando la siguiente ecuación:

( )( ) 11

1

−+

+=

n

n

i

iiVPA

Donde A es el valor de la anualidad, VP es el valor presente (monto del préstamo), i la tasa de interés y n el número de periodos en que se servirá el crédito. Sustituyendo los valores, se tiene:

( )( )

921,13108.01

08.0108.0*000,000,80

8

8

=−+

+=A

Recurriendo a una planilla electrónica como Excel, por ejemplo, el monto de la cuota se puede calcular simplemente usando la opción Función del menú Insertar, se selecciona Financieras en la categoría de Función y se elige Pago en el nombre de la función. En el cuadro Pago, se escribe 8% en la casilla correspondiente a Tasa, el número 8 en la casilla Nper y 80,000,000 (con signo negativo) en la casilla VA. Marcando la opción Aceptar, se obtiene el valor de la cuota. Para diferenciar la parte de la cuota que corresponde a los intereses de la que es amortización, se elabora una tabla de pagos (en miles) que expresa, en la primera columna, el saldo de la deuda al inicio de cada año; en la segunda, el monto total de la cuota; en la tercera, el interés del periodo y, en la cuarta, el monto que amortizará la deuda inicial, calculada como la diferencia entre la cuota y el interés por pagar. Esto es:

A Saldo Deuda

A-D

B

cuota

C

Interés i(A)

D

Amortización B-C

80,000 13,921 6,400 7,521 72,479 13,921 5,798 8,123 64,356 13,921 5,148 8,773 55,583 13,921 4,447 9,475 46,109 13,921 3,689 10,232 35,876 13,921 2,870 11,051 24,825 13,921 1,986 11,935 12,890 13,921 1,031 12,890 Cuadro 2.3

49

Al incorporar el monto del préstamo, los intereses anuales y la amortización de cada periodo, el flujo de caja del inversionista queda como se muestra en el cuadro 2.4. Nótese cómo en el momento cero la inversión neta se reduce de $ 124,350,000 en el flujo del proyecto a sólo $ 44,350,000 en el flujo del inversionista, quien al invertir esta cantidad tiene los retornos netos de deuda proyectados en la última fila del flujo de caja

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ingresos 25,000 25,000 30,000 30,000 30,000 36,000 36,000 36,000 36,000 36,000 Venta activo 2500 Costos variables

-3,000

-3,000

-3,000

-3,000

-3,000

-3,420

-3,420

-3,420

-3,420

-3,420

Costos fab. fijos

-2,000

-2,000

-2,000

-2,000

-2,000

-2,200

-2,200

-2,200

-2,200

-2,200

Comisiones venta

-500

-500

-600

-600

-600

-720

-720

-720

-720

-720

Gastos adm. Venta

-800

-800

-800

-800

-800

-820

-820

-820

-820

-820

Interés préstamo

-6,400

-5,798

-5,148

-4,447

-3,689

-2,870

-1,986

-1,031

Depreciación -7,800 -7,800 -7,800 -7,800 -7,800 -9,200 -9,200 -9,200 -9,200 -9,200 Amortización intang.

-400

-400

-400

-400

-400

Valor libro -2,000 Utilidad antes impto.

10,500

10,500

15,400

15,400

15,400

19,640

19,640

20,140

19,640

19,640

Impuesto -1,575 -1,575 -2,310 -2,310 -2,310 -2,946 -2,946 -3,021 -2,946 -2,946 Utilidad neta 8,925 8,925 13,090 13,090 13,090 16,694 16,694 17,119 16,694 16,694 depreciación 7,800 7,800 7,800 7,800 7,800 9,200 9,200 9,200 9,200 9,200 Amortización intang.

400

400

400

400

400

Valor libro 2,000 Inversión inicial

-

121,200

Inversión de reemplazo

-

10,000

Inversión de ampliación

-

20,000

Inversión cap. Trabajo

-3,150

-50

-380

Préstamo 80,000 Amortización deuda

-7,521

-8,120

-8,773

-9,475

-10,232

-11,051

-11,935

-12,890

Valor de desecho

139,011

Flujo de caja -44,350 -4,164 4,024 8,141 8,036 -12,458 12,403 12,271 4,553 25,894 165,011

Cuadro 2.4 Otra forma de llegar a este flujo del inversionista es tomando el flujo de caja del proyecto y restarle el efecto neto de la deuda calculado en forma independiente. Esto se logra incorporando en la tabla de pagos ya calculada el efecto del ahorro tributario de los intereses del préstamo. Al incluirse como un gasto, permite bajar la utilidad contable y, por tanto, el monto del impuesto por pagar. Esto se aprecia en el siguiente cuadro.

50

A Saldo Deuda

A-D

B

Cuota

C

Interés i(A)

D

Amortización B-C

E Interés neto

Impuesto C(1-τ)

τ=impto=.15

Cuota neta de impuesto

D+E

80,000 13,921 6,400 7,521 5,440 12,961 72,479 13,921 5,798 8,123 4,929 13,051 64,356 13,921 5,148 8,773 4,376 13,149 55,583 13,921 4,447 9,475 3,780 13,254 46,109 13,921 3,689 10,232 3,135 13,368 35,876 13,921 2,870 11,051 2,440 13,491 24,825 13,921 1,986 11,935 1,688 13,623 12,890 13,921 1,031 12,890 876 13,767 Cuadro 2.5 Al incluir la cuota neta de impuesto en el flujo de caja, se obtiene el mismo flujo para el inversionista que se logró antes. Esto se observa en el siguiente cuadro.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Flujo proyecto

-124,350

17,125

17,075

21,290

21,290

910

25,894

25,894

18,319

25,894

165,011

Efecto deuda

80,000

-12,961

-13,051

-13,149

-

13,254

-

13,368

-

13,491

-

13,623

-

13,767

Flujo inversionista

-44,350

-4,164

4,024

8,141

8,036

-

12,458

12,403

12,271

4,553

25,894

165,011

Una fuente alternativa de financiamiento de las inversiones de un proyecto lo constituye el leasing, instrumento mediante el cual la empresa puede disponer de determinados activos con anterioridad a su pago. El tratamiento del leasing para fines tributarios difiere entre los países de acuerdo con su propia normativa. En chile, por ejemplo, el total de la cuota es deducible de impuestos, considerándose en forma similar a un arrendamiento.40 Si se incorpora la opción de leasing para financiar una parte de la inversión, en el momento cero aparecerá sólo la inversión que no es financiada con este mecanismo, observándose el mismo efecto que para el flujo del inversionista:41 Al ser tratado similarmente a un arrendamiento, la cuota total se resta antes de impuesto, viéndose reducida la depreciación sólo a aquellos activos que se financian por la compra, compensándose, de esta forma, el efecto tributario en ambos casos.

40 Esto es sólo para fines tributarios, por cuanto en el balance se activa el total de su valor y se deprecia anualmente. 41 En este caso, en el momento 0 se anota sólo aquella parte de la inversión que corresponde financiar antes del inicio de la operación, por cuanto el pago por la compra de los activos se hace diferido en los años del leasing.

51

2.4 Flujos de caja de proyectos en empresas en marcha42 El análisis de decisiones de inversión en empresas en marcha se diferencia del análisis de proyectos de creación de nuevos negocios, particularmente por la irrelevancia de algunos costos y beneficios que se observarán, en el primer caso, en, las situaciones con o sin proyectos. Por ejemplo, si se valúa reemplazar un vehículo, el sueldo del chofer o el guardia de seguridad es irrelevante para la decisión, ya que cualquiera sea la marca que se elija, su remuneración seguirá siendo la misma. Los costos y beneficios comunes a ambas alternativas no influirán en la decisión que se tome. Sin embargo, sí lo harán aquellos que modifiquen la estructura de costos e ingresos. Los proyectos más comunes en empresas en marcha se refieren a los de reemplazo, ampliación, externalización o internalización de procesos o servicios y los de abandono. Los proyectos de reemplazo se originan por una capacidad insuficiente de los equipos existentes, un aumento en los costos de operación y mantenimiento asociados a la antigüedad del equipo, una productividad decreciente por el aumento en las horas de detención por reparaciones o mejoras o una obsolescencia comparativa derivada de cambios tecnológicos. Los proyectos de reemplazo pueden ser de tres tipos: a) Sustitución de activos sin cambios en los niveles de operación ni ingresos, b) Sustitución de activos con cambios en los niveles de producción, ventas e ingresos y c) Imprescindencia de la sustitución de un activo con o sin cambio en el nivel de operación. Los proyectos de ampliación se pueden enfrentar por sustitución de activos (cambio de una tecnología pequeña por otra mayor) o por complemento de activos (agregación de tecnología productiva a la ya existente). La externalización de procesos o servicios (conocida como outsourcing) tiene los beneficios de permitir la concentración de esfuerzos, compartir riesgo de la inversión con el proveedor, liberar recursos para otras actividades, generar ingresos por venta de activos y aumentar eficiencia al traspasar actividades a expertos, entre otros. Sus principales desventajas son la pérdida de control sobre la actividad, la dependencia a prioridades de terceros, el traspaso de información y el mayor costo de operación al tener que pagar a un tercero su propio margen de ganancias. Los proyectos de internalización de procesos o servicios permiten aumentar la productividad si logra reducir los costos mediante la disminución de recursos, manteniendo el nivel de operación, o aumentar el nivel de actividad disminuyendo las capacidades ociosas sin incrementar los recursos. Los proyectos de abandono se caracterizan por posibilitar la eliminación de áreas de negocio no rentables o por permitir la liberalización de recursos para invertir en proyectos más rentables.

42 Un completo análisis de esta materia se incluye en NASSIR SAPAG, Evaluación de proyectos en empresas en

marcha. Santiago, CIADE-Universidad de Chile, 1988.

52

Todos lo proyectos que se originan en empresas en funcionamiento pueden ser evaluados por dos procedimientos alternativos. El primero de ellos, de más fácil comprensión, consiste en proyectar por separado los flujos de ingresos y egresos relevantes de la situación actual y los de la situación nueva. El otro, más rápido pero de más difícil interpretación, busca proyectar el flujo incremental entre ambas situaciones. Obviamente, ambas alternativas conducen a idéntico resultado. Supóngase que una empresa en funcionamiento está estudiando la posibilidad de reemplazar un equipo de producción que utiliza actualmente por otro que permitirá reducir los costos de operación. El equipo antiguo se adquirió hace dos años en $ 1,000,000. Hoy podría venderse en $ 700,000. Sin embargo, si se continúa con él, podrá usarse por cinco años más, al cabo de los cuales podrá venderse en $ 100,000. La empresa tiene costos de operación asociados al equipo de $ 800,000 anuales y paga impuestos de un 10% sobre las utilidades. Si compra el equipo nuevo, por un valor de $ 1,600,000, el equipo actual quedará fuera de uso, por lo que podría venderse. El nuevo equipo podrá usarse durante cinco años antes de tener que reemplazarlo. En ese momento podrá venderse por $ 240,000. Durante el periodo de uso, permitirá reducir los costos de operación asociados al equipo en $ 300,000 anuales. Todos los equipos se deprecian anualmente en un 20% de su valor a partir del momento de su adquisición. Con estos antecedentes, pueden proyectarse los flujos de caja de la situación actual y de la circunstancia que incorpora el reemplazo. En ambos casos, se incorporan los movimientos efectivos de caja. Nótese que en la situación actual no hay inversión en el momento cero, puesto que el equipo se adquirió hace dos años. Por la misma razón, la depreciación sólo debe considerarse para los próximos tres años, puesto que ya lleva dos depreciándose. En caso de optar por el reemplazo, en el momento cero debe incorporarse el ingreso por la venta del equipo actual y el impuesto por pagar por la utilidad de la venta. Dado que costó $ 1,000,000 hace dos años, aún tiene un valor contable de $ 600,000. Como se vende en $ 700,000, debe pagarse el 10% de impuesto sobre la utilidad contable de $ 100,000. El valor en libros debe volver a sumarse, ya que no representa un egreso de caja. En los cuadros 2.6 y 2.7 se muestran los dos flujos proyectados. En ambos se excluyen los ingresos en consideración a su irrelevancia para la decisión, la cual deberá seleccionar la opción de menor costo actualizado. El cuadro 2.8 muestra la variación en los costos entre una y otra alternativa.

53

Flujo de caja de la situación sin proyecto 0 1 2 3 4 5

Venta activo 100 Egresos -800 -800 -800 -800 -800 depreciación -200 -200 -200 Valor libro 0 Utilidad antes impto. -1,000 -1,000 -1,000 -800 -700 Impuesto 100 100 100 80 70 Utilidad neta -900 -900 -900 -720 -630 Depreciación 200 200 200 Valor libro 0 Flujo de caja -700 -700 -700 -720 -630 Cuadro 2.6

Flujo de caja de la situación con proyecto 0 1 2 3 4 5

Venta activo 700 240 Egresos -500 -500 -500 -500 -500 depreciación -320 -320 -320 -320 -320 Valor libro -600 0 Utilidad antes impto. 100 -820 -820 -820 -820 -580 Impuesto -10 82 82 82 82 58 Utilidad neta 90 -738 -738 -738 -738 -522 Depreciación 320 320 320 320 320 Valor libro 600 0 inversión -1,600 Flujo de caja -910 -418 -418 -418 -418 -202 Cuadro 2.7

Flujo diferenciales 0 1 2 3 4 5

Con reemplazo -910 -418 -418 -418 -418 -202 Sin reemplazo -700 -700 -700 -720 -630 diferencia -910 282 282 282 302 428 Cuadro 2.8

54

Alternativamente puede obtenerse un resultado similar mediante el análisis incremental. Para ello se calcula en un solo flujo, qué diferencias se producirán en los ingresos y egresos si se decide optar por el reemplazo. El cuadro 2.9 muestra la proyección del flujo incremental entre la elección de la alternativa de reemplazo y la de continuar con la situación actual. El resultado de la proyección muestra que por ambos procedimientos se llega a idénticos resultados. El reemplazo se hará si los beneficios netos futuros actualizados (ahorros de costos) superan la inversión diferencial ($ 910,000) programada para el momento cero.

Flujo incremental 0 1 2 3 4 5

Venta activo 700 140 Ahorro costos 300 300 300 300 300 Depreciación -120 -120 -120 -320 -320 Valor libro -600 0 Utilidad antes impto. 100 180 180 180 -20 120 Impuesto -10 -18 -18 -18 2 -12 Utilidad neta 90 162 162 162 -18 108 Depreciación 120 120 120 320 320 Valor libro 600 0 Inversión -1,600 Flujo de caja -910 282 282 282 302 428 Cuadro 2.9

55

2.5 Síntesis En este capítulo se analizaron las principales variables que participan en la composición del flujo de caja del proyecto. La confiabilidad que otorguen las cifras contenidas en este flujo será determinante para la validez de los resultados, ya que todos los criterios de evaluación se aplican en función de él. La información que se incorpora en el flujo lo suministra cada uno de los estudios particulares del proyecto. Sin embargo, el estudio financiero deberá proporcionar antecedentes sobre el monto del impuesto a las utilidades, la carga financiera de los préstamos y la depreciación de los activos, además de la sistematización de toda la información. Al proyectar los flujos, deberá estimarse un valor de salvamento para el proyecto, el cual, sin ser efectivamente vendido, debe valorarse de acuerdo con uno de los criterios señalados en el capítulo. El más simple es en función del valor en libros de los activos; sin embargo, es el más deficiente. Otro más complejo, que mejora la estimación, pero sólo levemente, es el del valor de mercado de los activos. El más eficiente es el del valor actual de los beneficios netos futuros, que tiene en cuenta el precio del proyecto en funcionamiento. El flujo de caja sistematiza la información de las inversiones previas a la puesta en marcha, las inversiones durante la operación, los egresos e ingresos de operación, el valor de salvamento del proyecto y la recuperación del capital de trabajo. Los costos que se denominan diferenciales expresan el incremento o disminución de los costos totales que implicaría la implementación de cada una de las alternativas, en términos comparativos respecto a una situación tomada como base y que por lo común es la vigente. En consecuencia, son estos los costos los que en definitiva deberán utilizarse para tomar una decisión que involucre algún incremento o decrecimiento en los resultados económicos esperados de cada curso de acción que se estudie. El análisis de una inversión con fines de sustitución de instalaciones constituye uno de los problemas mayores en la consideración de los costos relevantes, por las dificultades para obtener la información adecuada. El análisis de sustitución puede considerar tanto los aumentos como los mantenimientos de la capacidad productiva. El razonamiento consistirá en determinar las ventajas económicas diferenciales del equipo nuevo frente al antiguo. Es decir, determinar si el ahorro en los gastos fijos y variables de operación originados por el reemplazo son suficientes para cubrir la inversión adicional y para remunerar el capital invertido a una tasa de interés razonable para cubrir el costo de oportunidad en función del riesgo implícito en la decisión. Aunque es posible, en términos genéricos, clasificar ciertos ítems de costos como relevantes, sólo un examen exhaustivo de aquellos que influyen en el proyecto posibilitará catalogarlos correctamente. Para identificar las diferencias inherentes a las alternativas, es recomendable que se establezcan previamente las funciones de costos

56

de cada una de ellas. De su comparación resultará la eliminación, para efectos del estudio, de los costos inaplicables. Entre los costos que más comúnmente se tienen en cuenta en una decisión, a pesar de ser irrelevantes, se encuentran los llamados costos sepultados, los cuales se denominan así si corresponden a una obligación de pago que se haya contraído en el pasado, aún cuando parte de ella esté pendiente de pago a futuro, tienen un carácter inevitable que los hace irrelevantes. Las partes de la deuda contraída y no pagada es un compromiso por el cual debe responder la empresa, independientemente de las alternativas que enfrente en un momento dado.

57

2.6 Simulación para la evaluación de un proyecto de inversión, utilizando como criterio de evaluación: el Valor Actual Neto (VAN). Se desea evaluar el siguiente proyecto de inversión. De acuerdo con el estudio de mercado se estima posible producir y vender los productos A, B y C. Los volúmenes y precios pronosticados son los siguientes: a) 10,000 unidades anuales del producto (A) a un precio por unidad (pu) de $3.00, los primeros 5 años, a un pu de $5.00 los siguientes 5 años y a un pu de $7.00 los últimos 5 años. b) 5,000 unidades anuales del producto B hasta el séptimo año a un pu de $2.00 y a partir del octavo año se pretende duplicar la producción a un pu de $3.00. c) 1,000 unidades anuales del producto C hasta el séptimo año a un pu de $1.00 y a partir del octavo año se planea duplicar la producción a un pu de $2.00. Del estudio técnico se derivó el siguiente presupuesto de capital: Edificios para oficina …………..$50,000 Edificios para almacenar ………..$60,000 Maquinaria A …………………...$75,000 Maquinaria B …………………...$30,000 Maquinaria C …………………...$7,5000 La legislación permite depreciar las obras físicas para uso de de oficinas en 50 años y para uso de almacén en 20 años, ambos en línea recta. Toda la maquinaria se depreciará también en línea recta en 15 años. La vida útil de la maquinaria corresponde al plazo en que se deprecia al 100%. El aumento de la producción de los bienes B y C a partir del octavo año requerirá la ampliación de edificios para almacenamiento por un monto de $30,000; de maquinaria B por un monto de $15,000 y de maquinaria C por $3,750. Los costos variables unitarios de producción son los siguientes: A B C Mano de obra 0.8 0.3 0.1 Materia prima 1.0 0.5 0.8 Costos indirectos 0.2 0.2 0.1 total 2 1 1

58

Los costos fijos de fabricación que se generarán anualmente son de $500 y a partir del octavo año se incrementarán a un 30%. Los gastos de venta serán de $1,000 y a partir del octavo se incrementarán en un 20%. Los gastos de administración son de $500 anuales y a partir del octavo año se incrementan en un 20%. Los gastos de puesta en marcha del proyecto corresponden a $400 los cuales se conforman por los siguientes conceptos: a) Cuotas y permisos ………………….$ 100 b) Contrato de luz …………………….. 100 c) Contrato de agua …………………... 100 d) Pago de primas de seguro …………. 100 Estos gastos se amortizarán en 5 años. La inversión en capital de trabajo se estima en el equivalente a seis meses del costo total desembolsable. La tasa de Impuesto Sobre la Renta ((ISR) es del 29% y la tasa del reparto a los Trabajadores de la Utilidades (RTU) corresponde al 10% una vez deducido el ISR. El proyecto será financiado con aportaciones de capital propio de los accionistas, por lo que no se considera ningún costo por intereses. Para obtener el valor de desecho del proyecto se calcula por el método económico que consiste en dividir el flujo en el último periodo del proyecto, menos la depreciación anual entre la tasa de recuperación. La rentabilidad exigida al capital invertido es de 5% y 10% respectivamente.

Problema Se pide obtener los Flujos de Caja o Flujos de Efectivo Netos (FEN), para cada periodo y determinar su Valor Actual Neto a una tasa del 5% y 10% respectivamente.

TABLA 2.1

T A B L A D E D E P R E C I A C I O N

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

EDIFICIOS PARA OFICINA $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000

EDIFICIOS PARA ALMACENAR $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000 $ 3,000

MAQUINARIA A $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000 $ 5,000

MAQUINARIA B $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000 $ 2,000

MAQUINARIA C $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 $ 500 AMPLIACION EDIFICIO PARA ALMACENAMIENTO $ 1,500 $ 1,500 $ 1,500 $ 1,500 $ 1,500 $ 1,500 $ 1,500 $ 1,500

AMPLIACION MAQUINARIA B $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000

AMPLIACION MAQUINARIA C $ 250 $ 250 $ 250 $ 250 $ 250 $ 250 $ 250 $ 250

TOTAL $ 11,500 $ 11,500 $ 11,500 $ 11,500 $ 11,500 $ 11,500 $ 11,500 $ 14,250 $ 14,250 $ 14,250 $ 14,250 $ 14,250 $ 14,250 $ 14,250 $ 14,250

TABLA DE INGRESOS: VEN TAS PRODUCTO A

PERIODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 PRECIO POR

UNIDAD U N I D A D E S A N U A L E S D E P R O D U C T O S

10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

$3.00 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000

$5.00 $ 50,000 $ 50,000 $ 50,000 $ 50,000 $ 50,000

$7.00 $ 70,000 $ 70,000 $ 70,000 $ 70,000 $ 70,000

TOTAL $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 50,000 $ 50,000 $ 50,000 $ 50,000 $ 50,000 $ 70,000 $ 70,000 $ 70,000 $ 70,000 $ 70,000

TABLA 2.2 TABLA DE INGRESOS: VEN TAS PRODUCTO B


UNIDAD U N I D A D E S A N U A L E S D E P R O D U C T O S 5,000 5,000 5,000 5,000 5,000 5,000 5,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

$2.00 $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $3.00 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000

TOTAL $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000 $ 30,000

TABLA DE INGRESOS: VEN TAS PRODUCTO C


UNIDAD U N I D A D E S A N U A L E S D E P R O D U C T O S 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000 2,000

$1.00 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000

$2.00 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000

TOTAL $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000 $ 4,000

Tabla 2.3 TABLA DE AMORTIZACION INTANGIBLE

PERIODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 CANTIDAD AMORTIZACION A CINCO AÑOS

$100.00 $20 $20 $20 $20 $20

$100.00 $20 $20 $20 $20 $20

$100.00 $20 $20 $20 $20 $20

$100.00 $20 $20 $20 $20 $20

TOTAL $80 $80 $80 $80 $80

F L U J O D E C A J A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

VENTAS A $30,000.00 $30,000.00 $30,000.00 $30,000.00 $30,000.00 $50,000.00 $50,000.00 $50,000.00 $50,000.00 $50,000.00 $70,000.00 $70,000.00 $70,000.00 $70,000.00 $70,000.00

VENTAS B $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $30,000.00 $30,000.00 $30,000.00 $30,000.00 $30,000.00 $30,000.00 $30,000.00 $30,000.00

VENTASC $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $4,000.00 $4,000.00 $4,000.00 $4,000.00 $4,000.00 $4,000.00 $4,000.00 $4,000.00 VENTAS TOTALES $41,000.00 $41,000.00 $41,000.00 $41,000.00 $41,000.00 $61,000.00 $61,000.00 $84,000.00 $84,000.00 $84,000.00 $104,000.00 $104,000.00 $104,000.00 $104,000.00 $104,000.00

COSTO VARIABLE A $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 $20,000.00 COSTO VARIABLE B $5,000.00 $5,000.00 $5,000.00 $5,000.00 $5,000.00 $5,000.00 $5,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 $10,000.00 COSTO VARIABLE C $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $2,000.00 $2,000.00 $2,000.00 $2,000.00 $2,000.00 $2,000.00 $2,000.00 $2,000.00

C.V. TOTALES $26,000.00 $26,000.00 $26,000.00 $26,000.00 $26,000.00 $26,000.00 $26,000.00 $32,000.00 $32,000.00 $32,000.00 $32,000.00 $32,000.00 $32,000.00 $32,000.00 $32,000.00

COST. FIJOS DE FAB. $500.00 $500.00 $500.00 $500.00 $500.00 $500.00 $500.00 $650.00 $650.00 $650.00 $650.00 $650.00 $650.00 $650.00 $650.00 GASTOS DE VTAS. $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,200.00 $1,200.00 $1,200.00 $1,200.00 $1,200.00 $1,200.00 $1,200.00 $1,200.00 GASTOS DE ADMON. $500.00 $500.00 $500.00 $500.00 $500.00 $500.00 $500.00 $600.00 $600.00 $600.00 $600.00 $600.00 $600.00 $600.00 $600.00

TOTAL $28,000.00 $28,000.00 $28,000.00 $28,000.00 $28,000.00 $28,000.00 $28,000.00 $34,450.00 $34,450.00 $34,450.00 $34,450.00 $34,450.00 $ 34,450.00 $34,450.00 $34,450.00

DEPRECIACION $11,500.00 $11,500.00 $11,500.00 $11,500.00 $11,500.00 $11,500.00 $11,500.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 AMORTIZACION INTANG. $80.00 $80.00 $80.00 $80.00 $80.00

TOTAL $11,580.00 $11,580.00 $11,580.00 $11,580.00 $11,580.00 $11,500.00 $11,500.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00

UTILD. ANTES DE IMPTO $1,420.00 $1,420.00 $1,420.00 $1,420.00 $1,420.00 $21,500.00 $21,500.00 $35,300.00 $35,300.00 $35,300.00 $55,300.00 $55,300.00 $55,300.00 $55,300.00 $55,300.00

I.S.R. 29% $411.80 $411.80 $411.80 $411.80 $ 411.80 $ 6,235.00 $ 6,235.00 $10,237.00 $10,237.00 $10,237.00 $16,037.00 $16,037.00 $16,037.00 $16,037.00 $16,037.00

$1,008.20 $1,008.20 $1,008.20 $1,008.20 $1,008.20 $15,265.00 $15,265.00 $25,063.00 $25,063.00 $25,063.00 $39,263.00 $39,263.00 $39,263.00 $39,263.00 $39,263.00

R.T.U. 10% $100.82 $100.82 $100.82 $100.82 $100.82 $1,526.50 $1,526.50 $ 2,506.30 $2,506.30 $2,506.30 $3,926.30 $3,926.30 $3,926.30 $3,926.30 $3,926.30

UTILD. DESPUES IMPTO. $907.38 $907.38 $907.38 $907.38 $907.38 $13,738.50 $13,738.50 $22,556.70 $22,556.70 $22,556.70 $35,336.70 $35,336.70 $35,336.70 $35,336.70 $35,336.70

DEPRECIACION $11,500.00 $11,500.00 $11,500.00 $11,500.00 $11,500.00 $11,500.00 $11,500.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 $14,250.00 AMORTIZACION INTANG. $80.00 $80.00 $80.00 $80.00 $80.00 INVERSION INICIAL -$222,500.00 INVERSION AMPLIACION $48,750.00 INV. CAPITAL DE TRAB. -$14,000.00 $3,225.00 GTOS PUESTA EN MARCHA -$ 400.00 VALOR DE DESECHO

FLUJO DE CAJA -$236,900.00 $12,487.38 $12,487.38 $12,487.38 $12,487.38 $12,487.38 $25,238.50 -$26,736.50 $36,806.70 $36,806.70 $36,806.70 $49,586.70 $49,586.70 $49,586.70 $49,586.70

TABLA 2.4

63

Valor de Desecho Método Económico V.D. = Flujo de Capital – Depreciación año K Tasa de Rendimiento V.D. = (Utilidad Neta + Depreciación) – Depreciación Tasa de Rendimiento ==> Valor de Desecho para una tasa del 5%. V.D. .(5%) = 49,586.7-14,250 0.05 V.D.(5%) = 706734 V.D. (10%) = 49,586.7 – 14,250 0.1 V.D. (10%) = 353,367 Por lo tanto: En el año 15 los flujos de efectivo son diferentes, debido a que: F.E.(5%) = 49,586.7 + V.D. = 706,734 F.E. (5%) = 756320.7 F.E. (10%) = 49,586.7 + 353,367 F.E. (10%) = 402953.7 “NOTA” En el flujo de caja del último periodo, no pongo estos dos últimos resultados ya que concluimos que ocuparé el valor del 5% y el de 10% respectivamente para realizar mis cálculos y resolver el problema planteado. Se pide: 1) obtener los Flujos de efectivo Netos (FEN), para cada periodo y determinar su Valor Actual Neto a una tasa del 5% y 10% respectivamente.

64

VAN = ( ) ( )

0

1 11 1

n nt t

t tt i

Y EI

i i= =

− −+ +

∑ ∑

POR LO TANTO: (PARA UNA TASA DEL 5%)

VAN = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )65432

05.01

50.25238

05.01

38.12487

05.01

38.12487

05.01

38.12487

05.01

38.12487

05.01

38.12487

++

++

++

++

++

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )121110987

05.01

70.49586

05.01

70.49586

05.01

70.36806

05.01

70.36806

05.01

70.36806

05.01

50.26736

++

++

++

++

++

+−

( ) ( ) ( )151413

05.01

70.756320

05.01

70.49586

05.01

70.49586

++

++

++ - 236,900

AÑO FEN VA(5%)

0 236,900.00-$ 1 12,487.38$ 11,892.742860$ 2 12,487.38$ 11,326.421770$ 3 12,487.38$ 10,787.068350$ 4 12,487.38$ 10,273.398430$ 5 12,487.38$ 9,784.188981$ 6 25,238.50$ 18,833.357290$ 7 26,736.50-$ 19,001.131380-$ 8 36,806.70$ 24,912.223350$ 9 36,806.70$ 23,725.927000$ 10 36,806.70$ 22,596.120950$ 11 49,586.70$ 28,992.316500$ 12 49,586.70$ 27,611.730000$ 13 49,586.70$ 26,296.885720$ 14 49,586.70$ 25,044.653060$ 15 756,320.70$ 363,803.188300$

TOTAL 596,879.09118$ TABLA 2.5 POR LO TANTO VAN(5%) = $ 596,879.09118 - 236,900 VAN(5%) = 359,979.0911

65

AHORA (PARA UNA TASA DEL 10%)

VAN = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )65432

1.01

50.25238

1.01

38.12487

1.01

38.12487

1.01

38.12487

1.01

38.12487

1.01

38.12487

++

++

++

++

++

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )121110987

1.01

70.49586

1.01

70.49586

1.01

70.36806

1.01

70.36806

1.01

70.36806

1.01

50.26736

++

++

++

++

++

+−

( ) ( ) ( )151413

1.01

7.402953

1.01

70.49586

1.01

70.49586

++

++

++ - 236,900

AÑO FEN VA(5%)

0 236,900.00-$ 1 12,487.38$ 11,352.163640$ 2 12,487.38$ 10,320.148760$ 3 12,487.38$ 9,381.953418$ 4 12,487.38$ 8,529.048562$ 5 12,487.38$ 7,753.680511$ 6 25,238.50$ 14,246.475280$ 7 26,736.50-$ 13,720.052030-$ 8 36,806.70$ 17,170.597190$ 9 36,806.70$ 15,609.633810$

10 36,806.70$ 14,190.576190$ 11 49,586.70$ 17,379.835850$ 12 49,586.70$ 15,799.850770$ 13 49,586.70$ 14,363.500700$ 14 49,586.70$ 13,057.727910$ 15 402,953.70$ 96,463.912040$

TOTAL 251,899.05260$ TABLA 2.6 POR LO TANTO VAN(10%) = $ 251,899.05260 - 236,900 VAN(10%) = 14,999.0526

66

CONCLUSION El Valor Actual Neto, es la acumulación de los Valores Actuales de cada Flujo de Efectivo Neto (FEN), tanto positivos como negativos que ocurren a lo largo del proyecto (traer dinero futuro al presente).

VAN = ( )1 1

nt

tt

FEN

i= +∑ - I0

“Notación” FEN = Flujo de Efectivo, CF = Cash flow, FCFF = Free cash Flow to the Firm, Yt – Et, = Ingresos menos Egresos, BNt = Beneficio Neto, etc. i = tasa de descuento o de interés. I0 = Inversión Inicial. n = Número de observaciones t = Número de periodos. (1+i)t Factor de descuento. Donde: En el criterio de Evaluación VAN, la regla de decisión es: Si VAN ≥ 0 ==> Aceptamos el Proyecto Si VAN < 0 ==> Rechazamos el Proyecto Para el caso de proyectos mutuamente excluyentes (A y B), elegir el del VAN más alto. Es decir: Si VANA > VANB ==> Elegimos el proyecto A Para el caso de nuestra simulación:

VAN(5%) = 359,979.0911 > VAN(10%) = 14,999.0526 ==> Elegir el proyecto de mayor VAN.

67

Capítulo 3

La tasa de interés aleatoria en la valoración de proyectos de inversión.

3.1 Resumen Este trabajo proporciona una expresión aproximada para calcular el valor actual neto (VAN) de una inversión en el caso de los tipos de interés variables. En efecto, si los tipos de interés son variables aleatorias, la mayor dificultad que presenta el cálculo del VAN es encontrar una expresión matemática que permita realizar una aproximación a la tasa de interés en el periodo siguiente al periodo presente. En tal situación, el primer problema es determinar el modelo ARIMA de la tasa de interés y después calcular su valor de muy corto plazo. No cabe ninguna duda de que este procedimiento es un poco complicado, incluso cuando el modelo ARIMA de la variable aleatoria inicial es elemental. En este trabajo a partir de los pronósticos de primer orden de integración del tipo de interés aleatorio, se obtiene un resultado muy aproximado, salvando los problemas mencionados.

68

3.2 Introducción En el mundo financiero, es bien conocida la fórmula que determina el valor actual neto VAN, de un proyecto de inversión de duración n años, desembolso inicial I0, flujos de ingreso del proyecto Yt, Et sus egresos, y la tasa de descuento representada por i.

( ) ( )∑ ∑= = +

−+

+−=n

t

n

tt

t

t

T

i

E

i

YIVAN

1 1

011

25

Simplificándola

( )∑= +

−+−=

n

tt

tt

i

EYIVAN

1

01

Que es lo mismo que:

( )∑= +

+−=n

tt

t

i

BNIVAN

1

01

Donde BNt representa el beneficio neto del flujo de caja en el periodo t. Obviamente BNt puede tomar un valor positivo o negativo.

Por su parte para construir nuestro modelo serie de tiempo, utilizaremos también el subíndice t para determinar los diferentes valores de i en el tiempo.

Suponiendo que it es el tipo de interés variable vigente en el t-ésimo año. Entonces de manera análoga el modelo de evaluación de proyectos de empresas, basados en su capacidad de generación de rentas futuras, determinará sus rendimientos a partir de la actualización de las tasas de interés potenciales estimadas. Y lo podemos realizar a través de su tasa de interés aleatoria.

( )[ ]∑= ++

+−=n

tt

tt

t

ui

BNIVAN

1

01

En esta fórmula podría considerarse que todos sus elementos, a excepción del desembolso inicial, son aleatorios:

- los flujos de caja o las rentas potenciales estimadas - la duración; y - los tipos de interés

si los flujos de caja son aleatorios, estos podrían ser sustituidos por sus equivalentes ciertos y la expresión quedaría así:

( )( )[ ]∑

= +++−=

n

tt

tt

t

ui

BNEIVAN

1

01

25 El subíndice en los ingresos y egresos, solo quiere explicar la posibilidad de valores diferentes en el flujo de caja.

69

La elección de los tipos de interés es, quizá, la mayor dificultad que el evaluador debe resolver para determinar el valor actual de una inversión (sea esta individual o una empresa en su conjunto), debido a que pequeñas variaciones en los tipos de interés pueden ocasionar grandes variaciones en el valor actual. Si los tipos elegidos son altos, se obtendrá una infravaloración del proyecto y si, por el contrario, se utilizan unos tipos de interés bajos, obtendremos una sobrevaloración de aquél. Por ello, los empresarios con aversión al riesgo elegirán tipos de interés más altos y los propensos al riesgo optarán por tipos de interés más reducidos. Es, por tanto, en la determinación de los mismos donde probablemente estribe la mayor subjetividad de esta forma de evaluación.

La cuantía de los tipos de interés dependerá tanto de la coyuntura general del país en el que se encuentre la empresa, como de la situación futura estimada para la propia empresa. Cuando las propias perspectivas o del entorno sean desfavorables, los tipos de interés serán mayores, para minimizar el riesgo. En la metodología clásica la tasa de actualización representa la rentabilidad que el inversor exige a su proyecto. Una posibilidad es considerar que esta rentabilidad viene determinada por el coste del capital, en cuyo caso, para obtener el valor efectivo (válido para cualquier inversor) de la inversión, el tipo de interés que se debe emplear es el coste medio ponderado de capital que tendrá el inversor, que es un indicador de la rentabilidad mínima que exigirá un empresario a sus inversiones. La utilización de este coste supone ignorar las opciones de inversión más rentables que pudiera tener dicho empresario.

Pero, si lo que el evaluador pretende obtener es el valor subjetivo (válido para un inversor específico y determinado), entonces sí habrán de considerarse las inversiones alternativas que se le presenten al sujeto concreto base de la valoración. En este caso, el costo de capital será aquel que coincida con la rentabilidad de las oportunidades de inversión.

Si se usa como tasa de actualización el costo de capital, se estará utilizando la rentabilidad mínima que exigirá el inversor y se obtendrá en consecuencia, el máximo valor del proyecto. Ahora bien, otra alternativa es considerar que la rentabilidad exigida debe ser superior al costo del capital, por lo que la tasa a emplear será, asimismo, más elevada. En este caso, hay dos opciones para su determinación. 1.- Estimar que la tasa debe ser la rentabilidad de las inversiones alternativas. 2.- Obtener los tipos de interés de actualización como la suma de un tipo base ( entre las distintas opciones, la más adecuada es considerar el tipo de interés de las operaciones a largo plazo sin riesgo debido a la insolvencia del deudor, representado por el tipo legal del dinero, el tipo de la deuda pública a largo plazo, el tipo de interés interbancario de equilibrio “TIEE”, libor, etc,) más una prima de riesgo (que incluya el riesgo económico, financiero y de liquidez) y corregir el nivel de inflación, en tal caso la

tasa de actualización it aleatoria, vendría dada por:

it = α + α1t + ut

Siendo α + α1t la parte sistemática, y

ut la parte no sistemática Aunque a priori ambas partes son aleatorias.

70

Es importante señalar que la previsión futura de la tasa de actualización (tipos de

interés) puede realizarse mediante una extrapolación de los valores pasados, a través, por ejemplo, de un análisis de regresión.

La metodología tradicional, analizada hasta el momento, considera los tipos de interés de forma determinista, es decir, un único valor posible para los mismos en cada periodo. Sin embargo, dado que el futuro no es conocido, será más razonable formular varias hipótesis posibles, que posteriormente serán reducidas a una sola con ayuda del tratamiento estadístico. La forma más concreta de actuar racionalmente es utilizar la esperanza matemática de los distintos valores, puesto que la esperanza matemática es el valor para el cual la suma de todas las desviaciones posibles es igual a cero. En definitiva se trata de considerar la tasa de actualización (tasa de interés) de cada año como una variable aleatoria. Para ello, la estructura de este trabajo es la siguiente:

Se plantea el problema desde el punto de vista Estadístico-Matemático, haciendo especial hincapié en la dificultad de los algoritmos conducentes a la determinación de la tasa de descuento medio conocida la función de distribución de la variable aleatoria que describe el tipo de interés aplicable a un periodo. Se propone la posible solución a esta cuestión con su respectiva complejidad operativa, aportándose en este capítulo, un caso práctico donde se pone de manifiesto la bondad de la aproximación propuesta. Por último, se resumirá la aportación realizada, en una simulación tanto del cálculo de la tasa de interés variable en el tiempo como de la aplicación de la misma en la fórmula del VAN que determine la valoración del proyecto de inversión planteado en el capítulo 2.

71

3.3 Planteamiento del Problema Uno de los problemas más debatidos en la matemática financiera es el de la aleatoriedad de los tipos de interés, ya que, como puede observarse, de ellos depende la valoración de bienes y proyectos de inversión, siendo, por tanto, de vital importancia para la toma de decisiones financieras. Ahora bien, este problema puede ser abordado al menos desde dos puntos de vista:

- Desde la perspectiva de la estructura temporal de los tipos de interés. - Conociendo la función de distribución de la variable aleatoria que describe el

comportamiento del tipo de interés durante su periodo de vigencia. Pues bien, en este trabajo seguiremos el segundo de los enfoques, suponiendo que los flujos netos de caja, que también son variables aleatorias, son independientes del tipo de interés.

Antes de comenzar el desarrollo del trabajo, y para facilitar su exposición, vamos

a suponer que lo que se conoce es la función del factor de capitalización aleatorio it que establece la equivalencia financiera entre capitales de años consecutivos.

it = α + α1t + ut ; t = 1,2,…,n

Siendo it la variable aleatoria vigente durante el t-ésimo periodo de capitalización.

Esto no supone ninguna restricción ya que si f(t) es la función de la variable aleatoria it representativa del tipo de interés, la ecuación de it aleatoria, es:

it = α + α1t + ut

Por tanto, debemos saber que it está definida en el intervalo [a,b]

Más concretamente, si it es la variable aleatoria que describe el factor de capitalización durante el t-ésimo periodo, entonces nuestra ecuación del VAN es:

( )( )[ ]∑

= ++=++−=

n

tt

tt

t

uti

BNEIVAN

1 1

01 αα

Donde, puede ser:

it = α + α1t + ut lineal

it = e(α + α1t + ut) exponencial

it = α + α1t + α2t2 + ut cuadrática

Para el desarrollo de toda esta metodología Matemática-Estadística, nos auxiliaremos de la computadora y del sistema informático eviews; en lo cual realizaremos una aproximación futura de la tasa de interés interbancaria de equilibrio (TIIE); auxiliándonos de una serie de la (TIIE), obtenida en el Banco de México.

72

3.4 Simulación del modelo probabilístico para la solución de la tasa de interés aleatoria

Serie TIIE que utilizaremos para la simulación Fuente : Banco de México. TABLA 3.4.1 Tasas de Interés Interbancarias, Fondeo y Pagaré Bancario Bursátil SF17801 TIIE a 91 días Tasa de interés promedio mensual, en por ciento anual período: Ene 1997 - Sep 2007 periodicidad: Mensual cifra: Porcentajes unidad: Porcentajes

FECHA TIIE FECHA TIIE FECHA TIIE FECHA TIIE FECHA TIIE Ene 1997 25.38 Ene 1998 19.95 Ene 1999 35.45 Ene 2000 18.69 Ene 2001 18.86 Feb 1997 23.54 Feb 1998 20.67 Feb 1999 31.35 Feb 2000 18.12 Feb 2001 18.36 Mar 1997 23.73 Mar 1998 21.83 Mar 1999 26.37 Mar 2000 15.86 Mar 2001 17.22 Abr 1997 23.97 Abr 1998 20.44 Abr 1999 22.99 Abr 2000 15.10 Abr 2001 16.31 May 1997 21.73 May 1998 20.27 May 1999 23.26 May 2000 16.77 May 2001 14.22 Jun 1997 22.41 Jun 1998 21.79 Jun 1999 23.77 Jun 2000 17.73 Jun 2001 11.90 Jul 1997 20.73 Jul 1998 22.66 Jul 1999 22.98 Jul 2000 15.40 Jul 2001 11.60

Ago 1997 21.27 Ago 1998 27.20 Ago 1999 24.36 Ago 2000 16.84 Ago 2001 10.22 Sep 1997 21.27 Sep 1998 40.35 Sep 1999 23.43 Sep 2000 17.13 Sep 2001 12.19 Oct 1997 20.47 Oct 1998 38.69 Oct 1999 22.41 Oct 2000 17.99 Oct 2001 11.16 Nov 1997 22.55 Nov 1998 35.56 Nov 1999 20.09 Nov 2000 18.76 Nov 2001 10.21 Dic 1997 20.48 Dic 1998 36.29 Dic 1999 19.06 Dic 2000 18.39 Dic 2001 8.87

FECHA TIIE FECHA TIIE FECHA TIIE FECHA TIIE FECHA TIIE Ene 2002 8.44 Ene 2003 9.38 Ene 2004 5.55 Ene 2005 9.03 Ene 2006 8.16 Feb 2002 9.06 Feb 2003 9.85 Feb 2004 6.07 Feb 2005 9.59 Feb 2006 7.93 Mar 2002 8.61 Mar 2003 10.04 Mar 2004 6.55 Mar 2005 9.98 Mar 2006 7.78 Abr 2002 7.12 Abr 2003 8.70 Abr 2004 6.37 Abr 2005 10.22 Abr 2006 7.72 May 2002 7.63 May 2003 6.74 May 2004 7.31 May 2005 10.21 May 2006 7.59 Jun 2002 8.65 Jun 2003 6.19 Jun 2004 7.59 Jun 2005 10.01 Jun 2006 7.68 Jul 2002 8.73 Jul 2003 5.70 Jul 2004 7.63 Jul 2005 10.03 Jul 2006 7.57

Ago 2002 7.95 Ago 2003 5.54 Ago 2004 7.84 Ago 2005 10.03 Ago 2006 7.48 Sep 2002 8.74 Sep 2003 5.50 Sep 2004 8.06 Sep 2005 9.45 Sep 2006 7.50 Oct 2002 9.10 Oct 2003 5.93 Oct 2004 8.46 Oct 2005 9.25 Oct 2006 7.65 Nov 2002 8.73 Nov 2003 5.83 Nov 2004 8.85 Nov 2005 9.14 Nov 2006 7.62 Dic 2002 8.64 Dic 2003 6.57 Dic 2004 9.03 Dic 2005 8.64 Dic 2006 7.60

FECHA TIIE FECHA TIIE Ene 2007 7.67 Jul 2007 7.78 Feb 2007 7.67 Ago 2007 7.79 Mar 2007 7.68 Sep 2007 7.77 Abr 2007 7.61 May 2007 7.83 Jun 2007 7.82

73

0

10

20

30

40

50

97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07

T IIE

GRAFICA QUE T RAT A DE MOST RARLA FORMA FUNCIONAL DE LA SERIE T IIE

Una vez introducida nuestra serie de datos, en este caso, tasas de interés, y veamos mediante el sistema eviews. La gráfica 3.4.1, y de acuerdo a lo que observemos, podemos determinar si su forma funcional es: Lineal Exponencial Cuadrática GRÁFICA 3.4.1 Sin embargo ¿cómo podemos demostrar que la percepción que tenemos es la más acertada? Solución propuesta: Si mi serie tiene un panorama acorde a un modelo lineal.

it = α + α1t + ut ==⇒⇒⇒⇒ construir una serie t (variable de tendencia) Genr T1=@trend Así obtengo mi variable de tendencia lineal “T1”

Para: it = e(α + α1t + ut) ==⇒⇒⇒⇒ Genr Lit =Log(it) Ya tengo mi variable de tendencia para mi exponencial

Para: it = α + α1t + α2t2 + ut

==⇒⇒⇒⇒ Genr T2 =T1^2 Ya tengo mi variable de tendencia cuadrática

74

-10

0

10

20

0

10

20

30

40

50

97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07

Residual Actual Fitted

Una vez hecho esto, vamos ha hacer el análisis en dos sentidos. ==⇒⇒⇒⇒ ahora que tenemos los tres modelos, los corremos uno a uno en eviews, donde

registramos a it = tiie Ls tiie c t1 � lineal Ls tiie c t1 t2 � cuadrático Ls tiie c ltiie � exponencial Nota: para el modelo lineal, solo trabajamos con un parámetro t1; para el modelo cuadrático con dos parámetros t1 y t2; y para el modelo exponencial con el parámetro logarítmico. Veamos del análisis en eviews, el gráfico 3.4.2. El procedimiento a seguir es: Ls tiie c t1 view actual fitted residual actual fitted residual graph GRÁFICA 3.4.2 Sin embargo, la visión gráfica no es suficiente para determinar el tipo de función que es. Lo que hicimos en la gráfica 3.4.2, fue descomponer la serie en dos partes:

it = α + α1t + ut

it = α + α1t � Tendencia (actual, fitted)

it - it estimada = ut � donde ut es la parte estacionaria de la serie (residual) Para tener la certeza de la forma funcional de la serie y, con la finalidad de trabajar con esa función que, en su momento es la adecuada para poder realizar la aproximación de la variable aleatoria, entre otras operaciones que tenemos que realizar, haremos pruebas de hipótesis con el grado de significancia de la t-student calculada en nuestra serie.

75

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0

10

20

30

40

50

97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07

Res idual Actual Fitted

-10

-5

0

5

10

15

20

0

10

20

30

40

50

97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07

Residual Actual Fitted

La prueba de hipótesis es : H0 : α1 = 0 H1 : α1 > 0 o bien, Si, tc > tt � Rechazamos H0 , donde tc = t calculado > tt = t de tablas Para ello emplearemos los valores que nos da la tabla 3.4.2, una vez corrido el modelo. TABLA 3.4.2 t-student= t-statistic α1 α 2 R2

Lineal -15.48249

0.653675

Exponencial 46.84315

0.945289

Cuadrática -9.256001

5.149656

0.713892

Por otra parte, podemos afirmar que cuando un parámetro t-student es negativo, entonces, se descarta del análisis porque tiende a cero y por lo tanto se descartan ya sea lineal, cuadrático y/o exponencial, y además, el que me da el resultado R2 más alto, ese es el modelo que debemos utilizar; entonces, para la exponencial: con un 95% de confianza, tenemos que: tc = 46.843115 > tt = 1.960 ∴∴∴∴ Rechazamos H0 y aceptamos que nuestro modelo es exponencial. GRÁFICA 3.4.3 Además podemos constatar en la gráfica 3.4.3 que el modelo exponencial estimado (fitted) se ajusta mejor a los datos reales (actual), en su parte tendencial; aunque no es suficiente para determinar su forma funcional. El modelo cuadrático, de igual manera, queda descartado y entonces nos daremos a la taréa de comenzar por utilizar este modelo para aplicarle las operaciones pertinentes para llevar a cabo nuestro objetivo que es la mejor aproximación posible de nuestra variable aleatoria (tiie). GRÁFICA 3.4.4 En el gráfico 3.4.4, se puede observar que el modelo cuadrático, no es adecuado en su ajuste tendencial.

76

Continuando con nuestro análisis, es importante comentar que, el residuo es la parte de la serie que contiene los movimientos característicos de ella; por lo que, lo demás es tendencia.

De aquí percibimos porque en el modelo serie de tiempo, lo vamos a modelar

con el residuo como se observa en la tabla 3.4.3. Veamos; View Actual, fitted, residual Actual, fitted, residual table

(it = tiie ) = α + α1t + ut TABLA 3.4.3

obs Actual Fitted Residual it = tiie α + α1t ut

2007:07

7.78

7.41367989083

0.36632010917

2007:08

7.79

7.43265398068

0.357346019324

2007:09

7.77

7.394681397

0.375318602998 Si sumo fitted + residual = actual Con ello podemos decir que:

α + α1t + ut = (it = tiie ) fitted residual actual tendencia esta es la parte que no tiene tendencia ⇒ deducimos que nuestros parámetros de análisis son:

it = α + α1 it-n -------> Modelo Autoregresivo

it = α + ut + ut-n -------> Modelo Media Móvil La conclusión es que el residuo de este modelo exponencial, no tiene tendencia. Si lo aplico tanto para una cuadrática como para una lineal, la conclusión será la misma.

77

Por lo tanto, podemos decir, que el residuo es la parte de la serie que no tiene tendencia y, es la que les confiere las características de conducta específica de cada serie. ¿Para que nos interesa saber el tipo de tendencia que sigue la serie?, Observemos:

Recordemos que tengo mi modelo que representa a la tasa de actualización

it aleatoria y, este modelo lo tengo en t; es decir, puedo decir que la estructura de este modelo en t es esta:

it = α + α1t + ut

ahora bien, en t-1 it-1 = α + α1(t-1) + ut-1, es decir, la estructura del modelo que me sirve para t, me sirve para t-1, t-2, t+1, t+2, etc.

t-2 t-1 t

t+1 t+2

Aquí me exige una ecuación, Simplemente una diferencia [Orden de integración I(1)] 26 El orden de integración nos lo dá la cantidad de transformaciones que le

hacemos a una serie, hasta que exista una diferencia que no dependa del tiempo. Por otra parte, la solución de la exponencial, es casi igual que la lineal, pero con una logarítmica, precisamente para linealizarla.

Veamos, como en el programa eviews, le quitamos la tendencia a nuestra ecuación. Abrimos eviews y en su editor principal, escribimos la palabra show D(LTIIE) para quitarle la tendencia, como se muestra en el gráfico 3.4.5.

Line Graph GRAFICA 3.4.5 Y lo guardamos, o creamos este grupo de la serie, para trabajar con él, tal y como se muestra en el cuadro 3.4.1 . Lo podemos guardar con el nombre de Uexp, por que U es la parte que no tiene tendencia.

26 Ver anexo 1 para la demostración matemática del orden de integración lineal.

78

CUADRO 3.4.1 Entonces; resolvemos las otras ecuaciones para saber cual es el procedimiento de solución. 27

Una vez revisados los anexos 1,2 y 3, podemos formular la siguiente pregunta: ¿para que nos sirve saber todo esto?

Nos sirve para identificar el orden de integración de la serie, y es precisamente el concepto de la teoría de Orden de Integración (BOX-JENKINGS), el primer concepto de esta teoría. 27 Ver anexo 2 y anexo 3 para la demostración matemática del orden de integración cuadrático y exponencial respectivamente.

79

Por otra parte, el modelo que estamos utilizando: yt = α + α1yt-1 + ut Es una ecuación en diferencias que representa un modelo autoregresivo AR(1), es decir, con un rezago. 28 Como mencionamos con anterioridad; para auxiliarnos al realizar las operaciones en nuestra simulación, utilizaremos el programa informático EVIEWS, ya que una vez revisados los cuatro anexos, debemos reconocer que las operaciones son un tanto laboriosas y complicadas. Por ello, si hacemos la prueba en el programa con la serie que estamos trabajando,(Tasa de interés interbancaria de equilibrio TIIE), obtenemos los siguientes resultados: Realizamos la corrida del programa de la siguiente manera: LS TIIE C AR(1) Debajo de los cálculos, aparece en la tabla 3.4.4 la siguiente información: Inverted AR Roots = raíz invertida de AR(1). TABLA 3.4.4 Dependent Variable: TIIE Method: Least Squares Date: 10/20/07 Time: 14:17 Sample(adjusted): 1997:02 2007:09 Included observations: 128 after adjusting endpoints Convergence achieved after 4 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 9.136503 6.253571 1.461006 0.1465 AR(1) 0.972205 0.018604 52.25761 0.0000

R-squared 0.955896 Mean dependent var 13.94867 Adjusted R-squared 0.955546 S.D. dependent var 7.910545 S.E. of regression 1.667877 Akaike info criterion 3.876481 Sum squared resid 350.5084 Schwarz criterion 3.921044 Log likelihood -246.0948 F-statistic 2730.858 Durbin-Watson stat 1.494823 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots .97

AR(1) 0.972205

Inverted AR Roots .97

Cuando estos valores son menores a 1, ⇒ ya no estoy violando las condiciones de solución. ⇒ de esta forma ya tiene una tendencia al equilibrio.

28 Ver anexo 4 en el apartado del operador rezago, para la demostración matemática de una ecuación en diferencias que representa un modelo autoregresivo,

80

No obstante, en caso contrario, el modelo no va a converger al equilibrio ⇒ Lo podemos corregir, rezagándolo con (d) aunque esto ya lo sabemos., Veamos un ejemplo LS D(TIIE) C AR(1) TABLA 3.4.5

Podemos observar en el resultado de la tabla 3.4.5, que mejoraron los coeficientes con respecto a la anterior tabla, en el sentido que son menores que 1 pero todavía más pequeños o cercanos a cero. Retomando de los cálculos del operador rezago del anexo 4, para aplicarlos en el sistema informático eviews ∆yt d(yt) ∆2 yt d(yt , 2) ∆lnyt dln(yt)

⇒ Lo primero que hacemos es: yt = it (Tasa de Interés Interbancaria de equilibrio) = TIIE ⇒ LS TIIE C TIIE(1) Inadecuado LS TIIE C AR(1) Inadecuado LS D(TIIE) C AR(1) Adecuado,(Bien) Este es el primer modelo autoregresivo de orden 1, de nuestra serie

Dependent Variable: D(TIIE) Method: Least Squares Date: 10/20/07 Time: 14:35 Sample(adjusted): 1997:03 2007:09 Included observations: 127 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.119628 0.190814 -0.626935 0.5318

AR(1) 0.240799 0.086435 2.785911 0.0062 R-squared 0.058461 Mean dependent var -0.124173 Adjusted R-squared 0.050928 S.D. dependent var 1.675682 S.E. of regression 1.632455 Akaike info criterion 3.833669 Sum squared resid 333.1135 Schwarz criterion 3.878460 Log likelihood -241.4380 F-statistic 7.761302 Durbin-Watson stat 1.939427 Prob(F-statistic) 0.006170 Inverted AR Roots .24

81

∴∴∴∴ este es un modelo AR I MA 1 1 0 Recordemos que en un modelo serie de tiempo debemos cuidar que: El polinomio característico sea invertible y que la raíz característica, sea ≠ 1. Entonces, en la práctica en eviews, LS D(TIIE) C AR(1) AR(14) AR(7) TABLA 3.4.6 Inverted AR Roots .88+.22i .88 -.22i .73 -.53i .73+.53i

.38 -.81i .38+.81i .04+.88i .04 -.88i -.39+.79i -.39 -.79i -.66 -.57i -.66+.57i -.85+.18i -.85 -.18i

En este ejercicio, la suma de los resultados de la tabla 3.4.6, nos da 0.26, o sea, en todos los casos debemos cuidar que la suma de los parámetros sea < 1.

Es decir, ∑ (α) < 1 A esta forma, le llamaremos condición débil de invertibilidad para la solución de una ecuación en diferencias. Por su parte, Condición fuerte de invertibilidad

∑ (α℮) < 1 Nota: para fines prácticos, vamos a trabajar con la condición débil. Podemos decir que hasta el momento, todo lo explicado, son los modelos autoregresivos y el orden de integración.

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MODELO MA(q)

yt = α + ut + α1ut-1 Este es un modelo MA(1) Es decir, el modelo media móvil, se va a estimar con el residuo. ⇒

yt = α + (1 + α1L) ut Polinomio Característico

λ q necesita una raíz característica para solucionarlo.

Las condiciones para la solución del modelo media móvil, son exactamente las mismas que se determinan para el modelo autoregresivo :

│α│2 < 1 Condición débil de solución.

λ < 1 Condición fuerte ⇒ En el caso (q)

∑ λ q < 1 Nota: para fines prácticos, vamos a trabajar con la condición débil. Entonces, haciendo una prueba (práctica) en EVIEWS, LS TIIE C MA(1) MA(14) TABLA 3.4.7 Inverted MA Roots .88 .79+.39i .79 -.39i .54+.70i

.54 -.70i .17+.87i .17 -.87i -.23+.87i -.23 -.87i -.59+.70i -.59 -.70i -.85 -.39i -.85+.39i -.94

Recordemos que la sumatoria se lleva a cabo al cuadrado, porqué: │α│2 < 1 condición débil de solución. ∴∴∴∴ En este ejercicio, la suma de la tabla 3.4.7, nos da : - 0.467

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Realizando el ejercicio completo, a manera de ejemplo pero al mismo tiempo con mis datos reales de la TIIE. (Buscamos nuestro mejor modelo), (Recordar que para realizar nuestras operaciones, nos estamos auxiliando con el programa informático eviews) LS D(TIIE) C SMA(1) MA(2) SAR(3) SAR(7) SMA(25) MA(25) AR(9) TABLA 3.4.8 Dependent Variable: D(TIIE) Method: Least Squares Date: 10/21/07 Time: 11:00 Sample(adjusted): 1998:06 2007:09 Included observations: 112 after adjusting endpoints Failure to improve SSR after 46 iterations Backcast: 1994:04 1998:05

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.224587 0.095721 -2.346258 0.0209

AR(9) -0.164021 0.027193 -6.031624 0.0000 SAR(3) 0.227999 0.027194 8.384054 0.0000 SAR(7) -0.124954 0.026135 -4.781061 0.0000 MA(2) -0.081113 0.013789 -5.882286 0.0000

MA(25) 0.711628 0.037957 18.74804 0.0000 SMA(1) 0.100578 4.16E-05 2420.280 0.0000

SMA(25) 0.194040 0.071198 2.725353 0.0075 R-squared 0.861649 Mean dependent var -0.111607 Adjusted R-squared 0.852337 S.D. dependent var 1.730268 S.E. of regression 0.664888 Akaike info criterion 2.090354 Sum squared resid 45.97594 Schwarz criterion 2.284532 Log likelihood -109.0598 F-statistic 92.53055 Durbin-Watson stat 2.123848 Prob(F-statistic) 0.000000 Inverted AR Roots .77 -.28i .77+.28i .70 -.27i .70+.27i

.41+.71i .41 -.71i .12 -.70i .12+.70i -.14+.81i -.14 -.81i -.48 -.64i -.48+.64i -.63 -.53i -.63+.53i -.69 -.82

Inverted MA Roots .98+.12i .98 -.12i .93+.12i .93 -.12i .92+.36i .92 -.36i .87 -.34i .87+.34i .80+.58i .80 -.58i .75 -.55i .75+.55i .63+.76i .63 -.76i .59 -.72i .59+.72i .42 -.89i .42+.89i .39 -.85i .39+.85i .19+.97i .19 -.97i .17+.92i .17 -.92i -.06+.98i -.06 -.98i -.06+.93i -.06 -.93i -.29+.89i -.29 -.89i -.31+.94i -.31 -.94i -.51+.79i -.51 -.79i -.53+.83i -.53 -.83i -.69 -.64i -.69+.64i -.72 -.67i -.72+.67i -.82 -.45i -.82+.45i -.87 -.47i -.87+.47i -.91 -.23i -.91+.23i -.94 -.96 -.24i -.96+.24i -.99

Podemos observar en la tabla 3.4.8, los resultados calculados de manera excelente. Observemos también que, cuando al final de la tabla aparezcan cualquiera de las dos notas o bien las dos: Estimated AR process is noninvertible Estimated MA process is noninvertible Entonces nos regresamos ha realizar otra corrida, porque estamos violando las condiciones de solución.

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Por otra parte, podemos observar que lo que estamos usando es el modelo serie de tiempo: AR I MA δ d q 1 1 1 y el modelo ARIMA más sencillo, es: 29 ∆yt = α + α1yt-1 + ut + α2 ut-1 Hasta el momento con la utilización del sistema eviews, y apoyados en la revisión de los cinco anexos, hemos llevado a cabo la explicación de los procesos de: 1.- IDENTIFICACION 2.- ESTIMACION 3.- EVALUACION 4.- APROXIMACION (De la tasa de interés) No obstante, a continuación incorporaremos en nuestro procedimiento de identificación, utilizando el sistema informático eviews, lo siguiente: IDENTIFICACION A) Estacionaria a) Análisis de tendencia Resultado

Transformación adecuada a la serie b) Vamos a incorporar otro elemento, el correlograma.

29 Ver anexo 5 para la solución matemática de un modelo ARIMA y la descripción del proceso que sigue la teoría BOX-JENKINGS para un modelo serie de tiempo.

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Correlograma En eviews, nos posicionamos en el nombre de la serie que queremos revisar le damos “clic” derecho, y en la palabra “open” le damos “enter o click normal” y nos aparecerá en pantalla la serie, entonces en su menú principal, en: VIEW (enter) aparecerá el cuadro 3.4.2 CUADRO 3.4.2 Número de de observaciones Análisis del correlograma. Contiene dos funciones, según el cuadro 3.4.3 CUADRO 3.4.3 Date: 10/21/07 Time: 14:40 Sample: 1997:01 2007:09 Included observations: 129 (MA) (AR) AC PAC El correlograma, evidencia si la serie se comporta como una serie estacionaria, o no.

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Si sigue un patrón así, de acuerdo al cuadro 3.4.4 CUADRO 3.4.4 Es decir, cuando encontramos fenómenos de esta forma, entonces la serie tiene tendencia. Por lo tanto, no es una serie estacionaria. Esta prueba es adicional a las pruebas de análisis de tendencia. Si nos da un resultado como este, entonces podemos buscar corregir; es decir, buscar su estacionariedad de la siguiente forma: Ahora debemos correr nuestro modelo, a primera diferencia con los mismos 150 datos, como se especifica en el cuadro 3.4.5 CUADRO 3.4.5 Si se rompe el patrón característico como se observa en el cuadro 3.4.6, entonces presenta evidencia de ser una serie estacionaria.

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CUADRO 3.4.6 A la hora del modelaje, tenemos que ver si las series presentan características diferentes. Podemos correr el modelo ya sea de una cuadrática, exponencial y/o lineal; es decir para cualquier tipo de ecuación. Y la metodología a seguir será la misma, excepto que para la cuadrática, será con la 2ª diferencia como lo describe el cuadro 3.4.7. CUADRO 3.4.7 En el correlograma, en su parte teórica, se establece que cuando λ 1 = 1, la serie sigue una tendencia, entonces tiene una raíz unitaria. Por lo tanto, no tiene solución.

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Pruebas anidadas Para estos casos, hay un profesor de apellido Mackinnon; hizo una prueba tipo t-student, es una prueba para saber si existe o no una raíz unitaria. Y la prueba consiste en que la condición: t-student > t-Mackinon, se cumpla para pasar dicha pueba En eviews, nos posicionamos en el nombre de la serie que queremos revisar le damos “clic” derecho, y en la palabra “open” le damos “enter o click normal” y nos aparecerá en pantalla la serie, entonces en su menú principal, en: VIEW (enter), aparecerá el cuadro 3.4.8 CUADRO 3.4.8 Lo que hacen estas pruebas es desarrollar en lo específico si la serie puede generar una raíz unitaria, entonces cubriendo estas pruebas, en automático se cumplen las primeras dos pruebas del correlograma que describe el cuadro 3.4.9. CUADRO 3.4.9 Para estos casos, hay un profesor de apellido Mackinnon; hizo una prueba tipo t-student, es una prueba para saber si existe o no una raíz unitaria.

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Veamos en el cuadro 3.4.10 una prueba para yt sin la primera diferencia. Hay que hacer una por una: CUADRO 3.4.10 Donde ∆yt = αyt-1 + β∆yt-1 Lo que estamos desarrollando sobre la parte alta del cuadro 3.4.10, es sobre este elemento (α). Entonces, la tabla 3.4.9 de t-student, es el que se compara con el Dickey-Fuller TABLA 3.4.9 Estos tres son los t-student a Mackinnon grados de significancia distintos. Entonces, si el t-student statistic es un │t-student│ > │t-Mackinnon│, entonces no existe raíz unitaria En lo general, cuando la serie es normal, debe darnos este resultado. Sin embargo en este caso no supera esta prueba, porque el valor Mackinon “en valores absolutos” es mayor que cualquiera de los otros tres: t-student t-Mackinnon -2.5819 -1.9424 < -1.352235 -1.6170

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Realicemos una prueba para yt con la primera diferencia, como se observa en el cuadro 3.4.11 CUADRO 3.4.11 TABLA 3.4.10 Podemos ver claramente en la tabla 3.4.10 que hay evidencia, de que nuestro modelo es lineal, o exponencial (linealizado) por la 1ª diferencia. t-student > t-Mackinon -2.5820 -1.9425 > -7.579318 -1.6170

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Prueba Phillips Perron Es una prueba para saber si existe o no una raíz unitaria, y la prueba consiste en que la condición: t-student > t--Phillips-Perron (Mackinnon), se cumpla para pasar dicha pueba. En eviews, nos posicionamos en el nombre de la serie que queremos revisar le damos “clic” derecho, y en la palabra “open” le damos “enter o click normal” y nos aparecerá en pantalla la serie, entonces en su menú principal, en: VIEW (enter), mostrará el cuadro 3.4.12 CUADRO 3.4.12 Estas son las pruebas más complicadas. Esta prueba pone muchos obstáculos; si logramos pasarla, entonces las pruebas anteriores (Correlograma y Dickey-Fuller) quedan pasadas de manera automática. Pero ¿Por qué estamos haciendo una prueba de raíz unitaria?, Porque es la que nos dice si la matriz va a ser o no invertible. Observemos y regresemos al modelo básico, según se observa en la tabla 3.4.11 prueba Phillips con level TABLA 3.4.11

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Aquí podemos observar que las t-student < t-Phillips-Perron; es decir, -2.5817 -1.9424 < -1.514684 Por lo tanto, aquí no pasamos la prueba. -1.6170 En la tabla 3.4.12, llevamos a cabo una prueba Phillips con 1ª diferencia TABLA 3.4.12 t-student t-Phillips-Perron (Mackinnon) -2.5819 -1.9424 > -8.813559 -1.6170 Aquí podemos observar que sÍ pasamos la prueba. ⇒ Veamos lo siguiente yt = α + α1yt-1 + ut Solución yt (1 - α1L) = α + ut si L = 1

En este caso la prueba que estamos haciendo, es: resolver esta regresión y estamos evaluando si este valor (α1) que es el de yt-1, es o no igual

a 1. 1 ⇒ Esta es la prueba de la raíz unitaria

yt = α + ut

(1 - α1)

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∴∴∴∴ Tenemos cuatro criterios. 1) Análisis visual 2) Análisis de tendencia con t 3) Correlogramas 4) Criterio pruebas de raíz unitaria Dickey-Fuller Phillips-Perron (Mackinnon) En realidad este es el principal problema. Es decir, el problema consiste en determinar si la serie es o no Estacionaria. Lo cuál, es precisamente el elemento básico. Si lo logramos, entonces podemos continuar con el proceso. Es decir, podemos decir que nuestra prueba ya está identificada, o sea, ya encontramos el orden de integración de la serie. Entonces hasta este el momento hemos realizado. 1) Identificación Serie estacionaria. AR I MA ( δ d q ) ⇒ Recordemos que el nivel: Nivel yt estacionaria I(0) 1ª diferencia ∆yt estacionaria yt I(1) 2ª diferencia ∆2yt estacionaria yt I(2) Cabe mencionar que: lnyt ∆lnyt lnyt I(1) todo esto tiene que ver con la transformación de la serie Orden de integración Si la serie es estacionaria Todo ello implica no violar las reglas del método de solución.

94

2) Estimación MCO β, 2δ Todo esto ya lo hicimos. Vamos a evaluar, pero antes vamos ha hacer una estimación de procesos, que implica, que vamos ha poner antes o después de la serie; entonces, determino con que vamos a trabajar. Suposición Trabajaremos con primera diferencia logarítmica porque mi modelo es exponencial. Si ya tengo toda la serie con la que voy a trabajar, entonces: 3) Evaluación TIIE VIEW Correlogram En el proceso se irá agregando (no sustituyendo) uno a uno, los elementos AR o MA. La regla es que en el correlograma según el cuadro 3.4.13 CUADRO 3.4.13

Esta columna está asociada a los elementos (MA)

Esta columna, está asociada con los elementos (AR)

AC PAC

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Ejercicio ⇒ Modelo Primera diferencia LS D(lTIIE) C AR( ) MA( ) a) vamos a evaluar los coeficientes, es decir, la prueba de significancia estadística: t-student. o sea, si la prueba de coeficientes t-student t-student (calculado) > tt (tablas) ⇒ Sí me sirve mi modelo por ejemplo en uno de mis datos de la tabla 3.4.8 (AR(9) t-statistic (t calculado) tc = - 6.031624 tt = 1.96 ∴∴∴∴ Sí me sirve el modelo, debido a que en valores absolutos tc > tt b) Prueba : de invertibilidad de la raíz, el segundo elemento que vamos a evaluar es si (MA) y (AR) son invertibles. Si el elemento AR o MA que modelamos no cumplen con las condiciones, entonces, regresamos y volvemos a buscar otra alternativa de modelaje. c) La otra prueba son los criterios de Akaike y Shwartz. En los resultados que tenemos en nuestra práctica, como lo muestra la tabla 3.4.13 TABLA 3.4.13 Podemos observar estos criterios, los cuales deben ir disminuyendo conforme avancemos en el diseño del modelo. Estos criterios son grados de libertad Es decir, es una relación que se establece entre la cantidad de parámetros y la cantidad de observaciones. ∴∴∴∴ en lo general deben ir disminuyendo conforme avanza el modelo.

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d) Prueba Durbin-Watson Este criterio debe tender a 2, en nuestro caso como lo muestra la tabla 3.4.8, está bien ajustada. Durbin-Watson stat 2.123848 Conclusión de la simulación: Una vez explicada todo la metodología que seguimos en el sistema eviews que nos permite realizar operaciones complejas para calcular nuestro modelo de simulación, así como, la explicación de sus bases matemáticas desarrolladas en los anexos 1,2,3,4 y 5, regresamos al principio; es decir, nos vamos al sistema eviews y en su barra principal corremos nuestro modelo con los datos de mi serie TIIE, mostrados en la tabla 3.4.1, con la finalidad de desarrollar la última parte de nuestro análisis que nos lleva a la conclusión de este trabajo. Modelo desarrollado LS D(TIIE) C SMA(1) MA(2) SAR(3) SAR(7) SMA(25) MA(25) AR(9) Hasta encontrar mi mejor modelo yt estacionaria yt no se deja modelar ∆2yt lnyt Vamos a afirmar que este modelo es el bueno, es decir, en realidad y de acuerdo a nuestros cálculos, este es el mejor modelo de estimación que tenemos; entonces lo guardamos en eviews y procedemos a realizar la aproximación.

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4) Aproximación (pronóstico). La metodología a seguir es la siguiente: Cargamos nuestra serie, Le damos click en Range (Del menú de la primera ventana), como lo muestra el cuadro 3.4.14 CUADRO 3.4.14 Este valor lo modifico a: Este otro Entonces nuestro rango queda modificado de la forma mostrada en el cuadro 3.4.15 CUADRO 3.4.15 Con esto me da espacio hacia donde aventar el pronóstico. Una vez hecho esto, me voy a Sample (muestra de datos), con esto recorto el rango de la muestra. Es decir, en mi serie que estoy corriendo en este momento debo hacer que:

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Sample = Range Entonces, según el cuadro 3.4.16 CUADRO 3.4.16 Y entonces tanto el Range como el Sample quedan de acuerdo al cuadro 3.4.17. CUADRO 3.4.17 Con ello estamos listos para pronosticar:

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1) vamos a pronosticar datos conocidos. Obtengo el grado de certeza R2 R2 Ajustada Entonces, pronosticar últimos datos conocidos El objeto de evaluar el grado de certeza del pronóstico, es para obtener el resultado más cercano posible a la realidad. Pongamos una regla: Dato pronosticado Dato real

X 100

ejemplo 1997:01 2007:09 ⇒ Recordemos que es un pronóstico de corto plazo; por ello, pronosticamos por convención los últimos 3 datos.

⇒ dentro de la ventana del modelo (bueno) que ya elegimos, nos vamos al menú Forecast, que se observa en el cuadro 3.4.18

CUADRO 3.4.18

2007:09 Pronosticado 2007:09 Real

X 100

100

Observación: a partir de este momento, pronosticar la variable yt ; en este caso (tiie) (variable original) no su transformada, como se observa en el cuadro 3.4.19 CUADRO 3.4.19 Por automático, nos da el rango completo; si le damos este rango entonces el efecto es el mostrado en el cuadro 3.4.20 CUADRO 3.4.20 Pronostica las primeras y después sigue la tendencia. Recordemos que tenemos datos reales de la “TIIE” (it); por ello, pronostiquemos solo los tres últimos datos conocidos. Para ello, modificamos en la ventana el rango, como podemos ver en el cuadro 3.4.21 CUADRO 3.4.21 Así; y de esta manera, solo pronosticamos los últimos tres datos.

101

Y su efecto, una vez corrido, es lo mostrado en el cuadro 3.4.22 CUADRO 3.4.22 Pero ¿Por qué pronosticamos los tres últimos datos conocidos? En realidad lo hacemos es determinar cual es el porcentaje de certeza de esos tres datos, y escoger el o los que mejor se ajusten, de tal forma que nos permita realizar nuestra mejor aproximación, en el momento que lo hagamos para datos no conocidos. Nos vamos a eviews, y abrimos simultáneamente la serie real y la serie estimada, y de ellas tomamos o copiamos los tres últimos parámetros y les hacemos su prueba de certeza, de acuerdo a la tabla 3.4.14 TABLA 3.4.14

PRONOSTICOS PARA TIIEF SERIE DE TIEMPO PARA DATOS CONOCIDOS

PERIODO TIIE TIIEF PORCENTAJE DE CERTEZA DIFERENCIA CRITERIO

2007:07 778.000.000.000 843.437.855.591 108,41% 8,41% sobre

estimado

2007:08 779.000.000.000 852.237.671.637 109,40% 9,40% sobre

estimado 2007:09 777.000.000.000 814.087.915.862 104,77% 4,77% bien estimado

Podemos observar que aunque el último de los tres resultados está sobreestimado en un 4.77%, es el que mejor se aproxima; por lo tanto cuando realicemos el pronóstico para los datos no conocidos, es decir, el verdadero pronóstico, entonces tomaremos en cuenta al tercer resultado ya que es el que mejor se aproxima. Y ese será nuestra TIIE (variable, mejor aproximada).

Entonces para calcular nuestro pronóstico para datos no conocidos, realizamos el mismo procedimiento, con sus respectivas particularidades:

Observación: a partir de este momento, pronosticar la variable yt ; en este caso (tiie) (variable original) no su transformada; pero para datos no conocidos:

Para ello, abrimos nuestro modelo “bueno”, nos vamos a forecast y en la ventana, cambiamos el rango solo para los tres últimos datos, según el cuadro 3.4.23. Cabe señalar que antes de realizar este cálculo, borremos el pronóstico anterior (para datos conocidos), para evitar confusiones en el manejo de los mismos.

102

CUADRO 3.4.23 Aquí podemos observar que el rango es de 2007:10 - 2007:12, lo que significa que los datos que pronosticaremos, serán estos tres: 2007:10, 2007:11 y 2007:12; y por la prueba que hicimos del porcentaje, el tercer parámetro, será el mejor aproximado, y su efecto, una vez corrido, es el mostrado en el cuadro 3.4.24 CUADRO 3.4.24 Aunque en lo general, los pronósticos más certeros son los primeros datos, para nuestro caso nuestra tasa de interés variable más aproximada es la tercera de la tabla 3.4.25 (2007:12). Entonces abrimos nuestras Series: la real (tiie) y la estimada (tiief) como se muestra en la tabla ya citada, y obtenemos nuestra tasas de interés aproximadas que servirán para descontar los flujos de caja estimados en el capítulo 2, con lo que queda completa en cada una de sus variables, nuestra formula del VAN. CUADRO 3.4.25 Año/mes TIIE real TIIEF (estimada) o (tasa de interés variable)

2007:10 Dato no conocido

7.09876287548


6.72215946871


6.9449901154

103

Cabe señalar que la visión de hacia donde corre el pronóstico, es muy importante, porque si no simula la figura, entonces no simula bien, y por lo tanto nuestra aproximación podría quedar en entredicho; sin embargo podemos observar también en nuestro cuadro 3.4.26, que nuestra realidad y nuestro pronóstico, aunque se separan al principio por la sobreestimación de esta simulación, al final convergen, dando paso a una apreciación positiva, en la cual el evaluador de un proyecto o el inversionista tomarían las tasas de interés variables estimadas, para insertarlas en el modelo VAN, como su tasa de descuento para llevar a cabo la evaluación de un proyecto específico. CUADRO 3.4.26 (Gráfica de simulación) Pronóstico Realidad Donde estas dos últimas partes nos darán la certeza del pronóstico. Podemos decir que lo importante de todo este análisis es llegar a realizar una aproximación apegada, en la medida de lo posible, a la realidad, de tal forma que permita realizar el cálculo del valor actual neto (VAN), con tasas de interés variables a futuro, para que dicho cálculo, sea lo más acertado posible para la toma de decisiones en el momento de concretar un proyecto de inversión, lo cual es al final, la razón de ser de este trabajo de tesis.

104

Conclusiones

El análisis de proyectos constituye la técnica matemático-financiera y analítica, a

través de la cual se determinan los beneficios o pérdidas en las que se puede incurrir al

pretender realizar una inversión o algún otro movimiento, en donde uno de sus

objetivos es obtener resultados que apoyen la toma de decisiones referente a

actividades de inversión. Asimismo, al analizar los proyectos de inversión se

determinan los costos de oportunidad en que se incurre al invertir al momento para

obtener beneficios al instante, mientras se sacrifican las posibilidades de beneficios

futuros, o si es posible privar el beneficio actual para trasladarlo al futuro, al tener como

base especifica a las inversiones. Una de las evaluaciones que deben de realizarse

para apoyar la toma de decisiones en lo que respecta a la inversión de un proyecto, es

la que se refiere a la evaluación financiera, que se apoya en el cálculo de los aspectos

financieros del proyecto. El análisis financiero se emplea también para comparar dos o

más proyectos y para determinar la viabilidad de la inversión de un solo proyecto.

A la hora de valorar proyectos de inversión mediante el VAN, donde los tipos de

interés futuros son aleatorios, surge el problema de calcular (it + ut), siendo it la variable

aleatoria que modeliza el tipo de interés vigente en un periodo futuro. En este trabajo

apuntamos tres posibles soluciones a esta cuestión que van de mayor a menor

porcentaje de certeza y, por tanto, de mayor a menor exactitud.

Por su parte, calculado el porcentaje de certeza para datos conocidos, tomamos el de

menor diferencia porcentual entre la it real y la it pronosticada, y llevamos a cabo con el

modelo econométrico ya calculado nuestro pronóstico para datos no conocidos, es

decir el verdadero pronóstico.

105

Una vez calculado nuestro factor de descuento variable pronosticado, aplicamos

este resultado al VAN, considerando las tres posibles soluciones que este tiene y esto

consiste en actualizar a valor presente los flujos de caja futuros que va a generar el

proyecto, descontados a un cierto tipo de interés ("la tasa de descuento pronosticada"),

y compararlos con el importe inicial de la inversión. Como tasa de descuento se utiliza

en este caso la (TIIE) hipotéticamente considerada como el costo del capital de la

empresa que hace la inversión. A la hora de elegir entre dos proyectos, elegiremos

aquel que tenga el mayor VAN. Este método se considera el más apropiado a la hora

de analizar la rentabilidad de un proyecto. Sin embargo en este caso, se considerará no

solo la rentabilidad de un proyecto, si no también sus expectativas de ganancias. Por

otra parte, hemos de decir que el valor que calculamos en este trabajo es

hipotéticamente el del valor de capital de la inversión y por tanto, es conocido e

importante saber que una pequeña variación del tipo de interés puede dar lugar a

fluctuaciones muy grandes del valor actual neto.

Por ultimo, una de las soluciones a la problemática del cálculo del interés en el tiempo,

consiste en utilizar (it + ut), como una aproximación de (i) lo cual conduce a soluciones

no determinísticas, pero no alejadas del verdadero valor financiero tanto en situaciones

de equilibrio y principalmente en situaciones de desequilibrio. Pensamos que el

esfuerzo que requiere esta alternativa es muy pequeño, no obstante, también

pensamos que vale la pena porque desde un punto de vista metodológico y científico,

ganamos exactitud en una ciencia no determinista como lo es la economía.

En el desarrollo del ejemplo de aplicación se muestra que la técnica de

simulación aporta significativamente en el análisis de inversión bajo condiciones

normales y de riesgo. Pues el método determinístico produce un solo valor para todos

los periodos como es el caso del VAN con tasa de descuento constante. En tanto que

106

la aplicación del método probabilístico con tasa de interés variable indica una

distribución de probabilidades del VAN, determinando que la probabilidad del VAN sea

mejor en condiciones de desequilibrio económico. La ayuda de un software como el

sistema eviews simplifica el análisis en las decisiones de inversión tanto normales

como de riesgo. De esta manera, los modelos determinísticos pueden ser enriquecidos

con la aplicación de tasas de interés variables (estimadas) y con el uso de aplicaciones

informáticas que permitirán enfrentar con mayor éxito situaciones tan cambiantes como

las vigentes.

107

Anexo 1 AR (I) MA: Modelo autoregresivo de primer orden de integración con medias móviles [Orden de integración I(1), simplemente una diferencia Modelo lineal

it - it-1 = α + α1t + ut – [α + α1(t-1) + ut-1] Resolviendo algebraicamente

it - it-1 = α + α1t + ut – [α + α1(t-1) + ut-1]

it - it-1 = α + α1t + ut – [α + α1t- α1 + ut-1]

it - it-1 = α1 + ut - ut-1 ⇒ Donde

it - it-1 = ∆i

ut - ut-1 = tε

Λ

∴∴∴∴

∆i = α1 + tε

Λ

Esto es lo que conocemos como la primera diferencia; en la que podemos observar que nuestra ecuación, no depende ya del tiempo.

Ahora bien cuando a una serie it se le practica una transformación (léase como diferencia ∆), se dice que si la diferencia no depende ya del tiempo, ⇒ la serie original

it es de orden 1, es decir:

it es I(1) � esto se conoce como orden de integración.

⇒ si it se transforma dos veces, es decir, doble diferencia

it es integrada de orden 2.

∴∴∴∴ it � I(2) � siguiendo la misma lógica del modelo.

Regreso con el primer caso, si it es integrada de orden 1.

108

⇒ it � I(1) ⇒ ∆it � I(0) ; es decir, ¿cuantas transformaciones le tenemos que hacer para que deje de depender del tiempo? Eso, depende de nuestra ecuación y del tipo de forma funcional que tenga.

109

Anexo 2 Modelo cuadrático. [Orden de integración I(2)]

t � it = α + α1t + α2t2 + ut

t-1 � it-1 = α + α1(t-1) + α2(t-1)2 + ut-1

⇒ Resolviendo primero it-1

it-1 = α + α1(t-1) + α2(t-1)2 + ut-1

it-1 = α + α1t- α1 + α2(t2 – 2t + 1) + ut-1

it-1 = α + α1t- α1 + α2t2 – 2 α2t + α2 + ut-1 ⇒

it - it-1 = α + α1t + α2t2 + ut – [α + α1t- α1 + α2t2 – 2 α2t + α2 + ut-1]

∆it = α1 + 2 α2t - α2 + ut -ut-1

∆it = α1 + 2 α2t - α2 + tε

Λ

Podemos observar que la primera diferencia de it es ∆it , pero también podemos

observar que ∆it, todavía depende del tiempo. ⇒ Hay que resolver con la misma lógica la siguiente diferencia.

⇒ t � ∆it = α1 + 2 α2t - α2 + tε

Λ

t - 1 � ∆it-1 = α1 + 2 α2 (t – 1) - α2 + 1−

Λ

tε

∆it-1 = α1 + 2 α2 t – 2 α2 - α2 + 1−

Λ

tε

⇒

∆it - ∆it-1 = α1 + 2 α2t - α2 + tε

Λ- [ α1 + 2 α2 t – 2 α2 - α2 +

1−

Λ

tε ]

∴∴∴∴

110

∆2it = 2 α2 + tε

Λ -

1−

Λ

tε

Donde

∆2it = ∆it - ∆it-1 ⇒ Para la cuadrática, su orden de integración es:

∆2it � I(0)

∆ it � I(1)

it � I(2)

111

Anexo 3 Modelo exponencial. Resolviendo la ecuación en diferencias exponencial.

t � it = e(α + α1t + ut)

t-1 � it-1 = e(α + α1(t-1) + ut-1) Aplicándoles logaritmos

t � ln it = α + α1t + ut

t-1 � ln it-1 = α + α1(t-1) + ut-1

ln it - ln it-1 = α + α1t + ut – [α + α1(t-1) + ut-1]

ln it - ln it-1 = α + α1t + ut – [α + α1t - α1+ ut-1]

∆ln it = α1 + ut - ut-1 ∴∴∴∴

∆ln it = α1 + tε

Λ

Sin embargo, esta solución, es indebida, solo lo hice para ilustrar, porque su solución, radica en que: Recordemos que ax – ay = ax – ay ∴∴∴∴ así no se puede resolver, debido a que: La diferencia logarítmica, es un cociente logarítmico. Es decir:

it - it-1 = e(α + α1t + ut) - e(α + α1(t-1) + ut-1)

112

⇒ se debe resolver de la siguiente manera:

∴∴∴∴

∆ln it = α1 + tε

Λ

¿para que nos sirve saber todo esto? Nos sirve para identificar el orden de integración de la serie.

En este caso ∆ln it = α1 + tε

Λ I(0)

ln it

ln it

= e(α + α1t + ut)

e(α + α1t - α1 + ut-1)

113

Anexo 4 Continuando con la misma secuencia y la misma lógica de los anexos 1,2 y 3, podemos observar que si una serie sigue una tendencia lineal, se recomienda hacer una primera diferencia.; es decir, Cuadrática 2 diferencias Exponencial 1 diferencia logarítmica Lineal 1 diferencia Analicemos:

Yt = α + α1x1 + ut donde

t

t

X

Y

∂

∂=

Λ

1α el cambio absoluto es una propensión.

El cambio relativo es un cambio porcentual.

∴∴∴∴ Λ

1α Mide el efecto total del cambio de una posición a otra, como se puede observar en el cuadro a 4.1 CUADRO A 4.1

114

Sin embargo, que ocurre en el siguiente tipo de ecuación analizada en el cuadro a 4.2.

Yt = α + α1X1(t-1) + ut CUADRO A 4.2 Aquí el efecto que se genera es así:

⇒ α1 Este elemento está condicionado a que en realidad puede hacer ese viaje.

⇒ En términos de temporalidad

Yt = α + α1x1 + ut Es un modelo estático.

Yt = α + α1X1(t-1) + ut Semidinámico o dinámico

115

⇒ Analicemos observando el cuadro a 4.3 Ecuación en diferencias yt = α + α1yt-1 + ut Modelo dinámico CUADRO A 4.3 yt α1 = 1 Aquí la serie no es estacionaria yt * t α1 > 1 Aquí la serie tampoco es estacionaria * Equilibrio Esta ecuación en diferencias, para tener una solución en equilibrio, tiene que tener ciertas condiciones: α1 = 1 No hay solución α1 > 1 Existen múltiples soluciones α1 < 1 Si existe una solución de equilibrio, ocurre lo ilustrado en el cuadro a 4.4 CUADRO A 4.4

yt

α1 < 1 yt * t Si esto ocurre, es que la serie es estacionaria (no tiene tendencia) * Equilibrio

El tipo de solución que admite esta ecuación es un problema de raíces características:

λ

116

para continuar nuestro análisis, primero veamos al operador rezago, y después proseguiremos; así comprenderemos mejor la raíz característica. Operador rezago: Sea L el operador rezago, el cual aplicado a una serie, tiene la virtud de rezagarla. yt-1 = Lyt ∆yt = yt - yt-1 ∆yt = yt - Lyt = (1-L)yt Veamos otro ejemplo ∆2 yt = ∆yt - ∆yt-1 ∆2 yt = yt - yt-1 - (yt-1 - yt-2) ∆2 yt = yt - Lyt - Lyt + L2 yt ∆2 yt = yt - 2Lyt + L2 yt Factorizando yt ∆2 yt = (1 - 2L + L2 ) yt factorizándolo a su máxima expresión ∆2 yt = (1 – L) (1- L) yt como es una diferencia de cuadrados ∆2 yt = (1 – L)2 yt ⇒ Ya tenemos yt-1 = Lyt ∆yt = (1- L) yt ∆2 yt = (1 – L)2 yt ∴∴∴∴ ∆n yt = (1 – L)n yt ⇒ Continuando con el análisis de la raíz característica , una vez que ya conocemos el operador rezago: yt = α + α1yt-1 + ut Es una ecuación en diferencias que representa un modelo autoregresivo AR(1), es decir, con un rezago.

117

Veámoslo en forma de un ejercicio ejemplificado. Resolvamos para yt , utilizando la definición del operador rezago y, solucionar para yt. es decir, encontrar la solución para yt. yt = α + α1yt-1 + ut ⇒ yt = α + α1 Lyt + ut yt - α1 Lyt = α + ut Factorizando (1 - α1 L)yt = α + ut Despejando:

yt

= α + ut (1 - α1 L)

⇒ Si L = 1, entonces, implica un rezago porque L = 1, y la ecuación es: ∴∴∴∴ si: α1 = 1 No hay solución α1 > 1 Existen múltiples soluciones α1 < 1 Si existe una solución de equilibrio

yt

= α + ut (1 - α1 )

118

⇒⇒⇒⇒ polinomio característico

yt (1 - α1 L) = α + ut

λ Si λ está elevado a la primera potencia ⇒ yt (1 - α1 L)1

λ 1 requiere una raíz ⇒⇒⇒⇒ primera condición Es que el polinomio característico sea invertible. Si yt (1 - α1 L) = α + ut yt = (α + ut) (1 - α1 L)-1 su relevancia radica en que este polinomio sea invertible. Y esa es la primera condición. Segunda condición “Que la raíz característica, no sea una raíz unitaria”. “Sólo para el caso de un modelo autoregresivo de orden 1, el valor del parámetro que acompaña a la variable rezagada es igual al valor de la raíz característica”

λ 1 = 1 es decir, yt = (α + ut) (1 - α1 )

-1 si es igual a 1 ⇒ todo se hace cero.

119

Hagámoslo completo. yt = α + α1yt-1 + ut en (L) yt = α + α1 Lyt + ut yt - α1 Lyt = α + ut (1 - α1 L)yt = α + ut

yt

= α + ut (1 - α1 L)

Polinomio característico Raíz característica

λ ⇒ Primera condición de solución (1 - α1 ) tenga inversa. Segunda condición de solución Que el polinomio característico (1 - α1 ) , solo en este caso:

λ 1 = α1

Sin embargo, λ 1 no debe ser λ 1 = 1, porque entonces es una raíz unitaria; es decir,

No debe ser una raíz unitaria Porque (1 -1) = 0 ∴∴∴∴ no hay solución.

λ 1 = 1

120

Anexo 5 Solución del modelo ARIMA AR I MA δ d q 1 1 1 ∴∴∴∴ El modelo ARIMA más sencillo, es: ∆yt = α + α1yt-1 + ut + α2 ut-1 Vamos a resolverlo de acuerdo a la metodología desarrollada en los anexos anteriores. Recordemos que la ecuación en diferencias con un rezago, es: ∆yt = yt + yt-1 ⇒ yt - yt-1 = α + α1[yt-1 - yt-2 ] + ut + α2ut-1 yt - yt-1 = α + α1Lyt - α1L

2yt + ut + α2 Lut yt - yt-1 = α + α1Lyt - α1L

2yt + (1 + α2 L) ut yt - yt-1 - α1Lyt + α1L

2yt = α + (1 + α2 L) ut yt - Lyt - α1Lyt + α1L

2yt = α + (1 + α2 L) ut Factorizando yt

(1 - L - α1L + α1 L2 ) yt = α + (1 + α2 L) ut Esta es la ecuación que se debe solucionar (o, esto es lo que estamos solucionando con el Programa Informático eviews.)

121

Proceso que sigue la teoría BOX-JENKINGS para un modelo serie de tiempo.

Modelo serie de tiempo

AR I MA ( δ d q ) Hasta el momento, hemos realizado la explicación de los procesos de: 1.- IDENTIFICACION 2.- ESTIMACION Ahora, haremos el siguiente análisis de: 3.- EVALUACION 4.- APROXIMACION (De la tasa de interés) Cabe mencionar que hasta este momento, en lo general hemos realizado el análisis de: 1.- IDENTIFICACION 1ª fase: nos acercamos a la identificación de estacionariedad. Se refiere al proceso con el cuál empezar a estimar. Proceso AR ó Proceso MA 2.- Cuando estamos dentro de la fase de la estimación El modelo ARIMA, sigue el patrón que describe el cuadro a 5.1 CUADRO A 5.1 1) Proceso AR o MA 2) Modelo ARIMA 3.- EVALUACION Aquí en las evaluaciones se van dando en diferentes niveles Resultado del pronóstico de corto plazo. 0

122

Es un proceso dialéctico, va , regresa, va regresa, va, regresa, etc; para diferentes niveles de avance. 4.- APROXIMACION El cuadro a 5.2, nos describe cuál es la serie que nos permite llegar a una fase, llegar a otra fase, etc. CUADRO A 5.2 etc.

123

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