INSTITUCIÓN EDUCATIVA “MANUEL E. MENDOZA”

El Carmen de Bolívar - Colombia

Prof. Lic. JORGE FERRER S.Ferrermiprofe.worpress.com

TRIGONOMETRÍA

ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN

Concepto de ángulo• Es la región del plano situada

entre dos semirrectas que tienen un origen común.

• Las dos semirrectas se llaman LADOS y el origen común se llama VERTICE.

• Un ángulo se genera (origina) por la rotación de uno de sus lados.

B

C O

Lado inicial

Lado final

Vértice

B

C A

Formas de nombrar un ángulo

• Utilizando tres letras mayúsculas:

una en un punto de cada lado y la otra en el vértice

B

C

A

Leemos “ ángulo A“

Se escribe < BAC

•Escribiendo una letra griega entre los lados

β

Leemos: ángulo beta

Escribimos : < β

* Consultar las letras griegas con sus respectivos nombres

•Colocando una letra mayúscula en el vértice

C

se escribe : < A ángulo A

se lee: “ángulo A” ángulo B

ángulo C

A A B

Ángulos trigonométricos

Ángulos positivos: son aquellos que se generan haciendo la

rotación del lado inicial, en sentido contrario a la rotación de las manecillas de un reloj.

Lado inicial

Lado final

45º

Ángulos negativos:

son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en el sentido de la rotación de las manecillas de un reloj.

Lado inicial

Lado final

- 45º

Ángulos en Posición Normal

Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial con el semieje positivo de las x.

Pueden ser: • Ángulos del primer (I) cuadrante • Ángulos del segundo (II) cuadrante • Ángulos del tercer (III) cuadrante • Ángulos del cuarto (IV) cuadrante

I II

III IV

I II

III IV

(x , y) (- , +)

(x , y) (+ , +)

(x , y) (- , -)

(x , y) (+ , -)

x

y

Ángulos del Primer Cuadrante

Un ángulo θ es del primer (I) cuadrante si es mayor que 0º y menor

que 90º, es decir, 0º < θ < 90º

60º

Ej. Θ = 60º I cuadrante

Ángulos del segundo Cuadrante

Un ángulo θ es del segundo (II) cuadrante si es mayor que 90º y menor

que 180º, es decir, 90º < θ < 180º

130ºEj. Θ = 130º II cuadrante

Ángulos del tercer Cuadrante

Un ángulo θ es del tercer (III) cuadrante si es mayor que 180º y menor que 270º,

es decir, 180º < θ < 270º

240ºEj. Θ = 240º III cuadrante

Ángulos del cuarto Cuadrante

Un ángulo θ es del cuarto (IV)

cuadrante si es mayor que 270º y menor que 360º, es decir, 270º < θ < 360º

300ºEj. Θ = 300º IV cuadrante

x

Ángulo Giro o Completo

Es aquel que se genera cuando el lado inicial hace una rotación de una vuelta o un solo giro. Su valor es de 360º.

x

Θ = 360º Θ

Ángulos Complementarios

Dos ángulos A y B son complementarios, si la suma de ellos es igual a 90º.

Es decir, Si A y B son complementarios,

A + B = 90º

Ej: 30º y 60º ; 20º y 70º

Ángulos Suplementarios

Dos ángulos A y B son suplementarios, si la suma de ellos es igual a 180º.

Es decir, Si A y B son suplementarios,

A + B = 180º

Ej: 120º y 60º ; 30º y 150º

Ángulos Coterminales

Dos ángulos son coterminales si sus lados iniciales y terminales coinciden respectivamente.

100º y 460º 120º y - 240º

Ángulo Central

Es aquel cuyo vértice es el centro de un círculo y los lados cortan a la

circunferencia en uno, o, en dos puntos

yx

AB

C

< BAC con arco ByC

< BAC con arco BxC

SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS

• Sistema Sexagesimal• Sistema Cíclico

• Sistema Centesimal

Sistema Sexagesimal

Es aquel en el que las unidades varían de 60 en 60 unidades.

Unidades :Su unidad principal es el GRADO (º), que

se define como la trescientos sesenta ava parte del ángulo giro.

1º = (1/360) del ángulo giro

OBSERVEMOS:

1 vuelta completa Ξ 1 ángulo giro = 360º

1 vuelta completa = 360º

1/2 Vuelta = 180º

1/4 de vuelta = 90º

3/4 de vuelta = 270º

0º

90º

180º

270º

360º

OTRAS UNIDADES

El minuto (´) y el segundo (´´)

1º = 60´ 1´ = 60´´

Medida de una Circunferencia = 360º

ACTIVIDADES

1. Expresar en grados, minutos y segundos

los siguientes ángulos:

A. 40,28º

B. 5259´´

C. 325,4´

D. 356´ 125´´

E. 36° 158´ 305´´

Sistema Cíclico

Llamado también Sistema Circular; porque la medida de

los ángulos se hace con referencia al círculo.

La unidad de medida utilizada en éste sistema es el Radián.

Radián

Es la medida del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

r r

r0

B

A

Si AB = r, entonces, < O = 1 radián

Medida en radianes de una Circunferencia

Longitud de la circunferencia

mC = --------------------------------------------

radio

2πr

mC = ------------ = 2 π

r

mC = 2 π rad

Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el

cíclico360° = 2 π rad

Equivale a decir,

180° = π rad

Conversión de unidades

De Grados a Radianes

1. Expresar en radianes un ángulo de

30°.

Solución:

Formamos una regla de tres simple, así : 180° π rad

30° x

Luego, 1 3 0° ( π rad) 3 π x = ----------------------- = ----- rad 1 8 0° 18 6 π

Por lo tanto, 30° = ------- rad. 6

Conclusión: Para expresar de grados a Radianes, multiplicamos la cantidad de grados , por el factor de conversión, π ------- y simplificar, si es posible. 180°

Usemos este factor de conversión

2. Expresar en radianes, un ángulo de

150°.

Solución: π

150° = 1 5 0° ------- rad 1 8 0°

15 π 5 π 150° = -------- rad = ------- rad.

18 6

Ahora, vamos a practicar

Expresar en radianes los siguientes ángulos1.45°2.60°3.120°4.210°5.330°

De Radianes a Grados1. Expresar en grados un ángulo de

5 π

---------- rad.

4

Solución: Planteamos una regla de tres, similar a la anterior :

180° π rad

x 5 π / 4

Entonces, 5 π 180° -------- 4 X = --------------------------- π

Cancelamos los π , y simplificamos a 180° con el 4 , nos queda,

45° 90° 5 π 180° -------- 4 2 1 X = ------------------------ = 45° x 5 = 225° π Por lo tanto, 5 π / 4 rad = 225°.

Conclusión:

Para expresar de radianes a grados, multiplicamos la cantidad de radianes, por el factor de conversión, 180° -------- , y simplificar, si es π posible.

Usemos este factor de Conversión2. Expresar en grados un ángulo de

2 π

------ rad.

3

Solución: 60°

2 π 180°

2 π / 3 rad = --------- ------- = 2x60° =120°

3 π

1

Ahora, vamos a practicar

Expresar en grados los siguientes ángulos

1.π /3 rad

2.4 π / 3 rad

3.5 π /12 rad

4.3 π / 2 rad

5.π / 4 rad