INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR SANTIAGO DE CALI

MEN – Resolución Acreditación de Calidad y Desarrollo no. 1462 7 de Febrero de 2019 Reconocimiento Oficial de Estudios Resolución No. 4143.0.21.6478 Septiembre 17 de 2013

Carrera 34 No. 12 – 60 Colseguros. Teléfonos 3364797 – 98 – 99 Fax 3356233 Correo Electrónico: normalsuperiorcali@hotmail.com

NIT 800243065-3

GUIAS DE APRENDIZAJE

Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

1 de 1

Código:

F-GCA 39

DOCENTE: SIMEON CEDANO ROJAS

ASIGNATURA: MATEMATICA 11-2.11-3.11-4

CONTENIDO: 1. Análisis combinatorio: 2. Principio fundamental del conteo. 3. Variaciones simples. 4. Permutaciones simples.

5. Combinaciones.

N° DE HORAS: 3

PERIODO: 2

DESEMPEÑOS: Realizo cálculos de variaciones, permutaciones y combinaciones.

Resuelvo problemas de aplicación sobre análisis combinatorio.

Realiza los procesos operativos y cálculos de las aplicaciones de permutaciones, variaciones, combinaciones.

NOMBRE DE LA GUÍA: Uso de la Teoría combinatoria y técnicas de contar.

ACTIVIDADES PROPUESTAS: Reconocimiento y diferenciación entre las distintas técnicas del conteo.

Análisis de cada una de las distintas fórmulas utilizadas en las variaciones, permutaciones y combinaciones.

Analizar ejercicios de situaciones reales donde se ve fácilmente la aplicación de los métodos de las técnicas de contar y realizar una conclusión práctica.

Plantear y resolver problemas prácticos de técnicas de contar, como son las rifas y las loterías.

Desarrollar talleres de diferentes ejercicios donde se apliquen todas las definiciones y propiedades de las técnicas de contar.

Describir las situaciones de las diferentes formas de conteo para determinar un cálculo específico de conteo.

Coherencia en el proceso de aplicación de las operaciones matemáticas en la resolución de problemas de situaciones de la vida real a las técnicas de conteo.

Observación de la aplicación de los procesos lógicos matemáticos operativos en el desarrollo de los diferentes ejercicios para la casa, donde aplique los conceptos de las técnicas de contar.

INTRODUCCIÓN: Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y variables. El estudio de la combinatoria constituye la base que sostiene

el análisis y solución de muchos problemas relacionados con

la teoría de las probabilidades y sus aplicaciones prácticas. Con los

problemas combinatorios deben enfrentarse los biólogos, físicos,

químicos, los matemáticos, lingüistas, ingenieros y muchos otros

usuarios La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto. Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos como por ejemplo: Combinaciones, Permutaciones y Variaciones con repetición o sin repetición. El desarrollo del pensamiento combinatorio es un trabajo arduo y de mucha paciencia; en este sentido juega un gran papel el sistema de impulsos que se tenga como resorte para enseñar la combinatoria. En no pocas ocasiones; al terminar de recibir un tema sobre combinatoria, los estudiantes no poseen las armas suficientes para enfrentarse por sí solos a la resolución de problemas, porque el sistema de impulsos en la apropiación de estos conceptos ha sido insuficiente. La combinatoria es una sección de las Matemáticas que resulta útil para diversos representantes de variadas especialidades. Con los problemas

combinatorios deben enfrentarse los biólogos, físicos, químicos, los matemáticos, lingüistas, ingenieros y muchos otros usuarios. El estudio de la combinatoria constituye la base que sostiene el análisis y solución de muchos problemas relacionados con la teoría de las probabilidades y sus aplicaciones prácticas. En este trabajo se expone con un lenguaje simple la combinatoria y los métodos para resolver los problemas que sobre este tema se proponen. La exposición se ha hecho de forma que pueda ser comprendida por individuos que tengan una instrucción media.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Aplicar los conceptos básicos de las técnicas de contar, como son las

variaciones, permutaciones y combinaciones, en distintas situaciones problémicas.

Desarrollar trabajos en clase y fuera de ella bien sea en grupo o de manera individual. Se evalúa en un proceso de seguimiento en el trabajo en clase, la participación de la clase y la resolución de los talleres y tareas sobre teoría combinatoria.

Aplica los conocimientos matemáticos para interpretar, argumentar, y proponer soluciones a diferentes situaciones de su entorno.

Maneja los diferentes conceptos geométricos y matemáticos en la solución de tareas, trabajos, talleres.

Utiliza las nuevas tecnologías para su aprendizaje y para el desarrollo de sus tareas, trabajos, talleres y exposiciones.

Utiliza las páginas de internet dadas por los profesores para resolver dudas matemáticas y geométricas, sobre temas de técnicas de contar.

Exposiciones y corrección individual de cada una de las tareas, o propuestas de trabajo hechas por los estudiantes.

Trabajos en grupos realizados en clase, con socialización respectiva de cada uno de los trabajos.

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE: Desarrollo de los talleres en la casa sobre teoría combinatoria y técnicas de

contar.

Socialización de los ejercicios de mayor complicación y de las definiciones de mayor relevancia con sus compañeros por medio del uso de la tecnología, internet, redes sociales, WhatsApp, etc.

Reflexión y análisis de los conceptos básicos y apropiación de los ejemplos propuestos.

Evidencias del acompañamiento, seguimiento y colaboración de los Padres de Familia.

BIBLIOGRAFÍA: Matemática y geometría elemental de grado 11.

Internet. Google.

YouTube. Matemática de grado 11. Editorial Norma.

I.E. NORMAL SUPERIOR “Santiago de Cali” AREA DE MATEMATICA. TEMA: ESTADISTICA, TECNICAS DE CONTAR.

DEPTO DE MATEMATICA

NOMBRE:

GRADO COD: FECHA

1. TECNICAS DE CONTAR. FACTORIAL. Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:

𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … … … 3𝑥2𝑥1 Por definiciones de factorial se da: 1. El factorial de 1: 1! = 1 2. El factorial de 0: 0! = 1 Es para facilitar las operaciones con factorial y de proceso lógico. Ejemplo 1:

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2! = 2𝑥1 = 2 3! = 3𝑥2𝑥1 = 6 4! = 4𝑥3𝑥2𝑥1 = 24 5! = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 120 6! = 6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 720 7! = 7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 = 5040 (𝑛 − 1)! = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … … 3𝑥2𝑥1 = 𝑘! = 𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2)(𝑘 − 3) … … . .3𝑥2𝑥1 = Ejemplo 2: Simplificar y hallar los resultados.

1. 5!

3!=

5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1

3𝑥2𝑥1=

120

6= 20

2. 6!

8!=

6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1

8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1=

720

40320=

1

56

3. 10!

8!=

10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1

8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1=

10𝑥9(8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1)

8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1=

10𝑥9𝑥8!

8!=

10𝑥9

1= 90

4. 10!𝑥6!

12!=

10!𝑥6!

12𝑥11𝑥10!=

6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1

12𝑥11=

60

11

5. 15!𝑥20!

14!𝑥21!=

15𝑥14!20!

14!21𝑥20!=

15

21=

5

7

6. 135!𝑥120!

134!𝑥121!=

135𝑥134!𝑥120!

134!𝑥121𝑥120!=

135

121

7. 19!𝑥23!

22!𝑥21!=

19!𝑥23𝑥22!

22!𝑥21𝑥20𝑥19!=

23

21𝑥20=

23

420

8. (𝑛+2)!𝑛!

(𝑛−1)!(𝑛+1)!=

(𝑛+2)(𝑛+1)!𝑛(𝑛−1)!

(𝑛−1)!(𝑛+1)=

(𝑛+2)𝑛

1

= (𝑛 + 2)𝑛 EJERCICIOS No2.

1. 10!.15!

9!12! 3.

7!.15!

9!16!

2. 40!.25!

42!23! 4.

10!.15!5!

11!16!

PERMUTACIONES. La Rotación de todos los elementos de un evento o un conjunto.

𝑃(𝑛) = 𝑛!

Ej. No1. Cuantas palabras de 4 letras pueden formarse con las letras A, B, C, D.

𝑃(𝑛) = 𝑛! = (4)! = 4𝑥3𝑥2𝑥1 = 24

Ej. No2. Una junta de 3 personas, donde se debe elegir, Presidente, Vicepresidente y Tesorero. De cuantas formas diferentes se pueden organizar.

𝑃(𝑛) = 𝑛! = (3)! = 3𝑥2𝑥1 = 6

VARIACIONES. Es el número de organizaciones diferentes que se pueden obtener de n objetos tomados en grupos de r elementos.

𝑉(𝑛,𝑟) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

En estos grupos organizados existe el orden. La ubicación de cada elemento interesa. Ej. No3. Cuantos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ninguna cifra se puede repetir. n = 6 r = 4. Son Variaciones de 6 en 4.

𝑉(6,4) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!=

6!

(6 − 4)!=

6!

2!=

6𝑥54𝑥3𝑥2𝑥1

2𝑥1= 360

Segundo método. Se organizan casillas de acuerdo al número de elementos de grupo a formar.

4 casillas

6 5 4 3 360

Ej. No4. Cuántos de estos números son pares.

5 4 3 3 180

Para que un número sea par debe terminar en cifra par, y en el conjunto hay 3 números pares. Van en la última casilla, los demás se ubican en las 3 casillas iníciales. Segundo método.

𝑉(5,3)𝑥3𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 =5!

(5 − 3)!𝑥3 =

5!

2!𝑥3 =

5𝑥4𝑥3𝑥2!

2!𝑥3 = 180

Ej. No5. Cuantos son mayores que 400?

3 5 4 3 180

En la primera casilla solo pueden ir 4, 5,6, ósea 3 números. En la segunda se pueden utilizar 5, pq el usado en la primera casilla no se puede. Y así sucesivamente en las demás. Segundo método.

3𝑥𝑉(5,3) = 3𝑥5!

(5 − 3)!= 3𝑥

5!

2!= 180

Ej. No6. Cuantos números se pueden formar si se puede repetir cifras. Se organizan casillas de acuerdo al número de elementos de grupo a formar.

4 casillas

6 6 6 6 1.296

Ej. No7. Cuantos de los números anteriores son pares?

6 6 6 3 648

Ej. No8. Cuantos de los números son mayores que 400?

3 6 6 6 648

Ej. No8. Cuantos de los números son mayores que 500?

2 6 6 6 432

COMBINACIONES. El número de combinaciones posibles de r elementos tomados de n posibles. El orden de ocupación no interesa, ni la posición que ocupan.

𝐶(𝑛,𝑟) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!

Ej. No1. Si un grupo de 3 personas: Carlos, Fernando y Juan para entregar un trabajo, sería lo mismo que: Carlos, Juan y Fernando y así sucesivamente. Ej. No2. Se tiene un grupo de 5 personas para formar juntas directivas de 3 personas. n = 5 r = 3. Combinaciones de 5 en 3, pq no importa el orden.

𝐶(5,3) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

5!

(5 − 3)! 3!=

5!

2! 3!=

5𝑥4𝑥3!

2𝑥1𝑥3!= 10

Ej. No3. De cuantas maneras posibles se pueden formar equipos de baloncesto, de un total de 8 jugadores.

𝐶(8,5) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

8!

(8 − 5)! 5!=

8!

3! 5!=

8𝑥7𝑥6𝑥5!

3𝑥2𝑥1𝑥5!= 56

Ej. No 4. De cuantas maneras posibles se pueden formar equipos de baloncesto, de un total de 9 jugadores.

𝐶(9,5) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

9!

(9 − 5)! 5!=

9!

4! 5!=

9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5!

4𝑥3𝑥2𝑥1𝑥5!= 126

Ej. No 5. Se necesita organizar grupos de trabajo de 3 personas de un total de 8. Cuantos grupos diferentes pueden salir?

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𝐶(8,3) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

8!

(8 − 3)! 3!=

8!

5! 3!=

8𝑥7𝑥6𝑥5!

3𝑥2𝑥1𝑥5!= 560

𝐶(8,5) = 𝐶(8,5)

Ej. No 6. De cuantas maneras posibles se pueden formar equipos de trabajo de 4 personas, de un total de 9 jugadores.

𝐶(9,4) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

9!

(9 − 4)! 4!=

9!

5! 4!=

9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5!

5! 𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1= 126

𝐶(9,4) = 𝐶(9,5)

REGLA DE LA MULTIPLICACION. Ej. No1. De cuantas maneras se sacan dos cartas simultáneamente de una baraja de 52 cartas. Las pintas son corazones, diamantes, picas y trébol y de cada pinta hay 13 cartas. a. Cuantos grupos? 𝐶(52,2) = Combinaciones de grupos de dos cartas diferentes.

𝑆 = 𝐶(52,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

52!

(52 − 2)! 2!=

52𝑥51𝑥50!

50! 𝑥2!= 1.326

b. Que ambas sean ases? A = Primera carta As. B = Segunda carta As. 𝐶(4,2) = Combinaciones de grupos de dos, de 4 ases posibles.

𝐸 = 𝐶(4,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 2)! 2!=

4𝑥3𝑥2!

2! 𝑥2!= 6

Ej. No2. Una urna contiene 6 bolitas Blancas y 4 bolitas Negras. Se extraen dos bolitas sucesivamente y sin sustitución. Hallar. a. El número de posibilidades de sacar dos bolas. Como son 10 bolitas

en total, pero Blancas B = 6 y Negras N = 4 El total de posibilidades es Combinaciones de 10 en 2.

𝑆 = 𝐶(10,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

10!

(10 − 2)! 2!=

10𝑥9𝑥8!

8! 𝑥2!= 45

b. El número de posibilidades de sacar dos bola que ambas sean blancas. Como son 10 bolitas en total, pero Blancas B = 6 y Negras N = 4 Grupos de 2 bolitas blancas de las 6 posibles.

𝐸 = 𝐶(6,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

6!

(6 − 2)! 2!=

6𝑥5𝑥4!

4! 𝑥2𝑥1= 15

c. Cuantos grupos se pueden hacer si se tiene orden en las bolitas. Variaciones de 10 en 2.

𝑆 = 𝑉(10,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!=

10!

(10 − 2)!=

10𝑥9𝑥8!

8!= 90

d. Grupos sabiendo que la primera sea blanca y la segunda negra. El evento. Grupos de 1 bolitas de 6 blancas y 1 de 4 Negras.

𝐶(6,1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

6!

(6 − 1)! 1!=

6𝑥5!

5! 𝑥1= 6

𝐶(4,1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 1)! 1!=

4𝑥3!

3! 𝑥1= 4

𝑇𝑡 = 6𝑥4 = 24 e. Grupos posibles que la primera sea negra y la segunda blanca.

El evento es, Grupos de 1 bolitas de 4 blancas y 1 de 6 negras.

𝐶(4,1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 1)! 1!=

4𝑥3!

3! 𝑥1= 4

𝐶(6,1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

6!

(6 − 1)! 1!=

6𝑥5!

5! 𝑥1= 6

𝑇𝑡 = 4𝑥6 = 24 f. Grupos de que ambas bolitas sean negras. evento. Grupos de 2

bolitas blancas de las 6 posibles.

𝐶(4,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 2)! 2!=

4𝑥3𝑥2!

2! 𝑥2𝑥1= 6

Ej. No 3. Se extraen 3 cartas de una baraja de póker en forma sucesiva y sin restitución. Hallar la: a. Se repartan cartas de a tres posibles para el juego?

𝑆 = 𝑉(52,3) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!=

52!

(52 − 3)!=

52𝑥51𝑥50𝑥49!

49!= 132600

b. Los grupos de cartas que no contengan un as dentro de las tres posibles. Como son 52 cartas en total, de las cuales 4 son as. Quedan 48 cartas.

𝑆 = 𝑉(48,3) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!=

48!

(48 − 3)!=

48𝑥47𝑥46𝑥45!

45!= 103.776

c. Grupos donde las dos primeras sean As y la última Rey.

𝐶(4,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 2)! 2!=

4𝑥3𝑥2!

2! 𝑥2𝑥1= 6

𝐶(4,1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 1)! 1!=

4𝑥3!

3! 𝑥1= 4

𝐸𝑇 = 2𝐶(4,2)𝐶(4,1) = 2𝑥6𝑥4 = 48

d. Grupos posibles donde solo las 2 primeras sean Ases.. 4𝑥3𝑥48

e. Probabilidad de un As en la última salida.

𝑃(2𝐴,1𝐶) =48

52𝑥

47

51𝑥

4

50=

9.024

132.600=

376

5.525

EJERCICIOS: 1. Una urna contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas.

a. Si se sacan dos bolitas sin restitución. Cuál es la probabilidad de que las 2 bolas sean blancas? 𝑁 = 4 + 3 = 7 𝐵 = 4 𝑅 = 3

𝑃(2𝐵) =4

7𝑋

3

6=

12

42=

2

7= 0.2857 ≡ 28.57%

Otro Método.

𝑆 = 𝐶(7,2) = 21, 𝐸 = 𝐶(4,2) = 6 𝑃(2𝐵) =𝐸

𝑆=

6

21=

2

7

b. Probabilidad de que las dos bolitas sean rojas?

𝑃(2𝑅) =3

7𝑋

2

6=

6

42=

1

7= 0.1428 ≡ 14.28%

c. La probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda roja?

𝑃(𝐵, 𝑅) =4

7𝑋

3

6=

12

42=

2

7= 0.2857 ≡ 28.57%

d. Se sacan dos bolitas con restitución. Cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas?

𝑃(2𝐵) =4

7𝑋

4

7=

16

49= 0.3265 ≡ 32.65%

e. Se sacan dos bolitas con restitución. Cuál es la probabilidad de que las dos sean Rojas?

𝑃(2𝑅) =3

7𝑋

3

7=

9

49= 0.1836 ≡ 18.36%

f. Se sacan dos bolitas con restitución. Cuál es la primera sea blanca y la segunda roja?

𝑃(𝐵, 𝑅) =4

7𝑋

3

7=

12

49= 0.2448 ≡ 24.48%

EJEMPLO No 6. Selecciónese una baraja Española corriente de 48 cartas. Las pintas son Bastos, Espadas, Oros y Copas. Cada pinta es: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sota, caballo, rey. Determínese: 1. Cuantos grupos de 4 cartas diferentes se pueden obtener.

𝐶(48,4) = 194.580

2. Cuantos grupos pueden tener una figura, S, C, R. 48-12= 36 Sin figuras

𝐶(36,3). 𝐶(12,1) = 7.141𝑥1285.680

3. Cuantos grupos se pueden formar con dos cartas repetidas. Ej que sean dos sotas, o dos ases, etc.

4𝐶(12,2). 𝐶(12,2) = 17.424

EJERCICIOS:

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1. Cuantos grupos de 2 boliches se pueden formar, si escogidos al azar de un grupo de 12, de los cuales 4 de estos son o están en mal estado y sea: A={Dos boliches en mal estado} = 2 B={Dos boliches en buen estado} = 2 1. El grupo total de los posibles grupos de 2 boliches que se

pueden formar de los 12 posibles.

𝐶(12,2) =12!

(12 − 2)! 2!=

12!

10! 2!=

12𝑥11𝑥10!

10! 𝑥2𝑥1=

12𝑥11

2𝑥1= 66

2. De los 4 boliches en mal estado se pueden formar grupos de 2 boliches.

𝐶(4,2) =4!

(4 − 2)! 2!=

4!

2! 2!=

4𝑥3𝑥2!

2! 𝑥2𝑥1=

4𝑥3

2𝑥1= 6

3. De los 8 boliches en buen estado se pueden formar grupos de 2 boliches.

𝐶(8,2) =8!

(8 − 2)! 2!=

8!

6! 2!=

8𝑥7𝑥6!

6! 𝑥2𝑥1=

8𝑥7

2𝑥1= 28

4. Que por lo menos un boliche este en mal estado. Halla uno malo o halla dos malos.

𝐶(4,1)𝐶(12,1) + 𝐶(4,2) = 4𝑥12 + 6 = 48 + 6 = 54

𝐶(4,1) =4!

(4 − 1)! 1!=

4!

3! 𝑥1!=

4𝑥3!

3! 𝑥1!=

4

1= 4

𝐶(12,1) =12!

(12 − 1)! 1!=

12!

11! 𝑥1!=

12𝑥11!

11! 𝑥1!=

12

1= 12

1. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer: El espacio muestral serán todos los grupos de r=5 cartas de n=52 posibles.

𝑆 = 𝐶(52,5) =52!

(52 − 5)! 𝑥5!=

52!

47! 𝑥5!

=52𝑥51𝑥50𝑥49𝑥48𝑥47!

47! 𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1

=311.875.200

120= 2.598.960

1. 4 ases. E = 𝐶(4,4)𝑥𝐶(48,1) = 1𝑥48 = 48

𝐶(4,4) =4!

(4 − 4)! 𝑥4!=

4!

0! 𝑥4!= 1

𝐶(48,1) =48!

(48 − 1)! 𝑥1!=

48!

47! 𝑥1!=

48𝑥47!

47! 𝑥1!= 48

2. 4 ases y un rey. E = 𝐶(4,4)𝑥𝐶(4,1) = 1𝑥4 = 4

𝐶(4,4) =4!

(4 − 4)! 𝑥4!=

4!

0! 𝑥4!= 1

𝐶(4,1) =4!

(4 − 1)! 𝑥1!=

4!

3! 𝑥1!=

4𝑥3!

3! 𝑥1!= 4

3. 3 cincos y 2 sotas. E = 𝐶(4,3)𝑥𝐶(4,2) = 4𝑥6 = 24

𝐶(4,3) =4!

(4 − 3)! 𝑥3!=

4!

1! 𝑥3!=

4𝑥3!

1! 𝑥3!= 4

𝐶(4,2) =4!

(4 − 2)! 𝑥2!=

4!

2! 𝑥2!=

4𝑥3𝑥2!

2! 𝑥2!= 6

4. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden. 𝐸 = 𝐶(4,1)𝑥𝐶(4,1)𝑥𝐶(4,1)𝑥𝐶(4,1)𝑥𝐶(4,1) = 4𝑥4𝑥4𝑥4𝑥4 = 1024

𝐶(4,1) =4!

(4 − 1)! 𝑥1!=

4!

3! 𝑥1!=

4𝑥3!

3! 𝑥1= 4

5. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro. Hay 4 formas de elegir el primer palo y 3 de elegir el segundo palo.

𝐸 = 4𝐶(13,3)𝑥3𝑥𝐶(13,2) = 4𝑥286𝑥3𝑥78 = 267.696

𝐶(13,3) =13!

(13 − 3)! 𝑥3!=

13!

10! 𝑥3!=

13𝑥12𝑥11𝑥10!

10! 𝑥3𝑥2= 286

𝐶(13,2) =13!

(13 − 2)! 𝑥2!=

13!

11! 𝑥2!=

13𝑥12𝑥11!

11! 𝑥2!= 78

6. Al menos un as. Sera igual a 1 – los que no tienen ningún as. E = 2.598.960 − 𝐶(48,5) = 2.598.960 − 1.712.304 = 886.656

𝐶(48,5) =48!

(48 − 5)! 𝑥5!=

48!

43! 𝑥5!=

48𝑥47𝑥46𝑥45𝑥44𝑥43!

43! 𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2=

1.712.304 RESUELVA: Cada uno de los ejercicios realizando los procesos completos. 1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por

tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? 2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris

tomándolos de tres en tres? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

4. En una bodega hay en unos cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

5. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?

Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.

6. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si: 1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer. 2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité. 3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

7. Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos de tres alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

9. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

10. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

11. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

OBSERVACIONES. Guías de trabajo en casa donde se recuerdan algunas operaciones, sus respectivos procesos y solo se entregar máximo el 50% de los ejercicios, donde aparece titulado Resuelva y como trabajo de práctica y afianzamiento el resto de los ejercicios. Debe haber acompañamiento y seguimiento de papas. Toda la guía debe desarrollarse también en el cuaderno como evidencia del trabajo en casa.

Simeón Cedano Rojas Profesor de la materia GUIAS1-2 MAT OPERACIONES BASICAS 11-2.11-3.11-4.SCR.DOC

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