instituciÓn educativa normal superior santiago de … · 2020-05-14 · instituciÓn educativa...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR SANTIAGO DE CALI

MEN – Resolución Acreditación de Calidad y Desarrollo no. 1462 7 de Febrero de 2019 Reconocimiento Oficial de Estudios Resolución No. 4143.0.21.6478 Septiembre 17 de 2013

Carrera 34 No. 12 – 60 Colseguros. Teléfonos 3364797 – 98 – 99 Fax 3356233 Correo Electrónico: [email protected]

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GUIAS DE APRENDIZAJE

Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

1 de 1

Código:

F-GCA 39

DOCENTE: SIMEON CEDANO ROJAS

ASIGNATURA: MATEMATICA 9-6

CONTENIDO: Polinomios.

Operaciones.

Suma y resta.

Multiplicación.

División.

Potencia

Radicación.

Racionalización.

Factorización.

Casos.

Aplicaciones geométricas.

Conceptos generales.

Punto.

Recta.

Plano.

Ángulos.

Paralelismo..

Perpendicularidad.

Figuras geométricas.

Área.

Perímetro.

Triángulos.

Cuadriláteros.

Cuadrado.

Rectángulo.

Trapecio.

Circunferencia. Problemas de aplicación.

N° DE HORAS: 4

PERIODO: 2

DESEMPEÑOS: Recuerdo los procesos matemáticos operativos y los aplico en las

diferentes operaciones con polinomios.

Aplico los diferentes casos de factorización necesarios para resolver ejercicios de polinomios.

Entiende los procesos y conceptos matemáticos al representar, estimar, realizar cómputos, relacionar números y sistemas numéricos.

Comprende y utiliza exponentes, potencias y raíces de expresiones algebraicas.

Reconoce el significado de las operaciones básicas con números reales y sus relaciones, teniendo en cuenta los procesos algebraicos de expresiones polinómicas.

Utiliza las propiedades de los números reales para simplificar cálculos con enteros, fracciones y decimales con expresiones algebraicas.

Compara y representa las relaciones que encuentra de manera experimental entre el volumen y la capacidad de objetos con superficies redondas.

Explica la pertinencia o no de la solución de un problema de cálculo de área o de volumen, de acuerdo con las condiciones de la situación.

Describe y justifica procesos de medición de longitudes.

Explica propiedades de figuras geométricas que se involucran en los procesos de medición.

Justifica procedimientos de medición a partir del Teorema de Thales, Teorema de Pitágoras y relaciones intra e interfigurales.

Valida la precisión de instrumentos para medir longitudes.

NOMBRE DE LA GUÍA: Operaciones básicas de los números Reales y Complejos. Factorización y Racionalización.

ACTIVIDADES PROPUESTAS: Identificar cada uno de los términos de un polinomio.

Diferenciar e identificar los diferentes tipos de polinomios.

Clasificar las diferentes expresiones matemáticas.

Traducir al lenguaje algebraico los enunciados verbales de problemas.

Aplicar las técnicas de manipulación de expresiones algebraicas.

Interpretar el resultado de un problema en el contexto en que se enunció, comparando con las expresiones dadas.

Hacer las representaciones graficas de cada uno de los conceptos y figuras geométricas.

Analizar las composiciones geométricas para deducir las propiedades de paralelismo y perpendicularidad.

Describir las situaciones de las diferentes figuras para determinar su área y perímetro.

Observar los diferentes tipos de triángulos y comprobar sus propiedades y determinar sus composiciones.

Observar los diferentes cuadriláteros y determinar sus propiedades y formas.

Observar en la vida practica las diferentes aplicaciones de la geometría.

Coherencia en el proceso de aplicación de las operaciones matemáticas en la resolución y grafica de situaciones de geometría, tanto en casa como en el salón de clase.

Observación de la aplicación de los procesos lógicos matemáticos operativos en el desarrollo de los diferentes ejercicios para la casa, donde aplique los conceptos de la geometría.

Identificar figuras geométricas en su entorno y las clasifica para deducir una definición.

Hacer las representaciones graficas de cada uno de los conceptos y figuras geométricas.

Analizar las composiciones geométricas para deducir las propiedades de paralelismo y perpendicularidad.

Describir las situaciones de las diferentes figuras para determinar su área y perímetro.

Observar los diferentes tipos de triángulos y comprobar sus propiedades y determinar sus composiciones.

Observar los diferentes cuadriláteros y determinar sus propiedades y formas.

Observar en la vida practica las diferentes aplicaciones de l geometría.

Representar y examinar las propiedades de figuras bidimensionales, utilizando geometría cartesiana.

Coherencia en el proceso de aplicación de las operaciones matemáticas en la resolución y grafica de situaciones de geometría, tanto en casa como en el salón de clase.

Observación de la aplicación de los procesos lógicos matemáticos operativos en el desarrollo de los diferentes ejercicios para la casa, en el colegio, donde aplique los conceptos de la geometría

INTRODUCCIÓN: Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y

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el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, LaGrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass. Sistemas utilizados por las distintas civilizaciones Los egipcios utilizaron el sistema 10 Los sumerios y los babilonios Sistema de 10 y 60, y fueron quienes comenzaron a medir el tiempo, como actualmente lo conocemos -60 minutos, 60 segundos-, y la partición del círculo en 360º. Mayas, Aztecas y Celtas Sistema de 20 porque contaban los dedos de las manos y los pies. Los romanos Inicialmente tenían un sistema de 5, es decir que sólo se contaba con una mano. Luego pasaron al sistema de 10 gracias a la influencia que tuvo Egipto en la cultura romana. Los números reales están formados por los números racionales y los irracionales, es decir, el conjunto de todos los números decimales, siendo los decimales exactos, puros y mixtos los que corresponden a los racionales, y los restantes a los irracionales Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros. La unión de los números racionales y los irracionales conforma un conjunto denominado de los números reales. Así, este conjunto engloba como subconjuntos a los de los números racionales e irracionales. Al conjunto de todos los números, racionales e irracionales, se le denomina conjunto de los números reales, y cualquier número, sea del tipo que sea, se encuentra dentro de este conjunto. Las operaciones básicas entre números reales son la suma, resta, multiplicación, división y potenciación/radicación. Estas operaciones tienen las mismas propiedades que las operaciones entre números racionales.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

Desarrollar trabajos en casa, bien sea en grupo o de manera individual. Se evalúa en un proceso de seguimiento en el trabajo en casa, la participación y la resolución de los talleres y tareas.

Aplica los conocimientos matemáticos para interpretar, argumentar, y proponer soluciones a diferentes situaciones de su entorno.

Maneja los diferentes conceptos geométricos y matemáticos en la solución de tareas, trabajos, talleres.

Utiliza las nuevas tecnologías para su aprendizaje y para el desarrollo de sus tareas, trabajos, talleres y exposiciones.

Utiliza las páginas de internet dadas por los profesores para resolver dudas matemáticas y geométricas.

Exposiciones y corrección individual de cada una de las tareas, o propuestas de trabajo hechas por los estudiantes.

Trabajos en grupos realizados en casa, con socialización respectiva de cada uno de los trabajos.

Presentar problemas en los cuales se involucre situaciones geométricas de triangulo y cuadriláteros propuestas por estudiantes y profesor, como aplicación en la solución de ecuaciones simples.

Evaluaciones escritas tanto individuales como en grupos, que sirva como método de observar procesos desarrollados en la competencia de aplicación en la resolución de las ecuaciones de primer grado.

Justificación de los distintos pasos de un procedimiento lógicos matemáticos en el desarrollo de las diferentes ecuaciones, valorando la oportunidad de uso y aplicación de los mismos, en los diferentes

ejercicios de aplicación, en casos de geometría de triángulos y cuadriláteros.

Talleres propuestos en clase por el profesor, con aplicación a los triángulos y cuadriláteros, para determinar el nivel de aprendizaje y de competencia para el desarrollo de estos.

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE: Desarrollo de los talleres en la casa.

Socialización de los ejercicios de mayor complicación y de las definiciones de mayor relevancia con sus compañeros por medio del uso de la tecnología, internet, redes sociales, WhatsApp, etc.

Reflexión y análisis de los conceptos básicos y apropiación de los ejemplos propuestos.

Evidencias del acompañamiento, seguimiento y colaboración de los Padres de Familia.

BIBLIOGRAFÍA: Matemática y geometría elemental de grado noveno. Cardona Valencia.

Internet. Google.

YouTube. Matemática de grado 10. Editorial Norma.

I.E. NORMAL SUPERIOR Santiago de Cali DEPTO DE MATEMATICA-FISICA AREA DE MATEMATICA GUIA DE TRABAJO. Grado Noveno. 9-6

NOMBRE:

GDO COD FECHA

OPERACIONES EN LOS NUMEROS REALES. Recuerde que usted debe tener en cuenta las siguientes normas para operar en los números Reales. Destrucción de signo de agrupación. 1. Precedido signo más. Se destruye conservando el signo los

términos que están por dentro del signo. 5 + (−6 + 4 + 12 − 15 + 8) = 5 − 6 + 4 + 12 − 15 + 8

2. Precedido signo menos. Se destruye el signo de agrupación, cambiándole el signo a los términos que están por dentro.

12 − 5𝑥 − (−8𝑥 + 12 − 7𝑥 − 5) = 12 − 5𝑥 + 8𝑥 − 12 + 7𝑥 + 5 3. Orden lógico.

Se resuelven o se destruyen en el siguiente orden: 1. Paréntesis. 2. Corchetes. 3. Llaves.

2 − 3(5 − 4) − 2{4 + 5[−3(−3 + 2) + 5(2 − 4)]} 2 − 15 + 12 − 2{4 + 5[+9 − 6 + 10 − 20]} 2 − 15 + 12 − 2{4 + 45 − 30 + 50 − 100} 2 − 15 + 12 + 8 − 90 + 60 − 100 + 200

282 − 205 = 77 Ley de signos. 1. Producto de 2 signos iguales, da POSITIVO. 2. Producto de 2 signos diferentes, da NEGATIVO.

+ 𝑥 + = + − 𝑥 − = + + 𝑥 − = + − 𝑥 + = +

Orden lógico de las operaciones. En un polinomio se resuelven en su orden las operaciones: 1. Raíces 2. Potencias. 3. Divisiones. 4. Productos. 5. Sumas. 6. Restas





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15 ÷ 3(−2) + 4(−8) ÷ 2 + (−2)3(+10) ÷ −5 + √25 ÷ 8

15 ÷ 3(−2) + 4(−8) ÷ 2 − 8(+10) ÷ −5 + √32 ÷ 8

15 ÷ 3(−2) + 4(−8) ÷ 2 − 8(+10) ÷ −5 + √4 15 ÷ 3(−2) + 4(−8) ÷ 2 − 8(+10) ÷ −5 + 2

5(−2) + 4(−4) − 8(−2) + 2 −10 − 16 + 16 + 2

18 − 26 = −8 POLINOMIOS. Resuelva los siguientes polinomios aplicando las propiedades enunciadas. 1. 4 − 5(2 − 6) + 5{5 − 12[2 − 6(−3 + 5)]} 2. 3(2𝑥 − 5) − 6{3𝑥 + 6(𝑥 − 3) − 2[4(2𝑥 + 2) − 4(−3𝑥 + 4)]} OPERACIONES CON DECIMALES. Recuerde que para: 1. La suma o resta se debe colocarse la coma debajo de la coma.

0,0556 − 2,45636 + 3,034 − 0,12 + 1,18 4,2696 − 2,57636 = −1,69324

2. El producto. Ley de signos y luego se multiplica normalmente y al resultado se colocan las cifras decimales, sumadas en cantidad de los factores.

(−0,23)(+12,64) = −2,9072 3. División. Ley de signos y la división se realiza normalmente.

−12

+33= −0,3636 ….

4. Potenciación. Se tiene en cuenta la base y el exponente asi: 1. Base positiva, exponente par o impar, el resultado siempre

será POSITIVO. (+1,3)2 = +1,69 (+2,52)3 = +16,003008 2. Base negativa, exponente par, el resultado es POSITIVO.

(−5)4 = +625 (−2,06)2 = 4,2436 3. Base negativa, exponente impar, el resultado es NEGATIVO.

(−3,4)3 = −39,304 (−1,7)5 = −14.19857 Radicación. En los resultados se debe tener en cuenta: 1. Raíz par de un Real positivo, el resultado es doble. Más o menos.

√+16,5 = ±4,06 √82,634

= ±3,01

2. Raíz par de un negativo, no existe el resultado en los reales, su resultado es imaginario.

√−9,97 = ±3,16𝑖 √−18,874

= ±2,08𝑖 ? ? ? ? ?

3. Raíz impar de un positivo, el resultado es POSITIVO.

√+7,353

= +1,94 √+42,65

= +2,11

4. Raíz impar de un negativo, el resultado es negativo.

√−1435

= −2,69 √−1453

= −5,25 RESUELVA. Simplificando al máximo cada expresión donde se pueda realizar.

1. (−1,34)(2,56)(−0,45) 2. 3,45 − (12,56 − 8,9) + [3,34 − (2,4565 − 2.56)]

3.345,3

56 −

34

78

56

135 −

67,45

3,5

4. √−34,5 √+46,67 √−4783

√+567,73

√−345,6

OPERACIONES CON RACIONALES. 1. Suma o resta. Común denominador, se divide el CD por cada

denominador y se multiplica por el numerador. Se resuelve el polinomio del numerador. Al final se simplifica.

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

𝑏𝑑

5

4− (−

6

3) + (−

7

6) =

5

4+

6

3−

7

6=

15 + 24 − 14

12=

39 − 14

12=

25

12

2. Multiplicación. Se multiplican los numeradores entre si y después los denominadores entre si. Luego se simplifica.

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑=

𝑎𝑐

𝑏𝑑

5

4(−

6

3) (−

7

6) = +

210

72=

35

12

Se puede simplificar primero y luego multiplicar numeradores y después denominadores.

5

4(−

1

3) (−

7

1) =

35

12

3. División. Primero, se multiplica el numerador del primero, con el denominador del segundo y luego el denominador del primero con el numerador del segundo.

𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑

𝑏𝑐

5

4÷ (−

7

6) = −

30

28= −

15

14

Se puede invertir la división en una multiplicación, invirtiendo el término de la división.

5

4(−

6

7) =

5

2(−

3

7) = −

15

14

4. Operaciones mixtas. Se aplica las leyes anteriores. 7

2÷ (−

14

6) (

5

3) − (

5

3) (−

9

10) ÷

3

2−

6

5(+

10

3) −

1

2(

4

3−

5

2)

−42

28(

5

3) − (

5

3) (−

18

30) −

6

5(+

10

3) −

1

2(

8 − 15

6)

−42

28(

5

3) − (

5

3) (−

18

30) −

6

5(+

10

3) −

1

2(−

7

6)

−42

28(

5

3) − (

5

3) (−

18

30) −

6

5(+

10

3) −

1

2(−

7

6)

Se puede resolver invirtiendo las divisiones a productos y luego

simplificando cada producto.

3

2(−

2

3) ÷ (−

1

6) (

5

3) − (

1

3) (−

9

2) ÷

3

2−

3

6(+

5

3) −

1

2÷ (

1

3−

1

2)

3

2(−

2

3) (−

6

1) (

5

3) − (

1

3) (−

9

2)

2

3−

3

6(+

5

3) −

1

2÷ (

2 − 3

6)

3

2(−

2

3) (−

6

1) (

5

3) − (

1

3) (−

9

2)

2

3−

3

6(+

5

3) −

1

2÷ (

1

6)

3

2(−

2

3) (−

6

1) (

5

3) − (

1

3) (−

9

2)

2

3−

3

6(+

5

3) −

1

2(

6

1)

10

1−

1

1−

5

6−

3

1=

60 − 6 − 5 − 18

6=

60 − 29

6=

31

6

RESUELVA CADA UNO DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

SIMPLIFICANDO LA RESPUESTA.

1. 1

4(

3

2−

5

3) +

4

3(−

6

10) ÷

4

3− (

4

3+

5

2) ÷

1

2+ (

3

2)

2

−3

4√

2

5(

8

5)

2. 5

4(

3

2−

5

3+

1

6) −

3

8÷ (

7

2−

5

3)

3. (−3

2) ÷ (−

1

2) (

4

5) − (−

5

4−

7

10) ÷ (−

3

2) − (+2)

4. (+3

4) ÷ (−

3

5) (−

4

5) − (

5

4−

2

5) ÷ (−

3

2) − (+

5

3)

6

15

POTENCIACION. Recuerden que la potenciación es una abreviación de la multiplicación de factores iguales.

𝑎𝑛 = 𝑏 𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒, 𝑛 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑏 = 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 53 = 5𝑥5𝑥5 = 125

(−4)4 = (−4)(−4)(−4(−4) = +256

(2

5)

2

= (2

5) (

2

5) =

4

25

(−3

2)

5

= (−3

2) (−

3

2) (−

3

2) (−

3

2) (−

3

2) = −

243

32

(−7)(−7)(−7)(−7) = (−7)4

(5

7) (

5

7) (

5

7) (

5

7) (

5

7) = (

5

7)

5

Propiedades. 1. 𝑎1 = 𝑎





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2. 𝑎0 = 1, 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0

3. 𝑎−1 =1

𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0

4. 𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

5. 𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

6. 𝑎𝑛𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛

7. 𝑎𝑛 ÷ 𝑏𝑛 = (𝑎 ÷ 𝑏)𝑛

8. ((𝑎)𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛.𝑚

(828−587)3 ÷ 84

(87 ÷ 8582)283 =

(84)3 ÷ 84

(8282)283=

88 ÷ 84

(84)283=

84

8883=

84

810= 8−6

(6462)3 ÷ (3525)4

(626−4)2 ÷ 67(123 ÷ 23)3 =

(66)3 ÷ (65)4

(6−2)2 ÷ 67(63)3 =

618 ÷ 620

6−4 ÷ 67 69 =6−2

6−11 69 = 6969 = 618

((−35

)5

(−35

)3

÷ (−35

)−2

)

4

÷ (−35

)−7

((−35

)5

÷ (−35

)−2

(−35

)−3

)

4

((−35

)5

(−35

)5

)

4

÷ (−35

)−7

((−35

)7

(−35

)−3

)

4 =

((−35

)10

)

4

÷ (−35

)−7

((−35

)4

)

4 =

(−35

)40

÷ (−35

)−7

(−35

)16 =

(−35

)47

(−35

)16 = (−

3

5)

31

RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS Y SIMPLIFIQUE LA RESPUESTA.

1. (

23

)5

(23

)4

(23

)−3

(8116

)−2

(23

)−5

(23

)2

[((23

)2

)]

−2

(8

27)

3

2. ((−15)4(−15)6 ÷ (−15)12)−3

[((−3)8(5)8)2]4

3. (−

53

)5

(−53

)4

(−53

)−3

÷ (−259

)2

(−53

)−5

(−53

)4

[((−13

)3

÷ (−15

)3

)]

−2

÷ (−12527

)3

4. ((8)4(8)6 ÷ (8)12)−3

[((2)8(8)8)2]4 ÷ (16)8

RADICACION. Se define como:

√𝑎𝑛

= 𝑏 𝑠𝑖𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑏𝑛 = 𝑎 𝑛 = 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧, 𝑎 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙, 𝑏 = 𝐿𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧

√83

= 2, 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 23 = 2𝑥2𝑥2 = 8

√−1253

= −5, 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 (−5)3 = (−5)(−5)(−5) = −125

√+325

= +2, 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 (+2)5 = (+2)(+2)(+2)(+2)(+2) = 32

√2564

= ±4, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−4)4 = 256 𝑜 (+4)4 = 256

√−25 = ±5𝑖, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (5𝑖)2 = (5𝑖)(5𝑖) = 25𝑖2 = 25(−1) = −25 (−5𝑖)2 = (−5𝑖)(−5𝑖) = +25𝑖2 = 25(−1) = −25

√8 = √2𝑥2𝑥2 = 2√2

√163

= √2𝑥2𝑥2𝑥23

= 2√23

√50 = √5𝑥5𝑥2 = 5√2

√2503

= √5𝑥5𝑥5𝑥23

= 5√23

√2.1603

= √2𝑥2𝑥2𝑥2𝑥5𝑥3𝑥3𝑥33

= 2𝑥3√2𝑥53

= 6√103

√1.440 = √2𝑥2𝑥2𝑥2𝑥2𝑥5𝑥3𝑥3 = 2𝑥2𝑥3√2𝑥5 = 12√10

√−202503

= √−5𝑥5𝑥5𝑥3𝑥3𝑥3𝑥3𝑥23

= −5𝑥3√2𝑥33

= −15√63

SIMPLIFICAR LAS RICES POR MEDIO DE LA DESCOMPOSICION FACTORIAL DE NUMEROS PRIMOS.

√144 √900 √−2916 √1350 √192

√−17283

√20.4803

√8.2323

√2563

√43743

ECUACIONES LINEALES. Una ecuación lineal es aquella expresión algebraica que consta de: 1. Una igualdad. 2. Una incógnita. 3. Máximo exponente es 1. Se resuelven despejando el valor de la incógnita, aplicando la transposición de términos, el cual ellos cambian de operación.

3(2𝑥 − 3) + 5(−𝑥 + 3) − 8 = 2(2𝑥 + 4) − 2 6𝑥 − 9 − 5𝑥 + 15 − 8 = 4𝑥 + 8 − 2

6𝑥 − 5𝑥 − 4𝑥 = +8 − 2 + 9 − 15 + 8 −3𝑥 = 8

𝑥 = −8

3

2𝑥 − 3

4−

3𝑥 + 2

5+

1

10=

𝑥 − 3

2−

3𝑥 + 1

20+

3

4 𝐶𝐷 = 20

5(2𝑥 − 3) − 4(3𝑥 + 2) + 2 = 10(𝑥 − 3) − 1(3𝑥 + 1) + 15 10𝑥 − 15 − 12𝑥 − 8 + 2 = 10𝑥 − 30 − 3𝑥 − 1 + 15

10𝑥 − 12𝑥 − 10𝑥 + 3𝑥 = −30 − 1 + 15 + 15 + 8 − 2 −9𝑥 = 65

𝑥 = −65

9

3

4(2𝑥 − 1) +

2

9(4𝑥 + 5) −

5

18=

1

3(4𝑥 − 1) +

3

18(2𝑥 + 3) − 5 𝐶𝐷 = 36

27(2𝑥 − 1) + 8(4𝑥 + 5) − 10

36=

12(4𝑥 − 1) + 6(2𝑥 + 3) − 180

36

54𝑥 − 27 + 32𝑥 + 40 − 10 = 48𝑥 − 12 + 12𝑥 + 18 − 180 54𝑥 + 32𝑥 − 48𝑥 − 12𝑥 = −12 + 18 − 180 + 27 − 40 + 10

26𝑥 = −177

𝑥 = −177

26

3𝑥 − 2(−3𝑥 + 4) −1

2(𝑥 + 3) + 12 = 4(5𝑥 − 1) +

5

3

3𝑥 + 6𝑥 − 8 −𝑥

2−

3

2+ 12 = 20𝑥 − 4 +

5

3 𝐶𝐷 = 6

18𝑥 + 36𝑥 − 48 − 3𝑥 − 9 + 72 = 120𝑥 − 24 + 10 18𝑥 + 36𝑥 − 3𝑥 − 120𝑥 = −24 + 10 + 48 + 9 − 72

−69 = −29

𝑥 =29

69

PRODUCTO DE BINOMIOS Se efectúa la multiplicación aplicando la propiedad distributiva o alguna propiedad especial del caso.

(3𝑥 + 2𝑦)2 = (3𝑥 + 𝑦)(3𝑥 + 𝑦) = 9𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑦 + 𝑦2 = 9𝑥2 + 6𝑥𝑦 + 𝑦2

(3𝑝 − 4𝑎𝑏)2 = (3𝑝 − 4𝑎𝑏)(3𝑝 − 4𝑎𝑏) = 3𝑝2 − 12𝑝𝑎𝑏 − 12𝑝𝑎𝑏 + 16𝑎2𝑏2 =

3𝑝2 − 24𝑝𝑎𝑏 + 16𝑎2𝑏2

(3

2𝑥2 + 2𝑦2𝑥)

2

=

(3

2𝑥2 + 2𝑦2𝑥) (

3

2𝑥2 + 2𝑦2𝑥) =

9

4𝑥4 +

6

2𝑥3𝑦2 +

6

2𝑦2𝑥3 + 4𝑦4𝑥2

9

4𝑥4 + 6𝑥3𝑦2 + 4𝑦4𝑥2

(3𝑝2 + 4𝑦)(3𝑝2 − 4𝑦) = 9𝑝4 − 12𝑝2𝑦 + 12𝑝2𝑦 − 16𝑦2 = 9𝑝4 − 16𝑦2

(2𝑥2 + 5𝑦)(2𝑥2 − 5𝑦) = 4𝑥4 − 10𝑥2𝑦 + 10𝑥2𝑦 − 25𝑦2 = 4𝑥4 − 25𝑦2

(2𝑥 − 3)(𝑥 + 4) =





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2𝑥2 + 8𝑥 − 3𝑥 − 12 = 2𝑥2 + 5𝑥 − 12 (3𝑥 − 5)(2𝑥 + 3) =

6𝑥2 + 9𝑥 − 10𝑥 − 15 = 6𝑥2 + 1𝑥 − 15 (5𝑥 − 6)(5𝑥 − 6) =

25𝑥2 − 30𝑥 − 30𝑥 − 36 = 25𝑥2 − 60𝑥 − 36 (2𝑥 + 7)(2𝑥 + 7) =

4𝑥2 + 14𝑥 + 14𝑥 + 49 = 4𝑥2 + 28𝑥 + 49 (3𝑥 − 5)(3𝑥 − 5) =

9𝑥2 − 15𝑥 − 15𝑥 + 25 = 9𝑥2 − 30𝑥 + 25 (7𝑥 + 2)(3𝑥 + 8) =

21𝑥2 + 56𝑥 + 6𝑥 + 16 = 21𝑥2 + 62𝑥 + 16 (3𝑥 − 8)(2𝑥 + 7) =

6𝑥2 + 21𝑥 − 16𝑥 − 56 = 6𝑥2 + 5𝑥 − 56 RESUELVA LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES DE BINOMIOS. Resuelva cada uno de los ejercicios haciendo los pasos uno a uno. 1. (3𝑝2 − 3𝑡)2 (2𝑚2𝑥 + 𝑧3)2 (𝑡2 − 4𝑧3)2 (3𝑚𝑏2 + 2𝑛)2

Resolver cada uno de los productos de los binomios. (2𝑥 + 3𝑦2)(4𝑥 + 3𝑝𝑧) (4𝑝2 − 3𝑚𝑛)(5𝑝 − 2𝑚2) (2𝑡𝑥 + 3𝑚𝑦2)(2𝑥 + 3𝑡) (4𝑦𝑥2 − 5𝑛)(5𝑥 − 2𝑛2)

(5𝑥 + 4𝑧𝑦2)(4𝑥 − 3𝑧) (7𝑦2 − 3𝑧)(5𝑦 + 2𝑧2) FIGURAS GEOMETRICAS. TRIANGULOS. Es una figura geométrica de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Clasificación de los triángulos por los lados. Equilátero Isósceles Escaleno Tres lados iguales Dos lados iguales Tres lados de diferente medida También se pueden clasificar por sus ángulos. Rectángulo Equiángulo Acutángulo Obtusángulo Un ángulo recto Ángulo iguales ángulo agudos Angulo obtuso El área: Medida de la superficie.

𝐴 =𝐵. ℎ

2

Perímetro: Medida de la longitud del contorno. Suma de sus lados. 𝑃 = 𝑎 + 𝑏

El perímetro de un triángulo es 12 cm, si sus medidas están dadas en la gráfica. Cuáles son las dimensiones y el área?

c=2x+1 a=2x-1 b=X+2

Área

𝐴 =𝐵ℎ

2=

4𝑥3

2= 6

Perímetro. 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

3 + 4 + 5 = 12

2𝑥 − 1 + 2𝑥 + 1 + 𝑥 + 2= 12

5𝑥 = 12 − 1 + 1 − 2 5𝑥 = 10

𝑥 =10

5= 2

𝑎 = 2𝑥 − 1 = 2(2) − 1 = 3 𝑏 = 𝑥 + 2 = 2 + 2 = 4

𝑐 = 2𝑥 + 1 = 2(2) + 1 = 5

El triángulo isósceles dado tiene por perímetro 28.8. Cuanto miden sus lados y cuál es su área.

h=2x+2=8 l 3x+1=10m

Hallamos el lado l, por Teorema de Pitágoras.

𝑙 = √(8)2 + (5)2

√64 + 25

√89 = 9.43

𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 𝑝 = 2(9.43) + 10 𝑝 = 18.86 + 10

𝑝 = 28.86

Los lados de un triángulo son 3 números consecutivos pares, si el perímetro es 30 𝑚2. Cuáles son los lados

𝑎 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 3𝑥 = 24

a b c

𝑎 = 𝑥 𝑏 = 𝑥 + 2 𝑐 = 𝑥 + 4

𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑥 + 2 + 𝑥 + 4 = 30

3𝑥 = 30 − 6

𝑥 =24

3= 8

𝑏 = 𝑥 + 2 = 8 + 2 = 10 𝑐 = 𝑥 + 4 = 8 + 4 = 12

RESUELVA LOS SIGUIENTE PROBLEMAS CON TRIANGULOS. 1. El perímetro de un triángulo isósceles es 54 cm y la base excede

en 3 cm a uno de los lados iguales. Determinar los lados y el área del triángulo.

2. En un triángulo rectángulo isósceles un de los catetos mide 10 dm. Determinar las dimensiones de los lados del triángulo, el perímetro y el área.

3. Resolver los triángulos dados, según lo indicado. 𝑥 + 2

25 2𝑥+5

3 2𝑥 − 6

𝑝 = 29𝑐𝑚 𝑥 𝑃 = 33

P=? A=? 5𝑥+8

4 𝑥 + 1

4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3𝑥 − 2 𝑦 2𝑥 + 1. Si el área vale 143 m2. Determinar las longitudes de los lados y el perímetro del triángulo.

5. Un triángulo isósceles tiene por altura 2

3𝑥 + 2 𝑦

3

2𝑥 + 3 por

base. Si su área es 36 m2, cuáles son sus dimensiones de los lados y su perímetro.

6. En un triángulo obtusángulo isósceles se tiene que uno de sus lados iguales es 3𝑥 + 4 y el otro lado 4𝑥 + 3, si su área es

CUADRILATEROS. Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados y la suma de sus ángulos interiores es igual a 360°. Los cuadriláteros se clasifican en: paralelogramos, trapecios y trapezoides. Cuadrado Rectángulo Trapecio Paralelogramo

1. El perímetro de un rectángulo mide 34 cm. Calcule sus dimensiones sabiendo que el largo mide 7 cm más que el ancho.

a l

𝑎 = 𝑥 𝑙 = 𝑥 + 7 𝑃 = 2𝑙 + 2𝑎

𝑃 = 2(𝑥 + 7) + 2𝑥 = 34 2𝑥 + 14 + 2𝑥 = 34

4𝑥 = 34 − 14 4𝑥 = 20

𝑥 =20

4= 5𝑐𝑚

𝑙 = 𝑥 + 7 = 5 + 7 = 12𝑐 𝐴 = 𝑙𝑥𝑎

𝐴 = 12(5) 𝐴 = 60𝑐𝑚2

2. Las dimensiones de un rectángulo están dadas en la gráfica que se muestra. Si el perímetro es 80Hm, Cuales son las dimensiones y el área del rectángulo.

𝑎 =8𝑥 − 10

2

26𝑥

5− 1

𝑃 = 2𝑙 + 2𝑎

2 (8𝑥 − 10

2) + 2 (

26𝑥

5− 1)

= 80 10(8𝑥 − 10) + 104𝑥 − 20

= 800 80𝑥 − 100 + 104𝑥 − 20

= 800 80𝑥 + 104𝑥 = 800 + 100

+ 10 132𝑥 = 450

𝑥 =920

184= 5𝑐𝑚

𝑎 =40 − 10

2= 15

𝑙 =26𝑥

5− 1 = 25

𝐴 = 𝑙𝑥𝑎 𝐴 = 15(25) = 375

𝐴 = 60𝑐𝑚2

TRAPECIO. Figura geométrica de cuatro lados, de los cuales solo dos son paralelos. Es un cuadrilátero. Polígono irregular". Sus lados paralelos son las bases, la mayor y la menor. T. Isósceles Trapecio





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Escaleno Existen otras clases de trapecio. T. Rectángulo T. Escaleno El área se calcula por la fórmula:

𝐴 =(𝐵 + 𝑏)ℎ

2

1. Un trapecio isósceles tiene por base mayor 30 dm y por base menor 20 dm y por altura 10 dm. Hallar el área y el perímetro.

b=20dm h=10dm B=30dm

𝐴 =(𝐵 + 𝑏)ℎ

2=

(30 + 20)10

2= 250𝑑𝑚2

Base del triángulo pequeño

𝑐 =30 − 20

2=

10

2= 5

Los lados laterales. T de P.

𝑙 = √ℎ2 + 𝑐2

= √(10)2 + (5)2

= √100 + 25 = √125

= 5√5 Perímetro es:

𝑃 = 2𝑙 + 𝐵 + 𝑏 =

2(5√5) + 30 + 20

2. En un trapecio isósceles la base mayor es el doble de la altura más 2 metros y la base menor es la mitad más 5metros. Si el cuadrilátero central tiene un perímetro 40 m. Cuál es el área y el perímetro del trapecio.

𝑥

2+ 5

ℎ = 𝑥 2𝑥 + 2

𝑃 = 2𝑏 + 2ℎ = 40

2(𝑥) + 2(𝑥

2+ 5) = 40

2𝑥 + 2(𝑥 + 10

2) = 40

2𝑥 + 𝑥 + 10 = 40 3𝑥 = 40 − 10 = 30

𝑥 = 10 𝑥

2+ 5 =

10

2+ 5 = 10 = ℎ

𝐴 =(𝐵 + 𝑏)ℎ

2=

(22 + 10)10

2= 160

Lado l.

√(6)2 + (6)2 = √36 + 36

√72 = 6√2 𝑃 = 2𝑙 + 𝐵 + 𝑏 =

2(6√2) + 22 + 10 =

12√2 + 32

RESUELVA. Los siguientes ejercicios con trapecios isósceles. 1. Hallar área y perímetro de los siguientes cuadriláteros. 𝑏 = √32 𝑏 = √75 ℎ = √18 ℎ = √27 𝑎 = √192

𝑙 = √50 𝐵 = √72 𝐵 = √147 𝑙 = √432

2. Hallar el lado y el área de un cuadrado, sabiendo que su perímetro es 100 m.

3. Los lados de un rectángulo se tiene que el ancho es los dos tercio del largo y su perímetro 50 cm. Cuáles son las dimensiones del rectángulo y el área.

4. Un trapecio rectangular se tiene que la base menor es la mitad de la base mayor y los dos tercios de la altura, si se sabe que la suma de la Base mayor, más la menor, más la altura es 45 m. Cuáles son las dimensiones del trapecio, el perímetro y el área.

RACIONALIZACION. La racionalización es un proceso algebraico que busca desaparecer los radicales del denominador, sí que el resultado varié. 1. Radical de un solo termino. Se busca que en el denominador un cuadrado perfecto para poder extraer la raíz y que esta de exacta y así poder eliminar la raíz, se debe multiplicar el numerador y denominador por la misma raíz, luego se simplifica la expresión dado el caso que se pueda.

5

√2=

5

√2

√2

√2=

5√2

√4=

5√2

2

6

√3=

6

√3

√3

√3=

6√3

√9=

6√3

3= 2√3

8

√6=

8

√6

√6

√6=

8√6

√36=

8√6

6=

4√6

3

20

√10=

20

√10

√10

√10=

20√10

√100=

20√10

10= 2√10

12

√8=

12

√8

√8

√8=

12(2√2)

√64=

24√2

8= 3√2

2. Racionalizar binomios en los denominadores. Se debe multiplicar por la conjugada del denominador para formar una diferencia de cuadrados y así eliminar los radicales. Realizamos las operaciones pertinentes y simplificación dado el caso.

4

√2 + √3=

4

√2 + √3.√2 − √3

√2 − √3=

4(√2 − √3)

(√2)2

− (√3)2 =

4(√2 − √3)

√4 − √9=

4(√2 − √3)

2 − 3=

4(√2 − √3)

−1= −4(√2 − √3)

10

√10 + √6=

10

√10 + √6.√10 − √6

√10 − √6=

10(√10 − √6)

(√10)2

− (√6)2 =

10(√10 − √6)

√100 − √36=

10(√10 − √6)

10 − 6=

10(√10 − √6)

4=

5(√10 − √6)

2

15

√15 − √5=

15

√15 − √5.√15 + √5

√15 + √5=

15(√15 + √5)

(√15)2

− (√5)2 =

15(√15 + √5)

√225 − √25=

15(√15 + √5)

15 − 5=

15(√15 + √5)

10=

3(√15 + √5)

2

√5

√5 − √3=

√5

√5 − √3

√5 + √3

√5 + √3=

√5(√5 + √3)

(√5 − √3)(√5 + √3)=

√25 + √15

(√5)2 − (√3)2

=5 + √15

√25 − √9=

5 + √15

5 − 3=

5 + √15

2

√6 + 2√3

√6 − √3=

√6 + 2√3

√6 − √3.√6 + √3

√6 + √3=

(√6 + 2√3)(√6 + √3)

(√6 − √3)(√6 + √3)=

√36 + √18 + 2√18 + 2√9

(√6)2

− (√3)2 =

6 + 3√18 + 2(3)

6 − 3=

12 + 3(3√2)

3=

12 + 9√2

3

4 + 3√2

1= 4 + 3√2

RESUELVA. Racionalice cada una de las expresiones realizando paso a paso todo el proceso y simplificando la respuesta.

16

√7

9

√12

5

√5𝑥

√3

6√5

√7

4√21

6

√5 + √3

9

√6 − 3√2

√5

√5 − 4√6

3√3

2√8 + √3

√5 − √3

√5 + √3

3 + √2

5 + 3√2

5 − 2√6

√6 − 3√2

√7 + 2√3

2√7 − 3√3

OBSERVACIONES. El estudiante tendrá en sus manos esta guía donde se recuerdan algunas operaciones, con sus respectivos procesos y deberá resolver los que aparecen con rojo como trabajo de práctica y afianzamiento de los procesos con las operaciones. Esto es un repaso de lo visto anteriormente en grados anteriores y que dio muestra que no se recordaba y que no se trabaja en la casa y no se hacía seguimiento, esto según resultados de prueba diagnóstica. Esta guía es la continuación de la anterior para que sea desarrollada y terminada en las semanas 1 y 2 del segundo periodo. Dándole la opción a que sean terminadas en este periodo.

Lic. Simeón Cedano Rojas Profesor de la materia Guía1-2 APRENDIZAJE.PII.9-6.MAT.SIMEON CEDANOROJAS


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