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INFORME FINAL (EDITABLE)SIMULACIÓN DE LA SERIE DE FOURIER

1. PROCEDIMIENTO:

1. Haciendo uso del software MATLAB, elabore un programa que permita realizar lo siguiente:

a) Dada una función del tiempo, el programa debe permitir visualizar en pantalla la gráfica real.

b) Con el uso de la Serie de Fourier, el programa nos debe permitir visualizar las diferentes aproximaciones, dependiendo de “n”, a la gráfica real.

c) Para permitir realizar el paso b), el programa debe solicitar:

La ecuación característica del término ao.

La ecuación de los términos an.

La ecuación correspondiente a los bn.

En el programa desarrollado, simule la onda asignada para diferentes valores de n.

Visualice los cambios, si realizamos variaciones en los parámetros de la función; amplitud, periodo, duración del pulso.

2. Para cada grupo de trabajo se le asignará una función.

CFUNCION

1 Pulso cuadrado impar, amplitud 10 Vpp, periodo 20 mseg, duración 5 mseg.

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CÓDIGO EN MATLAB PARA UNA SEÑAL CUADRARA IMPAR:

close allclcclearsyms t nA = [-15 0 15];f = [5 -5]; f = sym(f);T = max(A)-min(A);wo = 2*pi/(T); Ao = 0;for i=1:length(f) Ao = Ao +int(f(i),'t', A(i), A(i+1));endAo = simple(Ao/T); An = 0;for i=1:length(f) An = An +int(f(i)*cos(n*wo*t), A(i), A(i+1));endAn = simple(2*An/T); Bn = 0;for i=1:length(f) Bn = Bn +int(f(i)*sin(n*wo*t), A(i), A(i+1));endBn = simple(2*Bn/T); An = char(An);Bn = char(Bn); An = simple(sym(strrep(char(An), 'sin(pi*n)', '0')));Bn = simple(sym(strrep(char(Bn), 'sin(pi*n)', '0'))); An = simple(sym(strrep(char(An), 'cos(pi*n)', '(-1)^n')));Bn = simple(sym(strrep(char(Bn), 'cos(pi*n)', '(-1)^n'))); An = simple(sym(strrep(char(An), 'sin(n*pi)', '0')));Bn = simple(sym(strrep(char(Bn), 'sin(n*pi)', '0'))); An = simple(sym(strrep(char(An), 'cos(n*pi)', '(-1)^n')));Bn = simple(sym(strrep(char(Bn), 'cos(n*pi)', '(-1)^n'))); An = simple(sym(strrep(char(An), 'sin(2*pi*n)', '0')));Bn = simple(sym(strrep(char(Bn), 'sin(2*pi*n)', '0'))); An = simple(sym(strrep(char(An), 'cos(2*pi*n)', '1')));Bn = simple(sym(strrep(char(Bn), 'cos(2*pi*n)', '1'))); An = simple(sym(strrep(char(An), 'cos(2*n*pi)', '1')));Bn = simple(sym(strrep(char(Bn), 'cos(2*n*pi)', '1')));% disp('Ao')pretty(Ao)disp('An')

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pretty(An)disp('Bn')pretty(Bn) x = linspace(min(A), max(A), 1000);fx = 0;for i=1:length(A)-1 if mod(i, 2) == 1 fx = fx+((x>=A(i))&(x<=A(i+1))).*subs(f(i),x); else fx = fx+((x>A(i))&(x<A(i+1))).*subs(f(i),x); endendplot(x, fx, 'Linewidth', 2); hold onplot(x+max(x)-min(x), fx, 'Linewidth', 2) plot(x-max(x)+min(x), fx, 'Linewidth', 2)plot([max(x) max(x)],[fx(1) fx(end)], 'linewidth', 2)plot([min(x) min(x)],[fx(end) fx(1)], 'linewidth', 2)grid onxlabel('\bfTIEMPO');ylabel('\bfAMPLITUD');title('\bfGRAFICA DE LA FUNCION');ejs = axis;figurea=input('ingrese el valor de n: '); % Numero de armonicost = linspace(min(x)-max(x)+min(x), max(x)-min(x)+max(x), 1000);Ao = eval(Ao);for i=1:1:asubplot(2, 2,1)ft(i,:) = (subs(Bn, 'n', i).*sin(i*wo*t))+(subs(An, 'n', i).*cos(i*wo*t));plot(t, Ao+sum(ft),'Color', 'b', 'Linewidth', 1.3)title('\bfSEÑALES SINUSOIDALES SUMADAS') xlabel('\bfARMONICO');ylabel('\bftiempo');hold onylim([ejs(3) ejs(4)])xlim([min(t) max(t)])% box on% grid onsubplot(2, 2,2)plot(t, ft(i,:),'Color','b', 'Linewidth', 1.3)title('\bfSEÑALES SINUSOIDALES SIMPLES')hold on% box on% grid onxlabel('\bfARMONICO');ylabel('\bftiempo');xlim([min(t) max(t)])Cn(i) = sqrt(subs(Bn, 'n', i)^2+subs(An, 'n', i)^2);subplot(2, 2,3) stem(Cn,'fill','r', 'Linewidth', 2)hold on; grid ontitle('\bfAMPLITUD ARMONICOS')xlim([1 a])subplot(2, 2,4)plot(t, Ao+sum(ft), 'r','Linewidth', 2);ylim([ejs(3) ejs(4)])xlim([min(t) max(t)])

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pause(0.01)end

GRAFICASPara n =15.

Para n=30.

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N=60

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N=75

HALLAR EL ANCHO DE BANDA:

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PREGUNTAS :

1) ¿La función seno y coseno son funciones periódicas?

Por definición, una función es periódica si repite el mismo valor a intervalos regulares de la variable. Es decir, una función f(x) es periódica si existe un número ‘T’ tal que pueda hacer f(x+T) = f(x) para todas las x. Al menor número ‘T’ se le llama período.

De este modo, la función seno es una función periódica y con un período de 2π, porque 2π es el menor número ‘T’ que hace que sen(x+T)=sen(x), para todo x.

Lo mismo sucede con la función coseno, su periodo es 2π ya que cos(x+2π)=cos(x).

2) Detallar las propiedades de los coeficientes de Fourier: Identidad de Parseval; y relación entre los coeficientes de Fourier y su derivada.

La identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial, entonces

Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de

Fourier, tanto en forma compleja como real.

Forma compleja (o exponencial):

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Forma real (o trigonométrica):

Siendo   el periodo y   ,  ,   los coeficientes de Fourier complejos y reales.

Si hablamos acerca de la diferenciación

3) Explicar las condiciones de DIRICHLET y el teorema de convergencia.

Las condiciones Dirichlet son las condiciones que garantizan la existencia y convergencia de las series de Fourier o de las transformadas de Fourier.

CONDICIÓN 1: La Condición Débil de DirichletPara que las series de Fourier existan, los coeficientes de Fourier deben ser finitos, esta condición garantiza su existencia. Esencialmente dice que el integral del valor absoluto de la señal debe ser finito.

Las series de Fourier existen (los coeficientes son finitas) si

CONDICIÓN 2:

La transformada de Fourier existe si

∫∞−∞|f(t)|dt<∞

Además, la transformada de Fourier existe si la señal tiene un número finito de discontinuidades y un número finito de máximos y mínimos. Para que las series de Fourier existan las siguientes dos condiciones se deben de satisfacer (junto con la condición débil de Dirichlet):

1. En un periodo, f(t) tiene solo un número finito de mínimos y máximos.

2. En un periodo, f(t) tiene un numero finito de discontinuidades y cada una es finita.

Esto es a lo que se conoce como condiciones fuertes de Dirichlet.

4) Explicar el fenómeno de Gibbs.

Cuando una función tiene una discontinuidad de salto en un punto, su serie de Fourier tiene un comportamiento especial en dicho punto. Este comportamiento se llama fenómeno de Gibbs. Este fenómeno consiste en que cerca del punto las sumas parciales de la serie de Fourier mantienen unas oscilaciones que no se hacen pequeñas.

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Cuando la función que se está desarrollando en Serie de Fourier tiene discontinuidades no es posible que haya una buena convergencia en los entornos de las discontinuidades.

En tales entornos las sumas parciales muestran sobre Y subvalores alrededor del valor real de la función que pueden llegar a un 18% del salto en la discontinuidad.

Si   es un punto de discontinuidad, la sucesión de sumas parciales converge al valor:

Representación de la Onda Cuadrada en Serie De Fourier para un término de la

sumatoria.

Se muestra la representación para uno y diez términos, respectivamente. Conforme se agregan más términos, la gráfica se va aproximando a la onda cuadrada, pero sin que los picos disminuyan. Estos picos que nunca desaparecen se les llama el fenómeno de Gibbs

APLICACIONES DE FOURIER:

CONCLUSIONES: Como se puede observar a medida que incrementamos el valor de N, la serie de

Fourier se va semejando a la función cuadrara impar. ,…………… -………………

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