informe vel. relativa y absoluta en el plano

FACULTAD DE INGENIERIA03 DE JUNIO DE 2016

Carrera Profesional de Ingeniería Civil

CURSO: Dinámica

TEMA: Movimiento en el plano - Velocidad

Absoluta y velocidad relativa en Movimiento

del Plano

DOCENTE: Ing. Cristian López Villanueva

INTEGRANTES:

Alcalde Cueva, Miriam

Briones Chávez, John

León Villar, Carlos

Tello Pérez, Luz

Yopla Mendoza, David

Zapana Zapata, Maricruz

CICLO: 2016 - 1

03 DE JUNIO DE 2016

DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA

INDICE

1. INTRODUCCIÓN.....................................................................................................3

2. OBJETIVOS.............................................................................................................4

2.1. Objetivo General........................................................................................................4

2.2. Objetivo Específicos..................................................................................................4

3. JUSTIFICACION......................................................................................................5

4. DESARROLLO........................................................................................................6

4.1. Movimiento Plano General.......................................................................................6

5. VELOCIDAD ABSOLUTA Y VELOCIDAD RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO ………………………………………………………………………………………. 8

5.1. Velocidad Absoluta.........................................................................................8

Procedimiento para el análisis de los problemas:...........................................................8

5.2. Velocidad Relativa en el Movimiento del Plano.........................................10

Procedimiento para el análisis de los problemas:.........................................................13

7. CONCLUSIONES........................................................................................................24

8. BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................24

9. ANEXOS.......................................................................................................................25

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1. INTRODUCCIÓN

El campo de la dinámica, está orientado al estudio de la aplicación de la cinemática, la

cinemática plana de cuerpos rígidos estudia las relaciones existentes entre el tiempo,

las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las partículas que forman un

cuerpo rígido. Todo cuerpo rígido se ve representado por las acciones de fuerzas que

se ejerce sobre esta, pero que no evidencia deformaciones ya que posee un sistema

de partículas cuyas posiciones relativas no cambian.

Movimiento general en el plano es el movimiento plano de un cuerpo rígido que no

puede clasificarse como traslación pura, ni como rotación pura. El movimiento general

se asume una combinación simultánea de traslación y rotación.

Movimiento general = traslación + rotación (M.G. = t + r)

El presente trabajo de investigación se centra en el estudio de la velocidad absoluta y

velocidad relativa de movimiento en el plano, con este trabajo se desea adquirir

conocimientos de análisis para deducir fórmulas que se deben aplicar posteriormente

en los ejercicios.

En este trabajo se explicará que es la velocidad absoluta y velocidad relativa de

movimiento en el plano, así como sus fórmulas para la resolución de los problemas

planteados con el único fin de tener no solo un aprendizaje teórico sino también

practico y así poder entender de una forma diferente que la vida está llena de pruebas

las cuales se pueden resolver por medios matemáticos y analíticos.

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2. OBJETIVOS

2.1. Objetivo General

Definir y adquirir conocimientos sobre velocidad absoluta y velocidad

relativa de movimiento en el plano.

2.2. Objetivo Específicos

Estudiar el movimiento plano usando un análisis de movimiento

absoluto y proporcionar un análisis de movimiento relativo de velocidad.

Aplicar los conocimientos teóricos y las formulas en la solución de los

problemas de velocidad absoluta y relativa de movimiento en el plano.

Conocer en donde podemos aplicar los conocimientos de velocidad

absoluta y relativa de movimiento en el plano.

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3. JUSTIFICACION

Desde el punto de vista como estudiantes se justifica la realización del presente

trabajo de investigación como aporte a adquirir conocimientos necesarios en el estudio

de la cinemática del cuerpo rígido, en específico se dará a conocer como obtener la

velocidad relativa y absoluta de movimiento en el plano.

Desde el punto de vista como entidad universitaria se justifica la realización del

presente trabajo de investigación, como el conocimiento matemático y analítico

aplicado a la solución de problemas en bien de la sociedad en la que se interactúa.

La presente investigación servirá como referencia a futuras investigaciones sobre el

tema.

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4. DESARROLLO

4.1.Movimiento Plano General

El movimiento plano general es un movimiento plano que no es ni una traslación ni

una rotación. Sin embargo, un movimiento plano general siempre puede considerar

como la suma de una traslación y una rotación.

Teorema de Euler: Cualquier movimiento plano puede ser considerado como una

composición simultánea de un movimiento de traslación y un movimiento de rotación.

Por ejemplo

Una rueda que gira sobre una pista recta, como se muestra en la figura, a lo largo de

cierto intervalo, dos puntos dados A y B se habrá movido, respectivamente, desde A1

hasta A2 y desde B1 hasta B2. El mismo resultado podría obtenerse mediante una

traslación que llevaría a “A” y a “B” hasta A2 y B’1 (la línea AB se mantiene vertical),

seguida por una rotación alrededor de A que llevaría a B hasta B2. Aunque el

movimiento de giro difiere de la combinación de traslación y rotación cuando estos

movimientos se toman en forma sucesiva, el movimiento original puede duplicarse de

manera exacta mediante una combinación de traslación y rotación simultaneas.

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Otro ejemplo de movimiento plano representa una varilla cuyos extremos se deslizan

a lo largo de una pista horizontal y una vertical, respectivamente. Este movimiento

puede sustituirse por una traslación en una dirección horizontal y una rotación

alrededor de A o por una traslación en una dirección vertical y una rotación alrededor

de B.

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5. VELOCIDAD ABSOLUTA Y VELOCIDAD RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO

5.1. Velocidad Absoluta

Un cuerpo sometido a movimiento plano general experimenta una traslación y rotación

simultáneas. Si el cuerpo se representa como una lámina delgada, ésta se traslada en

su plano y gira alrededor de un eje perpendicular a este plano. El movimiento puede

especificarse por completo si se conocen tanto la rotación angular de una línea fija en

el cuerpo como el movimiento de un punto en él. Una forma de relacionar estos

movimientos es utilizar una coordenada de posición rectilínea “s” para localizar el

punto a lo largo de su trayectoria y una coordenada

de posición angular θ para especificar la orientación de la línea. Las dos coordenadas

se relacionan entonces por medio de la geometría del problema. Mediante la

aplicación directa de las ecuaciones diferenciales con respecto al tiempo

v=ds /dt , a=dv /dt ,ω=dθ/dt y α=dω /dt, entonces pueden relacionarse el

movimiento del punto y el movimiento angular de la línea. En algunos casos, este

mismo procedimiento puede utilizarse para relacionar el movimiento de un cuerpo, que

experimenta o rotación alrededor de un eje fijo o traslación, con el de un cuerpo

conectado que experimenta movimiento plano general.

Procedimiento para el análisis de los problemas:

La velocidad y aceleración de un punto P que experimenta movimiento rectilíneo

pueden relacionarse con la velocidad y aceleración angulares de una línea contenida

en un cuerpo si se aplica el siguiente procedimiento.

Ecuación de coordenadas de posición:

Localice un punto P en el cuerpo por medio de una coordenada de posición s,

la cual se mide con respecto a un origen fijo y está dirigida a lo largo de la

trayectoria de movimiento en línea recta del punto P.

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Mida con respecto a una línea de referencia fija la posición angular θ de una

línea situada en el cuerpo.

Con las dimensiones del cuerpo, relacione “s” con θ, s= f (θ), por medio de

geometría y/o trigonometría.

Derivadas con respecto al tiempo:

Considere la primera derivada de s=f (θ) con respecto al tiempo para obtener

una relación entre v y ω.

Considere la segunda derivada con respecto al tiempo para obtener una

relación entre a y α .

En cada caso debe utilizarse la regla de la cadena del cálculo cuando se

consideren las derivadas con respecto al tiempo de la ecuación de

coordenadas de posición.

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5.2. Velocidad Relativa en el Movimiento del Plano

Cualquier movimiento plano puede ser reemplazado por una traslación de un punto de

referencia arbitrario A y una rotación simultánea alrededor de A.

V B=V A+V B /AV B

A

=wk x r BA

,V B

A

=rw

V B=V A+wk∗r B /A

El movimiento plano general de un cuerpo rígido se describe como una combinación de traslación y rotación. Para ver estos movimientos “componentes” por separado utilizaremos un análisis de movimiento relativo que implica dos conjuntos de ejes de coordenadas. El sistema de coordenadas x, y está fijo y mide la posición absoluta de dos puntos A y B en el cuerpo, representado aquí como una barra.

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Se hará que el origen de los sistemas de coordenadas x’, y’ coincida con el “punto base” A seleccionado, el cual por lo general tiene un movimiento conocido. Los ejes

de este sistema de coordenadas se trasladan con respecto al marco fijo, pero no giran

con la barra.

Posición: El vector de posición r A en la figura especifica la ubicación del “punto base”

A y el vector de posición relativa r B/ A localiza el punto B con respecto al punto A.

Mediante adición vectorial, la posición de B es, por tanto:

r B=r A+rB / A

Desplazamiento: Durante un instante de tiempo d t los puntos A y B experimentan los

desplazamientos d r A y d rB como se muestra en la figura (b). Si consideramos el

movimiento plano general por sus partes componentes entonces toda la barra primero

se traslada una cantidad d r A de modo que A, el punto base, se mueve a su posición

final y el punto B a B’, figura (c). La barra gira entonces alrededor de A una cantidad

dθ de modo que B’ experimenta un desplazamiento relativo d rB / A y se mueve a su

posición final B. Debido a la rotación sobre A, d rB / A=rB /A dθ y el desplazamiento de

B es:

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Velocidad: Para determinar la relación entre las velocidades de los puntos A y B es

necesario considerar la derivada con respecto al tiempo de la ecuación de posición o

simplemente dividir la ecuación de desplazamiento entre d t .De esto resulta:

rB

dt=

rA

dt+

rB / A

dt

Los términos d rB /dt=vB y d r A /dt=v A se miden con respecto a los ejes fijos x, y y

representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, respectivamente. Como el

desplazamiento relativo lo provoca una rotación, la magnitud del tercer término es:

d rB / A/dt=r B /Adθ /dt=rB / A θ=r B /Aω, donde ω es la velocidad angular del cuerpo en el

instante considerado. Denotaremos este término como la velocidad relativa V B / A,

puesto que representa la velocidad de ‘B’ con respecto a ‘A’ medida por un observador

fijo en los ejes trasladantes x’, y’. Dicho de otra manera, la barra parece moverse como

si girara con una velocidad angular ω con respecto al eje z’ que pasa por A. Por

consiguiente, la magnitud de vB /A es vB /A=ωr B /A y su dirección es perpendicular a

r B/ A.

Por consiguiente, tenemos:

V B=V A+V B /A

V B = Velocidad del punto B

V A = Velocidad del punto A

V B / A = Velocidad de B con respecto a ‘A’ (velocidad relativa)

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Lo que esta ecuación establece es que la velocidad de B, fig. (d), se determina al

considerar que toda la barra se traslada con una velocidad de vA , fig. (e) y que gira

alrededor de A con una velocidad angular ω, fig. (f). La adición vectorial de estos dos

efectos, aplicada a B, resultavB, como se muestra en la fig. (g). Como la velocidad

relativa V B / A representa el efecto del movimiento circular, alrededor de A, este término

puede expresarse por medio del producto vectorial V B / A=ω×rB /A. Por consiguiente,

para su aplicación mediante un análisis vectorial cartesiano, también podemos escribir

la ecuación como:

V B=V A+ω×r B /A

V B = Velocidad de B

V A = Velocidad del punto base A

ω = Velocidad angular del cuerpo

r B/ A = Vector de posición dirigido de A hacia B

Procedimiento para el análisis de los problemas:

La ecuación de velocidad relativa puede aplicarse mediante análisis vectorial

cartesiano o bien si se escriben directamente las ecuaciones de componentes

escalares ‘x’ y ‘y’. Para su aplicación se sugiere el siguiente procedimiento.

ANÁLISIS VECTORIALa. Diagrama Cinemático:

Establezca las direcciones de las coordenadas x, y fijas y trace un diagrama

cinemático del cuerpo. Indique en él las velocidades vA, vB de los puntos A y B,

la velocidad angularω, y el vector de posición relativa r B/ A.

Si las magnitudes de vA, vB o ω son incógnitas, puede suponerse el sentido de

estos vectores.

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b. Ecuación de velocidad:

Para aplicar vB=v A+ω×rB / A, exprese los vectores en forma vectorial

cartesiana y sustitúyalos en la ecuación. Evalúe el producto vectorial y luego

iguale los componentes i y j respectivas para obtener dos ecuaciones

escalares.

Si la solución resulta en una respuesta negativa para una magnitud

desconocida, indica que el sentido del vector es opuesto al que se muestra en

el diagrama cinemático.

ANÁLISIS ESCALARa. Diagrama Cinemático:

Si la ecuación de velocidad se va a aplicar en forma

escalar, entonces deben establecerse la magnitud y

la dirección de la velocidad relativa vB /A. Trace un

diagrama cinemático como se muestra en la figura

(g), el cual muestra el movimiento relativo. Como se

considera que el cuerpo debe estar “sujeto por

medio de un pasador” momentáneamente en el punto base A, la magnitud de

vB /A. es vB /A=ωr B /A. La dirección de vB /Asiempre es perpendicular a r B/ A de

acuerdo con el movimiento de rotación ω del cuerpo. (*)

b. Ecuación de Velocidad:

Escriba la ecuación forma simbólica vB=v A+vB /A, y debajo de cada uno de los

términos represente los vectores gráficamente de modo que muestren sus

magnitudes y direcciones. Las ecuaciones escalares se determinan con los

componentes x y y de estos vectores.

(*) La notación vB=v A+vB /A (pasador) puede ser útil para recordar que A está

“conectado con un pasador”.

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6. EJERCICIOS PROPRUESTOS

6.1. Una barra de 1.5m de longitud, tiene

instalado unos rodillos en sus extremos. Si el

rodillo A se está moviendo hacia la derecha a

razón de 3 m/s. ¿Con qué rapidez desciende

el rodillo B y cuál es la velocidad angular de

la barra?

Solución: Primero ponemos el triedro derecho

V B=V A+ V B /A→V B=V A+ωAB x rB / A

V A=3 i m/ s

V B=−vB j m /s

ωAB=ωk rad / s

rB / A=−1.5 ( cos30 ) i+1.5 ( sen30 ) j→ rb /A=−1.3 i+0.75 j

V B=3 i+| i j k0 0 ω

−1.3 0.75 0|⇒−vB j=3 i+(−0.75ω ) i−1.3ωj+0k

−vB j=(3−0.75ω ) i−1.3ωj

Igualando términos: 3−0.75ω=0

−vB=−1.3ω

Respuestas

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ω=4 rad /s

vB=5.2

6.2. El cilindro rueda sin deslizarse sobre la superficie de una banda

transportadora, la cual se mueve a 2 pies/s. Determinar la velocidad del

punto A. El cilindro tiene una velocidad angular en el sentido de las

manecillas del reloj ω=15 rad /s en el instante que se muestra en la

figura.

Solución (De forma vectorial)

Diagrama de cinemático. Como no hay deslizamiento, el punto B en el

cilindro tiene la misma velocidad que la transportadora. Además, la

velocidad angular del cilindro es conocida, así que podemos aplicar la

ecuación de velocidad a B, el punto base, y A para determinar V A .

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Ecuación de velocidad.

V A=V B+ω xr A /B

(v A)x i+(v A)y j=2 i+(−15 k) x (−0.5 i+0.5 j)

(v A)x i+(v A)y j=2 i+7.50 j+7.50 i¿

De modo que:

(v A )x=2+7.50=9.50 piess

(v A )y=7.50 piess

Por tanto:

vA=√(9.50)2+(7.50)2=12.1 pies / s

θ=tan−1 7.509.50

=38.3 °

Solución (análisis escalar):

Como un procedimiento alternativo, las componentes escalares de

vA=vB+v A /B pueden obtenerse directamente. De acuerdo con el

diagrama cinemático que muestra el movimiento circular relativo, el

cual produce vA /B.

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vA /B=ωrA /B=(15 rad /s )( 0.5 piecos45 ° )=10.6 pies /s

Por tanto.

vA=vB+v A /B

[ (v A )¿¿ x]+ [ (v A )y ]=[2 pies/ s]+[10.6 pies / s]¿

Al igualar las compontes x Y y se obtienen los mismos resultados que

antes, es decir.

(v A )x=2+10.6 cos 45 °=9.50 pies /s

(v A )y=0+10.6 sen 45 °=7.50 pies /s

6.3. El disco de la figura gira con una rapidez angular constante de 12 rad /s

en sentido horario. Calcule, para la posición mostrada en la figura, la

velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarín B.

Resolución La velocidad de A es vertical y se dirige hacia abajo, la de B, horizontal

y hacia la derecha. El centro instantáneo de rotación se encuentra en la

intersección de las perpendiculares levantadas en A y B.

Calculamos la magnitud de la velocidad de A.

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vA=ω r

vA=12 (60 )=720

Por tanto, la velocidad angular de la barra AB es:

ωAB=v A

rA= 720

60√3

ωAB=6.93 rad /s

Y la velocidad de B será:

vB=ωAB rB

vB=6.93 (60 )

vB=416cm /s

6.4. La barra AB de la articulación que se muestra en la figura tiene una

velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj de 30 rad /s

cuando θ=60 °. Determine las velocidades angulares del elemento BC

y de la rueda en ese instante.

Solución

Notamos que las velocidades de los puntos By C están definidas por la

rotación del eslabón AB y la rueda alrededor de sus ejes fijos. Los

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vectores de posición y la velocidad angular de cada elemento se

muestran en el diagrama cinemático siguiente:

V B=w AB×rB

V B=(−30k )×(0.2 cos60 ° i+0.2 sen60° j)

V B=(5.2 i−3 j ) m /s

Para el tramo BC

V C=V B+wBC ×rC /B

Notamos que en ese instante el eslabón BC es paralelo al eje x

V C i=(5.2i−3 j )+wBC k×(0.2 i)

V C i=5.2i+(0.2wBC−3 ) j

V C=5.2m /s

0=0.2wBC−3

wBC=15 rad / s

Para la rueda:

V C=wD×rC

5.2=(w ¿¿Dk)×(−0.1 j)¿

5.2=0.1wD

wD=52 rad /s

6.5. En la posición mostrada, la manivela OA tiene una rapidez angular de

10 rad /s en sentido antihorario. Calcule la rapidez angular de la biela

AB y la velocidad lineal del émbolo B.

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SoluciónComenzamos investigando la geometría del mecanismo mediante la

resolución de los triángulos rectángulos de la figura.

La manivela OA con rotación pura.

V A=w x r

V A=10k x(2.5i+4.33 j)

V A=−43.3 i+25 j

La manivela AB tiene movimiento plano general:

V B=V BA

+V A

V B=w1 x r BA

+V A

V B=w1k x (15.40i−4.33 j )−43.3 i+25 j

V B i=4.33w1 i+15.40 w1 j−43.3i+25 j

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Asociando las componentes respectivas:

V B i=( 4.33w1−43.3 ) i+(15.40w1 j+25 ) j

Igualando las componentes verticales:

0=15.40w1+25 ;w1=−1 .623

Y las horizontaes:

V B=4.33 (−1.623 )−43.3=−50 .3

Por tanto:

w1=1.623 rad /s

V B=50 .3Vpulg /s

6.6. Un motociclista persigue a un automóvil en una pista circular de 100m

de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s

y el segundo a 30m /s. ¿Cuál es la velocidad relativa del automóvil

respecto al motociclista?

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Solución

V A=Velocidad absolutadel automóvil

V M=Velocidad absolutadelmotociclista

V AM

=Velocidad relativa delautomóvil respecto al motociclista

V A=V AM

+V M

Como se trata de solo tres vectores, dibujamos un diagrama que represente la ecuación anterior.

Por la ley de cosenos:

V AM

2=302+402−2 (30 ) 40 cos60°

V AM

=36 .1m / s

Por la ley de senos:

sen∝30

= sen60 °V A

M

∝=46 °;90−46=44 °

V AM

=36 .1m / s

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7. CONCLUSIONES

Es muy importante conocer el movimiento de los cuerpos rígidos, porque

tienen una gran relación entre el tiempo que actúa, su posición,

velocidad y aceleración.

Para el estudio del movimiento de cualquier cuerpo en un plano se debe

tener en cuenta su movimiento rotacional y traslación, las cuales actúan

una dentro del plano y la otra perpendicular al mismo respectivamente.

Se pudo demostrar cómo se realiza el movimiento a través de un eje fijo

usando las ecuaciones de velocidad relativa y absoluta

8. BIBLIOGRAFÍA

RUSSELL C. HIBBELER. (2010). Ingeniería Mecánica – DINAMICA.

12ava. Edición. México: Pearson Educación.

Hibbeler, R. C. (2010). Ingeniería Mecánica: Dinámica. México: Pearson

Educación de México, S.A.

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Ferdinand P. Beer. (2007) Mecánica Vectorial para ingenieros Dinámica.

8ed. Ed. México: McGraw - Hill Interamericana.

9. ANEXOS

Anexo 1: cuerpo rígido

Anexo 1: grafica de velocidades

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Anexo 2: manivela

Anexo 3: eslabón

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Anexo 5: Se puede considerar que una bola que está rodando sobre una cubierta de un barco en movimiento.

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