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PROGRAMA NACIONAL DE I+D EN MEDIO AMBIENTE

Proyecto AMB99-1095-C02-01

Control activo acústico estructural del ruido de baja frecuencia en elinterior de medios de transporte

Informe Nº 1Informe Nº 1Informe Nº 1Informe Nº 1

FUNDAMENTOS DEL CONTROL ACTIVO ACUSTICOESTRUCTURAL

Febrero 2000

Pedro Cobo Parra

Instituto de Acústica. CSIC.Serrano 144. 28006 Madrid

P. Cobo Control Activo Acústico Estructural_____________________________________________________________

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CONTENIDO

1. INTRODUCCION …………………………………………………………….. 22. SENSORES Y ACTUADORES PARA EL CAAE ………………………...

2.1. Materiales piezoeléctricos …………………………………………..2.2. Materiales electroestrictivos ………………………………………..2.3. Materiales magnetoestrictivos ……………………………………...2.4. Aleaciones con memoria de forma ………………………………...2.5. Fluidos electroreológicos …………………………………………...

67

25272831

3. MECANISMOS DE CONTROL …………………………………………….. 324. CAAE EN BARRAS. MODELO 1D ………………………………………... 405. CAAE EN PLACAS. MODELO 2D ………………………………………... 726. RESUMEN Y CONCLUSIONES ............................................................. 113REFERENCIAS …………………………………………………………………. 118


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1. INTRODUCCION

El ruido es una de las fuentes de contaminación ambiental. El control

del ruido es un problema tecnológico de cierta envergadura, por la

complejidad temporal, espacial y frecuencial que presenta. El ruido es

un subproducto de la generación de potencia. Los motores de los

vehículos, aviones, trenes, y en general, de los medios de transporte,

producen ruido. Las plantas de producción eléctrica, los

transformadores eléctricos, los sistemas de ventilación, calefacción y

aire acondicionado producen ruido. El avance de los sistemas de

generación de energía está asociado con el progreso social y

económico. Paradójicamente, el incremento de los niveles de ruido

está inevitablemente asociado con el progreso social y económico.

Los niveles de ruido máximos que pueden ser permitidos suelen

estar regulados a nivel municipal, regional, nacional y europeo.

El ruido puede controlarse por métodos pasivos y/o activos. Los

métodos pasivos se encuentran en un estado muy maduro y ofrecen

soluciones efectivas a frecuencias medias y altas, con un coste no

excesivamente elevado. Sin embargo, a frecuencias bajas, la solución

pasiva es casi siempre inaceptable, debido a sus dimensiones y/o

peso. El ruido urbano es rico en componentes de baja frecuencia. El

tráfico rodado y aéreo, la maquinaria industrial, y la maquinaria

basada en el movimiento de aire (turbinas, compresores, y los

sistemas de ventilación y aire acondicionado) son fuentes de ruido de

baja frecuencia. Los efectos del ruido de baja frecuencia son

especialmente nocivos debido a su persistencia, a su eficiente

propagación, y su capacidad de penetración (poca eficacia del control

pasivo en baja frecuencia). Los ruidos intensos de baja frecuencia

parecen producir síntomas claros en el sistema respiratorio y auditivo.

Existe evidencia de los efectos adversos de la exposición del ruido de


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baja frecuencia. Algunas veces se han encontrado reacciones más

molestas al ruido de baja frecuencia que a otros de frecuencias más

altas, para el mismo SPL. Las molestias se acentúan cuando el ruido

de baja frecuencia es el origen de traqueteo o vibraciones. El ruido de

baja frecuencia puede afectar a la inteligibilidad de la palabra, debido

a la forma de la curva de enmascaramiento.

Afortunadamente, en el margen de las frecuencias bajas se pueden

usar técnicas de control activo del ruido (CAR) (Cobo, 1997). El CAR

consiste en la cancelación activa de un campo de ruido primario

mediante la introducción de un campo secundario en contrafase. Un

sistema CAR consta básicamente de unos sensores para medir el

campo de ruido, unos actuadores para generar el campo secundario,

y un controlador que pilota el proceso de cancelación. Aunque el

concepto del CAR fue introducido en 1933 por Lueg, su viabilidad

tecnológica ha estado estrechamente asociada al desarrollo de los

Procesadores Digitales de Señal (DSP). Ya que las condiciones del

ruido ambiental son generalmente cambiantes, los filtros de control

han de ser capaces de adaptarse a estos cambios, por lo que han de

ser implantados en DSP’s. Los sistemas activos ofrecen la posibilidad

de controlar efectivamente las bajas frecuencias para obtener un

ambiente acústico más satisfactorio (calidad sonora y forma

espectral). Además, al estar basados en una tecnología en abierta

progresión, como es la electrónica digital, es de esperar que

evolucionen a una mejor relación funcionamiento/coste.

Frente a la aproximación CAR clásica, que usa micrófonos como

sensores del campo acústico y altavoces como fuentes secundarias,

recientemente ha surgido otra segunda aproximación, mucho más

efectiva, y que consiste en alterar los propios mecanismos de

generación del ruido en la fuente. Cuando el ruido es de origen


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estructural, el control consiste en usar actuadores para alterar las

características de vibración de la estructura, problema que se conoce

como Control Activo Acústico Estructural (CAAE). En estos casos, los

algoritmos de control de los actuadores son los mismos que en el CAR

clásico.

La Figura 1 muestra el esquema de una placa radiando

estructuralmente, excitada en este caso mediante un vibrador

(vibrador). En la parte de arriba se muestra el ejemplo de un sistema

CAR típico, en el que se usan micrófonos para medir el ruido radiado

en el campo lejano de la placa, y altavoces para cancelarlo. En medio

podemos observar el esquema de un sistema de Control Activo de las

Vibraciones (CAV), donde se usan acelerómetros para medir las

vibraciones de la placa y actuadores piezoeléctricos para cancelarlas.

Como veremos más adelante, la reducción de los modos estructurales

de una placa no implica necesariamente la reducción del ruido

radiado. Hay que tener en cuenta que todos los modos estructurales

no tienen la misma eficiencia de radiación acústica. Por consiguiente,

es mucho más eficaz concentrar el esfuerzo del controlador en reducir

los modos que radian potencia acústica. En la parte de abajo de la

Figura se describe esta estrategia. Se mide la energía acústica

radiada mediante micrófonos en el campo lejano, y se actúa sobre la

vibración de la placa. Esto es lo que Fuller denominó el Control Activo

Acústico Estructural (CAAE). Los actuadores ocupan un volumen

menor que los altavoces y pueden ser integrados en la propia

estructura. Además, los actuadores están más próximos de la fuente

del ruido, uno de los axiomas del CAR.

En muchas aplicaciones es conveniente que los sensores estén

también integrados en la propia estructura. Las estructuras que

integran los sensores y actuadores se denominan inteligentes. En los


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sistemas CAAE sobre estructuras inteligentes los sensores y los

actuadores son estructurales.

CAR

CAV

CAAE

Figura 1. Esquema de un sistema CAR (arriba) CAV (centro) y CAAE (abajo)


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Como ya se ha comentado más arriba, el control de las vibraciones no

garantiza el control del ruido radiado en el campo lejano. Los modos

estructurales responsables de la radiación acústica se denominan

modos radiantes, modos volumétricos o modos supersónicos. Gran

parte del esfuerzo de los últimos años en el desarrollo de sistemas

CAAE se ha invertido en el desarrollo de sensores estructurales de los

modos radiantes.

En la Sección 2 haremos un repaso de los sensores y actuadores que

se pueden usar en CAAE. La Sección 3 está dedicada a profundizar en

los mecanismos del CAR y CAAE. En las Secciones 4 y 5

profundizamos en el funcionamiento de los sistemas CAAE 1D

(barras) y 2D (placas). Para condiciones de contorno sencillas

(soporte simple) existe la solución analítica del problema, por lo que

podemos llevar a cabo una comparación teoría/experimento.

2. SENSORES Y ACTUADORES PARA EL CAAE

En esta Sección repasaremos las características básicas de cinco

clases de materiales y evaluaremos su disponibilidad y potencialidad

de uso en aplicaciones CAAE. Estos materiales son (ESTEC, 1995):

• Piezoeléctricos.

• Electroestrictivos.

• Magnetoestrictivos.

• Aleaciones con memoria de forma (AMF).

• Fluidos electroreológicos.


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2.1. Materiales piezoeléctricos

Los hermanos Curie descubrieron en 1880 que en ciertos cristales,

como el cuarzo, la sal de Rochelle, o el sulfato de litio, se generaba

un voltaje eléctrico cuando se sometían a una cierta tensión mecánica

(efecto piezoeléctrico directo). Pronto se encontró que estos mismos

cristales se deformaban mecánicamente cuando eran sometidos a un

campo eléctrico (efecto piezoeléctrico inverso). En los años 50 se

produjo un avance tecnológico importante, con la sintetización de las

cerámicas piezoeléctricas, las cuales se podían fabricar con el tamaño

y la forma apropiadas para cada aplicación. La primera piezocerámica

usada fue el titanato de bario. En los años 60 se presentó una

piezocerámica con propiedades piezoeléctricas mejoradas, el titanato

circonato de plomo, o PZT, que es la base de la mayor parte de las

piezocerámicas usadas en la actualidad.

Estrictamente hablando, los cristales naturales, tales como el cuarzo,

presentan el efecto piezoeléctrico, mientras que las piezocerámicas,

como el PZT, están basadas en el efecto ferroeléctrico (Figura 2). En

su estado natural, la estructura cristalina es eléctricamente neutra.

Sin embargo, la deformación mecánica produce un desplazamiento

del centro de cargas positivas con respecto al centro de cargas

negativas, lo que da lugar a la aparición de un campo eléctrico. Y a la

inversa, la aplicación de un campo eléctrico desplaza las cargas de un

signo con respecto a las cargas del otro signo, originando una

deformación mecánica.


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+

- -+

E

Neutral Sometido a un campo eléc

dominios ferroeléctricosdipolos eléctricos

Figura 2. Efecto piezoeléctrico en cristales (arriba) y efecto ferroeléctrico en cerámicas

(abajo)

Un material ferroeléctrico se puede describir como un conglomerado

de dominios ferroeléctricos, cada uno de ellos caracterizado por un

dipolo eléctrico. En su estado neutral, los dipolos eléctricos están

orientados aleatoriamente, y el momento eléctrico global es cero. Sin

embargo, bajo la acción de un campo eléctrico intenso, los dipolos

tienden a orientarse en la dirección del campo eléctrico, dando lugar

a una deformación. Y a la inversa, una deformación del material

tiende a favorecer unos dipolos con respecto a otros, dando lugar a la

aparición de un campo eléctrico. Así pués, tanto el efecto

piezoeléctrico como el ferroeléctrico son reversibles. En lo sucesivo,

hablamos en general de materiales piezoeléctricos englobando en el

mismo término a las cerámicas ferroeléctricas.


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En los materiales ferroeléctricos, la deformación es proporcional al

cuadrado del campo eléctrico aplicado (Stansfield, 1990). Cuando se

aplica un campo eléctrico senoidal a una determinada frecuencia, la

deformación es armónica a la frecuencia doble (nótese que

[ ] 2/)2cos(1)(2 ttsin ωω −= ). Este problema se evita polarizando la

cerámica, mediante la aplicación de un campo eléctrico constante. La

polarización orienta los dipolos en una dirección preferida. El proceso

de polarización incluye (Figura 3):

• Calentamiento de la cerámica por encima de su temperatura de

Curie (temperatura por encima de la cual el material pierde sus

propiedades piezoeléctricas).

• Aplicación de un campo eléctrico intenso (varios kV/cm).

• Enfriamiento lento.

Figura 3. Proceso de fabricación de una piezocerámica (Ferroperm, 1996)


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En una cerámica piezoeléctrica polarizada existe una relación lineal

entre sus propiedades mecánicas y eléctricas. Desde un punto de

vista eléctrico, una cerámica fina se comporta como un condensador

plano (Figura 4), donde la capacidad, C, la carga Q, y el voltaje, V,

están relacionados por

hA

VQC 0ε==

A

h

V

Figura 4. Un condensador plano

Definiendo el desplazamiento eléctrico D como la carga por unidad de

superficie

EhV

AQD 00 εε ===

donde E es el campo eléctrico. En general para una cerámica

sometida a una polarización eléctrica, P

PED += 0ε


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En un sistema elástico 1D, la tensión, T, y la deformación, S, están

relacionadas a través de la constante de rigidez elástica (módulo de

Young)

cST = (Ley de Hooke)

En un material piezoeléctrico, las variables elásticas (T,S) y las

variables eléctricas (E,D) están interrelacionadas. Las ecuaciones que

relacionan ambas variables se denominan ecuaciones constitutivas. Si

consideramos (T,D) como variables independientes y (S,E) como

variables independientes, en la aproximación lineal (IEEE, 1988)

EEDS

SDD

EETS

STT

SE

SE

∂∂+

∂∂=

∂∂−

∂∂=

(1a)

Pero

cST

E

=

∂∂

la constante de rigidez

elástica

eSD

ET

ES

=

∂∂=

∂∂− la constante de tensión

piezoeléctrica

ε=

∂∂

SED

la constante dieléctrica

absoluta, o permitividad del medio

Y por tanto


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ESeDEeScT ε+=−=

(1b)

Análogamente, si consideramos (S,D) como variables dependientes y

(T,E) como variables independientes

ETdDEdTsS ε+=+=

(2)

donde

dTD

ES

ET

=

∂∂=

∂∂

la constante de deformación

piezoeléctrica

sTS

E

=

∂∂

la flexibilidad del medio

(inversa de la rigidez)

Análogamente, si consideramos (S,E) como variables dependientes y

(T,D) como variables independientes

DTgEDgTsS

β+−=

+=(3)

donde

gDS

TE

TD

=

∂∂=

∂∂− la constante de voltaje

piezoeléctrica


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β=

∂∂

TDE

la impermitividad del medio

(inversa de la constante

dieléctrica)

Finalmente, si consideramos (T,E) como variables dependientes y

(S,D) como variables independientes

DShEDhScT

β+−=−=

(4)

donde

hSE

DT

DS

=

∂∂−=

∂∂− otra constante piezoeléctrica

Existen las siguientes relaciones entre las constantes de un material

piezoeléctrico:

gd ε= hec =

cde = dg β=

gds = hg =β

gd ε= cgh =

La Tabla 1 resume las variables usadas en las ecuaciones

constitutivas, así como sus unidades. La Tabla 2 resume las

ecuaciones constitutivas.


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Tabla 1. Variables piezoeléctricas y sus unidades

NOMBRE SIMBOLO UNIDAD

Tensión T N/m2

Deformación S adimensional

Campo eléctrico E V/m

Desplazamiento eléctrico D C/m2

Cte de rigidez elástica (Young) c N/m2

Cte de compliancia elástica s m2/N

Permitividad ε F/m

Impermitividad β m/F

Cte de tensión piezoeléctrica e C/m2 o N/Vm

Cte de deformación piezoeléctrica d C/N o m/V

Cte de voltaje piezoeléctrica g Vm/N o m2/C

Cte piezoeléctrica h V/m o N/C

Tabla 2. Ecuaciones piezoeléctricas

VARIABLES

DEPENDIENTES

VARIABLES

INDEPENDIENTES

ECUACIONES

PIEZOELECTRICAS

T , D S , E

ESeDEeScT ε+=−=

S, D T , E

ETdDEdTsS ε+=+=

S , E T , D

DTgEDgTsS

β+−=

+=

T , E S , D

DShEDhScT

β+−=−=

Las propiedades electro-mecánicas de los materiales piezoeléctricos

son magnitudes tensoriales. Por tanto, las Ecs. (1)-(4) son relaciones


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tensoriales. Así por ejemplo, las Ecs. (1b) se deberían escribir en la

forma

kSikqiqi

kkpqEpqp

ESeDEeScT ε+=

−=(1c)

Consideremos el sistema de ejes descrito en la Figura 5.

1

2

3 1=eje longit

2=eje anchur

3=eje espeso

Figura 5. Sistema de ejes para la definición de constantes piezoeléctricas

Generalmente, el material se polariza en la dirección del eje 3. Por

convenio, el primer subíndice de una constante piezoeléctrica da la

dirección del campo eléctrico o polarización, mientras que el segundo

subíndice da la dirección de la tensión o deformación. Por ejemplo, la

constante d31 relaciona la tensión mecánica en la dirección 1 cuando

se aplica una polarización en la dirección 3.

En aplicaciones CAAE es muy importante identificar la constante de

interés para cada aplicación. Por ejemplo, para un actuador se

requiere un material que desarrolle una fuerza mecánica alta cuando

se aplica una polarización eléctrica dada, es decir un d alto. Sin

embargo, para un sensor se requiere que el material proporcione un


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campo eléctrico alto cuando se deforma mecánicamente, es decir un

e alto.

Otro coeficiente importante es el factor de acoplamiento

electromecánico, k, el cual mide la eficiencia en la conversión

electromecánica. Generalmente, k es considerado como una cifra de

mérito del material. Se define k2 como la fracción de energía eléctrica

convertida a energía mecánica o viceversa. Por ejemplo, k=0.7071

(k2=0.5) indica que el 50% de la energía eléctrica total será

convertida a energía mecánica. El coeficiente de acoplamiento

electromecánico, depende de la forma del material piezoeléctrico.

Para el caso de placas, operando cuasi-estáticamente por debajo de

su frecuencia de resonancia mecánica

εsd

k2

= (5)

Generalmente, las firmas comerciales que fabrican materiales

piezoeléctricos (Ferroperm, Matroc,...) suelen proporcionar sus

constantes eléctricas (ε), mecánicas (ρ, s, ν), y piezoeléctricas (k, d,

g). La Tabla 3 muestra las propiedades eléctricas, mecánicas y

electromecánicas de algunas piezocerámicas de Ferroperm. Como se

verá más adelante, las piezocerámicas se usan en aplicaciones CAAE

esencialmente como actuadores en el modo 31 (polarización vertical y

actuación horizontal). Del análisis de la Tabla 3, parece que unas

piezocerámicas interesantes como actuadores serían la Pz29 y la Pz21

(la Pz29 tiene unas prestaciones superiores a la Pz21, ya que tiene un

d31 y un k31 superiores).


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Tabla 3. Propiedades de algunas piezocerámicas de Ferroperm (Según Ferroperm,

1996)

PROPIEDADES Pz21 Pz23 Pz24 Pz26 Pz27 Pz28 Pz29

Eléctricas

Cte dieléctrica relativa, K33 3900 1500 400 1300 1800 1070 2900

TCurie (ºC) 180 350 330 330 350 330 235

Margen de temperatura (ºC) 100 250 230 230 250 230 150

Electromecánicas

Factor de acoplamiento k31 0.29 0.29 0.29 0.33 0.33 0.34 0.37

Factor de acoplamiento, k33 0.65 0.65 0.67 0.68 0.70 0.69 0.75

-d31 (10-12 C/N) 220 130 55 130 170 120 240

d33 (10-12 C/N) 540 330 190 330 425 320 575

-g31 (10-3 Vm/N) 6 10 16 11 11 13 10

-g33 (10-3 Vm/N) 16 25 54 28 27 34 23

Mecánicas

Densidad, ρ (103 kg/m3) 7.8 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.45

Flexibilidad Es11 (10-12 m2/N) 16 15 10 13 17 13 17


Flexibilidad Ds11 (10-12 m2/N) 15 14 10 12 15 11 15


Factor de Poisson, σE 0.4 0.39 0.29 0.33 0.39 0.31 0.34

Factor de calidad QM 70 100 >1000 >1000 80 >1000 90

El titanato-zirconato de plomo (PZT) es el material típico usado como

actuador, debido a su alto coeficiente de acoplamiento, combinado

con la alta temperatura de Curie que soporta. Aunque se puede

fabricar según la forma deseada, se suele manufacturar en forma de

pastillas o discos. El PZT es el material más usado en el diseño de

transductores electroacústicos. El PZT dopado con lantano, el PZLT es

mejor como actuador pero peor como sensor, aunque pierde sus


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propiedades piezoeléctricas por encima de 65 ºC. El polivinilideno

fluoroso, PVDF, es una material que combina las características de los

materiales plásticos con las de los piezoeléctricos, con unas

características excelentes como sensor (g alto), a pesar de su baja

temperatura de Curie. Se suele fabricar en forma de película (es muy

parecido al papel de plata) con espesores de 9-50 µm, por lo que

constituye un elemento muy interesante como sensor para integrar

en estructuras inteligentes. Como veremos más adelante, es el

material más usado en el diseño de sensores distribuidos, ya que se

puede cortar fácilmente para darle la forma deseada. La Tabla 4

resume las propiedades de un material PVDF fabricado por

PIEZOTECH.

Tabla 4. Valores típicos de las constantes de un PVDF de PIEZOTECH

PROPIEDADES PIEZOELECTRICAS

k31 (%) 10 a 20

d33 (pC/N) -15 a -18 ± 20 %

d31 (pC/N) 6 ± 20 %

d32(pC/N) 1 a 6 ± 20 %

g33 (Vm/N) (a 1 kHz) -0.1 a –0.2 ± 20 %

PROPIEDADES DIELECTRICASεr (a 1 kHz) 9.4 a 11.5 ± 10 %

PROPIEDADES MECANICAS

Módulo de Young (Mpa) 950 a 3200 ± 20 %

Densidad (Kg/m3) 1800

PROPIEDADES TERMICAS

Temperatura de fusión (ºC) 150 a 175 ± 5 %

Temperatura máxima de uso (ºC) 90 a 100

Algunos autores (Fuller et al, 1994; Gentry et al, 1997) han usado

secciones curvadas cilíndricamente de PVDF (28 µm) embebidas en


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espuma acústica de poliuretano parcialmente reticulada como

actuadores para el control del ruido reflejado/transmitido por ciertas

estructuras. El sistema combinaba la atenuación pasiva de la espuma

(efectiva a frecuencias altas) con el control activo que proporciona el

elemento PVDF cuando se excita con una entrada eléctrica apropiada

(efectivo a frecuencias bajas). El actuador PVDF se comportaba

linealmente y se diseñó para incrementar su eficiencia de radiación

sonora. El sistema se montaba recubriendo la superficie radiante

(coatings) por lo que es altamente recomendable en control del ruido

radiado estructuralmente. La curvatura del PVDF según un patrón

senoidal se hacía para incrementar la eficiencia del PVDF como

actuador (mayor superficie transductora).

Cuando se elige un material piezoeléctrico como sensor o actuador es

necesario tener en cuenta también otras propiedades, como la

densidad, la permisividad dieléctrica, la respuesta en frecuencia, la

efectividad y la eficiencia (ESTEC, 1995). El PVDF tiene una densidad

cuatro veces menor que el PZT, y es más blando, por lo que puede

pegarse directamente sobre la estructura, y experimentar mayores

deformaciones sin distorsión. La permisividad dieléctrica del PVDF es

del orden de 100 veces menor que la del PZT, por lo que su e31 es del

orden de 20 veces mayor. Como ya hemos dicho antes, el PVDF es

mucho más apropiado como sensor que el PZT. El PVDF tiene una

respuesta en frecuencias plana desde dc hasta el margen de los MHz

o GHz, dependiendo de su espesor. Cuanto más fino sea, más alta es

la frecuencia superior del margen de respuesta en frecuencia plana.

La efectividad de un material piezoeléctrico como actuador se define

como (ESTEC, 1995)


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( ) ( )Efectividad V dE t E tmax

b b c c

=+

31α

α /(6)

donde

Vmax es el máximo campo piezoeléctrico disponible (V/m)

d31 es el coeficiente de acoplamiento piezoeléctrico

α es el parámetro de equilibrio de la estructura

Eb es el módulo de Young de la estructura (N/m2)

Tb es el espesor de la estructura (m)

Ec es el módulo de Young del material piezoeléctrico (N/m2)

Tc es el espesor del material cerámico (m)

La efectividad representa la máxima cantidad de deformación que el

actuador puede transmitir a la estructura cuando se aplica el campo

eléctrico máximo a través de sus terminales. El término entre

paréntesis del lado derecho de la Ec. (6) representa la máxima

deformación que puede producir el piezoeléctrico. El término entre

corchetes expresa cuanta de esta deformación puede ser transmitida

a la estructura, y depende de las propiedades mecánicas del actuador

y de la estructura. Un actuador efectivo debe soportar un campo

eléctrico alto (Vmax alto) y debe tener un alto coeficiente de

acoplamiento (d31 alto). La efectividad aumenta también con el

cociente (Ectc/Ebtb). Por tanto, el actuador debe tener un módulo de

Young alto. La Tabla 5 muestra una comparación de la efectividad del

PVDF y PZT asumiendo que una estructura de aluminio con un

espesor 10 veces mayor que el del piezoeléctrico, el cual induce

ondas de flexión (α=6). Otra propiedad interesante es la efectividad

por unidad de campo, ya que permite comparar varios materiales

cuando se les aplica el mismo campo eléctrico. Como observamos en

esta Tabla, el PZT tiene una efectividad/campo, un módulo de Young


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y una temperatura de Curie mucho más altos que los del PVDF, por lo

que es mucho más apropiado como actuador.

Tabla 5. Propiedades del PZT y PVDF (Según ESTEC, 1995)

Material PZT G-1195 PVDF

Densidad (Kg/m2) 7500 1780

Tcurie (ºC) 360 100

Emax (V/m) 600 x 103 40 x 103

d31 (m/V) -190 x 10-12 23 x 10-12

g31 (V m/N) 0.01 0.216

Módulo de Young (N/m2) 63 x 109 3 x 109

εr 1200 12

k31 (%) 30-40 10-20

Efectividad 40 10-6 21 10-6

Efectividad/campo (m/V) 67 10-12 553 10-15

Sin embargo, el PZT tiene una serie de desventajas que hay que

valorar cuando se diseña un actuador para aplicaciones CAAE:

• Es más pesado, por lo que carga más la estructura.

• Es difícil de fabricar en láminas finas (<20 µm).

• Debe ser plano y pequeño.

• Más susceptible a envejecimiento.

• Tiene más histéresis.

• Sólo se usa para excitar ondas flexionales o longitudinales (no de

torsión).

Por esto, en muchas aplicaciones puede ser interesante el uso del

PVDF como actuador, a pesar de su menor efectividad. La Tabla 6

muestra las eficiencias mecánica y electromecánica del PZT y PVDF.


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Tabla 6. Eficiencias mecánica y electromecánica del PZT y PVDF (ESTEC, 1995)

Propiedad PZT PVDF

Eficiencia mecánica (d31xEp) 16.6 0.11

Eficiencia mecánica específica

(d31xEp)/ρ

221 x 10-5 6 x 10-5

Eficiencia electromecánica Eem

(Vmaxxd31xEp)

996 x 104 448 x 104

Eficiencia electromecánica específica

(Eem/ρ)

1330 2500

Como podemos observar, el PZT tiene una eficiencia mecánica mucho

mayor. Sin embargo, la eficiencia electromecánica específica (tiene en

cuenta la carga mecánica sobre la estructura) es más favorable al

PVDF.

En resumen, se puede concluir que el PZT es superior como actuador

de ondas de flexión sobre estructuras pesadas. Cuando la carga que

introduce el piezoeléctrico sobre la estructura es importante

(estructuras ligeras), o cuando el actuador deba adaptarse a una

estructura no plana, puede ser interesante el uso del PVDF como

actuador. Y desde luego, el PVDF es siempre superior como elemento

sensor.

El problema de la rigidez de los materiales cerámicos se puede

resolver diseñando materiales compuestos. Los materiales

compuestos se construyen dispersando polvo de un material

piezoeléctrico en un polímero sólido. Estos materiales compuestos

tienen una densidad mucho menor que la de las cerámicas clásicas.

Cuando el material base de estos compuestos es goma, se denominan


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piezorubbers. Tienen la ventaja de que son flexibles y se pueden

ajustar a superficies no planas. Es decir, son ideales como

recubrimientos activos sobre todo en el agua (su impedancia es más

próxima a la del agua). Se puede ajustar el voltaje de excitación de

estos materiales para producir reflexión cero (materiales anecoicos),

transmisión cero, o ambos (Lafleur et al, 1991).

x

z

Excitación en contrafase

Ondas flexionales

x

z

Excitación en fase

Ondas longitudinales

(a)

x

z(b)

x

z

Ondas flexionales

x

z

Ondas longitudinales

=

+

Figura 6. (a) Excitación de ondas flexionales o longitudinales con un actuador doble.

(b) Excitación de ambos tipos de ondas con un actuador simple


-24-

En aplicaciones CAAE es muy común usar actuadores constituidos por

un par de cerámicas PZT, una a cada lado de la estructura. Con un

par de cerámicas excitadas en fase es posible generar ondas

longitudinales puras (Figura 6a). Con un par de cerámicas excitadas

en contrafase es posible excitar ondas flexionales puras (Figura 6a).

Es posible usar el desfase entre ambas cerámicas para enfatizar un

tipo de onda, flexional o longitudinal. Sin embargo, con una sola

cerámica, se generan siempre ambos tipos de ondas (Figura 6b)

(Gibbs y Fuller, 1992).

Muchos autores han desarrollado modelos que describen el

comportamiento de un actuador PZT integrado en una estructura

vibrante. En las Secciones 4 y 5 los describiremos con más detalle.

Brennan et al (1997) presentaron un modelo ondulatorio para

investigar el acoplamiento dinámico entre un actuador simple o doble

y una estructura 1D (una barra). El actuador y la barra eran

separados en partes activa y pasiva, las cuales se modelizaban

separadamente, y después se conectaban mediante condiciones de

contorno adecuadas. La ventaja de este modelo es su simplicidad, ya

que solo requiere la modelización del comportamiento en la vecindad

del actuador. El modelo desarrollado permite incluir las características

pasivas del actuador (su masa y su rigidez). También permite analizar

separadamente las ondas longitudinales y de flexión generadas en la

barra. El análisis demostraba que la rigidez y la masa tienen muy

poco efecto en las ondas longitudinales y en las ondas flexionales en

baja frecuencia y con cerámicas finas. En alta frecuencia y con

cerámicas gruesas relativas al espesor de la estructura, es necesario

incluir los efectos pasivos. Se demostraba también que para un

voltaje dado, un actuador genera más potencia flexional que

longitudinal en baja frecuencia. Cuando la longitud del actuador es

mayor que 4/5 la longitud de onda flexional, se invierte esta


-25-

tendencia (se genera más potencia longitudinal que flexional). La

longitud óptima del actuador para generación de ondas flexionales es

media longitud de onda. Como las velocidades de propagación

longitudinal y flexional son distintas, es claro que no se puede

construir un actuador óptimo para controlar ambos tipos de onda.

Habrá que llegar a un compromiso. En resumen, para este tipo de

actuador, el tipo y amplitud de ondas generadas dependerá de la

frecuencia, de la longitud del actuador, de su espesor y del espesor

de la estructura.

2.2. Materiales electroestrictivos

La electroestricción es un término asociado a menudo a la

piezoelectricidad, aunque es un fenómeno distinto. Aunque ocurre en

todos los materiales dieléctricos, generalmente es muy débil y está

dominado por el efecto piezoeléctrico. Tanto la piezoelectricidad como

la electroestricción son efectos de acoplamiento electromecánico que

convierten energía eléctrica a energía mecánica, y viceversa,

reorientando los dipolos y deformando el material. Sin embargo, la

electroestricción es suficientemente grande como para producir un

acoplamiento electromecánico sólo en aquellos materiales que tienen

una constante dieléctrica alta. A diferencia de los materiales

piezoeléctricos, la deformación producida en materiales

electroestrictivos es proporcional al cuadrado del campo eléctrico

aplicado, Figura 7. Como vemos en esta Figura, en los materiales

electroestrictivos siempre se produce un alargamiento,

independientemente de la polaridad del campo.

El efecto electroestrictivo no suele ser lo suficientemente grande

como para poder ser explotado en dispositivos electromecánicos,

excepto en una familia conocida como relaxores ferroeléctricos, los


-26-

cuales poseen propiedades electroestrictivas comparables a las de los

piezoeléctricos. Los más conocidos son las cerámicas basadas en el

plomo, magnesio, y niobato (PMN). Aunque las constantes

electroestrictivas de los PMN son pequeñas, sus altos coeficientes

dieléctricos dan lugar a grandes deformaciones.

Figura 7. Curva campo eléctrico-deformación en un material electroestrictivo (Según

ESTEC, 1995)

Las cerámicas PMN producen deformaciones de hasta el 0.1 % sin

prácticamente ninguna histéresis. Otra ventaja adicional es que no

sufren apenas envejecimiento. Sus altos módulos elásticos dan lugar

a dispositivos con una gran rigidez, capaces de ejercer grandes

fuerzas deflectoras.

En resumen, frente a los materiales piezoeléctricos, los actuadores

electroestrictivos tienen las siguientes ventajas:

• Dan lugar a deformaciones iguales o superiores.


-27-

• Requieren voltajes de operación substancialmente menores.

• Tienen un consumo de potencia más bajo.

• Prácticamente no sufren de histéresis o envejecimiento.

Sin embargo, los materiales piezoeléctricos ofrecen los siguientes

beneficios:

• Son más baratos y su diseño es más simple.

• Requieren amplificadores de potencia menos potentes en alta

frecuencia. Esto es debido a que los materiales electroestrictivos

tienen una capacidad relativamente alta.

• Son menos sensibles a variaciones con la temperatura.

2.3. Materiales magnetoestrictivos

Los materiales magnetoestrictivos son sólidos cristalinos o amorfos

que se deforman cuando son sometidos a una campo magnético

externo. Los dominios magnéticos de estos materiales, distribuidos

aleatoriamente en su origen, se alinean con el campo magnético

aplicado, dando lugar a una deformación. Desde los años 50 se

conoce que compuestos de níquel exhibían esta propiedad, pero su

uso en dispositivos electromecánicos fue muy limitado, debido a que

producían muy poca deformación. Sin embargo, el descubrimiento de

unas aleaciones a base de terbio y hierro, capaces de producir

deformaciones del orden del 0.1 % ha renovado el interés por los

materiales magnetoestrictivos. El más conocido de estos materiales

es el Terfenol-D, una aleación a base de terbio, disprosio y hierro. El

Terfenol-D tiene las siguientes características:

• Tiene un factor de acoplamiento magnetomecánico relativamente

alto (hasta un 60%), un módulo de Young bajo (del orden de la


-28-

mitad de los piezoeléctricos), y es capaz de generar grandes

desplazamientos.

• Tiene una respuesta en frecuencia como la de la Figura 8. Puede

funcionar por debajo de la frecuencia de resonancia, en cuyo caso

proporciona un actuador con respuesta en frecuencia plana, o a la

frecuencia de resonancia, en cuyo caso produce mayores

deformaciones. La frecuencia de resonancia depende de la rigidez y

la masa del Terfenol-D (cuanto mayor la masa, más largo y más

fino, menor la frecuencia de resonancia).

Figura 8. Respuesta en frecuencia de un actuador de Terfenol-D (Según ESTEC, 1995)

• Sus propiedades magnetoestrictivas decaen linealmente con la

temperatura hasta una temperatura de Curie de 380 ºC.

• Sufre de histéresis.

• Su principal inconveniente es la necesidad de ser excitados con un

campo magnético, lo que da lugar generalmente a actuadores

voluminosos.

2.4. Aleaciones con memoria de forma


-29-

Una aleación con memoria de forma (AMF) es un material que tiende

a recuperar su forma original cuando se calienta. Si estiramos el

material, por ejemplo, y lo calentamos, cuando sobrepasa una cierta

temperatura, tenderá a recuperar su estado original, proporcionando

una tensión en la dirección longitudinal. Uno de los materiales AMF

con propiedades más espectaculares es una aleación de Níquel y

Titanio denominada Nitinol. Las AMF se pueden usar como actuadores

para el control activo de las vibraciones y del ruido estructural, y

como sensores (Rogers, 1990). Además, se pueden embeber fibras o

películas de estos materiales en estructuras para formar compuestos

híbridos con efecto memoria de forma. Para construir compuestos

híbridos con AMF para el CAAE se puede usar la técnica denominada

sintonización activa de la energía de deformación (ASET). Esta técnica

consiste en sintonizar o modificar la respuesta modal de la estructura

(barras o placas) simplemente calentando las fibras AMF embebidas o

pegadas a la estructura, de tal modo que cambie la rigidez de toda la

estructura. El Nitinol es capaz de cambiar el módulo de Young de la

estructura por un factor 4 y la yield stress por un factor 10 (Figura 9).

Estos cambios del material ocurren simplemente por un cambio de

fase (cuando se supera una cierta temperatura en la AMF) y no da

lugar a ninguna fuerza apreciable. Es decir, cuando se activan los

fibras de AMF, se coloca la estructura en un estado de deformación

residual, sin originar deflexiones en la misma. La energía de

deformación almacenada resultante cambia el balance de energía de

la estructura y modifica su respuesta modal. La fase de baja

temperatura, donde se da a la AMF la forma que después ha de

recordar, se denomina condición blanda o estado martensita. La fase

de alta temperatura, donde la AMF recupera su forma original, se

denomina condición dura o estado austensita. La temperatura de

paso de un estado a otro se denomina de transición. La temperatura


-30-

de transición del material se puede controlar. El calentamiento para

pasar de un estado a otro se suele hacer eléctricamente.

Figura 9. Características típicas del Nitinol (Según ESTEC, 1995)

Ya que el módulo de elasticidad cambia de una fase a otra, cambian

también el amortiguamiento y los modos de vibración de la

estructura. Por tanto se pueden usar también como recubrimientos

pasivos.

Las características de las AMF se pueden resumir en (ESTEC, 1995):

• Dan lugar a actuadores de banda estrecha (anchos de banda de 20

Hz como máximo).


-31-

• Debido a que experimentan grandes pérdidas térmicas, requieren

substancialmente más energía que los otros materiales para ser

activados.

• Sufren de histéresis.

• Se suelen usar embebidos en la estructura. Las tensiones que

originan se concentran en la interfaz entre ambos, lo que puede

tener un efecto indeseable en la integridad y en la fatiga de la

estructura.

La Tabla 7 resume las características fundamentales de diferentes

materiales piezoeléctricos (PZT), electroestrictivos (PMN),

magnetoestrictivos (Terfenol-D), y AMF (Nitinol).

Tabla 7. Comparación de algunas características de actuadores (Según ESTEC, 1995)

Parámetro PZT PMN:BA Terfenol-D Nitinol

Deformación

(%)

0.03 0.08 0.18 4-8

Histéresis

(%)

10-18 <1 2 >50

Ancho de

banda

MHz MHz 10-20 kHz 1-20 Hz

TCurie 360 ºC 380 ºC 380 ºC -200 a 150

ºC

(Ttransición)

Módulo de

Young (N/m2)

65 x 109 120 x 109 2.5-3.5 x

1010

70 x 1012

Emax (V/m) 2000 Depende del

diseño

Disponibilidad pastillas,

discos,..

pastillas,

discos,..

hilos hilos, tiras,

hojas, ..


-32-

2.5. Fluidos electroreológicos

Los fluidos electroreológicos (FER) son suspensiones que

experimentan cambios reológicos de primer orden cuando son

sometidos a un campo eléctrico. El FER más usado consiste en un tipo

de aceite dieléctrico dopado con partículas semiconductoras. Cuando

se somete a un campo eléctrico suficientemente intenso, estas

partículas se encadenan en dirección transversal a los electrodos,

dando lugar a un cambio aparente en la viscosidad (o resistencia al

flujo) del fluido. Su aplicación más inmediata en sistemas CAAE es

suspensiones semi-activas o como soporte activo (Hansen y Snyder,

1997). Un aspecto importante de este tipo de actuadores es su

tiempo de respuesta (varios ms), lo que restringe mucho su uso. Otro

inconveniente es que requieren voltajes de 2 a 10 kV.

Wicker et al (1997) usaban la gran variación de las propiedades

viscoelásticas de los FER para diseñar absorbentes eléctricamente

controlables para aplicaciones submarinas. Gulden et al (1995)

combinaban las propiedades de los FER con las de un elastómero

blando para construir un material elastomérico electro-activo que

puede ser usado como un recubrimiento activo-pasivo para control de

señales hidroacústicas con escalas de tiempos de milisegundos (por

ejemplo el ruido de flujo).

3. MECANISMOS DE CONTROL

Fuller et al (1991) hacían una comparación experimental entre el

control CAR y CAAE del ruido radiado por un panel fino. En ambos

casos, el panel era excitado a una frecuencia pura, que podía ser una

frecuencia propia del panel o una frecuencia intermedia entre modos


-33-

(vibración forzada). En CAR, se trataba de cancelar el ruido radiado

usando altavoces próximos al panel vibrante. En CAAE, se usan 1-3

actuadores (vibradores) sobre el propio panel. Este trabajo ponía más

énfasis en la parte acústica que en la parte electrónica. De hecho, la

cancelación se hacía manualmente, ajustando las amplitudes y las

fases de las fuentes de control para máxima cancelación en los

sensores de error (un micrófono formando un determinado ángulo

con el eje acústico del panel). Se trataba de un panel de acero, Figura

10, de (380 mm x 300 mm x 2 mm), excitado con un vibrador.

L = 380 mmx

x

y

L = 300 mmy

+ + -+- + - +

(1,1) (2,1) (1,2) (3,1)

Figura 10. Placa sobre la que aplicaban CAAE Fuller et al (1991)

Las medidas se hicieron en la cámara anecoica de la Universidad de

Adelaida (Australia). Se aplicaba este control manual cuando el panel

era excitado a frecuencias puras. La Figura 11 muestra el esquema de

las disposición de fuentes primaria y secundarias, y de los sensores

de error, a la frecuencia correspondiente al modo (1,1), 87 Hz. La

Figura 12 muestra los diagramas polares de radiación del panel bajo

control CAAE (arriba) y CAR (abajo). Observamos como con un solo

actuador es posible conseguir una cancelación mayor que con tres


-34-

altavoces. En el caso CAR, puede incluso existir refuerzo en el plano

del panel.

Fuente primaria en el centro del panel

Fuente secundaria a (190 mm, 220 mm)

Micrófono de error a 135 º (resultados

Modo (1,1)

+

f= 87 Hz

CAAE

Fuente primaria en el centro del panel

Micrófono de error a 90º

CAR

Fuentes secundarias ( a 200 mm del pan

- 1 centrada- 3 a x=95 , 190, y 285 mm

Figura 11. Disposición de sensores y actuadores para la frecuencia del modo (1,1)

Simultáneamente, es posible realizar medidas de vibraciones

mediante acelerómetros, y a partir de éstas, calcular las amplitudes y

fases de los modos de la placa (ya veremos más adelante cómo), en

condiciones originales y bajo control CAAE o CAR. La Figura 13

muestra estos resultados. Como observamos en la Figura 13, la

amplitud del modo (1,1) de los campos primario y secundario es

prácticamente la misma, con un cambio de fase de 180º. Por tanto,

bajo excitación modal, el CAAE cancela el modo dominante generando


-35-

una vibración de igual amplitud y fase contraria. Esto indica que la

introducción de la fuerza secundaria cambia la impedancia total de

entrada que el panel presenta a la fuente primaria.

Figura 12. Diagramas polares de radiación cuando se excita la placa a la frecuencia

del modo (1,1). Arriba: (-.-) Primario, (---) Secundario, (__) CAAE. Abajo: (-.-)

Primario, (---) Secundario, (…) CAR con una fuente, (___) CAR con tres fuentes (Según

Fuller et al, 1991)

La correspondiente descomposición modal del caso CAR (Figura 13,

abajo) muestra una pequeña reducción de todos los modos. Esto

sugiere que el mecanismo de control en este caso es la “descarga” de

la impedancia de radiación del panel. Esta descarga tiene un efecto

en la reducción del campo acústico, pero un efecto muy ligero en el


-36-

patrón de vibración del panel, donde las amplitudes y fases modales

antes y después del CAR tienen valores muy similares.

80

60

40

20

0

180

90

0

-90

-180

(1,1)(2,1)(1,2)(2,2)(3,1)(3,2)(1,3)(4,1)(2,2)(4,2

Fase relativa (º)

Amplitud relativa (dB)

80

60

40

20

0

180

90

0

-90

-180

(1,1)(2,1)(1,2)(2,2)(3,1)(3,2)(1,3)(4,1)(2,2)(4,2

Fase relativa (º)



-37-

Figura 13. Amplitudes y fases modales cuando se excita la placa a la frecuencia del

modo (1,1). Arriba: ! Primario, ! Secundario, ! CAAE. Abajo: ! Primario, !

Secundario, ! CAR (Según Fuller et al, 1991)

Estos autores hicieron medidas similares cuando el panel era excitado

a una frecuencia de vibración de 338 Hz, intermedia entre los modos

(2,2) y (3,1) (vibración forzada). La Figura 14 muestra la posición de

los sensores y actuadores bajo control CAAE y CAR.

Fuente primaria en el centro del pa

Fuente secundaria a (190 mm, 220 mm

Micrófono de error a 90º y a 45º

f= 338 Hz

CAAE

Fuente primaria en el centro del pa

Micrófono de error a 90º

CAR

Fuente secundaria centrada ( a 200

Vibración

forzada

Figura 14. Disposición de sensores y actuadores para la frecuencia de 338 Hz


-38-

La Figura 15 muestra los diagramas de radiación polar del panel en

condiciones originales y bajo control CAAE y CAR. Nótese como

debido a la mayor complejidad espacial de la radiación de la placa

(lóbulos) con un sólo altavoz es difícil conseguir cancelación CAR,

excepto en el eje acústico de la placa. Sin embargo, todavía es

posible conseguir cancelación CAAE con un solo actuador.

Observamos también la importancia que tiene la posición del

micrófono de error en radiación multimodal. Se obtiene mayor

cancelación con el micrófono a 90º que a 45º.

Figura 15. Diagramas polares de radiación cuando se excita la placa en vibración

forzada a la frecuencia de 338 Hz. Arriba: (-.-) Primario, (---) Secundario, (..) CAAE

con el micrófono a 90º, (__) CAAE con el micrófono a 45º. Abajo: (-.-) Primario, (---)

Secundario, (___) CAR (Según Fuller et al, 1991)


-39-

La Figura 16 muestra las amplitudes y fases modales, antes y

después de aplicar el CAAE, con el micrófono a 45º. En esta posición

del micrófono se captan los modos (1,1), (1,2) y (2,2), con una

pequeña influencia del modo (3,1).

80

60

40

20

0

180

90

0

-90

-180

(1,1)(2,1)(1,2)(2,2)(3,1)(3,2)(1,3)(4,1)(2,2)(4,2

Fase relativa (º)


Figura 16. Amplitudes y fases modales cuando se excita la placa en vibración forzada a

la frecuencia de 338 Hz, con el micrófono a 45º. Arriba: ! Primario, ! Secundario, !

CAAE. Abajo: ! Primario, ! Secundario, ! CAR (Según Fuller et al, 1991)

La Figura 16 revela que cuando el panel es excitado en vibración

forzada, el controlador cambia la impedancia de entrada de los modos

que contribuyen a la radiación de sonido en el micrófono, reduciendo

así sus amplitudes. En lugar de cancelar un modo dominante, como

en el caso de excitación a una frecuencia modal, el controlador


-40-

efectúa una reestructuración modal, de tal modo que la radiación

total se reduce.

Del análisis de estos resultados se obtenían conclusiones muy

interesantes:

• En CAR, el mecanismo de cancelación consistía en descargar la

fuente (reducir la impedancia de radiación).

• En CAAE, parecía haber dos mecanismos de cancelación: supresión

modal (incremento de la impedancia de entrada vista por el panel),

que predominaba a las frecuencias propias del panel, y

reestructuración modal (modificación de las fases relativas de los

modos), que predominaba en vibración forzada.

• En cualquier caso, la cancelación CAAE siempre era superior a la

cancelación CAR.

Hansen y Snyder (1991) presentaron un trabajo similar sobre la

comparación de control CAR y CAAE cuando el ruido es de origen

estructural. El mecanismo de cancelación CAR era la reducción de la

impedancia de radiación “vista” por la fuente de ruido (“descarga”

acústica de la fuente). En algunos casos, donde no se actuaba sobre

la impedancia de radiación, se podían conseguir zonas de cancelación

activa local a costa de zonas de refuerzo.

En control CAAE se encontraban dos mecanismos de cancelación:

• Control modal, o reducción de las amplitudes modales.

• Reestructuración modal, o alteración de las amplitudes y fases

modales.


-41-

La importancia relativa de un mecanismo u otro dependía de varios

parámetros del sistema geométrico y acústico/estructural.

4. CAAE EN BARRAS. MODELO 1D

A lo largo de este trabajo traducimos el término inglés beam como

barra (viga). Se trata en realidad de una estructura en la que las

dimensiones transversales son menores que la décima parte de la

longitud de onda a la frecuencia de interés (Hansen y Snyder, 1997).

En otras palabras, una barra es una estructura 1D.

En una barra de sección rectangular pueden coexistir tres tipos de

ondas (Hansen y Snyder, 1997; Fuller et al, 1996):

• Ondas longitudinales, compresionales, extensionales o axiales, que

se propagan en la dirección del eje de la barra, Figura 17a.

• Ondas flexionales o transversales, en la dirección perpendicular a la

barra, Figura 17b.

• Ondas torsionales o de cizalla, que se propagan alrededor del eje

longitudinal de la barra.

Desde el punto de vista del CAAE las ondas de interés son las

flexionales, puesto que son las que dan lugar a radiación estructural.

(a)Ondas longitudinales (b) Ondas flexionales

Figura 17. Ondas longitudinales y flexionales en una barra


-42-

La ecuación para las ondas flexionales en una barra, también

conocida como ecuación de Euler-Bernouilli, es (Fuller et al, 1996)

EIw

xS

wt

q x∂∂

ρ∂∂

4

4

2

2+ = − ( ) (7)

donde

E es el módulo de Young del material

I bh= 3 12/ es el momento de inercia de la barra

b es la anchura de la barra

h es el espesor de la barra

ρ es la densidad del material

S=bh es la sección transversal de la barra

w es la desplazamiento en la dirección transversal de la

barra,y

q(x) es una carga externa aplicada (fuerza por unidad de

longitud)

La ecuación para el número de onda de las ondas flexionales (Fuller

et al, 1996)

kc

SEIf

f= =ω ρ ω2

4 (8)

demuestra que éstas son dispersivas (su velocidad depende de la

frecuencia). Las ondas flexionales son más lentas que las

longitudinales, lo que puede tener implicaciones importantes en

aplicaciones CAAE (Figura 18).


-43-

La solución de la Ec. (7) para una barra infinita y una fuerza puntual

aplicada en x=0 es elemental. En este caso q(x)=Fδ(x) y la

transformada de Fourier w(x)→W(k) proporciona

( )W kF

EI k k f

( ) =−4 4

(9a)

Figura 18. Dependencia de los números de onda flexional y longitudinal con la

frecuencia

Para obtener la solución en x se toma la transformada inversa de la

Ec. (9a) y se aplica el método de los residuos en los polos (Fuller et

al, 1996) obteniéndose para x>0

( )w xjF

EIke je

f

jk x k xf f( ) =−

−− −

4 3 (9b)

que contiene una onda propagante y una onda evanescente.


-44-

Para barras finitas es necesario imponer condiciones de contorno en

los extremos de la barra. La Tabla 8 presenta un resumen de las

condiciones en los extremos más usuales. La condición de contorno

que da lugar a la solución más sencilla es la de soporte simple, y es la

que más se usa en las publicaciones sobre CAAE en barras (Clark et

al, 1991; Clark y Fuller, 1992d; Wang, 1996; Li et al, 1997;

Cunefare, 1991).

Tabla 8. Condiciones de contorno para las ondas flexionales en una barra

Esquema Explicación Condiciones

de contorno

Soporte simple: el extremo

puede rotar pero tiene

desplazamiento y momento

cero

w x( ) = 0

∂∂

2

2 0w

x=

Desplazamiento y rotación

cero

w x( ) = 0

∂∂

wx= 0

No hay fuerza de cizalla ni

momento de flexión

∂∂

2

2 0w

x=

∂∂

3

3 0w

x=

Terminación general Es necesario conocer las

impedancias de flexión, Zxt , y

de cizalla, Z ft , en los

extremos

ZM x

xxt x=

( )"( )θ

ZT xw xf

t f=( )

" ( )

La solución para la vibración vertical de una barra de longitud L

simplemente soportada en ambos extremos es (Fuller et al, 1996)


-45-

w x t W en nj t

n

n( , ) ==

∞

∑ ψ ω

1(10a)

donde

ωπ

n

nL

EIm

=

2

'(10b)

son las frecuencias propias de vibración de la barra, m’ es la masa

por unidad de longitud, Wn son las amplitudes modales que dependen

de las fuerzas aplicadas, y

( )ψπ

n nsin k x sinn x

L= =

(10c)

son los modos propios de la barra.

Consideremos ahora la barra sometida a una fuerza armónica

f x t F x e j t( , ) ( )= ω . La ecuación diferencial en el dominio frecuencial para

el desplazamiento vertical es ahora

d wdx

k w xF xEIf

4

44− =( )

( )(11)

cuya solución es (Fuller et al, 1996)

w x W sin k xn nn

( ) ( )==

∞

∑1

(12a)

con

( ) ( )WEIL k k

F x sin k x dxnn f

n

L

=− ∫

24 4

0

( ) (12b)

La Ec. (12b) demuestra que las amplitudes modales dependen del

desarrollo en serie de la fuerza aplicada en la base de funciones


-46-

propias. La ortogonalidad de los modos propios puede ser usada para

excitar la barra a la frecuencia de un modo puro. Si F x sin k xm( ) ( )= , es

obvio que sólo el modo m-ésimo tendrá una contribución a la integral

de la Ec. (12b).

Analicemos tres casos particulares. Si la fuerza aplicada es constante,

es decir, F x F( ) = , entonces

( ) ,..5,3,1,444 =

−= n

kkEInFW

fnn π

(12c)

Una barra simplemente soportada sometida a una fuerza externa

uniforme responde sólo en los modos simétricos n=1,3,5,.. Esto es

lógico, ya que los modos antisimétricos, n=2,4,6,.. darán lugar a una

integral cero en la Ec. (12b). Una propiedad interesante de la Ec.

(12c) es que la amplitud modal decrece con el orden modal (o con la

frecuencia).

Otro caso interesante es el de una fuerza puntual, F x F xi( ) ( )= δ . En

este caso

( )( )W

Fsin k x

EIL k knn i

n f

=−

24 4

(12d)

La respuesta en frecuencias de una barra simplemente soportada en

sus extremos, y excitada mediante una fuerza externa puntual puede

obtenerse combinando las Ecs. (12a) y (12d). Se obtiene

( ) ( )( )w x

FEIL

sin k x sin k x

k kn n i

n fn( ) =

−=

∞

∑24 4

1(13a)


-47-

La Ec. (13a) demuestra la importancia de la posición de la fuerza

puntual. De hecho, cuando la fuerza está localizada en la línea nodal

de un modo es incapaz de excitarlo. Teniendo en cuenta que

k m EIn n4 2= ' /ω , y k m EIf

4 2= ' /ω , podemos poner esta ecuación como

( ) ( )( )w x F

Msin k x sin k xn n i

nn

( , )ωω ω

= −−=

∞

∑22 2

1(13b)

donde M=m’L es la masa total de la barra. Vemos que cuando kn=kf,

o cuando ω=ωn, la respuesta en frecuencias de la barra tiende a

infinito. Para evitar estas singularidades es necesario introducir en la

formulación el amortiguamiento de la barra, considerando un módulo

de Young complejo, ( )E E j'= +1 η , donde η es el factor de pérdidas de

la barra. La Figura 19 muestra la respuesta en frecuencias de una

barra de L=0.38 m, EI=5.329 Nm2, m’=0.6265 Kgm-1, xi=0.1L, y

η=0.001, obtenida mediante la Ec. (13b), junto con las formas de los

tres primeros modos.

Figura 19. Respuesta en frecuencia de una barra con soportes simples (Según

Fuller et al, 1996)


-48-

De nuevo encontramos que la amplitud modal decrece cuando se

incrementa el orden modal. Estas estructuras 1D actuan como un

filtro paso bajo en términos de su respuesta modal.

El tercer caso que analizaremos, muy intersante en CAAE, es la

excitación de la barra mediante una cerámica rectangular de un

material piezoeléctrico. Clark et al (1991) consideraban un actuador

como el de la Figura 20, constituido por dos cerámicas excitadas en

contrafase, perfectamente pegadas sobre una barra.

x1

x 2

b b bpe

tbtpe

Figura 20. Barra simplemente soportada excitada con un par de cerámicas en

contrafase

Despreciando las características pasivas del actuador (masa y rigidez)

en el modelo acoplado barra-cerámicas, encontraron los siguientes

valores para las frecuencias y amplitudes modales

( ) ( )'12

14

432

mLnbtjE bbb

nπηω += (14a)

y ( )

−

−=

Lxn

Lxn

bmLtbndVC

Wbpen

pen

12222

310 coscos'

2 ππωω

π(14b)


-49-

donde

(x1,x2) son las coordenadas de los bordes del actuador

tb es el espesor de la barra

tpe es el espesor del piezoeléctrico

bb es la anchura de la barra

bpe es la anchura de la cerámica

V es el voltaje aplicado a la cerámica

d31 es el coeficiente de deformación piezoeléctrica

L es la longitud de la barra

m’ es la masa por unidad de longitud de la barra, y

)1(6

2

0 PPtE

C bb

−−= (14c)

+++

−= 233 6)8()(6

pebpeb

pebbpe

b

pe

bbbbbbbb

EE

P (14d)

con

Epe el módulo de Young del piezoeléctrico, y

Eb el módulo de Young de la barra

Como vemos, las amplitudes modales dependen del voltaje aplicado,

de las dimensiones y características mecánicas de la barra, de las

dimensiones y posición del par de cerámicas, y de las características

electro-mecánicas del material piezoeléctrico.

En aplicaciones CAAE puede ser necesario usar más de un actuador

como los de la Figura 20. En este caso se puede aplicar el principio de

superposición para calcular las amplitudes modales. En concreto,


-50-

asumiendo Na actuadores excitados cada uno de ellos con un voltaje

V Vekj k= φ , se obtiene (Clark et al, 1991)

( )WC Vd n b

t L m be

n xL

n xLn

pe

n pe b

j k k

k

Nk

a

=−

−

=

∑2 0 31

2 2 22 1

1

πω ω

π πφ

' 'cos cos (14e)

La Figura 21 muestra la importancia del desfase entre los diferentes

actuadores. Se representan las aceleraciones modales de una barra

de 38 cm, de acero de 2 mm de espesor y 4 cm de ancha, excitada

con dos actuadores cerámicos dobles de PZT G1195 de dimensiones

(38.1x15.8x0.2) mm, situado su borde izquierdo a 76 mm y 266 mm

del extremo izquierdo de la barra. Dependiendo de que el desfase sea

0º o 180º excitamos el tercer o el segundo modo, respectivamente.


-51-

Figura 21. Amplitudes modales de una barra de acero excitada con dos actuadores

cerámicos con un desfase de 180 º (arriba) o 0º (abajo) (Según Fuller et al, 1996)

Una vez conocido como vibra una barra simplemente soportada

sujeta a una excitación externa, es necesario calcular como radia

sonido al fluido circundante. La propagación del sonido está regida

por la ecuación de ondas. La ecuación de ondas en el dominio de la

frecuencia es la ecuación de Helmholtz. Una forma de solucionar la

ecuación de Helmholtz inhomogénea es el método de la función de

Green. La función de Green satisface la ecuación de Helmholtz

monopolar. El método de la función de Green permite calcular la

presión acústica en cualquier punto del espacio conocidas la

distribución de fuentes, la presión acústica y su gradiente en una

superficie de contorno, y la función de Green y su gradiente en la

misma superficie. Cuando se elige como función de Green la del

espacio libre

Ge

s

jk

s

s

( , )r rr r

r r

=−

− −

4π (15)


-52-

donde r es el vector de posición de un punto cualquiera del espacio, y

rs es un vector de posición sobre las fuentes, el método de la función

de Green da lugar a la integral de Kirchhoff-Helmholtz. Cuando las

fuentes están en un plano infinito, la integral de Kirchhoff-Helmholtz

se convierte en la integral de Rayleigh (Hansen y Snyder, 1997)

Pj

we

dSjk

sS

s

( , ) "rr r

r r

ωωρπ

=−

− −

∫0

2(16)

donde ρ0 es la densidad del medio acústico y "w es la velocidad

vertical. Esta ecuación permite calcular el campo acústico en

cualquier punto del semi-espacio, conocida la velocidad en la

dirección vertical a la superficie que vibra. Para una barra que vibra

armónicamente, wjw ω=" . De las Ecs. (12) y (16), la presión acústica

radiada por la barra es entonces

P e W sin n xL dS

jk

sSnn

s

( , )rr r

r rω

ω ρπ

π= −−

∫

∑

− −

=

∞2 012 (17)

Para una geometría como la de la Figura 22


-53-

x

y

z

Φ

θ r

rs

L

bb

Figura 22. Geometría para la integral de Rayleigh de una barra simplemente soportada

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )dxdy

zyyxx

eL

xnsinWPbb L

sss

szsyysxxjk

nn ∫ ∫∑

+−+−

−=

+−+−−∞

= 0 0222

222

1

02

2),( π

πρωωr (18)

La integral de la Ec. (18) tiene solución analítica para una barra

simplemente soportada en un bafle infinito (Cunefare, 1991; Wang,

1996). La solución es finalmente

P r W qn nn

( , , , )θ ωΦ ==

∞

∑1

(19a)

con

( )q j

cb k er

en

en

b

n

jkr n j j

= −− −−

−

− − −

ωρπ α α π β

α β0

221 11

1( )/

(19b)

α πn n L= / (19c)

α θ= kLsin cosΦ (19d)


-54-

y

β θ= kb sin sinb Φ (19e)

y Wn depende de las fuerzas externas aplicadas, Ec. (12b).

La potencia total radiada por una fuente acústica se define como

Π Φp tS

tcp dS

rc

p sin d d= =∫ ∫∫1

2 20

22

0

2

0

2

0

2

ρ ρθ θ

ππ /

(20)

donde S es una semi-esfera conteniendo a la fuente. Una estrategia

CAAE, similar a la usada en CAR en recintos, es minimizar la suma de

las presiones al cuadrado medidas en una serie de micrófonos, Nm.

Cuanto mayor es Nm, más se aproxima esta función de coste a la

potencia total radiada por la fuente. Es decir, se trataría de minimizar

la función de coste

# ( , , )Π Φp t m m mm

N

p rm

==∑ θ 2

1(21a)

con

( )p r W W q rt m m mp

ns

n m m mn

n( , , ) ( , , )θ θΦ Φ= +

=

∞

∑1

(21b)

siendo Wnp y Wn

s las amplitudes del modo n-ésimo debido a las fuerzas

primaria y secundaria, respectivamente. Por ejemplo, para una fuente

primaria aplicada en xi (proporcionada por un vibrador, por ejemplo)

y una fuente secundaria proporcionada por un actuador cerámico

doble entre las coordenadas x1 y x2, Wnp y Wn

s vendrían definidos por

las Ecs. (12d) y (14b), respectivamente. En la práctica es necesario

truncar la serie de la Ec. (21b) convenientemente. Afortunadamente,


-55-

en aplicaciones CAAE el número de modos que es necesario

considerar es muy bajo.

Existe un método matricial más elegante de analizar la radiación

acústica de un sistema estructural. De acuerdo con Johnson y Elliott

(1995) descompongamos el radiador en una serie de radiadores

elementales, cada uno de ellos de superficie Si vibrando con una

velocidad armónica normal a la superficie vi , Figura 23.

x

y

z

L

bb

Pi

vi

Si

Figura 23. Geometría para el cálculo de los modos radiantes de una barra simplemente

soportada

Si en una posición determinada del campo acústico, este radiador

elemental produce una presión acústica Pi, la potencia acústica

radiada será

( )Πii

i iS v P= ℜ2

* (22a)


-56-

donde ℜ denota parte real. La potencia neta radiada por el conjunto

de radiadores elementales será

( )Π pi HS= ℜ2 v P (22b)

donde v será un vector (dx1) siendo d el número de

radiadores, y

P será otro vector (dx1)

y H denota conjugada hermítica (traspuesta conjugada compleja).

Pero la presión acústica y la velocidad normal de vibración de la

superficie radiante están relacionadas a través de la impedancia

acústica específica, Z

P Zv= (23)

Combinando las Ecs. (22b) y (23), obtenemos

Π p H= v Rv (24)

donde

( )R Z= ℜSi2 (25)

es una matriz puramente real, simétrica y definida positiva, ya que la

potencia es siempre mayor que cero con tal de que la velocidad de

vibración sea distinta de cero. La matriz R es proporcional a la

resistencia de radiación de cada uno de los radiadores elementales.


-57-

Los elementos diagonales son proporcionales a las auto-resistencias

de radiación de cada uno de los radiadores elementales, y los

elementos no diagonales son proporcionales a las resistencias de

radiación mutuas entre cada par de radiadores elementales.

Ambas formulaciones pueden ser conectadas sustituyendo en la Ec.

(24) la descomposición del campo de velocidad en la estructura

radiante en términos de sus modos normales

v a=Φ (26)

donde ΦΦΦΦ sería una matriz cuyos elementos dependen exclusivamente

de las formas modales, y a sería un vector de amplitudes modales

complejas. Sustituyendo la Ec. (26) en la Ec. (24)

Π p H= a Ma (27)

donde M R=Φ ΦH es una matriz de resistencias de radiación

modales. La Ec. (27) permite analizar la potencia acústica radiada en

términos del vector de las amplitudes modales y de la matriz de las

resistencias de radiación modales. Es importante enfatizar que la

matriz M (y la R) son matrices cuyos elementos fuera de la diagonal

son distintos de cero. Esto quiere decir que a la potencia radiada a

una determinada frecuencia (por ejemplo, a una frecuencia propia de

la estructura) contribuyen todos los modos. Desde el punto de vista

del CAAE, esto implica que la reducción de un modo estructural no

acarrea necesariamente la reducción de la potencia acústica radiada a

la frecuencia de ese modo.


-58-

Pero ya que la matriz R es real, simétrica y definida positiva, puede

descomponerse en una serie de valores y vectores propios

(descomposición en valores singulares)

R Q Q= HΛ (28)

donde Q es una matriz real y unitaria de vectores propios

ortogonales, y ΛΛΛΛ es una matriz diagonal de valores propios, λ i, los

cuales son todos números reales positivos. Sustituyendo la Ec. (24)

en la Ec. (22)

∑=

=Λ=Πd

iii

Hp y

1

2 λyy (29)

donde y Qv= . Cada uno de los términos de esta suma se denomina

un modo radiante. La potencia acústica radiada por la estructura se

obtiene sumando el producto de las amplitudes al cuadrado de los

modos radiantes por su correspondiente valor propio. Ya que los

modos radiantes radian independientemente uno de otro, una

estrategia CAAE muy interesante sería actuar sobre los modos

radiantes. A diferencia de los modos estructurales, la reducción de un

modo radiante garantiza la reducción de la potencia total radiada a

esa frecuencia. Para poder aplicar esta estrategia, sería necesario

desarrollar sensores capaces de medir los modos radiantes.

Las formas de los modos radiantes dependen de los vectores propios

de R, y aunque esta es una función de la geometría de la estructura,

es independiente de sus propiedades dinámicas. Así pues, el

contenido modal estructural de la superficie vibrante afectará a las

amplitudes de los modos radiantes, pero no a su forma modal o a su

eficiencia de radiación.


-59-

Para el caso de una barra de longitud L, dividida en una serie de I

radiadores elementales, la matriz R de resistencias de radiación

resulta ser (Elliott y Johnson, 1993)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

R =

ω ρπ

2 2

1212

11

2121

22

11

22

4

1

1

1

Sc

sin krkr

sin krkr

sin krkr

sin krkr

sin krkr

sin krkr

II

II

II

II

...

...... ... ... ...

...

(30)

donde rij es la distancia entre los elementos i y j de la barra. Como

vemos, la matriz R es simétrica (Rij=Rji). Se define la eficiencia de

radiación como

σρ

=Π p

TcS v t2( )(31)

donde ST es la superficie total del radiador y v t2( ) es la velocidad

normal cuadrática media promediada espacialmente. Cuando la

potencia acústica radiada está dominada por un modo estructural (a

una frecuencia de resonancia de la estructura) , Πii i iia M= 2, la

velocidad cuadrática media promediada espacialmente es ai2 2/ , y

σ ρiiiiT

McS= 2

(32)


-60-

Podemos entonces definir una matriz normalizada

Σ = 2ρcST

M (33)

cuyos elementos diagonales (σii) son las eficiencias de radiación de

cada modo actuando aisladamente (auto-eficiencias de radiación), y

cuyos elementos no diagonales (σij) son las eficiencias de radiación

mutua normalizadas. La Figura 24 muestra las auto-eficiencias de

radiación del primer (σ11), segundo (σ22) y tercer modo estructural

(σ33) de una barra simplemente soportada con (bb/L)=1/64, y la

eficiencia de radiación mutua (σ31=σ13) entre el primer y el tercer

modo estructural.

Nótese que en una barra simplemente soportada, como señalaba

Cunefare (1991), no hay interacción entre los modos pares e

impares, por lo que las correspondientes eficiencias de radiación

mutua (por ejemplo σ12) serán cero. Las eficiencias de radiación de

los modos radiantes son proporcionales a los valores propios de la

matriz R. La Figura 25 muestra las eficiencias de radiación de los tres

primeros modos radiantes de la misma barra simplemente soportada

usada en la Figura 24.


-61-

Figura 24. Eficiencias de auto-radiación y de radiación mutua de los tres primeros

modos de una barra simplemente soportada, para (bb/L)=1/64 (Según Elliott y Elliott,

1993)

Figura 25. Eficiencias de radiación de los tres primeros modos radiantes de una barra

simplemente soportada, para (bb/L)=1/64 (Según Elliott y Johnson, 1993)

La Figura 26 muestra las formas modales de los cuatro primeros

modos radiantes de una barra simplemente soportada para

frecuencias de excitación dadas por kL = 0.1, 1 y 10. Vemos como

para kL≤1, las formas de estos modos radiantes corresponden a los

de un pistón (primero), una variación de velocidad lineal (segundo),

cuadrática (tercero) y cúbica (cuarto). De hecho, para kL pequeño,

estas formas modales son muy similares a las de los polinomios

ortogonales de Legendre.


-62-

Figura 26. Formas modales de los cuatro primeros modos radiantes de una barra

simplemente soportada, para kL=0.1 (arriba), kL=1 (centro), y kL=10 (abajo) (Según

Elliott y Johnson, 1993)


-63-

De la Figura 25 es claro que el primer modo radiante tiene una

eficiencia mayor que la del resto de modos radiantes. Como podemos

apreciar en la Figura 26, el primer modo es constante a lo largo de la

barra. Por consiguiente, se trata de un modo volumétrico,

proporcional a la velocidad de volumen de la superficie radiante. Es

decir, un sistema CAAE capaz de medir y controlar la velocidad de

volumen de la superficie radiante sería efectivo para cancelar el

primer modo radiante de la estructura, y por consiguiente, gran parte

de la potencia acústica radiada en baja frecuencia (Johnson et al,

1993).

El CAV o el CAAE requieren la medida de modos, ya sean

estructurales en el primer caso, o radiantes en el segundo, para su

posterior control mediante los actuadores correspondientes. Las

formas modales se pueden medir mediante arrays de sensores

puntuales (por ejemplo, acelerómetros) o mediante sensores

distribuidos (por ejemplo, PVDF). Los arrays de sensores puntuales

tienen la ventaja de que se pueden hacer adaptativos y la desventaja

de que requieren un procesado de señal antes de ser introducidos en

el controlador. Los sensores distribuidos tienen la ventaja de que

efectúan ya un cierto filtrado espacial, por lo que son capaces de

proporcionar las formas modales directamente al controlador, pero

tienen la desventaja de que poseen una forma fija por lo que

proporcionan una información que no puede ser variada a lo largo del

proceso de control.

La Figura 27 muestra el esquema de un array de sensores puntuales.

Volviendo a la Ec. (10a), w x W xn nn

( ) ( )= =∑=

∞ψ ΨW

1, donde Ψ es

una matriz de formas modales, y W es un vector de amplitudes


-64-

modales. Siempre que la matriz ψψψψ sea no singular, se puede calcular

su inversa, para obtener

W w= −Ψ 1 (34a)

que permite obtener las amplitudes modales en función de la matriz

inversa de las formas modales y del vector de medidas.

EstructuraSensores

Ganancias

Sumador

Salida

Figura 27. Esquema de un array de sensores puntuales

Es evidente de la Ec. (34a) que para obtener las amplitudes de los

primeros N modos necesitamos al menos N sensores puntuales. Es

decir, para aplicar este método se requiere :

• Un sistema de adquisición multicanal.

• Un modelo que proporcione la matriz de formas modales.

• Un post-proceso que implemente la Ec. (34a).

• Un muestreo espacial suficiente para evitar que ocurra aliasing

espacial (la separación entre sensores ha de ser menor o igual que

media longitud de onda de la máxima frecuencia que se requiere

medir).


-65-

Para hacer más robusto este método se pueden usar más sensores

puntuales que amplitudes modales requeridas. En este caso, la matriz

ψψψψ no es cuadrada, y para obtener las amplitudes modales aplicamos

la ecuación

[ ]W w= −Ψ Ψ ΨT T1(34b)

Hasta ahora hemos analizado el campo acústico radiado en el dominio

(x,f). Es interesante analizar el campo acústico en el dominio (k,f).

Para ello, partimos de la ecuación de Helmholtz en las variables (x,z),

es decir

( )∇ + =2 2 0k P x z( , ) (35a)

y trasnformamos mediante Fourier desde la variable x a la variable

kx, para obtener

k kz

P k zx x2 222 0− +

=∂

∂( , ) (35b)

que tiene la solución

P k z Ae jk zz( , ) = − (36)

donde A es una constante y k k kz x= −2 2 es el número de onda

en la dirección z. La solución consiste en una onda plana que se

propaga en la dirección del eje z. Esta onda puede ser:

• Una onda propagante, cuando k ≥ kx.


-66-

• Una onda evanescente, cuando k < kx.

Para el cálculo de la constante A necesitamos imponer condiciones de

contorno. Para un radiador plano, la ecuación linealizada para la

conservación del momento requiere que en la superficie

j v x z P x zωρ ∂∂( ) ( , )+ = 0 (37a)

o, en el dominio (kx,f)

j V k z P k zx xωρ ∂∂( ) ( , )+ = 0 (37b)

De las Ecs. (36) y (37b) se obtiene

A V k kx z=ωρ ( ) / (38)

Y sustituyendo en la Ec. (36)

P k z V kk ex

xz

jk zz( , ) ( )= −ωρ(39a)

Aplicando la transformada de Fourier inversa, se obtiene finalmente el

campo acústico en el dominio (x,z,f)

( )

∫∞

∞−

+−

= xz

zkxkjx dk

kekVzxP

zx)(4

),( 2πωρ

(39b)

La potencia acústica radiada sería entonces


-67-

Π pxz x

V kk dk= ℜ

−∞∫

∞ωρπ8 2

2( )(40a)

Teniendo en cuenta que 1/kz es real solo si k c kx= ≥( / )ω ,

podemos poner

Π px

xk kx

V kk k

dkx

= ℜ−

∫

≥

ωρπ8 2

2

2 2( )

(40b)

• Cuando k≥kx, kz es real y se radiará potencia acústica al campo

lejano. Los valores del número de onda que satisfacen esta

condición se denominan supersónicos.

• Por el contrario, cuando k<kx, kz es puramente imaginario, y la

potencia acústica decaerá rápidamente con la distancia de

propagación (propagación evanescente). Los valores del número de

onda que satisfacen esta condición se denominan subsónicos.

La representación del campo estructural en el dominio (kx,f) ayuda a

determinar que modos estructurales radiarán energía acústica al

campo lejano, Figura 28.

Por consiguiente, es muy útil poder estimar el campo estructural de

una superficie vibrante en el dominio del número de onda. Por

ejemplo, podemos usar un array de sensores puntuales, y aplicar una

versión discreta de la transformada de Fourier, para obtener

V k v x e xx i jk xi

Ix i( ) ( )= ∑

=∆

1(41)


-68-

Región supersónicaRegión subsónica

kxk-k

V(k )x

Figura 28. Representación del campo estructural en el dominio del número de onda

Fuller et al (1996) demuestran que la carga eléctrica de salida, q(t),

de un sensor distribuido está dada por

q t W Bn nn

( ) = ∑=

∞

1(42)

donde Wn son las amplitudes modales de la estructura, y

( )B t t e f xx

dxn b sn

LS

= − + ∫312

20( )∂ ψ∂

(43)

tb y ts son los espesores de la estructura y del sensor,

respectivamente, e31 es la constante de tensión piezoeléctrica del

sensor, ψn son los modos normales de la estructura, Ls es la longitud

del sensor, y f(x) es una función de forma del sensor distribuido.

Debido a la ortogonalidad de los modos normales, es evidente que si

se elige la función de forma del sensor proporcional a la segunda


-69-

derivada de un modo normal, la integral de la Ec. (43) será

proporcional a ese modo normal. En otras palabras, se habrá

diseñado un sensor modal que responderá a un modo estructural.

Nótese que para el caso de modos senoidales, ( )xksin nn ≈ψ , y

( )xksinx nn ≈∂∂ 22 /ψ . Es decir, para modos senoidales, los sensores

distribuidos deberán tener una sensibilidad proporcional a la forma

del modo que se quiere medir. En este caso

( )q t t e K L Wn b s n n s n= − + 31 Λ (44)

donde Kn es una constante relacionada con la ganancia del sensor, y

Λn es una constante de normalización dada por

Λn s nL

L dxs

= ∫1 20ψ (45)

La Figura 29 muestra las formas de dos sensores didtribuidos para los

dos primeros modos de una barra simplemente soportada.

Figura 29. Formas de dos sensores distribuidos para medir los dos primeros modos de

una barra simplemente soportada (Según Fuller et al, 1996)


-70-

Para el primer modo, la anchura del sensor es mayor donde la

deformación es mayor. Para el segundo modo, la polarización es

positiva en el lado izquierdo y negativa en el lado derecho, en

consonancia con la respuesta del segundo modo de una barra

simplemente soportada. La mayor parte de los sensores distribuidos

se suelen hacer con PVDF, debido a su flexibilidad, ligereza, a sus

propiedades como sensor discutidas en la Sección 2.1, y a que se

puede cortar fácilmente para darle la forma apropiada. Un aspecto

importante en el diseño de sensores piezoeléctricos es la alta

impedancia de entrada que se requiere para medir su carga eléctrica

sin fugas, por lo que son necesarios amplificadores de voltaje de

impedancia de entrada alta. La Figura 30 muestra el esquema de un

circuito amplificador típico para un sensor de PVDF.

Figura 30. Circuito amplificador para un sensor de PVDF


-71-

Scott y Sommerfeldt (1997) realizaron una comparación numérica de

la estimación de la potencia acústica radiada al campo lejano usando

un array de sensores puntuales y arrays de sensores PVDF

distribuidos. En su modelo numérico usaban una barra de longitud L

sujeta por sus extremos. En primer lugar solucionaban la ecuación de

Euler-Bernouili para obtener la vibración vertical de la superficie de la

barra en términos de sus modos normales. Usando la Ec. (40b)

calculaban la potencia acústica radiada al campo lejano a partir de la

velocidad de vibración en el dominio (k,f). A continuación comparaban

esta respuesta teórica en el dominio (k,f) con la que se podría

estimar con arrays discretos de sensores puntuales y distribuidos. La

función de forma para los sensores distribuidos usada por estos

autores es

[ ]f x h x x sinc k x xs c s( ) ( ) ( )= − − (46a)

donde xs es la posición central del sensor, kc es un número de onda

positivo de corte (para proporcionar un filtrado paso bajo),

( )h x x l a x bx a x b

p( ) . . cos /,

= + − ≤ ≤< − >

054 046 2

0π

(46b)

es una ventana Hamming, lp es la longitud total del sensor, xs-a y

xs+b corresponden a las posiciones mínima y máxima del sensor

distribuido, y

sinc x sin x x( ) ( ) /= (46c)

Nótese que la longitud de la ventana Hamming, lp, es elegida para

proporcionar el efecto de filtrado deseado, y no es necesariamente

igual a a+b. En definitiva, la función de forma es el producto de una


-72-

ventana Hamming, para suavizar los efectos de truncamiento, y de

una ventana sinc, para proporcionar filtrado paso-bajo en el dominio

del número de onda. La Figura 31 muestra un esquema de las

posiciones y formas resultantes para los 6 sensores distribuidos.

También se incluyen las posiciones de los 6 sensores puntuales

usados en la comparación.

Figura 31. Posiciones de los sensores puntuales y distribuidos en la barra (Según Scott

y Sommerfeldt, 1997)


-73-

Figura 32. Respuesta estructural de la barra para el tercer modo (216.52 Hz). ___

respuesta teórica, --- respuesta del array de sensores distribuidos, _._ respuesta del

array de sensores puntuales (Según Scott y Sommerfeldt, 1997)

La Figura 32 muestra la comparación entre la respuesta estructural

teórica de la barra, en el dominio del número de onda, en

comparación con las que se obtendrían de los arrays de sensores

puntuales y distribuidos, para la tercera resonancia de la barra

(216.52 Hz). La superioridad de la respuesta de los sensores

distribuidos es evidente en la Figura 32, y en otras comparaciones

contenidas en el trabajo de los autores. En concreto, las predicciones

de la potencia radiada se desvían de la teórica en unos 3 dB como

máximo en el caso de los sensores distribuidos, y en más de 60 dB en

el caso de los sensores puntuales.

5. CAAE 2D: PLACAS

El procedimiento usado para el caso 1D puede ser extendido al caso

2D. El objetivo del CAAE es reducir el campo acústico radiado al

campo lejano actuando sobre la estructura radiante. Si podemos

analizar teóricamente el acoplamiento acústico-estructural de la

superficie vibrante, se puede acometer teóricamente también el

problema del controlador. Al igual que en el caso de la barra

simplemente soportada, es posible llevar a cabo este análisis teórico

en el caso de una placa rectangular simplemente soportada. Para ello

necesitamos:

• Calcular la respuesta estructural de la placa, resolviendo la

ecuación de ondas con condiciones de contorno apropiadas.

• Resolver la ecuación de Rayleigh para calcular la presión acústica

radiada a partir de la respuesta estructural de la placa.


-74-

• Definir una variable acústica proporcional a la suma sobre una serie

de sensores de la presión acústica al cuadrado. Esta variable es la

potencia acústica radiada.

Al igual que en el caso 1D, es posible aplicar una descomposición en

valores singulares para calcular los modos radiantes a partir de la

respuesta modal del sistema. En este caso, se pueden usar sensores

estructurales en lugar de sensores acústicos para reducir el campo

acústico radiado. Estos sensores pueden ser puntuales o distribuidos.

Análogamente al caso 1D, veremos que la formulación del problema

es mucho más elegante en el dominio transformado (kx,ky). Veremos

que los modos que radian energía acústica al campo lejano son

aquellos para los que el número de onda en la dirección perpendicular

a la placa son menores que el número de onda acústico (modos

supersónicos).

Analicemos primero el problema estructural. Sea una placa

rectangular delgada de dimensiones (a,b,tp) como la de la Figura 33,

donde el espesor tp es pequeño comparado a la longitud de onda

(esta hipótesis limita el modelo al margen de las frecuencias bajas).

Ignorando ondas de cizalla y rotacionales, la ecuación diferencial que

gobierna la vibración normal a la placa, w, es

),,( 2 2

2

4

4

22

4

4

4

tyxptwt

yw

yxw

xwEI p −=+

++

∂∂ρ

∂∂

∂∂∂

∂∂

(47)

donde E es el módulo de Young de la placa, I es el momento de

inercia por unidad de anchura, y p es la presión o carga externa

aplicada. Recordemos también que


-75-

( )EIt Ep=−

3

212 1 ν(48)

donde ν es el coeficiente de Poisson de la placa.

x

y

z

a

b

w(x,y)

Figura 33. Sistema de coordenadas para el estudio de la placa

Ensayando la solución de onda plana armónica

( )w x y t Ae j t k x k yx y( , , ) = − −ω (49)

y sustituyendo en la Ec. (47), se encuentra que


-76-

k kSEI

kx y f2 2

22+ = =

ρ ω(50)

donde kf es el número de onda libre. Las componentes del número de

onda en las direcciones x e y están relacionadas con el número de

onda libre por

k kk k sin

x f

y f

==

cosαα (51)

La Ec. (51) nos dice que la onda libre se propaga formando un ángulo

α con el eje x a la velocidad de las ondas flexionales. En una placa de

dimensión finita, ocurrirán resonancias cuando las componentes del

número de onda en las direcciones x e y igualen a un valor propio en

cada una de estas direcciones.

Consideremos primero el caso sencillo de la vibración libre (p=0) de

una placa delgada rectangular simplemente soportada. Ensayando la

solución separable

w x y t W sin k x sin k y emn mn m nj t( , , ) ( ) ( )= ω (52)

donde Wmn es la amplitud modal, (m,n) son índices modales,

sustituyendo en la Ec. (47), y aplicando condiciones de contorno de

soporte simple (desplazamiento cero en los bordes de la placa), se

obtiene (Fuller et al, 1996)

k m a mk n b nm

n

= == =ππ

/ , , ,../ , , ,..

1 2 31 2 3 (53)

con


-77-

+

−=

222/1

2

2

)1(12 bn

amEt p

mnππ

νρω (54)

los valores propios. Cada par de valores (m,n) da lugar a un modo de

vibración. La Figura 34 muestra los modos (1,1) , (2,1) , (3,1) y (1,3)

normalizados a la unidad de una placa delgada.

Figura 34. Modos de vibración libre de una placa delgada simplemente soportada

Vemos como el modo (m,n) tiene m-1 líneas nodales en la dirección x

y n-1 líneas nodales en la dirección y.

A continuación analizaremos la vibración de una placa delgada

rectangular sometida a una fuerza armónica arbitraria F x y e j t( , ) ω . Igual

que en el caso de vibración libre, asumimos una solución en términos

de modos normales del tipo


-78-

( ) ( )∑∑∞

=

∞

==

1 1),,(

m

tjn

nmmn eyksinxksinWtyxw ω (55)

Sustituyendo esta solución en la Ec. (47), y usando la propiedad de

ortogonalidad de los modos normales, obtenemos para las amplitudes

modales

( ) ( )∫ ∫+−=

a b

nmmn

mn dxdyyksinxksinyxFjM

Wmn 0 0

22 ),()2(

4ηωωωω

(56)

donde abM sρ= es la masa total de la placa, y η es el factor de

pérdidas. Las amplitudes modales dependen de la fuerza exterior

aplicada a la placa. Se analizarán cuatro casos (Figura 35):

• Una fuerza puntual (por ejemplo un vibrador).

• Una excitación por una distribución de presión uniforme.

• Una onda plana incidiendo oblícuamente en la placa. Sistemas

estructurales perturbados con entradas aéreas tienden a radiar o

transmitir niveles sonoros más altos que cuando son excitados con

entradas estructurales (para la misma frecuencia y amplitud)

(Fuller et al, 1996).

• Un actuador cerámico formado por dos cerámicas rectangulares en

contrafase, una a cada lado de la placa.

Fuller et al (1996) usan la siguiente definición para las amplitudes

modales

)2( 22mnmnp

mnmn jt

PWηωωωωρ +−

= (57a)


-79-

donde

( ) ( )∫ ∫=a b

nmmn dxdyyksinxksinyxFab

P0 0

),(4(57b)

Figura 35. Sistema de coordenadas para el análisis de una placa delgada simplemente

soportada excitada por una fuente puntual, por una distribución de presión uniforme,

por un actuador cerámico, y por una onda plana incidiendo oblícuamente (Según Fuller

et al, 1996)

Si la fuerza aplicada es puntual, )()(),( ff yyxxFyxF −−= δδ , y


-80-

=

byn

sinaxm

sinabFP ff

mn

ππ4(58a)

Las amplitudes modales dependen:

• De la amplitud de la fuerza aplicada, F.

• De la posición de la fuerza aplicada (xf,yf).

• De la frecuencia.

Cuando se aplica una fuerza uniforme de amplitud Q 21 axa ≤≤

,b y b1 2≤ ≤ , resulta

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]bbnbbnaamaammn

QPmn /cos/cos/cos/cos421212 ππππ

π−−= (58b)


• De la amplitud de la fuerza aplicada, Q.

• De la posición de la fuerza aplicada (a1, b1 , a2, b2).

• Del orden del modo (m,n).


Cuando la placa se excita por una onda plana que incide oblícuamente

en la placa, ( )isiniysinykiixsinxktjiePtyxF φθφθω −−= cos),,( , entonces

inimimn IIPP ,,8= (58)

donde


-81-

( ) ( ) ( ) ] ( ) ( )

≠−

−−=−

= −22

2

)

22

, sgn 1/[

)1(1sgn )cossgn()2/(

ii

jmiii

im msimm

emsisinj

I i

αππαπ

απφθα

( ) ( ) ( ) ] ( ) ( )

≠−

−−=−

= −22

2

)

22

, sgn 1/[

)1(1sgn )sgn()2/(

ii

jniii

in nsinn

ensisinsinj

I i

βππβπ

βπφθβ

y

iii

iii

sinsinbksinak

φθβφθα

cos

==


• De la amplitud de la onda plana, Pi.

• Del ángulo de incidencia la posición de la fuerza aplicada (αi, βi).


• De la frecuencia

Por último, cuando la excitación se produce por un actuador cerámico

doble en x x x1 2≤ ≤ y y y y1 2≤ ≤

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]bynbyn

axmaxmkkmn

SCP nm

pemn

/cos/cos

/cos/cos4

21

2122

20

ππ

πππ

−

−+=(58d)

donde

( )[ ]( )( )[ ]( ) ( )pepppppeppe

pppeppepp

hEtttEtttEIE

Cνν

ν

−+−−+

−−+=

12122

13333

22

0


-82-

es una constante que depende de las propiedades y geometrías de la

combinación actuador/placa, siendo E, y ν el módulo de Young, el

coeficiente de Poisson y el espesor, respectivamente, tp es el espesor

de la placa, 2tpe es el espesor de la cerámica, I es el momento de

inercia para ondas de flexión, y los subíndices p y pe indican placa y

piezoeléctrico, respectivamente. Además, ( )pepe tVdS /31= , es la

deformación producida en la cerámica cuando se le aplica el voltaje V.


• Del voltaje aplicado a la cerámica, V.

• De la posición de la cerámica (x1, y1, x2, y2).


• De las propiedades electro-mecánicas de la cerámica.


Una vez conocido como vibra la estructura, podemos aplicar la

integral de Rayleigh, Ec. (16)

( )P

j w eR

dSsjkR

S

( )"

rr

=−

∫ωρ

π0

2

donde ρo es la densidad del medio acústico, y r, rs y R son los

vectores que se muestran en la Figura 36.


-83-

x

yz

θ

φ

R

a

b

w(r )s.

x

y

baffle infinito

r

rs

Figura 36. Sistema de coordenadas para el cálculo de la presión acústica radiada por

una lámina delgada en un baffle infinito

Usando coordenadas esféricas, y en la aproximación de campo lejano

(R>>a,b)

R r xsin ysin sin≈ − −θ φ θ φcos (59)

en la exponencial exp(-jkR), mientras que R ≅ r en el denominador.

Derivando en la Ec. (58)

" ( ) "w W sinm x

asin

n ybs mn

nmr =

∑∑ π π

(60a)

donde

( )mnmnp

mnmn jt

PjWηωωωωρ

ω222 +−

=" (60b)

y sustituyendo en la ecuación de la integral de Rayleigh


-84-

( ) ( ) ( )( )P rj e

rW sin

m xa

sinn y

be dxdyo

jkr

mn

ba

nm

j x a y b, , " / /θ φωρπ

π π α β=

−+∫∫∑∑2 00

(61a)

con

α θ φβ θ φ==

kasinkbsin sin

cos(61b)

La integral doble de la Ec. (61a) tiene solución analítica. El resultado

final es (Fuller et al, 1996)

( ) ( ) ( )P r

j ab er

Wmn

em

en

ojkr

mnm j n j

nm, ,

" ( )/

( )/

θ φω ρπ α π β π

α β

=− −

−

− −

−

− − −

∑∑21 1

11 1

13 2 2

(62)

Como vemos, el campo acústico radiado al campo lejano por la placa

delgada, simplemente soportada, sometida a una excitación puntual

armónica, depende de:

• La posición en el campo acústico, a través de r, α, y β.

• Las características de la fuerza exterior aplicada, a tarvés de "Wmn .

• La frecuencia de excitación.

La intensidad acústica radiada al campo lejano puede obtenerse de

I rP r

c( , , )

( , , )θ φ

θ φρ

=2

0 02(63)

La contribución del modo (m,n) a la intensidad acústica será entonces


-85-

( )[ ] ( )[ ]

2

22

2

3

2

0000

2

1/1/2

cos2

cos

22

),(),,(

−−

==

πβπα

βα

πρ

ρφθ

φθnm

sinsinrmn

kabWcc

rPrI mn

mnmn

" (64)

donde

cos(α/2) se usa cuando m es un entero impar

sin(α/2) se usa cuando m es un entero par

cos(β/2) se usa cuando n es un entero impar, y

sin(β/2) se usa cuando n es un entero par.

Hemos visto antes, Ec. (20), que la potencia acústica radiada al

campo lejano se puede calcular de

Π p

P rc

r sin d d= ∫∫( , , )/ θ φρ

θ θ φππ 2

0 00

2

0

22

2

y la eficiencia de radiación del modo (m,n) es, Ec. (31)

σρ

mnmn

mnw c ab=

Π

"2

0 0

donde "wmn

2 es el promedio espacial y temporal de la velocidad de

vibración del modo (m,n) de la lámina, el cual en este caso sencillo es

" /Wmn

28 . Sustituyendo la Ec. (62) en la Ec. para la potencia radiada al

campo lejano por el modo (m,n) y ésta dentro de la Ec. para la

eficiencia de radiación, resulta finalmente


-86-

( )( )( )[ ] ( )[ ]σ

π

α β

α π β πθ θ φ

ππ

mnka kbm n

sin sinm n

sin d d=

− −

∫∫16 2 2

1 16 2 2 2 2

2

0

2

0

2cos cos

/ /

/

(65)

La solución de la Ec. (65) no es fácil. Algunos autores han sido

capaces de resolverla en el límite de bajas frecuencias. En concreto,

sea el número de onda estructural

kma

nbb

22 2

= +

π π(66)

Cuando k>>kb, la longitud de onda estructural es mucho mayor que

la longitud de onda acústica, y la eficiencia de radiación de todos los

modos tiende a la unidad. En estas condiciones no hay interferencia

apreciable entre las distintas células de la placa. La frecuencia a la

cual la longitud de onda estructural iguala a la longitud de onda

acústica se denomina frecuencia crítica. Su valor es

( )f

cc t

ct E

c

L p p= =

−02

02 2

18 181

. .ρ ν

(67)

donde ( )c EL = −/ ρ ν1 2 es la velocidad de ondas longitudinales en la

placa. La frecuencia crítica es entonces una característica importante

en el acoplamiento acústico-estructural de una placa. Por encima de

la frecuencia crítica, no hay interferencia significativa entre las

distintas partes de la placa y su radiación es independiente del orden

modal. Por debajo de la frecuencia crítica, las distintas partes de la

placa interfieren, y se puede resolver la Ec. (65). En este margen de

frecuencias, Wallace (1970) proporciona el siguiente resultado.


-87-

• Para (m,n) impares

( )( )( ) ( )σ

π π πmn

ka kbm n

k abm

ab n

ba

≈ − −

+ −

32

112

18

18

5 2 2

2

2 2 (68a)

• Para m impar y n par

( )( )( ) ( )σ

π π πmn

ka kbm n

k abm

ab n

ba

≈ − −

+ −

83

120

18

1243

5 2 2

2

2 2 (68b)

• Para m par y n impar

( ) ( )( ) ( )σ

π π πmn

ka kbm n

k abm

ab n

ba

≈ − −

+ −

83

120

124

183

5 2 2

2

2 2 (68c)

• Para (m,n) pares

( ) ( )( ) ( )σ

π π πmn

ka kbm n

k abm

ab n

ba

≈ − −

+ −

215

15

641

241

243 3

5 2 2

2

2 2 (68d)

La Figura 37 muestra las eficiencias de radiación obtenidas de las Ecs.

(68) para los modos seleccionados de una placa delgada de

dimensiones a=1 m y b=1 m.


-88-

Figura 37. Eficiencias de radiación obtenidas de las Ecs. (65) para los modos indicados

de una placa delgada de a=1 m y b=1 m

Las eficiencias radiantes de todos los modos deberían tender a la

unidad cuando el número de onda tiende a uno. Como vemos, las

curvas obtenidas de las Ecs. (68) no son válidas a medida que nos

aproximamos al número de onda estructural, kb. En este margen de

frecuencias, Wallace (1970) resolvía la Ec. (65) mediante integración

numérica. La Figura 38 muestra las eficiencias de radiación obtenidas

por Wallace para los mismos modos de la Figura 37.


-89-

Figura 38. Eficiencias de radiación para los modos seleccionados de una placa

cuadrada (Según Wallace, 1970)

Una simplificación importante se obtiene cuando a=b y ka,kb<<1.

Entonces

( )

( )

( )σ

π

π

π

mn

m n(m,n)

m nm n

m n(m,n)

≈

32 kasi es impar

8 kasi impar y par, o viceversa

2 kasi es par

2

5 2 2

4

5 2 2

6

5 2 2

3

15

(69a)

Nótese que para una placa delgada en las condiciones de la Ec. (69a)

( )2

4,''

, ''240

≈

mnnm

kaparesnm

imparesmn

σσ

(69b)


-90-

que en el límite que estamos analizando ka <<1 es mayor que la

unidad para órdenes modales relativamente bajos. Recordando que la

eficiencia modal para una misma frecuencia se reduce a medida que

se incrementan los órdenes modales, los modos impares son siempre

más eficientes que los modos pares para radiar potencia acústica en

baja frecuencia.

La dependencia de σmn con ka muestra que estos modos estructurales

exhiben eficiencias de radiación que son características de fuentes

monopolares, para (m,n) impares, dipolares, cuando la paridad de m

y n es distinta, y cuadripolares, cuando (m,n) son pares. La Figura

39 ilustra este comportamiento de una placa delgada en baja

frecuencia.

m impar, n impar

monopolo

+

+

+

+

m impar, n par

dipolo

-

+

-

+

m par, n impar

dipolo

+

+

-

-

m par, n par

cuadripolo

-

+

+

-

Figura 39. Radiación modal de una placa delgada en baja frecuencia

Fahy (1985) demostraba que cuando la longitud de onda acústica es

tal que ka<<mπ y kb<<nπ, la intensidad radiada por la placa nunca

supera a la que produciría una única célula de la placa actuando

separadamente. Una célula sería aquella parte de la placa limitada


-91-

por las líneas nodales del modo. Esto demuestra que la radiación de

baja frecuencia de una placa delgada está determinada por la

interferencia entre las distintas células en las que puede ser dividida.

La interferencia destructiva entre las contribuciones de células

adyacentes tiene un efecto profundo en las características del campo

radiado (Figura 40).

Figura 40. Cancelación entre células adyacentes para los modos pares e impares de

una placa delgada en baja frecuencia (kL<<1) (Según Fahy, 1985)

La radiación de las semi-células a cada lado de una línea nodal se

cancelan mutuamente, por lo que sólo radian sonido las semicélulas

de las esquinas. La fase relativa entre estas “fuentes monopolares en

las esquinas” determina que la radiación sea del tipo monopolar,

dipolar o cuadripolar, Figura 39.

En la formulación anterior hemos analizado la potencia acústica (o la

eficiencia de radiación) de un modo único de la placa. En la práctica,

sin embargo, a una frecuencia dada contribuyen todos los modos de

la placa. Esto es especialmente relevante cuando la frecuencia de

excitación no coincide con un modo propio de la placa (excitación

forzada). En este caso hay que considerar la contribución global de


-92-

todos los modos (o más bien, un número finito pero suficiente de

modos, si truncamos el desarrollo modal). Reescribamos de nuevo la

Ec. (60a) como

" ( , , ) " ( , )w x y t W x y emnn

N

mnj t

m

M

===∑∑

11ψ ω (70a)

donde "Wmn son las amplitudes modales, que dependen de la fuerza

aplicada, y

==

bynsin

axmsinyxyx nmmn

ππψψψ )()(),( (70b)

son los modos propios. La Ec. (70b) enfatiza el hecho de que los

modos propios de una placa delgada simplemente soportada son

funciones separables en modos en las direcciones x e y. La Ec. (70a)

puede ponerse también en forma matricial como

" ( , ) " ( , )w x y x yT= w Ψ (70c)

donde

[ ]" " " " ..... "wTMNW W W W= 01 10 11 es una vector de amplitudes modales, y

[ ]ΨTM Nx y x y x y x y x y( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( )= ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ0 1 1 0 1 1 es un

vector de modos propios

La extrapolación de la Ec. (40b) al caso 2D nos permite calcular la

potencia acústica radiada en el dominio transformado (kx,ky)

( )

−−ℜ=Π ∫∫

≤+ kykxk

yxyx

yxp dkdk

kkk

kkW

22222

2

20

,

8

"

πωρ

(71a)


-93-

En el caso 2D que nos ocupa

( ) ( ) ( ) ( )" , " , " * , , "W k k k k k k k kx yT

x yH

x yT

x y

2 2= =w w wΨ Ψ Ψ (71b)

y

( )ψ ψk k x y e dx dyx yj k x k yx y, ( , ) ( )= +

−∞

∞

−∞

∞

∫∫

Sustituyendo la Ec. (71b) dentro de la Ec. (71a) resulta finalmente

Π p = " "w MwH (71c)

donde

M = ℜ− −

−∞

∞

−∞

∞

∫∫ωρπ

02 2 2 28

Ψ Ψ*( , ) ( , )k k k k

k k kdk dkx y

Tx y

x yx y (72a)

Los elementos diagonales de la matriz M representan las resistencias

de auto-radiación de los modos de la placa actuando aisladamente, y

los elementos fuera de la diagonal representan las resistencias de

radiación mutua entre los diferentes modos de la placa. Así pues, si

denotamos un modo por los índices (m,n) y otro por los índices (m’n’)

, un elemento de esta matriz será

Mk k k k

k k kdk dkmn m n

m x n y m x n y

x yx y, ' '

* *' '( ) ( ) ( ) ( )

= ℜ− −

∫∫

ωρπ

ψ ψ ψ ψ02 2 2 28

(72b)

Ahora bien, teniendo en cuenta que (Fuller et al, 1996)


-94-

( ) ( )[ ]( )ψ

π π

πm xjk x

m jk a

x

a

k sinm x

ae dx

m a e

k m ax

x

( )/

/=

=

− −

−

−

∫1 1

2 20

( )[ ] ( )[ ]ψ ψπ

π πm x m xx x

mm xk kmm

k m a a k m af k a*

' '( ) ( )'

/ ' /( )=

− −

2

2 2 2 2 2

con

[ ][ ]f k a

k a si m par y m park a si m impar y m impar

jsin k a si m impar y m parjsin k a si m par y m impar

mm x

x

x

x

x

' ( )

cos( ) 'cos( ) '

( ) '( ) '

=

−+

−

2 12 1

22

resulta

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

Mmm nn

a b

f k a f k b dk dk

k m a k m a k n b k n b k k k

mm nn

mm x nn y x y

x x y y x y

' '

' '

' '

( ) ( )

/ ' / / ' /

=

ℜ− − − − − −

−∞

∞

−∞

∞

∫∫

ωρ π

π π π π

02

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8

(72c)

La eficiencia de radiación en función de las resistencias de radiación

es

σρmnm n

mnm nMc ab' '

' '=0 0

(73a)

Fuller et al (1996) apuntan que en el límite de las frecuencias bajas

( k a m k b nx y<< <<π π y ) se pueden sustituir los términos entre

corchetes del denominador por ( ) ( )k m a m ax2 2 2− →π π/ / , y

análogamente para los otros términos. Asimismo, las funciones fmm’

se pueden sustituir por el primer término de su desarrollo en serie

f k a

k a si m par y m park a si m impar y m impar

j k a si m impar y m parj k a si m par y m impar

mm x

x

x

x

x

' ( )

( ) '( ) '( ) '( ) '

≈−

−

2

2422


-95-

y una función similar se obtendría para fnn’ cambiando (kxa) por (kyb).

Por tanto, la aproximación en baja frecuencia a la eficiencia de

radiación sería

σπmm nn

mm x nn y x y

x y

kabmm nn

f k a f k b dk dk

k k k' '

' '

' '( ) ( )

≈ ℜ− −

−∞

∞

−∞

∞

∫∫8 6 2 2 2(73b)

Fahy (1985) y Fuller et al (1996) demuestran que sólo los modos

para los cuales m,m’,n y n’ son impares, son eficientes en la radiación

de potencia acústica al campo lejano. La Figura 41 muestra las

eficiencias de radiación de algunos modos estructurales de órdenes

impares, en función del número de onda adimensional, ka, para una

lámina delgada simplemente soportada de b/a=0.57.

Figura 41. Eficiencias de radiación de los primeros modos estructurales impares de

una lámina delgada rectangular de b/a=0.57 (Según Elliott y Johnson, 1993)

Al igual que en el caso 1D, podemos descomponer la matriz M en

valores y vectores propios para obtener

M P P= TΩ (74)


-96-

donde P es una matriz real y unitaria de vectores propios y ΩΩΩΩ es una

matriz diagonal de valores propios reales y positivos. Sustituyendo en

la Ec. (71c) para la potencia acústica radiada

Π Ω Ω ΩpH T H

n nn

N

b= = ==∑" "w P Pw b b

2

0(75)

donde b Pw= " es una serie de amplitudes modales estructurales

transformadas por los vectores propios de la matriz M. Cada uno de

los elementos de este vector es un modo radiante. Como la matriz ΩΩΩΩ

si es diagonal, los modos radiantes actúan independientemente unos

de los otros. Como en el caso 1D, una estrategia CAAE sería actuar

sobre los primeros modos radiantes. La Figura 42 muestra los seis

primeros modos radiantes de una placa rectangular delgada

simplemente soportada, excitada a una frecuencia ka=0.1, así como

sus eficiencias de radiación como una función del número de onda

adimensional ka. Como vemos en la Figura 42, el modo radiante más

eficiente de una placa delgada simplemente soportada es el primero,

que tiene una distribución de velocidad constante. Es decir, la placa

entera se mueve a una velocidad constante. Por consiguiente, un

sensor de la velocidad volúmica sería un sensor excelente para un

sistema CAAE diseñado para cancelar el primer modo radiante (el

más eficiente) de una placa.

Sabemos que la velocidad de volumen de una placa es proporcional al

producto de la velocidad superficial por el área. La velocidad

superficial se puede medir con un acelerómetro y el área se conoce.

Luego la velocidad de volumen de la fuente primaria es una cantidad

medible. Se trataría por tanto de situar una o varias fuentes


-97-

secundarias sobre la placa que radiasen la misma velocidad de

volumen sólo que en fase contraria.

Figura 42. Distribuciones de velocidad de los seis primeros modos radiantes de una

placa rectangular delgada, simplemente soportada, excitada a una frecuencia ka=0.1


-98-

(arriba) y las correspondientes eficiencias de radiación como una función del número

de onda adimensional ka (abajo) (Según Elliott y Johnson, 1993)

Este principio tan elemental fue aplicado por Naghshineh y Mason

(1996) usando una sóla unidad de control secundaria. La unidad de

control constaba de:

• Un aceleróemtro para medir la velocidad superficial de la placa

(PCB Piezotronics 353a16).

• Un altavoz para generar la señal secundaria (Polk Model MM3500

de 3.5 “).

• Un circuito analógico que implementaba la función de transferencia

del controlador (un MCL 1304 para el preamplificador del

acelerómetro, un Philips TDA1519UA para el amplificador del

altavoz, y un BB UAF42 para la función de transferencia).

En principio, se trataba de un filtro no adaptativo. Se analizó en

cámara anecoica el comportamiento de este sistema como una

función del ángulo, de la distancia vertical en la dirección del eje

acústico, y de la distancia horizontal . Se conseguían reducciones

globales de 10-13 dB en la década (50 , 100) Hz. Mediante

simulación numérica se extendía el sistema al caso de varias unidades

de control independientes sobre una placa. Se analizaba el

funcionamiento sobre una placa rectangular de (1x0.6) m2, y 6.35

mm de espesor. Existían 7 modos en la banda de interés. Se usan

hasta 6 unidades de control independientes. Se demostró que es

posible conseguir cancelaciones importantes mediante este sistema.

St. Pierre et al (1998) extendieron el trabajo anterior incluyendo un

sistema de control adaptativo. Se trataba también de unidades de

control independientes (no era multicanal). Cada unidad de control


-99-

independiente consta de un acelerómetro para medir la velocidad de

volumen del panel, un acelerómetro para medir la velocidad de

volumen del cono del altavoz, y un altavoz para generar la velocidad

de volumen secundaria. La señal del acelerómetro en el panel era la

señal de referencia para un filtro adaptativo FX-LMS. La señal de

error era una combinación de las señales de ambos acelerómetros. El

margen de frecuencias de control de este sistema era kL≤3, siendo L

la dimensión característica de cada segmento de control. Para validar

experimentalmente el sistema se construyó una unidad de control con

cuatro segmentos, fabricada por PCB Piezotronics. Los altavoces eran

del tipo Soundtech CX2 de 240 W. El algoritmo FXLMS se implementó

en una Spectrum MDC40S, basada en un DSP TMS320C40 de TI. Los

ensayos se realizaron primero excitando el panel con un tono puro de

230 Hz. Se consiguieron reducciones de unos 22 dB en las bandas de

1/3 de octava de 200 y 250 Hz. En un segundo experimento se excitó

el panel con una señal de barrido rápido en frecuencia en la banda

(200 , 260) Hz. La reducción conseguida en este caso fue de unos 9

dB en las bandas de 1/3 de octava de 200 y 250 Hz, pero a costa de

un incremento notable en las bandas adyacentes. En definitiva, este

trabajo demostraba la viabilidad de reducir globalmente el ruido de

baja frecuencia, de origen estructural, en el interior de aviones y

helicópteros. También se podría usar en transformadores eléctricos y

en otro tipo de maquinaria pesada.

Sea Pt la presión total radiada al campo lejano por el sistema bajo

control, y Pp y Ps las contribuciones de las fuentes primaria y

secundarias, respectivamente. En condiciones de linealidad

P P Pt p s= + (76a)


-100-

Dependiendo del caso considerado, la Ec. (76a) se podrá poner de la

siguiente forma:

• Excitación por una onda plana y Ns fuerzas de control puntuales

P PB F Ct i js

jj

Ns

= +=∑

1(76b)

• Excitación estructural localizada y Ns fuerzas de control puntuales

P QB F Ct js

jj

Ns

= +=∑

1(76c)

• Excitación por una onda plana y Ns actuadores piezoeléctricos

P PB V Ct i js

jj

Ns

= +=∑

1(76d)

• Excitación estructural localizada y actuadores piezoeléctricos

P QB V Ct js

jj

Ns

= +=∑

1(76e)

donde en las Ecs. (76b-e)

=∑∑

∑∑

= =

= =

localizada lestructura excitación para

plana onda unapor excitación para

1 1

1 1M

m

N

nnm

mn

M

m

N

nnm

i

mn

IIQ

WK

IIP

WKB (77a)

y


-101-

CK

WF

I I

KWV

I Ij

mnj

jm n

n

N

m

M

mnj

jm n

n

N

m

M=

==

==

∑∑

∑∑11

11

para control por fuentes puntuales

para control por actuadores(77b)

B representa una función de transferencia compleja entre la presión

acústica de excitación primaria y la presión acústica radiada al campo

lejano. C representa la función de transferencia compleja entre la

excitación de control y la presión acústica radiada al campo lejano.

Consideremos en primer lugar un sistema CAAE en el que los

sensores son Ne micrófonos en el campo lejano, y definamos la

función de coste

( )Jc

P rti

i i ii

Ne

==∑1

2 0 0

2

1ρθ φ, , (78)

la cual tiende a la potencia total radiada por la placa cuando el

número de micrófonos tiende a infinito, situados todos ellos cubriendo

una semiesfera alrededor de la placa. En la práctica, el número de

sensores requeridos ha de ser igual o mayor que el número de modos

de la placa que contribuyen a la radiación acústica. Su posición

espacial ha de ser tal que se eviten las líneas nodales del diagrama de

directividad de la radiación correspondiente a cada modo radiante.

Otro detalle importante en la elección del número de sensores es que

en sistemas multicanal, ha de ser mayor o igual que el número de

actuadores. Sustituyendo la Ec. (76) apropiada para cada caso dentro

de la Ec. (78) se obtiene una forma cuadrática en función del vector

de fuerzas (o voltajes) de excitación secundarias, cuya solución

puede obtenerse siguiendo el método delineado por Nelson y Elliott

(Fuller et al, 1996). Las Ecs. anteriores permiten modelizar el


-102-

problema del CAAE del ruido radiado por una placa delgada

simplemente soportada. Nótese la complejidad matemática del

modelo, aún en el caso acústico-estructural 2D más sencillo. El

modelo delineado puede servir, por ejemplo, para comparar

predicciones teóricas con resultados experimentales (Pan et al, 1992)

o para optimizar la posición de los actuadores y sensores en un

sistema CAAE multicanal (Clark y Fuller, 1992c; Wang, 1996) .

El modelo descrito más arriba ha sido usado por Fuller et al (1996)

para predecir el efecto del control CAAE con fuerzas puntuales de

control en una placa delgada de acero, simplemente soportada, con

las características que se resumen en la Tabla 9.

Tabla 9. Características de la placa usada en el modelo

Módulo de Young, Ep (N/m2) 207 x 109

Coeficiente de Poisson, νp 0.292

Densidad, ρ (kg/m3) 7870

Espesor, tp (mm) 2

Dimensiones (a , b) (m) (0.38 , 0.30)

Frecuencia crítica, fc (Hz) 6300

Las frecuencias naturales de esta placa, obtenidas de la Ec. (54), se

resumen en la Tabla 10. El medio acústico es el aire, con ρ0 = 1.21 kg

m-3 y c0 = 343 ms-1. Se asume primero una excitación por una onda

plana de amplitud Pi=1 Nm-2 que incide en la placa formando unos

ángulos θi=45º y φi=0º.

Tabla 10. Frecuencias naturales de la placa (Hz)

n

m 1 2 3 4 5

1 87.71 249.81 519.98 898.22 1384.53


-103-

2 188.74 350.85 621.02 999.25 1485.56

3 357.13 519.23 789.98 1167.64 1653.95

4 592.88 754.98 1025.15 1403.39 1889.69

5 895.98 1058.08 1328.25 1706.48 2192.79

Se calcula el diagrama de radiación polar en el plano que intersecta

perpendicularmente la placa por la línea y=b/2, a una distancia r=2

m. La Figura 43 muestra los diagramas de radiación de la placa

excitada por la onda plana de 186 Hz, cuando se usan 1, 2 y 3

fuerzas puntuales de control, en las posiciones indicadas. Los dB

negativos corresponden a presiones acústicas inferiores a 20 µPa.

Figura 43. Diagramas de radiación de la placa excitada a 186 Hz, bajo condiciones de

control CAAE con 1, 2 y 3 fuerzas puntuales de control (Según Fuller et al, 1996)

Nótese que la frecuencia de excitación está próxima a la del modo

(2,1) (Tabla 10). El diagrama de radiación primario muestra una

cierta asimetría. La explicación de esta asimetría se debe a que el


-104-

campo radiado procede fundamentalmente de los modos (1,1) , (2,1)

y (3,1).

Con una sóla fuente puntual de control en el centro de la placa se

cancela fundamentalmente el modo (1,1). El campo residual tiene

una estructura dipolar, como correspondería al modo (2,1). Una sóla

fuente puntual es incapaz de acoplarse al modo (2,1). Con dos

fuentes puntuales se controlan los modos (1,1) y (2,1), y el campo

residual correspondería al del modo (3,1), como observamos en la

Figura 43. Con tres fuentes puntuales se pueden controlar los tres

modos, lo que proporcionaría reducciones de hasta 67 dB.

Las fuerzas puntuales (por ejemplo, las proporcionadas por

vibradores) dan lugar a coeficientes modales menos complejos en el

modelo, pero tienen menos interés práctico que los actuadores de

cerámica doble en contrafase. Fuller et al (1996) presentan también

resultados de su modelo usando actuadores cerámicos como fuentes

de control. La Tabla 11 resume las características del material PZT

G1195 usado en el modelo.

Tabla 11. Propiedades del material piezoeléctrico PZT G1195 usado en el modelo

(Según Fuller et al, 1996)

Módulo de Young, Epe (N/m2) 6.3 x 1010

Coeficiente de Poisson, νpe 0.30

Densidad, ρpe (kg/m3) 7650

Espesor, tpe (mm) 1.905

d31=d32 (d36=0)(m/V) -166 x 10-12

En este caso, se considera una excitación estructural uniforme de

amplitud Q=7.9 103 Nm-2 , aplicada en una superficie de (40x40)

mm, en la esquina inferior izquierda. La Figura 44 muestra los


-105-

diagramas de radiación cuando la placa es excitada a las frecuencias

de 85 y 128 Hz, y controlada con 1-4 actuadores cerámicos dobles en

contrafase, aplicados en las posiciones indicadas. La frecuencia de 85

Hz está próxima a la del modo (1,1) de la placa. La frecuencia de 128

Hz no coincide con la de ningún modo de la placa (vibración forzada).


-106-

Figura 44. Diagramas de radiación de la placa excitada a las frecuencias de 85 Hz

(arriba) y 128 Hz (abajo) y controlada por 1-4 actuadores cerámicos, en las posiciones

indicadas (Según Fuller et al, 1996)


-107-

Cuando la placa es excitada estructuralmente a la frecuencia del

primer modo, el campo acústico radiado es esencialmente monopolar.

En este caso, con un sólo actuador se puede controlar el modo (1,1)

proporcionando reducciones del campo radiado de hasta 60 dB

(Figura 44, arriba). Añadir uno o dos controladores más proporciona

una atenuación adicional de 10 dB, lo cual puede que no compense la

mayor complejidad del controlador. Como veíamos en la Sección 3,

cuando la placa es excitada a una frecuencia de resonancia, la

supresión del modo correspondiente es capaz de proporcionar una

atenuación considerable del campo acústico radiado (mecanismo de

supresión modal). Sin embargo, cuando se excita la placa en

vibración forzada, contribuyen varios modos a la radiación, y es

necesario incluir varios actuadores en el controlador (Figura 44,

abajo). En este caso el mecanismo de control es el de la

reestructuración modal (Sección 3). En lugar de reducir la amplitud

de los modos radiantes, el controlador se esfuerza en variar las fases

relativas de los modos reduciendose así la radiación global, aún

cuando la amplitud de algún modo pueda aumentar. Se puede

observar esto muy bien en el espectro espacial (en el dominio del

número de onda) de la respuesta de la placa en cada caso (Figura

45). Nótese como en el caso de vibración forzada, la amplitud de la

respuesta aumenta en la zona subsónica (no radiante) a diferencia de

lo que ocurre en la zona supersónica (zona radiante).

La Figura 45 muestra también que el efecto del CAAE es una

disminución de las componentes supersónicas del espectro espacial

de la respuesta de la placa. De hecho, una estrategia alternativa del

CAAE es formular una función de coste en el dominio (kx,ky) y tratar

de reducir sus componentes supersónicas. Sin embargo, su

implementación práctica requiere el uso de sensores estructurales en


-108-

el dominio de las frecuencias espaciales. Esta es una línea de

investigación abierta.


-109-

Figura 45. Espectro espacial de la respuesta de la placa excitada a las frecuencias de

85 Hz (arriba) y 128 Hz (abajo) y controlada por 1-4 actuadores cerámicos, en las

posiciones indicadas (Según Fuller et al, 1996)

Al igual que en el caso 1D, se pueden usar sensores modales

distribuidos en sistemas CAAE. Clark y Fuller (1992b) compararon los

resultados del CAAE del ruido radiado por una placa usando

micrófonos y PVDF como sensores. Los sensores de PVDF consistían

en dos tiras a lo largo de la placa, una en la dirección x y otra en la

dirección y. Un sensor distribuido responde a la deformación de la

estructura con una carga eléctrica. La carga eléctrica generada por un

sensor con una función de forma definida por f(x,y) es

q t f x y t t ew

xe

wy

ew

x ydx dyp s

S

( ) ( , )( . )= − + + +

∫ 0 5 31

2

2 32

2

2 36

2∂∂

∂∂

∂∂ ∂

(79)

Para una tira rectangular, como la usada por Clark y Fuller, paralela a

uno de los ejes, y limitada por ( , )x ye e1 1 , las coordenadas de la esquina

inferior izquierda, y ( , )x ye e2 2 , las coordenadas de la esquina superior

derecha, la función de forma es

[ ][ ]f x y H x x H x x H y y H y ye e e e( , ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − − − − −1 2 1 2 (80)

donde H(.) es la función escalón de Heaviside. Sustituyendo la Ec.

(80) para la función de forma, la Ec. (53) para la amplitud de

vibración, e integrando la Ec. (79) se obtiene (Fuller et al, 1996)

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]bynbynaxmaxm

mbnae

nbmaeWttetq

eeee

mn

M

m

N

nsp

tje

/1cos/cos/1cos/cos

5.0)(

2222

32311 1

ππππ

ω

−−

++= ∑∑

= = (81)


-110-

La Ec. (81) indica que la carga proporcionada por el sensor resulta de

la composición de todos los modos. La contribución de cada modo

depende de su amplitud modal, y de la posición del sensor

distribuido.

La disposición de los sensores distribuidos en las direcciones de los

ejes x e y se fundamenta en el hecho de que los modos que radian

eficientemente en una placa son los de orden impar. Pues bien, un

sensor distribuido a lo largo del eje x (o y) es capaz de medir los

modos impares en esa dirección. En otras palabras, en sistemas CAAE

se suelen usar sensores distribuidos 1D paralelos a las direcciones de

los ejes, más bien que sensores 2D.

La Figura 46 muestra la posición de los sensores distribuidos y

actuadores cerámicos en la placa considerada en el modelo anterior,

así como los resultados del CAAE usando sensores distribuidos y tres

micrófonos a -45º, 0º, y +45º con respecto al eje acústico del plano

perpendicular que pasa por y=b/2. La Tabla 12 resume las

características del material PVDF y de la placa usados en este

experimento.

Tabla 12. Propiedades del PVDF y de la placa usados por Clark y Fuller (1992b)

Propiedad PVDF Placa

Módulo de Young, E (N/m2) 2 x 109 207 x 109

Coeficiente de Poisson, ννννp 0.292

Densidad, ρρρρ (kg/m3) 7650 7870

Espesor, t (mm) 0.028 2

Dimensiones (a , b) (m) (0.38 , 0.30)

Frecuencia crítica, fc (Hz) 6300

Coeficiente de tensión

piezoeléctrica (C/m2)

e31=65.3 x 10-3

e32=38.7 x 10-3


-111-

Figura 46. Posición de sensores y actuadores (arriba) y resultado del CAAE de la placa

excitada a 349 Hz, con 3 micrófonos a -45º, 0º, y +45º (---) y con dos sensores

distribuidos de PVDF (- - - ) (abajo) (Según Clark y Fuller, 1992b)

En todos los casos analizados por estos autores se conseguía una

atenuación mayor con los micrófonos que con los sensores de PVDF.

La gran ventaja que tienen los sensores de PVDF es que se pueden

embeber en la estructura a controlar formando sistemas inteligentes.

De los resultados de Clark y Fuller (Figura 46) ya se intuye que la

atenuación mejorará usando sensores con una forma más sofisticada

que la rectangular. Tanaka et al (1996, 1998) describen un método


-112-

numérico para diseñar sensores distribuidos con mayor capacidad de

discriminación modal que los rectangulares. La Figura 47 muestra el

esquema de un sensor para medir el modo (1,3) de una placa

rectangular, así como la respuesta modal de la placa obtenida con un

array de acelerómetros, y con el sensor modal. Es evidente de esta

Figura que el sensor modal discrimina el modo (1,3).

Figura 47. Esquema de un sensor distribuido para medir el modo (1,3) de una placa

rectangular (arriba), respuesta modal de la placa (abajo izquierda) y respuesta del

sensor modal (abajo derecha) (Según Tanaka et al, 1998)

Como hemos visto antes, el primer modo radiante, y el más eficiente,

de una placa es un modo volumétrico. Johnson et al (1993) aplicaron


-113-

este procedimiento de diseño de sensores distribuidos para

desarrollar un sensor capaz de medir la velocidad de volumen de una

placa. Estos autores encontraron que un sensor con una función de

forma cuadrática en una de las direcciones de la placa (Figura 48)

( )204),( xxLLfyxf xx

−= (82)

suministra una salida proporcional al desplazamiento promediado de

la placa en su modo de flexión. La velocidad será la derivada de la

salida de este sensor (multiplicación por jω).

Figura 48. Representación de la Ec. (82)

La Figura 49 muestra dos posibles realizaciones de este sensor con

función de forma cuadrática.

Charette et al (1998) discutían un método, basado en la

representación modal de la respuesta de la placa, para el diseño de

un sensor distribuido para medir el desplazamiento de volumen. La

Figura 50 muestra la forma de los sensores resultantes en las

direcciones de los ejes x e y, y los resultados del CAAE de una placa

encastrada (no en soporte libre) excitada a la frecuencia del modo

(1,1) (140 Hz), usando este par de sensores distribuidos.


-114-

Figura 49. Dos realizaciones de un sensor distribuido para el modo volumétrico (Según

Johnson et al, 1993)

Al igual que en los casos anteriores, el sensor está compuesto de

varias tiras de PVDF, alineadas con los ejes de la placa, con una

forma que se obtiene a partir de las funciones propias medidas

experimentalmente. El método, por tanto, es válido para cualesquiera

condiciones de contorno. Se consideraba una placa de acero de (50 x

39.8 x 0.315) cm. Como fuentes primaria y secundaria se usaban

actuadores cerámicos PZT de (38.1 x 38.1 x 0.19) mm. Los sensores

distribuidos se construyeron a partir de PVDF de 28 µm de espesor.

Como podemos observar, se obtenían atenuaciones promedio del


-115-

orden de 40 dB en todo el sector angular para este modo de

resonancia.

Figura 50. Sensores distribuidos para medir el desplazamiento de volumen de una

placa encastrada (arriba) y resultados del CAAE correspondiente cuando la placa es

excitada a la frecuencia de su modo (1,1) (140 Hz) (abajo) (Según Charette et al, 1998)

Para excitaciones a otras frecuencias, los autores obtenían

atenuaciones promedio de 16 dB (a 125 Hz, vibración forzada) y de

14 dB (320 Hz, modo (1,2)). El controlador consistía en un sistema

anticipativo que implementaba el algoritmo FX-LMS.


-116-

6. RESUMEN Y CONCLUSIONES

Límite impuesto porla parte acústico estructural

Límite impuesto por el sistema de control

FuncionamientoCAAE

Figura 51. Funcionamiento de un sistema CAAE

• El éxito del sistema CAAE depende críticamente de la interrelación

entre las partes acústico-estructural y electrónica (Figura 51).

• La atenuación máxima alcanzable la determina la parte acústica-

estructural (calidad de la señal de referencia, prestaciones y

posición de los sensores y actuadores, ..)

• El grado de aproximación a la máxima atenuación la determina el

controlador (potencia y velocidad del DSP, algoritmo de control, ..)

• Las cerámicas PZT tienen mayor aplicación como actuadores,

proporcionando una deformación mayor (d31) para el mismo

campo eléctrico aplicado. Soportan una campo eléctrico mayor,

una temperatura más alta, y tienen un factor de acoplamiento

electromecánico mayor.


-117-

• El PVDF, sin embargo, se suele usar como sensor, pues

proporciona un campo eléctrico mayor para la misma tensión (g31).

Además son flexibles, por lo que se pueden pegar sobre

prácticamente cualquier superficie.

• Los materiales piezoeléctricos son los más baratos y los más

disponibles en el mercado.

• Las AMF son los que proporcionan mayor deformación, pero sufren

más que los demas de histéresis.

• Los materiales magnetoestrictivos ofrecen deformaciones

comparables a los piezoeléctricos, pero su histéresis es menor.

El planteamiento usual para resolver un problema CAAE es:

1) PROBLEMA ESTRUCTURAL: Conocer ,t)(rwtrw ss " o ),(

2) ACOPLAMIENTO ACUSTICO-ESTRUCTURAL: Calcular ),,( φθrP

Método de la integral de Rayleigh (requiere un baffle infinito)

∫ −=

−−

S s

jk

dSewjPs

rrr

rr

"πωρω2

),( 0

3) FUNCION DE COSTE: Como los algoritmos de control (FX-LMS,

FU-LMS,..) se basan en el método de los mínimos cuadrados, hay


-118-

que definir una función cuadrática de las señales captadas por los

sensores de error. Por ejemplo, la potencia total radiada.

∫ ∫∫ Φ==Πππ

θθρρ

2

0

2/

0

2

0

22

0 221 ddsinp

crdSp

c tS

tp

3.1. Formulación espectral (transformada de Fourier al dominio

espectral espacial)

−ℜ=Π ∫

≥x

kk x

xp dk

kk

kV

x22

2

20 )(

8πωρ

3.2. Formulación matricial (descomposición en valores singulares

de la matriz resistencia de radiación)

3.2.1. Modos estructurales

Rvv Hp =Π

combinado con av Φ= , da lugar a

MaaHp =Π

donde ΦΦ= RM H

3.2.2. Modos radiantes

Rvv Hp =Π


-119-

combinado con QQR Λ= H , da lugar a

∑=

=Λ=Πd

iii

Hp y

1

2 λyy

donde Qvy = .

Nótese que:

• Tanto la matriz M como la R son matrices cuyos elementos fuera

de la diagonal son distintos de cero.

• Esto quiere decir que a la potencia radiada a una determinada

frecuencia (por ejemplo, a una frecuencia propia de la estructura)

contribuyen todos los modos.

• Desde el punto de vista del CAAE, esto significa que la reducción

de un modo estructural no implica necesariamente la

reducción de la potencia acústica radiada a la frecuencia de

ese modo.

• A diferencia de los modos estructurales, la reducción de un

modo radiante garantiza la reducción de la potencia total

radiada a esa frecuencia.

En cuanto a los sensores para el CAAE puede concluirse lo siguiente:

• Los sensores para el CAAE pueden ser acústicos (micrófonos) o

estructurales (acelerómetros, PVDF).

• Los micrófonos miden directamente la potencia radiada por lo que

proporcionan unas prestaciones CAAE mayores que los sensores

estructurales.


-120-

• Sin embargo, la tendencia actual es diseñar estructuras

inteligentes, donde tanto los actuadores como los sensores estén

integrados en la estructura (aplicaciones aeroespaciales).

• Los sensores estructurales pueden ser arrays puntuales

(acelerómetros) o distribuidos.

∑∞

=

Ψ==1

)()(n

nn xWxw Wψ ,

wW 1−Ψ= si la matriz Ψ es cuadrada

[ ] wW TT ΨΨΨ=−1

si la matriz Ψ no es cuadrada

La carga eléctrica de salida, q(t), de un sensor distribuido está dada

por

∑∞

=

=1

)(n

nn BWtq

( ) ∫+−=SL

nsbn dx

xxfehhB

02

2

31 )(∂ψ∂

Para el caso 1D, ( )))( xksinx nn ∝ψ , y ( ))/ 22 xksinx nn ∝∂∂ ψ . Luego,

debido a la ortogonalidad de los modos normales, un sensor

distribuido para medir el modo m-ésimo deberá tener una f(x)

proporcional a ese modo.


-121-

REFERENCIAS

Brennan, M.J., Elliott, S.J., and Pinnington, R.J., 1997. “The dynamic

coupling between piezoceramic actuators and a beam”. J.

Acoust. Soc. Am., 104(4), 1931-1942.

Charette, F., Berry, A., and Guigou, C., 1998. “Active control of sound

radiation from a playe using a polyvinylidene fluoride volume

displacement sensor”. J. Acoust. Soc. Am., 103(3), 1493-1503.

Clark, R.L., Fuller, C.R., and Wicks, A., 1991. “Characterization of

multiple piezoelectric actuators for structural excitation”. J.

Acoust. Soc. Am., 90(1), 346-357.

Clark, R.L. and Fuller, C.R., 1992a. “Experiments on active control of

structurally radiated sound using multiple piezoceramic

elements”. J. Acoust. Soc. Am., 91(6), 3313-3320.

Clark, R.L. and Fuller, C.R., 1992b. “Modal sensing of efficient

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AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido posible gracias a la financiación de la CICYT, a

través del Proyecto AMB99-1095-C02-01


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informe nº 1 - physionet.cps.unizar.es

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