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MECANICA DE FUIDOS I ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1

ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION

INDICE

I. INTRODUCCION 2

II. OBJETIVOS 3

III. MARCO TEORICO 4

IV. EJERCICIOS 11

V. CONCLUSIONES ...107




ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

INTRODUCCION

La carrera de ingeniera civil es una rama muy amplia; en la actualidad realiza todo

tipo de proyectos los cuales incluyen toda clase de conocimientos, que se adquieren

a lo largo de la carrera; uno de los conocimientos ms grandes que debemos adquirir

son la mecnica de fluidos, esta rama es necesaria para todo tipo de proyectos: una

vivienda (instalaciones sanitarias), carreteras (canales), abastecimientos (diques,

tanques, compuertas), muros de contencin, represas, pilares de puentes, etc.

La rama de mecnica de fluidos, es compleja y conlleva varios temas y subtemas que

se deben estudiar de forma clara y comprensible; uno de los temas ms importantes

es la ecuacin de cantidad de movimiento, la cual nos sirve para poder disear

la estructura y calcular las fuerzas de movimiento de un fluido que actan en una

estructura como un puente, muro de contencin, etc.

La ecuacin de cantidad de movimiento es la magnitud fsica

fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en

cualquier teora mecnica. En mecnica clsica, la cantidad de movimiento se

define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante

determinado. En mecnica de fluidos se define como la rapidez de variacin de la

cantidad de movimiento en el volumen de control ms el flujo neto de cantidad de

movimiento que sale del volumen de control.

El presente informe tiene como objetivo principal, aprender y analizar de forma

clara la ecuacin de cantidad de movimiento, con el fin de poder aplicar dichos

conocimientos en la carrera de ingeniera civil.




OBJETIVOS

2.1. OBJETIVO GENERAL.

Aprender y analizar de forma clara la ecuacin de cantidad de

movimiento, con el fin de poder aplicarla en un inters prctico.

2.2. OBJETIVO ESPECIFICO

Desarrollar la ecuacin de cantidad de movimiento, mediante la

aplicacin de la ley de la conservacin de cantidad de

movimiento de la materia situado en el seno del fluido en

movimiento.

Proporcionar informacin sobre la ecuacin de cantidad de

movimiento en los diferentes sistemas coordenados, con la

finalidad de hacer ms sencillo su manejo.




MARCO TEORICO

1. INTRODUCCIN A LAS ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

La segunda ley de Newton, a menudo llamada ecuacin de cantidad de movimiento,

plantea que la fuerza resultante que acta en un sistema es igual a la velocidad de

cambio de la cantidad de movimiento del sistema cuando se mide en un marco de

referencia inercial; es decir,

La integral de la superficie de control del lado derecho representa el flujo de cantidad de

movimiento neto a travs de la superficie de control del fluido que entra y/o sale del

volumen de control.

Cuando se aplica la segunda ley de Newton la cantidad representa todas las fuerzas

que actan en el volumen de control. Las fuerzas incluyen las fuerzas superficiales

generadas por el ambiente al actuar en la superficie de control y las fuerzas de cuerpo

originadas por campos magnticos y gravitacionales. A menudo se utiliza la ecuacin de

cantidad de movimiento para determinar las fuerzas inducidas por el flujo.

Ejemplo:

La ecuacin permite calcular la fuerza en el soporte de un codo en una tubera o la fuerza

en un cuerpo sumergido en un flujo superficial libre.

Cuando se aplica la ecuacin de cantidad de movimiento el fluido circundante y en

ocasiones todo el conducto o recipiente se separa del volumen de control.

Ejemplo:

En la boquilla horizontal de la fig. (a) la boquilla y el fluido en esta estn aislados. Por lo

tanto se debe tener cuidado de incluir las fuerzas de presin mostradas y la fuerza. Es

La ecuacin de

cantidad de

movimiento se utiliza

principalmente para

determinar las fuerzas

inducidas por el flujo.




conveniente utilizar presiones manomtricas de modo que la presin que acta en el

exterior del tubo sea cero. Por otra parte, se podra hacer seleccionando un volumen de

control que incluya solo el fluido que hay en la boquilla. En ese caso se tiene que

considerar las fuerzas de presin a la entrada y salida y la fuerza de presin resultante

de la pared interior de la boquilla en el fluido. Naturalmente, la fuerza

son iguales en cuanto a magnitud, como es obvio en un diagrama de

cuerpo libre de la boquilla que excluye el fluido. Si el problema es determinar la fuerza

ejercida por el flujo en la boquilla, se tiene que invertir la direccin de la fuerza

calculada Esto se ilustra con ejemplos al final de esta seccin.

Fuerzas que actan en el volumen de control de una boquilla horizontal.

a). el volumen de control incluye la boquilla y el fluido en ella.

b). el volumen de control incluye solo en la boquilla. Se omitieron las fuerzas de cuerpo.

ECUACIN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

1.1. Formulacin General.

Podemos deducir la ecuacin de cantidad de movimiento a partir de la segunda ley de

Newton para un sistema, mediante procedimientos anlogos a los utilizados para deducir

las ecuaciones de continuidad y de la energa.




La ecuacin de la cantidad de movimiento se deduce para una direccin arbitraria x,

despus se puede considerar para tres ejes mutuamente perpendiculares, y se obtiene la

ecuacin vectorial de la cantidad de movimientos por suma vectorial.

En el instante la cantidad de movimiento en la direccin dentro del sistema y del volumen

de control coincidente (Fig. 1) es:

En el instante + el sistema se ha desplazado un pequeo espacio a partir del volumen

de control. La cantidad de movimiento del sistema en la direccin se puede expresar

entonces como:

Donde:

: Flujo de cantidad de movimiento en la direccin x que sale del volumen de control

en el intervalo .

: Flujo de cantidad de movimiento en la direccin x que entra en el volumen de

control en el intervalo

Restando la ecuacin (2) y dividiendo entre :

Es decir, para una direccin X, la rapidez de variacin de la cantidad de movimiento en

el sistema, es igual a la rapidez de variacin de la cantidad de movimiento en el volumen

de control ms el flujo neto de cantidad de movimiento que sale del volumen de control

El primer trmino se puede expresar:

= (1)

(+) = (+) + (2)

(+)

(+)

(3)




Segn la segunda ley de Newton

Aumento por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la direccin x dentro del

sistema.

El segundo trmino se puede escribir:

Aumento por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la direccin x dentro del

volumen de control.

El tercer trmino se puede expresar:

Salida neta por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento en la direccin x.

Donde es el ngulo que forma el vector velocidad y la normal hacia afuera

en un punto cualquiera de la superficie de control.

Reemplazando en las expresiones en (3):

Es decir, la ecuacin de la cantidad de movimiento para un volumen de control,

considerando la direccin, establece que la fuerza resultante que acta sobre el

fluido en el interior del volumen de control en la direccin es exactamente igual a

la suma de la variacin de la cantidad de movimiento en la direccin con el tiempo




dentro del volumen de control y el flujo saliente neto, por unidad de tiempo, de la

cantidad de movimiento en la direccin a partir del volumen de control.

Para flujo permanente la cantidad de movimiento en la direccin X dentro del

volumen de control permanece constante, y:

Por analoga para las direcciones y de un sistema cartesiano de referencia:

Multiplicando la primera ecuacin por i, la segunda por j y la tercera por k,

vectores unitarios paralelos respectivamente a, X, Y, Z y sumando,

La ecuacin de la cantidad de movimiento para flujo permanente tiene la ventaja

de que no necesita informacin sobre las condiciones dentro del volumen de

control. Solo necesita para su aplicacin las fuerzas externas y el flujo saliente

neto de la cantidad de movimiento, por unidad de tiempo.

La ecuacin de la cantidad de movimiento se puede aplicar a la solucin de

problemas de flujo permanente en las formas dadas por las ecuaciones (5) y (6).

Fig.2. Volumen de control con entrada de flujo uniforme

y salida normal a la superficie de control

En tuberas y canales es posible elegir el volumen de control d modo que el flujo

de cantidad de movimiento que sale y que entra sean normales a las secciones

transversales (Fig.2). Si adems se considera que el lquido que circula es




incompresible y la velocidad es constante en la superficie de entrada o de salida,

se tendr, siempre para flujo permanente y en una direccin:

Fig. 3 Flujo no uniforme a travs de una

Superficie de control

Para entrada o salida no uniforme de flujo por una porcin de la superficie de

control, donde la velocidad sea normal a la superficie (como en la Fig.3), en cada

seccin hay una distribucin de velocidades por lo que es necesario corregir los

flujos de cantidad de movimiento. Para ello se utiliza el coeficiente de Boussinesq

cuyo valor depende nicamente de la distribucin de velocidades en la seccin.

El flujo saliente de cantidad de movimiento, por unidad de tiempo, a travs de la

superficie para flujo no uniforme es:

O tambin:




EXPRESIN DEL COEFICIENTE DE BOUSSINESQ ( ).

En una l.c.,

Cantidad de movimiento:

Cantidad de movimiento por unidad de tiempo, o flujo de cantidad de

movimiento

Flujo de cantidad de movimiento en toda la corriente =

En toda corriente;

Flujo de cantidad de movimiento utilizando la velocidad media: 2

Flujo real de cantidad de movimiento: 2

Igualando las dos expresiones:

2 = 2

=1

(

)2

Nota:

Cuando en la prctica no se indica su valor, es porque se est suponiendo que:

=1




EJERCICIOS

1. En una instalacin de tubera matriz de agua potable en cerro de Pasco se tiene un

codo de 90o se quiere calcular la fuerza que ejerce el agua sobre el codo de 0.30

m de dimetro, cuando fluyen 38,75 m3/s y la presin manomtrica es de 8 bar.

SOLUCIN

Velocidad media

m/s 29,64,1

75,38

2

S

QV

Fuerza sobre el codo

)( 122211 VVmSpSpF

kN 286.300068.300286

29,675,38100015.01080* 25111

NF

VQSpF

x

x

300.286kN

068.300286

29,675,38100015.0108

0*

25

222

y

y

y

y

F

NF

F

VQSpF




2. Sobre la banda transportadora que se mueve a una velocidad de 5 m/s, se

depositan 2 m3/s de aceite. El aceite tiene un peso especfico de 900 N/m3, sta

deja la tolva a una velocidad de 1 m/s y a continuacin tiene una cada libre de

una altura media de h=2 m, tal como indica la figura.

Calcular:

La componente horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el aceite sobre la

banda transportadora.

SOLUCION:

La fuerza horizontal que ejerce la grava sobre la bomba transportadora es debido a la

velocidad de 5 m/s, con que la grava abandona la banda. La fuerza vertical por otro lado,

es debida tanto al peso de la grava situada encima de la banda, con la accin de la grava

que incide sobre la banda al caer de la tolva.




Eleccin de los ejes x, y.

Fuerzas exteriores al volumen de control.

- Peso de del aceite

- RX y RY : accin de la banda sobre la grava.

La velocidad de salida de la grava del volumen de control es v3 = 5 m/s. La velocidad de

entrada de la grava al volumen de control v2 es:

Aplicacin de la ecuacin en el eje X.

= ( ) = 3 =3




= 900

3 ; =

23

; 3 = 5/

= 917.43

Eje Y:

= ( ) = (0 (2))3 = 2

= 2 + =2

+

Clculo del Peso del aceite (L = 3 m encima de la banda).

= = =

3 = 900

2

53

= 1080

=900 2 6.34

9.81+ 1080

= 2243.3

3. En una instalacin de una tubera expuesta a la intemperie que se realiza para

llevar agua a cerro de Pasco, se necesita construir unos soportes de concreto como

se muestra en la figura se quiere calcular la fuerzas de reaccin X, Y de soporte,

si sabemos que el agua fluye a 0.5 m3/s y se desva en el soporte con un Angulo

de 120 se ignora la friccin en el Angulo.




SOLUCION

= (. )

rea de la tubera: = 2

4 = 0.0324 2

Velocidad del flujo: =

= 15.43

= (2 1) 2 = 2 ( ) 1 = 160 ( )

1 = 2

=

- = (2 (1)60) - = 1(1 (1)60)

- = 1(0.5) = 1000 0.5 (15.43)(0.5)

= 3857.5

= (2 1) 2 = 0

1 = 160 ( )

=

= (2 (1)60) = 1(0 + 160)

= 1(0.866) = 1000 0.5 (15.43)(0.866)

= 6681.19




4. En la instalacin de una red de tubera se utilizan cajas de distribucin como se

muestra en la figura en la cual ingresa agua por 2 tuberas y sale por dos restantes

para la distribucin de agua como se muestra, se necesita saber Qu fuerza se

necesita para mantener quieta la caja?




SOLUCION:

= (. )

=

= (3 3 60 + (2)(2) 60 + (1)(1) 45)

= (36 0.024 60 + (30)(0.033) 60 + (18)(0.030))

45

= 0.8614

= 1000 0.8614

= 861.4

= (. )

= ((4)(4) + 3 3 60 + (2)(2) 60 +(1)(1) 45)




= (45 (0.021) + 36 0.024 60 + (30)(0.033) 60

+ (18)(0.030)) 45

= 0.13779

= 1000 0.13779

= 137.79

5. En el rio san juan se va a construir un vertedero como el que se muestra en la

figura. La velocidad es uniforme en las secciones 1 y 2, mientras que las lneas de

corriente son paralelas si las secciones se encuentran suficientemente lejos del

vertedero.

Despreciando perdidas y conociendo que h1 = 5 m y h2 = 0.7 m, calcular V1, V2

y la fuerza horizontal F ejercida por el agua sobre el vertedero.

Respuesta:

Utilizamos un volumen de control rectangular, con paredes verticales suficientemente

alejadas y horizontales

en y = 0 y en y = Ys > h1. Todas las fuerzas son expresadas por unidad de profundidad.

Aplicando la conservacin de masa:

1. 1 = 2. 2

Aplicando de Bernoulli sobre una lnea de corriente en la superficie:

1 +1

21

2 + 1 = 2 +1

22

2 + 2

Considerando p1 = p2 = presin atmosfrica, resulta:

12 2

2 = 2(2 1)

Despejando V2 de la conservacin de masa y reemplazando:




1 = 22

1 + 2 1 = 1.298 /

2 = 9.272 /

= (. )

= + ,

Donde: , =

Integrando las fuerzas de presin:

, = (1 ) 1

0

(2 ) =

2(12 22)

2

0

Reemplazando

+ , = (2 1)

= (2 1)

2(12 22)

= (22 2 12 1)

2(12 22)

= 64344 /

6. Calcular la fuerza de un fluido incompresible sobre un tubo curvo

=37c

A1=0.5m2

P1=10N/m2

V1= 10 m/s




A2=O.7m2

P2=12 N/m2

V2=8 m/s

P= 9810

N/m3

Q=10 m3/s

SOLUCION

P1A1 - P2A2cos - FX = pQ (V2cos - V1)

FX= pQ(V1-V2 cos) + P1A1 P2A2 cos

FX= 9810(10)(10-8cos37) + 10(0.5) 12(0.7) cos37

FX=354229.1432

FY- P2A2sen-W = = pQV2sen

Fy= pQV2sen + P2A2sen

Fy=9810(10)(8)sen37 + 12(0.7) sen37

Fy=472309.4854

7. Calcular la fuerza que se necesita para que el alabe permanesca en su sitio cuando

el flujo permanente de un chorro de agua golpe sobre el.

VO=10 m/s

A0=0.5 m2

P=9810 N/m3

=45




SOLUCION:

FX= pQ(V1-V2 cos) + P1A1 P2A2 cos

Para Q= v0A0

FX=pQVo(1- cos) = pA0(V0)2(1- cos)

Fx= pA0(V0)2(1- cos)

Fx=143664.1230

Fy= pQV2sen

Para Q= V0A0

Fy=pQV0sen

Fy=pAo(V0)2 sen

Fy=9810(0.5)(102)sen45

Fy=346835.8762

8. Para el aliviadero mostrado, hallarla fuerza F, para retener la plancha de ancho b,

asumir que la presin en 1 y 2 se distribuye hidrostticamente y no hay perdidas

menores

SOLUCION:

Por continuidad:

De la ecuacin de cantidad de movimiento entre 1 y 2




Reemplazando los valores de (1), (3) y (4) en (2)

9. Encontrar la fuerza ejercida por la boquilla sobre la tubera de la figura. Despreciar

las perdidas. Elfluido es aceite de peso especfico relativo 0.85, y.

Para determinar el caudal en volumen se escribe la ecuacin de Bernoulli aplicada

a la seccin 1anterior a la boquilla y a la seccin 2 aguas abajo del extremo de la

tobera la expresin es nula.




Sea fig. (b) la fuerza ejercida sobre el cuerpo libre del lquido por la boquilla; entonces

10. En la instalacion de gran velocidad mostrada en la figura, calcular la fuerza que

el agua impone a la tuberia en el chiflon.




SOLUCION

El rea de la boquilla del chifln y la tubera son respectivamente

El caudal

La presin en la seccin, antes del chifln, se calcula:

La fuerza que el agua impone a la tubera en el chifln se calcula de la ecuacin de

cantidad de movimiento




11. calcular la fuerza de un fluido incompresible sobre un tubo curvo.

SOLUCION:

= (v2 v1) si: =111

= (v2cos - v1) + 22 cos - 11

- 22 sin W = v2sin

Donde: w=0

El peso es despreciable

12. Un chorro horizontal de agua de 5 cm de dimetro y una velocidad de 30m/s choca

contra la punta de un cono horizontal, el cual desva el agua en 45o respecto a su

direccin original. Cunta fuerza se necesita para sostener el cono contra el

chorro de agua?

Los efectos gravitacionales son de los que se hizo caso omiso

= 2 sin + 22 sin

V. DE SALIDA

W

2

1

P2V2A P2A2

P1A1 F

F

Y

VELOCIDAD DE




SOLUCION:

= = = (1000/m3)(0.05)2

4(30/) = 58.90/s

De la figura:

= 2 cos 1 si: 1 = 2 = y 1 = 2 =

Entonces:

= (cos 1)

= 0 ( )

sustituimos los valores:

= (58.90/)(30m/s)(cos 45 1)(

1

1. /2)

FX = 518




13. La fuerza que se necesita para que el alabe permanezca en su sitio, cuando el flujo

permanente de un chorro de agua golpea sobre l.

SOLUCION:

Entonces:

= (1 2 cos ) 11 22 cos

:

1 = 2 =

1 = 2 =

1 = 2 = = 0

=

Para

= (1 cos ) = 2(1 cos )

Para

= 2 sin + 22 sin

= 2 sin

NOTA:

Para este tipo de problema se debe

suponer que no hay cambios en la

velocidad y en el rea transversal del

chorro.

V0 A0

FY

VO

AO

FX




14. Se muestra un trpode que sostiene una boquilla, la cual dirige un chorro de agua

de 5cm de dimetro proveniente de una manguera. La masa de la boquilla es de

10kg, cuando est llena con agua. El trpode puede suministrar una fuerza nominal

de soporte de 1800N. Un bombero estaba parado 60cm detrs de la boquilla y

resulto golpeado por esta cuando el trpode fallo repentinamente y solt la

boquilla. El lector ha sido contratado para reconstruir el accidente y despus de

probar el trpode ha determinado que, a medida que el flujo del agua aumento,

hizo caer al bombero a 1800N. En su informe final, debe dar la velocidad del

velocidad del agua y el flujo coherentes con la falla, as como la velocidad de la

boquilla cuando golpeo al bombero

Solucin:

Densidad del agua es 1000/3

Ecuacin general:

=

Dnde:

= 1

Para la fuerza aplicada en el trpode es , se asume una direccin x positiva.

= 0 = = 2

42

(1800) (1.

2

1) = (

1000

3)

(0.05)2

42

= 30.2775/




Caudal

= =(0.05)2

4(30.2775

) = 0.059453/

Aceleracin de la boquilla:

=

=

1800

10(

1.2

1) = 180/2

=1

22 =

2

=

2(0.6)

180/2= 0.0816

= = (180

2) (0.0816) = 14.7/

15. Un bombero necesita ascender a un edificio de 10m de alto. Hay una manguera

grande llena con agua a presin que cuelga hasta abajo desde la parte superior del

edificio. El bombero construye una plataforma cuadrada y monta cuatro boquillas

de 5cm de dimetro que apuntan hacia abajo en cada una de las esquinas. Cuando

se conectan ramificaciones de la manguera puede producirse un chorro de agua

con una velocidad de 15m/s que sale por cada una de las boquillas. l, la

plataforma y las boquillas tienen una masa combinada de 150kg.

Determine:

a. La velocidad mnima del chorro de agua necesaria para elevar el sistema.

b. Cuanto ms la cantidad de movimiento har subir a jones, si este corta el

agua en el instante en que la plataforma alcanza los 10m arriba del suelo.

Cunto tiempo tiene para saltar de la plataforma al techo?




SOLUCIN:

De lo mencionado podemos decir que:

La resistencia del aire es insignificante El flujo del agua es estable unidimensional, que se encuentra quieto

inicialmente para un = 0 Flujo uniforme entonces consideraremos el factor de correccin = 1 Densidad del agua es 1000kg/3

a) La masa total de del flujo de agua a travs de las 4 mangueras y el peso total

de la plataforma son:

= = 42

4 = 4 (

1000

3)

(0.05)2

4(

15

) = 118/

= = (150) (9.81

2) (

1

1.2

) = 1472

Ecuacin general:

=

La velocidad del chifln es mnima que acta en la plataforma igual a cero

= () 0

= = = 42

4

2

:

=

=

(.

)

(

)(. )

= . /

La ecuacin de cantidad de movimiento:

= () 0 =




= 1472 (118

) (

15

) (

1.2

1) = 298

Entonces la aceleracin y el tiempo ascendente a elevarse 10m y la velocidad en

ese momento se convierte en:

=

=

298

150(

1./2

) = 2.0m/s2

=1

22 =

2

=

2(10)

2/2= 3.2

= = (2

2) (3.2) = 6.4/

b) Cuando el agua se encuentra en 10m de altura, la plataforma desacelera

bajo la influencia de gravedad, durante un tiempo y la subida adicional por

encima de 10m en lo que favorece.

= 0 = 0 =0

=6.4/

9.81/2= 0.65

=

= (

.

) (. )

(.

)(. ) = .




16. En el reservorio de agua del AA.HH. Columna Pasco, fluye el agua a razn de

18.5 l/seg por una llave que est sujeta mediante una brida que tiene un grifo con

vlvula de compuerta. El dimetro interior del tubo en la ubicacin de la brida es

de 0.780 pulgadas (=0.02 m) y se mide que la presin en ese lugar a temperar

ambiente del agua, y H=2m . El peso total del conjunto de la llave, mas al agua

que est en su interior, es de 5,79 Kgf. Calcule la fuerza neta para mantener la

brida en su lugar, y no haya perda agua.

2 = 1 = =

=

2 4=

18.5

13

1000

(0.02 )2 4= 58,89 /

Tambien:

2 = 2 =1000

3 2 = 2000 /2

= = (1000

3) (18.5

13/1000) = 18.5 /

Aplicando la ecuacin de cantidad de movimiento:

=

Considerando que las componentes X y Z de las fuerzas que actan sobre la brida son

FRx y Frz. Suponga que tiene direcciones positivas. La magnitud de la velocidad en la

direccin x es +V1 a la entrada, pero 0 ala salida. La magnitud de la velocidad en la

direccin Z del agua es cero a la entrada, pero V2 a la salida. Tambin, el peso de la

llave y del agua dentro de elle acta en la direccin Z, como una fuerza del cuerpo.




Ninguna fuerza de presin o viscosidad acta sobre el volumen de control elegido en la

direccin Z.

+ 2 = 0 1

= (2) 0

Reemplazando datos:

= (18,5

) (58.89

)

9.81

2 (2000

2)

(0,02)2

4= 112

= (18,5

) (58,89

) (

9,81

2) + 5,79 = 105

Entonces la fuerza resultante es:

= (112)2 + (105)2 = 154

17. En el reservorio de destilacin de la empresa EMAPA PASCO, que se muestra en

la figura. l agua fluye a razn de 350 l/seg; una compuerta que posibilita pasar

el caudal con una determinada abertura. El objeto es calcular la accin sobre

la placa para retener el flujo. Sabiendo que h1=3m; h2=1m; la placa tiene un ancho

de 2 m y que la presin en 1 y 2 se distribuye hidrostticamente.

SOLUCION:

Aplicando la ecuacin de cantidad de movimiento tenemos que:

Fp1 =

212 Fp2 =

222




Por continuidad:

U. b. h1 = 2. . 2 2 =1

2

= . (. 1) U=U1

=(350

13

1000)2. 3

= 0,06 /

Reemplazando tenemos:

= . .12

2 . .

22

2+ . . . 1. (.

1

2 )

=1000

3. 2.

(3)2

2

1000

3. 2.

(1)2

2

+1000

3.0,06

. 2. 3. (

0,06

.3

2

0,06

)

1

9,81. /2

A=2651, 46 Kg-f

18. El tanque elevado de la Institucin Educativa COLUMNA PASCO; tiene una

conduccin que consta de un tramo vertical seguido de uno horizontal mediante

un codo de 90, saliendo el agua al exterior a razn de 0,05 l/s a travs de una

boquilla, tal como se muestra en la figura. Se pide:

a) Las fuerzas componentes paralelas, normales a la velocidad de aproximacin,

que se requieren para mantener el codo en su sitio y la direccin del mdulo.




SOLUCION:

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:

1

+

12

2+ 1 =

2

+

22

2+ 2

Z1=Z2 V1=V2 P1/=P2/ P1=P2

P=.H= 1000*750= 750000 Kgf/m^2

V1=Q/A= (50

13

1000)/(. (1)2) 4) = 0,06 /

La ecuacin de cantidad de movimiento en el eje X y Y

= 1. 1. 1 + 1. 1

=1000

3

1

9,81 /2

0,053

0,06

+

750000

2 .

(1)2

4

= 589048,93

Fy=Fx=589048,93Kgf

Ladireccion es:

= tan1 (

) = 45




19. A travs de una tubera de 50 cm de dimetro que tiene un codo de 90 circulan

600 l/m^2.Determinar las fuerzas componentes paralelas y normales a la

velocidad de aproximacin, que se requieren para mantener el codo en su sito.

Despreciar las perdidas.

SOLUCION:

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:

1

+

12

2+ 1 =

2

+

22

2+ 2

Z1=Z2 , V1=V2 , V1=3,06 , 1

=

2

, P1=P2=7000 Kg/m^2 , P1=P=7000

Kg/m^2

La ecuacin de cantidad de movimiento en el eje x:

Fx=102*0,6*+7000*(*0,5^2/4)=1561,7 Kg-f = 1 1 1 + 1 1

= 2 2 2 + 2 2 , A1=A2 , 2 = 2 , P1=P2 , V2=V1

Fy=1561,7 Kg-f.

20. Resolver el problema cuando las perdidas en el codo vienen dadas por 0,6

V1^2/2g siendo V1 la velocidad de aproximacin, y comparar los dos resultados.

SOLUCION:

Tomando un volumen de control sobre el codo y situado en el plano horizontal X-Y.

a) Considerando sin prdidas en el tubo codo.

Fx=Fy=1561,7 Kg-f.




1

+

12

2=

2

+

22

2

2

=

(12 22)

2+

1

=

Q=40000(Lt/min)*(min/60 seg)*(m^3/1000 Lt) = 0,67 m/seg

P1=1,5 Kg/m

V1=Q/A1= O,67/(*0,45^2/4)=4,212 m/seg D1=0,4

5 m

D2=

0,60 m

P2/=(4,212^2)-(2,369^2/19,6)+1,5*10^4/0,83*1000= 18.618 m S=O.83

P2= 18,618*=18,618*0,83=15452,92 Kg/m^2 Q=40000Lt/min

Dela ecuacin de la cantidad de movimiento:

= 1 . 1 + (.

) 1

= 15000 0.452

4+ (1000 0.67 4,212 0,83)/9.81




Fy=2523.34 Kg

Fx= 4369.2+200,4=4569.63 Kg

b) En consideracin de prdidas en el codo la ecuacin de Bernoulli entre 1 y 2.

1

+

12

2=

2

+

22

2+

2 =12 22

2 +

1

=

1 22 0.612

2+

1

=

0,412 22

2+

1

2

=

4,2122 2,3692

19,12 0.6

4,212

1962+ 1,5

14

0.83 1000= 18,223

2 = 18,223 0,83 1000 = 15125,57 /2

= 1 1 + (

) 1 = 2623.34

= 2 2 + (

) 2 = (

0,62

4) 15125,57 + 200,4 = 4477,17

Conclusin sin perdidas Fy=2623,34 Kg Fx=4569,63 Kg

Conclusin con prdidas Fy=2623,34 Kg Fx=4477,17 Kg

21. El chorro de agua golpea perpendicularmente a una placa fija. Despreciando la

gravedad y la friccin, calcule la fuerza F en N requerida para mantener la placa

fija. Las cantidades a analizar se muestran en la figura.




Utilizando un volumen de control que incluya tanto a la placa como al chorro que incide

y tomando = (ya que solamente en x se lleva a cabo el anlisis al considerar que el chorro se divide en dos partes iguales que hacen que en Y se anulen las fuerzas), se tiene: Se indicar slo la componente en la velocidad en x que es u.

= =

, =

= = (998 / 3 ) (0.05 ) 2

(8 /) 2

= 500

22. Una tubera de 60cm de dimetro, que transporta 900l/seg de un aceite (Dr=0,85),

tiene un codo de 90en un plano horizontal. La prdida descarga en el codo es de

1,10 m de aceite u la presin a la entrada de 3,00 kg/cm. Determinar la fuerza

resultante ejercida por el aceite sobre el codo.

Solucin:

con referencia a la figura el diagrama del cuerpo libre, que se muestra, pone de manifiesto

las fuerzas estticas y dinmicas que actan sobre la masa de aceite que ocupa el codo.

Dichas fuerzas se calculan as:

() 1 = 1 = 3,00 1

4(60)2 = 8480




() 2 = 2, 2 = 1

2,

, 1 = 2

1 = 2, , 2 = (3,00 0,85 1000 1,10

104)

1

4(60)2 = 8220

()

1 = 2 =

= 3,2

1 + ( ) 1 = 2

8480 = (0,85 1000 0,9000

9,8) (0 3,2) = 250

= 8730

() , = 1 ,

1 + ( ) 1 = 2

8220 = (0,85 1000 0,900

9,8) (3,2 0) = +250

= +8270 .

Sobre el codo la fuerza resultante R acta hacia la derecha y hacia abajo, y su valor es

igual a:

= (8730) + (8270) = 12,025 = (8270

8730) = 43,4




23. El rociador mostrado en la fig. Suministra agua que es descargada

tangencialmente desde los chiflones, en los extremos opuestos de un brazo cuya

longitud es de 2 = 0.60 y gira alrededor de su centro. La velocidad relativa

de descarga V en los chiflones de 6 m/s Y el dimetro de cada chifln en de 13

milmetros. Calcular la magnitud de la fuerza?

Solucin:

De la ecuacin de la cantidad de movimiento la fuerza dinmica que impulsa a cada

chifln es:

=

( 0)

Siendo el rea de cada chiflo y Q=va el gasto descargado por el mismo, la fuerza ser:

=

=

1000 (0.013) (6)

9.8 4

= 0.488

= 2 = 0.488 0.6 = 0.292 .

La fuerza F es entonces:

=

2=

0,292

0,15 = 1.952

24. Los chorros de un aparato de riego por aspersion tiene 3 cm de dimetro y salen

en direccin normal al radio de 60 cm. si la presin en las bases de las boquillas

es de 3.50 kg/cm Qu fuerza debe aplicarse sobre cada uno de los brozos a 30

cm del eje de giro, para mantener el espesor en reposo? (utilizer Cv =0.80 y Cc =

1.00)

Solucin:




La reaccin producida por el chorro del aspesor puede calcularse por el principio de la

cantidad de movimiento. Ademas, como la fuerza que produce el cambio en la cantidad

de movimiento en la direccion X actua a lo largo del eje X no da lugar a ningun par.

Interesa por tanto la variacion de la cantidad de movimiento el la direccion Y. pero la

cantidad de movimiento inicial en la direccion Y en nula. La velocidad del chorro sera:

= 2 = 0,802(35,0 + )

= 21,0 /

As, = () = [1000

9,8

1

4(0,03)2 21,0 ] (21,0)

De donde = 31,8 dirigida hacia abajo y actuando sobre el agua. De aqu, la

fuerza que el chorro ejerce sobre el aspersor es de +31,8 kg y dirigida hacia arriba.

Finalmente.

= 0, (0,3) 0,6(31,8) = 0, = 63,3

25. Un viento de una velocidad de 80 Km/h choca una pancarta de sealizacin de

2.0m por 2.5m incidiendo normalmente a su superficie. Para una lectura

baromtrica normal. Cul es la fuerza que acta contra la seal? (w=1.200kg/m)

Solucin:

Para un chorro de fluido, de pequea seccin transversal, que incide sobre una placa en

reposo de grande dimensiones se ha visto que la fuerza ejercida por el fluido es,

() = () (

) () = x

La placa en reposo que se considera en este problema a una gran cantidad de aire. Su

cantidad de movimiento no se reduce a cero en la direccin X, como suceda en el caso




del chorro de agua. Los ensayos realizados con placas que se mueven a travs de fluidos

de diferentes velocidades muestran que el coeficiente de resistencia vara con la relacin

de longitud a anchura y que su valor es prcticamente constante por encima de nmero

de Reynolds iguales a 1000. Es diferente que el objeto se mueva a travs de un fluido de

reposo o sea el fluido el que se mueva alrededor del objeto en

reposo; los coeficientes de resistencia y las resistencias totales son iguales en ambos

casos. La velocidad relativa es la magnitud significativa.

El coeficiente (Cd) se emplea en la siguiente ecuacin:

=

2

Esta ecuacin se escribe a veces para incluir la altura de velocidad, en la siguiente forma:

=

2

Utilizando Cd = 1,20 obtenido en el diagrama F,

= 1,20 (1,200

9,8) (5)

(80 1000 3600)

2= 181

26. Calcular la fuerza de un fluido incompresible sobre un tubo curvo.

SOLUCION:

11 22 = (2 1 )

= (1 2 ) + 11 22




27. Una pieza especial consta de dos boquillas de dimetro 22 mm, que descargan a

la atmsfera cada una un caudal de 9 l/s. Esta pieza est unida en B a una tubera

hierro galvanizado de 125 mm de dimetro. Tanto la tubera principal como la

pieza especial se encuentran apoyadas en un plano horizontal. Se pide,

despreciando las prdidas de carga en la pieza especial:

a) Esfuerzos (Fuerzas Fx, Fy) que se producen en la unin.

Aplicando la ecuacin de Bernoulli en la pieza especial:

22 = 2 W= 0

= (2 ) + 22 + 22

= 1 = 2

+

2

2+ =

1

+1

2

2+ 1 =

2

+2

2

2+ 2

Donde: 1 = 2 = 0 ademas, = 1 = 2




a) Aplicacin de la ecuacin de la cantidad de movimiento

Fuerza de presin:

= = 279199 0.1252

4= 3426.3

Por lo tanto:

=23.682 1.472

19.6= 279199

+

2

2=

12

2

Calculo de velocidades

1 =

2

4

=0.009

(0.022)2

4

= 23.68

=

2

4

=0.018

(0.125)2

4

= 1.47




Entonces los esfuerzos en la brida de unin son:

Aplicacin de la ecuacin a los ejes x e y:

= (

)

+ = (11 )

3426.3 + = 1000(0.009 23.68 0.018 1.47)

= 3426.3 + 1000(0.009 23.68 0.018 1.47)

= 3666

() = 3666

= (11)

= 1000(0.009 23.68)

= 213 () = 213




28. Se usa un codo de 45 para dirigir agua que circula con un gasto de 250 . La

presin en el punto A es de 1.48 1.48

2 . Calcular la fuerza ejercida por el

agua sobre codo, despreciando las prdidas de carga.

Velocidades en los puntos A y B:

Tomando Bernoulli en los puntos A y B:

Las fuerzas en A y B:

=

=

0.2504 (0.305)

2= 3.43 =

2

2+

+ =

2

2+

+

3.432

19.6+ 14.8 + 0 =

3.432

19.6+

+ 0.50

14.8 +

+ 0.50

= 1.43

2

= = 1.48 730 = 1080

= = 1.43 2920 = 4176




La cantidad de movimiento: Para fuerzas horizontales:

Para fuerzas verticales:

Entonces la fuerza ejercida por el agua ser:

4176 45 1080 =1000

9.8(0.250)(0.86 45 3.43)

2953 1080 = 25.5 (0.61 3.43)

1873 = 72

= 1945

4176 45 =1000

9.8(0.250)(0.86 45 0)

2953 = 15.5

= 2968.5

= 2 +

2 = 19452 + 2968.52

= 3549




29. Se usa un codo de inversin tal que el flujo de agua realiza una vuelta en U de

180 que viene de una tubera horizontal a razn de 14

. El rea de la seccin

transversal del codo es de 113 2 y de 7 2 a la entrada y salida

respectivamente. La diferencia de elevacin entre los centros de las secciones de

entrada y salida es 0.3 m. Determine la fuerza de anclaje necesaria para sostener

el codo en su lugar.

SOLUCION:

Las velocidades en la entrada y salida son:

Bernoulli en 1 y 2

La componente vertical de la fuerza de anclaje en la conexin del codo y el tubo

es cero en este caso = 0, ya que no existe otra fuerza ni cantidad de movimiento

en esa direccin (se est despreciando el peso del codo y el agua). La componente

horizontal de la fuerza de anclaje se determina con base en la ecuacin de la

cantidad de movimiento en la direccin x. Ntese que la velocidad de salida es

negativa, puesto que se encuentra en la direccin x negativa, entonces se tiene:

1 = 14

(1000)(0.0113)= 1.24

1 = 14

(1000)(0.0007)= 20

12

2+

1

+ 1 =2

2

2+

2

+ 2 1 = (2

2 12

2 2 1)

1 = (1000)(9.81)[(20)2 (1.24)2

2(9.81) 0.3 0](

1

1000 2)

1 = 202.2 /2 = 202.2 KPa




Por lo tanto la fuerza horizontal sobre la brida es de 2591 acta en la direccin X

negativa.

30. En la conexin de agua a un domicilio se utiliza un tubo de 1 de dimetro por la

cual fluye un caudal de 105 con una presin de 1.84

2 , la cual por medio

de una reduccin pasa a un dimetro de 3 4 . Determinar la fuerza que ejerce el

agua sobre la reduccin.

SOLUCION:

reas y velocidades

Aplicamos Bernoulli en 1 y 2:

1 =(0.0254)2

4= 0.0005

2 =(0.019)2

4= 0.0003

1 =0.105

0.0005= 210

2 =0.105

0.0003= 350

= (1.03)(14)(20 + 1.24) (1

1 2) (202.2)(0.0113)

= 306 2285

= 2591




Aplicando la ecuacin de la cantidad de movimiento

31. Hallar el peso W en kilogramos que esta siendo sostenido por el chorro de agua

mostrado, si el diametro de la boquilla es de 8cm y la velocidad es Vo=15m/s. La

altura de esquilibrio H=3m.

12

2+

1

+ 1 =2

2

2+

2

+ 2

1

+1

2

2=

2

+2

2

2

2 = 1(2

2 12

2)

2 = 1.84(3502 2102

19.6)

2 = 7360

2

= 2 1

11 + =

(2 1)

(1.84)(0.0005) + =1000

9.81(0.105)(350 210)

0.001 + = 281.25

= 1498

= 1498




Si V1 es la velocidad de entrada y aplicando la ecuacin de cantidad de movimiento.

P1*A1-W=p*Q*(VSY-V1).. (1)

VSY=proyeccin de la velocidad de salida en el eje Y.

P1=Patm

0-W=p*Q*(0-V1)

W= p*Q*V1 (2)

Aplicando Bernoulli entre 0y1.

0+VO2

2.g+0 = 0+

VO2

2.g+H

V1=V02 2. g. H. (3)

Q=A0*V0. (4)

(4)(3) en (2)

W=p*A0*V0* V02 2. g. H

W=1000*15*0.082

4*152 2 9.8 H

W = 972N = 99.2Kg




32. Fluye agua a razn de 5m/s por una llave que est sujeta mediante una brida que

tiene una valvular de compuerta parcialmente cerrada. l dimetro interior del

tubo es 0.4m y se mide que la presin manomtrica en ese lugar es 30Kg/m2.El

peso total del conjunto de la llave ms el agua es 25Kg, calcule la fuerza neta de

la brida.

SOLUCION

V2=V1=V=5m/s

0.42

4

=39.788m3

m=P.V=1000Kg/m3*5m/h

Se aplica la ecuacin de cantidad de movimiento

F = B. m. Vsal - B. m. Vent

Mdulo Vx = +V1 entrada

Mdulo Vx = 0 salida

Mdulo Vz = 0 entrada

Mdulo Vz = -V2 salida

Peso de llave y del agua en direccin de Z. Ninguna fuerza de presin viscosa acta

sobre el volumen de control elegido en direccin Z.

ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO A LO LARGO DE X, Z

FRX=P1man*A1 = 0-m*(+V1)

FRZ - Wllave - Wagua = m*(-V2) 0

Se despeja FRX,FRZ y se sustituyen los valores dados.




FRX = -m*V1 - P1man*A1

FRX = -39.788*5000 -30* 0.42

4=-198943.7699

FRZ=-39.788*5000 25Kg = -198965.0

FR brida = 19894,7699i,198965k

33. Considere el flujo laminar a travs de una seccin recta muy larga de un canal de

agua que consta de un tubo circular con la componente axial de la velocidad dada

por:

V=2*Vprom*(1 - r2

R2)

R=radio de la pared interior del tubo

Vprom=velocidad promedio

Calcule el factor de correccin del flujo de la cantidad de movimiento atravez de una

seccin transversal del tubo para el caso donde el flujo en este representa una salida del

volumen del control.

SOLUCION

Se calcula el factor de correccin del flujo de cantidad de movimiento.

Factor de correccin del flujo de la cantidad de movimiento

B*1

Ac*(

V

Vprom)

2*dAc . (1)

En (1) se sustituye V por el perfil dado la velocidad y se integra dnde:

dAc = 2 rdr

B*1

Ac*(

V

Vprom)

2*dAc =

4

R2* (1

r2

R2R

0) 2 rdr




Se define una nueva variable de integracin

Y = 1 - r2

R2 Dy = 2 rdr/R2

Y=1 , r=0 Y=0 , r=R

Se integra

B = -4 Y20

1dY = -4(

Y3

3) =

4

3

Se a calculado B para una salida, pero se habra obtenido el mismo resultado si se hubiera

considerado la seccin transversal del tubo como una entrada de volumen de control.

34. Se acelera agua mediante una boquilla hasta alcanzar una magnitud promedio de

velocidad 10m/s despus choca ,el chorro de agua se dispersa en toda direccin

en el plano de la placa .Determine la fuerza necesaria para impedir que la placa se

mueva horizontalmente debido al chorro de agua.

SOLUCION

Se traza el volumen de control en tal forma que contenga la placa completa y corte

normalmente el chorro de agua y la barra de soporte.

Ecuacin de cantidad de movimiento para el flujo unidimensional estacionario en reposo.

F = B. m. Vsal - B. m. Vent

V1,X = V1 y V2,X=0

-FR = 0 B.m.V1




FR = B.m.V1 = 1*(10Kg)*(10m/s)*(N

1Kgm/s2) = 100N

35. Un chorro de agua que sale de una tubera estacionaria con velocidad de 15m/s y

la rea del chorro = 0.05m2 incide contra un alabe curvo montado en un carrito

como se muestra en la figura. El alabe modifica la direccin del chorro en un

Angulo =50.Calcular en valor de M necesario para mantener el carrito en

reposo.

SOLUCION

Vc=volumen de control

Rx, Ry =componentes de la fuerza necesaria para mantener en reposo el Vc.

SUPOSICIONES

El flujo es estacionario La magnitud de la velocidad a lo largo del alabe es constante Las propiedades del fluido son uniformes en las secciones 1 y 2 Fax=Fbx=0 Flujo incomprensible

Rx = u(p. v. dA)A1

+ u(p. v. dA)A2

= -u1.(p.V1.A1) + u2(p.V2.A2)

DE LA ECUACION DE CONTINUIDAD

Rx = (u2-u1)(p.V1.A1)

Las velocidades respecto al volumen de control son.

u1=V u2 = Vcos

V1 =V V2 = V




SUSTITUYENDO

Rx=V (cos 1)(P.V.A) = P.V2. (cos 1).A = -M

M = p.V2. (1 cos ).A

36. Un orificio en pared delgada de 150 mm de dimetro situado a una profundidad

de 7,5 m sobre la pared de un depsito descarga un caudal de 180 l/s de agua. El

chorro incide sobre una pantalla plana, inclinada 60 con la horizontal. Para

mantener dicha pantalla en esa posicin hay que aplicar frente al chorro una fuerza

de 180 kg en direccin perpendicular a la pantalla.

Suponiendo constante la altura del depsito, calcular:

a) los coeficientes de los orificios Cc, Cv, y Cd.

b) Reparto de caudales en la pantalla.

Nota: Suponer nulo el rozamiento en la placa.

Resolucin.

a) Coeficientes de los orificios Cc, Cv, y Cd.

Velocidad terica v1t del chorro:




1 = 2(7.5) = 12.12 /

Caudal terico del chorro:

=0.152

412.12 = 0.2143

3

= 214.3 /

Coeficiente de caudal: =1

=

180

214.3= 0.8

Aplicacin de la Ecuacin del Teorema de la Cantidad de Movimiento.

= [ ]

1) Eleccin del Volumen de Control, (indicado en el dibujo).

2) Fuerzas exteriores al Volumen de Control.

La presin exterior al Volumen de Control es atmosfrica. Por tanto se anula. El peso

del lquido del Volumen de Control se considera despreciable. La fuerza en direccin x

de la placa sobre el Volumen de Control, no existe por la no existencia de rozamiento en

la placa.

Rx = 0

La fuerza en direccin y: Ry = F = 180 kg = 1764 N.

3) Las velocidades en las secciones 1, 2 y 3 del flujo son idnticas, si se aplica la Teora

General de labes, donde las prdidas de carga y las diferencias de cota son despreciables.

v1 = v2 = v3

4) Direccin Y

= [

]

= [0 1(160)]




= 1160

1 =1764

1000(0.18)(60)= 11.32 /

Coeficiente de velocidad: =1

1=

11.32

12.12= 0.933

Coeficiente de contraccin: =

=

0.84

0.933= 0.9

Direccin X:

= [

]

0 = [(22 33) 11 cos 60]

Como: v1 = v2 = v3

2 3 = 1 cos 60

Aplicando la Ecuacin de la Continuidad:

2 + 3 = 1

Resolviendo este sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitas:

2 = 1(1 + cos 60)

2= 135 /

3 = 1(1 cos 60)

2= 45 /




37. Una rueda de una turbina Pelton es alimentada por un inyector situado en la cota

125. La tubera forzada es de acero comercial de 500 mm y 1400 m de longitud.

Si el dimetro del chorro es de 9 cm y el factor de paso de la boquilla es 0,025 con

la energa cintica a la salida, calcular:

a) Caudal circulante. b) La velocidad del chorro. c) La velocidad u de los labes para que la potencia obtenida sea la mxima,

suponiendo nulas las prdidas por rozamiento del chorro a su paso por el labe o

cazoleta.

d) Par y potencia obtenida por la turbina. e) Velocidad del chorro a la salida del rodete.

Resolucin.

a) Clculo del caudal circulante:

Aplicacin de la ecuacin de Bernoulli del embalse hasta el chorro:

= = 1

Las prdidas de carga en la tubera forzada se calculan por medio de la expresin de

Hazen-Williams: = 1.852( )

( ) = 0.006

( ) =

0.006

50= 0.00012




Coeficiente de Hazen-Williams = 140

1 = = 9.22108 (

( )1.852

)

4.75 9.22 108 ( )

1.852 0.0251

2

2= 125 +

12

2

Donde 1 =4

2=

4

0.092= 157.9 (

3 )

Solucin: = 510 1 = 80.2

1 = 1

Suponiendo despreciables las prdidas en la cazoleta:

1 = 2 = 3 = (1 )

Aplicacin del teorema de la Cantidad de Movimiento, al labe:

= [ ]

= [2(1 ) cos 2 3(1 ) cos 2 (1 )]

Siendo: 2 + 3 = 1 = 510

= (1 ) (1 + cos 2)

Fx = Fuerza transmitida al rodete = Rx ()

Potencia til = = (1 ) (1 + cos 2)




Obtencin de u para mxima potencia:

= (1 + cos 2)(1 ) = 0 =

12

Por tanto: =80.2

2= 40.1

= =()

60; =

60

=

6040.1

1000= 0.766

Fuerzas:

(1 ) (1 + cos 2) = 1030.510(80.2

80.2

2)(1 + 6) = 40773 N

= = 407730.766

2= 15607 .

= = 4077340.1103 = 1634

= 40.1

= = 40.1

Teorema del coseno:

22 = 2 + 2 2 6

2 = 4.2

38. En un vertedero bidimensional como el que se muestra en la figura fluye agua. La

velocidad es uniforme en las secciones 1 y 2, mientras que las lneas de corriente

son paralelas si las secciones se encuentran suficientemente lejos del vertedero.




Despreciando prdidas y conociendo que h1 = 5 m y h2 = 0.7 m, calcular V1, V2 y la fuerza

horizontal F ejercida por el agua sobre el vertedero.

Respuesta:


alejadas y horizontales en y = 0 y en y = Ys > h1. Todas las fuerzas son expresadas por

unidad de profundidad.


11 = 22

Aplicando la integral de Bernoulli sobre una lnea de corriente en la superficie:

1 +1

21

2 + 1 = 2 +1

22

2 + 2


122

2 = 2(2 1)


1 = 22

1 + 2

Evaluando:

1 = 1.298

; 2 = 9.272

Aplicamos conservacin de momento en el mismo volumen de control, utilizando presin

atmosfrica nula para simplificar. Siendo F la fuerza del vertedero y Fs, x la fuerza

superficial:




+ , = (. ).


, = (1 ) 1

0

(2 )2

0

=

2(1

2 22)

Reemplazando y evaluando los flujos de momento resulta:

= [2221

21 1

2(1

2 22)]

Y evaluando:

= 64344

39. Los pilares de un puente estn separados una distancia entre ejes de 8.20 m. Aguas

arriba el tirante es 4.00 m y la velocidad media del agua 4.50 m/s. Aguas abajo el

tirante es 2.50 m. despreciando la pendiente del rio y las prdidas por friccin,

encontrar el empuje del agua sobre cada pilar.

Respuesta:

Se elige un volumen de control, como el indicado, de 8.20 m de ancho y limitado por las

secciones (1) y (2).

= 11 = 11 = 147.63

2 =

2=

2= 7.2 /




Suponiendo distribucin hidrosttica de presiones en las secciones 1 y 2, la ecuacin de

la cantidad de movimiento escrita en la direccin de la corriente es:

1 2 =

(2 1)

Asumiendo que sobre el agua acta la fuerza F hacia la izquierda.

Despejando:

= 1 2

(2 1)

Reemplazando:

1 =1

21

2 = 65600

2 =1

22

2 = 25625

Y los valores conocidos de Q, V1 y V2

Se obtiene:

= 648.85

40. La Tee mostrada en la figura pertenece a los accesorios de una Red de

Distribucin de un Sistema de Agua Potable de la Localidad de Huayllay.

Despreciando las perdidas, determinar las componentes segn x e y de la fuerza

necesaria para mantener en su posicin la Tee. El plano de la Tee es horizontal.

Respuesta:




Siendo: 3 = 1 2 = 115 /

a) Calculo de velocidades:

1 =41

12 =

40.22

0.02652= 398.88 /

2 =42

22 =

40.105

0.02652= 190.37 /

3 =43

32 =

40.115

0.02652= 208.50 /

b) Aplicacin de la Ecuacin de Bernoulli: Siendo Z1=Z2=Z3

En (1) y (2):

1

+1

2

2=

2

+2

2

2 2 = 1 +

2(1

222) 2

= 6277207.82 /2

En (1) y (3):

1

+1

2

2=

3

+3

2

2 3 = 1 +

2(1

232) 3

= 5908629.17 /2

c) Aplicacin del Teorema de la Cantidad de Movimiento:

Direccin Y

= [

]

33 = (33) = (33) + 33

= 5703.07 ()

Direccin X

= [

]

+ 11 22 = (22 11) = (22 11) + 22 11




= 3453.83 ()

41. El agua de un canal descubierto de una boca toma fluye por debajo de la

compuerta de descarga o esclusa, como se muestra en la figura. El flujo es

incompresible y uniforme en las secciones 1 y 2. Puede suponerse que en estas

secciones la distribucin de presiones es hidrosttica porque las lneas de corriente

del flujo son esencialmente rectilneas en dichas secciones. Determinar la

magnitud y la direccin de la fuerza que acta sobre la compuerta de 1 m de ancho.

Solucin:


alejadas y horizontales en y = 0 y en y = Ys > h1. Todas las fuerzas son expresadas por

unidad de profundidad.

Es volumen de lquido que pasa a travs de una seccin transversal en la unidad de tiempo.


1 1 = 2 2

Aplicando de Bernoulli sobre una lnea de corriente en la superficie:

1 +1

21

2 + 1 = 2 +1

22

2 + 2


1 = 1.5




12 2

2 = 2(2 1)


1 = 22

1 + 2

Sin embargo por dato tenemos:

1 = 0.2

2 = 5.33

1 = 1.5 2 = 0.0563

= (. )

= + ,

Donde: , =


, = (1 ) 1

0

(2 ) =

2(1

2 22)

2

0

Reemplazando

+ , = (1 2)

= (2 1)

2(1

2 22)

= (22 2 1

2 1)

2(12 22)

= 103(5.332 1.5 1 0.22 0.0563 1) 103 9.81

2(1.52 0.05632)

= 31590.395

()




42. Una pieza especial consta de dos boquillas de dimetro 30 mm, que descargan a

la atmsfera cada una un caudal de 15 l/s. Esta pieza est unida en B a una tubera

hierro galvanizado de 175 mm de dimetro. Tanto la tubera principal como la

pieza especial se encuentran apoyadas en un plano horizontal. Se pide,

despreciando las prdidas de carga en la pieza especial:

Presin en A (Pa).

Esfuerzos (Fuerzas FX, FY) que se producen en la unin.




Resolucin.

a) Aplicacin de la Ecuacin de Bernoulli en la pieza especial:

BA = B1 = B2

+

+

2

2= 1 +

1

+1

2

2= 2 +

2

+2

2

2

Tomando presiones manomtricas: P1=P2=0. Adems Z1=Z2=ZB.

+

2

2=

12

2

Calculo de las velocidades:

1 =4

12 =

4 0.15

0.152= 8.488

=4(2)

22 =

8 0.15

0.152= 16.977

Por lo tanto:

=16.9772 8.4882

19.6= 11.018 = 108086.193

b) Aplicacin del teorema de la cantidad de movimiento:

1) Eleccin del Volumen de Control C.

2) Eleccin de los ejes x, y, z.

3) Fuerzas exteriores al Volumen de Control.




Fuerza de presin: = = 279199 0.152

4=

1910.041

Rx, Ry: accin de la pieza sobre el fluido.

4) Clculo de velocidades.

1 = 8.488

= 16.977

5) Aplicacin de la ecuacin a los ejes x e y:

= (

)

= + = (2 )

= 3246.3 + 103[0.15 8.488 0.15 16.977]

= 1277.657 (() = 5.73 )

= = (1) = 103 0.15 8.488 = 1.273 ( ()

= 1.273 )

Los esfuerzos en la brida de unin son:

43. A travs del codo de 90 mostrado en el diagrama fluye agua en estado

estacionario. La presin absoluta a la entrada del codo es 21 KPa y el rea de la

seccin transversal es 0.002 m2. El rea de la seccin transversal a la salida es

0.002 m2 y la velocidad es de 16 m/s. La presin de descarga (suponemos para

este ejercicio) es la atmosfrica.

5.730KN

1.273KN




Determine la fuerza necesaria para mantener el codo en su lugar.

Solucin:

SUCCION DE FONDO

a) Aplicacin de la Ecuacin de Bernoulli en la pieza especial:

1= 21 KPa

1 = 0.25 m

1= 16 m/s

1 +1

+1

2

2= 2 +

2

+2

2

2

2(1 +1

+1

2

2) = 2

17.404 / = 2




= 111 + 222

= 103 (17.404

0.002 2)

= 35.275

= 111 + 222

= 103 (16

0.002 2)

= 32.429

44. Un aceite de peso especifico relativo 0,75 fluye por un codo convergente de 120,

colocado en posicion horizontal. El diametro aguas abajo es de 600 mm y la

presin de 0,8 kg/cm2 .El diametro aguas arriba es de 750 mm y el caudal de 100

m3/mn.

Despreciando las perdidas de energia debidas al codo, se pide:

a) Componentes de la fuerza (paralela y normal a la velocidad de aguas abajo) que soporta

el codo.

V2

2

1

y




Nota: Se despreciaran las energas de posicin.

Solucin:

Por continuidad:

= 100 3

1

60 = 1.667

3

11 = 22=Q

1 =4 (1.667

3

)

0.7502= 3.773

2 = (3.773

)

0.7502

0.6002= 5.896

Aplicando Bernoulli:

1 +1

+1

2

2= 2 +

2

+2

2

2

Tomando presiones manomtricas: P1=? ; P2=0.8 kg/cm2. Adems Z1=Z2

1

1 +1

2

2=

2

+2

2

2

1

1 =2

+2

2

2

12

2

1

=8000

2

7357.5+

(5.896 )

2

19.62

(3.773 )

2

19.62= 3.585

1 = 26374.379

c) Aplicacin del teorema de la cantidad de movimiento:




Eleccin del Volumen de Control C.

Eleccin de los ejes x, y, z.

Fuerzas exteriores al Volumen de Control.

Fuerza de presin: 1 = 1 = 26374.379 0.7502

4=

11651.844

Rx, Ry: accin de la pieza sobre el fluido.

Clculo de velocidades.

1 = 3.773

2 = 5.895

Aplicacin de la ecuacin a los ejes x e y:

= 111 + 222 ()

= + 22 + 1160 ()

1 = (3.773

) 60 = 2.218

2 = 5.896

Reemplazando valores en la ecuacin II:

= + (26374.379 0.7502

4) 60 + 78480

0.6002

4

= + 29038.381

Luego en la ecuacin I:

= + 29038.381 = 2.218

750 3.773

0.7502

4+ (5.896

)

2 750

0.6002

4




= 24439.487 = 24439.487

Calculamos la fuerza resultante de :

1 = 3.773

60 = 3.052 /

= (3.052

) 750 3.773

0.7502

4= 3815.970

45. La boquilla de una manguera de incendios tiene 3 cm de diametro interior, y esta

acoplada a un tubo cilindrico de 8 cm de diametro, igualmente interior. Cuando la

boquilla se abre, la manguera proporciona un caudal de 40 l/s. Se pide:

a) Carga en la boquilla.

b) Resultante de las fuerzas que el acoplamiento de la boquilla con el tubo debe

resistir cuando la boquilla esta abierta, y cuando esta cerrada.

Solucin:

Por continuidad:

= 40

1

1000 = 0.04

3




11 = 22=Q

1 =4 (0.04

3

)

0.082= 7.958

2 = (5.958

)

0.082

0.032= 42.368

Aplicando bernulli:

1 +1

+1

2

2= 2 +

2

+2

2

2

Tomando presiones manomtricas: P1=? ; P2=0 kg/cm2. Adems Z1=Z2

1

+1

2

2=

22

2

1

=2

2

2

12

2

1

=(42.368

)

2

19.62

(7.958 )

2

19.62= 88.263

1 = 865858.83

= (2 1)

= 103 0.04

3

(42.368

7.958

) = 1376.4




46. El chorro de agua que sale por una tobera es de 10 mm de dimetro y choca contra

una superficie semiesfrica. Halle la fuerza que haya que realizar para a superficie

semiesfrica no sufra desplazamiento alguno, aplquelo para que el caso del

caudal volumtrico entrante sea de 0.001m3/s. y comente las hiptesis realizadas.

El empuje que el chorro de fluido ejerce sobre la superficie semiesfrica tiene la misma

magnitud y sentido contrario a la fuerza que hay que ejercer para que la semiesfera no se

desplace. La figura muestra un esquema de las fuerzas actuantes sobre la semiesfera.

La ecuacin de cantidad de

movimiento establece:

Se trabaja con presiones relativa y rgimen permanente:

Suponiendo que la velocidad de entrada y de salida es la misma:

Reemplazando:

Siendo la expresin de la fuerza de la reaccin en funcin del caudal de entrada.

Para el agua y un caudal entrante de : 0.001m3/s, la fuerza tendr un valor de:

F= -25.46




47. Un bote requiere 20 KN de empuje para mantenerlo en movimiento a 25 km/h.

a) Cuantos m3/s de totala del sistema agua deven ser tomados y expulsados por un

tubo de 55mm para atener ese movimiento?

b) Cual es el rendimiento total del sistema de bombeo tiene un rendimiento del

60%?

Solucion.-

a)

Tenemos que densidad= 1000m/s

Velocidad del vote v=25 km/h=6.94m/s

Movimiento absoluto del agua en las secciones1 y 2

velocidad absoluta(seccion 1)=0




48. Una rueda de una turbina de Emapa.es alimentada por un inyector de cota 4215.

La tubera es de acero comercial de 500 mm y 1400 m de longitud .Si el dimetro

del chorro es de 9 cm y el factor de paso de la boquilla es de 0.025 con la energa

cinetica a la salida calcular:

a) El caudal circundante

b) La velocidad del chorro

c) La velocidad de u de los alabes para que la potencia obtenida sea la mxima

suponiendo nulas las perdidas por rozamiento del chorro a su paso por el alabe o

cazoleta.

d) Par y potencia obtenida por la turbina.

e) Velocidad del chorro a la salida del rodete.

Solucin.-

a)

Aplicacin de la ecuacin de Bernoulli en el embalse del chorro.

Las perdidas de carga expresada por Hazen Williams




d)

e)

f)




49. Se dirige una corriente de aceite (sg = 0.90) hacia el centro de la base de una placa

metalica plana, con objeto de mantenerla fria durante una operacion de soldadura

en un proyecto mecanico de la planta de cementacion de cobre de Agua Mina.

La placa pesa 550 N. Si la corriente tiene 35 mm de diametro, calcule su velocidad para

que pueda levantar la placa. La corriente choca con la placa en forma perpendicular.




50. Un conjunto de persianas desva una corriente de aire caliente sobre partes

pintadas, como se ilustra en la figura. Las persianas estan giradas un poco para

que distribuyan el aire de manera uniforme sobre las partes. Calcule el par que se

requiere para girar las persianas hacia la corriente, cuando esta fluye a una

velocidad de 10 pies/s. Suponga que todo el aire que llega a una persiana se desvia

con el angulo en que la persiana se encuentra. El aire tiene una densidad de 2.06

x 10 s/pie3. Utilice = 45.

Calculando para una longitud de 20 pul.




Asume Rx la medida de ventilacin a 2.5 desde el pivote

Momento:

51. sobre la banda transportadora q ue se mueve a una velocidad de 5 m/s, se depositan

2m3/s de grava. La grava tiene un peso especifico de 20kn/m2, esta deja la tolva

auna velocida de 1m/s y a continuacion tiene una caida libre de una altura media

de h=2m tal como s eindica en la figura.

a) Calcular la componete horizontal y vertical de la fuerza que ejerce la grava sobre la

banda transportadora.

b) El par necesario para que la banda realice el trabajo.

SOLUCION:

A) La fuerza horizonta que ejerce la grava sobre la bomba ransportadora es devido

a la velocidada de 5m/s, con que la grava avandona la banda. Lafuerza verticala

por otrao lado es devido al peso de la grava situada encima de la banda, con accion

de la grava que incide sobre la banda al caer la tolva.

Se aplica el teorema de cantida de movimiento en un dterminado volumen de control




Se eligen lo ejes X,Y:

Las fuerzas anteriores al volumen de control

Peso de la grava

Rx y Ry: accion de la banda sobre la grava.

La velocidada de salida de la grav del volumne de control es v=5m/s.La velocidada de

entrada de la grava entrada al volumen de contro es:

La aplicacin de la ecuacion en el eje x es:




52. Un barco se desplaza a 30km/h. la velocidad del agua en la este que deja es de 24

km/h respecto al agua sin perturbar calculara e rendimiento de la propulsin.

Esquema de las velocidades relativas del agua respecto ala hlice que se desplaza a una

velocidad v hacia ala izquierda a travez de un fluido estacionario

La fuerza ejercida por la hlice es la nica fuerza extrema que actua en direccin axial si

el volumen de control elegido es el formado por las secciones 1 y 4 y la frontera de la

estela de desplazamiento:

Como la velocidad no varia a travs de las hlice entre 2 y 3 la misma fuerza vale:

Donde A es el rea barrida por las aspas de la hlice, Aplicando Bernoulli para la corriente

entre las secciones 1 y 2 y entre las secciones 3 y 4 se puede despejar:

P1-P2

La potencia util de la helice vale:

La potencia perdida en la propulcion de la energia cinetica por unidad de tiempo que

queda en la estela de deslizamiento.




Potencia total requerida en la propulsin;

Rendimiento de la propulsin




53. Un orifio en una ared delgada de 150mm de diametro situado a una profundidad

de 7.5 sobre la pared de un deposito descarga un caudala de 180ml/s de agua . el

chorro incide sobre una pantalla plana inclinada 60para matener dicha pantalla

en esa posicion hay que aplicara fernte al chorro una fuerza de 180 kg en direccion

perpendicular a la pantalla.calcular:

a) Los coeficientes de los orificios

b) Reparto de caudales en la pantalla( sin rozamiento)

Solucin:

Para los coeficiente de los orificios Cv, Cc y Cd

Velocidad terica del chorro:

Caudal terico del chorro

MECANICA DE FUIDOS I

informe mec. fluidos.pdf

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