UNMSM

Curso: Laboratorio de Electricidad y Magnetismo

Tema: Campo eléctrico

Alumnos: Avila Chávez, Jorge Orlando14160002

Miranda Salazar, Henry14190129

Nieto Cerna, Aníbal Jaime12130175

Ramos Cruz, Briggith Arasely14160127

Rayme Fernández, Elvis Rodder12160019

Fecha de entrega: 14 de septiembre de 2015

Índice

I) Resumen …………………………………………………………………………….… 2

II) Introducción …………………………………………………………………………... 2

III) Fundamento teórico .………………………………………………………………... 3

IV) Objetivos ……………………………………………………………………………... 6

V) Materiales …………...………………………………………………………………... 6

VI) Procedimiento ……………………………………………………………………..… 8

VII) Cuestionario ………………………………………………………………………...10

VIII) Conclusiones ……………………………………………………………………... 20

IX) Sugerencias ..………………………………………………………………….….... 20

X) Bibliografía …………………………………………………………………….…….. 21

XI) Apéndice ……………………………………………………………………………. 22

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I) Resumen

Se presenta un experimento apropiado para un curso de física a nivel general, que es una técnica para graficar líneas equipotenciales para electrodos con diferentes formas geométricas. Gracias a este procedimiento, se dibujan las líneas equipotenciales de las siguientes configuraciones: a) Un electrodo plano y un electrodo redondo y b) Dos electrodos redondos. Se comparan las apariencias visuales de ambas sistemas de líneas y se constata la relación matemática entre la intensidad de campo eléctrico y la diferencia de potencial.

II) Introducción

El espacio que rodea una carga eléctrica se llama propiamente campo eléctrico y sigue el principio de la superposición. El campo eléctrico ejerce fuerza sobre otras cargas. El potencial en un punto determinado al interior del campo eléctrico es el trabajo realizado al desplazar una unidad de carga positiva desde el infinito hasta el punto elegido. Una línea equipotencial es una línea en la que el potencial es el mismo en cualquier punto. El desplazamiento de una carga a lo largo de esta línea no requiere de trabajo. Puesto que dos puntos en la misma línea poseen el mismo potencial, hay una diferencia de potencial nula a lo largo de la línea. El campo eléctrico carece de componente tangencial a lo largo de la línea equipotencial y es siempre perpendicular a la línea.

De esta manera, si se consideran dos cargas puntuales separadas por una distancia determinada, entonces el potencial es el mismo para una serie de puntos, los mismos que, al reunirse, forman las líneas equipotenciales para una configuración geométrica particular.

Para graficar las líneas equipotenciales en este experimento, un recipiente de vidrio semilleno de un electrolito se emplea como un tanque electrolítico. Los electrodos metálicos de las formas geométricas a evaluar se colocan en el tanque. Se mantiene una diferencia de potencial entre los electrodos y aquella causa una distribución de potencial en el electrolito. Al medir los potenciales (mediante un voltímetro) en distintos puntos, uno puede identificar las coordenadas de los puntos equipotenciales y trazar las líneas equipotenciales en un papel coordenado. Pueden cambiarse las formas de los electrodos por otras para graficar las líneas equipotenciales de múltiples geometrías.

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III) Fundamento teórico

Potencial eléctrico

Puede resultar útil recordar preliminarmente el concepto intuitivo de energía potencial, en particular, el de energía potencial gravitatoria. Esta energía se asocia con la posición de una masa en un campo gravitatorio (su altura). La diferencia de potencial existente entre las ubicaciones de dos puntos distintos se define como la cantidad de trabajo que debe ejecutarse para moverse entre ellos. Entonces, se establece la relación entre la energía potencial y la fuerza:

∆U=UB−U A=−∫A

B

F⃗ d s⃗

que unidimensionalmente es: F=−dUdz .

Puede imaginarse el potencial creado por una partícula (el potencial gravitatorio es creado por una masa; el potencial eléctrico, por una carga) y, consiguientemente, este le da a otras partículas –con las que se relaciona en un sistema de coordenadas– una energía potencial. Se define el potencial eléctrico, V, y mediante este puede calcularse el campo:

∆V=V B−V A=−∫A

B

E⃗ d s⃗

que unidimensionalmente es: E=−dVdz .

Gracias a las similitudes entre ambas relaciones establecidas, y recordando que F = qE, la energía potencial de una carga en este potencial eléctrico debe ser: U = qV.

Cuando se piensa en el potencial puede convenir suponerlo como la “altura” (para el potencial gravitatorio en un campo uniforme esto es casi preciso, pues U = mgh y así el potencial gravitatorio es V = gh). El potencial eléctrico se mide en voltios, y la palabra “voltaje” se emplea para la diferencia de potencial entre dos puntos.

Equipotenciales y campos eléctricos

Cuando se intenta graficar un relieve, un mapa de líneas equipotenciales –líneas a lo largo de las cuales el potencial es el mismo– es bastante útil. En el caso del potencial gravitatorio, estos mapas se denominan mapas topográficos. Por ejemplo, en a) se muestra un relieve en tres dimensiones, que se representa en b)

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mediante una serie de líneas equipotenciales que crean un mapa topográfico del relieve.

En cualquier punto del relieve, el campo señala hacia la dirección en que la masa se sometería a una fuerza si se posicionara allí (o aquella en que una carga positiva se sometería a una fuerza en el caso del potencial eléctrico y el campo eléctrico). Por eso, al colocar una pelota en la cima de una colina rueda cuesta abajo. Esta dirección es perpendicular a las líneas equipotenciales pues estas son líneas de altura constante. Moverse a lo largo de ellas no cumple con el objetivo de rodar cuesta abajo. Entonces, el campo debe actuar a través de ellas, empujando al objeto hacia abajo. El trabajo realizado sobre un objeto cambia su potencial, por lo que el objeto no recibe trabajo al desplazarse a lo largo de una línea equipotencial. El trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. Para que este sea nulo, la fuerza debe ser perpendicular al desplazamiento. En consecuencia, la fuerza –y por ende, el campo– debe ser perpendicular a las equipotenciales.

Configuraciones geométricas de cargas

Para una mejor comprensión del comportamiento de las líneas equipotenciales y su relación con las líneas del campo eléctrico, pueden medirse conjuntos de líneas equipotenciales para distintas configuraciones posibles. Estos arreglos se diseñan sobre un papel coordenado para aplicar con facilidad las relaciones matemáticas.

a) Líneas equipotenciales para una carga puntual y un electrodo laminar (ver Gráfico 1 del Apéndice).

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b) Líneas equipotenciales para dos cargas puntuales (ver Gráfico 2 del Apéndice).

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IV) Objetivos

1. Graficar las líneas equipotenciales en la vecindad de dos configuraciones de carga (electrodos).

2. Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos.

3. Calcular la intensidad media del campo eléctrico.

4. Estudiar las características principales del campo eléctrico.

V) Materiales

1. 01 Cubeta de vidrio

2. 01 Fuente de voltaje de corriente directa

3. 01 Voltímetro

6

4. 02 Electrodos de cobre

5. 01 Punta de prueba

6. 01 Cucharadita de sal

7. 02 Papeles milimetrados

8. Cables de conexión

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VI) Procedimiento

1. Armar el circuito. El voltímetro mide la diferencia de potencial entre un punto del electrodo y el punto que se encuentra en la punta de prueba.

2. Ubicar en forma definitiva los electrodos sobre el fondo de la cubeta de vidrio, antes de echar la solución electrolítica, preparada anteriormente en un recipiente común.

3. Con el voltímetro, medir la diferencia de potencial entre un punto del electrodo y el punto extremo inferior del electrodo de prueba.

4. En cada una de las dos hojas de papel milimetrado, trazar un sistema de coordenadas XY, ubicando el origen en la parte central de la hoja. Dibujar el contorno de cada electrodo en las posiciones que quedarán definitivamente en la cubeta.

5. Situar una de las hojas de papel milimetrado debajo de la cubeta de vidrio. Esta servirá para hacer las lecturas de los puntos de igual potencial que se anotarán en el otro papel.

6. Echar la solución electrolítica en el recipiente fuente de vidrio.

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7. Sin hacer contacto con los electrodos, medir la diferencia de potencial entre ellos acercando el electrodo de prueba a cada uno de los otros dos casi por contacto y tomando nota de las lecturas del voltímetro.

8. Seleccionar un número de líneas equipotenciales por construir.

9. Desplazar la punta de prueba en la cubeta y determinar puntos para los cuales la lectura del voltímetro permanece. Anotar lo observado y representar los puntos en la hoja de papel milimetrado auxiliar.

10. Unir los puntos de igual potencial mediante trazo continuo. Diseñar otra configuración geométrica y repetir el procedimiento.

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VII) Cuestionario

1. Determine la magnitud del campo eléctrico entre las líneas equipotenciales. ¿El campo eléctrico es uniforme? ¿Por qué?

Se obtendrá la magnitud del campo eléctrico a partir de las diferencias de potencial entre dos puntos y la distancia entre estos.

|E⃗|= (V A−V B )d

Así:

Campos eléctricos del Gráfico 1Campo Cálculo Magnitud (N/C)

1 (5 – 4,5)0,01

50

2 (4,5– 4,1)0,01

40

3 (4,1– 3,5)0,03

20

4 (3,5 –3)0,03

16,67

5 (3 –1,8)0,035

34,29

6 (1,8 –1,65)0,005

30

7 (1,65 –1,5)0,01

15

8 (1,5 –1,1)0,02

20

9 (1,1 –0,8)0,01

30

Campos eléctricos del Gráfico 2Campo Cálculo Magnitud (N/C)

1 (1,1−0,8)0,005

60

2 (1,5−1,1)0,025

16

3 (1,65−1,5)0,01

15

10

4 (1,8−1,65)0,005

30

5 (1,8−1,65)0,005

30

6 (1,65−1,5)0,01

15

7 (1,5−1,1)0,025

16

8 (1,1−0,8)0,005

60

2. En la gráfica, dibuje algunas líneas equipotenciales para los sistemas de electrodos que utilizó.

Los gráficos (Gráfico 1 y Gráfico 2) están en el Apéndice.

3. ¿Cómo serían las líneas equipotenciales si los electrodos fueran de diferentes formas?

Las líneas equipotenciales próximas se relacionan entre sí por las diferencias de sus valores. El gradiente del campo de líneas equipotenciales indica la dirección en que el cambio se produce más rápidamente. Esto es, el gradiente es un vector normal a la línea equipotencial y muestra la mayor diferencia entre valores de potenciales. Como una carga ubicada dentro de un campo se desplazará siguiendo la dirección del gradiente (según la ley de Coulomb, la intensidad de la fuerza entre dos cargas es inversamente proporcional al cuadrado del incremento de la distancia entre ellas), entonces este indica la dirección contraria a la intensidad del campo eléctrico.

Esta condición espacial implica que la distribución geométrica de las cargas y la intensidad de estas son variables a considerar al momento de dibujar líneas equipotenciales. Por ejemplo:

a) Líneas equipotenciales para dos electrodos laminares paralelos

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b) Líneas equipotenciales para un electrodo en forma de L y una carga puntual

c) Líneas equipotenciales para una carga puntual

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d) Líneas equipotenciales para una carga puntual y un electrodo laminar

e) Líneas equipotenciales para dos cargas puntuales

4. ¿Por qué nunca se cruzan las líneas equipotenciales?

Un cruce de líneas equipotenciales supondría que existan dos potenciales eléctricos distintos en un mismo punto. Sean dos líneas equipotenciales de sendos potenciales distintos, VA ≠ VB, debe haber un trabajo de campo eléctrico para trasladar una partícula cargada desde la línea equipotencial A y la B.

W AB=(V A−V B )q

Pero, si en un punto hay un cruce de líneas, significa que la carga se desplaza desde un punto de una línea hacia el mismo punto perteneciente a otra línea. En estas condiciones, el trabajo del campo es nulo.

(V A−V B )q=0

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Esto indicaría que VA = VB y supone una contradicción con la condición inicial. Por ello, no puede haber distintos potenciales en un mismo punto.

También puede apreciarse la conclusión mediante un gráfico. Se sabe que las líneas equipotenciales son perpendiculares a las líneas de fuerza. Las líneas de fuerza no se cruzan (solo existe una dirección de fuerza electrostática resultante en un punto según: F⃗=q E⃗) y se visualizan como vectores que separan dos líneas equipotenciales. En la imagen parece que la línea de 70 V ejemplificara un cruce de líneas, pero realmente es una sola línea en forma de “8”).

5. Si Ud. imaginariamente coloca una carga de prueba en una corriente electrolítica, ¿cuál será su camino de recorrido?

Una carga de prueba debe moverse con una aceleración producida por una fuerza resultante sobre ella. Esta fuerza está originada por el campo eléctrico, y posee la dirección de este vector. Como una línea de fuerza es tangente a la dirección del vector campo eléctrico, la trayectoria resultante será la sucesión de estos puntos tangentes al vector. Por tanto, una partícula se desplazará según la trayectoria de una línea de fuerza.

6. ¿Por qué las líneas de fuerza deben formar un ángulo recto con las líneas equipotenciales cuando las cruzan?

Suponiendo que a través de un punto A pasa la línea de fuerza AA1 y la superficie equipotencial S (que contiene infinitas líneas equipotenciales), la intensidad del campo eléctrico en A se representa por el vector E⃗A. Luego, se traslada una carga

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q una distancia pequeña Δl, desde el punto A hasta cierto punto B, el cual se sitúa sobre la superficie S.

El trabajo realizado durante este desplazamiento se expresa por:

W=FE Δl cosΘ=E AqΔl cosΘ

donde Θ es el ángulo entre el vector EA y la dirección del desplazamiento. Este mismo trabajo se puede expresar por la diferencia de los potenciales de los puntos A y B. Así, puede escribirse la relación.

W=q (V A−V B )

Puesto que los puntos A y B pertenecen a una misma superficie equipotencial, entonces VA = VB. Se sigue que el trabajo realizado debe ser igual a cero y:

EA qΔl cosΘ=0

De todos los factores del primer miembro de la fórmula, solamente uno puede ser igual a cero. De esta manera, se concluye que Θ = 90°. Este mismo resultado se obtiene para diferentes direcciones de AB, con la única condición de que el desplazamiento se produzca dentro de los límites de la superficie S. La curvatura de la superficie no contradice los razonamientos hechos por cuantos los desplazamientos Δl son demasiado pequeños.

7. El trabajo realizado para transportar la unidad de carga de un electrodo a otro es:

Según lo observado en el Gráfico 1, en el electrodo lineal (VA = 5 V) y en el electrodo circular (VB = 0,8 V). Entonces, considerando que la unidad de carga elemental es q = 1,6 x 10-19, se tiene:

W=q (V A−V B )=1,6×10−19 (5−0,8 )=6,72×10−19 J

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En el Gráfico 2, la disposición simétrica de los electrodos y las líneas equipotenciales muestra que el trabajo en contra del campo eléctrico (al separar una carga de prueba del electrodo de la izquierda) que se ejecuta hasta el nivel en que el campo se anula, es compensado por el trabajo realizado por el campo eléctrico al acercar la carga de prueba al electrodo de la derecha. Luego, el trabajo neto es nulo.

8. Siendo E=V B−V A

d, el error absoluto de E es:

Para el cálculo del error absoluto, no se toma en cuenta el error de lectura mínima. Por consiguiente, el error absoluto es igual al error aleatorio:

Ea=√ 3σn−1Se consideran los datos del Gráfico 1.

Cálculo del error absoluto del Gráfico 1VA (V) VB (V) d (m) E (N/C) X σ

5 0,8 0,16 26,25

27,131 1,511

5 1,1 0,15 265 1,5 0,13 26,925 1,65 0,12 27,925 1,8 0,115 27,835 3 0,08 255 3,5 0,05 30

Ea=√ 3(1,51)7−1=0,869

9. El error relativo de la medida de E es:

Para el cálculo del error relativo:

Er=EaX

Er=0,86927,131

=0,032

Expresado en porcentaje: 3,20 %

10. ¿Qué semejanza y diferencia existe entre un campo eléctrico y un campo gravitatorio?

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Atributo Campo gravitatorio

Campo eléctrico Condición de validez

Ley de fuerza Ley de Newton de la gravitación

universal

F⃗G=Gm1m2r 2

r̂

Ley de Coulomb

F⃗E=k|q1||q2|r2

r̂

Masas o cargas puntuales o una distribución uniforme de masa o carga

Fuente del campo Conjunto de masas. Puede ser una sola masa puntual o una distribución de masas.

Conjunto de cargas. Puede ser una sola carga puntual o una distribución de cargas.

Partícula de prueba

Una masa que sea lo suficientemente pequeña para tener una influencia despreciable en el campo.

Una carga que sea lo suficientemente pequeña para tener una influencia despreciable en el campo. Por convención, la carga de prueba es positiva.

Magnitud y dirección del campo

g⃗=F⃗Gm2

donde m2 es el valor de la masa de prueba. Esta es una relación vectorial. El campo vectorial g⃗ tiene la misma dirección que la fuerza que actúa sobre la masa de prueba.

E⃗=F⃗E|q2|

Donde q2 es el valor de la carga de prueba. Esta es una relación vectorial. El campo vectorial E⃗ tiene la misma dirección que la fuerza que actúa sobre la carga positiva de prueba.

Siempre válida.

Fuerza sobre una partícula en el campo

F⃗G=m g⃗donde m es la masa de la partícula.

F⃗E=|q|E⃗Donde q es la carga de la partícula.

Siempre válida.

Magnitud del campo de una partícula puntual

g=GMr 2

donde M es la masa de la partícula que

E= k|Q|r2

donde Q es la carga de la partícula que

Solo válido para masas y cargas puntuales.

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produce el campo. produce el campo.Campo de una distribución de partículas puntuales

Suma vectorial de las fuerzas gravitatorias sobre las partículas individuales.

Sumas vectorial de las fuerzas eléctricas sobre las cargas individuales.

Siempre válido.

Campo de una distribución esférica uniforme (para puntos al exterior de una esfera)

g⃗=GMr 2r̂

donde M es la masa de la esfera y r es la distancia desde el centro de la esfera hasta el punto donde se determina el campo

E⃗= k|Q|r2r̂ Siempre válido

Energía potencial de un sistema de dos partículas puntuales

UG=−Gm1m2

rdonde la energía potencial gravitatoria se define como nula en el infinito

U E=k q1q2r

donde la energía potencial eléctrica se define como nula en el infinito

Solo válida para cargas puntuales.

Cambio de energía potencial en un campo uniforme

∆U G=mg∆ yDonde Δy es el cambio de altura de la masa m

∆U E=−qE∆ sDonde Δs es el desplazamiento de la carga q en la dirección del campo

Solo válido para campos uniformes.

La analogía entre fuerzas eléctricas y gravitatorias se extiende hasta el concepto de energía potencial con una importante diferencia. La energía potencial gravitatoria de un sistema de dos masas puntuales es negativa mientras la energía potencial eléctrica de dos cargas positivas (o dos cargas negativas) es positiva. Esto es una consecuencia del hecho de que las masas se atraen en tanto que las cargas se repelen. Por supuesto, si las cargas son de signos opuestos, la energía potencial eléctrica será negativa.

11. Si el potencial eléctrico es constante a través de una determinada región del espacio, ¿qué puede decirse acerca del campo eléctrico en la misma?

En todos los casos, las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico. Si la dirección del campo eléctrico no fuera perpendicular a la superficie, el campo eléctrico tendría un componente sobre la

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misma superficie y este componente ejercería una fuerza sobre una carga de prueba, ejecutando un trabajo sobre la carga al moverse sobre la superficie equipotencial. Pero no se puede realizar trabajo si la superficie es verdaderamente equipotencial.

Por el principio de la superposición de vectores, el campo eléctrico no necesita ser constante sobre una superficie equipotencial. Por ejemplo, sobre la superficie equipotencial V = -30 V, la intensidad de campo eléctrico es menor a la izquierda de la carga negativa de lo que es entre las dos cargas.

Y en esta superficie equipotencial de 70 V (con forma de “8”), la magnitud del capo eléctrico es nula en el punto medio entre las dos cargas. En todos los demás puntos de la misma superficie la magnitud es distinta de 0.

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VIII) Conclusiones

1. El campo eléctrico actúa como un intermediario de la acción a distancia.

2. Es posible calcular la intensidad del campo de un electrodo mediante el uso de una carga de prueba.

3. La intensidad media de campo para una configuración que se aproxima a la de un campo homogéneo puede calcularse mediante métodos estadísticos.

4. Las líneas de fuerza son gráficos útiles para describir el módulo y dirección del campo eléctrico en una región restringida. El vector campo eléctrico es tangente a la línea.

5. Las líneas parten desde una carga puntual positiva y se dirigen hacia una negativa. Su densidad indica la magnitud del campo.

6. Entre dos puntos de un campo eléctrico hay distinto potencial destinado a producir un trabajo de la energía eléctrica.

7. Las líneas que reúnen puntos con el mismo potencial son líneas equipotenciales. Su presentación visual depende de la geometría, disposición y magnitud de carga de los electrodos.

IX) Sugerencias

1. Como se presenta el transporte de cargas eléctricas es imprescindible mantener las manos secas.

2. Monitorear la correcta posición de la cubeta de vidrio sobre la mesa.

3. Evitar que los cables que conectan con los electrodos lleguen a chocar con la solución.

4. Mantener la paciencia al momento de localizar los puntos con el mismo potencial y observar sus coordenadas con el fin de lograr la mayor exactitud.

5. No mover los electrodos de sus posiciones iniciales para no alterar la forma de las líneas equipotenciales.

6. Medir con cuidado el potencial eléctrico calibrando correctamente los ajustes de lectura del voltímetro.

7. Dibujar suavemente las líneas equipotenciales. El espaciado entre ellas puede ser entre 0,5 y 2 cm.

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X) Bibliografía

Alonso, M. y E. Finn, Física, Vol. II, Barcelona: Fondo Educativo Interamericano,

1987.

Khaparde, R. y H.C. Pradhan, An Experiment on Equipotential Curves, en: Physics

Education – India, Vol. XXVII, Núm. 1 (2010).

Tarasov, L. y A. Tarasova, Preguntas y problemas de Física, Moscú: MIR, 1976.

Young H. y R. Freeman, Física universitaria – Sears y Zemansky, Vol. II, México

D.F.: Addison-Wesley, 2009.

Massachussetts Institute of Technology ؎ Department of Physics ؎ Spring 2006, Experiment 1: Equipotential Lines and Electric Fields.

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