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8/11/2019 Inferencia logica.pdf

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Introduccin

En el captulo uno, hemos aprendido a dividir las proposiciones en sus

partes lgicas y de este modo se ha llegado a conocer algo sobre la forma lgica de

las proposiciones. La idea de forma se puede ilustrar con alguno de los resultadosdel captulo anterior. La proposicin P > Q es la misma, en cuanto a la forma

lgica se refiere, cualesquiera que sean las proposiciones en castellano que

sustituyan a la P y a la Q . Los trminos de enlace determinan la forma de la

proposicin.

Conocidas las formas de las proposiciones y teniendo los instrumentos de

simbolizacin a nuestro alcance, podemos dirigirnos ya hacia una parte importante

de la Lgica formal: inferencia y deduccin. Las reglas de inferencia que rigen eluso de los trminos de enlace son muy simples. Se pueden aprender estas reglas y

su uso, como se aprenden las reglas de un juego. El juego se juega con

proposiciones, o frmulas lgicas, nombre que se dar a las proposiciones

simbolizadas. Se empieza con conjuntos de frmulas que se denominan premisas.

El objeto del juego es utilizar las reglas de inferencia de manera que conduzcan a

otras frmulas que se denominan conclusiones.

El paso lgico de las premisas a la conclusin es una deduccin. La

conclusin que se obtiene se dice que es una consecuencia lgica de las premisas si

cada paso que se da para llegar a la conclusin est permitido por una regla. La

idea de inferencia se puede expresar de la manera siguiente: de premisas

verdaderas se obtienen slo conclusiones que son verdaderas. Es decir, si las

premisas son verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de ellas

lgicamente, han de ser verdaderas.

Con frecuencia se aprende un juego nuevo, por un ejemplo. Veamos algunos

de inferencia antes de proseguir con las leyes formales. Se supone que se tienen dos

premisas, la frmula P Q y la frmula P. Se sabe que estas premisas estn dadas;

es decir, se empieza diciendo que se ha dado P y que se ha dado P > Q. Se puede

sacar una conclusin de estas dos proposiciones? Es decir, se puede idear otra


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proposicin que haya de ser cierta si las premisas son ciertas? La conclusin es

clara si se leen las premisas en la forma:

Si P entonces Q, y P.

La primera proposicin expresa que si se verifica P, entonces se verifica Q, y lasegunda dice que se verifica P. La conclusin es que se verifica Q. La proposicin Q

es consecuencia lgica de las premisas, P y P > Q. Veamos ahora una inferencia

de la misma forma, pero cuyo contenido se ha suplido por lenguaje corriente. La

primera premisa es:

Si llueve, entonces el cielo ha de estar cubierto.

La segunda premisa es:

Llueve.

Qu conclusin se puede sacar de las dos premisas? La respuesta es la conclusin

El cielo ha de estar cubierto. Esta conclusin se puede inferir lgicamente de las

premisas dadas. Se discutir continuacin la regla particular de inferencia que

permite deducir esta conclusin de las premisas.


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Reglas de inferencia y demostracin

Modus Ponendo Ponens. La regla de inferencia aplicada en el ejemplo precedente

tiene un nombre latino, modus ponendo ponens. Consideremos algunos ejemplos

del uso de esta regla en la deduccin de conclusiones a partir de premisas.

Premisa 1. Si l est en el partido de ftbol, entonces l est en el estadio.

Premisa 2. l est en el partido de ftbol.

Conclusin. l est en el estadio.

Otro ejemplo del uso del modus ponendo ponens es el siguiente:

Premisa 1. Si no hace fro, entonces el lago no se helar.

Premisa 2. No hace fro.

Conclusin. El lago no se helar.

Simblicamente, el primer ejemplo se expresa as:

Sea:

P=1 est en el partido de ftbol

Q=1 est en el estadio,

Entonces

Premisa 1. P > Q

Premisa 2. p

Conclusin Q

La regla de inferencia llamada modus ponendo ponens permite demostrar Q

a partir de P> Q y P.

El segundo ejemplo se simboliza de la manera siguiente, donde P es la

proposicin Hace fro y Q es la proposicin El lago se helar.

P Q

P _

Q


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En cada uno de los ejemplos, la regla modus ponendo ponens permite pasar

de dos premisas a la conclusin. Decir que la conclusin es consecuencia lgica de

las premisas, es decir, que siempre que las premisas son ciertas, la conclusin es

tambin cierta. La regla de inferencia aprendida dice que si se tienen dos

proposiciones de la forma P > Q y P, se puede deducir la conclusin Q.

Recurdese que la regla se aplica a la forma de las proposiciones, o sea, que

siempre que se d unaproposicin condicionaly se d precisamente el antecedente

de aquella condicional, se sigue precisamente el consecuente. La misma regla se

aplica tanto si el antecedente es una proposicin atmica como si es una

proposicin molecular y tanto si el consecuente es una proposicin atmica como si

es una proposicin molecular. En la proposicin condicional anterior el

antecedente y el consecuente son proposiciones moleculares. La segunda premisaafirma el antecedente, que es P. Por tanto, el consecuente, que es Q, se sigue de

la regla modus ponendo ponens. En todos los ejemplos que se dan a continuacin

se aplica el modus ponendo ponens. Tanto los antecedentes como los consecuentes

que se utilizan pueden ser proposiciones atmicas o moleculares:

rs

r

s

p

pq

q

p ^ qr

p ^ q

r

pq

p

q

pq ^ r

p

q ^ r

Obsrvese, en el segundo ejemplo, que la condicional figura en segundolugar, y P, que es precisamente el antecedente, est situado primero. Cuando elmodus ponendo ponens o cualquiera de las otras reglas se aplica para sacar unaconclusin de dos o ms proposiciones, el orden de aquellas proposiciones esindiferente.

Recurdese que una condicional se puede escribir (P) > (Q). Con losparntesis, el modus ponendo ponens es:


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(p)(q)(p)________(q)

Si es una ayuda, se pueden usar parntesis cuando el antecedente o elconsecuente son proposiciones moleculares, como en los tres ltimos ejemplosanteriores o en el siguiente:

p V rs ^ qp V rs ^ q

(p V r )(s ^ q)(p V r)(s ^ q )

El nombre modus ponendo ponens se puede explicar de la siguiente manera:Esta regla de inferencia es el mtodo (modus), que afirma (ponens) el consecuente,afirmando (ponendo) el antecedente.

EJERCICIO 1

A. Qu conclusin se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de

premisas? Es decir, qu proposicin lgica se sigue de las premisas?

1. Si usted est en Madrid, entonces su reloj seala la misma hora que enBarcelona. Usted est en Madrid.

2. Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No nosdespedimos ahora.

3. Si esta planta no crece, entonces o necesita ms agua o necesita mejorabono. Esta planta no crece.

4. Son las cinco. Si son las cinco, entonces la oficina est cerrada.5. Si vivo en la capital de los Estados Unidos, entonces no vivo en ninguno de

los cincuenta estados. Vivo en la capital de los Estados Unidos.

B. Utilizando modus ponendo ponens sacar una conclusin de cada uno de losconjuntos de premisas siguientes. Escribir las conclusiones en la lnea (3).(1) p V qr(2) p V q(3)

(1) pq ^ r(2) p(3)

(1) pr(2) p(3)

(1) pq V r(2) p(3)

(1) p(2) p q

(3)

(1) r(2) r q ^p(3)


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C. Poner una C junto a cada ejemplo en el que la conclusin es correcta segn elmodus ponendo ponens. Poner una I junto a cada conclusin incorrecta.

1. Premisas: S y S - > T ; conclusin: T2. Premisas: T> V y T; conclusin: V3. Premisas: P> Q y Q ; conclusin: P4.

Premisas: S y R > S; conclusin: R5. Premisas: R y R > S; conclusin: S


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Demostraciones. Cuando se usa una regla de inferencia para pasar de unconjunto de proposiciones a otra proposicin se demuestra que la ltimaproposicin es consecuencia lgica de las otras. Esto se puede expresar de muchasmaneras. Se puede decir que se ha derivado la conclusin de las premisas, que laconclusin se infiere de o es implicada por las premisas, que la conclusin se

deduce de las premisas, y otras. Todas estas palabras o expresiones significan lomismo: Dadas ciertas proposiciones, si una regla de inferencia nos permite pasar aotra proposicin, entonces esta proposicin es una conclusin lgica de lasproposiciones dadas.

En la ltima seccin se han visto algunas demostraciones cortas. Utilizandomodus ponendo ponens como regla, se demostr una conclusin a partir de unconjunto de premisas. Por ejemplo, de R S y R se demostr S. Se podraesquematizar la demostracin de manera clara poniendo

(1) RS P(2) R P(3) S PP

Cada lnea en la demostracin est numerada. Despus de las proposicionessimbolizadas se indican cmo se obtiene cada proposicin. Se han indicado con Plas premisas dadas. Las lneas que son premisas se representan por P en la regla depremisas. Se parte de ellas y se deduce la lnea (3) por el modus ponendo ponens,lo que se indica en la lnea por la abreviatura PP, escrita despus de la proposicin.

Demostraciones en dos pasos.Algunas veces no se puede ir directamente de

las premisas a la conclusin por un solo paso. Pero esto no impide poder llegar a laconclusin. Cada vez se deduce una proposicin por medio de una regla, entoncesesta proposicin se puede utilizar junto con las premisas para deducir otraproposicin. Considrese un ejemplo en-el que se tienen tres premisas:

(1)

AB P(2)BC P(3)A P

Se quiere probar la proposicin C. Para llegar a C, se necesitan dos pasos, cada uno

permitido por el modus ponendo ponens, PP. Estos dos pasos son las lneas (4) y(5) escritas a continuacin:

(1)AB P(2)BC P(3)A P(4)B PP 1,3(5)C PP 2, 4


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Observemos atentamente el esquema de la demostracin. Cada lnea estnumerada, tanto si es una premisa como una lnea deducida. Cada linea estjustificada, bien por ser premisa (indicada por P), bien deducida por una regla deinferencia (indicada por la abreviatura PP). Adems, despus de las abreviaturascorrespondientes a las reglas empleadas para obtener las lneas deducidas, se ha

indicado el nmero de las lneas a partir de las cuales se ha deducido esta lnea. Porejemplo, en la lnea (4) la sigla PP 1, 3 significa que B se ha deducido por elmodus ponendo ponens de las lneas (1) y (3).

Anlogamente, en la lnea (5) se ha deducido de la C por medio de la reglaPP de las lneas (2) y (4). Obsrvese que se puede utilizar una lnea que se hadeducido, junto con otras lneas, para deducir una nueva lnea. Cada lnea quepuede ser justificada ya sea como una premisa o por el uso de una regla, se puedeutilizar en otros pasos posteriores de la demostracin. Antes de intentar haceralgunas demostraciones cortas, consideremos todava un ejemplo. Se suponendadas las premisas siguientes y se quiere demostrar R :

(1) st P

(2)S P(3)t r P(4)t PP 1,2(5)R PP 3,4

Se utiliza el modus ponendo ponens para deducir una lnea (4) y entonces sepuede aplicar el modus ponendo ponens a aquella lnea y a otra, tal como la (3)para deducir la conclusin (5). Se da un paso (permitido por una regla) y despusse puede dar otro paso usando la proposicin deducida.

Ejercicios

A.En cada uno de los ejercicios siguientes se ha de demostrar que una proposicines consecuencia lgica de las premisas dadas. Deducir la conclusin, escribiendo laabreviatura que corresponde a la regla que permite obtener cada lnea, y cuando seempleen lneas deducidas anteriormente, indicar el nmero de cada lnea que hasido utilizada al aplicar la regla.Demostrar: t

(1)rt

(2)sr(3)s(4)(5)

Demostrar : c(1)ab ^ d(2)b ^ dc(3)a(4)(5)

Demostrar : g Demostrar : m V n


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(1)hj(2)

h(3)jg(4)(5)

(1)jm V n

(2)

f V gj(3)f V g(4)(5)

Demostrar: s(1)t(2)t q

(3)qs(4)(5)

B. Simbolizar cada una de las proposiciones de los conjuntos siguientes y demostrar que laconclusin (la proposicin que empieza por Por tanto...) es consecuencia lgica. Se seguir elmismo mtodo de las demostraciones (dos pasos)

1.Si 2 es mayor que 1, entonces 3 es mayor que 1.

Si 3 es mayor que 1, entonces 3 es mayor que 0.2 es mayor que 1.Por tanto, 3 es mayor que 0.

2.

Si se levanta aire hmedo, entonces refrescar.Si refresca, entonces se formarn nubes.Se levanta aire hmedo.Entonces se formarn nubes.

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