Inducción,deduccióny decisiónen las teoríasestadísticasde la inferenciacientífica

ANDRÉS RIVADULLA

(Universidad Complutense)

1. Introducción

Despuésde un placenteroviaje en el AVE procedentede Madrid, Andy R.Roderick llega a Sevilla, dondeha sido invitadopor unoscolegasa pasarunosdías para visitar la exposiciónuniversal. Tras un breve descanso en el hotel.decide dar un paseo para gozar del atardecer perfumadode la ciudad hispalen-se. Mientras camina ensimismadopor el barrio de Santa Cruz, casi tropiezacon una cabina telefónica y piensa que seríauna ocasiónexcelente para llamara casa. Así que saca de su monedero diez piezasde cien pesetas., pero con tanmala fortuna que se le caen al suelo. La forma como lo hacen es la siguiente:ocho muestran ‘cara’ y dos muestran ‘cruz’. Esto llama poderosamente suatención.De modo que. de vuelta en la intimidad de su habitación, intentaexplicarse lo observado. He aquí el curso de susreflexiones.

[..acLtesti~n acerca de cómoextraerconocimiento válido del mundohapre-ocupado a los teóricosdel conocimientodesde el origen mismo de la filosofíaoccidental. La respuesta de Aristóteles según la cual la inducción enumerativagarantiza la inferencia de verdadesempíricas universales a partirde un númerofinito de observaciones había sido aceptadaampliamente. Y aunque algunostilosoloscomo Hume,en la primera mitad del XVIII, y Popper,en pleno sigloXX, mantuvieron la ilegitimidad lógica de la inferencia ampliativa y conserva-dora de la verdad, e. d. de la inducción, la atribución de valores de probabili-dad a las conclusionesobtenidas de observacionesmetódicas transformó lacuestiónde la validez de la inducción en la de la posibilidad de la probabilidadinductiva. Las raíces de este cambio hay que buscarlas, empero, en la historiadel calculo de probabilidades, no en la de la filosofía.

En efecw, en la segundamitad del siglo XVIII el clérigo inglés ThomasRayes publicó con carácter póstumo un afliculo que por primera vez permitióun tratamiento matemático de la inferencia inductiva>. Con lo quea partir de

¡ . HL Ml D A 1, cii>, 0/ ¡Juntan Maure, 739. libro 1, parte III. y Au tu90/ev Gane<vn iu9Ilion¿¡u fincó sto,id,u

9 1748 ~k ‘-7.2. RA VI 5 7 An E ssav Towards sol y ng a Probiem in Che Doctrine of Chances>’. Phi/oxopbi-

o! ¡ron sO> O o» >4 fIn Ro sai 5ev ¿iv 4 London, 1 763.3. Aurnjuc cincUenta arios antes el matemático suizo Jakob Bernoulli —Qn la parte cuarta de su Arz

onu’, taud, h ib’ utentado í nte el prudente eseept¡cisitio de Le boj,, inferir iuducíivame rite troba—biiidadcs i í ‘ti’ 1 rcc ucncras observadas. sir empresa no fue acompañada por el éxito, Por lo quecorrespoodeal ion’ a> Rayes el honor de. haber inaugurado crí la teoría de probahi idades el ti SO pro—pianleirte inverso de ía probabilidad matemál ca. Véase al respecto RIVADI..JLI A. A.: Probobi/idodInjrcoc;o (iúrírflioís. 1991 ,pp. 124 y s.s.

Resisto dr Lifr>xa/ío. 3.> época. vol. Viti 993). u diii. 9. págs. 3—13. 1W ¡Coria 1 Coinplurense, Madrid.

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entoncesel problemade la inducción dejó de ser tema exclusivo de debate en eJseno dc la filosofía para pasar a convenirse tambiénen objeto de investigaciónmatemática.Al mismo tiempo, la aplicación del cálculo de probabilidades alproblema de la obtenciónde inferencias inciertasse convirtió en una cuestiónintensamente debatida tanto entrelos teóricosde la estadística matemática comoentrelos filósofos de la ciencia.

La preguntaacercade cómo la probabilidadpudo despertarel interésde losmatemáticosinteresados en la obtención de inferencias exactasa partir de lasobservaciones no es difícil de contestar. Es bien conocidoque, desde Pascal yFermat,a mediadosdel XVII, la probabilidad se aplicaba a fin de calcular conexactitudla incertidumbrede los resultadosen los juegosde aza?.Algunas cues-tiones planteadas a Pascal por el caballerode Méré promovieronen 1654 unacorrespondencia entrePascal y Fermat,publicada parcialmente en Varia OperaMaihematicaD. Fútil de Ferrnat, en Toulouse, 1679, y en las obras de Pascal’.Pero el primer libro sobre probabilidades fue Liber de Ludo Aloe, de (3erolamoCardano, posiblementeescrito en 1564, aunque inédito hasta 1663, cuando fuepublicadoen OperaOmnia,de Cardano.La primera obra publicadaen teoríadeprobabilidades fue, pues, De Ratiocin¡is in Ludo Alce, publicada por ChristiaanHuyghensen 1657. Con el ya mencionadoArs C>on¡ecíandi, de JakobBernoulli,dondepor vez primera se formula y deínuestra la Lev (débil) dc los grandesnúmeros,Basilea,l’7113,y la Doctrine of Chances,de Abraham de Moivre, Loíi-dres, 1718, se cierra el procesode consolidación del cálculo de probabilidadescomoun campo matemático autónomo.

La relevancia de la probabilidad para los juegos de azares obvia: dadaslas reglas de los juegos de cartas y dados, la probabilidad de determinadoresultado se sigue directa o deductivamente.Naturalmente el resultado encuestión no se puede predecir con certeza,pero la probabilidad de su ocu-rrencia se puede calcular fácilmente. La probabilidadmide, pues,de modoprecisola incertidumbrede todos los resultadoslógicamenteposiblesen losjuegos de azar Tras el fallido intento de Jakob Bernoulli. Thomas Bayes pri-mero, y su eminentevaledor,PierreSimon Laplace,onceañosdespués>,con-sideraronque [a probabilidadpodía ser aplicadatambiénen procedimientosinversoso inductivos,e. d. en casosdonde la probabilidadde ocurrenciadelfenómenoobservadoes desconocida,a fin de estimarlaa partir de los resul-

4. En “clacic5n a la a.p 1 cae ic$rí —cmi u que se ptiede sil luir el o rigen de a esiadó! t ea riiaie iii rl i iea-~ cíela pr ,babj 1 jelad matemática a doro’ nios empi rices> rl, un!,’s de Ii.,> ue•gos ele azar, véase Rl\ ADC.] t . LA,A.: «‘Itie Roots of Tlíeoretical Sí uistícs 1990 «Api orismo y Base Empírica cii los Origenes cíe laEstadísilca Matemática». 1991

5. (‘Ir. TODI-1t.] NTER, 1 4 Ilísto, of Meo/ir n,ooc rif lheruv of Probob/lity, 1865. ~ 7—8. Másreeieuítemeni.c esta correspondencí h sido conipil íd í por ABOUT. E.—]., y HOY, M., en j.c; crasis>pouclcinc e’ de Blo/sc Paseo! ca de Pu’, , r’ dc’ 1 tunO 1 9~3. En deináo existe también una versión ele lani iSm a en SC HNL It) BR, 1. ( H rsg ) 1) Ir 1 otute].tung cje, Woh,.sr/,e/,i lic hke/tst íiecíc ir> yo,, chic A mí//it;—gen lii,> /933. 1988.

6. LAPLACF.. P. S.:« Menioirc sul Ii prolí ibí 1 mc des causes par les événcn,ents=’.Mriu - Ac cid.Rrív..Se]. Paris. 1774. Reimpíestí crí tAl 1 AC E Oc tisis s,vol, 8. 1891.

fncluc.ción, deducción y decisiónen las leonasesíadístic.c,s 5

tadosobservados>.Al decirde Ronald Fisher, padrede la estadísticaobjetivis-ta contemporánea,tal posibilidad de un uso inverso de la probabilidad mate-máticacautivó mentesdel calibre de un Gausso de un Poisson.Posibilidadrechazada por estadísticosfrecuentistastales como el propio Fisher, ierzyNeyman,Egon 5. Pearson, etc., y por filósofos antiinductivistas como KarlPopper.

2. El teoremadeRayesy la reacción de Fisher contra el cálculo de laprobabilidad inversa

El asunto que ocupa a Bayes en su Essavde 1763 es el del cálculo de laprobabilidad (chance)de que la probabilidad de cierto sucesoesté situadaentredos valores.Su soluciónproporciona, según Laplace>. la respuesta a laprecunta acerca de las probabilidadesde las causasy de los sucesosfuturosenrelación a la evidencia disponible. O, como dice Fisher>: «To Thomas Baycsmust be sziven the credit of broaching Ihe problem of using the concepís olmatheniatical probabi 1 ity i n discussing problemsol induct ive i nference. iii

wh ich we argtíe trom the particular to the generaL or. in statístícal pliraseo—logy, argue lrom the• sample to the population, from which, ev hvpoihexi, thesamplewas drawn.l3ayesput lorward, with considerablecaution,a method bywhich such problems could be reducedto the form of problenísof probabi-lity.» Si bien, puntualizaFisher,el procedimientode Bayesse apoyabaen unerror, queno pudo serdescubiertocii su tiempo, ya que para los matemáuicosdc la época, convencidosde la naturaleza inductiva del método cientílico. nocabía la menor duda de que toda inferenciacientífica había de ser forni u ladaen términos tic probabi1 dad.

la reconstrucción por Fisherdel teorema tIc Bayes ¡sc muestraqueesteno essino una consecuencia. lógica de postular un conoc miento a priori acerca cíeuna superpoblaciónimaginariade la que la población investigadaha sitioextraídaaleatoriamente.Con lo quelas supuestasinferenciasde. lamuestraa lapoblacióncorrespondienteno constituyensino consecuenciasprobabilísticasperfectamente.dedtíctivas.En efecto, si con P designanit)s la probcíbiliclacl(chance)de quela probabilidadp de conseguira ‘éxitos~ (p. e., a veces~eara

7 . Respecto a la reí ac «so entre. I-~ ayes y 1. splace ce el ceno> ele dcl prebtcusa dc Y pretsal>i 1 idadinversa llueele leerse (jOMÍ 1 VIlLEGAS ,.M. A.: «El Problema de la Probabilidad Inversa: Havesaplace « - As/cts cíe! 1 sss tu tíO c’ dc LAg ¡co y l’/Iosoficí dc lo (¡¿oc/sí - Rccdo¡f (oruap y ¡lcr,.> Nc]

1 use—

udc It ¡it /s4 cus sir/síus, ‘5’1 cid, si /991. Así cerne, R IVADU L.LA, A.: t’tcsí,obhI/c!c.scl e lo/irene/cc (Vestí ¡(ic sí

1991.1). 126.8. LA1>1 . A UE, P S l/scc’í íc’ 4no! v//s¿ííc cies Ptobob/I/íc’s, 1 520. Ini reducl ion, ‘. 1 48.9. Gb-. 1181 [iR 1< «Thss New Prsi¡,eriies of Maiheinatiení L.ikelil>eod=’.Pícscccc//,sg.s s,-/ ib’

Rcsst¡l .Sic,í/sí¡c al Seis sc ti c=/1 oítd!,,,, 1934 p 955,III. l’:ircs ¡iii>’ pirsciíise ‘oíl dc í¿illael:, de la misília véase RIVAI)liLI..A. A.: 1’íobct!,/l/s/scsl s’

ic,tctct (.¡c,stí/¡ccí. pp 1 lO 1

6 AndrésRivadulla

en n ensayosindependientesesitúeentredosvaloresprobabilísticosu y y pre-víamentedados,entonces

rv(1) (n+l)1 1P (l-p)>’dp,

a! (n-afl .1u

casode que conozcamosa priori quep estádistribuidauniformemente”en lasuperpoblaciónimaginaria,de la quenuestrapoblaciónde ‘éxitos’ y ‘fracasos’(‘caras’ y ‘cruces’, ‘unos’ y ‘ceros’, etc.)ha sidoextraídaal azar.

Ahora bien, (1), es decir, el teoremade Boyes,es una consecuencialógicadel postuladoconocimientoa priori, cuandoésteactúacomo superpremisadenuestrorazonamientodeductivo.Comola asunciónnecesariade conocimientoa

priori transformala inferenciaen una deducción lógica, el procedimientodeBayes pareceque no proporciona,contra la intención original, ningún medioparala estimacióninversade las causaso razonesde los fenómenosobservados.Así queFisher lo excluyecomométodo adecuadoparaaprenderinductivamentede la experiencia.

Tal decisiónobliga a RonaldFisbera buscarformas alternativasde infe-renciade lo particular a lo general,e. d. de las muestrasaleatoriasa las pobla-cionesde las queproceden.A esterespectoFisherdesarrolladosprocedimien-tos ampliamenteaceptados:el métodode máxima verosimililud para laestimacióndelos valoresde los parámetrospoblacionales,y los testdesignifi-caciónde hipótesisestadísticas.Ambosson concebidospor él como formasderazonamientoinverso o inductivo, a fin de extraerconclusionesválidas sobreLa poblaciónapartir de muestrasaleatoriasde la misma.

ParaRonald Fisher la verosimilitud de que cierto parámetropoblacionalposeaun valordeterminadoes una cantidadproporcionala la probabilidaddeque losdatosobservadosseanlos actualmentedisponibles,si el valorparamé-trico conjeturadofueseverdadero’2.Porconsiguiente,el valor cuyaverosimili-tud es máxima será la mejor estimacióndel parámetropoblacional.Tanto laverosimilitud matemáticacomo la probabilidad matemáticason medidasdecreetieja racional, si bien la primera no satislaceel axiomade adicióndel cál-culo de probabilidades’->.Existen,pues,segúnFisher’’ dos medidasdiferentes

JI. Para una explicación de les conceptos de ‘ensayos independientes y ‘distribución uíiitorme’puede censultarseRIVADULLA. A.: Probsí!íd ¡dad e lufc’rene¡o (i/c’uíífieo, pp. 13(1-132.

12. Cfr FISI-IER. R .:,sOn the Mashematjcal r~oundauisíns of Theoreiical .Statisticsís. Phd!. Tsaus.R.Soc. o/London, 1922, p. 310 ¿‘tpossini.

13. Para una presentación accesible del cálculo de probabilidades puede cí,nsultarsc RIVADU-LLA. A,: E/loso/Yo Acluol oc lo (fruí-jo, 1986. cap. 0. «Cálculo Básicsí de Probabilidades», así conio«Cálculo axiomático de la probabilidad lógicas’, T!,eor¡o, 1992, volumen conmemorativo ¿leí XL ani-versarie.

14. Cli. FISHER,R.: <sinverse Probability=s.Proc. Candir. Ph/t.Soe., 26, 1930, p. 532.

Inducción,deduccióny decisiónen las teoríasestadísticas .7

de creenciaracionalpropiasparacadacaso:«Knowing the populationwecanexpressour incompleteknowledgeof, or expectationof, the samplein tertns ofprobability; knowing the samplewe canexpressour incompleteknowledgeofIhe populationin terms of likelihood.» La probabilidad se aplica, pues,en loscasosde inferenciasdeductivaso directasde la poblaciónasuspropiasmues-tras aleatorias,mientrasqueel métodode máximaverosimilitudpermite extra-er inferenciasinversaso inductivas(aunqueno probabilisticas)de las muestrasa la poblaciónde la quehansidoextraídasal azar.

Porsu parte,los íestde significacióntienencomoobjeto valorar las desvia-ciones de las observacionesrespectode la hipótesistestada,que metodológi-camentese consideraverdadera.El conceptoclave aquíes el de resuitadoestadívíicameníesigníflcativo. Paraexplicarlo Fisher’> recurre aJ siguienteexperimentomental: Una señoraafirma sercapazde discernir,trasprobar unatazade té con leche,si la lechese vertió sobreel té en la tazao el té sobrelaleche.A fin de comprobarla supuestacapacidadde la señorase hacenecesariodiseñarun experimentoen el que la probabilidadde acertarpor casualidadseamuy pequeña.A tal efecto podríamosproponerlecíuedistribuyeraocho l~azasde té con lecheen dos grupos de cuatro,segúnel ingredienteque fue vertidosobreel otro. En esteexperimentola probabilidadde acertarpor casualidadenunaúnica ejecucióndel experimento,es decir, trasprobarcadaunade las ochotazasuna sola vez, es ciertamentepequeña,puesal haber ‘7(1 combínactonesposiblesde las ocho tazasen gruposde cuatro, la proporción de éxito es sólodel 1,4%. Supongamos,pues,que nuestrahipótesistestadaes la de que lasenoracarece(le la habilidaddc quepresume.Un resultadoexitosodel experi-mento deberíaser consideradoestadísticamentesignificalivo, y refutaría lahipótesisnula al nivel de significación 1,4%. Un resultadoharto improbabledesdeel puntode vistade la hipótesistestadaes,pues,estadísticaníc’ntestni-/haí¡vo sí se consideraque su ocurrenciano puedeserdebida al azar; con loque es tanto más significativo cuantomenores su probabilidad de acontecer.Un tesíde significaciónclasifica,previamentea la realizacióndel experimentoaleatorio, los resultadosposiblesdel mistno en dos grupos disjuntos: el deaquellosqueseestipulaquese desvíansignificativamentede la hipótesistesta-da, y el de los que se convieneque concuerdancon ella. El razonamientoquesubyacea la aplicaciónde todo testde significaciónes obvio: si, en una únicaejecuciondel experimento.seproduceun resultadocuya frecuenciadc apcllí-non a la larga es mux’ pequeña,dada la hipótesis testada,rechazaremoslaterciadde ésta.

Fisher imponedos restriccionesa las decisionesposibles a tomar —acepla-cion o rechazode la hipótesistestada—en la aplicaciónde un test de significa-clon. La primera es que rechazono equivalea refutación lógica. ya que inclu-so uíi fenómenoíi]uy improbable puedeacontecerpor casualidad,refutando

1 t.CIr. FCSHF.R. R.: ¡he t)es/gn >4 txpesiruicnls, 15)35, p. tI

8 AndrésRivaclulia

asíerróneamenteuna hipótesisverdadera.La segundaconsiste,complementa-ríamente,en queaceptacionno significa verificación concluyente.Ambasdecisiones son, pues.siempreprovisionales,y puedensercorregidasen poste-rioresejecucionesdel experimento.Y, en todocaso,sonrelativasa un nivel desígn¡/¡caciondado,e. d. a lo que,de entrada,consideramosharto improbablequepuedaocurrir por casualidad.

3. El Programa Neyman-Pearson de inferencia estadística

Según Jerzy Neymanla estadísticamatemáticatiene como objeto el esta-blecimientode reglasde comportamiento,e.d. reglasquepermitenseleccionaraccionespreviamentefijadas de acuerdocon los resultadosobservadosdeexperimentosaleatorios.Un test estadísticoes,pues,una regladeestelipo. yaquepermiteelegir entreaceptaro rechazarunahipótesistestada;y también loes la decisiónde queel valorverdaderode un parámetropoblacional,estimadopor losprocedimientosde la teoríade la estimaciónestadísticaconfidencial,seencuentrasituadoentredos valorescalculados.

La teoríaNeyman-Pearsondel testde hipótesisestadísticascompletala fis-herianade los test de significación introduciendo la referenciaa hipótesisalternativasa la testada.Así, un testestadísticodebecomenzarcon el estable-cImientode la hipótesistestada—o hipótesisnula— H0 y de la hipótesisalter-nativa H1, quecomportaque la aceptaciónde unade ellas suponeel rechazode la otra.

Los resultadosexperimentalesque se desvíansignificativamentede lahipótesistestadaconstituyenla región crítica o región de rechazode la hipóte-sís nuja, mientrasqueel restoforman su región deaceptación.Para Ncymaupues,establecerel test de una hipótesisestadísticaequivale a fijar la regióncríticacorrespondiente.Así, si X es unavariable aleatoriabinomial’, lajórí-nu-la de Bernoulli nos permite calcular la probabilidadde .v veces‘éxito’ en uensayosindependientes,balo el supuestode quela probabilidadconstantep de‘éxito’ seaconocida:

16. (Fr. NEYMAN. ].: E/rs! Cou,-se akct/cs. 1950. p. 265.17. Este es cl caso cuando una variable X sólo tiene dos valorcs posibles: éx so o ‘fracaso’.

cara’ o cruz’, etc, y los resultados experimentales sen íiíutuame,ile independientes cii cl sentido dcque ningtille de ellos iii ¡luye sobie los demás.

¡ncluc-cichí. clccluc ¿¡¿u y decisiónenlas teoríasestaclísticas 9

Esta es la fórmula quedebemosaplicar si deseamosconocerla probabili-dad de obtenera veces cara’en n lanzamientos de unamonedasupuestamenteinsesgada, o, lo que es It) mismo, en un lanzamientotic u monedassupuesta—¡rente leales.

Sea la hipótesisnula ~ : p ¡«>. En a observacionesindependientesde lavaríablealeatoriabinomial Y hay 2’> resultadoslógicamenteposibles,cadauno(le los cualesconstituyeun elementodel denominadoc’spaí icí niuc’sha/. tuyaprobabilidadse calcutapor medio de (2). Si nosfijamos en los valorestic proba—bilidací más pequeñoscorrespondientesa determinadoselementos(leí espaciomuestral y los sumamos,obtetidremosel valor a.que denotala probabilitiad cíeobservardeterninadosresultados(le la regiónde i’echazode la hipótesistestada.u designa, . - o tiempola probabi —pues.el nivel de sisínificacióndel test. y al mism1 idad ( lrecuencia a la larga) de cometerun error (1<11 prínwr tipo. e. ci. la prs:)por—cion de tasos cii que 11o seráicehazadaerróneamentea la alga.Eíí electo,comoun sucesoharto impiobable puedeocurrir por casualidad,y toíro i gnotail]osalmísítio tiempo si es vertíadera,105 veremostbligadosa rechazarlaeíí favordc su alternativaff~ . PorOtra parte.cuandoéstaes la verdadera,puedesuectíerq Líe acontezcaun resultadofavorablea la hipótesistestada:en tal casorechazare-mos erróneamentela hipótesisalternativa verdaderaen favor tic la lii ptstesisit u la. cometienclo así un errcr ¿leí segundotipo. La probabi 1 rIad ( lrecuenci a a lalarga) (le incurrir en estetipo tic error se designapor medio cje 13 y solo se ~stit’clecalenlar Irasfijar el valor de ~, en ~ :p = Pí U iiii VCJ (Inc las probabi1 iclticlesde error cí y ti 1 mit sitlc) fijatías, las probabi1 idatíes complementarias1 - a. x- 1 - lAexpresanrespecíi vamentelas treeuenciasa la larga(le aceptacioit correctacJe lasti ípoWsis nula S— alternacvva. 1 -- u y 1 — (3 se denominanrespectivamentec t >cf¡ —

ccenle dc co,¡ticcazay íwdc’r del ccv, Un tesí potentees aquel cuyaprtubabi1 ciadtic error 13 es petlueña.

Por lo que respectaal otro sistemade regías de t’ompcrtam ento: la ¡coria cíela e st imac ¿ti e sí al íst ca tIc1 valor verdadero cíe parámetrospoNae ioiia les pornetí o cíe intervalosde confian za. el procedimentomás apropi atlo stígeritic> porNeymaí ‘~ es el del cotnputc)dc los valores¡ imites L

1 Y ~ rIel valt)r verdadero.Eshis v:t¡ores, tletíomi nados c’stinhacicmessupericr e inferior del valor pariniétrí—

co. con sti tuyen u n it tervalo tic confianza en el que,con tina frecuencia cleterini —

natia a la 1 arel. esí arís sil uado el valor buscarlo. Así, si tíesignamoscl valor ver—cíaclero cíe sto it oc tIO Por medio dc 1, la teo ría estad isí ica tic la es ¡¡mac i cficonhciencial enecomo objetivo lomíular enunci acios tIc 1 tipo

(3) P(L=T=L)= 1-a,

8. N¡LYMAN Y «Oulline of a Theory of SuítistieaL Estimaiioíi Hased eíí ílíe Classicul Ttiesirysil Probahiliiv>í. 1937,

lo AndrésRivadulla

donde 1 - a constituye,al igual queen el casodel test de hipótesis,un coefi-

cientedeconfianza.La interpretaciónqueNeyman’>ofrecede (3) es la de queel coeficientede confianzaexpresael porcentajede casosen queel estadístico

tendrárazón,cuandoafirmaqueel parámetroestimadoseencuentradentrodelintervalode confianzacalculado.

4. Inducciónprobabilísticae inducciónestadística

Segúnvimos en la sección2, el método de Bayes-Laplacefracasó,en opi-nión de RonaldFisher,en suempeñopor mostrar,en términosde probabilida-desmatemáticas,el carácterinductivo de las inferenciasestadísticas.Esto lle-vó a Fisher a desarrollarprocedimientosmatemáticosno probabilísticosquecapacitanparaaprenderinductivaníentede la experiencia.La lógica de la infe-renciaestadísticadevino, pues,la lógica inductiva por excelencia.Con elloFisherconúinuóvinculadoa una tradicióndominanteen la filosofía de la cien-cia que consideraa la empresacientífica gobernadapor el método inductivo.Estatradición podría retrotraersea FrancisBacon, cuyo NovumOc;síanumfuepublicadoen 1620 y, con maticesmuy importantes,contaríaentresus maxí-mos representantesa John StuartMill, CharlesPeirce, William Whewell, elpositivismológico. BertrandRussell,RudolíCarnap,JaakkoHintikka, etc.

En tiemposde Laplace,pues,cuyaThéorieanalytiquedesprobabilités fuepublicadapor vezprimeraen 1812,el pensamientocientífico estabadominadopor la idea de quela cienciaaplicael método inductivo a fin de alcanzarcono-cimiento verdaderodel mundo. Porcontra, la afirmación fisherianade que lamodernaestadísticamatemáticaproporcionalos mediosparaaprenderinducti-vamentede la experienciachocabacon corrientesimportantesde la epistemo-logía contemporánea,en particularla que personiticaKarl Poppcr,quien rei-vindicando y modernizandoel argumentohumeanode invalidez de lainducción, presentabatalla contraCualquier forma de inferenciainductiva,inclusive la versión carnapianade la inducción probabilística2«.Esía circuns-tanciaobligaba a ser escépticorespectoa la idea fisherianade la naturalezainductiva de la inferenciaestadística.Comoéstaparececonsistiresencialmen-te en que unaspocasobservacionestnetódicas—las premisassingularesdelrazonamtentoinductivo— bastanpara extraerconclusionesacercade determi-nadaspropiedadesde poblacioneseventualmenteinfinitas, la preguntaque se

lO. Cli. NEYMAN, 1., op. tic, p. 263.20. En relación al probienía cíe la probabilidad iííductiva puede esinsuliarse RIVADULLA, A.:

«On Popper-Miliers Proof of thc lmpossibilicy of Induetive Probabiiitv». 1987; «Probabili¿lad Induc-tiva’>, 1989, y Pr,,hobil/cíod e luj/’rertcio Cienrlficc¿. 1991. Ctips. 1 y II.

Inducción,deduccióny decisiónen las teoríasestadísticas II

planteaes la siguiente:¿quiéntienerazón: los filósofos quenieganla legitimi-dad lógica de la inferenciaconservadorade la verdady ampliadoradel conte-nido, inclusive la inducciónprobabilística,o los matemáticosque aseveranquela estadísticaproporcionalos métodospararealizarinferenciascorrectasde lopartiejilara lo general,en terminologíaestadística,de muestrasaleatoriasa laspoblaciones(supuestamenteinfinitas) de las quehansidoextraídas?

Llegadoa este punto en su argumentación,Roderickvuelve de nuevo suatencióna la observaciónque la produjo y lleva acabolas siguientesreflexio-nes finales.

Si deseoexplicar satisfactoriamenteel resultadoobservado:ocho vecescara’ y dos veces‘cruz’, deboconocer,o al menosplantearla hipótesisde que

sé queestaobservaciónconstituye unamuestraaleatoriade una poblaciónquesigue una ley probabilísticadeterminada.Por ejemplo,que está distribuidabinomialmente,o normalmente,o de otra formadeterminada.Si asumo,pues.a fi/•iO!’i que los lanzamientc>sde monedasde curso legal son independientesentresíy quela probabilidadde obtener‘cara’ es constante,aunqueseadeseo-nocida.entoncesla variablealeatoria:númerode ‘caras’ en n lanzamientosdeuna moneríao en un lanzamiento de n monedas,es binomial. El caso másusuales aquelen que ignoro el valorde la constantep quedesignala probabi-1 iclad de queocurra ‘cara’ con la(s) monería(s)ríecurso legal. Luego, a la vistadel resultadoobtenido,debo elegir entre ¿‘samar p o estor alguna hipotesisqueecinsiriereviable acercade su verdaderovalor.

Si decidoestimarp puedorecurrir al métodofisherianode níáxinccc re/vsi—milisud. y en tal caso, según Fisher’, la función cíe verosimilitud p>( 1 — p)correspo)ndientea la observaciónrealizadahabrá ríe ser lomadacomo basepara una icilerencia inductiva rí ue permitaestíítiarel valorverdaderocíep. Estaiii ferenei a, ariemás,es incierta, ya que, supuestoel carácter¡u Ii nito> ríe lapoblacióncíe valores, no hay ninguna razón concluyenteque obligue a creerqueel valorcoinjeturadoríe p cuya verosimilitud es rnáxima coincirlirá iteceszt—ríamente con el valor verdadero.Lo que,parece.reduncía en favor de ¡ a. ricadel carácterinducti~‘oríe tccia inferenciaeonstrtíidacon cl métodofisherianocíe máximaverrisimí 1 itud.

Ahora bien, la función de verosmi litud sólo expresauna pura relaciónmatemática(disponible una vezque el carácterbinomial de la distribución dela poblacióncorrespondienteha sido admitido hipotéticamente)entreel valorconjeturadoríe un parátuetropoblacicmnaly Icís datosobservacionales.Como lainferencia del valor paramétí’icoprovisto de la max ma verosimilitud cs clresultadode ciertasmanipulacionesmatemáticasen la función dc verosini iii—

=1.(ir. FISIiER, E.:« l,iverse Probability aííd ihe Use of Likelihood=,lO>> ~, >5922. Respee tu al uso de Ronald 1>5her del método de máx lina veros iíís iii tíd para la esíiouse ión ¿le

paráínc tisis> poí,íde¡olía les, véase Rl VAOCR.LA. A,: Ps-s’hobiI/clc¡d e lsi/¿sc,íc /o U/ss-cc1//so. P. 1 35.

12 AndrésRi¡’adulla

tud correspondiente,cuandodeterminadasconstantesnuméricasse sustituyenpor los valoresobservados,la inferenciaes puramenteanalítica. Además, losdatosobservacionalessolos,es decir, independientesde la premisaargumenta-tiva que se ha de admitir al menoshipotéticamente,son complementeinope-rantes.Luego los argumentosde verosimilitud no puedenser ampliativos y,por consiguiente,inductivos.

El casodel test de hipótesises aún más simple, ya que los resultadosdeexperimentosaleatoriosno añadennadaque no seapreviamenteconocido. Siconociéramos,como antes,o asumíeramoshipotéticamenteque la poblaciónestadistribuidabinomialmente,sabríamos,previa aplicaciónde la fórmula deBernoulli, quéprobabilidadde ocurrenciatienen todosy cadauno de los resul-tados posibles, todosy cadauno de los elementosdel espaciomuestral. Deestamaneratendríamos,desdeel principio, un panoramacompletode las deci-sionesa adoptarde acuerdocon las observaciones.De maneraquesi ocurrieraun sucesode la que hubiéramosdado en considerarregión cíe rechazode lahipótesistestada,no habríaacontecidonadaimprevisto, puessu probabilidadde ocurrenciaya seriaconocidamatemáticamente.Como es sólo cuestióndedecisiónprevia a la realizacionde experimentosdeclararharto improbablesadeterminadossucesosobservables,la aceptacióno cechazode la hipótesistes-lacia es una puta cuestiónde dec’csión y n~ de inft’rencia, ni deductivanimnduc’tivc!.

El razonamientodeductivojuega ciertamenteun papel importanteen elcómputo de las probabilidadesde los resultadoslógicamenteposibles, asícomo en el control de las probabilidadesde error de primer y segundotiposquepuedensercometidos.Así, el resultado:ocho veces‘cara’ tiene la proba-bilidad P = 0,044. balo el supuestode que [fo: p = 0,5 es verdadera;pero ten-dría la probabilidad?= 0,121 si hg : p = 0.6 fueraverdadera,y? = 0,011 si lofueraH0 : p 0,4, etc. Supongamos,pues,que estoy dispuestoa aceptarque

ho: p = 0,5 es verdadera,entoncespuedoconstruir la región de aceptacióncorrespondientede tal maneraquecontengalos resultados2 ó 3 ó ... ó 8 vecescara’, mientrasla región de rechazocontendríalos valoresO ó 1 ó 9 ó lO

veces cara’. Como la sumade las probabilidadesde estosresultados,calcula-das por medio de (2) en relación a la hipótesisnula considerada,es 0,022.habríaríue fijar en = 2,2%el nivel de significacióndel testcje f¡~ :p = 0.5. Loqueestadc’cvsión comportaes quehemoscíe estar dispuestosa rec’ono¿erqueel 2,2 ¿4 de las ¡-eres a la larqa rechazaremosequivocadameniela hipóíesistestada,incurriendo en un error del primer tipo. Admitamosahora,por contra,que la hipótesisverdaderaes la alternativa

11í :1) = 0,7. Como), calculadasenrelación a estahipótesis las probabilidadesde los sucesosque constituyen laregión de aceptaciónde [1<>: p = 0,5, éstostienen una probabilidadde aconte-cer del 85,1%.acabaremosaceptandoerróneamentela hipótesis testadaun85,1 ¿4 ríe las veces,cometiendoun error ¿leí set4ui)dOtipo.

El cómputo de las probabilidadesde error es ciertamentecompetenciadelrazonamientodeductivo.Perola inferenciaconcluyeaquí. Puesla conductaa

Incluc’s ‘ion. decluc’c’wn y decisiónen las teorícis estadíst¡¿’as 13

seguir,de acuerdocon las observacionesrealizadas,caeen el dominio de lateoríade la decision’’.

Finalmente,si lo que deseamoses calcular un intervaiode confianzaparala estimaciónde nuestroparámetropoblacionaldesconocido¡x tendremosquellevar a cabo, al igual que si empleáramosel método fisberianc de máximaverosimilitud, transformacionestautológicas(matemático—probabilísticas)dela inlormacióndequedisponemosacercade la población investigada,a fi,; deinfrrir deductií-’amentelas estimacionesinferior y superiordel parancehobus—c’¿ído. El método ríe la estimaciónestadísticaconfidencial es. como Neymatíinantienecorrectamenlefrentea Fisher.perfectamentedeductivo1’.

La conclusióngeneralríe Roclerickes queen ningunocje los dos casoscon—sicierados:el test de hipótesis y la teoría ríe la estimación,la estadísticaire—cuentistatieneabsolutamentenadaquevercon inducción.Puescuandon05 lastenemosque ver con inferencias,éstasson perfectamentedeductivas,y, cuan-cío hemosde adaptarnuestraconductaa los resultadosobservaconales,iban—olonanioscl e ¡tupo de la lógica y nosadentramosen el de la teoríade la dcci—SIOII

Si se puerie hablarde i níerenciaestadísticainductiva, y en qué scnl irlosen í legítImo) hace-río,es algo) quesólo cabríaimaginare-ii el marcode la teo-ría bayesiana. Pero el Ir) stll)ondria abandonarcomple-tamenteel paradigmadela estd(listleí clásica.

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