induc. magn. circuito rl 09

7/23/2019 Induc. Magn. Circuito RL 09

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Tema 10

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

10.1 Ley de Faraday-Henry

10.2 Ley de Lenz

10.3 Fuerza electromotriz de movimiento

10.4 Corrientes de Foucault

10.5 Inducción mutua y autoinducción

10. Circuitos !L

10." #ner$%a ma$n&tica

10.' Introducción a las ecuaciones de (a)*ell

BIBLIOGRAFÍA

- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 26 y 27. Addison-Wesley Iberoamericana- Gettys; eller; !o#e. "Física cl$sica y moderna". Cap. 2% y 2&. 'cGr- )alliday; *esnic. "F+ndamentos de ,ísica". Cap. . C/C!A.- *oller; 0l+m. "Física". Cap. 7 y %. *e#ert1.- !er(ay. "Física". Cap. 3 2 y 4. 'cGra(-)ill.- 5ipler. "Física". Cap. 2%. *e#ert1.



10.1 Ley de Faraday-Henry

+ ,rinci,ios de la d&cada de 1'30 Faraday en

In$laterra y . Henry en /..+. descurieron de

orma inde,endiente ue un cam,o ma$n&ticoinduce una corriente en un conductor siem,re ue

el cam,o ma$n&tico sea variable. Las uerzas

electromotrices y las corrientes causadas ,or los

cam,os ma$n&ticos se llaman fem inducidas y

corrientes inducidas. +l ,roceso se le denomina

inducción magnética.

Experimento 1ariación de luo

ma$n&tico ⇒ inducción

Experimento 2

ariación de

corriente ⇒ inducción



Enunciado de la ley de Faraday-HenryEnunciado de la ley de Faraday-Henry

/n luo variale ,roduce una em inducida en una

es,ira. Como esta em es el traao realizado ,or

unidad de car$a esta uerza ,or unidad de car$a

es el cam,o el&ctrico inducido ,or el luo variale.

La inte$ral de l%nea de este cam,o el&ctrico

alrededor de un circuito com,leto ser6 el traao

realizado ,or unidad de car$a ue coincide con la

em del circuito.

∫ Φ

−==εc

m

dt

dld·E

La fem inducida en un circuito es proporcional a

la variación temporal del flujo magnético que lo

atraviesa.



10.2 Ley de Lenz

La fem y la corriente inducida en un circuito

poseen una dirección y sentido tal que tienden a

oponerse a la variación que los produce.

La corriente inducida se dee al movimiento

relativo entre el im6n y la es,ira.



10. F!erza e"e#$r%m%$r&z de m%'&m&en$%

u,on$amos una varilla conductora ue se

desliza a lo lar$o de dos conductores ue est6n

unidos a una resistencia.

#l luo ma$n&tico var%a ,orue el 6rea ue

encierra el circuito tami&n lo 7ace.

xlBA·B ==Φ

vlBdt

dx lB

dt

d==

ΦComo

dt

d mΦ−=ε

#l módulo de la em inducida ser6

I

Fem de movimiento es toda em inducida ,or el

movimiento relativo de un cam,o ma$n&tico y un

se$mento de corriente.

vlB=ε



8Cu6l es el eecto de la a,arición de esta

corriente inducida9

#l cam,o ma$n&tico eerce una uerza

ma$n&tica sore la varilla ue se o,one al

movimiento

I

mF

#l resultado es ue si im,ulsamos la varilla con una

cierta velocidad 7acia la derec7a y lue$o se dea en

liertad la uerza ma$n&tica ue a,arece sore lavarilla tiende a renarla 7asta detenerla. :ara

mantener la velocidad constante de la varilla un

a$ente e)terno dee eercer una uerza i$ual y

o,uesta a la uerza ma$n&tica.



Fem de movimiento para un circuito abierto

(Varilla aislada)

La em se induce en una arra o en un

alamre conductor ue se mueve en el seno

de un cam,o ma$n&tico incluso cuando el

circuito est6 aierto y no e)iste corriente.

#uilirio em FF = EBv =

La dierencia de ,otencial a trav&s de la arra ser6

vlBlEV ==∆ vlB=ε



Diferencias entre el campo eléctricoDiferencias entre el campo eléctrico

electrosttico y el campo eléctricoelectrosttico y el campo eléctrico

inducidoinducidoLos inducidos no est6n asociados a car$as sino

a variaciones tem,orales del luo ma$n&tico.

E

Las l%neas del inducido ormas l%neas cerradas

mientras ue las l%neas de cam,o ue re,resentan

al electrost6tico nacen en las car$as ,ositivas ymueren en las ne$ativas.

E

E

La dierencia de ,otencial entre dos ,untos

asociada a un electrost6tico es inde,endiente del

camino recorrido de orma ue se ,uede escriir

E

∫ ==− 0ld·EVV a b

:ara los inducidos no se ,uede a,licar esta

e),resión ya ue la em inducida es distinta de

cero cuando var%a el luo ma$n&tico. :or lo tanto

el inducido no es un cam,o conservativo.E

E

∫ ≠=ε 0ld·E

e ,uede 7alar de em inducida ,ara una

trayectoria determinada sin necesidad de ue &sta

coincida con un circuito %sico.



10.( C%rr&en$e) de F%!#a!"$

#n el n;cleo de un transormador los luos

variales ,roducen corrientes en el metal. #l calor,roducido ,or estas corrientes da lu$ar a

,&rdidas de ,otencia en el transormador.

La ,&rdida de ,otencia se ,uede reduciraumentando la resistencia de los ,osiles

caminos ue si$uen las corrientes de Foucault

<,or eem,lo laminando el conductor o

recortando el metal=.



10.* Ind!##&+n m!$!a y a!$%&nd!##&+n

!utoinducci"n!utoinducci"n

#)iste una relación ente el luo ue atraviesa uncircuito y la corriente ue recorre el mismo.

L> +utoinducción de la es,ira ue de,ende

de sus ,ro,iedades $eom&tricas.

/nidad en .I.> Henrio <H=

A

Tm1

A

Wb1H1

2

==

i la corriente var%a tami&n lo 7ace el luoma$n&tico y ,odemos escriir

dt

dIL

dt

)LI(d

dt

d m ==Φ

:or la Ley de Faraday-Henry

/n solenoide con muc7as vueltas ,osee una $ran

autoinducción y en los circuitos se re,resenta

como

IL=Φ

dt

dIL−=ε



#nducci"n $utua #nducci"n $utua

Cuando dos o m6s circuitos est6n ,ró)imos el

luo ma$n&tico ue atraviesa uno de ellosde,ende de la corriente ue circula ,or &l y de las

ue circulan ,or los circuitos ,ró)imos.

P 1

2

#l cam,o ma$n&tico en :1 tiene una com,onente

deida a I1 y otra deida a I2. +n6lo$amente ,ara

el ,unto :2.Circuito 1 22111B IMIL

1+=Φ

Circuito 2 11222B IMIL2

+=Φ

(12 y (21 es la inducción mutua ue de,ende de la

,osición relativa entre amos conductores.

:or la Ley de Faradaydt

dIL

dt

dIM 1

12

211 −−=ε

dt

dIL

dt

dIM 2

21

212 −−=ε



E%emplo&E %emplo& /n solenoide lar$o y estrec7o de es,iras

a,retadas est6 dentro de otro solenoide de i$ual

lon$itud y es,iras a,retadas ,ero de mayor radio.

Calcula la inducción mutua de los dos solenoides.

:ara calcular la inducción mutua entre dos

conductores asta con su,oner ue ,or uno de

ellos circula una corriente I y calcular el luo de

cam,o ma$n&tico a trav&s del otro conductor. #l

cociente entre el luo y la corriente es la

inducción mutua.

2121o2112 r lnnMMM πµ===



10., C&r#!&$%) RL

/n circuito !L est6 ormado ,or una resistencia

y un solenoide o oina.

Cuando se cierra el interru,tor la em inducida

en la oina im,ide la ue corriente en el circuito

aumente de orma rusca de orma ue si$ue la

ley

> Constante de tiem,o inductiva

LL =τ

( )L!to e1

)t(I τ−−ε=

'aso'aso II



/na vez alcanzada la corriente estacionaria con 1

cerrado cerramos 2 y arimos 1 ,ara eliminar

los eectos de la ater%a.

#n este caso el circuito est6 ormado ,or una

resistencia y una oina ,or las ue en t ? 0

circula una corriente Io

L!toeI)t(I

τ−=

'aso'aso IIII



10. Ener/a man$&#a

/na oina o un solenoide almacena ener$%a

ma$n&tica de la misma orma ue un

condensador almacena ener$%a el&ctrica.

Ecuación de un circuito RL

dt

dIL Io +=ε

(ulti,licando ,or I en amos miemros otenemos

una ecuación en t&rminos de ,otencia

dt

dIIL II 2o +=ε

:otencia

suministrada

,or la ater%a

:otencia disi,ada en !

,or eecto oule

:otencia almacenada en la

oina



Enera almacenada en la bobina > /m

dIILd" dt

dI

ILdt

d"

m

m

=⇒=

La ener$%a total almacenada se otiene inte$rando

∫ ∫ ==

# I

0

mm dIILd"" 2

# mIL

2

1" =

Densidad de enera > #ner$%a ma$n&tica ,or

unidad de volumen

Caso de un solenoide n

BI InB

o

o

µ

=⇒µ=

AlnL 2oµ=

Al

"

V

" mmm ==η

o

2

m 2

B

µ=η

!esultado

$eneral

Densidad de enera

electromanética o

22

ome 2

BE

2

1

µ+ε=η+η=η



10. In$r%d!##&+n a "a) e#!a#&%ne) de Ma3e""

Hacia 1'0 ames Cler@ (a)*ell deduo ue las

leyes undamentales de la electricidad y el

ma$netismo ,od%an resumirse de orma matem6ticaen lo ue se conoce como las Leyes de (a)*ell.

#stas ecuaciones relacionan los vectores y

con sus uentes ue son las car$as en re,oso las

corrientes y los cam,os variales.

E B

Las Leyes de Maxwell juegan en el

Electromagnetismo el mismo papel

que las Leyes de Newton en la

Mecánica Clásica.

(a)*ell demostró ue estas ecuaciones ,od%ancominarse ,ara dar lu$ar a una ecuación de ondas

ue de%an satisacer los vectores y cuya

velocidad en el vac%o de%a ser E B

m!$·v

oo

'1031

=

µε

=

Aic7a velocidad coincide con la velocidad de la

luz en el vac%o. Lue$o la luz tami&n es una

onda electroma$n&tica.



E'*!'#+,E DE $!./E00E'*!'#+,E DE $!./E00

#n su orma inte$ral

La ,rimera es la ley de auss y nos dice ue el luo a

trav&s de una su,ericie cerrada es ,ro,orcional a la car$a

encerrada. La se$unda es la ley de auss para el

magnetismo im,lica la no e)istencia de mono,olos

ma$n&ticos ya ue en una su,ericie cerrada el n;mero de

l%neas de cam,o ue entran euivale al n;mero de l%neas

ue salen. La tercera es la ley de !araday. #n este caso

en el se$undo t&rmino tenemos el luo ma$n&tico a trav&s

de una su,ericie no cerrada. #sta ley relaciona el luo del

cam,o ma$n&tico con el cam,o el&ctrico. La inte$ral de

circulación del cam,o el&ctrico es la variación del luo

ma$n&tico. La cuarta es la ley de "mp#re $eneralizada

,or (a)*ell y e),resa cómo las l%neas de cam,o ma$n&tico

rodean una su,ericie ,or la ue circula una corriente o 7ay

una variación del luo el&ctrico. La inte$ral de circulación

del cam,o el&ctrico es ,ro,orcional a la corriente y a la

variación del luo el&ctrico.

∫ ε=$

o

%nt&

'd·E

<1= ∫ =$

'd·B 0 <2=

∫ ∫ −=Φ

−=

B 'd·Bdt

d

dt

dld·E

<3=

∫ ∫ εµ+µ= '

ooo 'd·EdtdIld·B

<4=

Corriente de

des,lazamiento



:ara deducir la ecuación de las ondas

electroma$n&ticas vamos a escriir las

ecuaciones de (a)*ell en su orma dierencial

#l t&rmino de la corriente de des,lazamiento ,ermite

la solución de ondas electroma$n&ticas. #l se$undo

,ar de las ecuaciones de (a)*ell conecta lasderivadas es,aciales de cada cam,o con el ritmo de

variación de cada uno de ellos. #s este aco,lamiento

de los cam,os el&ctricos y ma$n&ticos lo ue ori$ina

la ,ro,a$ación de las ondas. Cualitativamente un

cam,o ma$n&tico variale con el tiem,o en la

ecuación <"= conduce a un cam,o el&ctrico varialecon el tiem,o el cual conduce a su vez a un

cam,o ma$n&tico de,endiente del tiem,o en la

ecuación <'=.

B

E

o

)tr (E·ερ

=∇

<5= 0=∇ )tr (B· <=

t

)tr (B)tr (E

∂∂

−=×∇

<"=

t

)tr (E)tr (*)tr (B ooo ∂

∂εµ+µ=×∇

<'=



La orma est6ndar de ,roceder con tales

ecuaciones dierenciales aco,ladas es tomar la

derivada de una de ellas y usar la otra ,araeliminar una u otra de las variales

inde,endientes. #n este caso tomaremos el

rotacional de la ley de Faraday ,uesto ue esto

conecta con el rotacional del cam,o el&ctrico lo

ue nos ,ermite eliminarlo usando la ley de

+m,Bre $eneralizada.

0=∇ )tr (E· <= 0=∇ )tr (B· <10=

t

)tr (B)tr (E

∂∂

−=×∇

<11=

t

)tr (E)tr (B oo ∂

∂εµ=×∇

<12=

:ara sim,liicar vamos a tratar ondas

electroma$n&ticas en el vac%o considerando el caso

en el ue no 7ay corrientes < ?0= ni car$as <ρ?0=.

Con estas 7i,ótesis las ecuaciones de (a)*ell

uedan como>

*



#l t&rmino izuierdo de la ecuación <13= ,uede ser

reordenado usando la si$uiente identidad vectorial

A)A·(A2∇−∇∇=×∇×∇

Calculando el rotacional de la ley de Faraday

t

BE

∂

∂×∇−=×∇×∇

<13=

D usando la ,ro,iedad conmutativa en el t&rmino

de la derec7a ,odemos escriir inalmente

t

)B(E)E·(

∂×∇∂

−=∇−∇∇ 2

<14=

ustituyendo las ecuaciones <= y <12= en la <14=

otenemos

2

22

t

EE oo

∂

∂εµ=∇ <15=

E,erando de orma an6lo$a ,ara el cam,o ma$n&tico

2

22

t

BB oo

∂

∂εµ=∇ <1=



:uesto ue

m!F·+o1210'' −=ε

A!Tm·o"

104 −

π=µ

Etenemos ,ara la velocidad de ase un valor de

c $ %.&&'()* m+s

el cual coincide con la velocidad de la luz c. La

conclusión es clara la luz misma es una onda

electroma$n&tica. #ste es un eem,lo de una de

las ,rimeras uniicaciones en %sica de dos ramas

de la misma ue en ,rinci,io ,arec%an se,aradas

como son el electroma$netismo y la ó,tica y ,or lotanto uno de los mayores triunos de la %sica del

si$lo I.

oo

cµε

=1

#stas ecuaciones oedecen a una ecuación de

ondas tridimensional ,ara los cam,os y con

velocidad de ase

E B



elaci"n entre la propaaci"n de los camposelaci"n entre la propaaci"n de los campos

eléctrico y manéticoeléctrico y manético

0=E·, 0=B·,

BE, ω=× EB, ooεµ−=×

amos a introducir la e),resión de los cam,osen orma de ondas armónicas ,lanas

)t,x(o

)t,x(o

eB)tr (B

eE)tr (E

ω−

ω−

=

=

Aonde es el n;mero de ondas ue es un vector

ue a,unta en la dirección de la onda. +s%

,odemos reescriir las ecuaciones de (a)*ell en

orma de ecuaciones vectoriales

,



Las ,rimeras dos ecuaciones demuestran ue los

dos cam,os y son ,er,endiculares al vector de

onda ,uesto ue a,unta en la dirección de la

onda esto si$niica ue las ondas electroma$n&ticas

son ondas transversales. Como en $eneral unvector en 3A tiene tres $rados de liertad la

condición de ue el cam,o el&ctrico dee ser

,er,endicular a reduce entonces los $rados de

liertad a dos. F%sicamente esto corres,onde a los

dos estados de ,olarización en los ue la luz ,uede

dividirse.

, ,

,

E B

Las otras dos ecuaciones relacionan los cam,os

el&ctrico y ma$n&tico. #s normal visualizar el cam,o

el&ctrico como el ue deine la onda y ,or eem,lo la

dirección en la ue a,unta deine la ,olarización de la

onda. #s conveniente usar ,ara otener laintensidad de cam,o ma$n&tico. #sta ecuación

demuestra ue es ,er,endicular a y ,or lo tanto

7emos encontrado la ,ro,iedad undamental de las

ondas electroma$n&ticas esto es ue y son

mutuamente ,er,endiculares.

BE, ω=×

,

E

E

B

B

:uesto ue y son ,er,endiculares en t&rminos

de sus módulos tenemos . :ara ondas en

vac%o la velocidad de ase es c y ,or lo tanto .

La ;ltima ecuación no nos da inormación nueva

,uesto ue con se reduce a la e),resión

anterior .

B,E ω=

21 c!oo =µε

, E

c!EB =



ropaaci"n de las ondas electromanéticasropaaci"n de las ondas electromanéticas

Los cam,os #l&ctrico y (a$n&tico oscilan localmente

Las direcciones locales del Cam,o #l&ctrico y (a$n&tico

son mutuamente ,er,endiculares

La $eneración de E#( reuiere ue las dimensiones del medio

emisor sean del orden de la lon$itud de onda $enerada.

Gantenas de radio ue emiten en +( <am,litud modulada= enonda lar$a o corta tienen dimensiones de decenas a

centenares de metrosG microondas con lon$itudes de onda t%,icas en el ran$o de los

micrones se $eneran en cavidades resonantes de al$unos

cent%metros de tamaoGran$o del inrarroo a los rayos est6 asociado a emisión de

ondas electroma$n&ticas ,or 6tomos o mol&culas

Grayos γ est6n asociados a ,rocesos nucleares.



El espectro electromagnéticoEl espectro electromagnético

"00 00 500 400

λ <nm=

es,ectro visile

100 102 104 10 10' 1010 1012 1014 101 101' 1020 1022 1024

10'

10

104

102

100

10-2

10-4

10-

10-'

10-10

10-12

10-14

10-1

Lon$itud de onda λ <m=

Frecuencia ν <Hz=

ultra,ioleta-ayos -ayos gamainfrarojo/ndas de radioEnda lar$a

⋅ $ 0'()* m+s

104 105 10 10" 10' 10 10111010

!adio

+(

Canales !adio F(

Horno microondas

anda ciudadana

teleon%a móvil

Frecuencia ν <Hz=



ondas de radio y 12

microondas

radiación térmica lu3

radiación láser

rayos

rayos gama

45ónde se encuentran las o.e.m645ónde se encuentran las o.e.m6



Endas de radiorecuencia

Las $eneradas ,or Hertz con λ ∼ 1 m.λ ∈J1 @m 0.3 mK

∈J1 Hz10 HzK

Endas emitidas ,or los circuitos el&ctricos <50 Hz=.

o e)iste l%mite teórico a estas ondas.

(icroondas

Intervalo de variación

λ ∈J30 cm 1 mmK

∈J10 Hz 3.1011 HzK

/tilidad en radioastronom%a y en la comunicación de

ve7%culos es,aciales.

Las recuencias de los microondas coinciden con la

recuencia natural de las mol&culas de a$ua. #sta es la

ase de los 7ornos microondas.

7na 8re,e descripción del espectro7na 8re,e descripción del espectro

electromagnéticoelectromagnético



Inrarroo

∈J3.1011 Hz 4.1014 HzK

Aetectadas ,or ir Milliam Hersc7el en 1'00

uintervalos

GI! cercano> "'0 nm-3000 nm

GI! intermedio> 3000 nm-000 nm

GI! leano> 000 nm-15000 nm

GI! e)tremo> 15000 nm-1 mm

Cualuier mol&cula ,or encima de cero asoluto radiar6en el I! <,or a$itación t&rmica=.

Los cuer,os calientes rad%an I! en un es,ectro

continuo <,or eem,lo un radiador=.

+,ro)imadamente la mitad de la ener$%a

electroma$n&tica del ol es I!.

#l cuer,o 7umano tami&n rad%a I! <esta emisión se

utiliza ,ara visión nocturna=.

#)isten misiles ue Nsi$uen el calorO y ue son

$uiados ,or I!.



La luz

ensiilidad del oo 7umano> 400 nm-"00 nm.

e*ton ue el ,rimero en reconocer ue la luz lanca esmezcla de todos los colores del es,ectro visile.

#l color no es una ,ro,iedad de la luz en s% misma sino un

maniestación de nuestro sistema de ,erce,ción <La luz n

es amarilla la vemos amarilla ya ue con distintas mezcla

de distintas lon$itudes de onda ,odemos otener la mism

res,uesta a nuestro oo=.

/ltravioleta

Aescuiertos ,or !itter sore 1'00> ∈J10 Hz 3.1011 HzK

Los rayos / del ol ionizan los 6tomos de la atmóera

su,erior y as% se crea la ionosera. #l ozono asore

estos rayos en la atmósera.

:ara λ P 20 nm los / son $ermicidas.

Los seres 7umanos no ven muy ien los / ,orue los

asore la córnea y el cristalino.



!ayos

Aescuiertos ,or !Qet$en <1'45-123=>

∈J2.4 101 Hz 5.101 HzK

e utilizan en medicina ,ara radiodia$nóstico.

#)isten microsco,ios de !.

!ayos γ

!adiaciones electroma$n&ticas con la lon$itud de

onda m6s corta.

on emitidas ,or ,art%culas ue est6n suetas a

transiciones dentro del n;cleo atómico.

#s muy di%cil oservar enómenos ondulatorios en esta

,arte del es,ectro electroma$n&tico.

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