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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE
SAN LUIS POTOSÍ
FACULTAD DE CIENCIAS
INDAGANDO EN EL ESTATUS CIENTÍFICO
DE LA MATEMÁTICA EDUCATIVA. LOS
FUNDADORES DE SU DISCURSIVIDAD.
TESIS
PARA OBTENER EL GRADO DE:
LICENCIADA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA
PRESENTA:
VALERIA CRUZ MILÁN
ASESOR:
Dra. RITA ANGULO VILLANUEVA
SAN LUIS POTOSÍ, S. L. P MAYO 2017
Para mamá y papá, por TODO.
The future is scary.
But you can't just run back to the past because it's familiar.
Yes, it's tempting.
Robin Scherbatsky - HIMYM
Agradecimientos.
Quiero agradecer a todas las personas que de una u otra forma me apoyaron para
concluir este trabajo, mi familia, mis amigos, mis maestros.
Fueron dos años de trabajo que a veces parecían diez y de vez en cuando,
apenas unos días. Aprendí muchas cosas que me hicieron crecer no solo como
estudiante o profesional en Matemática Educativa, sino como persona. Mis más
sinceros agradecimientos:
A mi mamá, por tanto apoyo, por hacer mis penas más chiquitas y mis logros más
grandes, por escucharme hablar tanto de todo lo que pasaba con mi trabajo, de
cuando descubría algo y cuando sentía que ya no podía hacer nada, gracias por
animarme a seguir, por abrazarme cuando quería llorar y apoyar las decisiones
que se tomaron en el transcurso; porque todo siempre es cuestión de decisión.
A mi papá y mis hermanos, por su apoyo, por motivarme a continuar y
acompañarme en todo momento.
A mi novio, por estar aquí, por sus porras, por su apoyo inmenso, por todo su
tiempo y sus lecturas, por sus búsquedas, por emocionarse conmigo; por entrar
en mi mundo.
A mi asesora, mi maestra, mi guía, mi amiga, porque sin ella nada de esto hubiera
sido posible, por sus consejos y felicitaciones, por sus tips, sus libros y sus
canciones, por sus poemas y sus historias, por sus risas; por sobre todo, creer en
mí, por motivarme a seguir adelante, por hacerme mejor persona, mejor
estudiante, mejor investigadora, mejor todo.
A todos los que formaron parte, muchas gracias.
Contenido
Capítulo 1 - Introducción ......................................................................................... 7
Capítulo 2 - Antecedentes ....................................................................................... 9
Capítulo 3 - Marco Teórico .................................................................................... 16
3.1 Michel Foucault ............................................................................................ 16
3.1.1 Autor ...................................................................................................... 17
3.1.2 Obra ....................................................................................................... 18
3.2 Thomas Kuhn ............................................................................................... 19
3.2.1 Teoría .................................................................................................... 20
3.3 Sobre el objeto de la Matemática Educativa ................................................ 20
Capítulo 4 - Metodología ....................................................................................... 24
4.1 Estrategia metodológica ............................................................................... 24
4.1.1 Procedimiento de validación para seleccionar los fundadores de
discursividad en la Matemática Educativa ...................................................... 24
4.1.2 Procedimiento para seleccionar los documentos fundadores de teoría en
Matemática Educativa..................................................................................... 25
4.2 Instrumento para la recolección de datos .................................................... 28
Capítulo 5 - Resultados ......................................................................................... 30
5.1 Análisis de los 12 autores fundadores de la discursividad buscados en
revistas indexadas ............................................................................................. 32
5.2 Análisis de las teorías de Matemática Educativa ......................................... 35
5.3 Análisis de textos de autores fundadores de acuerdo con los principios
teóricos .............................................................................................................. 39
5.3.1 Objeto de estudio ................................................................................... 40
5.3.2 Modelo de saber .................................................................................... 44
5.3.3 Normas de verificación del modelo ........................................................ 48
5.3.4 Conceptos clave. ................................................................................... 53
5.3.5 Reglas de formación de conceptos ........................................................ 57
5.3.6 Planteamiento o resolución de contradicciones ..................................... 62
Capítulo 6 – Discusión y conclusiones .................................................................. 70
Conclusiones ..................................................................................................... 72
Trabajo a futuro .............................................................................................. 73
Bibliografía ............................................................................................................ 74
Anexos .................................................................................................................. 78
Anexo 1. Revistas indexadas de Matemática Educativa .................................... 78
Anexo 2. Referencias enviadas por los investigadores. ..................................... 79
Guy Brousseau ............................................................................................... 79
Gérard Vergnaud ............................................................................................ 79
Ubiratan D’Ambrosio ....................................................................................... 83
Ole Skovsmose ............................................................................................... 84
Ed Dubinsky .................................................................................................. 113
Raymond Duval ............................................................................................ 113
Luis Radford ................................................................................................. 115
Juan Godino ................................................................................................. 116
Anexo 3. Cuadros de recolección de datos. ..................................................... 117
Guy Brousseau – Cuadro 1 .......................................................................... 117
Guy Brousseau – Cuadro 2 .......................................................................... 121
Gérard Vergnaud – Cuadro 1 ....................................................................... 123
Gérard Vergnaud – Cuadro 2 ....................................................................... 125
Ole Skovsmose – Cuadro 1 .......................................................................... 131
Ole Skovsmose – Cuadro 2 .......................................................................... 134
Luis Radford – Cuadro 1 ............................................................................... 136
Luis Radford – Cuadro 2 ............................................................................... 141
Juan Godino – Cuadro 1 ............................................................................... 144
Juan Godino – Cuadro 2 ............................................................................... 145
7
Capítulo 1 - Introducción
Cuando hablamos de Matemática Educativa no debemos olvidar que estamos
hablando de una disciplina ubicada tanto en el campo de la educación como en el
de la matemática; dos campos que no podemos separar, ya que son constitutivos
de su identidad (Sierpinska & Kilpatrick 1998).
Waldegg (1998) considera que la Matemática Educativa puede definirse como un
campo de investigación científico–tecnológico emergente en el que se identifican
un cúmulo de teorías competitivas, expresadas generalmente de un modo informal
y dependientes, especialmente, de planteamientos psicológicos.
Lesh y Sriraman (2010) consideran a la Matemática Educativa como una ciencia
orientada al diseño de procesos y recursos para mejorar los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Godino (2010: 45), considera al menos tres componentes en el sistema social de
la Matemática Educativa:
La acción práctica y reflexiva sobre los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas.
La tecnología didáctica, que se propone desarrollar materiales y recursos,
usando los conocimientos científicos disponibles.
La investigación científica, que trata de comprender el funcionamiento de la
enseñanza de las matemáticas en su conjunto, así como el de los sistemas
didácticos específicos (profesor, estudiantes y conocimiento matemático).
La Matemática Educativa se ha desarrollado de manera desigual en diferentes
partes del mundo y según la tendencia y el grupo que la trabaja, adopta distinto
nombre; en este trabajo empleamos la expresión Matemática Educativa como
igual a Didáctica de las Matemáticas y Educación Matemática. Las diferentes
concepciones de Matemática Educativa tienen como finalidad común la mejora de
la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. A partir de la lectura de los
documentos mencionados hemos detectado la preocupación por el reconocimiento
de la Matemática Educativa como una disciplina científica.
Los investigadores se han preocupado porque el desarrollo de la Matemática
Educativa alcance un nivel de ciencia; para ello, nos proponemos reconocer a los
fundadores del discurso en Matemática Educativa a partir de la identificación de la
(s) teoría (s) vigente (s), indagar en su estatus científico ubicando el umbral
8
arqueológico (Michel Foucault, 1969) en que se encuentra y además caracterizar
los elementos de una disciplina científica desde los planteamientos de Tomas
Kuhn (1962) así como desde teóricos de la Matemática Educativa. Se busca
responder a preguntas como: ¿En qué momento de constitución de su estatus se
encuentra la Matemática Educativa? y ¿Quiénes son los fundadores del discurso
en Matemática Educativa?
Para esto, se consideraba hacer un análisis detallado de aquellos documentos
considerados por los propios autores de teorías reconocidas en el campo, como
fundadores de su teoría. Lo anterior nos permitirá localizar los elementos que
menciona Kuhn como característicos de una disciplina científica (paradigma,
objeto de estudio, método, comunidad científica, teoría). Sin embargo, el análisis
de los documentos para encontrar estos planteamientos resultó ser denso y nos
impidió (hasta el momento) hacer una aproximación kuhniana para este trabajo.
Este análisis se hace basándose en el marco teórico de los Umbrales
arqueológicos que maneja Michel Foucault a lo largo de su libro La Arqueología
del saber (1969-1979) así como las concepciones de autor y obra de él mismo; y,
en la concepción de paradigma propuesta por Tomas Kuhn en su libro La
Estructura de las Revoluciones Científicas (1962-2004). Hasta el momento, estas
referencias, nos han permitido suponer que la Matemática Educativa se encuentra
en el umbral de la epistemologización.
Se considera como escenario para la investigación: la Matemática Educativa y sus
tendencias, no solo en México sino también en el resto de países donde se
desarrolla, permitiéndonos tener una visión global del reconocimiento del campo.
La revisión nos permitió encontrar 12 autores reconocidos dentro del campo, Guy
Brousseau (teoría de las situaciones didácticas), Yves Chevallard (teoría
antropológica de lo didáctico), Hans Freudenthal (matemática realista), Raymond
Duval (teoría de las representaciones semióticas), Ed Dubinsky (teoría APOS), Ole
Skovsmose (teoría de la matemática crítica), Louis Radford (teoría de la
objetivación cultural), Ubiratan D’Ambrosio (teoría etnomatemática), Paul Cobb
(teoría de las normas sociomatemáticas), Juan Godino (enfoque ontosemiótico),
Gérard Vergnaud (teoría de los campos conceptuales) y Ricardo Cantoral (teoría
socioepistemológica). Para esta investigación se tomaron solo 5 de los 12 autores
antes mencionados en función de la respuesta que se obtuvo para la obtención de
los documentos de análisis.
9
Capítulo 2 - Antecedentes
Algunos investigadores han mostrado la preocupación por detectar en qué
momento surge el interés en las problemáticas de la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas, así como en la investigación de la Matemática Educativa
como campo disciplinario.
Furinghetti, Matos y Menghini (2013) encuentran que la comunicación a través de
revistas dedicadas a las matemáticas (a veces junto con otras ciencias) acompañó
al crecimiento de la comunidad de matemáticos que más tarde impulsó el de los
educadores de matemáticas.
Así, a partir del siglo XIX aparecen internacionalmente revistas que abordan la
enseñanza de matemáticas, como ejemplo tres publicaciones francesas: Journal
de Mathématiques Élémentaires (editor Henri Vuibert, fundada en 1876), Journal
de Mathématiques Élémentaires (editor de Longchamps, fundada en 1882), L’
Éducation Mathématique (editors Jean Griess and Henri Vuibert, fundada en
1898), y la publicación italiana, Rivista di Matematica Elementare (editor Giovanni
Massa, fundada en 1874).
A menudo estas publicaciones de revistas se vinculan con asociaciones de
profesores de matemáticas, por ejemplo, en el Reino Unido la Asociación para la
Mejora de la Enseñanza Geométrica (AIGT), fundada en 1871, se convirtió en la
Asociación Matemática en 1897 con el objetivo de apoyar reformas en el plan de
estudios de geometría.
En Francia, la Asociación de Profesores de Matemáticas de la Enseñanza Pública
(APMEP) inició sus actividades y la publicación de su boletín en 1910.
En los Estados Unidos de América la American Mathematical Society (AMS) fue
formada en 1888. AMS siempre enfatizó en la investigación (y aún lo hace),
mientras que Asociación Matemática de América (MAA) siempre ha enfatizado en
la enseñanza de los colegios.
En ciertos casos un importante papel de las asociaciones era defender la
enseñanza de las matemáticas cuando era marginada. Por ejemplo, en Italia la
asociación de docentes de matemáticas Mathesis fundada en 1895, surgió con el
objetivo de apoyar la enseñanza de las matemáticas en contra de un declive que
se había iniciado en la década de 1890.
Estas asociaciones, y sus diarios, ayudaron a promover la comunicación y dar
forma a las matemáticas en la identidad docente. En particular, el papel de las
10
asociaciones fue crucial en estimular y orientar las reformas que tuvieron lugar
durante ese período.
Miguel de Guzmán (1993) considera que fue gracias al interés despertado por la
figura del gran matemático alemán Félix Klein, con sus proyectos de renovación
de la enseñanza media y con sus famosas Lecciones sobre matemática elemental
a comienzos del siglo XX lo que dio lugar a un movimiento de renovación en la
Matemática Educativa. En España ejerció gran influencia a partir de 1927, por el
interés de Rey Pastor, quien publicó, en su Biblioteca Matemática, su traducción al
castellano.
Menciona que es en los años 60 cuando surge un fuerte movimiento de innovación
que a pesar de todos los desperfectos que ha traído consigo en el panorama
educativo internacional, ha tenido, con todo, la gran virtud de llamar la atención
sobre la necesidad de alerta constante sobre la evolución del sistema educativo en
matemáticas a todos los niveles.
En lo que respecta a la existencia de un grupo de investigación con intereses
comunes en el desarrollo teórico, Godino (2010) menciona al profesor Steiner
como quien convocó a científicos interesados en la gestación de una Teoría de la
Educación Matemática para el V Congreso Internacional de Educación Matemática
(ICME), celebrado en 1984. En él se incluyó un área temática con el nombre
"Teoría de la Educación Matemática". Finalizado el Congreso se celebraron
nuevas reuniones en las que quedó constituido un grupo de trabajo que se
denominó Theory of Mathematics Education (TME) y en las que se continuaron las
discusiones iniciadas en el ICME.
Las sucesivas conferencias del TME que se han celebrado han mostrado que
existe una comunidad, al menos en estado incipiente, interesada por construir las
bases teóricas de la Didáctica de la Matemática como ciencia, que está constituida
por personas con formación e intereses en campos bastante diversificados:
investigadores en Educación Matemática, matemáticos, profesores, psicólogos
educativos, sociólogos educativos, formadores de profesores, etcétera.
Godino (2010) considera que la configuración de esta comunidad científica y sus
intereses profesionales son los que han propiciado una orientación académica a
esta actividad. Así, menciona que en Alemania, entre 1960 y 1975, se crearon
más de 100 cátedras asignadas a departamentos de matemáticas en las escuelas
de formación de profesores, que al ser integradas en la universidad, la Didáctica
de la Matemática se vio en cierta medida equiparada a las restantes disciplinas.
Por otro lado, en España este fenómeno tuvo lugar a partir de 1985 con el
11
reconocimiento de la Didáctica de la Matemática como área de conocimiento y la
consiguiente posibilidad de constituir departamentos universitarios con los
profesores adscritos a dicha área.
Godino (2010) encuentra que el interés por los fundamentos teóricos y filosóficos
de la educación matemática se han fortalecido a partir de 2005 cuando se celebra
un foro de investigación dedicado al tema en la reunión anual del grupo
Psychology of Mathematics Education (PME), celebrado en dicho año en
Melbourne. Desde entonces, distintos investigadores han venido publicando
diversos trabajos en la revista Zentralblatt fur Didactic Der Mathematik (ZDM) y el
tema ha sido objeto de interés en uno de los grupos de trabajo del Congreso
Europeo de Investigación en Educación Matemática (CERME).
Artigue (2013) menciona la revista Educational Studies in Mathematics creada en
1968 por iniciativa de Hans Freudenthal, entonces Presidente de la International
Commission on Mathematical Instruction (ICMI), quien pretendía renovar las
ambiciones de esta venerable institución, poniendo de relieve la necesidad de
establecer la educación matemática como un campo de investigación.
A lo largo de los años, esta ambición se llevó a cabo y aunque se sigue
cuestionando su legitimidad para reconocerse como campo científico, este campo
de investigación se ha ido gradualmente institucionalizando, como prueba de ello
Artigue (2013) menciona los laboratorios y centros de investigación, los programas
de maestría y doctorado, las revistas especializadas, libros y conferencias, así
como las asociaciones y redes se han ido multiplicando en el mundo.
Font (2013) también considera que la Didáctica de las Matemáticas, entendida
como disciplina, tiene ya una posición consolidada en la institución universitaria de
muchos países. Como indicadores de esto, menciona las tesis doctorales sobre
problemas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, los proyectos de
investigación financiados con fondos públicos y las diferentes comunidades y
asociaciones de investigadores, la existencia de institutos de investigación
específicos, la publicación de revistas periódicas de investigación, congresos
internacionales, etcétera. Señala que esta consolidación convive con una gran
confusión en las agendas de investigación y en los marcos teóricos y
metodológicos disponibles, situación propia de una disciplina emergente y de la
complejidad del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (Font
2013:190)
Cordero (2012) y Font (2013) coinciden en considerar que la Didáctica de las
Matemáticas puede ser una disciplina madura en el sentido sociológico, aunque
no ocurra igual en el sentido filosófico o metodológico ya que no existe ningún
12
marco establecido de manera universal o un consenso relativo a escuelas de
pensamiento, paradigma de investigación, métodos, estándares de verificación y
calidad. Se puede afirmar que, en la actualidad, no hay acuerdo en la Didáctica de
las Matemáticas sobre lo que es un hecho, un fenómeno o una explicación. Esto
explica por qué hay un cierto número de investigadores en esta área que durante
los últimos años han estado reflexionando sobre las características, problemas,
métodos y resultados de la Didáctica de las Matemáticas como disciplina científica
intentando dar respuesta a la pregunta ¿Qué tipo de ciencia es la Didáctica de las
Matemáticas? (Font 2013:191)
Después de constatar las limitaciones de las teorías psicopedagógicas generales
para explicar los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, muchos
investigadores en este campo han optado por desarrollar programas de
investigación específicos del área. Pasando de tener marcos generales
(cognitivismo, constructivismo, teorías socioculturales, enfoques sistémicos, etc.) a
tener marcos específicos de investigación, que si bien están relacionados con
enfoques generales, tienen en cuenta la especificidad del contenido matemático
que se enseña. Entre estos, tenemos la Teoría de las Situaciones Didácticas
(Brousseau y colaboradores), el Enfoque Ontosemiótico (Godino y colaboradores),
la Teoría de la Objetivación (Radford y colaboradores), la Teoría Antropológica de
lo Didáctico (Chevallard y colaboradores), la Socioepistemología (Cantoral y
colaboradores), la Educación Matemática Crítica de (Skovmose y colaboradores),
la Teoría APOE (Dubinsky y colaboradores), etcétera (Font 2013:192).
Font (2013) se pregunta: ¿es posible elaborar una teoría T que incluya las
herramientas necesarias y suficientes para realizar el trabajo de todas las demás
teorías, T1, T2… Tn? Para responder a esta pregunta hay que seguir un largo
camino cuyo punto de partida es la existencia de un conjunto de teorías que se
ignoran unas a otras y cuyo punto de llegada es una teoría que sea la unificación
global de este conjunto de teorías. Para seguir este camino las teorías se tienen
que entender unas a las otras, se tienen que comparar, coordinar, integrar
parcialmente, etcétera.
Algunos ejemplos de pasos dados en esta dirección son:
1) El Seminario Inter-Universitario de Investigación en Didáctica de la Matemática
(SIIDM) en España entre 1995-2005 cuyo objetivo era coordinar teorías cuyo
origen tenía relación con la llamada Didáctica Fundamental de las Matemáticas.
2) Grupos de Discusión en los congresos del área: PME34 (Research Forum),
CERME 6, 7 y 8 (Working Group), ICME12 (Working Group), Congreso
Iberoamericano de Educación Matemática (CIBEM), etcétera.
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En cuanto a Latinoamérica Font (2013) menciona que este diálogo no se ha
producido en los congresos de ámbito latinoamericano exceptuando el Congreso
Iberoamericano de Educación Matemática (CIBEM).
Sánchez (2011) comparte la idea de Font al decir que a pesar de que la
comunidad internacional tiene más de media década fomentando estas
discusiones, México y en general Latinoamérica ha participado escasamente en
ellas y además tampoco ha promovido las propias. Los escasos esfuerzos en esta
dirección se han enfocado en discutir y promover aproximaciones teóricas
particulares.
En México, el arranque de la investigación en Educación Matemática se sitúa a
finales de los setenta con la creación de la Sección de Matemática Educativa en el
Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav) y no es sino a partir de
la década de los ochenta que se pueden apreciar avances significativos en el
campo (Waldegg, 1998).
Waldegg (1998) localiza que las discusiones sobre la naturaleza de la Educación
Matemática se iniciaron en México cuando la disciplina alcanzó una cierta masa
crítica de investigadores, de métodos y de temáticas. Menciona a Carlos Imaz,
como uno de los pioneros de la Educación Matemática en nuestro país, que abre
oficialmente la discusión proponiendo una "primera concepción global y
esquemática del área de Matemática Educativa... [Que pueda] servir de
catalizador hacia otras más amplias" (Imaz, 1987, citado en Waldegg 1998)
Ya antes Filloy (1981, en Waldegg 1998) había ubicado a la Educación
Matemática en un punto intermedio entre las ciencias y las humanidades y,
refiriéndose al caso específico de México, señalaba dos influencias principales: la
estadounidense, como el resto del desarrollo científico y tecnológico del país, y la
europea, manifiesta en la delimitación de la problemática y la metodología de la
investigación en ciencias sociales y humanísticas de nuestro país.
Bonilla (1989, en Waldegg 1998) discute las posiciones y los cuestionamientos
sobre la posibilidad de considerar a la Educación Matemática una ciencia. En el
centro de la controversia –opina Bonilla– se halla la discusión sobre la "objetividad
científica", polarizada en dos posiciones: la que afirma que el conocimiento sólo
puede ser alcanzado a través del "método científico", que supone una distancia
entre el investigador y su objeto de estudio, y la corriente antropológica, que
considera que el problema estudiado sólo tiene sentido si se le analiza en términos
estructurales, y que su elección está determinada por los intereses cognoscitivos
del investigador. Los correspondientes tipos de investigación a que dan lugar
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estos enfoques son las llamadas investigaciones cuantitativas y cualitativas,
respectivamente.
En Waldegg (1989) se propone una definición de la disciplina a partir de su objeto
de estudio, señalando como principal objetivo de la Educación Matemática el
desarrollo de un cuerpo teórico de conocimientos que expliquen y, por lo tanto,
permitan modificar los procesos educativos de la matemática. Se resalta el hecho
de que, a pesar de que la Educación Matemática tiene una gran intersección con
las ciencias de la educación, la enseñanza y el aprendizaje de la matemática,
hereda la especificidad de esta última.
Mancera (1990, en Waldegg 1998) llama la atención sobre la multiplicidad de
definiciones y concepciones de la Educación Matemática y concluye que, por el
momento, es más importante reconocer la complejidad inherente a sus problemas
y la necesidad de un trabajo interdisciplinario que intentar dar una definición más
de la disciplina.
Flores (1991, en Waldegg 1998) presenta otro intento de caracterizar la disciplina
alrededor de una serie de problemas que pueden hacerse corresponder con
algunas de las áreas de interés de este campo: desarrollo cognitivo, aprendizaje
de habilidades, aprendizaje de conceptos, resolución de problemas, diferencias
individuales, actitudes, currículo, enseñanza y formación de profesores. Flores
señala como una tarea necesaria la elaboración de marcos conceptuales que
reflejen sobre las áreas mencionadas las características propias de la matemática.
A diferencia de otras ciencias, la Educación Matemática no cuenta con teorías
globales, sin embargo, existe una red internacional de investigadores y
publicaciones especializadas que por el momento – opina Flores– son las que, en
la práctica, la definen.
Concluye Waldegg (1998) diciendo que si bien la discusión sobre su naturaleza no
ha sido particularmente abundante en nuestro país, no se puede soslayar su
permanencia entre la comunidad, como una preocupación patente, que define y
determina el rumbo que debe seguir esta actividad en su desarrollo futuro.
Por otro lado, Hernández (2014) acerca del reconocimiento del campo en México y
las diferentes posturas con respecto a la construcción de su concepción y su
desarrollo, encuentra que en los primeros años del surgimiento de la Matemática
Educativa, ésta estuvo rodeada de otras disciplinas en las que se apoyó o utilizó
para ir conformando su identidad y su desarrollo, mismo que después le exigió que
el papel central que éstas tuvieron en su origen fuera cambiando, pasando a un
segundo término. Estos niveles de codependencia de la Matemática Educativa con
15
otras disciplinas fue uno de los elementos que le permitieron marcar hasta el
momento tres etapas en el desarrollo de la disciplina.
Al respecto plantea una primera etapa a la que llama “Fundacional”, la cual
comprende aproximadamente la década de los setentas y ochentas, se caracteriza
por hacer uso de los resultados, teorías, metodologías y técnicas de otras
disciplinas. La gran mayoría de los estudios eran de corte cognitivo, donde el
objeto de análisis era el estudiante y cómo éste construía su conocimiento. Las
investigaciones en esta etapa utilizan miradas poco articuladas de los diferentes
elementos o componentes que hasta entonces se constituían como importantes en
los estudios del campo. En general éstos tenían una gran influencia de la escuela
estadounidense o europea.
Es esta necesidad de concentrar a las diferentes componentes que intervienen en
los procesos de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas lo que produce la
siguiente etapa en el desarrollo de la disciplina.
En la segunda etapa, se intenta dar una mirada ampliada y articulada de los
factores o elementos que en la anterior se dejaron fuera; esto exige la
construcción de aproximaciones o miradas teóricas con términos y conceptos
inherentes al campo y nativos de la disciplina, desarrollando una teoría nueva que
no sólo introduce nuevos objetos de estudio sino que éstos se convierten en
propios de la disciplina. A esta etapa Hernández (2014) la llama “De Pertenencia”.
Es decir ya no basta ser parte de un área de conocimiento que comparte con
“otras” elementos e intereses. Sino que existen características que la hacen única
y cuyos objetos de estudio se convierten en propios y les requieren construcciones
teóricas específicas. Esta etapa comprende finales de los ochenta y hasta los
primeros años del siglo XXI.
La última etapa identificada en el desarrollo de la Matemática Educativa abarca
aproximadamente los últimos 10 años. El nombre propuesto por Hernández (2014)
es el “De Identificación”; la razón es que se percibe que la disciplina después de
conseguir un estatus “social”, de manera natural busca construir “distintivos
internos”, mostrando un interés por marcar “personalidades” dentro del campo.
Éstas se buscan a través de escuelas de pensamiento, de miradas teóricas
(construidas o adoptadas), de espacios geográficos, contextuales o de
instituciones, por mencionar algunas. Además hay un crecimiento de miradas
teóricas y una lucha por lograr una solidez metodológica.
A partir de la lectura de los documentos arriba comentados he llegado a la
conclusión de que en las diferentes partes del mundo sigue habiendo una
discusión en cuanto a la cientificidad de la Matemática Educativa.
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Capítulo 3 - Marco Teórico
Debido a la naturaleza de la Matemática Educativa, un campo donde se
encuentran una ciencia formal como las matemáticas y una ciencia social, como la
educación, se ha tomado como referente teórico para esta indagación a la obra de
dos historiadores de la ciencia, Michel Foucault y Thomas Kuhn dedicados cada
uno a estos dos componentes.
3.1 Michel Foucault
Para Michel Foucault (1969-1979) el saber es una práctica discursiva compuesta
por objetos de conocimiento, enunciaciones, elecciones teóricas, etcétera, estos
elementos tienen un carácter histórico y, por tanto, dependiente de la episteme de
la época. La episteme es la forma en que se concibe la realidad en una época
determinada.
A la construcción/constitución de una ciencia también se le puede llamar
formación discursiva; cada ciencia tiene una serie de teorías que la sostienen,
estas teorías son llamadas figuras epistemológicas, pero para que se constituya
una ciencia debe pasar por lo que Foucault llama Umbrales arqueológicos: que es
la transición de un saber, desde que se constituye como práctica discursiva hasta
que se formaliza. El saber entonces deberá pasar por los umbrales de:
Positividad, emerge cuando una práctica discursiva se individualiza y adquiere su
autonomía, elaborando su sistema de formación de enunciados.
Epistemologización, se constituye cuando un conjunto de enunciados son
seleccionados para integrar un modelo de saber y pretende hacerlo valer (incluso
sin lograrlo) para lo que se plantean normas de verificación y coherencia y se
ejerce, con respecto del saber, una función dominante a partir de un modelo.
Cientificidad, es la etapa en la que se obedece a un cierto número de criterios
formales, cuando sus enunciados no responden solamente a reglas arqueológicas
de formación, sino además a ciertas leyes de construcción de las proposiciones.
Formalización: cuando ese discurso científico, a su vez pueda definir los axiomas
que le son necesarios, los elementos que utiliza, las estructuras proposicionales
que son para él legítimas y las transformaciones que acepta, cuando pueda así
desplegar, a partir de sí mismo, el edificio formal que constituye, se dirá que ha
franqueado el umbral de la formalización.
Es importante además retomar los conceptos de autor y obra que maneja
Foucault, en El orden del discurso (1970-2002), What Is an Author? (1969) y ¿Qué
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es un autor? (1969-1983) que serán de gran utilidad para el objetivo que persigue
este trabajo.
3.1.1 Autor
En el orden del discurso científico, la atribución a un autor era, durante la Edad
Media, un indicador de su veracidad. Se consideraba que una proposición venía
justificada por su autor incluso para su valoración científica. Desde el siglo XVII
todos aquellos relatos, poemas, dramas o comedias que se dejaban circular
durante la Edad Media en un anonimato al menos relativo, ahora, se les pide (y se
exige de ellos que digan) de dónde proceden, quién los ha escrito; se pide que el
autor rinda cuenta de la unidad del texto que se pone a su nombre; se le pide que
revele, o al menos que manifieste ante él, el sentido oculto que lo recorre; se le
pide que lo articule, con sus experiencias vividas, con su vida personal, cultural,
social, política y científica, es decir, con la historia real que lo vio nacer. El autor es
quien da al inquietante lenguaje de la ficción sus unidades, sus nudos de
coherencia, su inserción en lo real (Foucault, 2002:8).
El individuo que se pone a escribir un texto, en cuyo horizonte merodea una
posible obra, asume la función del autor: lo que escribe y lo que no escribe, lo que
perfila, incluso en calidad de borrador provisional, como bosquejo de la obra, y lo
que deja caer como declaraciones cotidianas, todo ese juego de diferencias está
prescrito para la función de autor, tal como él la recibe de su época, o tal como a
su vez la modifica (Foucault, 2002:8).
El nombre del autor sirve para caracterizar un cierto modo de ser del discurso, un
discurso que habrá de recibirse en cierto modo y que, en una cultura determinada,
debe recibir un cierto estatus (Foucault, 1969:5).
El autor sirve para neutralizar las contradicciones que pueden surgir en una serie
de textos: debe haber -en un cierto nivel de su pensamiento o deseo, de su
conciencia o inconsciente- un punto en el que se resuelvan las contradicciones,
donde los elementos incompatibles son al fin atados juntos u organizados en torno
a una contradicción fundamental o de origen. Por último, el autor es una fuente
particular de expresión que, en formas más o menos completas, se manifiesta
igualmente bien, y con validez similar, en obras, bocetos, cartas, fragmentos, y así
sucesivamente (Foucault, 1969:9).
En el siglo XIX, apareció en Europa otra especie de autor que Foucault llama:
fundadores de discursividad, los únicos que no son sólo los autores de sus propias
obras sino que han producido algo más: las posibilidades y las reglas para la
formación de otros textos. Estos fundadores de discursividad hicieron posible no
18
sólo un cierto número de analogías, sino también (y de igual importancia) un cierto
número de diferencias (Foucault, 1969:11).
3.1.2 Obra
La palabra obra y la unidad que designa son probablemente tan problemáticas
como el estado de la individualidad del autor.
En la escritura no se trata de la manifestación o de la exaltación del gesto de
escribir; no se trata de la sujeción de un sujeto a un lenguaje; se trata de la
apertura de un espacio en donde el sujeto escritor no deja de desaparecer
(Foucault, 1983:5).
El parentesco de la escritura con la muerte trastoca un tema milenario; la
narración o la epopeya de los griegos estaba destinada a perpetuar la inmortalidad
del héroe, y si el héroe aceptaba morir joven era para que su vida, de este modo
consagrada y magnificada por la muerte, pasara a la inmortalidad; la narración
rescataba esta muerte aceptada (Foucault, 1983:5). Si traemos esta afirmación
hacia el presente, encontraremos que cuando leemos la obra de algún autor, lo
revivimos, traemos a ese autor -que pudiera ya estar muerto-, a vivir entre
nosotros.
Pero hay algo más: esta relación de la escritura con la muerte se manifiesta
también en la desaparición de los caracteres individuales del sujeto escritor;
mediante todos los ardides que establece entre él y lo que escribe, el sujeto
escritor desvía todos los signos de su individualidad particular; la marca del
escritor ya no es más que la singularidad de su ausencia; tiene que representar el
papel del muerto en el juego de la escritura (Foucault, 1983:6). Es decir, el autor
muere cuando es su obra quien nos interesa y no él.
El autor es el genial creador de una obra en la que deposita, con infinita riqueza y
generosidad, un inagotable mundo de significaciones. Diremos entonces que una
obra es el desarrollo que aparece en diversos documentos más allá de la muerte
del autor.
Los principios teóricos que se retomarán para este trabajo son: los conceptos de
Umbrales arqueológicos, que utilizaremos para indagar en el estatus científico de
la Matemática Educativa; la noción de Fundadores de discursividad, que nos
llevará a revisar quiénes son los fundadores del discurso en la Matemática
Educativa; y, los conceptos de autor y obra que se utilizarán para analizar los
textos que produjeron y si se constituyen en una obra.
19
Hasta el momento consideramos que la Matemática Educativa ha franqueado el
umbral de la positividad, ya que ha ido adquiriendo autonomía desprendiéndose
de las ciencias que le fueron de utilidad en un principio. Sospechamos que por el
momento transita por el umbral de la epistemologización, ya que existen esfuerzos
por articular teorías vigentes, por ejemplo, el enfoque EOS que busca integrar
teorías cómo: la teoría de situaciones didácticas, la teoría antropológica de la
didáctica, la teoría de los campos conceptuales o la teoría de los registros de
representación semiótica, entre otras. Ésta circunstancia estaría integrando un
modelo de saber que pretende hacerse valer a partir de normas de verificación y
coherencia. Con respecto a los fundadores de discursividad retomaremos a los
autores reconocidos dentro de la comunidad de Matemática Educativa así como
también su obra en libros y artículos científicos.
3.2 Thomas Kuhn
Para Thomas Kuhn (1962-2004) las transformaciones de una ciencia se dan a
partir de una revolución científica, ésta se inicia con el sentimiento –crisis- de que
el paradigma existente ya no funciona y habrá que remplazarlo por uno nuevo,
este paradigma implica el conjunto de prácticas, la teoría, los métodos y las
normas que definen una disciplina científica en un periodo específico y que son
compartidas por los miembros de una comunidad científica, implicando una cierta
coincidencia en sus juicios profesionales (Godino, 1991:08).
Los periodos de crisis surgen a partir de la falta de respuestas a problemas del
campo, esta anomalía es el reconocimiento de que en cierto modo la realidad ha
rebasado las expectativas del paradigma.
Así, una teoría nueva tiene su origen en el descubrimiento de que ninguna de las
teorías existentes antes del paradigma explicaba el fenómeno encontrado, el
surgimiento de esta nueva teoría exige la destrucción de paradigmas previos y
cambios en los problemas y las técnicas de la ciencia normal. Esto podría
explicarnos por qué van surgiendo teorías en Matemática Educativa.
La formación de una ciencia se estructura finalmente cuando una comunidad
científica se adhiere a un solo paradigma, pero va precedida por una fase de
actividad relativamente desorganizada, de pre-ciencia inmadura en la que falta un
acuerdo en aspectos fundamentales. Según Kuhn, la pre-ciencia se caracteriza
por el total desacuerdo y el constante debate de lo fundamental; habrá casi tantas
teorías como investigadores haya en el campo y cada teórico se verá obligado a
comenzar de nuevo y a justificar su propio enfoque (Godino, 1991:8).
20
Otro rasgo de la concepción epistemológica de Kuhn es el carácter de
inconmensurables que atribuye a los paradigmas. Los científicos que comparten
un cierto paradigma no pueden discutir las ideas de otro distinto de un modo
imparcial y racional. Aunque una cierta teoría precursora pueda ser considerada
como un caso especial de otra posterior, debe ser transformada de algún modo
para poder ser comparada (Godino, 1991:8).
Romberg (1988, en Godino, 2010:23), de acuerdo con los requisitos exigidos por
Kuhn para que un campo de investigación se encuentre en el camino hacia la
ciencia normal, afirma que es necesario que se den las siguientes circunstancias:
Debe existir un grupo de investigadores con intereses comunes acerca de
las interrelaciones existentes entre distintos aspectos de un fenómeno
complejo del mundo real. Por tanto, debe haber una cuestión central (o
dominio) que guíe el trabajo de dicha comunidad particular de especialistas.
Las explicaciones dadas por la teoría deben ser enunciados sobre la
causalidad, de modo que sea posible realizar predicciones acerca del
fenómeno. (No obstante, nosotros no debemos olvidar que los fenómenos
del campo de la Matemática Educativa implican procesos y sujetos sociales
y, por tanto, las predicciones no son factibles).
Los enunciados se hacen según un vocabulario y una sintaxis sobre la que
el grupo está de acuerdo. Existen, además, unos procedimientos aceptados
por el grupo de investigadores para probar los enunciados, esto es, para
aceptar o rechazar las proposiciones.
3.2.1 Teoría
Godino (2014:8) concibe las teorías como instrumentos que permiten definir los
problemas de investigación y la estrategia metodológica para caracterizar los
fenómenos didácticos, permitiendo analizar las diversas facetas implicadas en los
procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
3.3 Sobre el objeto de la Matemática Educativa
Anna Sierpinska & Jeremy Kilpatrick (1998) en el Handbook: Mathematics
Education As a Research Domain: A Search for Identity: An ICMI Study mencionan
las encuestas que levanta Mura (1998), donde encuentra que el objeto de estudio
de la Matemática Educativa es la enseñanza de las matemáticas, donde el estudio
puede significar tanto la observación y el análisis de los fenómenos de enseñanza
21
como la búsqueda de medios y enfoques para ayudar a los estudiantes a construir
conceptos matemáticos por sí mismos.
Mientras que para algunos educadores matemáticos, la educación matemática es
una actividad teórica; para otros, es una actividad práctica, un arte, una disciplina
aplicada con el objetivo de mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas. Mura (1998) llega a la conclusión de que el objeto de estudio de la
educación matemática debe ser definido en términos muy amplios como, por
ejemplo, "todos los aspectos del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas”.
Ellerton y Clements (1998) toman una posición aún más fuerte, alegando que la
definición de ese ámbito puede ser peligrosamente limitante.
El objeto de la investigación en educación matemática en términos generales,
describe cuestiones muy variadas. Por ejemplo, Margolinas (1998) ve el objeto de
estudio de la educación matemática como "la producción y difusión del
conocimiento matemático”. Ellerton y Clements (1998), en lugar de caracterizar el
objeto de la investigación en educación matemática prefieren enumerar un
conjunto de problemas actualmente importantes para la educación matemática.
Wittmann (1998) rechaza incluso el concepto de un objeto de estudio. Dice que
como una ciencia del diseño, la educación matemática no tiene un objeto de
estudio; que tiene un campo de prácticas que se quiere mejorar. Este campo
abarca aquellas prácticas relacionadas con la enseñanza de las matemáticas,
incluyendo la enseñanza en diferentes niveles de grado y la enseñanza de los
profesores (Sierpinska & Kilpatrick, 1998:4).
Font (2013) menciona que a la didáctica de las matemáticas se le pide que dé
respuesta a dos demandas diferentes:
a) Comprender y/o explicar los procesos de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas, esto es, describir, interpretar y/o explicar los procesos de
enseñanza- aprendizaje de las matemáticas es decir, que responda a la pregunta:
“¿qué ha ocurrido aquí, cómo y por qué?” y
b) Guiar la mejora de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas,
digamos, su valoración y mejora, apoyándose de herramientas para una didáctica
valorativa respondiendo la pregunta “¿qué se podría mejorar?”.
Pareciera notarse que entre los investigadores en Matemática Educativa no hay
un acuerdo en torno a cuál es su objeto de estudio.
Foucault (1969:67) menciona que es precisamente en los campos de
diferenciación, en las distancias, las discontinuidades y los umbrales que se
manifiestan, donde el discurso encuentra la posibilidad de delimitar su dominio, de
22
definir aquello de que se habla, de darle el estatuto de objeto, y por lo tanto, de
hacerlo aparecer, de volverlo nominable y descriptible.
Para llevar a cabo esta formación de objetos será preciso localizar las superficies
de emergencia: mostrar dónde puede surgir, para poder después ser designadas y
analizadas esas diferencias individuales que, según los grados de racionalización,
los códigos conceptuales y los tipos de teoría, recibirán el estatuto de objetos de
los que se separa, se opone, se entronca, se reagrupa, se clasifica, se hacen
derivar unos de otros (Foucault, 1969:67) [Como en el caso de los matemáticos
educativos que consideran a la enseñanza y el aprendizaje como el objeto (Mura,
1998); y aquellos que consideran que no hay objeto (Wittmann, 1998)].
Las condiciones históricas para que surja un objeto de discurso, para que se
pueda "decir de él algo", y para que varias personas puedan decir de él cosas
diferentes, para que se inscriba en un dominio de parentesco con otros objetos y
se pueda establecer con ellos relaciones de semejanza, de vecindad, de
diferencia, de transformación, son numerosas y de importancia [Como ya lo
mencionan Ellerton y Clements (1998) cuando consideran peligroso limitarse solo
a los aspectos de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas]. Lo cual quiere
decir que no se puede hablar en cualquier época de cualquier cosa. El objeto
existe en las condiciones positivas de un haz complejo de relaciones (Foucault,
1969:73).
Estas relaciones se hallan establecidas entre instituciones, procesos económicos y
sociales, formas de comportamiento, sistemas de normas, técnicas, tipos de
clasificación y modos de caracterización [Sería por esta razón que Ellerton y
Clements (1998), prefieren enumerar los problemas actualmente importantes para
la educación matemática como el objeto de estudio]; y estas relaciones no están
presentes en el objeto; no son ellas las que se despliegan cuando se hace su
análisis; no definen su constitución interna, sino lo que le permite aparecer,
yuxtaponerse a otros objetos, situarse con relación a ellos, definir su diferencia, su
irreductibilidad, y eventualmente su heterogeneidad (Foucault, 1969:74).
No son los objetos los que se mantienen constantes, ni el dominio que forman, no
son siquiera su punto de emergencia o su modo de caracterización; sino el
establecimiento de una relación entre las superficies en que pueden aparecer, en
que pueden delimitarse, en que pueden analizarse y especificarse (Foucault,
1969:77).
Con base en los antecedentes y los planteamientos de este marco teórico esta
investigación busca responder a las preguntas: ¿En qué momento de constitución
23
de su estatus se encuentra la Matemática Educativa? y ¿Quiénes son los
fundadores del discurso en Matemática Educativa?
Tiene como hipótesis de trabajo que la Matemática Educativa se encuentra en el
umbral de la epistemologización y, en consecuencia, los objetivos son: reconocer
a los fundadores del discurso en Matemática Educativa a partir de la identificación
de la (s) teoría (s) vigente (s); indagar en su estatus científico ubicando el umbral
arqueológico (Michel Foucault, 1969) en que se encuentra; y, caracterizar los
elementos de una disciplina científica.
24
Capítulo 4 - Metodología
Esta investigación fue guiada por una metodología de tipo cualitativa, por lo tanto,
es una investigación que se basa en las interpretaciones que tiene el investigador
en su acercamiento al objeto de estudio con base en el marco teórico establecido.
Se basa en una lógica comprensiva (Tello, 2011) acerca del objeto de estudio.
Debido a los objetivos que persigue se eligió como metodología, la investigación
genealógica, en este tipo de investigación se busca reconstruir el pasado desde la
lógica de su emergencia y procedencia sociales (Foucault, 1971-1988).
Se hizo una revisión y análisis de documentos en los cuales se empezó a indagar
acerca del surgimiento de la Matemática Educativa con el propósito de establecer
relaciones, etapas, posturas y principalmente el estado actual de este desarrollo.
Apoyándonos en el marco teórico, donde Foucault establece un método de
análisis de la historia que, a partir de la crítica de los grandes temas de la historia
de las ideas (unidad, continuidad, totalidad, origen) y al tratar los documentos
como restos arqueológicos, focaliza la detección de reglas de formación de los
discursos y de sus discontinuidades, posibilitando, así, la descripción del espacio
de dispersión de los saberes (De la Fuente y Messina 2003, en Sánchez 2011:8).
4.1 Estrategia metodológica
4.1.1 Procedimiento de validación para seleccionar los fundadores de
discursividad en la Matemática Educativa
Para conocer las diferentes teorías que existen actualmente en la Matemática
Educativa y cuáles son los documentos fundadores, nos apoyamos en el concepto
mencionado anteriormente: fundadores de discursividad (Supra, 17), para ello se
toma como primera fuente el documento “Síntesis del Enfoque Ontosemiótico del
Conocimiento y la Instrucción Matemática: motivación, supuestos y herramientas
teóricas” de Juan D. Godino (2014) donde se mencionan a los teóricos más
reconocidos dentro de la Matemática Educativa. A partir de ello se decide utilizar
un buscador en internet para conocer el número de veces que se encuentran sus
nombres y su teoría/trabajo en la red y a partir de ahí validar su reconocimiento.
Debido a los resultados tan variados que no están relacionados con la Matemática
Educativa, se opta por hacer una búsqueda sólo en las revistas de Educación
Matemática indexadas, rescatadas del documento “Origen y aportaciones de la
perspectiva ontosemiótica de investigación en didáctica de la matemática (Godino,
2012).” Ver Anexo No.1 para consultar datos de temporalidad o vigencia de la
25
revista. Se eligió este artículo porque consideramos a Godino un Matemático
Educativo reconocido y con experiencia dentro del campo.
El procedimiento consistió en rastrear la página web de las revistas y utilizar el
buscador de la revista, si bien éste no indica año o número de la revista, nosotros
lo incluimos en el Anexo 1. Para evitar encontrarnos con resultados de otros
autores con el mismo nombre aunque no el mismo apellido (o viceversa)
utilizamos una técnica de búsqueda a palabras exactas poniendo entre comillas el
autor o la teoría que estábamos buscando.
4.1.2 Procedimiento para seleccionar los documentos fundadores de teoría
en Matemática Educativa
Para seleccionar los documentos fundadores de teoría, se optó por escribir
directamente a los investigadores identificados previamente; el primer paso fue
rastrear sus correos electrónicos o páginas web y enseguida se les escribió. Se
solicitó mencionar (o adjuntar, si estaba en sus posibilidades) tanto los
documentos que consideraban fundadores de su teoría como aquellos que
tuviesen la versión más completa de la misma. Se trabajó bajo el supuesto de que
el primer documento implicaba un planteamiento inicial, mismo que fue
desarrollado a lo largo del tiempo y permitió la elaborada construcción de diversos
documentos que culminan en lo que cada autor consideró la versión más acabada
de su teoría. De esta manera los documentos fundadores fueron seleccionados
por los propios investigadores.
Se obtuvieron diferentes tipos de respuesta, hubo quienes enviaron sólo un
documento, otros, muchos documentos, otros más, sólo las referencias y un autor
que sólo nos refirió a su página; también se dieron dos casos de no respuesta
(Paul Cobb e Yves Chevallard) y un caso de un autor ya fallecido (Hans
Freudenthal †). En total se nos sugirieron 100 documentos y enviaron 12.
Enseguida se presentan las respuestas de los autores consultados.
Guy Brousseau ofreció referencias por si se necesitaba un solo texto o por si
podíamos leer francés: tres artículos y una presentación de diapositivas y en
inglés, otros tres artículos; también sugirió consultar su sitio web en francés:
http://guy-brousseau.com/, el sitio: http://faculty.washington.edu/warfield/guy-
brousseau.com/index.html, donde están disponibles sus escritos que ya
fueron traducidos o reinterpretados en inglés y, por, último:
http://www.imac.uji.es/CRDM/index.php, donde se pueden encontrar sus
textos en español.
26
Gérard Vergnaud envió dos listas con referencia hacia documentos en inglés,
una corta y otra más larga, además sugirió un documento de síntesis que
pudo enviarnos en francés y envió la traducción al español de su contribución
a la escuela de verano en Santander de hace 16 años.
Hans Freudenthal murió en 1990.
Yves Chevallard, no se obtuvo respuesta.
Ubiratan D'Ambrosio, envió 10 documentos que él consideró de interés para
nuestro trabajo.
Ole Skovsmose adjuntó una lista de sus publicaciones donde marcó con
amarillo las principales y sugirió visitar la liga:
Http://vbn.aau.dk/da/publications/searchall.html?searchall=Skovsmose, donde
se puede encontrar su lista de publicaciones.
Ed Dubinsky dio la referencia de un libro que contiene la historia de la
inspiración en la creación y desarrollo de su teoría donde además se discute
su desarrollo hasta hace 2-3 años.
Raymond Duval adjuntó una lista con referencias hacia los documentos que
han desarrollado gradualmente sus investigaciones.
Ricardo Cantoral envió el link hacia su página web:
www.matedu.cinvestav.mx/rcantoral/presentacion.php donde se enlistan sus
publicaciones representativas.
Luis Radford da la referencia de 7 artículos que podemos encontrar en su página web: http://luisradford.ca.
Juan Díaz Godino recomienda una primera lectura y además señala que todo
su trabajo de desarrollo de la teoría lo podemos encontrar en su página web:
http://enfoqueontosemiotico.ugr.es.
Paul Cobb, no se obtuvo respuesta.
En el Anexo 2 se adjunta la lista de referencias que envió cada autor.
27
Finalmente, se elaboró la tabla 1 donde se concentra la selección tanto del documento fundador como del documento considerado el más desarrollado para hacer el análisis.
Investigador Texto fundador Texto desarrollado
Guy Brousseau
(1970) Processus de mathematisation.
(2010) Références épistémologiques pour la
didactique des mathématiques.
Hans Freudenthal
(1983) Didactical phenomenology of
mathematical structures.
(1991) Revisiting mathematics education (China lectures).
Ubiratan D'Ambrosio
(1985) Ethnomathematics and its place in the history and pedagogy of mathematics.
(2016) Ethnomathematics and the Emergence of Mathematics.
Yves Chevallard
(1986) La Transposition didactique: du savoir savant
au savoir. (1988) Esquisse d’une théorie
formelle du didactique.
(2011) Improvisaciones cruzadas sobre lo didáctico, lo
antropológico y el oficio de investigador en TAD.
(2012) Teaching mathematics in tomorrow’s society: A case for an
oncoming counterparadigm.
Ed Dubinsky
(1986) Reflective Abstraction and Mathematics Education:
The Genetic Decomposition of Induction and Compactness.
(2014) A Framework for Research and Curriculum Development in
Mathematics Education.
Gérard Vergnaud
(1988) Theoretical frameworks and empirical facts in the
psychology of mathematics education.
(2013) ¿Por qué la teoría de los campos conceptuales?
Ricardo Cantoral
(1990) Categorías Relativas a la apropiación de una base de significaciones para conceptos y procesos matemáticos de la
Teoría elemental de las Funciones Analíticas.
Simbiosis y Predación entre las nociones de “el
Prædiciere” y “lo Analítico”.
(2014) Socioepistemología, Matemáticas y Realidad.
Juan Díaz Godino
(1991) Hacia una teoría de la didáctica de la matemática.
(2012) Origen y aportaciones de la perspectiva ontosemiótica de investigación en didáctica de la
matemática.
28
4.2 Instrumento para la recolección de datos
Conceptos importantes que se toman como indicadores para la construcción del
instrumento.
Objeto de estudio
Modelo de saber
Normas de verificación del modelo
Conceptos clave
Reglas de formación de conceptos
Planteamiento o resolución de contradicciones
Raymond Duval
(1995) Sémiosis et pensée humaine. Regitres
sémiotiques et apprentissages intellectuels.
(2012) Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la
pensée.
Paul Cobb (1996) Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics.
(2010) A Journey in Mathematics Education Research: Insights from
the Research of Paul Cobb.
Ole Skovsmose
(1999) Hacia una filosofía de la educación matemática
crítica.
(2012) Escenarios de investigación.
Luis Radford
(2006) Elementos de una teoría cultural de la
objetivación.
(2015) Methodological Aspects of the Theory of Objectification.
Tabla 1. Selección de textos para análisis
29
A partir de estos conceptos se creó un instrumento para vaciar los datos que se encontraron en los documentos
seleccionados. En la Tabla 2 se expresan las conceptuaciones de cada uno.
Documento:
Objeto de estudio
Modelo de saber
Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave
Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de
contradicciones
Delimitación del dominio; aquello
de lo que se habla.
Conjunto de enunciados que
plantean una pauta para las formaciones discursivas (objetos de
conocimiento, enunciaciones,
elecciones teóricas, etc.).
Las reglas que cumple el
modelo de saber.
Conjunto de
reglas y esquemas para poner en serie
enunciados obligatorios de
dependencia, de orden y de
sucesiones en que se
distribuyen los elementos
recurrentes.
Conceptos que
se han convertido en normas para crear otros conceptos:
condiciones de surgimiento, relaciones,
prácticas y reglas discursivas que
posibilitan el surgimiento.
Se refiere a sí es una obra que trabaja con
perspectivas diferentes a lo ya
hecho pero reconoce y
retoma o refuta las anteriores.
Tabla 2. Instrumento para la recolección de datos.
30
Capítulo 5 - Resultados
A lo largo del siguiente capítulo se presentan: el análisis de los resultados
obtenidos en la búsqueda-selección de los 12 autores fundadores de la
discursividad en revistas indexadas; el análisis de la selección de las teorías de
Matemática Educativa y el análisis de acuerdo con los principios teóricos
derivados (objeto de estudio, modelo de saber, normas de verificación del modelo,
conceptos clave, reglas de formación de conceptos y, por último, el planteamiento
o resolución de contradicciones) de 5 de los 12 autores mencionados
anteriormente como un avance de esta investigación que aquí presenta su primer
corte.
En el siguiente mapa conceptual (Figura 1) se aprecian las 12 teorías que se
detectaron, los autores que las formulan y la fecha del primer documento que en
este trabajo se analiza. Las teorías analizadas se presentan en color amarillo
(Teoría de las situaciones didácticas, Teoría de los campos conceptuales, Enfoque
ontosemiótico, Teoría de la matemática crítica y Teoría de la objetivación).
31
Figura 1. Mapa conceptual de teorías en Matemática Educativa.
32
5.1 Análisis de los 12 autores fundadores de la discursividad buscados
en revistas indexadas
La tabla 3 muestra las menciones que tiene un autor en una revista. De lado
izquierdo, en la primera columna está la lista de las revistas indexadas (ver Anexo
1), las doce columnas siguientes muestran las menciones por autor. Encabezan
las columnas del lado derecho los autores de teorías y hacia abajo se encuentran
los resultados. La última fila muestra el total de menciones de cada autor.
En la tabla 3, hay un total de 1059 menciones a autores de artículos, el autor más
mencionado es Freudenthal con 177 menciones, seguido por D’Ambrosio con 148,
Godino con 138, Radford con 114, Brousseau con 103, Duval con 70, Chevallard
con 68, Skovsmose con 60, Dubinsky con 58, Cobb con 54, Cantoral con 52, y por
último a Vergnaud con 17 menciones.
33
Tabla 3. Menciones de los autores en revistas reconocidas.
Ole
Skovsmose Paul Cobb
Guy
Brousseau
Gérard
Vergnaud Ed Dubinsky
Hans
Freudenthal
Raymond
Duval Luis Radford
Ricardo
Cantoral
Yves
Chevallard
Ubiratan
D'Ambrosio
Juan D.
Godino
Educational studies in mathematics 18 35 21 5 12 82 12 40 3 10 11 9Revista latinoamericana de Matemática
Educativa. 0 0 0 0 2 0 2 5 29 1 0 5
Revista de Educación (Madrid). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
Enseñanza de las ciencias. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4
Infancia y Aprendizaje 0 0 10 5 18 51 4 31 0 7 54 0
Boletim de educação matemática 5 0 1 1 0 0 1 0 0 0 3 1
International statistical Review 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ZDM The international Journal on
Mathematics Education 22 11 12 1 3 26 3 13 0 1 30 1
Journal of statistics Education 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 6
For the learning of mathematics 10 4 0 2 1 2 0 5 0 0 12 2
Recherches en didactique des
mathématiques 0 0 32 0 0 0 8 3 5 25 0 11
Statistics education research journal 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14
International electronic journal of
mathematics education 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
Union revista iberoamericana de
educacion matematica 3 0 19 2 16 13 25 6 9 18 34 58
Educação matemática pesquisa 2 0 4 0 1 1 7 0 0 3 0 3
Educacion Matemática 0 0 2 0 2 2 2 10 2 0 0 4
Números 0 0 2 0 0 0 0 0 2 3 4 10Práxis educativa 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 1
Paradigma 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
Acta scientiae 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 2
Publicaciones 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Total de menciones 60 54 103 17 58 177 70 114 52 68 148 138
34
En la Figura 2 se aprecia que Freudenthal es el autor más mencionado y con
menos menciones, esta Vergnaud.
Foucault menciona a la obra como la apertura de un espacio en donde el sujeto
escritor no deja de desaparecer (Foucault, 1983:5), cosa de la que nos damos
cuenta al encontrar al autor de teoría en las revistas indexadas de la comunidad
de Matemática Educativa.
Ole Skovsmose6% Paul Cobb
5%
Guy Brousseau10%
Gérard Vergnaud1%
Ed
Dubinsky
5%
Hans Freudenthal17%
Raymond Duval7%
Luis Radford11%
Ricardo Cantoral5%
Yves Chevallard6%
Ubiratan D'Ambrosio
14%
Juan D. Godino13%
Porcentaje por menciones de los autores en revistas
N= 1059
Figura 2. Gráfica que representa el porcentaje de menciones de los autores.
35
5.2 Análisis de las teorías de Matemática Educativa
Por otro lado, también se hizo una búsqueda de las teorías de cada uno de los
autores, con la cual se obtuvo la tabla 4.
La búsqueda de teorías fue realizada en las mismas revistas de Matemática
Educativa que se revisaron para la tabla 3, de igual manera se enlistan en la
primera columna; y, encabezando las columnas siguientes, se encuentran los
nombres de las teorías, en inglés, así como el nombre de sus precursores y los
resultados de menciones en cada revista.
Se obtuvieron un total de 687 resultados entre todas las teorías. La teoría más
mencionada es la etnomatemática con 182, seguida por la didáctica
fenomenológica con 88, la matemática crítica con 76, la teoría de normas
sociomatemáticas con 74, la teoría antropológica de lo didáctico con 69, la teoría
APOE con 55, la teoría de las situaciones didácticas con 52, la socioepistemología
con 36, la teoría ontesemiótica con 35, la teoría de los campos conceptuales con
30, la teoría de la objetivación cultural con 13, y finalmente la teoría de las
representaciones semióticas con 10 resultados.
36
Critical
Mathematics
Education
Sociomathema
tical Norms
Theory of
Didactical
Situations
Theory of
Conceptual
Fields APOS theory
Didactical
Phenomenol
ogy
Theory of
semiotic
representati
on registers
Theory of
Objectificatio
n
Socio-
epistemology
Anthropologi
cal theory of
didactics
Ethnomathe
matics
The onto-
semiotic
Skovsmose Cobb Brousseau Vergnaud Dubinsky Freudenthal Duval Radford Cantoral Chevallard D'Ambrosio Godino
Educational studies in mathematics 35 52 30 8 26 66 2 10 1 16 66 9
Revista latinoamericana de Matemática
Educativa. 0 1 0 2 5 0 0 1 34 4 8 3
Revista de Educación (Madrid). 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
Enseñanza de las ciencias. 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1
Infancia y Aprendizaje 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
Boletim de educação matemática 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
International statistical Review 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ZDM The international Journal on
Mathematics Education 21 18 11 7 7 12 0 2 1 19 61 1
Journal of statistics Education 1 2 1 0 1 3 0 0 0 0 3 0
For the learning of mathematics 9 0 0 0 0 2 0 0 0 1 21 2Recherches en didactique des
mathématiques 0 0 0 5 0 0 0 0 0 21 0 2
Statistics education research journal 0 0 1 3 0 1 0 0 0 0 0 1International electronic journal of
mathematics education 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1Union revista iberoamericana de
educacion matematica 3 0 4 0 1 2 5 0 0 0 5 6
Educação matemática pesquisa 2 0 3 3 1 0 2 0 0 3 3 5
Educacion Matemática 1 0 1 0 10 2 0 0 0 4 5 1
Números 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Práxis educativa 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Paradigma 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Acta scientiae 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 8 1
Publicaciones 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Total de menciones 76 74 52 30 55 88 10 13 36 69 182 35
Tabla 4. Menciones de las teorías de Matemática Educativa
37
En la Figura 3 se puede notar que la etnomatemática es la teoría más mencionada
dentro de la comunidad y es la teoría de las representaciones semioticas la teoría
con menos menciones.
Desde el marco teórico de Foucault llamamos a estas teorías que sostienen a la
Matemática Educativa, figuras epistemológicas.
Anteriormente mencionamos nuestra suposición acerca de que la Matemática
Educativa se encontraba en el umbral de la Epistemologización. De acuerdo con
los resultados obtenidos podemos notar que aunque la etnomatemática es la
teoría más mencionada, es el conjunto de enunciados de las teorías que tienden
hacia lo social lo que integraría, como menciona Foucault, un modelo de saber
que ejerce una función dominante.
En este caso los enunciados dominantes proceden de cada una de las teorías,
particularmente aquellos que son retomados —una y otra vez— en los textos de
Critical Mathematics
Education11%
Sociomathematical Norms
10%
Theory of Didactical Situations
7%
Theory of Conceptual Fields
4%
APOS theory8%Didactical
Phenomenology12%
Theory of semiotic representation
registers1%
Theory of Objectification
2%
Socio-epistemology
5%
Anthropological theory of didactics
10%
Ethnomathematics25%
The onto-semiotic 5%
Porcentaje por menciones de teorías en Matemática Educativa N=687
Figura 3. Gráfica que representa el porcentaje de menciones de teorías.
38
los integrantes de la comunidad científica. Por supuesto existen enunciados
(desde conceptos hasta modelos) que son más empleados que otros, en este
caso parece ser la tendencia hacia lo social, es decir, una preocupación por
vincular la teoría o el método o la investigación o la enseñanza al contexto, la que
está vinculando al menos a 7 de las 12 teorías que hemos señalado.
Esta tendencia hacia lo social se puede observar en la etnomatemática al
reconocer culturas específicas, la matemática crítica al exigir el reconocimiento de
la matemática como lenguaje de la mayoría y no de un grupo de expertos, la
socioepistemología al proponer las prácticas sociales como base de la enseñanza,
la teoría de la objetivación al plantear la necesidad de apropiación del
conocimiento matemático, la teoría de las normas sociomatemáticas cuando
considera la renegociación de normas en clase para construir conocimiento
intersubjetivo o la matemática realista cuando habla de matematizar la realidad.
Para Thomas Kuhn este conjunto de teorías sería lo que él llama un paradigma.
Podríamos también llamar a la Matemática Educativa como una pre-ciencia debido
a que, como lo menciona Kuhn, se caracterizaría por el total desacuerdo y el
constante debate de lo fundamental; habiendo casi tantas teorías como
investigadores haya en el campo, en consecuencia cada teórico se verá obligado
a comenzar de nuevo y a justificar su propio enfoque (Godino, 1991:8).
39
5.3 Análisis de textos de autores fundadores de acuerdo con los
principios teóricos
La figura 4 presenta el mapa conceptual con los principios teóricos derivados que
se analizaran en las secciones posteriores.
Figura 4. Mapa conceptual de principios teóricos
La elección de los autores, se hizo de acuerdo a la respuesta de los
investigadores, se empezó a trabajar con quienes contestaron primero y además
sus documentos fueron encontrados en nuestras primeras búsquedas: Guy
Brousseau de la teoría de situaciones didácticas, Gerard Vergnaud de la teoría de
los campos conceptuales, Ole Skovsmose de la teoría de la matemática crítica,
Luis Radford de la teoría de la objetivación y Juan Díaz Godino del enfoque
ontosemiótico.
Pri
nci
pio
s te
óri
cos
der
ivad
os
Objeto de
estudio
Modelo de
saber
Normas de
verificación del
modelo
Conceptos clave
Reglas de
formación de conceptos
Resolución de contradicciones
40
Los resultados fueron obtenidos tanto de la lectura de los documentos fundadores
de la teoría como de aquellos documentos que fuesen la versión más completa de
la misma, recordemos que un documento fundador es aquel donde se han creado
las posibilidades y las reglas para la formación de otros textos. La lectura fue
realizada por dos personas (la tesista y la directora de tesis), cada una elaboró su
propia tabla, posteriormente se contrastaron las tablas y se tomaron acuerdos
para armar las tablas que enseguida se presentan.
Al interior de cada apartado se encuentra la definición del principio teórico
derivado que se está analizando seguida por una tabla donde concentramos los
datos obtenidos a partir de la lectura, posteriormente la descripción de la tabla, así
como su análisis de acuerdo con el marco teórico.
5.3.1 Objeto de estudio
Entendemos el objeto de estudio como una delimitación del dominio de saber, es
decir, aquello de lo que se está hablando.
A continuación se presenta la tabla 5 con los datos obtenidos a partir de la lectura
del documento fundador de los autores analizados (Ver Tabla 1), junto al
enunciado se encuentra la referencia al autor, año y página donde se encontró la
información.
La primera fila corresponde al título de la tabla que se nomina con el principio
teórico derivado, en la primera columna se encuentran las teorías, en la segunda
columna lo que se identificó como el objeto de estudio en el documento fundador y
en la tercera columna el objeto de estudio en los documentos considerados como
más desarrollados de cada teoría.
41
Objeto de estudio
Teoría Documento fundador Documento más
desarrollado
Teoría de las situaciones didácticas
El proceso educativo para obtener un
conocimiento de las Matemáticas.
Brousseau (1970: 428).
Eventos didácticos y producción de
dispositivos susceptibles de reproducir estos
eventos. Brousseau (2010: 19).
Teoría de los campos conceptuales.
Cómo los estudiantes aprenden Matemáticas (o
fallan al aprender) y desarrollan sus propias
ideas y cómo los profesores mejoran la
enseñanza. Vergnaud (1988: 29).
Conexiones y saltos en
el desarrollo y el aprendizaje de competencias y concepciones
[Matemáticas] (p. 39).
Aprendizaje de las matemáticas.
Vergnaud (2013: 146).
Teoría de la matemática crítica.
Perspectiva desde la que pueda interpretarse la educación matemática
como parte del lenguaje de nuestra cultura tecnológica y, en
consecuencia, como parte de esta cultura.
Skovsmose (1999: 10).
Construcción crítica de las matemáticas como parte de la educación
matemática. Skovsmose (2012: 110).
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior
42
Teoría de la objetivación
Didáctica anclada en principios en los que el
aprendizaje es visto como actividad social
(praxis cogitans) arraigada en una
tradición cultural que la antecede.
Radford (2006: 123).
Maneras en que los estudiantes se vuelven
progresivamente conscientes de las formas de pensar y actuar histórica y
culturalmente constituidas. Cómo se
posicionan en las prácticas matemáticas
los profesores y los estudiantes como subjetividades en
formación. Radford (2015:553).
Enfoque ontosemiótico
Estado actual de la Didáctica de la
Matemática desde el punto de vista
epistemológico. Godino (1991:02).
Principales teorías existentes para responder a las
preguntas: ¿Qué es un objeto matemático?,
¿Cuál es el significado de un objeto matemático en un contexto o marco
institucional determinado? y ¿Qué
significa el objeto O para un sujeto en un momento y circunstancias dadas?
Godino (2012: 50).
Cuestiones centrales para el diseño
instruccional (p. 53).
Ontología y semiótica de la actividad matemática y
de los procesos de comunicación de sus
“producciones” (p. 54).
Tabla 5. Objeto de estudio
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
43
La coincidencia entre los autores en el objeto de su teoría no es evidente. No
obstante, al recurrir a nuestro apoyo teórico fue factible evidenciar las
coincidencias. Foucault (1969:67) menciona que es precisamente en los campos
de diferenciación, en las distancias, las discontinuidades y los umbrales que se
manifiestan, donde el discurso encuentra la posibilidad de delimitar su dominio, de
definir aquello de lo que se habla, de darle el estatuto de objeto, y por lo tanto, de
hacerlo aparecer, de volverlo nominable y descriptible. Enseguida se presentan las
coincidencias a las que nos referimos en este párrafo.
Brousseau delimita su dominio y define de lo que se va hablar desde el texto
fundador, el objeto de estudio de su teoría es el evento didáctico, la situación que
se espera producir para obtener un aprendizaje. Vergnaud ha estado interesado
desde un principio en el aprendizaje de las matemáticas y en entender las
conexiones que ocurren dentro del proceso. Skovsmose ha buscado construir una
perspectiva crítica de las matemáticas para poder entenderlas como parte de
nuestro lenguaje y cultura. Por otra parte, Radford se ocupa de una didáctica
donde el aprendizaje sea visto como una actividad social, busca estudiar las
maneras en que los estudiantes se vuelven conscientes de las formas de pensar y
actuar que están histórica y culturalmente constituidas. Godino comienza
indagando el estado actual de la didáctica de las matemáticas y busca articular las
teorías existentes para centrarse en el diseño instruccional.
Foucault (1969:67) menciona que para llevar a cabo la formación de objetos será
preciso localizar las superficies de emergencia: mostrar dónde puede surgir, para
poder después ser designadas y analizadas esas diferencias individuales. Hemos
encontrado que los autores están delimitando su dominio hacia el mismo aspecto,
el aprendizaje, pero desde una perspectiva diferente. Y localizamos al aprendizaje
como la superficie de emergencia.
Si bien la cuestión central en la investigación de los autores parte del aprendizaje
de las matemáticas, cada uno pretende comprender distintas dimensiones del
mismo. Así, Brousseau busca desde una situación didáctica producir un
aprendizaje, Vergnaud pretende analizar conexiones internas y Radford reflexiona
acerca de la forma en que tales conexiones se objetivizan; por su parte,
Skovsmose construye una crítica de la enseñanza en relación con el proceso de
aprendizaje y Godino busca articular teorías para dar respuestas a los procesos
de aprendizaje. En concreto, observamos un proceso de cristalización. Es decir,
aquel donde el escritor cuenta el mismo hecho desde diferentes puntos de vista,
cada lectura, como cada luz o brillo, destello que proporciona el cristal, refleja una
perspectiva diferente del incidente (Moral, 2006).
44
5.3.2 Modelo de saber
Llamamos modelo de saber al conjunto de enunciados que plantean una pauta
para las formaciones discursivas (objetos de conocimiento, enunciaciones,
elecciones teóricas, etcétera).
La tabla 6 concentra los resultados obtenidos al buscar el modelo de saber en la
lectura de los documentos seleccionados (Ver Tabla 1). La primera fila
corresponde al principio teórico derivado; en la primera columna se encuentran las
teorías y en la segunda y tercera columna lo que se encontró como el modelo de
saber de cada teoría tanto en el documento fundador como en el documento
considerado como el más completo.
Modelo de saber
Teoría Documento fundador Documento más
desarrollado
Teoría de situaciones didácticas
Reproducción de comportamientos
adquiridos o creación de nuevos comportamientos
a partir de situaciones modelo organizadas
dentro de un esquema educativo.
Brousseau (1970:428-429).
Construir modelos de interacción y estudiar su consistencia, así como
verificar su compatibilidad con los
resultados (de didáctica) y los aportes (de otras ciencias aceptadas). Y
su adecuación a la interpretación y a la
acción didáctica. Brousseau (2010: 20).
Teoría de los campos conceptuales
Símbolos y lenguaje que dan lugar a la formación del concepto, el campo
conceptual y la resolución de problemas.
Vergnaud (1988: 29).
Los conceptos son construcciones apoyadas
en la gran variedad de situaciones que
experimentamos, resultan de una
elaboración intelectual, partiendo de la acción en
la realidad y de relaciones entre objetos y transformaciones, cuya formulación contribuye a
desarrollar competencias.
Vergnaud (2013: 159).
45
Teoría de la matemática crítica
Análisis crítico de nuestra situación social.
Presupone un marco conceptual por medio del cual seamos capaces de aprehender los poderes formativos de nuestra
sociedad. Skovsmose (1999: 56).
Las matemáticas no son simplemente una materia
que debe enseñarse y aprenderse […] se
perciben como un tema que en sí necesita ser
reflexionado, puesto que las matemáticas son una parte central de nuestra
cultura basada en la tecnología puesto que ellas ejercen muchas
funciones. Skovsmose (2012: 110).
Teoría de la objetivación
Sugerir que los objetos matemáticos tienen que ser conceptualizados en
el contexto de su dimensión histórico
cultural; en el curso de la actividad matemática de
los individuos. Radford (2006: 111,123).
Posición teórica respecto
al aprendizaje que conlleva a un
replanteamiento del concepto del individuo
que aprende […] ofrece un concepto diferente: el individuo es individuo en
tanto que es ser-con-
otros. (p. 125).
El conocimiento no es algo que los individuos poseen, adquieren o
construyen a través de acciones personales […] resulta de, y se produce
a través, del trabajo social humano. Para
convertirse en objeto de pensamiento y
conciencia, tiene que ser puesto en movimiento,
adquirir determinaciones culturales.
Radford (2015:550).
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
46
Enfoque ontosemiótico
Epistemología de las matemáticas y
epistemología de la didáctica de la matemática.
Godino (1991: 50).
La perspectiva Ontosemiótica es un
enfoque teórico para la investigación en
matemática educativa que considera cinco grandes categorías o
niveles de análisis de los procesos de instrucción
matemática: sistemas de prácticas,
configuraciones de objetos y procesos
matemáticos, configuración didáctica, dimensión normativa e
idoneidad. Godino (2012: 59).
Tabla 6. Modelo de saber
Como podemos apreciar en cada uno de los autores existe cierta distancia entre el
modelo de saber del documento fundador y el modelo de saber del documento
más desarrollado.
Brousseau mencionaba en su documento fundador a las situaciones modelo como
las responsables de la reproducción o creación de comportamientos esperados y
es en el documento terminado donde habla del modelo como una serie de pasos
que guían su trabajo: Construir modelos de interacción, estudiar su consistencia y
verificar su compatibilidad con otros resultados y, finalmente, su adecuación a la
interpretación y a la acción didáctica.
Desde el primer trabajo de Vergnaud se esboza el modelo que sigue su teoría: la
formación del concepto, el campo conceptual y finalmente la resolución de
problemas; en el segundo documento llega a la consideración de la necesidad de
la investigación acerca del mismo modelo.
Hasta este momento de nuestra reflexión, en Skovsmose no se aprecia la
necesidad de la indagación acerca de la puesta en práctica de la teoría y por tanto
no se observa una concreción del modelo de saber.
Por otro lado, para Radford en su primer texto los objetos matemáticos tienen que
ser conceptualizados tomando en cuenta su contexto histórico y político; en tanto
47
que en el segundo documento el conocimiento no se posee o adquiere sino que se
construye y además es un proceso inacabado, los pasos serían: construirlo a
través de las acciones personales y a través del contacto con los otros, volverse
consciente de ¿algo que estaba ahí? Y, finalmente, familiarizarse progresivamente
con significados culturales y formas de razonamiento y acción históricamente
constituidas.
En Godino el modelo de saber se basa en la formulación de la propia teoría, la
clarificación de las herramientas aportadas por otras teorías para construir, a partir
de ellas, las nociones (necesarias y suficientes) que interactúen con su teoría para
abordar los problemas didáctico-matemáticos.
Tenemos la interrogante de si existe un modelo de saber general o son varios
modelos. Reconocimos la noción de “situación” como común a todas las teorías,
no obstante la finalidad de dicha situación varía de una teoría a otra. Si bien cada
autor define la situación desde diferentes ángulos todos abrevan en la
construcción de la concepción de situación teniendo importantes diferencias tanto
en la dimensión que abordan de la situación (didáctica, matemática, social,
contextual, institucional) como la profundidad con que lo hacen. En consecuencia
la construcción teórica, epistémica y/o metodológica se torna necesaria para la
disciplina de la Matemática Educativa. Por tanto, dicha noción conduce a la
comunidad científica en torno a su conceptualización, es decir, es un saber que se
impone. Y, también, es un saber en proceso, algunos teóricos ya han postulado la
necesidad de su investigación sistemática, otros no. Las teorías han encontrado la
necesidad de investigar y poner a prueba sus investigaciones para verificar sus
resultados y llegar así a ser un modelo que pueda ser reproducido.
Debido a que la Matemática Educativa está integrando un modelo de saber y
pretende hacerlo valer (incluso sin lograrlo) y ejerce, con respecto del saber, una
función dominante a partir de un modelo, hasta este momento, habiendo revisado
sólo 5 autores y faltando por revisar 7, tenemos algunas evidencias que apuntan a
que la Matemática Educativa ha franqueado el umbral de la epistemologización,
pero aún no podemos asegurarlo.
48
5.3.3 Normas de verificación del modelo
Las normas de verificación del modelo son las reglas que cumple el modelo de
saber.
Presentamos a continuación la tabla 7 que muestra las normas de verificación del
modelo que se obtuvieron a partir de la lectura de los documentos seleccionados
(Ver Tabla 1). La primera fila corresponde al principio teórico que se está
analizando y figura como título de la tabla; en la primera columna se encuentran
las teorías, en la segunda y tercera columna lo que se encontró como las normas
de verificación del modelo en cada una de las teorías encabezadas por los autores
que se presentan tanto en el documento fundador como en el documento
considerado como el más completo.
Normas de verificación del modelo
Teoría Documento fundador Documento más
desarrollado
Teoría de situaciones didácticas
Una estructura presentada en una
situación deberá permitir predicciones válidas para
llamarse modelo de la situación.
Brousseau (1970, 429).
La didáctica científica pretende:
A. Interpretar eventos didácticos
B. Producir los dispositivos susceptibles
de reproducir estos eventos
C. Construir los modelos de interacción (con
consistencia, compatibilidad y
adecuación). Brousseau (2010, 19)
Teoría de los campos conceptuales
No se identificaron
Un campo conceptual es lo que permite analizar y
relacionar entre sí las competencias formadas
progresivamente. Vergnaud (2013, 147).
Cada una de las
decisiones susceptibles de ser tomadas por los sujetos en la búsqueda
de operar en una
49
situación pueden volverse un esquema (p.
149). El esquema está formado necesariamente de cuatro componentes: – una meta, sub-metas y
anticipaciones; – reglas de acción, de
búsqueda de información y de control;
– invariantes operatorias: conceptos-en-acción (permiten identificar
objetos, propiedades y relaciones) y teoremas-
en-acción (proposiciones consideradas como
verdaderas en la realidad);
– posibilidades de inferencia en situación
(p. 152).
Teoría de la matemática crítica
La educación crítica debe ser una reacción a
todo tipo de característica crítica de la
sociedad. Skovsmose (1999, 24).
No se identificaron
Teoría de la objetivación
El aprendizaje es re-flexión, aprender supone
un proceso dialéctico entre sujeto y objeto mediatizado por la
cultura, un proceso en el que, a través de su acción (sensorial o
intelectual) el sujeto nota o toma conciencia del
objeto. Radford (2006, 116).
El conocimiento puede convertirse en un objeto
de pensamiento e interpretación sólo al ser puesto en movimiento y convertirse en un objeto de los sentidos y de la conciencia a través de actividades específicas para la resolución de
problemas. Radford (2015, 550).
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
50
Las actividades deben: a) Tener en cuenta lo
que saben los
estudiantes;
b) Ser interesantes
desde el punto de
vista de los
estudiantes;
c) Abrir un espacio de
reflexión crítica e
interacción a través
de discusiones en
grupos;
d) Hacer significativos
los conceptos
matemáticos;
e) Ofrecer a los
estudiantes la
oportunidad de
reflexionar
matemáticamente
de diferentes
maneras (no sólo a
través de las lentes
de las matemáticas
dominantes); y
f) Estar organizados
de tal manera que
exista un hilo
conceptual
orientado hacia
problemas de
creciente
complejidad
matemática.
(p.554).
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
51
Enfoque ontosemiótico No se identificaron
Nociones teóricas que permiten un nivel de
análisis de los procesos de enseñanza y
aprendizaje: (1) Sistema de prácticas (operativas, discursivas y normativas). La actividad
de resolución de problemas se adopta
como elemento central en la construcción del
conocimiento matemático.
(2) Configuración de objetos y procesos
matemáticos, emergentes e
intervinientes en las prácticas matemáticas.
(3) Configuración didáctica, como sistema
articulado de roles docentes y discentes, a
propósito de una configuración de objetos y procesos matemáticos ligados a una situación –
problema. (4) Dimensión normativa,
sistema de reglas, hábitos, normas que
restringen y soportan las prácticas matemáticas y didácticas, generaliza la
noción de contrato didáctico y normas socio-
matemáticas. (5) Idoneidad didáctica, como criterio general de adecuación y pertinencia
de las acciones de los agentes educativos, de
los conocimientos puestos en juego y de los
recursos usados en un proceso de estudio
52
matemático. Godino (2012, 56).
Tabla 7. Normas de verificación del modelo
Como se puede apreciar en la tabla hay autores en los que no se identificaron
normas de verificación del modelo.
En el primer documento de Brousseau solo se encontró una norma para la
verificación del modelo que está centrada en la importancia de presentar
estructuras que permitan predicciones para llegar a tener modelos de situación. En
el segundo documento se aprecia de manera general y más completa las normas
que cumple su modelo de saber, desde interpretar los eventos didácticos hasta
construir los modelos de interacción.
En el primer documento de Vergnaud no se identificaron las normas que sigue su
modelo de saber, pero en el documento más terminado encontramos las reglas
que guían una parte importante de su trabajo, el concepto de esquema, y sus
componentes como las metas, las reglas de acción, los conceptos, la identificación
de los objetos y las posibilidades de interferencia en la situación, todo como
aspectos importantes que el profesor deberá tomar en cuenta para poner en
práctica la teoría de los campos conceptuales.
En el caso de Skovsmose, su primer documento presenta como norma que la
educación crítica debe ser una reacción a todo tipo de característica crítica de la
sociedad. En el segundo documento no identificamos normas de verificación del
modelo.
Por otro lado, en el primer documento de Radford encontramos la norma de
verificación del modelo en la cuestión de que solo se aprende cuando se
reflexiona, cuando se toma conciencia del objeto, y esto se puede lograr a través
de acción, ya sea sensorial o intelectual. En el segundo documento encontramos
la norma de verificación del modelo con reglas más específicas, Radford
proporciona los puntos clave para la planeación de las actividades que pondrán en
movimiento el conocimiento para lograr así el aprendizaje.
53
En el primer documento de Godino no se encontraron normas de verificación del
modelo, es en el segundo documento donde localizamos las normas que le
permiten analizar los procesos de enseñanza aprendizaje, lo divide en 5 nociones
teóricas que son el sistema de prácticas, la configuración de los objetos y
procesos matemáticos, la configuración didáctica, la dimensión normativa y la
idoneidad didáctica.
Estos resultados nos permiten detectar la otra pieza que guía el trabajo de los
investigadores en Matemática Educativa: “poner en práctica” “algo” para mejorar la
enseñanza aprendizaje. Brousseau la retoma con la idea de que la situación
permita predicciones, Vergnaud lo hace desde los componentes de un esquema,
Radford, por otro lado, hablando de la acción y la planeación de las actividades y,
por último, Godino con la noción teórica de sistema de prácticas que incluye a la
actividad para la resolución de problemas.
5.3.4 Conceptos clave.
Decimos que un concepto es el conjunto de reglas y esquemas para poner en
serie enunciados obligatorios de dependencia, de orden y de sucesiones en que
se distribuyen los elementos recurrentes.
A continuación presentamos la tabla 8 que muestra los conceptos clave
encontrados a partir de la lectura de los documentos seleccionados (Ver Tabla 1).
La primera fila corresponde al principio teórico que se está analizando y figura
como título de la tabla; en la primera columna se encuentran las teorías, seguidos
en la segunda y tercera columna por lo que se encontró como concepto clave en
el documento fundador y en el documento considerado como el más completo.
54
Conceptos clave
Teoría Documento fundador Documento más
desarrollado
Teoría de situaciones didácticas
Estructura (p. 428)
Situación (p. 428)
Modelo de situación (p. 429)
Modelo mental de la situación (p. 429)
Esquema educativo (p. 429)
Matematización (p. 438)
Proceso de matematización (p. 438) Brousseau (1970)
Situación (p. 24)
Situación a-didáctica (p. 31)
Evento didáctico (p. 26) Brousseau (2010)
Teoría de los campos conceptuales
Esquema (p. 30, 32,
33)
Invariantes
operacionales (p. 33)
Situaciones (p. 33)
Concepto matemático (p. 44-45) Vergnaud (1998)
Esquema (p. 147, 152)
Campo conceptual (p. 155, 159)
Invariante operatoria (p. 154, 158)
Competencia (p. 150)
Conceptualización (p. 151)
Conceptos-en-acción (p. 153)
Teoremas-en-acción (p. 153)
Situación
Concepto (p. 159) Vergnaud (2013)
Teoría de la matemática crítica
Crítica (p. 16)
Ser crítico (p. 16)
Alfabetización matemática (p. 26, 67)
Competencia crítica (p. 69)
Matematizar (p. 72) Skovsmose (1999)
Alfabetización matemática (p. 110)
Escenario de investigación (p. 111, 114) Skovsmose (2012)
55
Teoría de la objetivación
Naturaleza reflexiva del pensamiento (p. 108).
Re-flexividad del pensamiento (p. 108)
Aprendizaje (p. 113)
Objetivación (p. 116, 124)
Sociabilidad (p. 116)
Medios semióticos de objetivación (p. 125) Radford (2006)
Conocimiento (p. 550, 551)
Aprendizaje: procesos de objetivación (p. 551)
La subjetivación (553)
Actividad (p. 554) Radford (2015)
Enfoque ontosemiótico No se identificaron
Significado de objeto
matemático (p. 53)
Sistema de prácticas
(p. 54)
Dimensiones
epistémicas (p. 55)
Godino (2012)
Tabla 8. Conceptos clave.
A partir de la lectura hemos podido apreciar o bien una ausencia de conceptos
clave o la conceptualización de la misma no es clara o resulta confusa en los
primeros documentos.
En cuanto al primer documento hemos encontrado que el concepto de situación
aparece continuamente tanto en el trabajo de Brousseau como en el trabajo de
Vergnaud, aunque este último habla de la situación más coloquialmente.
Brousseau habla de un modelo mental cuando el niño cambia sus primeras ideas
de la situación, cuando crea experiencias y comportamientos, una lengua o una
teoría, si tiene respuestas similares a situaciones similares entonces ha adquirido
un modelo mental; Vergnaud por otro lado habla del esquema como una
organización del comportamiento matemático para ciertas situaciones, son reglas,
metas, expectativas e inferencias, así como ideas matemáticas (invariantes
operacionales), en este apartado podemos encontrar similitudes con lo que
Radford llama naturaleza reflexiva del pensamiento, se refiere a que el
pensamiento es una reflexión, un movimiento dialéctico entre una realidad
constituida histórica y culturalmente y un individuo que la refracta (y la modifica)
56
según las interpretaciones y sentidos subjetivos propios. En lo que respecta a
Skovsmose y Godino no encontramos conceptos cercanos.
Otro de los conceptos importantes que encontramos en los primeros documentos
fue lo que Brousseau llama matematización, se refiere a que el niño debe conocer
explícitamente (con profunda convicción y convención social) la justificación de la
elección del modelo, sus reglas, lenguaje y escritura matemática. Skovsmose le
llama matematizar a la actividad de encontrar sistemas y regularidades en una
situación caótica, se refiere a formular, sistematizar y elaborar juicios acerca de la
forma de comprender la realidad, Radford, por otro lado, le llama objetivación al
proceso en que se dota de sentido a los objetos conceptuales que encuentra el
alumno en su cultura.
En el segundo documento los conceptos de las teorías son más completos y por lo
tanto específicos, logramos encontrar similitudes entre ellos, por ejemplo, lo que
Brousseau llama situación como un sistema de interacción con un medio entre uno
o más actantes, quienes necesitan un conocimiento preciso, generada por
diversas condiciones y variables. Vergnaud en su primer documento llama un
esquema a la organización invariante de conducta (reglas de producción e ideas
matemáticas implícitas o invariantes operacionales), no obstante en su documento
más acabado lleva el concepto hasta la idea de que es la forma de organización
de la actividad que se modifica al enfrentarse a nuevas situaciones. La situación
en Skovsmose sería lo que llama un escenario de investigación, como una
situación particular que tiene la potencialidad de promover un trabajo investigativo
o de indagación, invita a los estudiantes a formular preguntas y a buscar
explicaciones. Por otro lado, Radford destaca la actividad como el sistema que
contribuye a la satisfacción de necesidades colectivas, aparece como la unidad
mínima que reproduce la sociedad en su conjunto y hace posible la aparición del
conocimiento matemático. Por su parte Godino, tiene una dimensión epistémica
dirigida al sistema de prácticas donde la actividad de resolución de problemas se
adopta como elemento central en la construcción del conocimiento matemático.
57
5.3.5 Reglas de formación de conceptos
Las reglas de formación de conceptos son aquellas ideas que se han convertido
en normas para crear otros conceptos: condiciones de surgimiento, relaciones,
prácticas y reglas discursivas que posibilitan el surgimiento.
A continuación presentamos la tabla 9 que muestra las reglas de formación de
conceptos encontradas a partir de la lectura de los documentos seleccionados
(Ver Tabla 1). La primera fila corresponde al principio teórico que se está
analizando y figura como título de la tabla; en la primera columna se encuentran
las teorías, seguidos en la segunda y tercera columna por lo que se encontró
como reglas de formación de conceptos en el documento fundador y en el
documento considerado como el más completo.
Reglas de formación de conceptos
Teoría Documento fundador Documento más
desarrollado
Teoría de situaciones didácticas
Patrón de algoritmos o
matematización: 1. Acción y expresión, 2.Evidencia semántica
(verificación) y 3. Saber un algoritmo,
matematización y prueba sintáctica
Brousseau (1970, 437-438).
Los objetos de la teoría
son definidos por su función en una situación Brousseau (2010, 25).
Reglas:
•Postulado de correspondencia entre
los conocimientos matemáticos y las
situaciones. •Reglas de
descomposición y composición de
situaciones •Hipótesis de la
existencia de situaciones
fundamentales. (p. 29).
No se identificaron
Un esquema se forma
por cuatro componentes: – una meta, sub-metas y
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
58
Teoría de los campos conceptuales
anticipaciones; – reglas de acción, de
búsqueda de información y de control; – invariantes
operatorias: conceptos-en-acción y teoremas-en-
acción; – posibilidades de
inferencia en situación Vergnaud (2013, 152).
Un concepto es un
triplete de tres conjuntos:
-S es el conjunto de las situaciones que le dan sentido al concepto,
-I es el conjunto de las invariantes operatorias
que estructuran las formas de organización
de la actividad (esquemas) susceptibles
de ser evocadas por estas situaciones;
-L es el conjunto de las
representaciones lingüísticas y simbólicas (algebraicas, gráficas,
etc.) que permiten representar los conceptos y sus
relaciones, y por ende las situaciones y los
esquemas que evocan
(p. 156).
En el caso de desear entender el desarrollo, el investigador se ve pues llevado a tomar como objeto de estudio: un
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
59
campo conceptual es a la vez un conjunto de
situaciones y un conjunto de conceptos
(p. 157).
Teoría de la matemática crítica
No se identificaron No se identificaron
Teoría de la objetivación cultural
Una de las fuentes de adquisición del saber
resulta de nuestro contacto con el mundo material, el mundo de
artefactos culturales de nuestro entorno (objetos, instrumentos, etcétera.) y en el que se encuentra depositada la sabiduría histórica de la actividad
cognitiva de las generaciones pasadas Radford (2006, 113).
El objetivo mayor de la
enseñanza de las matemáticas es que el
alumno aprenda a reflexionar de acuerdo
con ciertas formas culturales de pensamiento
históricamente
constituidas (p. 115).
Proceso de objetivación: 1) Un proceso inacabado
e interminable. 2) Un proceso social, es decir, un proceso que llevamos a cabo con
otros, estén o no presentes.
3) Los estudiantes se vuelven conscientes.
4) El estudiante comprende un entendimiento
socialmente responsable y conceptualmente
articulado de algo incluso si no estamos de acuerdo con él.
Radford (2015,552).
Las hipótesis de desarrollo de la teoría se generan por el análisis de datos, siguiendo el
ciclo: Diseño de tareas, implementación, análisis de datos y generación de
hipótesis (p. 563).
Los estudiantes son considerados como
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
60
individuos-en-actividad. En otras palabras,
miramos la actividad porque es sólo a través
del prisma de esta unidad de análisis que
podemos mirar conceptualmente a los estudiantes y llegar a
interpretaciones de las maneras en que están encontrando formas
culturales de pensamiento y acción (p.
563).
La metodología está siempre vinculada a los principios teóricos ya las
preguntas de investigación de la teoría.
La metodología de la teoría aquí planteada trata de rastrear los
procesos de objetivación y subjetivación en los que se argumenta el
aprendizaje (p. 564) .
Enfoque ontosemiótico
Planteamientos teóricos que aporten soluciones
prácticas a los problemas cotidianos del profesor
de matemáticas. Godino (1991, 04).
Precisar y explicitar la naturaleza del objeto
matemático y su emergencia a partir de
las prácticas matemáticas, y caracterizar el
conocimiento desde el punto de vista subjetivo.
Elaboración de una
ontología matemática explícita (tipos de objetos y procesos matemáticos) que permita describir en
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
61
términos operativos el significado del objeto
matemático, tanto desde el punto de vista
institucional como personal.
Godino (2012,52).
Este sistema teórico no puede elaborarse con la
simple agregación de elementos de distintos
enfoques, sino que será necesario elaborar otros
nuevos más eficaces, enriqueciendo algunas
nociones ya elaboradas, evitando redundancias y
conservando una consistencia global. Se debe aspirar a incluir en el mismo las nociones
teóricas y metodológicas “necesarias y suficientes”
para investigar la complejidad de los
procesos de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas
(p. 56).
Tabla 9. Reglas de formación de conceptos.
Es importante hacer una distinción entre las reglas para generar conocimiento en
Matemática Educativa y las reglas para la mejora de la enseñanza aprendizaje de
la matemática. Por ejemplo, en el primer documento de Brousseau encontramos
las condiciones que cumple/debe cumplir un proceso de matematización, y no
encontramos reglas para la formación del conocimiento en Matemática Educativa
como lo hace en el segundo documento, cuando dice que los objetos de la teoría
son definidos por su función en una situación, además plantea las reglas de la
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
62
teoría: la correspondencia entre los conocimientos matemáticos y las situaciones,
las reglas de descomposición y composición de situaciones y además la hipótesis
de la existencia de situaciones fundamentales.
En el caso de Vergnaud encontramos reglas para la formación de conceptos que
están más relacionados con la mejora de la enseñanza aprendizaje, como la
conformación del esquema, el concepto y la importancia del campo conceptual, no
obstante se hace una mención al investigador interesado en entender el desarrollo
para prestar atención al campo conceptual como objeto de estudio.
En Skovsmose no localizamos reglas de formación en ninguno de los dos
documentos.
Al igual que en los documentos de Brousseu, las reglas de formación de
conceptos que encontramos en el primer documento de Radford, tienen que ver
con los procesos de enseñanza aprendizaje, sin embargo en el segundo
documento fue posible encontrar reglas de formación de conceptos para la
Matemática Educativa, la teoría de la objetivación sigue un ciclo de diseño de
tareas, implementación, análisis de datos y finaliza con la generación de hipótesis,
considera la actividad como la unidad de análisis.
En el primer documento de Godino también solo encontramos reglas de formación
para conceptos que tienen que ver con la mejora de la enseñanza aprendizaje.
Para el segundo documento encontramos algunas reglas para la formación de
conceptos en Matemática Educativa, la naturaleza del objeto matemático sus tipos
y sus procesos, además hace la aclaración de que su enfoque no es una simple
agregación de elementos de otros enfoques.
5.3.6 Planteamiento o resolución de contradicciones
El planteamiento o la resolución de contradicciones se refiere a si es una obra que
trabaja con perspectivas diferentes a lo ya hecho y reconoce y retoma o refuta las
anteriores.
A continuación presentamos la tabla con los enunciados identificados como
planteamientos de reconocimiento, refutación o resolución de contradicciones en
los documentos seleccionados para cada teoría analizada (Ver Tabla 1). La
primera fila corresponde al principio teórico que se está analizando y figura como
título de la tabla; en la primera columna se encuentran los investigadores,
seguidos en la segunda y tercera columna por los planteamientos de
reconocimiento, contradicción y/o refutación encontrados tanto en el documento
fundador como en el documento considerado el más completo.
63
Planteamiento o resolución de contradicciones
Teoría Documento fundador Documento más
desarrollado
Guy Brousseau No se identificaron
La teoría sufre cambios y adiciones: extensiones sucesivas, adopción de modelos: situación de
evocación (M.J. Pernin), estudio (Y.Chevallard). Brousseau (2010, 18).
No rechaza otros enfoques, pretende poder analizarlos,
describirlos, criticarlos, aumentarlos, distinguirlos o ignorarlos según los casos
(p. 18).
En su crítica a la concepción clásica del
triángulo didáctico sostiene que la combinación de
enfoques parciales independientes conduce a
errores (p. 34).
Gerard Vergnaud No se identificaron
Piaget es él el primer inspirador de esta teoría. Vergnaud (2013, 154).
“Esquemas sensorio-
motrices” empleada por Piaget es en cierto modo un
error de concepto, en la medida en que la
organización de estos esquemas se compone de
percepciones y gestos organizados. La expresión
“esquemas perceptivo-gestuales” sería por lo tanto
más correcta (p. 155).
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior. . .
64
El punto menos
desarrollado por Piaget, Vygotsky y Bruner sigue
siendo el de la ayuda a la conceptualización. Cuando
se desea analizar dicha ayuda se cae rápidamente en el acompañamiento del
lenguaje. En cierto modo es comprensible, en la medida
en que el lenguaje interviene en la
conceptualización, pero es al mismo tiempo
insuficiente, ya que la formación de invariantes
operatorias es la base de la conceptualización, en el transcurso mismo de la
actividad (p. 159).
La investigación en didáctica aporta así una
visión complementaria a la de Piaget. Para entender qué es el conocimiento, decía Piaget, hay que
estudiar su desarrollo; hoy podríamos agregar que se
debe encarar la transformación de dicho
conocimiento (p. 146).
Se ha enfrentado a menudo a Vygotsky y Piaget en torno a los dos puntos
cruciales que son, por una parte, los
roles respectivos de la acción y del lenguaje dentro de la conceptualización, y por otra parte el peso de la experiencia individual y de
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
65
la cultura dentro de la formación de las
competencias y del pensamiento. Se puede
apreciar en esta presentación un esfuerzo
por integrar estos dos mayores aportes a la
psicología cognitiva; no se oponen, sino que se
complementan de manera
útil (p. 159).
Ole Skovsmose
Dentro de la tradición de
Teoría Crítica desarrollada a partir del trabajo de la
Escuela de Frankfurt, hubo una preocupación central
por la educación. La educación no sólo podía
verse como un mecanismo de reproducción de las
estructuras económicas y sociales capitalistas, sino
que podía concebirse como un espacio de
reacción y resistencia. Muchas de estas
reflexiones se quedaron en formulaciones teóricas
generales y muy pocas especifican la relación
entre la educación crítica y las materias escolares, en especial las matemáticas.
La intención central de Hacia una filosofía de la educación matemática Crítica es justamente
considerar tal relación de manera teórica, pero con una relación permanente
de sus posibilidades prácticas.
Skovsmose (1994, xiii)
La educación matemática crítica considera el
desarrollo de la alfabetización matemática
como una competencia similar a la de la
alfabetización descrita por Freire.
Skovsmose (2012, 110).
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
66
Teoría de la objetivación
La teoría de la objetivación parte de la oposición a las corrientes racionalistas e idealistas, aboga por una concepción no mentalista del pensamiento y por una
idea de aprendizaje tematizado como
adquisición comunitaria de formas de reflexión del
mundo guiadas por modos epistémico-culturales
históricamente formados. Radford (2006, 105).
El concepto de re-flexión (de la teoría)
difiere del concepto idealista y racionalista en el que la reflexión “no es
otra cosa que una atención a aquello que ya
está en nosotros” (p.
123).
El concepto de individuo de la era moderna que
aparece en los siglos XV y XVI, está fundamentado
en el concepto de autonomía y libertad. La teoría de la objetivación
parte de otro punto y ofrece un concepto
diferente: el individuo es individuo en tanto que es
ser-con-otros (p. 125).
Teoría inspirada por el materialismo dialéctico y la
psicología de Vygotsky. Radford (2015, 547).
La educación matemática
ha sido definida (implícita o explícitamente) como la
difusión del conocimiento matemático o el crecimiento personal de la autonomía y las estructuras cognitivas. La teoría de la objetivación sigue un camino diferente.
Pone el objetivo de la Educación Matemática
como un esfuerzo dinámico político, social, histórico y
cultural dirigido a la creación dialéctica de
sujetos reflexivos y éticos que se posicionan
críticamente en discursos y prácticas matemáticas
histórica y culturalmente constituidos y siempre
evolucionando (p. 549).
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
67
Enfoque ontósemiotico
No se identificaron
Las teorías que sirvieron inicialmente de
base al EOS: El enfoque de la Didáctica Fundamental de las Matemáticas (DFM) (Gascón,1998), Teoría de
Situaciones Didácticas (TSD) (Brousseau, 1986;
1978), punto de partida de la DFM, Teoría
Antropológica de la Didáctica (TAD), como una evolución y extensión de la
noción de transposición didáctica (Chevallard,
1985), La Dialéctica Instrumento -
Objeto y el Juego de Marcos (DIO-JM) (Douady,
1986), la Teoría de los Campos Conceptuales
(TCC) (Vergnaud, 1990), entre otras usadas en
didáctica de la matemática, como, por ejemplo, la
Teoría de los Registros de Representación Semiótica
(Duval, 1996). Godino (2012, 50, 51, 53).
Se consideró necesario hacer un esfuerzo por clarificar las nociones introducidas hasta ese momento por la TAD,
hacerlas operativas y poner de manifiesto las
semejanzas, diferencias y relaciones con otras
herramientas conceptuales usadas ampliamente, como
son, por ejemplo, las de concepción y significado (p.
52).
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
68
El EOS considera que la didáctica de la matemática debe identificar, no solo los
fenómenos relativos a la ecología de los saberes matemáticos (objetivo
principal de la TAD), o los correspondientes al diseño
e implementación de ingenierías didácticas
(objetivo principal de la TSD) sino también los
relativos al aprendizaje de
los alumnos (p. 57).
Tabla 10. Planteamiento o resolución de contradicciones.
En el primer documento de Brousseau no encontramos planteamientos que
reconozcan o refuten ideas de otras teorías. En el segundo documento Brousseau
dice que su teoría no está cerrada a otros enfoques, pretende poder analizarlos,
describirlos, criticarlos, aumentarlos, distinguirlos o ignorarlos según los casos,
incluso señala que la teoría sufre cambios y adicciones, adopción de modelos,
como ejemplo menciona trabajos de M.J. Pernin y Chevallard; también hace una
crítica a la concepción clásica del triángulo didáctico y sostiene que la
combinación de enfoques parciales independientes conduce a errores.
Por otro lado, en el primer documento de Vergnaud tampoco encontramos
planteamientos de refutación o adopción de ideas. En el segundo documento,
hace una referencia a Piaget como el primer inspirador para su teoría de los
campos conceptuales, hace también correcciones al trabajo de Piaget, por
ejemplo el concepto de esquemas sensorio-motrices, retoma a Piaget, Vygotsky y
Bruner para ampliar el concepto de conceptualización, contradice a aquellos que
enfrentan a Vygotsky y Piaget encontrando que no se oponen, sino que se
complementan de manera útil.
En el trabajo de Skovsmose encontramos el reconocimiento que se hace a la
teoría crítica de la escuela de Frankfurt como base para la teoría matemática
crítica. En el segundo de documento de Skovsmose encontramos también un
reconocimiento, en este caso al concepto de alfabetización que retoman de Freire
y del cual deriva el de la alfabetización matemática.
El documento analizado es el mismo que en la cita anterior.
69
En el primer documento de Radford hace planteamientos de oposición a las
corrientes racionalistas e idealistas y al concepto de individuo de la era moderna
que aparece en los siglos XV y XVI fundamentado en el concepto de autonomía y
libertad. En el segundo documento de Radford se menciona que la teoría está
inspirada por el materialismo dialéctico y la psicología de Vygotsky. Se opone a las
definiciones de Matemática Educativa que la catalogan solo como difusora del
conocimiento matemático y la autonomía. La teoría de la objetivación pone de
objetivo la Educación Matemática como un esfuerzo dirigido a la creación
dialéctica de sujetos reflexivos y éticos que se posicionan críticamente en
discursos y prácticas matemáticas históricamente y culturalmente constituidos.
En el primer documento de Godino no se encontraron planteamientos donde
retome o contradiga otras ideas, por otra parte en el segundo documento Godino
señala las teorías que sirvieron de base a su teoría: El enfoque de la didáctica
fundamental de las Matemáticas (DFM) (Gascón,1998), La Teoría de situaciones
didácticas (TSD) (Brousseau, 1986; 1978), la Teoría antropológica de la Didáctica
(TAD) (Chevallard, 1985), La Dialéctica Instrumento - Objeto y el Juego de Marcos
(DIO-JM) (Douady, 1986), la Teoría de los campos conceptuales (TCC)
(Vergnaud, 1990) y la Teoría de los Registros de representación semiótica (Duval,
1996). Considera que la didáctica de la matemática debe identificar, no solo los
fenómenos relativos a la ecología de los saberes matemáticos (objetivo principal
de la TAD), o los correspondientes al diseño e implementación de ingenierías
didácticas (objetivo principal de la TSD) sino también los relativos al aprendizaje
de los alumnos.
70
Capítulo 6 – Discusión y conclusiones
D’Amore & Fandiño (2017:03) sugieren que las teorías científicas no pueden ser
creaciones o invenciones de una única persona, sino que debe existir una
comunidad de personas entre las cuales rige un sustancial acuerdo, ya sea sobre
los problemas significativos de la investigación, sobre las modalidades en las
cuales dicha investigación se explica, o sobre el lenguaje usado. Esta afirmación
nos lleva a suponer que existe un modelo que guía la investigación en la
comunidad de Matemática Educativa.
Hemos dicho que un modelo de saber es el conjunto de enunciados que plantean
una pauta para las formaciones discursivas (objetos de conocimiento,
enunciaciones, elecciones teóricas). Encontramos como objeto de conocimiento el
aprendizaje de las matemáticas, cada autor pretende comprender distintas
dimensiones del mismo pero evidentemente es la cuestión central de su
investigación.
Si las teorías analizadas coinciden en encontrar como el objeto de su teoría el
aprendizaje y toman la situación como la forma de comprender el objeto, de
analizarlo, estudiarlo, y/o reproducirlo, entonces es razonable estimar que exista
una pauta para abordar el objeto.
A lo largo de este trabajo hemos sospechado que el modelo de saber que guía a
la Matemática Educativa es la escuela francesa de didáctica de la matemática
(Brousseau, Chevallard, Verganud). D’Amore & Fandiño (2017) encuentran
nociones que consideran abusadas en las teorías, como: conocimiento, saber,
concepciones, conceptos, esquemas, invariantes operatorios, significado,
praxeología. En nuestro caso encontramos como conceptos comunes:
matematizacion, situación, modelo mental, esquema.
De igual forma D’Amore & Fandiño (2017) consideran la teoría de las situaciones
didácticas como una de las primeras en nacer; y suponen que después, cuando la
didáctica de la matemática evolucionó, surgieron otras tantas teorías. Muchas de
estas teorías fueron evoluciones de la teoría de las situaciones. Por otra parte,
Godino (1991) señalaba que bajo su punto de vista la Escuela Francesa de
Didáctica de la Matemática estaba en camino de constituir un "núcleo firme" de
conceptos teóricos que serviría de soporte en un programa de investigación en el
sentido de Lakatos. Y encuentra que nociones como las de transposición
didáctica, contrato didáctico y obstáculo, se utilizaban cada vez con mayor
frecuencia en las publicaciones en revistas y actas de congresos internacionales
de la especialidad.
71
“…parece fuera de duda, que existe en Francia una línea de investigación
(en el sentido de Bunge) dentro del campo de la Didáctica de la
Matemática, con una problemática fuertemente original, como pone de
manifiesto Balachef (1990), que puede significar una ruptura epistemológica
para esta disciplina científica. Está por determinar si alcanzará o no el
carácter de paradigma predominante (Kuhn) en un futuro más o menos
lejano (Godino, 1991, p. 24)”.
Coincidimos con D’Amore & Fandiño al considerar que las teorías nuevas nacen
con objetivos precisos, no sólo para absorber o incluir las teorías precedentes,
sino también para estudiar factores que a las precedentes se les escapaban o
para estudiar hechos que a las precedentes no les interesaban (D’Amore &
Fandiño, 2007), tal como lo mencionaba Hernández (2014) en la segunda etapa
del desarrollo de la Matemática Educativa donde se intenta dar una mirada
ampliada y articulada de los factores o elementos que en la etapa anterior se
dejaron fuera; exigiendo la construcción de aproximaciones o miradas teóricas con
términos y conceptos inherentes al campo y nativos de la disciplina, desarrollando
una teoría nueva que no sólo introduce nuevos objetos de estudio sino que éstos
se convierten en propios de la disciplina.
72
Conclusiones
Esta investigación surgió al detectar la preocupación del interés de los
investigadores del campo por el reconocimiento de la Matemática Educativa como
disciplina científica, nos proponíamos indagar en su estatus científico ubicando el
umbral arqueológico (Michel Foucault, 1969) en que se encuentra, reconocer a los
fundadores del discurso en Matemática Educativa a partir de la identificación de la
(s) teoría (s) vigente (s), y además caracterizar los elementos de una disciplina
científica desde los planteamientos de Tomas Kuhn (1962). Buscábamos
responder a las preguntas: ¿Quiénes son los fundadores del discurso en
Matemática Educativa? y ¿En qué momento de constitución de su estatus se
encuentra?
La hipótesis del trabajo fue que la Matemática Educativa se encuentra en el
umbral de la epistemologización y hasta este momento, habiendo revisado sólo 5
autores y faltando por revisar 7, tenemos algunas evidencias que apuntan a que la
Matemática Educativa ha franqueado ese umbral, pero aún no podemos
asegurarlo. Nuestro trabajo nos permitió evidenciar esta hipótesis, según Foucault
(1969) el umbral de la epistemologización sería rebasado cuando un conjunto de
enunciados son seleccionados para integrar un modelo de saber y se pretende
hacerlos valer (incluso sin lograrlo) para lo que se plantean normas de verificación
y coherencia y se ejerce, con respecto del saber, una función dominante a partir
de un modelo.
Hemos encontrado que aunque las teorías tienen perspectivas diferentes, en
conjunto tienen una tendencia a lo social, es decir, una preocupación por vincular
la teoría o el método o la investigación o la enseñanza al contexto, cuestiones que
integrarían un modelo de saber. Además, reconocimos la noción de “situación”
como común a las teorías que analizamos, si bien cada autor define la situación
desde diferentes ángulos todos abrevan en la construcción de la concepción de
situación.
Para esta investigación trabajamos solo con 5 de los 12 autores antes
mencionados. En cuanto al reconocimiento de los fundadores de discursividad
como los autores no solo de sus propias obras sino productores de las
posibilidades y las reglas para la formación de otros textos es esencial. Estos
autores hicieron posible no sólo un cierto número de analogías, sino también (y de
igual importancia) un cierto número de diferencias (Foucault, 1969). Nuestro
trabajo nos permitió encontrar que sólo 4 de los 5 autores analizados son
fundadores de la discursividad. Reconocimos en el discurso a Brousseau,
Vergnaud, Radford y Godino como fundadores de discursividad. En cuanto al
73
trabajo de Skovsmose, los documentos seleccionados no nos permitieron
encontrar elementos suficientes para reconocerlo como fundador de discursividad.
Entre los discursos de estos fundadores encontramos el que formulan hacia la
practica/docencia como también el discurso dirigido hacia la investigación dentro
del aula.
Si bien la idea era hacer una caracterización de los elementos de una disciplina
científica desde los planteamientos de Tomas Kuhn, que son: objeto de estudio,
método, comunidad científica, teoría; terminamos haciendo la caracterización solo
con los principios teóricos derivados de los planteamientos de Michel Foucault,
hablamos del objeto de estudio, el modelo de saber, las normas de verificación del
modelo de saber, los conceptos clave, las reglas de formación de conceptos y
finalmente el planteamiento y la resolución de contradicciones. El análisis de los
documentos para encontrar estos planteamientos resultó ser denso y nos impidió
(hasta el momento) hacer una aproximación kuhniana para este trabajo.
Trabajo a futuro
Quedan en el tintero múltiples pendientes, dudas, pre nociones, intuiciones y sólo
algunas seguridades. En primer término es necesario completar el análisis con los
otros 7 autores. Así como pasar por los principios kuhnianos los hallazgos que
hasta ahora tenemos.
Consideramos que con este trabajo se ha abierto una línea de investigación en
México y, será necesario abrevar en los hallazgos de investigadores de otras
naciones.
74
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Anexos
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117
Anexo 3. Cuadros de recolección de datos.
Guy Brousseau – Cuadro 1
Documento: Proceso de matematización 1970
Objeto de estudio
Modelo de saber
Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave
Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de
contradicciones
El proceso educativo para obtener un conocimiento de las Matemáticas (p. 428).
Reproducción de comportamientos adquiridos o creación de nuevos comportamientos (p. 428) a partir de situaciones modelo organizadas dentro de un esquema educativo (p. 429).
Una estructura presentada en una situación deberá permitir predicciones válidas para llamarse modelo de la situación (p. 429).
Estructura: está definida por las relaciones y transacciones que ligan sus elementos (p.428). Situación: Una cierta disposición de los objetos (o personas) con algunas relaciones entre ellos (p. 428). Una estructura propuesta en una situación determinada como un medio de predicción o explicación, con
Patrón de algoritmos o matematización: 1. Acción y expresión, 2. Evidencia semántica (verificación) y 3. Saber un algoritmo, matematización y prueba sintáctica (p. 437-438).
No se identificó
118
un proyecto de extensión concreto de partes significativas, es un modelo de la situación (p. 429). Modelo mental de la situación: (Si en una serie de situaciones similares tiene una serie de comportamientos similares, es razonable estimar que ha recibido las relaciones de esa estructura (p. 429). Esquema educativo: Cuando una situación se acepta o se organiza por un maestro dentro
119
de un medio para conseguir un comportamiento esperado (p.429). No existe realmente el aprendizaje de las matemáticas sin el uso de los estudiantes de modelos explícitos, lenguaje y escritura matemáticas: Proceso de matematización (p. 438). Matematización: la justificación de la elección del modelo y las reglas del modelo (p. 438). El proceso de matematización
120
busca el uso apropiado del esquema, y la enseñanza de Matemáticas es organizar las relaciones del niño en situaciones con el mundo a su alrededor con el fin de obtener la generación de empleo y siguiendo este patrón de modelos matemáticos (p. 438).
121
Guy Brousseau – Cuadro 2
Documento: Referencias epistemológicas para la didáctica de las Matemáticas (2010)
Objeto de estudio
Modelo de saber
Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave
Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de
contradicciones
Eventos
didácticos y producción de
dispositivos susceptibles de reproducir estos eventos (p.19).
Construir
modelos de interacción y estudiar su
consistencia, así como
verificar su compatibilidad
con los resultados (de didáctica) y los
aportes (de otras ciencias)
aceptadas. Y su adecuación a la interpretación y
a la acción didáctica (p.20).
La didáctica
científica pretende:
A. Interpretar eventos
didácticos B. Producir los
dispositivos susceptibles de reproducir estos
eventos C. Construir los
modelos de interacción (con
consistencia, compatibilidad y adecuación) (p.
19).
Situación (p. 24).
Situación a-didáctica (p. 31).
Evento didáctico (p. 26).
Los objetos de la teoría son
definidos por su función en una
situación (p. 25).
Reglas: •Postulado de
correspondencia entre los
conocimientos matemáticos y las situaciones.
•Reglas de descomposición y composición de situaciones. •Hipótesis de la existencia de situaciones
fundamentales. (p. 29).
La teoría sufre
cambios y adiciones: extensiones
sucesivas, adopción de modelos: situación de
evocación (M.J. Pernin), estudio
(Y.Chevallard) (p. 18).
No rechaza otros
enfoques, pretende poder analizarlos,
describirlos, criticarlos,
aumentarlos, distinguirlos o
ignorarlos según los casos (p. 18).
En su crítica a la
concepción clásica del triángulo
didáctico sostiene
122
que la combinación de enfoques
parciales independientes
conduce a errores (p. 34).
123
Gérard Vergnaud – Cuadro 1
Documento: Theoretical Frameworks and Empirical Facts in the Psychology of Mathematics Education (1998)
Objeto de estudio
Modelo de saber
Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de
contradicciones
Cómo los
estudiantes aprenden
Matemáticas (o fallan al
aprender) y desarrollan sus propias ideas y
cómo los profesores mejoran la
enseñanza (p. 29).
Conexiones y saltos en el
desarrollo y el aprendizaje de competencias y concepciones [Matemáticas]
Símbolos y
lenguaje que dan lugar a la formación del concepto, el
campo conceptual y la resolución de problemas (p.
29).
No se identificó
Esquema:
Organización
invariante de
comportamiento
para ciertas
situaciones (p.
30).
El comporta-
miento
matemático se
basa en ideas
matemáticas.
Consiste en una
organización
invariante de
comportamiento
llamada:
Esquema (p.
No se identificó
No se identificó
124
(p. 39). 32).
No son solo
reglas, son
metas y
expectativas,
inferencias e
invariantes
operacionales.
Asociado con
clases de
situaciones (p.
33).
Invariantes
operacionales:
Fuertes ideas
matemáticas
implícitas (p.
33).
Situaciones.
Concepto
matemático (p.
44-45).
125
Gérard Vergnaud – Cuadro 2
Documento: ¿Por qué la teoría de los campos conceptuales? (2013)
Objeto de estudio
Modelo de saber Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de
contradicciones
Aprendizaje
de las matemáticas
(p.146).
Los conceptos
son construcciones apoyadas en la
gran variedad de situaciones que
experimentamos, resultan de una
elaboración intelectual,
partiendo de la acción en la realidad y de
relaciones entre objetos y
transformaciones, cuya formulación
contribuye a desarrollar
competencias (p.159).
Un campo
conceptual es lo que permite analizar y
relacionar entre sí las
competencias formadas
progresivamente. (p. 147).
Cada una de las
decisiones susceptibles de ser tomadas por los sujetos en la
búsqueda de operar en una
situación pueden volverse un esquema (p.
149). El esquema está
formado necesariamente
Esquema: Un esquema es la forma de organización de una actividad. Se modifica al enfrentarse a con nuevas situaciones (p. 147). Se compone de: – una meta, sub-metas y anticipaciones; – reglas de acción, de búsqueda de información y de control; – invariantes operatorias: conceptos-en-acción y teoremas-en-acción; – posibilidades de inferencia en situación (p. 152).
Campo conceptual su objetivo es el
Un esquema se forma por cuatro componentes:
– una meta, sub-metas y
anticipaciones; – reglas de acción, de
búsqueda de información y de
control; – invariantes operatorias:
conceptos-en-acción y
teoremas-en-acción;
– posibilidades de inferencia en
situación (p. 152).
Un concepto es
un triplete de tres conjuntos:
Piaget es él el
primer inspirador de esta teoría (p.
154).
“Esquemas sensorio-motrices”
empleada por Piaget es en
cierto modo un error de concepto, en la medida en
que la organización de estos esquemas se compone de percepciones y
gestos organizados. La
expresión “esquemas perceptivo-
gestuales” sería por lo tanto más correcta (p. 155).
126
de cuatro componentes:
– una meta, sub-metas y
anticipaciones; – reglas de acción, de
búsqueda de información y de
control; – invariantes operatorias:
conceptos-en-acción (permiten
identificar objetos,
propiedades y relaciones) y teoremas-en-
acción (proposiciones consideradas
como verdaderas en la realidad); – posibilidades de inferencia en
situación (p. 152).
de designar sub campos de la experiencia, alrededor de las dos ideas de situación y concepto (p. 155). Es a la vez un conjunto de situaciones y un conjunto de conceptos. El conjunto de situaciones cuyo dominio progresivo implica una variedad de conceptos, de esquemas y de representaciones simbólicas en estrecha conexión; el conjunto de los conceptos que contribuyen a dominar esas situaciones. Estos conceptos forman sistemas, cuya organización es
-S es el conjunto
de las situaciones que le dan sentido al
concepto,
-I es el conjunto de las
invariantes operatorias que estructuran las
formas de organización de
la actividad (esquemas)
susceptibles de ser evocadas por
estas situaciones;
-L es el conjunto
de las representaciones
lingüísticas y simbólicas
(algebraicas, gráficas, etc.) que permiten
representar los conceptos y sus
El punto menos desarrollado por
Piaget, Vygotski y Bruner sigue
siendo el de la ayuda a la
conceptualización. Cuando se desea
analizar dicha ayuda se cae
rápidamente en el acompañamiento del lenguaje. En cierto modo es
comprensible, en la medida en que
el lenguaje interviene en la
conceptualización, pero es al mismo
tiempo insuficiente, ya
que la formación de invariantes
operatorias es la base de la
conceptualización, en el transcurso
mismo de la actividad (p. 159).
127
asimismo progresiva, eventualmente nunca concluida (p. 159).
Invariante operatoria (p. 154, 158).
Competencia: concierne a todos los registros de la actividad: gestos y búsqueda de informaciones perceptivas, lenguaje y diálogo, razonamiento científico y técnico (p. 150).
Conceptualización: la identificación de objetos de distintos niveles, directamente accesibles a la percepción o no, como también sus propiedades y
relaciones, y por ende las
situaciones y los esquemas que
evocan (p. 156).
En el caso de desear
entender el desarrollo, el
investigador se ve pues llevado a tomar como
objeto de estudio: un
campo conceptual es a
la vez un conjunto de
situaciones y un conjunto de conceptos (p. 157).
La investigación
en didáctica aporta así una
visión complementaria a la de Piaget. Para entender qué es el conocimiento, decía Piaget, hay que estudiar su desarrollo; hoy
podríamos agregar que se debe encarar la
transformación de dicho
conocimiento (p. 146).
Se ha enfrentado
a menudo a Vygotski y Piaget en torno a los dos puntos cruciales que son, por una parte, los roles
respectivos de la acción y del
lenguaje dentro de la
128
relaciones (p. 151).
Conceptos-en-acción: permiten recabar del entorno las informaciones pertinentes, y seleccionar los teoremas-en-acción necesarios para el cálculo simultáneo de las metas y sub-metas susceptibles de formarse, y de las reglas de acción, de búsqueda de información y de control que permitan alcanzarlas (p. 153). Permiten identificar objetos, propiedades y relaciones (p. 153).
Teoremas-en-acción: son
conceptualización, y por otra parte el
peso de la experiencia individual y de la cultura dentro de la
formación de las competencias y
del pensamiento. Se puede apreciar
en esta presentación un
esfuerzo por integrar estos dos mayores aportes a la psicología
cognitiva; no se oponen, sino que se complementan de manera útil. (p.
159).
129
proposiciones consideradas como verdaderas en la realidad (p. 153).
Situación.
Concepto: Son construcciones, que se apoyan en la experiencia, pero cuyas características resultan de una elaboración intelectual, partiendo de la acción en la realidad y de relaciones entre objetos, relaciones, y transformaciones, cuya formulación contribuye a su identificación (p. 159).
Concepto como un triplete de tres conjuntos distintos, no
130
independientes: -S es el conjunto de las situaciones que le dan sentido al concepto, -I es el conjunto de las invariantes operatorias que estructuran las formas de organización de la actividad (esquemas) susceptibles de ser evocadas por estas situaciones, -L es el conjunto de las representaciones lingüísticas y simbólicas (algebraicas, gráficas, etc.) que permiten representar los conceptos y sus relaciones, y por ende las situaciones y los esquemas que evocan (p. 156).
131
Ole Skovsmose – Cuadro 1
Documento: Hacia una filosofía de la educación matemática crítica (1994-1999)
Objeto de estudio
Modelo de saber Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de
contradicciones
Perspectiva desde la que
pueda interpretarse la
educación matemática
como parte del lenguaje de
nuestra cultura tecnológica y,
en consecuencia, como parte de esta cultura (p.
10).
Análisis crítico de nuestra
situación social. Presupone un
marco conceptual por medio del cual
seamos capaces de
aprehender los poderes
formativos de nuestra
sociedad (p. 56).
La educación crítica debe ser una reacción a
todo tipo de característica crítica de la
sociedad (p. 24).
Critica: Se refiere tanto a la actividad de juzgar y de salir de un dilema, como a las connotaciones del término que provienen de la acepción de análisis, evaluación, juicio y valoración, y como a los significados
No se identificó
Dentro de la tradición de Teoría Crítica desarrollada a partir del trabajo de la Escuela de
Frankfurt, hubo una preocupación central por la educación. La educación no sólo podía verse como un mecanismo de
reproducción de las estructuras
económicas y sociales capitalistas,
sino que podía concebirse como un espacio de reacción
132
derivados de la idea de acción (p. 16).
Ser crítico: prestarle atención a una situación crítica, identificarla, tratar de captarla, comprenderla y reaccionar frente a ella (p. 16).
Alfabetización matemática: denomina la habilidad para calcular y usar técnicas formales y matemáticas (p. 26, 67).
Competencia crítica: una fuente que se debe
y resistencia. Muchas de estas
reflexiones se quedaron en
formulaciones teóricas generales y
muy pocas especifican la
relación entre la educación crítica y
las materias escolares, en especial las
matemáticas. La intención central de Hacia una filosofía
de la educación matemática Crítica es
justamente considerar tal
relación de manera teórica, pero con
una relación permanente de sus
posibilidades prácticas (p. xiii).
133
desarrollar a través de su participación en los procesos educativos (p. 69).
Matematizar: formular, sistematizar y elaborar juicios acerca de las formas de comprender la realidad (p. 72).
134
Ole Skovsmose – Cuadro 2
Documento: Escenarios de investigación (2012)
Objeto de estudio
Modelo de saber Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de
contradicciones
Construcción crítica de las matemáticas
como parte de la educación
matemática (p. 110).
Las
matemáticas no son
simplemente una materia que debe enseñarse
y aprenderse […] se perciben como un tema
que en sí necesita ser reflexionado,
puesto que las matemáticas son una parte
central de nuestra cultura basada en la tecnología y puesto que
ellas ejercen muchas
funciones. (p. 110).
No se identificó
Alfabetización matemática: competencia para interpretar y actuar en una situación social y política que ha sido estructurada por las matemáticas (p. 110).
Escenario de investigación: una situación particular que tiene la potencialidad de promover un trabajo investigativo o de
No se identificó
La educación Matemática crítica
considera el desarrollo de la alfabetización
matemática como una competencia similar a la de la
alfabetización descrita por Freire
(p. 110).
135
indagación. Invita a los estudiantes a formular preguntas y a buscar explicaciones (p. 111, 114).
136
Luis Radford – Cuadro 1
Documento: Elementos de una teoría cultural de la objetivación (2006)
Objeto de estudio
Modelo de saber
Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave
Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de
contradicciones
Didáctica
anclada en principios en
los que el aprendizaje es
visto como actividad social
(praxis cogitans)
arraigada en una tradición cultural que la antecede (p.
123).
Sugerir que los
objetos matemáticos
tienen que ser conceptualizados en el contexto de
su dimensión histórico cultural
(p. 123) en el curso de la actividad
matemática de los individuos. (p.
111).
Posición teórica respecto al
aprendizaje que conlleva a un
replanteamiento del concepto del
individuo que aprende […]
ofrece un concepto
El aprendizaje es re-flexión,
aprender supone un proceso
dialéctico entre sujeto y objeto
mediatizado por la cultura, un proceso en el
que, a través de su acción
(sensorial o intelectual) el sujeto nota o
toma conciencia del objeto (p.
116).
Naturaleza reflexiva del pensamiento: es decir, un movimiento dialéctico entre una realidad constituida histórica y culturalmente y un individuo que la refracta (y la modifica) según las interpretaciones y sentidos subjetivos propios (p. 108).
Re-flexividad del pensamiento:
Una de las fuentes de
adquisición del saber resulta de nuestro contacto
con el mundo material, el mundo de artefactos
culturales de nuestro entorno
(objetos, instrumentos,
etc.) y en el que se encuentra depositada la
sabiduría histórica de la
actividad cognitiva de las generaciones pasadas (p.
113).
El objetivo
La teoría de la objetivación parte de la oposición a las corrientes racionalistas e idealistas; aboga por una concepción no mentalista del pensamiento y por una idea de aprendizaje tematizado como adquisición comunitaria de formas de reflexión del mundo guiadas por modos epistémico-culturales históricamente formados (p. 105). El concepto de re-flexión (de la teoría) difiere del
137
diferente: el individuo es individuo en
tanto que es ser-con-otros. (p.
125).
consiste en que los individuos dan lugar al pensamiento y a los objetos que éste crea. En el acto de pensar, un individuo es subsumido por su realidad cultural y la historia del pensamiento humano, las cuales orientan su propio pensamiento (p. 108).
Aprendizaje: se trata de dotar de sentido a los objetos conceptuales que
mayor de la enseñanza de
las matemáticas es que el
alumno aprenda a reflexionar de
acuerdo con ciertas formas culturales de pensamiento
históricamente constituidas (p.
115).
concepto idealista y racionalista en el que la reflexión “no es otra cosa que una atención a aquello que ya está en nosotros” (p. 123). El concepto de individuo de la era moderna que aparece en los siglos XV y XVI, está fundamentado en el concepto de autonomía y libertad. La teoría de la objetivación parte de otro punto y ofrece un concepto diferente: el individuo es individuo en tanto que es ser-con-otros (p. 125).
138
encuentra el alumno en su cultura. La adquisición del saber es un proceso de elaboración activa de significados: proceso de objetivación (p. 113).
Objetivación: proceso social de toma de conciencia progresiva del eidos homérico, esto es, de algo frente a nosotros una figura, una forma algo cuya generalidad notamos gradualmente
139
, al mismo tiempo que la dotamos de sentido (p. 116, 124).
Sociabilidad: proceso de formación de la conciencia, que Leontiev caracterizaba como cosapiencia, es decir, saber en común o saber-con-otros (p. 116).
Medios semióticos de objetivación: los gestos, el lenguaje, los símbolos. Gestos, lenguaje, símbolos, se convierten
140
así en constituyentes mismos del acto cognitivo que posiciona el objeto conceptual no dentro de la cabeza sino en el plano social (p. 125).
141
Luis Radford – Cuadro 2
Documento: Methodological Aspects of the Theory of Objectification (2015)
Objeto de estudio
Modelo de saber
Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de contradicciones
Maneras en que los estudiantes
se vuelven progresivamente conscientes de las formas de
pensar y actuar histórica y
culturalmente constituidas.
Cómo se posicionan en las prácticas
matemáticas los profesores y los
estudiantes como
subjetividades en formación (p.
553).
El conocimiento no es algo que los individuos
poseen, adquieren o construyen a
través de acciones
personales […] resulta de, y se
produce a través, del
trabajo social humano. Para convertirse en
objeto de pensamiento y
conciencia, tiene que ser
puesto en movimiento,
adquirir determinaciones
culturales (p. 550).
El conocimiento
puede convertirse en un objeto de pensamiento e interpretación
sólo al ser puesto en movimiento y convertirse en un
objeto de los sentidos y de la
conciencia a través de
actividades específicas para la resolución de problemas (p.
550).
Las actividades deben:
A.- Tener en cuenta lo que saben los estudiantes; B.- Ser
Conocimiento: resulta de, y se produce a través, del trabajo social humano. se mueve a través de la actividad de una forma indeterminada de posibilidades a una determinada forma singularizada llena de contenido o determinaciones concretas (p. 550, 551)
Aprendizaje- procesos de objetivación: 1) Es un proceso
Proceso de objetivación:
1) Un proceso inacabado e interminable.
2) Un proceso social, es decir, un proceso que llevamos a cabo con otros, estén o no presentes.
3) Los estudiantes se
vuelven conscientes.
4) El estudiante comprende un entendimiento socialmente
responsable y conceptualmente
articulado de algo incluso si
no está de acuerdo con él
Teoría inspirada
por el materialismo dialéctico y la psicología de Vygotsky (p.
547).
La educación matemática ha sido definida (implícita o
explícitamente) como la difusión del conocimiento matemático o el
crecimiento personal de la
autonomía y las estructuras
cognitivas. La teoría de la objetivación
sigue un camino diferente. Pone
142
interesantes desde el punto de vista de los estudiantes; C.- Abrir un espacio de reflexión crítica e interacción a través de discusiones en grupos. D.- Hacer significativos los conceptos matemáticos E.- Ofrecer a los estudiantes la oportunidad de reflexionar matemáticamente de diferentes maneras (no sólo a través de las lentes de las matemáticas dominantes); y F.- Estar organizados de tal manera que exista un hilo conceptual
inacabado e interminable. 2) Es un proceso social, es decir, un proceso que llevamos a cabo con otros, estén o no presentes. 3) En el proceso, los estudiantes se vuelven conscientes. 4) El estudiante comprende un entendimiento socialmente responsable y conceptualmente articulado de algo incluso si no estamos de acuerdo con él (p. 551)
La subjetivación: es la creación del sujeto, la creación de una subjetividad particular (y única) que se
(p. 552).
Las hipótesis de desarrollo de la
teoría se generan por el
análisis de datos, siguiendo el ciclo: Diseño
de tareas, implementación, análisis de datos y generación de
hipótesis. (p. 563)
Los estudiantes
son considerados
como individuos-en-actividad. En otras palabras,
miramos la actividad porque es sólo a través del prisma de
esta unidad de análisis que
podemos mirar conceptualmente a los estudiantes
el objetivo de la Educación Matemática
como un esfuerzo dinámico
político, social, histórico y
cultural dirigido a la creación
dialéctica de sujetos reflexivos y éticos que se
posicionan críticamente en
discursos y prácticas
matemáticas históricamente y
culturalmente constituidos y
siempre evolucionando.
(549)
143
orientado hacia problemas de creciente complejidad matemática. (p.554).
hace posible por la actividad en la que tiene lugar la objetivación (p. 553).
Actividad: se refiere a un sistema que contribuye a la satisfacción de necesidades colectivas y que opera dentro de una división específica del trabajo (p. 554). La teoría de la objetivación la actividad se toma realmente como la unidad metodológica del análisis. (p. 553). Es en este sentido que la actividad aparece como la unidad mínima que reproduce la sociedad en su conjunto.
y llegar a interpretaciones de las maneras en que están encontrando
formas culturales de pensamiento
y acción. (p. 563)
La metodología
está siempre vinculada a los
principios teóricos ya las preguntas de
investigación de la teoría. La
metodología de la teoría aquí
planteada trata de rastrear los procesos de
objetivación y subjetivación en
los que se argumenta el
aprendizaje. (p. 564)
144
Juan Godino – Cuadro 1
Documento: Hacia una teoría de la didáctica de la matemática. (1991)
Objeto de estudio
Modelo de saber
Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave
Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de
contradicciones
Estado actual de la Didáctica
de la Matemática
desde el punto de vista
epistemológico, (p.2).
Epistemología
de las matemáticas y a la epistemología de la didáctica
de la matemática (p.
50).
No se identificó
No se identificó
Planteamientos
teóricos que aporten
soluciones prácticas a los
problemas cotidianos del profesor de
matemáticas (p.4).
No se identificó
145
Juan Godino – Cuadro 2
Documento: Origen y aportaciones de la perspectiva ontosemiótica de investigación en didáctica de la matemática. (2012)
Objeto de estudio
Modelo de saber
Normas de verificación del
modelo
Conceptos clave
Reglas de formación de
conceptos
Planteamiento o resolución de
contradicciones
Principales
teorías existentes para responder a las
preguntas: ¿Qué es un
objeto matemático?, ¿Cuál es el
significado de un objeto
matemático en un contexto o
marco institucional
determinado? Y ¿Qué significa
el objeto O para un sujeto en un
momento y circunstancias dadas? (p. 50).
Cuestiones
centrales para
La perspectiva Ontosemiótica es un enfoque teórico para la
investigación en matemática
educativa que considera cinco
grandes categorías o niveles de
análisis de los procesos de instrucción
matemática: sistemas de prácticas,
configuraciones de objetos y
procesos matemáticos, configuración
didáctica, dimensión
normativa e
Nociones
teóricas que permiten un nivel
de análisis de los procesos de
enseñanza y aprendizaje:
(1) Sistema de prácticas
(operativas, discursivas y
normativas). La actividad de
resolución de problemas se adopta como
elemento central en la
construcción del conocimiento matemático.
(2) Configuración de
objetos y procesos
Significado
de objeto
matemático:
sistemas de
prácticas en
las que un
determinado
objeto
matemático
es
determinante
para su
realización
(p. 53)
Sistema de
prácticas:
manifestadas
por un sujeto
(o en el seno
de una
institución)
ante una
Precisar y
explicitar la naturaleza del
objeto matemático y su
emergencia a partir de las
prácticas matemáticas, y caracterizar el conocimiento.
Elaboración de una ontología matemática
explícita (tipos de objetos y
procesos matemáticos) que permita describir en
términos operativos el
significado del objeto
Las teorías que sirvieron inicialmente de base al EOS: El enfoque de la Didáctica Fundamental de las Matemáticas (DFM) (Gascón, 1998), Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) (Brousseau, 1986; 1978), Teoría Antropológica de la Didáctica (TAD), como una evolución y extensión de la noción de transposición didáctica (Chevallard, 1985), La Dialéctica Instrumento - Objeto y el Juego de Marcos (DIO-JM)
146
el diseño instruccional (p.
53).
Ontología y semiótica de la
actividad matemática y
de los procesos de
comunicación de sus
“producciones” (p. 54).
idoneidad. Godino (2012:
59).
matemáticos, emergentes e
intervinientes en las prácticas matemáticas.
(3) Configuración
didáctica, como sistema
articulado de roles docentes y
discentes, a propósito de una configuración de
objetos y procesos
matemáticos ligados a una
situación – problema.
(4) Dimensión normativa, sistema de
reglas, hábitos, normas que restringen y soportan las
prácticas matemáticas y
didácticas, generaliza la
clase de
situaciones-
problemas”.
(p. 54)
Dimensiones
epistémicas:
(Relativa al
conocimiento
institucional),
docente
(funciones
del profesor),
discente
(funciones
del
estudiante),
mediacional
(relativa al
uso de
recursos
instruccional
es), cognitiva
(génesis de
significados
personales) y
afectiva (que
da cuenta de
las actitudes,
matemático, tanto desde el punto de vista institucional
como personal. (p. 52)
Este sistema
teórico no puede elaborarse con
la simple agregación de elementos de
distintos enfoques, sino
que será necesario
elaborar otros nuevos más
eficaces, enriqueciendo
algunas nociones ya elaboradas,
evitando redundancias y conservando
una consistencia global. Se debe aspirar a incluir en el mismo las
(Douady, 1986), la Teoría de los Campos Conceptuales (TCC) (Vergnaud, 1990), entre otras usadas en didáctica de la matemática, como, por ejemplo, la Teoría de los Registros de Representación Semiótica (Duval, 1996). (p. 50, 51, 53). Se consideró necesario hacer un esfuerzo por clarificar las nociones introducidas hasta ese momento por la TAD, hacerlas operativas y poner de manifiesto las semejanzas, diferencias y relaciones con otras herramientas conceptuales
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noción de contrato
didáctico y normas socio-matemáticas. (5) Idoneidad
didáctica, como criterio general
de adecuación y pertinencia de
las acciones de los agentes
educativos, de los
conocimientos puestos en juego y de los recursos
usados en un proceso de
estudio matemático (p.
56).
emociones,
etc. de los
estudiantes
ante el
estudio de
las
matemáticas)
(p. 55).
nociones teóricas y
metodológicas “necesarias y
suficientes” para investigar la
complejidad de los procesos de
enseñanza y aprendizaje de
las matemáticas. (p. 56).
usadas ampliamente, como son, por ejemplo, las de concepción y significado. (p. 52) El EOS considera que la didáctica de la matemática debe identificar, no solo los fenómenos relativos a la ecología de los saberes matemáticos (objetivo principal de la TAD), o los correspondientes al diseño e implementación de ingenierías didácticas (objetivo principal de la TSD) sino también los relativos al aprendizaje de los alumnos (p. 57).
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