Sociedad Mexicana de

Ingeniera Geotcnica, A.C.

XXVI Reunin Nacional de Mecnica de Suelos e Ingeniera Geotcnica

Noviembre 14 a 16, 2012 Cancn, Quintana Roo

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERA GEOTCNICA A.C.

Incremento de esfuerzos producido por un terrapln Stress increment produced by an embankment load

Miguel MANICA1

1Estudiante de posgrado, Universidad Nacional Autnoma de Mxico.

RESUMEN: La determinacin del incremento de esfuerzo vertical en una masa de suelo debido a cargas superficiales es una labor fundamental en el clculo de asentamientos. En el caso de cargas producidas por la construccin de un terrapln, las soluciones disponibles consideran nicamente una porcin del mismo, y es necesaria la adecuada adicin o sustraccin de dichas porciones para tomar en cuenta el efecto del terrapln completo. El presente artculo describe la obtencin de las expresiones fcilmente programables que permiten la determinacin del incremento de esfuerzos (vertical, horizontal y cortante) producido por un terrapln completo, en cualquier punto del medio. Se presenta un ejemplo para ilustrar la aplicacin de las expresiones obtenidas, as como los resultados de un programa de computadora generado a partir de estas expresiones.

ABSTRACT: The vertical stress increment computation within a soil mass due to surface loads is a fundamental task for settlements calculations. In the case of embankment loads, the available solutions only consider a portion of the embankment and a suitable addition or subtraction of such portions is needed to take account the effect of the whole structure. This paper describes the obtainment of the easily programmable equations allowing the stress increment computation (vertical, horizontal and shear) due to the whole embankment, at any point of the half-space. An example is presented to illustrate the use of the equations as well as the results of a computer program built from such equations.

1 INTRODUCCIN 1.1 Antecedentes Debido a las condiciones de los proyectos para el desarrollo de infraestructura, la construccin de terraplenes sobre suelos blandos es cada vez ms comn. En este tipo de suelo, generalmente los estados lmite de servicio rigen el diseo debido a su gran compresibilidad, por lo que la estimacin de los asentamientos es una tarea fundamental en la proyeccin de estas estructuras. No es suficiente calcular los asentamientos en puntos caractersticos como en el centro y en las orillas del terrapln; es necesario determinarlos a lo largo de toda su seccin trasversal a fin de poder evaluar su comportamiento y estar en condiciones de tomar decisiones respecto a procedimientos constructivos o viabilidad de los proyectos.

En el clculo de asentamientos, es necesaria la determinacin del incremento de esfuerzos verticales en la masa de suelo. Diversos autores han recopilado soluciones obtenidas a partir de la teora de la elasticidad, tales como Jrgenson (1934), Gray (1936), Newmark (1940), Poulos y Davis (1974). En el caso de terraplenes, una de estas soluciones es la obtenida por Carothers, la cual considera una porcin del terrapln limitada en uno de sus extremos por un plano vertical. Analizando un punto

al centro del terrapln, basta con considerar una porcin que represente la mitad del mismo, y multiplicar el esfuerzo obtenido por dos para tomar en cuenta el efecto del terrapln completo. Para puntos diferentes del centro, o incluso fuera del terrapln, Osterberg (1957) utiliza el principio de superposicin, y mediante la correcta adicin y sustraccin de estas porciones, obtiene el incremento de esfuerzos verticales en cualquier punto del medio. Adems, para la determinacin de manera expedita del aporte de cada una de las porciones, presenta una carta de influencia (Figura 1). El procedimiento de Osterberg, as como su carta de influencia, han sido extensamente utilizados, incluso en la literatura moderna (Tan, 2000; Jones et al, 2008). Desafortunadamente, este procedimiento tiene el inconveniente de volverse tardado y laborioso si se requiere el anlisis en numerosos puntos.

1.2 Objetivos El objetivo de este trabajo es el proporcionar las expresiones que puedan ser fcilmente implementadas en una hoja de clculo, de tal forma que, una vez introducidas las dimensiones del terrapln y el peso especfico del material que lo conforma, nicamente sea necesario ir cambiando

2 Distribucin de esfuerzos producida por un terrapln sobre un medio elstico

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las coordenadas del punto bajo anlisis para obtener el incremento de esfuerzos (vertical, horizontal y cortante) producido por el terrapln completo en dicha posicin.

Figura 1. Carta de influencia para el clculo de esfuerzos verticales debido a una porcin de terrapln (Osterberg, 1957).

1.3 Alcances Se describe el desarrollo que permiti obtener las expresiones antes mencionadas, se resuelve un ejemplo para ilustrar la aplicacin de stas, y se presentan los resultados de un programa de computadora desarrollado en el lenguaje de programacin FORTRAN, con el fin de demostrar la versatilidad de las soluciones obtenidas. Adicionalmente se proporciona un enlace para descargar una hoja de clculo en EXCEL, donde se encuentran implementadas las ecuaciones presentadas.

2 DETERMINACIN DE LAS EXPRESIONES

Se parte de las ecuaciones obtenidas por Carothers (Gray, 1936) para el clculo del incremento de esfuerzos (vertical, horizontal y cortante) en el caso de deformacin plana mostrado en la Figura 2, en donde es analizada una porcin de un terrapln homogneo, sobre un medio semi-infinito, homogneo, istropo y linealmente elstico (ecuaciones 1, 2 y 3).

bx

rz

axp

22

z

(1)

0

122

x rrln

az2bx

rz

axp

(2)

2

2

2

xz rz

azp

(3)

donde: p = h; y = peso especfico del material que conforma el terrapln.

Figura 2. Solucin de Carothers para la distribucin de esfuerzos producida por una porcin de terrapln.

Es necesario poner los argumentos angulares y en funcin de las coordenadas del punto bajo anlisis y de la geometra del terrapln. Se considera el tringulo que forman los puntos ADB de la Figura 2, tal como se muestra en la Figura 3, donde:

zxbtan 1 (4)

zaxtan 1 (5)

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Figura 3. Determinacin del argumento angular , y de las distancias r1 y r2. Por lo tanto:

zxbtan9090' 1 (6)

zaxtan9090' 1 (7)

180'' (8)

180z

axtan90z

xbtan90 11 (9)

zaxtan

zxbtan 11 (10)

Se ponen tambin las distancias r2 y r1 en funcin de las coordenadas del punto bajo anlisis y de la geometra del terrapln. Por conveniencia r2 permanece elevado al cuadrado.

2222 zxbr (11)

2/1221 zaxr (12) De forma similar se determina y r0 analizando el tringulo formado por BDC de la Figura 2, con lo que se obtiene:

zxtan

zxatan 11 (13)

2/1220 zxr (14) Ahora todas las variables de las expresiones (1), (2) y (3) estn en funcin de la geometra del terrapln (a, b, h), del peso especfico del material que lo conforma () y de la posicin del punto bajo anlisis (x, z), pero todava se analiza nicamente una porcin del terrapln.

Considerando un terrapln con simetra, en la Figura 4 se ensamblan dos sistemas (sistema A y B) como el mostrado en la Figura 2.

Por simetra:

bbb BA (15)

aaa BA (16)

hhh BA (17)

zzz BA (18)

Para tener ambos sistemas en funcin de las mismas variables se considera lo siguiente:

xxA (19)

xb2xB (20)

Figura 4. Ensamble de las dos porciones de un terrapln De lo anterior, se obtienen los valores de , , r0 y r1 de ambos sistemas en funcin de las variables de inters (ecuaciones 21 a la 28). En la Figura 4 puede observarse que el valor de r2 es el mismo en ambos sistemas, por lo que no se hace distincin de este parmetro para cada uno de ellos (Ecuacin 29). Los argumentos angulares de las ecuaciones (21) a la (24) se obtienen directamente en radianes.

180zaxtan

zxbtan 11A

(21)

180zaxb2tan

zbxtan 11B

(22)

180zxtan

zxatan 11A

(23)

180zxb2tan

zxb2atan 11B

(24)

2/122A0 zxr (25)

2/122B0 zxb2r (26)

2/122A1 zaxr (27)

2/122B1 zaxb2r (28) 2222 zxbr (29)

Finalmente, basta con sumar el aporte de cada uno de los sistemas a partir de las expresiones (1), (2) y (3) tal como se hace en las ecuaciones (30), (31) y (32), las cuales estn referidas a la Figura 5.

4 Distribucin de esfuerzos producida por un terrapln sobre un medio elstico

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xbrz

axb2

bxrz

ax

h

22

BB

22

AA

z

(30)

B0

B122

BB

A0

A122

AA

x

rrln

az2xb

rz

axb2

rrln

az2bx

rz

ax

h

(31)

2

2

2

BAxz rz2

azh

(32)

Figura 5. Variables necesarias para el clculo del incremento de esfuerzos debajo de un terrapln. Con las expresiones (21) a la (32) es posible determinar las tres componentes de esfuerzo (z, x, xz) producidas por el terrapln completo, nicamente en funcin de su geometra, el material que lo conforma y la ubicacin del punto bajo anlisis.

3 EJEMPLO

A partir del terrapln mostrado en la Figura 6, se determina la magnitud del incremento de esfuerzo vertical (z) en el punto A. Se calculan los valores de A, B, A, B y r22 con las expresiones (21), (22), (23), (24) y (29) respectivamente.

rad927.0180

1.61.615.9tan

1.615.92.12tan

1

1

A

Figura 6. Geometra del terrapln y ubicacin del punto bajo anlisis.

rad519.01801.6

1.615.92.122tan

1.62.1215.9tan

1

1

B

rad519.0180

1.615.9tan

1.615.91.6tan

1

1

A

rad207.018010.6

15.92.122tan

1.615.92.1221.6tan

1

1

B

22222 m513.4610.615.92.12r Finalmente dichos valores son sustituidos en la expresin (30) para determinar el incremento de esfuerzo vertical:

kPa6.78

15.92.12513.461.6

1.6207.015.92.122519.0

2.1215.9513.461.6

1.6519.015.9927.0

518

z

z

4 PROGRAMACIN DE LAS EXPRESIONES

Con el fin de mostrar la versatilidad de las expresiones obtenidas, se gener una aplicacin en el lenguaje de programacin FORTRAN, la cual

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permite la determinacin del incremento de esfuerzo vertical en mltiples puntos simultneamente.

Se tom el ejemplo presentado en la Figura 6 y se consider como origen del sistema coordenado el extremo izquierdo del terrapln (tal como debe de hacerse al utilizar las expresiones deducidas en la seccin 2). Se determin el incremento de esfuerzo vertical desde x = -20.0 hasta x = 45.0 y desde z = 0.0 hasta z = 40.0 metros con separaciones en ambas direcciones de un metro. As, el programa determin el incremento de esfuerzo vertical en un poco ms de 2,700 puntos. Los resultados fueron procesados con un software para construir mapas de contornos. La Figura 7 muestra los resultados obtenidos. En dicha figura tambin aparece indicada la ubicacin del punto que fue analizado en el ejemplo de la seccin 3, donde puede observarse que en ambos clculos el resultado obtenido es el mismo.

Las ecuaciones obtenidas en el presente artculo, tambin fueron implementadas en una hoja de clculo de EXCEL, la cual puede descargarse en el siguiente enlace: http://miguelmanica.webs.com/descargas

Figura 7. Mapa de contorno de la distribucin del incremento de esfuerzos verticales debajo de un terrapln.

5 COMENTARIOS

Es importante notar que en las ecuaciones (21) a la (24), el valor de z no puede ser igual a cero, ya que conducira a una indeterminacin. Esto se resuelve simplemente asignndole a z un valor muy pequeo cercano a cero tal como 10-5 m. De igual forma a igual a cero conducira a una indeterminacin en las ecuaciones (30), (31) y (32). Aunque este problema puede ser resuelto de la misma forma que para z igual a cero, a igual a cero implicara una carga rectangular, por lo que no tendra sentido el utilizar las soluciones aqu presentadas. Tambin es importante resaltar que z

no puede tomar valores negativos, sin embargo, el valor de x s puede hacerlo para tomar en cuenta los puntos que estn a la izquierda del terrapln.

6 CONLUSIONES

A pesar de que a simple vista las expresiones aqu presentadas puedan parecer de tediosa aplicacin, es importante hacer notar que una vez implementadas en una hoja de clculo o en cualquier lenguaje de programacin, se dispondr de una herramienta que permita la rpida determinacin del incremento de esfuerzos en cualquier punto del medio, facilitando as el clculo de asentamientos.

REFERENCIAS

Gray, H. (1936). Stress distribution in elastic solids, Proceedings of the 1st International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Vol. 2, pp. 157-168.

Jones, C. A.; Stewart, D. I. and Danilewicz, C. J. (2008). Bridge distress caused by approach embankment settlement. Geotechnical Engineering, 161 (2), pp. 63-74.

Jrgenson, L. (1934). The applications of elasticity and plasticity to foundation problems, Journal of Boston Society of Civil Engineers, 21, 206.

Newmark, N. M. (1940). Stress distribution in soils, Proceedings of the Purdue Conference on Soil Mechanics and its Applications, pp. 295-303.

Osterberg J. O. (1957) Influence values for vertical stresses in a semi-infinite mass due to embankment loading. Proceedings of the 4th International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Vol. 1, pp. 393394.

Poulos, H. G. and Davis, E. H. (1974). Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics, 1st Edition, New York, John Wiley & Sons, Inc.

Tan, Y.C. & Gue, S.S. (2000) Embankment over Soft Clay Design and Construction Control, Seminar on Geotechnical Engineering, September 2000, Penang.