IMPLICACIONES

NOTABLESEXPOSITOR: I17A

CONDICIONAL E IMPLICACIÓN -I- ‘Si p, entonces q’ y ‘p implica q’ significan cosas distintas.

Cuando decimos ‘si p, entonces q’ estamos usando el lenguaje –el lenguaje de la lógica proposicional- para expresar que lo enunciado por p es condición suficiente de lo enunciado por q, es decir, para expresar una relación entre enunciados. En cambio, cuando decimos ‘p implica q’ estamos usando el metalenguaje del cálculo de proposiciones para expresar una relación no entre proposiciones, sino entre nombres de proposiciones, y en este sentido lo correcto sería decir ‘ ‘p’ implica ‘q’ ’.

Cuando decimos ‘si p entonces q’ estamos diciendo que si se da el hecho enunciado por el antecedente, entonces se dará el hecho enunciado por el consecuente. Cuando decimos ‘ ‘p’ implica ‘q’ ’ estamos diciendo que la verdad del antecedente implica la verdad del consecuente. Y de sobra sabemos que ‘verdad’ y ‘falsedad’ son predicados metalingüísticos: ellos están en relación a otras proposiciones de las que se predican.

CONDICIONAL E IMPLICACIÓN -II- Condicional e implicación son, por tanto nociones situadas en niveles distintos del

lenguaje. Hay sin embargo, entre uno y otro concepto, una relación que merece la pena señalar. Condicional e implicación se relacionan del siguiente modo: cuando un condicional es lógicamente verdadero, se puede decir que su antecedente implica su consecuente. Pero, esto sólo cuando el condicional sea lógicamente verdadero; y además, no se trata de que ambas expresiones -‘si p, entonces q’ (siendo esta expresión lógicamente verdadera) y ‘‘p’ implica ‘q’’ (o más claramente, el enunciado ‘p’ implica el enunciado ‘q’)- vengan a decir lo mismo, sino que la segunda constituye una paráfrasis meta-lógica de la primera, un comentario sobre la primera hecho desde el metalenguaje.

Así pues, y puesto que, por ejemplo: (pq)→q, es un esquema válido de inferencia, podemos decir que ‘pq’ implica ‘p’. En cambio, dado un condicional como: (pq)→r, que no es un tautología no podemos decir –no podemos decir con verdad- que el antecedente implique el consecuente. Decir, por tanto, el enunciado ‘No están el mañana ni el ayer escritos’ implica el segundo enunciado ‘No está el mañana escrito’ equivale a decir la expresión ‘Si no está el mañana ni el ayer escrito, entonces no está el mañana escrito’ es lógicamente verdadera. En ambos casos estamos usando un metalenguaje. No estamos, en cambio, usando un metalenguaje cuando decimos: ‘si no está el mañana ni el ayer escrito, entonces no está el mañana escrito’.

IMPLICACION DE FÓRMULAS

Una fórmula ‘A’ implica a ‘B’ si y solo si unidas en forma condicional, ‘A’ como antecedente y ‘B’ como consecuente, su matriz resulta tautológica (en este caso decimos que la inferencia es válida); si su matriz es consistente o contradictoria, se dice que ‘A’ no implica a ‘B’ (en este caso decimos que la inferencia es inválida).

Notación: A→B: se lee ‘A’ implica a ‘B’ Ejemplos de implicaciones: {(~AB)[(~AB)→C]}→C (ABC) →BD

LEYES DE IMPLICACIONES NOTABLES -I- Regla del Modus Ponendo Ponens (MP): A partir de

una fórmula condicional y de la afirmación de su antecedente, se obtiene su consecuente.

1. A→B 2. A___ B Ley del MP: [(p→q)p]→q Regla del Modus Tollendo Tollens (MT): A partir de

una fórmula y de la negación de su consecuente, se obtiene su consecuente.

1. A→B 2. ~B__ ~A Ley del MT: [(p→q)~q]→~p

LEYES DE IMPLICACIONES NOTABLES -II- Regla del Silogismo Disyuntivo (SD): A partir de una

formula disyuntiva y de la negación de una de sus componentes, se obtiene la otra componente.

1. AB 2. ~A_ B Ley del SD: [(pq) ~p ] → q Regla del Silogismo Hipotético (SH): A partir de dos

fórmulas condicionales, donde el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda, se obtiene una condicional formada por el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda.

1. A→B 2. B→C A→C Ley del SH: [(p→q)(q→r)] → (p→r)

LEYES DE IMPLICACIONES NOTABLES -III- Regla de Adición (Ad): A partir de una fórmula, se

obtiene la disyunción de esa fórmula con cualquier otra.

1. A__ AB Ley de Ad: [p→(pq)] Regla de Simplificación (Simpl.): A partir de la

conjunción de dos fórmulas, se obtiene una de ellas. 1. AB B Ley de Simpl: pq → q

LEYES DE IMPLICACIONES NOTABLES -IV-

Regla de Adjunción o Conjunción (Conj.): a partir de dos fórmulas, se obtiene la conjunción de ambas

1. A 2. B___ A&B Ley de Conj: pq → (pq)

LEYES DE IMPLICACIONES NOTABLES -V-

Regla del Dilema Constructivo Simple (DCS): a partir de dos fórmulas condicionales que tienen los mismos consecuentes y de la disyunción de los antecedentes se obtiene ese consecuente que se repite.

1. A→B

2. C→B

3. AC_

B

Ley de DCS: [(p→q)(r→q)(pr)] → q

Regla del Dilema Constructivo Compuesto (DCC): a partir de dos formulas condicionales y de la disyunción de sus antecedentes, se obtiene la disyunción de sus consecuentes.

1. A→B

2. C→D

3. AC_

BD Ley de DC: [(p→q)(r→s)(pr)] → (qs)

LEYES DE IMPLICACIONES NOTABLES -VI- Regla del dilema destructivo simple (DDS): a partir de dos fórmulas condicionales

que tienen los mismos antecedentes y de la disyunción de las negaciones de sus consecuentes, se obtiene la negación de ese antecedente que se repite.

1. A→B 2. A→C 3. ~B~C_ ~A Ley del DDS: [(p→q) (p→r) (~q~r)] → (~p) Regla del Dilema Destructivo Compuesto (DDC): a partir de dos fórmulas

condicionales y de la disyunción de las negaciones de sus consecuentes, se obtiene la disyunción de las negaciones de sus antecedentes.

1.A→B 2. C→D 3. ~B~D_ ~A~C Ley del DDC: [(p→q) (r→s) (~q~s)] → (~p~r)

FALACIAS FORMALES -I-

Las falacias son razonamientos inválidos, es decir, proposiciones con característica tabular contingente o contradictoria, o lo que es lo mismo no-tautológica. Las falacias que conoceremos a continuación son de la lógica de proposiciones, dejamos para otra oportunidad las de las lógicas de niveles superiores.

1. Falacia de afirmación del consecuente. Atenta contra el MP. Por ejemplo:

Enunciado: “Si soy penalista, entonces soy abogado. Soy abogado. Luego, soy penalista.”

Forma Lógica: (p→q) & q .→. p 2. Falacia de negación del antecedente. Atenta contra el

MT. Por ejemplo: Enunciado: “Si soy vocal, entonces soy magistrado. No soy

vocal. Luego, no soy magistrado.” Forma Lógica: (p→q) & ~p .→. ~q

FALACIAS FORMALES -II-

3. Falacia de cambio del antecedente de la conclusión. Atenta contra el SH. Por ejemplo:

Enunciado: “Si eres cardiólogo, entonces eres médico. Si eres médico, entonces eres profesional. Luego, si eres profesional, entonces eres cardiólogo”

Forma Lógica: [(p→q) (q→r)] → (r → p) 4. Falacia de medio concluyente o cadena falsa. Atenta

contra el SH. Por ejemplo: Enunciado: “Si te jubilas, recibirás una remuneración

mensual. Si te jubilas, serás parte de la población económicamente pasiva. Por lo tanto, si recibes una remuneración mensual, entonces serás parte de la población económicamente pasiva”

Forma lógica: [(p → q) (p → r)] → (q → r)

FALACIAS FORMALES -III-

5. Falacia de Afirmación de los extremos. Atenta con el SD. Por ejemplo:

Enunciado: “Eres poeta o eres músico. Eres poeta. Luego, no eres músico”

Forma lógica: [(pq) p] → ~q

FALACIAS FORMALES -IV-

6. Falacia de Dilema Constructivo. Atenta contra el DDC. Por ejemplo:

Enunciado: “Si eres fiscal, entonces acusas. Si eres juez, entonces juzgas. Acusas o juzgas. Luego, eres fiscal o eres juez.”

Forma Lógica: [(p→q) (r→s) (q s)] → (p r) 7. Falacia de Dilema Destructivo. Atenta contra el DDD.

Por ejemplo: Enunciado: “Si eres juez, entonces eres abogado. Si eres

pediatra, entonces eres médico. No eres juez o no eres pediatra. Luego, no eres abogado no eres médico.”

Forma Lógica: [(p→q) (r→s) (~p~r)] → (~q~s)

MÉTODO DE DEDUCCIÓN NATURAL (DN) También suele denominársele “inferencia natural” y

“cálculo secuencial”, y fue propuesto por Gentzen en 1934.

El método de la DN es una prueba formal empleada para determinar la validez de un argumento. Esta prueba está constituida por una sucesión de enunciados de los cuales algunos son premisas del argumento a ser validado, y otros son incorporados en el curso de la prueba luego de ser deducidos a través de la aplicación de dos tipos de reglas, a saber, las denominadas “reglas de inferencia” y las llamadas “regla de reemplazo”, de modo que el último enunciado de la serie viene a ser la conclusión de argumento que se pretende validar.

Este método se plantea como una alternativa al método de las tablas de verdad sobre todo cuando tratamos con más de 5 variables por ejemplo.

Pero éste método de DN no es un algoritmo, pues no contiene un conjunto predeterminado de pasos cuya observancia conduzca de modo necesario a la obtención de un objetivo.

EJEMPLO

Aplica el método de la deducción natural para saber si es posible concluir lo resaltado:

P1. p→(qr) P2. ~q ~r P3. s → ~p // p → s P. 4. ~(q r) P2 DM P. 5. ~p P1 y P4 MT P. 6. ~p s P5 Adición P. 7. p → s P6 Def. Condicional Scholz: { [p→(qr)] (~q ~r) (s → ~p) } → (p → s) ¡El razonamiento anterior es VÁLIDO!

EJERCICIOS

1. (qp) 2. q→(~sp) 3.(r~s) → ~t // z ~t

1. p (qr) 2. p→s 3. s→r // r

1. p→~q 2. r→q 3. ~r→s 4. (~p→~t) (~t → ~r) 5. p~p // s

1. (p↔q) 2. r 3.~(~qp)→~s // ~(r→s)

1. ~p ~(~r→~q) 2. ~s→~(~r~p) 3. ~(~r→~q)↔~p // sq

1. r→(~q→~p) 2. [~r(st)]→ (sq) 3. r [~(st)→~r] 4. ~r→~(sq) 5. ~pq // st

Demuestre que cada una de las 6 inferencias o razonamientos son válidos.

BIBLIOGRAFÍA

REA RAVELLO, Bernardo. (2003) Introducción a la Lógica. Lima: Mantaro.

DEAÑO, A. (2001) Introducción a la Lógica Formal. Madrid: Alianza Editorial.

GARCÍA, Óscar. (2007) Lógica. Lima: UNMSM.

CHÁVEZ NORIEGA, A. Introducción a la lógica. Lima: NORIEGA.