(x - 0.7) / a g x (x) = ( 0 . 8 - x ) / a

0

0.7 < x < 0.75 0.75 < x < 0.8 en otro caso

a. Determine la constante a.

b. Establezca la función generadora de momentos.

c. Calcule E(X) y V(X)

d. P(0,74 < X < 0.85) =?

6. Suponga que la duración de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua con función de densidad

Í l 0 0 / k 2 k>100 gx(k)=

[0 enotrocaso

a. Cuál es la probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo todavía funciona después de 150 horas de servicio?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que si se instalan tres de esos tubos en un conjunto, exactamente uno tenga que ser substituido después de 150 de horas servicio?

c. ¿Cuál es el número máximo de tubos que se pueden poner en un conjunto de modo que haya una probabilidad de 0.5 de que después de 150 horas de servicio funcionen todavía?

7. Una compañía generadora de energía eléctrica enfrenta la opción de construir una planta de reactor hidroeléctrico (RHE) o una planta de energía de combustibles fósiles (CF). La construcción de la planta de RHE constará US$300 por kilovatio; y la planta de CF, US$150 por kilovatio. Debido a la incertidumbre en cuanto a la disponibilidad de combustible y del impacto de reglamentos futuros sobre calidad de aire y agua, se desconoce el periodo de vida útil de operación de cada planta, pero se han estimado las siguientes probabilidades

Vida útil (años) 10 20 30 40

Probabilidad de la planta RHE .05 .25 .50 .20

Probabilidad de la planta CF .10 .50 .30 .10

Calcule la vida útil de operación esperada de cada planta, y la razón del costo de construcción respecto a la vida útil. ¿Que le sugieren los resultados obtenidos?

73

8. Cierta aleación se forma al combinar la mezcla fundida de dos metales. Su resultado contiene cierto porcentaje de plomo (X), el cual se comporta en forma aleatoria con función de densidad g x (x) = K * (1 - x2) 0 < x < 1

a. Para que valor de K, g x (x) es función de densidad.

b. Obtenga F x (x).

c. Sí el precio de venta del compuesto, V, depende del contenido de plomo y se vende según

Calcular el valor esperado de V, y su dispersión.

9. Sí X es una variable aleatoria con función de densidad: gx(x) = x / 2 0 < x < 2

a. Muestre que la función de densidad de Y = X2 es gY(y) = 1 / 4 0 < y < 4

b. Encuentre M x ( t ) , E(X), V(X)

c. Encuentre MY(t) , E(Y) , V(Y)

10. Un ingeniero encuentra que una medida del error X es una variable aleatoria con distribución en forma de curva de coseno.

ÍN cos(mx) - E < x < E g x ( x ) = ] n [0 en otro caso

a. Hallar el factor N de normalización, que hace de gx una función de densidad. b. Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que E/2. c. Cuál es la probabilidad de que X en valor absoluto sea mayor de E? d. Cuál es el valor esperado y la desviación estándar de X?

11. Las velocidades de moléculas de gas, V, se pueden modelar mediante la función de densidad gv(V) = 4 n (m / 2 n k T)3/2 v2 exp(-v2 (m / 2kT)) v > 0

Conocida como distribución de Maxwell, donde m es la masa de la molécula, k la constante de Boltzmann y T la temperatura absoluta.

a. Calcular la velocidad media de una molécula. b. La energía cinética esta dada por E= mv2/2. Determine la energía promedio para una partícula.

la función:

V = 12 + 5 * X Sí 1/3 < x < 2/3 2 + X en otro caso

74

c. Obtenga la función generadora de momentos de V y de E.

d. Deduzca a partir de la M(t) la varianza de las dos variables.

12. En un departamento de mercadotecnia se considera que la ganancia del diseño A puede estimarse, con bastante exactitud, en 3 millones de pesos. La ganancia de diseño B es mas difícil de evaluar. El departamento de mercadotecnia concluye que existe una probabilidad de 0.3 de que la ganancia del diseño sea de 7 millones de pesos, pero existe una probabilidad de 0.7 de que ésta sea de solo 2 millones de pesos. ¿Que diseño debe preferirse?

13. Suponga que una variable aleatoria X toma tres valores -1, 0, 1, con probabilidades 1/3, 1/2 y 1/6. Sea i. Y= 3x + 1 ii. Z = x2

a. Encuentre la función de distribución de Y y Z.

b. Calcule el valor esperado de cada una de las variables y su desviación estándar

c. ¿Cuales de las variables son simétricas alrededor del valor esperado?

d. Determine la función generadora de momentos de X, Y, y Z.

14. Se desea hacer algo para reducir el número de accidentes sucedidos en la ciudad, en los que están implicados automóviles y ciclistas. Actualmente, la distribución de probabilidad del número de tales accidentes por semana es la siguiente:

Número de accidentes: 0 1 2 3 4 5

Probabilidad: 0.05 0.10 0.20 0.40 0.15 0.10

El alcalde tiene dos alternativas de acción: puede instalar semáforos adicionales en las calles de la ciudad o puede aumentar el número de carriles para bicicleta. Las respectivas distribuciones de probabilidad revisadas de las dos opciones son las siguientes:

Número de accidentes: 0 1 2 3 4 5

Probabilidad(semáforos): 0.10 0.20 0.30 0.25 0.10 0.05

Probabilidad(carriles): 0.20 0.20 0.20 0.30 0.05 0.05

¿Que plan de acción debe aprobar el alcalde sí desea producir la mayor reducción posible en:

a. ¿El número esperado de accidentes por semana?

b. ¿La probabilidad de más de tres accidentes por semana?

c. ¿La probabilidad de tres o más accidentes por semana?

d. ¿La variación del número de accidentes por semana?.

75

15. Se supone que la temperatura, en grados Fahrenheit, a la que ocurre una determinada reacción es una variable aleatoria X con función de distribución:

0 x <170

F x ( x ) = (x -170)1/2 /2 170 < x 174 1 174 < x

Si Z es la temperatura a la que ocurre la reacción, expresada en grados Kelvin, Z = 5/9*X + 2311/9 Encuentre:

a. F z (z)

b. Determine g x (x), g z (z)

c. P(X> 172)

d. E (X), E(Z); V(X), V(Z)

e. Si z = 352, encuentre la probabilidad acumulada en grados Fahrenheit

16. La proporción de personas que contestan una cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria X que tiene la función de densidad:

a. Demuestre que g x (x) es una función de densidad.

b. Encuentre la probabilidad de que más del 25% y menos del 50% de las personas responde la encuesta.

c. Que porcentaje de personas se espera que contesten la encuesta; indique su variabilidad

d. Encuentre M(t).

17. En un sistema de comunicación por voz con 50 líneas:

a. ¿Que variables aleatorias pueden considerarse, de tipo discreto y continuo?

b. Sí la variable aleatoria es el número de líneas ocupadas en un momento en particular, ¿Cómo la caracterizaría?.

18. ¿Cómo caracterizaría la variable aleatoria número de ciclos de reloj de una computadora necesarios para finalizar un calculo aritmético?

en otro caso 0 < x < l

76

19. El espacio muestral de un experimento aleatorio v los valores de una determinada variable aleatoria asociada, se presentan a continuación:

Q = a b c d e f X = 0 0 1.5 1.5 2 3

a. Encuentre: f x (x), Fx(x), E(X), V(X) y M(t).

b. Calcular: P(X = 1.5), P(X>3), P(0.5 < X < 2.7), P(0 < X < 2), P(X=0 U X=2)

0 x < - 2 -2 <x <0

0 < x < 2 2 < x

0.2 20. Sea F x ( x ) H X 0.7

a. Encontrar: fx(x), E(X), V(X)

b. Hallar: a 3 , a 4 , M(t)

21. Suponga que un fabricante ha decidido exportar un cierto producto. La demanda anual (en miles de artículos) puede representarse por la función de densidad:

gD(d) = ( d - 30 ) / 450 30 < d < 60

a. ¿Sí se obtiene una utilidad neta de $50 por unidad, ¿cual es la utilidad neta total?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que queden en el inventario por lo menos 10.000 unidades al finalizar el año?

c. ¿Cuál es la demanda mínima en el 90% de los casos?

d. Encuentre la variación y la función generadora de momentos de D.

22. Un fabricante puede enviar 4.000 ó 12.000 cajas de bujías a una firma automovilística de Alemania. Si la función de probabilidad es:

fx(x) = 3/x x = 4, 12

Supongan que por cada caja vendida se obtiene una utilidad neta de $10.

a. ¿Cuál es la ganancia total esperada?

b. ¿Cuál es la desviación estándar de la ganancia total?

c. Obtener la función de distribución de la variable X.

d. Hallar la varianza y la función generadora de momentos de X.

77

23. Suponga la variable aleatoria X con función de probabilidad

f x (k)= C / 2k k = 0 1 ,2 ,3 ,4

a. Determine C, tal que f x (k) sea una función de probabilidad.

t>. Halle la función de distribución de X y su función generadora de momentos.

. Calcule: P ( 1 < X < 3 ) , P ( 1 < X ) , P ( X = 3 / X > 2 )

24. Suponga que la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X es:

a. Determine: P (X < 1.8 ), P (X > - 1.5 ), P (X < - 2 ), P (-1 < X < 1)

b. E(X), CTx , M(t).

25. El ancho del entre- hierro, en unidades codificadas, es una propiedad importante de una cabeza de grabación magnética. Sí el ancho es una variable aleatoria continua sobre el rango 0 < x < 2 con gx(x) = 0.5x.

a. Calcule la función de distribución acumulada del ancho del entre- hierro.

b. ¿Cuál es el valor de: E(X), a x ?

c. Determine k sí P(0.5 < X < k) = 0.3.

d. Encuentre P(X < 1, U, X > 0.7)

26. Sea la corriente eléctrica medida en miliamperios, utilizando un conductor delgado de cobre, considerada como una variable aleatoria con función de densidad:

gx(x) = 0.05 0 < x < 20

a. Calcule: P(X<10), P(5 < X < 12), P(X > 8).

b. Hallar Fx(x),M(t).

27. Sea V, la velocidad (en cm/seg.) de un objeto de un kilogramo de masa, de una variable aleatoria con distribución normal de parámetros cero y 25. Y sea W = 500 V2 su energía cinética. Calcular:

a. La probabilidad de que la energía sea menor que 200 ergios

b. La función generadora de momentos de W.

c. El valor esperado y la varianza de la energía.

0

Fx(x)= 0.25 1

x < - 2 - 2 < x < 2

2 < x

78

III. MODELOS PRO BAB ILÍSTI COS

Un modelo probabilístieo es una representación matemática deducida de un conjunto de supuestos con el doble propósito de estudiar los resultados de un experimento aleatorio y predecir su comportamiento futuro cuando se realiza bajo las mismas condiciones dadas inicialmente.

El modelo permite conocer la distribución de probabilidades de los valores que toma la variable aleatoria, de ahí que también se mencione con el nombre de Distribución de Probabilidad.

En el capítulo anterior se reconoció el comportamiento de una variable aleatoria a través de su funciones de probabilidad, densidad, distribución y generadora de momentos, además de los parámetros de tendencia, variabilidad, asimetría y curtosis. Tales funciones construidas corresponden propiamente al modelo probabilístieo.

En éste capítulo se presentan modelos que reciben un nombre especifico y son frecuentemente utilizados.

1. MODELOS DISCRETOS

Entre los modelos discretos se cuenta con: Uniforme, Bernoulli, Binomial, Geométrico, Binomial Negativo, Pascal, Hipergeométrico, Poisson y Multinomial, entre otros.

1.1 Modelo Uniforme

Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espacio de probabilidad Laplaciano, que indica el resultado del experimento aleatorio.

X = l,2,3,...n => f x (x) = — sucesos elementales equiprobables n

M(t)=E(e«) = t e « i

M ^ . „ - l i . - l f i i f i s . - i i - , . n X=1 n X=1 n 2 2

79

1 - 2 tx . . „ v . r\\ 1 ^ 2 n ( n + l ) ( 2 n + l ) (n + 1) (2n+l) M"(t) = — Xx 2 e , x => M"(t = 0) = — £ x 2 -n x=l n x=l 6n

V(x) = -(n + 1) (2n + l) ( n +1Y _ (n + 1) (n -1 ) _ n2 - 1 _ 2

12 - c

Ejemplo 7

Suponga el experimento lanzar un dado. Sea la variable aleatoria X: Número de puntos al lanzar el dado una vez.

_ , ^ [1/6 x = l ,2 ,3,4,5,6 f * ( x ) = <L t |u = 3.5 ct2 = 35 / 12 [0 en otro caso ^

Ejemplo 2

Se tienen cinco artículos uno de los cuales es defectuoso. Se observan aleatoriamente uno por uno hasta encontrar el defectuoso. Suponga que la variable aleatoria X indica la posición del artículo defectuoso entre los 5.

Entonces:

[1/5 x = 1,2,3,4,5 5 f x ( x ) = ln * M x ( t ) = Y e l A / 5 (i= 3 a2 = 2 !0 en otro caso x v ' ^ x=0 l

1.2 Ensayo de Bernoulli

Sea un experimento aleatorio en el cual pueden ocurrir dos resultados A y Ac, el experimento se repite una vez, la probabilidad de que ocurra A es p. Defínase la variable aleatoria X que indica ocurre el resultado A:

Í1 si A ocurre P(X = l) = p X = <¡ * ' 1 => P(X = x) = f x (x) = p x (1 - p)1_X X = 0,1

[O siAc ocurre P(X = 0) = 1 - P ; X

M(t) = ¿ e x t f x (x) = (1 - p) + e l p = q + e'p = M(t) x=0

80

M'(t) = Xxe t x px (1 - p)'"x => M'(t = 0) = p = E(X)

M"(t) = (pet)' = pet => M"(t = 0) = p = E(X2)

V(X) = p - p 2 = p ( l - p ) = pq = a 2

1.3 Modelo Binomial

Suponga que un ensayo de Bernoulli se repite n veces, entonces se presentan las siguientes características adicionales:

1. Cada vez que se repite un ensayo es independiente de las demás.

2. La probabilidad de que suceda el evento A, no cambia a lo largo del experimento (selección con repetición).

3. X: Variable aleatoria que indica el número de veces que ocurre el resultado A en los n ensayos del experimento.

4. f x (x ) = c \ n

v x / p x ( l - p ) n x x = 0,1,2,...n

Véanse a continuación, las gráficas correspondientes a cuatro variables aleatorias con distribución Binomial y diferentes parámetros.

A L G U N A S D I S T R I B U C I O N E S B I N O M I A L E S P A R A M E T R O S • 0.2,10 X 0.2,5

O ° 0 4,5 \ 4 + 0.5,10

0.5

0.4

fe 0.3

0 . 2

0.1 j? O

O

m -El •

i r S Cu • ¿ É3 Él

6 10

5. M(t) = t i l PX q"'X etx = ¿ í n ] QpY qn x = (Pé + q)° = M(t)

81

AYUDA. Para resolver la serie M(t), téngase en cuenta (A + B)n = £ x=o

n A x B n - x

6. M'(t) = npe' (pe' + q)n_1 => M'(t = 0) = nP = E(X)

7. M"(t) = npe'(pe' + q)n_1 + (n -1) npe' pe' (pe' + q)n_2

=> M"(t = 0) = nP + (n -1) n p2 = np (1 + (n -1 ) p) = E(X2)

8. V(X) = np np (1 + (n -1 ) p) - (np)2 = "y

= np (1 + (n -1 ) p - np) = np (1 - p) = npq = CT~

NOTACION: X ~ B ( n , P ) Indica que la variable X tiene distribución Binomial con parámetros n y P.

Ejemplo 3

El movimiento de la partícula permite definir la variable aleatoria X que indica el número de movimientos a la izquierda en las tres observaciones.

P(X=X) = vxy

0.5X 0.53"x X =0,1,2,3

E (X) = M'(t = 0) = 3 — = 1.5

V(X) = M"(t = 0) - [M'(t = 0)] 2 = 3 ^ * - = 0.75

Ejemplo 4

En una sucesión de 30 años interesa la ocurrencia o no de un caudal mayor que la capacidad de un vertedero, si las magnitudes del caudal son independientes año tras año y la probabilidad de una ocurrencia no cambia a través de los 30 años, suponiendo p = 0.02.

82

Solución:

X: Número de años en los cuales ocurren grandes inundaciones, en la sucesión de 30 años. X = 0, 1,2, 30

Durante un año cualquiera pueden ocurrir ó no, grandes inundaciones independientemente una de la otra, con probabilidad fija de 0.02.

Por lo tanto, X ~ B (n=30, P =0.02)

a. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos una gran inundación durante los 30 años, de un sistema propuesto de control de inundaciones?

P ( X > 1 ) = 1 - P ( X = 0) = 1 v0 ,

(0.02)° (0.98)30 0 = 0.4545

Si se considera, muy grande el riesgo de tener al menos una gran inundación, el ingeniero debe incrementar la capacidad de diseño, de modo que la magnitud de la inundación crítica sea sólo excedida con la probabilidad 0,01 en un año cualquiera. De ésta manera

P(X > 1) = 1 -'30^

v° y (0.01)° (0.99)30"0 = 0.26

NOTA. También se pueden utilizar Tablas de Probabilidades en las cuales se encuentra tabulados de la Distribución Binomial.

1.4 Distribución Hipergeométrica

Sea un experimento aleatorio, con las siguientes características:

1. N: tamaño de la población (Q) M: número de elementos con característica especial tipo I N-M: número de elementos con característica especial tipo II n: tamaño de la muestra

2. X: Indica el número de elementos tipo I en la muestra.

3. La muestra se elige sin restitución (sin sustitución)

4. P(X = x) = f x (x) = M

v * ,

N - M

v n - x ,

/'tvA N

vn y x = 0, l,...inf (n, M) M < N

83

, N , V , M . „ _ , . M N - N N - M 5. E(X) = n—- V(X)= n — * — — * — —

N N N - l N

NOTACION. X ~ H(N, M, n): la variable aleatoria X tiene distribución hipergeométrica con parámetros N, M, y n.

NOTA 1

Sí Y = X - 1 X y=0

y

N - M '

v n - l - y , ' N - 0

v n - l ,

AYUDA. Lo anterior con base a: 2 i=0

m ( ¿ \ t a + b

v m

Ejemplo 5

Se capturan M animales de la misma especie se les marca y se les suelta nuevamente. Cierto tiempo después se capturan n animales y se registra el número de animales marcados entre los n, X. Las probabilidades asociadas a X son una función de N. Suponga M = 4 animales marcados y después soltados, se toma una muestra de tres de la misma población. Calcular: a. P(X=1) b. Suponga N=8, N=9, N=10, N=l l , N=12. ¿Qué valor de N maximiza P(X= 1)?

Solución

Se distinguen dos poblaciones, los marcados y los no marcados, la muestra capturada es sin repetición, por lo tanto X ~ H(N, M=4, n=3)

V 'N-4Ì / V

K ,3-1 , / a. p(X=l)= V

b. Queda como ejercicio del lector.

NOTA 2. Se utiliza la Distribución Hipergeométrica para la Estimación del tamaño de las poblaciones de animales utilizando el método de marca - recaptura.

84

NOTA 3. La Distribución Hipergeométrica se aproxima a la distribución Binomial

LimH(N,M,n) = B(n,P), — = P M,N—>co N

1.5 Distribución Geométrica

Sea un experimento aleatorio que se repite hasta que ocurre cierto evento A y se caracteriza por

1. El experimento tiene 2 posibles resultados A, Ac

2. Las repeticiones son independientes

3. La probabilidad de A es P (no cambia en cada repetición)

4. El número de experimentos es variable.

5. X: Es la variable aleatoria que indica el número de ensayos hasta obtener el resultado A. 6. fx(x) = ( l - p r 1 p = qx-1p x = 1, 2...

7 . M(t) = £ e V " ' P = • E É(e t q) x = ^ 7 7 ^ 7 - 7 7 ^ = M(t) q*=i q ( l - e q ) ( 1 - q e )

8. M'(t = 0) =

9. M"(t) —

r = p"1 = E(X) (1-q)2

Pe '(l~' q)2 Pe' 2(1-6* q)(-e' q) ( l - e ' q /

>M"(t = 0) = pp 2 -pe '2pp(-q) p+2q 1 + q

10. V(x) = i + q - i = q 2 2

P P

NOTA 1. Sí Y es la variable que indica número de fracasos antes de obtener el único éxito

Y = 0,1,2, fY(y) = QyP ^ M y ( t ) = ¿ e V P = P¿„(e tQ)y =P| — 7 — y l Q e y x=o x=o

M'Y(t)= P ( Q e t > 2 MV(0) = - J ^ = g = E(X) (1-Qe1)- ( 1 - Q r P

85

M y ( t ) = PQe' ( l -qe ' ) -2PQe ' (1-ge1)2 (Qe1) d - Q e ' ) 4

m " x ( O ) = m : P

• V(Y) = M"(0)- M'(0)2 = ̂ = CT

NOTACION. X~ G(P): La variable aleatoria X tiene distribución Geométrica con parámetro P.

La figura muestra la forma de la Distribución Geométrica cuando P=0.1 y P=0.5.

DISTRIBUCION GEOMETRICA 0.5

0.4

0.3

fe 0.2

0.1

0

PROBABILIDAD(P)

_P 0 1

0.5

^ ^ • C D m ^ — : — —L---»*»^»*. JÍ.AJ4. A . ü . A ü . i i j ^

0 10 20 30V

NOTA 2. La probabilidad condicional P(X > s +1 / X > s )=P(X > t) indica que la variable X "No tiene memoria".

Ejemplo 6

Vuélvase a considerar el jugador de baloncesto quien lanza a la cesta con probabilidad de encestar igual a 0.8.

a. Encontrar la probabilidad de que tenga que realizar 6 lanzamientos para obtener su primera cesta.

b. Calcular el valor esperado y la desviación estándar.

Solución: Sea X: la variable aleatoria que indica el número de ensayos que debe hacer el jugador para

obtener su primera cesta.

X~ G (P=0.8) => fx(x) = 0.2X 1 * 0.8 x = 1, 2, 3,

86

a. P(X=6)=0.2 5 *0.8=0.000256

b. E(X) = 1/0.8 = 1.25 V(X) = 0.2 /0.8 2 = 0.3125 => a = 0.559

1.6 Distribución de Pascal

En el experimento anterior, suponga que pueden ocurrir K resultados A, en cierto número de repeticiones del experimento de Bernoulli, donde el último ensayo es A.

1. Sea X: La variable aleatoria que indica el número de ensayos necesarios para obtener K

resultados A. DISTRIBUCION DE PASCAL

2. f (n)= x v ' vk-ly p k q n _ k n: k, k+1, k+2,

0.5

0.4

0.3

n es el número de ensayos. fe 0.2

Obsérvense algunas de las formas de la distribución de Pascal en la figura de al lado. 0

p; • tOBAI 0 . 6 , 3

ILIDA D(P,k [ o

0 . 3 , 3 0 . 8 , 3

[

[ • b p

[

c 3

[

c LJ

i—C í.

[

12 15 18 21' X

3. M x ( t ) = £ e n=k

00 ( n - 1 tx

vk-ly Pk q""k

p ' - f n - 1 ^ ' - - k ~ t k

v^y z

n=k

P e k - i r v ( l -qe t ) k

pk e tkk(l - qel )K - pKelKk(l - qel )""' ( -qe l ) _ pK elKk txk _ k tk -k tk. 4. M x ( t )

( l -qe l ) 2 k ( l -qe l ) k + 1

M x (0 ) = ^ — = - = kp- 1 =E(X) P" +1 P

5 M . ( t ) k ^ V ^ d - q e ^ ^ - k p V ^ k + D d - q e ^ ^ - q e ' ) ( l - q e 1 ) 2 ^

kpke tkk(l - qe' )k |k( 1 - qe1) - (k +1) ( -qe l ) ] = kpke tk (k + qe1) ( l - q e 1 ) 2 ^ ~ ( l - q e 1 ) 0 ^

M"(0) =

87

6. V(X) = k'+kq

P

Ejemplo 7

En el caso del jugador de básquetbol, calcular: a. la probabilidad de que tenga que realizar 6 ensayos para encestar 3 veces, b. Encontrar el valor esperado, la varianza de X y la desviación estándar.

P(X=6)= ^ 5

v2y (0.8)3 (0.2)3= 0.04096

E(X)= —= 3.75 V(X) = 3 * °: 2 = 0.9375 => a = 0.96 0.8 0 .8

Ejemplo 8

Un estudiante responde un examen de escogencia múltiple (cinco alternativas de respuesta una de las cuales es correcta); hasta obtener cinco respuestas correctas, a. Cuál es la probabilidad de que las obtenga al terminar de contestar 25 preguntas? b. Calcular el valor esperado y la varianza de X.

Solución

Sea X la variable aleatoria: número de ensayos necesarios para obtener 5 respuestas correctas

P(X=25)= í24l 5 f4 l , ,5 ) 20

0.0392

5 5*0.8 E(X)= =25 V(X)= T=100 => O=10 0.2 (0.2)

NOTA 1. DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA

La distribución Pascal se denomina Binomial negativa cuando se presenta así:

Sea X la variable aleatoria, número de fracasos, r, ocurridos antes del k-ésimo éxito, con función de probabilidad

88

fx 00 = ^r + k -1^ r k fr + k-Ú

v 1 y V K 1 y ( l - p ) r p k k = 1,2,... r = 0; i ,2, .

n = r + k E(X) = — V ( X ) = k q

P P"

NOTA 2. El nombre de Binomial negativa es debido a:

I f x ( x ) = l = > l = I f x+k-lA

k x - k k . . , - k A q . - k p q =p (i-q) = ( - - - )

P P x=0 V /

El exponente - k determina el nombre de Binomial negativa.

NOTA 3. Con base en la Nota 1:

í i r+k-1 Mx(t)=E(e t x)=E

r=0V 4 J

k x„tx Tik V" p q e =P X í i r+k-1

r=(A 1 ) (qe l)x

teniendo en cuenta que í~k1 Y fr+k-l> =(-D r =>

v r , v. r V

í i \

MX(T)=PK I (-qe t)x=Pk(l-qe t)"k

x=0v X ^

00 r ^

00 a

AYUDA. I (-B)r= (1-B)a

r=0

Así mismo, se puede escribir Mx(t)=M(t)= n 1 (l-p)e

VP P y

- k l-(l-p)er

Ejemplo 9

Otra alternativa de respuesta en el ejercicio 10, el examen de escogencia múltiple, puede ser como sigue:

89

Sea Y la variable aleatoria: número de preguntas mal contestadas antes de la quinta respondida correctamente.

P(Y=20) , 20 ,

Y L U

0.0392 haciendo x - f y+k-1

V y y

E(Y)= 5*—= 20 V(X)= 5 * - ^ = 100 0.2 0.2

NOTA 4. La Binomial negativa es una alternativa de la Poisson cuando la frecuencia de ocurrencia no es constante en el tiempo ó el espacio.

Se usa para modelar estadísticas de accidentes, datos sicológicos, compras del consumidor y otras situaciones similares. Se denota la variable aleatoria X como el número de ocurrencias en el tiempo ó el espacio cuando la frecuencia de esta no es constante.

NOTA 5. La distribución Binomial negativa también se usa para el muestreo Binomial inverso. Sea una proporción P de individuos en una población con cierta característica (especial). Si los individuos son muestreados hasta completar r con la característica deseada, entonces el número de individuos que sobrepasan los k observados tienen la distribución comentada.

NOTA 6. Una variable aleatoria X con distribución Binomial negativa es referida a tiempos de espera. Representa cuan largas son las esperas para obtener k sucesos (en términos de fracasos)

NOTA 7. La distribución Binomial Negativa, como la Poisson, tiene enteros no negativos como puntos de masa, de ahí que es potencialmente usada como modelo para experimentos aleatorios donde un conteo con algún orden es de interés. Por ejemplo, en salud (estadísticas de pacientes), en comunicaciones, etc.

1.7 Distribución de Poisson

Sea un experimento aleatorio con las siguientes características:

1. Los eventos que ocurren en un Intervalo de Tiempo (o en una Región del Espacio) son independientes de los que ocurren en otro Intervalo de Tiempo (o Región del Espacio).

2. La probabilidad de que exactamente ocurra un evento en un Intervalo de Tiempo (o Región del Espacio) es proporcional a la longitud del Intervalo de Tiempo (Región del Espacio).

P(Un evento por Intervalo de Tiempo)= Ak + O(k), O(k) es una función cualquiera de k y K una constante positiva tal que para cualquier intervalo de tiempo (Región del Espacio) de longitud K

lim 0 (K) = 0 k->0

3. La probabilidad de que ocurra más de un evento en un mismo Intervalo de Tiempo (Región del Espacio) es despreciable.

P (Dos ó más eventos por Intervalo de Tiempo)= 0(k) lim 0 (K) = 0 k->0

4. X : Es la variable aleatoria que indica el número de sucesos en un Intervalo de Tiempo (ó Región del Espacio) t.

5. f x { x ) = e u { l í k ) x / ú x = 0 , l , 2 . . .

Se pueden identificar algunas formas de la distribución estudiada en la figura.

A L G U N A S D I S T R I B U C I O N E S P O I S S O N

6. M(t) = £ e t x e ^ k a k ) x / x ! = e ^ k £ = „ 1 e 1

x=o x=o

00 Q X

Z " _ a r — e x-

7. M'(t) = e^k(et -1) (Àke1) => M'(t = 0) = Xk = E(X)

8. M"(t) = Xke1 e ^ J - v + ^ ^ ( e ' - i ) À k e t ^ M » ( 0 ) = + ( ? l k )2 = E ( x ) 2

9. V(X) = ?,k + (Àk)2-(?ik)2=^k = CT2

NOTACION. X ~ P(À,): La variable aleatoria X tiene distribución Poisson con parámetro X, k=l.

NOTA 1. También se pueden utilizar Tablas de Probabilidades en las cuales se encuentran tabulados de la Distribución Poisson.

Eiemplo 10

Un conmutador de teléfonos maneja 300 llamadas en promedio por hora y el tablero puede hacer a lo más 10 conexiones por minuto. Estime la probabilidad de que el tablero esté sobrecargado en un momento dado.

Solución

Y, : número de llamadas por hora. Yj ~ P (A,! = 300) k= 1

Y2 : número de llamadas por minuto. Y2 ~ P Ck2 = 5) k= 1 / 60

10 a - S

Entonces P(Y2>10) = 1 - P(Y2 < 10) = 1 - V — — = 1 - 0,986 = 0.014 To y:

NOTA 2. El modelo Poisson se acomoda bien para la distribución de eventos raros que ocurren infrecuentemente en el espacio, unidad de área, volumen, tiempo, u otra dimensión.

1.8 Aproximación de la Binomial a la Poisson

Suponga que se desea encontrar la función de probabilidad de la variable aleatoria X que indica número de accidentes ocurridos en una semana.

El período de una semana se puede dividir en n sub - intervalos, cada uno tan pequeño que podría ocurrir en él a lo más un accidente. Entonces:

- La probabilidad de que ocurra un accidente en un sub - intervalo es P

- La probabilidad de que no ocurra ningún accidente en un sub - intervalo es 1 - P

- La probabilidad de más de un accidente en un sub - intervalo es cero.

Haciendo X = np

Lim n -» oo

/ \ n P x ( l - p ) n - x = Lim ^ 1 ) - ( n " X + 1 )

n -> oo x!

^ L i m n ( n - l ) . . . ( n - x + l ) f i ^ Í V

n —» oo n x

ii / , x » x ;A _ i A • ¡5^ *)*(. /V*1_" C

x! \ x!'

í i > - X

AYUDA. Recuerde Lim 1 - - -» e_>' n - > o o

l n j

92

Ejemplo 7 7

El 0.005% de la población de un país muere debido a cierta clase de accidentes cada año. Una compañía de seguros tiene 10.000 asegurados contra este tipo de accidente. Encuentre la probabilidad de que la compañía deba pagar más de 3 pólizas en un año dado.

Solución: Sea Y: número de accidentes cada año.

Se puede verificar que la variable Y es Binomial con parámetros n=10.000 y P =.00005, entonces se aproxima a la Poisson así:

X = n * p = 10.000 *0.00005 = 0.5 P(Y > 3) = 1 - P(Y < 3) = 1 - 0.998 = 0.002

2. MODELOS DE VARIABLE CONTINUA

Así como se observó en el caso discreto, existen para el caso continuo un sin número de modelos probabilísticos de los cuales se estudiaran aquí los mas importantes con nombre propio, tales son las distribuciones: Uniforme, Normal, Gamma, Beta, Exponencial, Weibull, entre otros.

2.1 Distribución Uniforme (Rectangular)

Sea un experimento aleatorio y X la variable aleatoria que indica la selección de un punto en el intervalo real [a, b], caracterizada por:

flOOOO) P(Y = y) = , (0.00005)y (0.9999) n-y >e"0'5 (0.5)y / y!

a < X < b 1- g x ( x ) H b _ a

0 en otro caso

0 X < b

2. Fx(x)=-x-a

a < x < b b-a

b < X

93

El valor esperado también se puede calcular por definición así:

E(X)= [ k x —•— dx = • ^ X

J a b-a b-a 2

b b 2 - a 2 (a-b)(a+b) a+b

a 2(b-a) 2(a-b) ~ 2

c , v 2 s fb 2 1 E(X )= i x "x = J a b -a 3 (b-a)

b b 3 - a 3 ( b - a ) ( b 2 + a b + a 2 ) b 2 +ab+a 2

3 (b-a) 3 (b-a)

4. V(X)= b 2 +ab+a 2 (a+b)2 4 b 2 + 4 a b + 4 a 2 - 3 a 2 - 3 b 6ab b 2 - 2 a b + a 2 ( b - a ) 2

12 12 12

Ejemplo 12

El tiempo en minutos requerido por una persona para recorrer el camino de su hogar a una estación de trenes es un fenómeno aleatorio que obedece a una distribución uniforme en [20 , 25],

a. Cuál es la probabilidad de que tome el tren que sale a las 7:28 de la mañana, sí la persona sale de su hogar a las 7:05 A.M.

b. ¿Cuál es E(X)?

c. ¿Cuál es V(X)?

Solución:

Sea la variable aleatoria X que indica el tiempo requerido para ir de la casa a la estación.

x<25

8x00=

1 20<x< 25

5 0 en otro caso

Fx00=

o x - 20

25- 20

1

20<x< 25

25 <x

a. P(X < 23) = 23 - 2 0 = Q 6

94

En el 60% de los días la persona llega a la estación a las 7.23 a.m. ó antes, habiendo salido a las 7.05.

b. E(X)=>——=>———— = 22.5 2 2

Se espera que la persona se demore en ir de su casa a la estación 22.5 minutos.

c. V(X)= ( 2 5i 2

2 0 ) =2.08 => c(x) = ,/V(X) = y¡2m = 1.4422

La variación del tiempo que gasta la persona a la estación respecto al promedio es de 1.4422 minutos.

Ejemplo 13

El valor de una división de la escala de un aparato de medida es 0.2. La indicación del aparato se redondea hasta la división entera próxima. Hallar la probabilidad de que al leer se cometa un error.

a. Menor que 0.04 b. Mayor que 0.07

Solución: Sea X la variable aleatoria que indica el resultado de la medición

0 x < 0

— 0 < x < 0.2 0.2 1 x > 0.2

gx(

x

)= 0<x< 0.2

1 0.2 o En otro caso

FxW=-

a. La figura de la derecha muestra el planteamiento del problema, el cual en símbolos se puede escribir:

P(X<0.04)+P( 0.16< X<0.2 )

- 0-04 + 1 . M = O . 4 0.2 0 . 2

La probabilidad de cometer un error de lectura en el aparato de medida menor a 0.04 centésimas es igual a 0.4

6 5

4 3

2

1 0

DISTRIBUCION UNIFORME

Intervalo 0 , 0 . 2

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 X

b. P(0.07< X < 0.13) = P ( X< 0.13 ) - P ( X < 0.07 ) = 0.65 - 0.35 = 0.3 En el 30 % de las lecturas se puede cometer un error mayor a 0.07.