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TECNOLÓGICei.~!.~.e.~!~ DE MONTERREY®
Campus Ciudad de México
Escuela de Graduados en Ingeniería y Arquitectura
Maestría en Ciencias de Ingeniería Industrial
"Modelo de control conjunto de corte e inventario para
rollos de medida variables con demanda probabilística y
tasa de servicio objetivo"
Autor
Ing. Juan Carlos Cantú Ramírez
Supervisor de Tesis
Dr. Eric Porras Musalem
13/11/2012
Resumen
El cutting stock es un problema de optimización de corte. Éste consiste en encontrar la
mejor manera en que se puede cortar un conjunto de objetos grandes en otros más
pequeños de la manera más eficiente posible. El problema tiene diversas aplicaciones en
la industria de la madera, el acero, el papel, el cartón, los textiles y los envases flexibles 1•
En estas industrias por otro lado, es conveniente contar con un inventario de seguridad
para garantizar un nivel de servicio respecto a los objetos demandados. En sistemas de
inventarios, la tasa de servicio es el porcentaje de la demanda del cliente que es cubierta
sin órdenes atrasadas o backorders ni ventas perdidas (Silver, 1998). Este indicador sirve
para evaluar el nivel de servicio al cliente y cobra relevancia en un entorno competitivo en
que se demanda una mayor respuesta y flexibilidad a todos los participantes dentro de
una cadena de distribución.
Considerando estos dos aspectos comunes a muchas industrias, este trabajo parte de un
tipo de distribución con personalización diferida2 enfocado en rollos de envase flexible,
donde materia prima (rollos de stock) se utiliza para satisfacer la demanda de producto
terminado (rollos finales) a intervalos de tiempo determinados. El objetivo es por tanto
establecer un modelo de control conjunto de corte e inventario para a) calcular un
inventario de seguridad3 de rollos de stock con base en una tasa de servicio objetivo para
cubrir una demanda variable de rollos finales a través de su corte cuando es necesario y
b) evaluar el desempeño del sistema considerando sus costos asociados (costo de corte,
costo de merma y costo del inventario de seguridad) así corno la tasa de servicio
resultante.
1 Se llama envase flexible al que está formado por una o varias láminas de material polimérico sellado. El envase flexible es ligero y ·hermético por lo que es ideal para la industria alimentaria. Se utiliza por ejemplo para bolsas de snacks (patatas fritas, frutos secos, etc.), sacos, paquetes de alimentación seca, pescado congelado y un largo etcétera de productos. 2 Personalización diferida ó form postponement es una estructura de cadena de suministro híbrida que combina make-to-stock con make-to-order. La etapa de make-to-stock se dedica a crear componentes genéricos y es seguida por una etapa make-to-order dedicada a personalizar el producto ofertado de acuerdo con las caracterlsticas de demanda del mercado · 3 Inventario de seguridad o safety stock en inglés es la cantidad de inventario conservada a la mano o en promedio para compensar la falta de certeza en la demanda y en la oferta en el corto plazo (Silver, 1998)
3
Índice de contenido
Introducción .................................................................................................................... 7
1.1 Antecedentes .......................................................................................................... 7
1.1.1 Cadenas de suministro para bienes de consumo ........................................... 7
1.1.2 Caracteristicas de los sistemas de inventario ................................... .. ............ 8
1.1.3 Administración de inventarios con demanda probabilistica .......................... 10
1.1.4 Cutting stock .................................................................................................. 11
1.1.5 Cutting stock para rollos ........................................ ...... .... ...... .. ................ ..... 12
1.1.6 Motivación ..................................................................................................... 13
1.2 Planteamiento del problema .......... ............ .. .................. .. ........ .. ...... .. ...... .... ......... 14
1.3 Justificación del problema .................................................................................... 15
1.4 Definición del objetivo ........................................................................................... 16
1.5 Alcance de la investigación ................................ .............. .... .. ........ .. .... .. .............. 16
1.5.1 Definición de términos ................................................................................... 17
1.6 Resultados esperados .......................................................................................... 18
2 Marco teórico ................................................................................................................ 19
2.1 Administración de inventarios con demanda probabilística ................................. 19
2.1.1 Importancia del producto ...... · ......................................................................... 19
2.1.2 Tipo de revisión del inventario ....................................................................... 19
2.1.3 Forma de la politica de inventarios ............................................................... 20
2.1.4 Objetivos del sistema .................................................................................... 21
2.1.5 Tipo de distribución de demanda .................................................................. 24
2.1.6 Otros conceptos de inventario ....................................................................... 25
2.2 Caracterlsticas de los inventarios de rollos de envase flexible ............................ 26
2.3 Cutting stock ......................................................................................................... 27
2.3.1 Clasificación de los problemas de cutting stock ............................................ 27
2.3.2 Formulación de Gomory y Gilmore .......... .. ................................................... 28
4
2.3.3 Formulación con más de un objeto grande ................................................... 30
2.3.4 Inclusión de costo del ajuste ......................................................................... 31
2.3.5 Complejidad del problema ............................................................................. 31
2.4 Análisis critico ....................................................................................................... 32
2.5 Tabla Comparativa ............................................................................................... 33
3 Planteamiento de la metodologla ................................................................................ 34
3.1 Uso de cutting stock para generar una demanda de rollos de stock a partir de
una demanda de rollos finales ......................................................................................... 35
3.2 Modelación de la demanda de rollos de stock en periodo de ajuste y cálculo de
parámetros de inventario ................................................................................................. 37
3.3 Evaluación del desempeno del sistema utilizando como entrada los parámetros
de inventario de ajuste y la demanda de rollos de stock en periodo de simulación ....... 40
3.4 Parámetros del modelo ......................................................................................... 41
3. 5 Diseno de pruebas experimentales ...................................................................... 42
3.6 Herramienta computacional ............. ........... ......... ...................................... ........... 43
4 Caso de estudio ........ .... ........ .. ......... .. ...... .. .................. .. ... ........... .... ...... .. .. .................. 44
4.1 Descripción del caso .... : .......... .. ......... .................. ........... ................ .. .................... 44
4.1.1 Entradas del modelo .................. .. ........ .... ...... .. .................. ................ .... ........ 45
4.1.2 Consideraciones adicionales ........................... .. ........ .. .... .. ....... .. ................... 46
4.2 Resultados de las pruebas ................................................................................... 48
5 Interpretación y análisis de resultados , ..... : ................................................................. 49
5.1 Desempeno de cutting stock ................................................................................ 49
5.2 Análisis de demandas de rollos de stock ............................................................. 50
5.3 Desempeno de sistema de inventarios ................................................................ 51
5.3.1 Disparos del punto de reorden ...................................................................... 53
5.3,2 Tasa de servicio simulada .............................................................. , .............. 53
5.4 Costo total del sistema ......................................................................................... 54
6 Conclusiones ............................................................................................................... 57
5
6.1 Ventajas y Limitaciones ......................... ......... ......... ........... ......... ......................... 57
6.2 Trabajo futuro ....................................................................................................... 58
7 Bibliografia ................................................................................................................... 60
8 Apéndice ......... ......... ........................................................................... ......... ................ 63
6
1 Introducción
1.1 Antecedentes
1.1.1 Cadenas de suministro para bienes de consumo
Las cadenas de suministro para bienes de consumo han tenido que volverse más
eficientes dado el entorno competitivo que viven las empresas h1)y en día. Los clientes
demandan una variedad cada vez más grande de productos que a la vez tienen ciclos de
vida cada vez más cortos. Esto implica que hay una creciente necesidad de flexibilidad en
términos de volumen y de tiempos de respuesta a lo largo de toda la cadena de
suministro. En estos casos la competitividad ha migrado de basarse únicamente en bajos
costos de manufactura a una competitividad basada en tiempo y se,rvicio (Heikkila, 2002).
En las últimas décadas metodologías suaves como manufactura esbelta4, han hecho
posible disminuir los tiempos de respuesta en la producción y distribución. Gracias a su
aplicación un número importante de cadenas de suministro se han simplificado y vuelto
más eficientes. Esto ha tenido como consecuencia poder cubrir las demandas de los
mercados en términos de tiempo y cantidad.
A pesar de estos buenos resultados el mundo está lejos de hacer esbeltas sus
operaciones de manufactura. Un censo de industrias manufactureras de EU en el 2007
muestra que a pesar de que casi el 70% de las empresas han adoptado la manufactura
esbelta como metodología de mejora, sólo un 26.1 % considera tener el estatus de World
Class Manufacturing5 (lndustryWeek Manufacturing Performance lnstitute, 2007). Además
de esto la administración de cadenas de suministro enfrenta distintos obstáculos que
distorsionan dicho concepto como son (Branch, 2008):
4 La manufactura esbelta es una filosofía basada en el sistema de producción Toyota que surge en Japón en la década de los 70's y que tiene como eje la reducción de desperdicios como lo son tiempo e inventario · 5 World C/ass Manufacturing es una extensión del sistema de producción Toyota enfocada a hacer más universales sus conceptos
7
• Abastecimiento de mercados externos: La importación de productos genera beneficios
económicos al permitir encontrar fuentes de abastecimiento más competitivas en otros
lugares del mundo. Sin embargo, también genera tiempos de respuesta largos
principalmente derivados de los tiempos de transporte. Así mismo el gran número de
actores involucrados en el traslado de bienes hace poco predecibles los tiempos de
respuesta.
• Falta de competencia: Derivada de mercados con pocos productores, generalmente
de productos con demanda modesta y mucha variabilidad en sus características.
Estas imperfecciones en los mercados tienen como consecuencia tiempo perdido,
clasificado en la literatura de manufactura esbelta como desperdici1). Más aún, tiempos de
abastecimiento largos y variables generan la necesidad de mantener inventarios para
poder ofrecer una respuesta ágil y confiable a la demanda de los mercados que así lo
requieren. La administración del inventario es en estos casos un mal necesario, que
puede convertirse en una ventaja competitiva cuando se maneja eficientemente.
1.1.2 Características de los sistemas de inventario
La administración de inventario tiene el objetivo de hacer un balance entre las
necesidades de inventario y la demanda de producto con un costo mínimo asociado con
el control de dicho sistema. El inventario juega principalmente dos roles (Chopra & Meindl,
2001):
a) Incrementar la cantidad que se puede satisfacer teniendo un producto listo cuando
un cliente lo busca.
b) Reducir costos permitiendo explotar economías de escala que pueden existir
· durante la producción y la distribución.
Chopra y Meindl clasifica los tipos. de inventario como materia prima, producto en proceso
(conocida como WIP por su abreviación en inglés de work in process) y producto
terminado de acuerdo con su estado en una empresa distribuidora, productora o de punto
de venta. También clasifican los inventarios en 3 tipos de acuerdo con su demanda:
a) Inventario cíclico: Es la cantidad promedio de inventario nt3cesaria para satisfacer
la demanda de un producto entre los pedidos fealizados a un proveedor. Depende
de la.s restricciones de los proveedores en cuanto a la demanda misma, venta
mínima, descuentos por volumen, etc.
8
b) Inventario de seguridad: Es la cantidad de inventario necesario para amortiguar
demandas que exceden las expectativas. Atiende especific:amente la variabilidad
de la demanda.
c) Inventario estacional: Es inventario que se acumula para atender variaciones
predecibles en el tiempo. En periodos de baja demanda es común que se acumule
inventario para atender periodos de alta demanda en que no:> será posible producir
todo lo demandado.
Los costos asociados con un sistema de inventario son los siguientes:
1. Costo unitario del producto: Se refiere al costo unitario de compra para reabastecer el
inventario.
2. Costo de orden: Son todos los costos involucrados en emitir un pedido de
reabastecimiento como son los recursos humanos involucrados en el proceso, el
teléfono, formas, documentos, conexión de internet, mensajería, etc.
3. Costo de mantener inventario: Incluye los costos de oportunidad de tener el dinero de
inventario invertido en otro lado (por ejemplo el banco) así como todos los gastos
incluidos en el almacén, producto deteriorado, dañado, obsoleto así como de seguros
e impuestos.
4. Costo de falta de servicio: Costos por incurrir en inventario adicional para evitar caer
en desabasto (stockouf) o los costos vinculados con el desabasto.
5. Costo del sistema de control: Son los costos relacionados con la operación de un
sistema de inventarios en particular. En general se refieren a la administración de los
datos de inventario en un sistema informático.
Otros factores clave relacionados con el inventario son:
1. Tiempo de reabastecimiento (rep/enishment /ead time): Es el tiempo que pasa desde
que se emite una orden hasta que se encuentra lista para satisfacer la demanda de
los clientes.
2 .. Patrones de demanda: dependen del lugar en el ciclo de vida que ocupa un producto
(crecimiento, madurez, saturación), de la estacionalidad de un producto y del tipo de
demanda que se tenga (determinfstica o probabilística).
e Ocasión en la cual la cantidad en inventario de un producto baja a un nivel cero
9
1.1.3 Administración de inventarios con demanda probabilística
La administración de inventarios con patrones de demanda prob;3bilística es adecuada
para los escenarios de distribución y producción donde la demanda es incierta. Asimismo,
son útiles cuando se desea considerar los costos del desabasto de un producto (Silver,
1998). Silver menciona 3 preguntas clave que un sistema de control de inventario con
demanda probabilística debe responder: 1) Qué tan frecuentemente se debe revisar los
estatus de los inventarios; 2) cuándo se debe colocar una orden de reabastecimiento, y 3)
de qué tamano debe ser la orden de reabastecimiento.
En estos modelos las respuestas a estas 3 preguntas son más diflciles de obtener que en
un modelo determinlstico. Para dar respuesta a la primera pregunta se necesita evaluar el
impacto económico de los recursos necesarios (humanos o computacionales). La
segunda pregunta consiste en ponderar las ventajas y desventajas de: ordenar con
mucha anticipación y por lo tanto caer en costos de inventario excesivos y por el otro lado
ordenar con poca antelación e incurrir en costos de proveer un servicio inadecuado al
cliente. La tercera pregunta consiste en ponderar las ventajas y desventajas de costo de
inventario contra servicio pero interactúa con la segunda pregunta (cuando colocar la
orden) (Silver, 1998).
Por último, se debe establecer una polltica de inventario para su administración y Silver
sugiere las siguientes preguntas para lograrlo:
1. ¿Qué tan importante es el producto?
2 .. ¿Se debe revisar periódicamente o continuamente?
3. ¿Qué forma debe tomar la polltica de inventarios?
a. Sistema de revisión continua con punto de reorden (reorder point) y cantidad a
ordenar (s, <l).
b. Sistema de revisión continua con punto de reorden y con nivel objetivo de
inventario (arder up to leve/) (s, .s).
c. Sistema de revisión periódica con nivel objetivo de inventario (R, .s).
10
d. Sistema de revisión periódica con punto de reorden y con nivel objetivo de
inventario (R, .s:, S).
4. ¿Qué costos específicos u objetivos de servicio se deben de buscar?
a. Inventarios de seguridad establecidos por métodos simples.
b. Inventarios de seguridad para minimizar costos.
c. Inventarios de seguridad basados en servicio al cliente.
d. Inventarios de seguridad basados en consideraciones a1iregadas.
1.1.4 Cutting stock
El cutting stock, también conocido como optimización de corte, es un problema
geométrico que ha sido investigado por más de 40 años. Puede referirse a cortes
unidimensionales como de tablones, tubos (Figura 7: Representación gráfica del
cutting stock unidimensional), bidimensionales como en corte de rectángulos o
cuadrados en un lienzo de papel, vidrio o metal (Figura 8: Representación gráfica
del cutting stock bidimensional) y tridimensionales (Figura 9: Representación
gráfica del cutting stock tridimensional). En términos muy generales aborda el
problema de cortar materia prima de dimensiones especificas (objetos grandes)
para satisfacer una demanda de dimensiones menores (objetos chicos) de la
manera más eficiente posible.
La importancia del problema del cutting stock radica en que tiene aplicaciones en varias
industrias como la del papel, metal, textiles, vidrio, madera y plastico. Aún más, en su
formulación más general, puede tener aplicación en cualquier problema que trate de
. repartir de la manera más eficiente un recurso grande en varios pequeños. Este es el
caso del llenado de contenedores, la asignación de dinero a proyectos; la asignación de
memoria para almacenamiento de datos, la programación de tareas en un procesador,
entre otros '(Dyckhoff & Finke, 1992). Su capacidad para reflejar la diversidad y
complejidad de problemas reales ha intensificado la búsqueda de mejores soluciones.
11
1.1.S Cutting stock para rollos
El cutting stock para rollos, es una versión del cutting stock unidimensional. Éste se aplica
en las industrias de papel, plástico, empaque flexible asl como para láminas de metales
como acero, cobre y aluminio (Dyckhoff & Finke, 1992). El cutting stock de los rollos
puede presentar restricciones adicionales que surgen de las limitaciones de la maquinaria
y los procesos, de los requerimientos de clientes asl como de requerimientos de calidad.
Algunos ejemplos son:
• Procesos de 2 o más etapas: Muchos procesos de producción de rollos tienen
diversas etapas. Por ejemplo en el convertido de empaque flexible es común que
existan extrusoras de plástico, posteriormente laminadoras que utilicen este plástico
extruido para laminarlo con otro material como polietileno y máquinas impresoras. La
complicación surge cuando las máquinas de la segunda etapa son más angostas que
las de la primera. La utilización eficiente del "ancho de producción" de la maquinaria
es importante desde el punto de vista de eficiencia y utilización de energla. Lo que
parece eficiente en una primera etapa puede no serlo en la segunda etapa por lo que
deben de ser consideradas como un sistema.
• Restricciones de corte y reembobinado: El material producido en rollos comúnmente
debe ser cortado posteriormente para su acondicionamiento como producto
terminado. En este caso las restricciones derivadas de esta operación pueden ser el
número de máquinas cortadoras disponibles así como su ancho útil. Otras
restricciones son el número de navajas con que cuenta cada máquina y que limitará el
número de rollos que se puedan cortar simultáneamente.
• Requerimientos de calidad o del cliente: Hay algunos rollos que por su proceso tienen
variación en su uniformidad. Las esquinas de los rollos en algunos procesos tienen
variaciones más grandes en su espesor por lo que para algunas aplicaciones estas
partes no sirven. En otros casos hay defectos en los rollos que se deben de retirar y
que pueden estar en otros lados.
• Restricciones de diámetro: Los casos en que los rollos finales tengan que ser cortados
en distintos diámetros, presenta una complejidad adicional. En este caso el problema
12
se conoce como cutting stock 1.5 dimensional y a pesar de parecerse al cutting stock
bidimensional (los tramos de rollo a cortarse se manejan como pliegos rectangulares),
la diferencia radica en que se ofrecen pliegos de distintos largos no determinados que
deben de sumar un largo total requerido por el cliente. Estos pliegos de distinto largos
suelen manejarse como rollos y existe comúnmente una restricción en la que un
cliente no acepta pliegos menores a una dimensión determinada (traducida también a
diámetro del rollo) (Song, Chu, Nie, & Bennell, 2006).
1.1.6 Motivación
La inquietud por explorar el tema de la optimización de corte surgió de experiencia laboral
en una convertidora I distribuidora de envases flexibles. El 80% de los productos que se
manejan son rollos utilizados para el acondicionamiento primario de productos cosméticos
y farmacéuticos. Una demanda incierta, un alto grado de flexibilidad y bajos tiempos de
respuesta son caracterlsticas cada vez más importantes en esta industria. Por otro lado,
la gran diversidad de máquinas envasadoras y de formatos de empaque primario usados
por los distintos clientes hace que el ancho de los rollos de envase flexible tenga una
variabilidad muy alta en su demanda. Para poder reducir esta variabilidad es posible
cortar el material desde rollos más grandes y mediante distintas combinaciones. La
eficiencia de la empresa depende en gran parte de qué tan bien se gestionen tanto los
inventarios como los cortes de los rollos a distribuir.
En el curso de Programación Matemática de la Maestría de Ingeniería Industrial, cubrimos
el tema de cutting stock y éste me llamó particularmente la atención debido a la
posibilidad de poderlo aplicar en mi trabajo. Su uso me permitía llegar a buenas
soluciones de corte a nivel individual. Sin embargo, las soluciones obtenidas eran útiles
únicamente para mejorar la eficiencia desde la perspectiva de la optimización de corte sin
tomar en cuenta otros costos importantes como el del inventario ele seguridad necesario
para cubrir un nivel de servicio objetivo. La búsqueda de una solución que pudiera evaluar
el sistema· de costos desde un punto de vista más integral me llevó a desarrollar este
tema como tesis.
13
1.2 Planteamiento del problema
Un distribuidor tiene varias alternativas en cuanto a su operación cuando su propósito es
atender una demanda incierta de bienes. Primero, dependiendo del tiempo de respuesta
de sus proveedores y del nivel de servicio demandado por el mercado, puede decidir
mantener o no mantener un inventario. En caso de tener una buena respuesta de los
proveedores o un nivel bajo de servicio demandado por los clientes, su operación puede
consistir en la simple transferencia de bienes. Sin embargo, en el caso de que su mercado
demande un nivel alto de servicio, teniendo una respuesta larga o poco confiable de sus
proveedores y poca influencia en la operación de los mismos, es muy probable que se
incline por mantener un inventario.
En caso de mantener un inventario, el distribuidor puede transferir ol producto al cliente tal
como lo recibe de su proveedor o agregar valor antes de entregarlo mediante alguna
personalización diferida. Esta misma situación se presenta cuando se trata de distribuir
productos con variabilidad en sus medidas (largo, ancho, alto) ya que un distribuidor
puede tener en inventario productos en las medidas exactas que su mercado demanda
("producto personalizado") o productos a los que aplique una transformación (p.e. corte)
para ajustarlos a una medida especifica cuando sea solicitada por un cliente ("producto a
personalizar") (van Hoek, 2001). Este es el caso de la distribución de rollos y otros
productos como cristales, tablones de madera, tubos de acere,, etc. Para definir un
sistema de inventario entonces, un distribuidor de rollos tendrá que decidir:
a) Las medidas de un tipo de rollo que podrá mantener en inventc1rio (rollos de stock): El
distribuidor puede seleccionar estas medidas tomando en cuenta que conforme administre
más medidas su costo de inventario aumentará pero se disminuirá el costo involucrado
en su corte (tiempo de máquina, mano de obra y mermas de proceso). Inversamente,
conforme se tengan menos medidas el costo del inventario disminuirá pero el costo del
corte aumentará
b) La polltica de inventario a seguir: Una vez seleccionados los rollos de stock que se
administraran, es necesario establecer la polltica de inventario que se seguirá Como se
comentó anteriormente, se debe establecer:
• Un tipo de revisión de inventario ya sea periódica o continua.
14
• Una política de inventario.
• Un objetivo de servicio del sistema.
Considerando estos dos puntos se plantea la pregunta ¿Cómo podrá un distribuidor de
rollos tomar estas decisiones para optimizar su costo total?
La polltica de inventario clásica permitirá optimizar los costos incurridos en mantener el
objetivo de servicio del sistema. Sin embargo, los costos relacionados con el corte de
medidas grandes a medidas chicas a través del corte no están considerados. Por esta
razón es necesario encontrar un modelo que permita evaluar estos costos de manera
integral.
1.3 Justificación del problema
Cada vez se ha vuelto más estratégico el hecho de poder diser'lar cadenas de suministro
que puedan resolver las necesidades especificas de un grupo de clientes (Van
Landeghema & Vanmaele, 2002). Conjugar una estrategia de c:orte de material y de
administración de inventarios con nivel de servicio objetivo como la que se puntualiza en
el planteamiento del problema puede lograr los siguientes beneficios:
• Cumplir con niveles de servicio determinados: Garantizar un nivel de servicio objetivo
constituye una ventaja competitiva determinante en mercados.
• Hacerlo con los costos más bajos en términos de inventario y corte: Optimizar los
costos puede hacer la diferencia entre la factibilidad o no de un negocio.
En términos estrictos, un rollo que se corta para obtener otro más pequeno puede
considerarse como materia prima, es decir, de demanda dependiente respecto a los rollos
finales. Tradicionalmente la recomendación para artlculos de demanda dependiente es
utilizar sistemas tipo MRP (material requirement planning). A pesar de ello, se decidió
aplicar un sistema de control de inventarios de demanda independiente directamente a los
rollos de stock mediante una transformación de la demanda de rollos finales a través del
cutting stock. La justificación de hacer esto es que los prc,ductos siguen siendo
15
esencialmente los mismos y que el corte es sólo una transformación dimensional para
ajustar el producto a las necesidades de los clientes (personalización diferida).
Adicionalmente el tiempo que toma el corte puede ser en ocasiones significativamente
menor al tiempo de recepción de un rollo de parte del proveedor.
1.4 Definición del objetivo
El objetivo de este estudio es proponer un modelo de control conjunto de corte e
inventario de rollos de stock para satisfacer una demanda de rollos finales que permita:
• Cubrir el requerimiento de un nivel de servicio objetivo en la cadena de suministro de
rollos finales.
• Optimizar los costos resultantes de corte e inventario del grupo de rollos de stock
1.5 Alcance de la investigación
Las decisiones de corte son producto de una optimización utilizando un algoritmo de
cutting stock que genera como salida demanda de materia prima representada por rollos
de stock: El control de estos rollos de stock se hace con sistemas de inventarios con
demanda probabillstica y un nivel de servicio objetivo. El desempeno del sistema medido
en términos de costos totales y niveles de servicio se lleva a cabo mediante un modelo de
simulación. Se consideran en este trabajo los siguientes supuestos:
Supuestos de administración de inventario
• Demanda probabillstica
• Productos consumibles sin caducidad.
· • Políticas de inventario: (R, .5) y (.s; <lJ
16
• Medida de nivel de servicio: tasa de servicio (fi/1 rate).
• Inventario de seguridad: el criterio que se utilizará para calcular el inventario de
seguridad, será con base en una tasa de servicio predeterminada considerando un
modelo estadístico de desviaciones estándar. la distribución de la demanda se
analizará en 2 escenarios: siguiendo una distribución normal y por otro lado una
empírica.
Supuestos de cutting stock:
De acuerdo con la clasificación expandida de Dyckoff (Gradisar, Resinovic, & Kljajic,
2002) presentada en la sección 2.3.1, el algoritmo de cutting stock que se usará en este
trabajo tiene las siguientes caracterlsticas:
• Enfoque de la solución: orientado a patrones.
• Dimensionalidad: corte unidimensional (dimensionalidad = 1) que puede aplicarse a
rollos.
• Tipo de asignación: todos los objetos pequei'\os, una selección de objetos grandes (ya
que la demanda de objetos pequei'\os debe ser satisfecha completamente).
• Variedad de objetos grandes: algunos grupos de objetos grandes idénticos.
• Variedad de objetos pequei'\os: muchos productos de muchas dimensiones distintas.
• Tipo de la medición de los objetos: éste será continuo, que en el caso de los rollos se
forman de una longitud no entera de materia prima (Dyckhoff & Finke, 1992).
Adicionalmente se parte del supuesto de que el tiempo de corte no impacta
significativamente el tiempo de respuesta y por lo tanto la tasa de s1~rvicio. Por esta razón,
este tiempo sólo es considerado como un costo por el uso del equipo.
1.S.1 Definición de términos
Se utilizarán en este trabajo los siguientes términos:
• Rollos de stock: son la materia prima (objetos grandes), de los cuales se mantendrá
un inventario. Éstos serán cortados para lograr satisfacer la demanda de producto
terminado (objetos chicos).
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• Rollos finales: son el producto terminado (objetos chicos). Se cuenta con una
demanda periódica de dichos objetos y es la que debe ser cubierta a través del corte
de rollos de stock.
• Costo de inventario: los costos de inventario considerarán el costo unitario del rollo, un
costo de orden, el costo financiero de estar en inventario y el costo de falta de servicio
(Silver, 1998).
• Costo de corte: es el costo de material desperdiciado en el corte más el costo del
tiempo de máquina utilizado para el corte del material.
1.6 Resultados esperados
El resultado esperado de esta investigación es un modelo de evaluación que permitirá
calcular los costos totales de un sistema de inventario y corte de rollos de stock para
satisfacer una demanda de rollos finales con una tasa de servicio objetivo. Este modelo
será probado mediante un programa computacional que permita demostrar su aplicación
evaluando diferentes escenarios con las siguientes entradas y salidas:
a) Entradas:
a. Demanda de rollos finales
b. Tasa de servicio objetivo
c. Rollos de stock a utilizar
d. Política de inventario
e. Distribución de la demanda
b) Salidas
a. Requerimiento de rollos de stock por periodo de tiempo.
b. Costo total del sistema
c. Tasa de servicio resultante
18
2 Marco teórico
2.1 Administración de inventarios con demanda probabilística
2.1.1 Importancia del producto
La estrategia de inventario se debe modelar de acuerdo con la importancia de los
productos que se estén administrando. Un análisis ABC ayuda a distinguir tres tipos de
producto: los productos A son aproximadamente 20% de los productos que generan el
80% de las ventas, los B son el 30% de los productos que generan el 15% de las ventas y
los C son los restantes 50% de los productos que generan el 5% de las ventas. Es lógico
suponer que los productos A, siendo los más prioritarios económicamente, necesitan un
marcaje personal desde un punto de vista administrativo. Asimismo tiene sentido que a
los productos C, que son los de menor importancia, requieran menos esfuerzo y recursos
administrativos.
2.1.2 Tipo de revisión del inventario
Existen básicamente dos formas de control, una revisión periódica y una revisión
continua. En casos en los que los productos son adquiridos de un mismo proveedor asl
como enviados en un mismo transporte, Silver (1998) indica que los esquemas de revisión
periódica son más favorables. También hay que notar que la revisión periódica es
conveniente en este caso incluso para lograr órdenes por una cantidad mlnima que
muchas veces requerirá uno de estos proveedores. Por otro lado, los sistemas de revisión
continua requieren menor inventario de seguridad para el mismo nivel de servicio.
19
2.1.3 Forma de la política de inventarios
Definir la forma de la politica permitirá establecer en qué momento se debe generar una
orden de reabastecimiento y de qué cantidad debe ser esta orden. Hay varias alternativas
en este sentido y según Silver las alternativas más populares son:
• Sistema (~ (!J: Este es un sistema de revisión continua. Una cantidad fija Q es pedida
cuando el inventario alcanza o cae por debajo del punto de reorden s. El nivel s
generalmente se determina de acuerdo con el tipo de medición de servicio utilizado
(ver más adelante). La decisión sobre el tamaño de lote Qa utilizar va de acuerdo con
las economías de escala en el proceso de distribución de un producto. La cantidad de
reabastecimiento económica (EOQ por sus siglas en inglés) es uno de los primeros
resultados de teoría de inventario y se calcula en su variante más conocida de
acuerdo con la siguiente fórmula: EOQ = J zA~ donde i es el costo de mantener en Cl
inventario por cada unidad del producto, e es el costo unitario del producto, A es el
costo fijo por pedido y D la demanda por año del producto. Esta fórmula supone para
un solo producto una tasa constante de demanda, un tiempo de reabastecimiento
cero, que las cantidades pedidas llegan al mismo tiempo y que no hay desabasto en
ningún momento resultando en un balance de los costos por mantener y por ordenar ·
(Sipper & Bulfin, 1997).
• Sistema (~ .s): Este es un sistema de revisión continua en el que una orden de
reabastecimierito es generada cuando el inventario cae debajo de un punto de reorden
s. Una cantidad variable es pedida en ese momento para llevar el inventario a un
nivelo objetivo S La cantidad S se puede calcular de diversas maneras. La manera
más simple de calcularla es S = s + Q donde Q puede ser equivalente al valor de la
EOQen un sistema(~ (!J.
• Sistema (R, .s): Este es un sistema de revisión periódica. Es común cuando varios
productos son ordenados del mismo proveedor o requieren c.ompartir recursos, así
20
como para productos de importación. Cada R unidades de tiempo la suficiente
cantidad de producto es pedida para llevar la posición de inventario al nivel objetivo S.
Se recomienda para productos B (Silver, 1998). El tamaño de R se escoge con base
en distintos criterios entre ellos el de economías de escalas. Hay fórmulas para
calcular R con base en el costo de ordenar y se entiende que generalmente toma
valores discretos (no tendría sentido establecer revisiones cada 1.5 días, por ejemplo).
La mayoría de las veces se define de manera arbitraria como por ejemplo con base en
la salida de camiones o barcos. El cálculo de Ses muy parecido al de sen un sistema
de revisión continua y depende de la medición de servicio. La única diferencia es que
el cálculo de éste debe considerar una duración de periodo de R+L en vez de
únicamente L donde este valor es el tiempo de entrega o lead time del producto en
cuestión.
• Sistema (R, .s; .s): Éste es un sistema de revisión periódica. Es una combinación el
sistema (.s; .s) y el sistema (R, .s). Cada R unidades de tiempo se revisa el inventario. Si
el nivel está debajo de s, se pide lo suficiente para llevar el inventario al nivel objetivo
s. Sin embargo, si la posición de inventario está arriba del nivel s, se espera hasta la
siguiente revisión. Se recomienda para productos A. Nuevamente los valores de s, y S
dependen de la medición de servicio utilizada.
2.1.4 Objetivos del sistema
El último factor a considerar para definir una política de inventarios se refiere a los costos
especlficos o nivel de servicio que debe buscar un modelo de inventario. Esto consiste en
determinar un inventario de seguridad SS. y un punto de reorden ~; para poder garantizar
un nivel de servicio o costo de inventario determinado. En lo que respecta al nivel de servicio, Silver describe las siguientes alternativas como las más utilizadas:
21
• Nivel de servicio de ciclo: es la fracción de ciclos en que no ocurre un desabasto y de
acuerdo con la terminologla de Silver, es conocida como la probabilidad especificada
P1. La regla de decisión para su cálculo es:
o Sistema (~ (/J:
• Escoger un factor de seguridad7 kque satisfaga: Pu .. (k) = 1- Pi donde
Pu .. (k) representa la probabilidad de que la variable normal estándar u
tome un valor mayor o igual a k, es decir, que tendrá faltantes de
material durante el ciclo de reabastecimiento L y Pi es la probabilidad
de no tener faltantes de material durante el mismo ciclo.
• Calcular el inventario de seguridad SS = kuL
donde k es un factor de seguridad y uL representa la variación del
consumo en el periodo l
• Calcular el punto de reorden s = fL + SS
donde fL representa el consumo promedio en los periodos L
o Sistema (R, S):
• Escoger un factor de seguridad kque satisfaga: Pu .. (k) = 1- Pi
donde ahora Pu;,;(k) representa la probabilidad de tener faltantes de
material durante el ciclo de reabastecimiento l+R y Pi es la
probabilidad de no tener faltantes de material durante el mismo ciclo.
• Calcular el inventario de seguridad SS = kuL+R
donde k es un factor de seguridad y uuR representa la variación del
consumo en el periodo l+R
• Calcular el punto de reorden S = fuR + SS
donde fuR representa el consumo promedio en los periodos l+R
• Tasa de servicio: es la fracción de demanda del cliente satisfecha rutinariamente, esto
es, sin órdenes en espera o ventas perdidas. De acuerdo con la terminologla de
Silver, es conocida como la fracción especificada P2 y se c:alcula de la siguiente
manera:
7 El factor de seguridad k se calcula de acuerdo con la distribución de probabilidad normal o de acuerdo con una distribución emplrica dependiendo del comportamiento de la demanda modelada.
22
o Sistema (~ (}):
• P2 = 1 - E~ci donde Q puede ser calculada mediante la EOQ y ESCi
(expected shortage per cycle, por sus siglas en inglés) es la cantidad
esperada de faltante de producto durante el periodo L. Esta cantidad
esperada de faltante se calcula mediante la siguiente expresión:
ESCi = E[(xi - s)+], donde E es el operador matemático de valor
esperado y el cálculo contempla todos los casos donde la demanda
xi excede al punto de reorden s.
o Sistema (R, 5):
• P2 = 1 - Es¿'+R donde Q = fR y ESCuR es la cantidad esperada de
faltante de producto durante el periodo L+R. Esta cantidad faltante se
calcula mediante la siguiente expresión:
ESCuR = E[(xi+R -s)+], donde Ees el operador matemático de valor
esperado y el cálculo contempla los casos donde la demanda xi+R
excede al nivel objetivo s.
Dentro de la evaluación del nivel de servicio se pueden definir dos estrategias:
• Ventas perdidas: Aplica a mercados de conveniencia donde el no tener el pedido en
inventario cuando un cliente lo desea implica perder la venta y el costo que este
representa.
• Ventas retrasadas . (backorders): En mercados sin mucha competencia o de
especialidad, donde los clientes esperan su pedido aunque se retrase su entrega.
Todas estas consideraciones aplican para desarrollar el sistema de inventario de un
producto en particular. En caso de tener más productos, se tendrls1 que hacer un sistema
de revisión para cada uno de ellos. Otra alternativa planteada. por Silver, es la de
coordinar los reabastecimientos de múltiples productos con base en un nivel de inventario
único. Esta aproximación representa una complicación adicional a los pasos enumerados
con anteriondad. Entre las ventajas que tiene esta estrategia está un manejo fácil de la
programación de reabastecimiento, ahorros en los costos de transporte, en los costos de
orden y en la posibilidad d_e alcanzar descuentos por volumen. Las desventajas por otro
lado son posibles incrementos en el inventario promedio, incrementos en los sistemas de
control y pérdida de flexibilidad.
23
2.1.S Tipo de distribución de demanda
Para tomar decisiones en cuanto a la administración de inventario es necesario calcular
parámetros de control de la polltica de inventario como lo son el punto de reorden o el
inventario de seguridad. Para poder hacer esto se necesita modelar la demanda utilizando
alguna distribución de probabilidad o utilizando modelos con base en predicciones de
demanda (Porras & Dekker, 2008). Usualmente los sistemas de inventario se modelan
asumiendo una distribución normal, ya que es una de las distribuciones de probabilidad
de variable continua que con más frecuencia replica la fluctuaciones de demanda en
fenómenos reales (Nahmias, 2007). En la distribución normal los parámetros de inventario
para una tasa de servicio objetivo se calculan de la siguiente manera:
• Sistema (.s:. (l):
ESC¿ • J."' P2 = 1 - -Q-donde Qpuede ser calculada mediante la EOQ y ESC1. = s (xi. - s) [(xi.) dxi.
1 -~ donde [(xi.)= =e 2""L
CT¿y27r
o Como otra opción se puede utilizar la Tabla 13: Valores de k y para escoger un
factor de seguridad k que satisfaga: Gu(k) = _g_(l - P2) y ESC1. = Gu(k)ai. CT¿
donde Gu(k) es una función especial de la distribución normal estándarª
utilizada para calcular los faltantes por ciclo y se calcula así: Gu(k) =
CD (U -k) ~ fk {27r e 2 du0 . Posteriormente este valor k servirá para calcular el nivel
de inventario objetivo utilizando s = f1. + ka1.
• Sistema (R, S,:
o P2 = 1 - ES';+R donde Q = fR y ESCuR = f5"'(xuR - S) f(xuR)dxuR
o Al igual que con el sistema anterior, se puede utilizar la tabla de la distribución
normal de Gu(k) y escoger un factor de seguridad k que satisfaga: Gu(k) =
_Q_(l -P2) <TL+R
o Posteriormente este valor k servirá para calcular el nivel de inventario objetivo
utilizando S = f1.+R + kauR
8 Distribución normal donde la media es O y la desviación estándar es 1.
24
Alternativamente, se pueden modelar los datos de una demanda considerando una
distribución de variables discretas. Se denomina distribución de variable discreta a aquella
cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de x
finito o infinito numerable. Analizando una serie de datos de demanda se puede modelar
como la probabilidad que tendrá de tomar diferentes valores en un periodo de tiempo. En
este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de probabilidad por
demanda, por lo que se tiene entonces que F(x) = P(X ~ x) == Li=-co f(k). Usando
esta distribución los parámetros de inventario para una tasa de servicio objetivo se
calculan de la siguiente manera (Porras & Dekker, 2008):
• Sistema (.s; (/}:
ESCL = _¿ (xL - s) f(xi) xlx>s
• Sistema (R, S,:
2.1.6 Otros conceptos de inventario
a) Tiempo de ciclo: Es el tiempo que transcurre desde el aprovisionamiento de
inventario con una cantidad de pedido Q hasta que esta se agota completamente y
es necesario volver a reaprovisionarlo en la misma cantidad. Esta variable está
dada por la relación: T = ~ b) Coeficiente de variación: Su fórmula expresa la desviación estándar como
porcentaje de la media aritmética, mostrando una mejor interpretación porcentual
del grado de variabilidad que la desviación típica o estándar. Típicamente se
observan valores altos para productos de baja rotación y valores bajos para los de
alta rotación: cv = ~ . •L
c) Disparos del punto de reorden (overshoots): Son las ocasiones en que
después de un pedido, el inventario neto de un sistema de inventario (.s; (/}
queda por debajo de su punto de reorden. Típicamente se trabaja con el
inventario neto pero cuando el tiempo de entrega ,;is mayor que el tiempo
de ciclo, se utiliza la posición de inventario para dicha comparación.
25
2.2 Características de los inventarios de rollos de envase flexible
Los rollos de envase flexible tienen 2 componentes principales:
1) La estructura por la que están compuestos: un rollo puede estar formado por una o
varias peliculas. Una pellcula puede ser un polipropileno, polietileno, poliéster, celofán,
aluminio, nylon o cualquier otro material. En caso de tener más de una película, éstas
pueden estar laminadas por adhesivos o por un proceso de extrusión. Asimismo una
pelicula puede tener recubrimientos o lacas para adquirir caracterlsticas particulares como
barrera, termosellado, sellado en frie, etc. Se considera como una "estructura" a la
combinación de una o varias peliculas con los distintos tratamientos o laminaciones que
tengan.
2) El ancho del rollo: un rollo puede estar cortado en distintas medidas. Esto se debe
principalmente a la máquina envasadora que lo va a utilizar y el tamar'io de los sobres o
bolsas que ésta vaya a formar. Las aplicaciones del envase flexible son muchas y esto
puede generar que una misma estructura se pueda distribuir en varios anchos.
Es importante notar que para los rollos de envase flexible un producto o SKU (stock
keeping unit) es la combinación de la estructura más el ancho. Aún más, cada SKU de
rollo (al igual que cualquier otro bien con medidas variables) es sustituible por otro hasta
cierto grado. Esto se debe al hecho de que un rollo de un ancho determinado puede, a
través de un proceso de corte, convertirse en un(os) rollo(s) de menor medida. La Figura
7: Representación gráfica del cutting stock unidimensional del apéndice ejemplifica bien
esta situación considerando que un rollo de 20 unidades de ancho pueda ser cortado para
obtener dos rollos de 10 unidades, o tal vez uno de 18 unidades mermando los dos
restantes.
Un sistema de inventarios tradicional ignora la capacidad de sustitución inherente en los
rollos mediante la transformación. Y es que en general cualquier bien con medida variable
como un tablón de madera, un tubo de acero o un pliego de cartón, presenta la misma
posibilidad de sustitución. Cada medida diferente constituye un producto en particular.
Esto tiene como consecuencia que su inventario tenga que administrarse individualmente
en lo que respecta a su frecuencia de revisión, niveles de inventario, inventario de
seguridad necesario, reabastecimiento, etc.
26
Otro detalle que es en particular interesante es que los rollos de envase flexible de
distintas medidas pero de una misma estructura vengan de un mismo fabricante. En caso
de gestionar el reabastecimiento de varias medidas de un mismo producto, es favorable
hacerlo al mismo tiempo. Esto puede traer ventajas en cuanto alcanzar volúmenes
mlnimos para importaciones, volúmenes mlnimos de fabricación o poder alcanzar escalas
de precio más bajas.
Los envases flexibles son utilizados casi en su totalidad para el resguardo de bienes de
consumo. Una de las tendencias más importantes en la última década respecto a estos
productos es la rapidez para poder llevarlos al mercado (Ferret, 2004). Un proveedor de
envase flexible en este escenario tendrá que poder responder de manera muy ágil al
desarrollo de un nuevo producto. De la misma manera es lógico pensar que su éxito
dependerá en buena parte en la confiabilidad que pueda ofrecer a sus clientes en
términos de su servicio ofrecido. La tasa de servicio es desde este punto de vista un
objetivo clave para un sistema de inventarios de envases flexibles.
2.3 Cutting stock
2.3.1 Clasificación de los problemas de cutting stock
Como se comentó con anterioridad, los algoritmos de cutting stock tienen el objetivo de
repartir un recurso u objeto grande en varios objetos pequefios de la manera más óptima
posible. Dyckoff (1992) propone que los problemas de corte sean clasificados usando
cuatro características:
• Dimensionalidad: Se refiere al número de dimensiones (N) del objeto a cortar. Como
se comentó anteriormente puede ser de 1, 2 o 3 dimensiones dependiendo del tipo de
objeto.
• Tipos de asignación:
o Todos los objetos grandes y una selección de los objete>s pequefios.
o Una selección de los objetos pequefios y todos los objetos chicos.
27
• Variedad de objetos grandes:
o Un objeto grande.
o Muchos objetos grandes idénticos.
o Pocos grupos de objetos grandes idénticos.
o Objetos grandes distintos.
• Variedad de objetos pequei'ios:
o Pocos productos de dimensiones distintas.
o Muchos productos de muchas dimensiones distintas.
o Muchos productos de relativamente pocas dimensiones.
o Muchos productos idénticos.
La clasificación de las soluciones a los problemas de cutting stock se dividen en dos
grupos: orientados a productos y orientados a patrones. Las soluciones orientadas a
productos se caracterizan por un tratamiento individual de cada producto a ser cortado.
Por otro lado en las soluciones orientadas a patrones, primero las dimensiones de los
objetos chicos son combinadas en patrones de corte y en un paso siguiente se definen las
frecuencias necesarias para satisfacer las demandas de cada objeto chico.
2.3.2 Formulación de Gomory y Gilmore
La formulación más conocida del cutting stock unidimensional orientado a patrones
consiste en una lista de m órdenes cada una requiriendo una cantidad qn, n = 1, ... , N. A
partir de esto se construye una lista de todas las posibles combinaciones de cortes
(patrones) y se asocia a cada una de ellas una variable entera positiva denominada xp.
Esta variable representa el núme~o de veces que el patrón será utilizado. El problema es
entonces (Gomory & Gilmore, 1961):
Minimizar p
¿cxp p=l
s.a.
28
p
¿ llnpXp ~ qn n = 1, ... ,N p=l
Xp ~ Oyentero, p = 1, ... ,P,
donde Xp es un número entero y representa el número de veces que el patrón p es
utilizado, llnp es el número de veces que la orden n aparece en el patrón p y e es el costo
asociado con el material a cortar. En resumen el problema busca minimizar el costo de
cada patrón usado, esto es, minimizar el uso de la materia prima necesaria para satisfacer
la orden.
El número de patrones crece exponencialmente como función de N (el número de
órdenes) V por lo mismo enumerar todas las combinaciones es bastante ineficiente. Para
resolver este problema en 1961 se sugirió aplicar la generación de columnas.
Básicamente consiste en empezar con una solución inicial para después ir generando
patrones adicionales que contribuyan a mejorar la solución. Los nuevos patrones se
introducen resolviendo un problema llamado knapsack que utiliza información de las
variables duales del problema de programación linear. Gilmore y Gomory demostraron
que esta técnica garantiza la convergencia en una óptima solución sin la necesidad de
enumerar todos los patrones posibles (1961). La formulación del knapsack es la siguiente:
Maximizar
s.a.
N
¿ Wnanp s; W n=l
llnp ~ O y entero, n = 1, ... ,N,
donde jn es el peso que tiene un determinado ancho n y anp es una variable entera (O, 1,
2, ... ) que representa el número de veces que se utilizará el ancho n en el patrón p.
29
Finalmente wn es el valor del ancho n y Wes el tamai'\o del ancho del rollo de stock del
que se realizará el corte. Si el valor de la función objetivo es mayor que el costo del rollo
de stock Wse encontró un nuevo arreglo de corte que mejora el resultado del problema
original de cutting stock. En este caso el nuevo arreglo de corte se agrega a las columnas
del problema original y permitirá encontrar una mejor solución. Si es menor o igual, no
existe una columna que mejore el resultado y se ha llegado a unc1 solución óptima global
para el problema de cutting stock.
Los problemas de cutting stock y de knapsack se vuelven un poco más complejos por
utilizar variables enteras. Una manera de resolverlos es relajar el problema utilizando
variables reales. Utilizando programación lineal es común que se utilice el algoritmo de
ramificación y poda (branch and bound) con los problemas relajados. Primero se modela y
resuelve sin restricciones de enteros. Después para cada variable no entera del resultado
el modelo se divide en 2: El primero tiene una restricción donde esta variable tiene como
mlnimo el valor de su redondeo hacia arriba y el segundo tiene una restricción donde esta
variable tiene como máximo el valor de su redondeo hacia abajo. Ambas soluciones se
vuelven a optimizar garantizando que la variable tenga un valC>r entero (si existe una
solución). Este procedimiento se repite hasta que solo queden variables enteras. En ese
momento se considera a la solución como la mejor hasta ahora y se recorren todas las
ramás posibles buscando alguna solución mejor (Holthaus, 2002).
2.3.3 Formulación con más de un objeto grande
La formulación de Gilmore y Gomory puede ser modificada para incluir más de un objeto
grande como lo propone Holthaus (2002):
Minimizar
s.a.
30
n= l, ... ,N
Xrp ;::: O y entero
r = 1, ... ,R,p = 1, ... ,Pr,
donde cr es el costo asociado a un rollo r y siendo el valor de R=i se tendrla el problema
original de Gilmore y Gomory. Por el otro lado, Pr se refiere al número de patrones de
corte factibles para el rollo de stock r.
2.3.4 Inclusión de costo del ajuste
Sobre la misma formulación de Gilmore y Gomory se puede incluir un costo de ajuste por
patrón como se establece en el trabajo de (Haessler, 1992):
p
¿cxP +uyp p=1
donde u es el costo de cambiar un patrón de corte y Yp es uno para xp > O y cero de otra
manera.
2.3.5 Complejidad del problema
El problema de optimización de corte tiene una alta degenerabilidad, esto significa que
tiene múltiples soluciones con la misma cantidad de desperdicio. Esto surge del hecho de
que se puede mover el orden de las medidas finales sin afectar la merma resultante
(cortar 40 en 10/10/20 es igual que cortar 40 en 20/10/10). Esto ha generado una nueva
colección de. problemas relacionados que están enfocados a otros criterios . como
minimizar el número de patrones de corte resultante, minimizar el número de órdenes
abiertas, minimizar el número de cambios de cuchilla, etc.
31
2.4 Análisis crítico
Los sistemas de inventario tradicionales no explotan las características de sustituibilidad
inherentes a los bienes con medidas variables. Aunque se trate de una misma estructura,
cada medida en particular tiene que ser administrada individualmente. Este tratamiento
individual tiene una repercusión en los costos del sistema y este impacto en los costos se
genera mayoritariamente cuando el sistema de inventario tiene como objetivo un nivel de
servicio.
Existen algunos trabajos que relacionan el problema de corte con el de inventario como el
de Nonas y el de Yaodong. El primero considera una minimización de los costos de
inventario con los de corte dentro de una misma función objetivo aunque considera una
demanda determinlstica (Nonas & Thorstenson, 2008). El segundo trabajo está más
enfocado en considerar que un corte puede permitir dejar rollos parciales en el inventario
y considerarlos como opción para futuros cortes con sus costos por tenerlos en inventario
(Yaodong, Tianlong, & Wei, 2009). Estos trabajos sin embargo, no consideran buscar un
nivel de servicio objetivo predeterminado ni demanda probabilistica.
Para poder satisfacer un nivel de servicio se tienen que calcular ciertos niveles de
inventario de seguridad. Como se explicó con anterioridad estos niveles se calculan de
acuerdo con la variación en la demanda de un producto. En un sistema tradicional, el nivel
de inventario de seguridad total será la suma de las variaciones de la demanda de cada
medida en particular. Este inventario de seguridad total puede aumentar drásticamente
conforme se incrementen las medidas administradas asl como su variación particular en
. la demanda. Por otro lado si se trataran las distintas medidas como si fueran un único
producto, la variación de las distintas medidas se combinaría generando una variación
menor y por lo tanto un nivel de inventario de seguridad más bajo. La agregación de
demandas reduce la incertidumbre de la demanda y por lo tanto el inventario de seguridad
requerido mientras que la demanda de· los productos a agregar no muestre una
correlación perfecta positiva (Chopra & Meindl, 2001 ).
32
2.5 Tabla Comparativa
La siguiente tabla hace una evaluación de los 2 sistemas de inventario tradicionales
aplicados a los rollos de acuerdo con las variables de costo y flexibilidad:
Productos Productos múltiples Individuales coordinados
costos de Inventarlo Malo Regular costos de orden Regular Bueno costo de comDra unitario Regular Bueno costos de transporte Regular Bueno facllldad de programación Regular Bueno costos de sistemas de control Bueno Regular Flexlbllldad Rea u lar Malo
Tabla 1
En general la falta de sustitución tiene un impacto en ambos sistemas respecto a la
flexibilidad y los costos de mantener en inventario.
33
3 Planteamiento de la metodología
La propuesta de este trabajo consiste en implementar un modelo de control que permita
optimizar los costos corte y de inventario de una cadena de suministro de rollos finales
con demanda incierta. Esto se logrará aplicando una estrategia de personalización
diferida donde los rollos finales o producto terminado se obtengan mediante un proceso
interno en lugar de mediante un pedido al proveedor. Este proceso consiste en
semanalmente utilizar un algoritmo de cutting stock para transformar una demanda de
producto terminado en una demanda de materia prima considerando cortar los rollos de
stock cuando sea necesario. Finalmente, modelando la demanda de rollos de stock de
acuerdo con un tipo de distribución (normal o emplrica), la tasa de servicio objetivo
permitirá calcular un nivel spara (~ <lJ o un nivel Spara (R, S).
Posteriormente se utiliza un modelo de simulación para evaluar los costos totales
esperados bajo demanda probabilística así como la tasa de servicio resultante. Los
beneficios que se esperan conseguir son reducir costos de inventario al administrar un
menor número de rollos y de esta manera el modelo permitirá evaluar y comparar el
desempeño de un grupo determinado de rollos de stock a mantener en inventario.
En la Figura 1: Pasos del modelo se muestran los pasos de la metodologla propuesta:
Evaluación del desempeño del sistema (tasa de servicio simulada y costo total) utilizando corno
entrada los parámetros de inventario y la demanda e rollo~ de stock en penado de simulación
' --- ---------
Figura 1: Pasos del modelo
34
3.1 Uso de cutting stock para generar una demanda de rollos de stock
a partir de una demanda de rollos finales
La primera etapa consiste en utilizar la demanda de rollos finales para generar una
demanda de rollos de stock. Esto es, para cada periodo de demanda (en nuestro caso
cada semana), resolver el cutting stock para varios rollos de stoc:k referido en el marco
teórico con algunas modificaciones (Holthaus, 2002).
En nuestro trabajo utilizaremos una serie de datos de demanda para el periodo de ajuste
y una serie de datos de demanda para el periodo de simulación. Los datos de estos
periodos son demandas históricas de rollos finales q1 (t) ..• qN (t) de las cuales se
obtendrán el requerimiento de rollos de stock para cada rollo ren la semana tutilizando
p
Dr(t) = ¿ Xrp, r = 1, ... , R.
p=l
La primera de las modificaciones del cutting stock respecto al algoritmo de Holthaus es
que se utilizarán variables reales ya que en lugar de definir la variable Xrp como el número
de veces que el rollo de stock r se cortará de acuerdo con un patrón p, se consideran los
metros lineales que se cortarán de cada patrón (que no necesitan tener un valor entero).
También se consideran costos de ajuste de máquina (setup) como lo propone Haessler,
ya que cada patrón de corte nuevo implica parar una máquina cortadora para hacer un
ajuste de cuchillas. Finalmente, se considera un costo de corte por metro lineal que está
basado tanto en el gasto de las navajas como el tiempo de máquina.
Es importante resaltar que estos dos costos de corte únicamente van a aplicar cuando el
patrón que se utilice contemple usar un ancho de rollo final diferente al. ancho de stock
final. Esto significa que el algoritmo permitirá elegir cortar o no cortar rollos de stock con
base en lo que sea más óptimo y permita cubrir la demanda. Tomando en cuenta estas
consideraciones, el modelo a implementar es:
35
Minimizar:
R Pr
I I CrXrp + UYrp r=l p=t
s.a.
R Pr
I I LlnrpXrp ~ qn, r=tp=t
n = 1, ... ,N
Xrp ~ O, T = 1, ... ,R,p = l, .. ,,Pr,
y
-xrp + MYrp ~ 0,r = 1, ... ,R,p = 1, ... ,Pr,
Yrp E {0,1},
donde xrp es un número real que representa los metros lineales a cortar del patrón p del
rollo de stock r, anrp es el número de veces que la orden n aparece en el patrón p del rollo
de stock r y c. es el costo asociado con el rollo r más el costo por cortar un metro lineal
(en los casos en que el patrón no considere hacer ningún corte este costo es cero).
Cualquier patrón factible Pr puede ser representado por un vector entero, J\Ldimensional y
no negativo (a1rp, ... , aNrp)r que cumplan con la restricción
que es utilizada en el problema del knapsack y donde wn es el valor del ancho n y W,. es
el tamai'io del ancho del rollo de stock r del que se realizará el corte (Holthaus, 2002).
Adicionalmente se tiene Yrp una variable binaria (0, 1) que tiene valor 1 cuando el patrón p
del rollo de stock r se utiliza en la solución y O cuando. no se utiliza en la solución. La
restricción -xrp + Myrp ~ O garantiza esta condición, utilizando una variable M lo
. suficientemente grande para que cuando x tome un valor positivo Yrp .tome el valor de 1.
36
Esta variable binaria se multiplica por un costo u de ajustar una combinación de navajas
para poder cortar un patrón p del rollo r. Como en el caso anterior, este costo u es O
cuando el patrón no considera hacer ningún corte.
Calcular valor de M con base en la demanda
//Construir solución inicial o problema de cuttingStock Para cada rolloFinal
Escoger rolloStock del que se pueda cortar el rolloFinal con uno o r, repeticiones con el menor porcentaje de merma. (ancho rolloFinal < ancho rolloStock) Crear columna en cuttingStock Si rolloStock distinto rolloFinal
Costo de función objetivo de columna= costoMaterial + costoCorte rolloStock De otra forma
Fin Si Fin Para
Costo de función objetivo de columna = costoMaterial roiloStock
Dar de alta restricción de demanda en cuttingStock mediante fila que indique: Suma de unidades de rolloFinal cortados >= demanda rolloFinal
Inicializa rollosStock como no optimizados Hasta que todos los rollosStock sean óptimos
Resolver cuttingStock Para cada rolloStock no optimizado
Crear subproblema knapsack con rolloStock Copiar valores de soluciónDual de cuttingStock a funciónObjetivo de knapsack Resolver knapsack Si solución de knapsack <= costoRolloStock (material y sólo corte si en el patrón del Knapsack ancho rolloStock distinto rolloFinal)
rolloStock = óptimo · De otra forma
Agregar patrón (columna nueva) proveniente del Knapsack al CuttingStock
Fin Si Fin Para
Fin Hasta
Figura 2: Algoritmo de cutting stock modificado
3.2 Modelación de la demanda de rollos de stock erd periodo de ajuste
y cálculo de parámetros de inventario
El siguiente paso consiste en obtener la distribución de la demanda de rollos de stock
ajustando una distribución a las demandas Dr utilizando el modelo normal y empírico.
Posteriormente, para cada rollo de stock rutilizar su modelo de demanda correspondiente
para calcular los parámetros de inventario de acuerdo con una tasa de servicio objetivo y
las pollticas de inventario (s, Q) y (R, 5). Los parámetros a calcular son el punto de reorden
37
s y la cantidad de pedido Q para (s, (J) y ordenar hasta el nivel S para (R, .s). Para Q se
utilizará el valor de EOQ calculado como se describe en la sección 2.1. Los demás valores
van a depender de la tasa de servicio objetivo asl como de la distribución a utilizar (normal
o emplrica).
Tanto para la distribución emplrica como para la distribución normal se utilizan las
respectivas fórmulas descritas en la sección 2.1.5. Teniendo como entrada una tasa de
servicio objetivo, el tiempo de entrega, el promedio y la desviación estándar de la
demanda se pueden obtener los valores s y s.
Las siguientes tablas ejemplifican el cálculo del valor s utilizando la distribución emplrica
para un periodo L=JO. En la Tabla 2 se muestra la frecuencia acumulada de demandas
contra los valores de demanda en ese mismo periodo en metros lineales que van desde
los 51 mil hasta los 74 mil metros:
XL (millares frecuencia f(XL) f(x•Jacum. XLf(XL)
XLf(XL)
de acum. metros)
51 1 2.33% 2.33% 1.19 1.19
53 4 9.30% 11.63% 4.93 6.12
54 3 6.98% 18.60% 3.77 9.88
55 2 4.65% 23.26% 2.56 12.44
56 2 4.65% 27.91% 2.60 1.5.05
57 2 4.65% 32.56% 2.65 17.70
58 2 4.65% 37.21% 2.70 20.40
59 4 9.30% 46.51% 5.49 25.88
60 4 9.30% 55.81% 5.58 31.47
61 2 4.65% 60.47% 2.84 34.30
62 2 4.65% 65.12% 2.88 37.19
63 1 2.33% 67.44% 1.47 38.65
64 1 2.33% 69.77% 1.49 40.14
65 2 4.65% 74.42% 3.02 43.16
67 1 2.33% 76.74% 1.56 44.72
68 1 2.33% 79.07% 1.58 46.30
69 5 11.63% 90.70% 8.02 54.33
71 1 2.33% 93.02% 1.65 55.98
72 1 2.33% 95.35% 1.67 57.65
73 1 2.33% 97.67% 1.70 59º_35
74 1 2.33% 100.00% 1.72 61.07
Tabla 2: Frecuencia acumulada de demanda
38
Posteriormente, la Tabla 3 muestra el resumen de los cálculos que nos permiten tener
una correspondencia entre valores de s y valores de tasa de servicio objetivo. Por
ejemplo, el nivel de inventario de seguridad SS=4.93 de s-=66 millares de metros se obtiene
de restarle a este valor la media f¿ =61.07 millares de metros. Su valor ESC viene de la
fórmula referida en la sección 2.1.5 pero transformada para simplificar su cálculo en la
siguiente expresión:
s s
ESCL = fL - ¿ xif (xL) - s(l - ¿ f ( xL)) o o
Esto utilizando los valores de la Tabla 2 es la diferencia de la media f¿ =61.07 menos
xd(x¿)acumulado menos el peso de s multiplicado por 1 - f (xL)acumulado. Por último
su tasa de servicio objetivo viene de la fórmula 1 - E;L utilizando un valor Q=24 millares
de metros.
s SS ESC Tasa de servicio obtetlvo
51 -10.1 10.0697674 58.04%
52 -9.07 9.09302326 62.11%
53 -8.07 8.11627907 66.18%
54 -7.07 7.23255814 69.86%
55 -6.07 6.41860465 73.26%
56 -5.07 5.65116279 76.45%
57 -4.07 4.93023256 79.46%
58 -3.07 4.25581395 82.27%
59 -2.07 3.62790698 84.88%
60 ~1.07 3.09302326 87.11%
61 -0.07 2.65116279 88.95%
62 0.93 2.25581395 90.80%
63 1.93 1.90697874 92.05%
64 2.93 1.58139535 93.41%
65 3.93 1.27906977 94.67%
66 4.93 1.02325581 95.74%
67 5.93 0.78744186 96.80%
68 6.93 0.53488372 97.77%
69 7.93 0.3255814 98.64%
70 8.93 0.23255814 99.03%
71 9.93 0.13953488 99.42%
72 10.93 0.06976744 99.71%
73 11.93 0.02325581 99.90%
74 12.93 1.64E-14 100.00%
Tabla 3: Tasa de servicio asociado a posición de inventario
39
3.3 Evaluación del desempeño del sistema utilizando como entrada
los parámetros de inventario de ajuste y la demanda de rollos de
stock en periodo de simulación
La siguiente etapa consiste en hacer una simulación del comportamiento del inventario
para cada modelo de demanda de rollos de stock (normal o emplnco) que se obtuvo en el
paso anterior utilizando las políticas de inventario (s, (/} y (R, S). Esto se lleva a cabo
mediante el algoritmo de la Figura 3: Algoritmo de simulación de inventario
Inicializar existencia para cada rolloStock r así como reabastecimientos pendientes por llegar 1/(s, Q) Para cada periodo I de la demanda de rolloStock
Para cada rolloStock r
Fin Para Fin Para 1/(R, S)
Existencia = existencia - cantidad demandada + reabastecimiento periodo I Si posición de inventario < punto de reorden s
reabastecimiento periodo i + L = Q Fin Si
Para cada periodo I de la demanda de rolloStock Para cada rolloStock r
Fin Para
Existencia = existencia - cantidad demandada + reabastecimiento periodo / Si I es múltiplo de r //estamos en periodo de revisión
Fin Si Fin Para
Si posición de inventario < S reabastecimiento periodo i + L = S-posición de inventario
Fin Si
Figura 3: Algoritmo de simulación de inventario
Vale la pena resaltar que se necesita inicializar la exi:;tencia asl como los
reabastecimiento pendientes por llegar para que no haya una distorsión en la tasa de
servicio obtenido. Esta simulación representa la operación de un sistema en inventario
utilizando los parámetros de inventario calculados en la sección 3.2
Con los resultados de esta simulación se puede comparar la tasa de servicio objetivo
contra tasa de servicio simulada. Adicionalmente; se puede obtener el costo total del
sistema y compararlos con los que resultarlan de no mantener inventarios y no realizar
cortes.
A continuación se resumen los pasos propuestos del modelo:
40
a) En el periodo de ajuste:
1. Para cada semana, resolver el cutting stock para las demandas de rollos
finales q1 Ct) ... qN (t)
2. Obtener el requerimientos de rollos de stock para cada rollo ren la semana
t utilizando v/t) = r:=1 Xrp, r = 1, ...• R.
3. Obtener la distribución de la demanda de rollos de stock ajustando una
distribución a las demandas Dr utilizando el modelo normal y emplrico.
4. Para cada rollo de stock r utilizar su modelo de demanda correspondiente
para calcular los parámetros de inventario de acuerdo con una tasa de
servicio objetivo y las políticas de inventario (s, <lJ y (R, .5).
b) En el periodo de prueba
1. Para cada semana, resolver el cutting stock para las demandas de rollos
finales q1 Ct) .•• qN (t)
2. Para cada modelo de demanda (normal o emplrico), simular el sistema
utilizando las pollticas de inventario (s, <lJ y (R, .5).
3. Calcular las tasas de servicio simuladas para cada polltica de inventario y
elaborar un análisis comparativo respecto a las tasas de servicio objetivo
de los rollos de stock r(r=l, ... ,R).
3.4 Parámetros del modelo
Las entradas del modelo son:
• Demanda de rollos ·finales por periodo para calcular parámetros de inventario (ajuste)
• Demanda de rollos finales por periodo para correr simulación
• Tasa de servicio objetivo
• Tipo de distribución a utilizar
• Política de inventario a utilizar
• Para cada rollo de stock:
41
o Ancho del rollo de stock
o Tiempo de entrega
o Costos de inventario
• Costo unitario del producto
• Costo de mantener en inventario
o Costo fijo por pedido
o Costos de corte
• Costo por ajuste de patrón de corte
• Costo por metro lineal cortado
Las salidas del modelo son:
• Tasa de servicio obtenida
• Costo totales resultantes del sistema:
o Costo del material suministrado
o Costo de la merma de corte resultante
o Costos de operación de corte
o Costo de pedidos
o Costo por mantener en inventario
3.5 Diseño de pruebas experimentales
Se plantean un grupo de 24 pruebas con diferentes parámetros:
• 3 valores de tasa de servicio objetivo:
o 85%
o 90%
o 95%
• 2 sistemas de inventario.
o (.s; Q)
o (R, .s)
• 2 grupos de rollos de stock
o Todo cortado de un solo rollo de stock con ancho> 1000mm.
o 11 rollos de stock (10 con tamaño final) y uno con ancho> 1000mm.
• 2 tipos de distribución para calcular s y S:
42
o Normal
o Emplrica
3.6 Herramienta computacional
En esta investigación se utilizará el lenguaje computacional Java® para implementar el
modelo de optimización. Para esto se utilizará un entorno de programación en Eclipse®
3.1 y la librería de programación lineal LPSolve®. Esta librerí~1 es capaz de resolver
funciones objetivo con valores enteros o binarios (utilizando el método de ramificación y
poda internamente). Los resultados son exportados a hojas de Microsoft Excel® donde se
realizan algunos cálculos adicionales. Finalmente para graficar los sistemas de inventarios
se utilizó la librería de JFreeChart®.
43
4 Caso de estudio
4.1 Descripción del caso
La metodologia propuesta se va a aplicar utilizando información de una familia de
productos obtenida de un distribuidora de envase flexible que trabaja principalmente para
la industria farmacéutica y cosmética. Esta familia de productos se importa de un
proveedor localizado en Austria. El tiempo de fabricación de sus productos va de 5 a 6
semanas (todos los periodos de demanda manejados son semanales) y una vez listos se
mandan al puerto más cercano. El trayecto al puerto asi como la espera del barco puede
tomar hasta una semana y el del barco a un puerto mexicano tres semanas. Datos
históricos de la distribuidora contemplan, con base en estos datos un tiempo de respuesta
total de diez semanas. El volumen de compra a este proveedor ya es suficiente para que
la mayorla de los envíos se hagan en contenedores completos de 20 pies. La capacidad
de cada contenedor está entre 12 a 14 toneladas.
El producto se compra de dos maneras distintas: los rollos menores a 1 OOOmm de ancho
tienen un costo determinado por kilo. Los rollos mayores a 1 OOOmm tienen un descuento
del 3% sobre el costo regular. Este descuento se debe principalmente a que no debe ser
cortado desde origen y se puede mandar como rollo de fabricación. Al costo del material
se le agrega un porcentaje para su seguro de importación que representa el 0.65%.
Los costos del pedido más importantes son los referentes a la importación y éstos se
desglosan a continuación:
• Honorarios: $270 USD
• Servicios: $310 USD
• Gastos Administrativos y de Operación: $150 USD
Los gastos administrativos consisten en el pedimento aduanal, documentación,
verificación previa de mercancias, candado fiscal, reconocimiento aduanero y paqueteria.
El costo total por pedido se estima en un total de $800 USD incluyendo el costo de la
persona que administre los pedidos.
44
El costo de mantener en inventario se calcula a través de información histórica de pagos a
una almacenadora externa y el inventario promedio que ésta tiene. Este cálculo da como
resultado un porcentaje de 0.5% anual. Adicionalmente, se considera un porcentaje del
13% por el costo financiero de tener el material almacenado durante un ai'io. Este
porcentaje es definido por la administración ya que se considera el costo de oportunidad
para invertirlo en otro rubro. El costo total anual es entonces 13.5% (0.259% a la semana)
La tasa de servicio objetivo en un mercado como el de la distribuidora está establecida
como de un 95%. La distribuidora tiene alrededor de 70 distintos clientes. Los rollos se
venden en una variedad de anchos mucho mayor a la de los rollos comprados. Para la
familia de productos que se utilizarán en este estudio la distribuidora tiene 10 anchos de
compra y alrededor de 90 anchos de venta. Para poder vender en estos anchos muchas
veces es necesario pasar los rollos por un proceso de corte. Este proceso se lleva a cabo
en máquinas que desenrollan, cortan y vuelven a enrollar el producto teniendo como
resultado uno o más anchos finales asi como una merma en caso de no ocupar la
totalidad del ancho del rollo de stock.
Los 10 anchos de compra que se utilizan son los que acumulan el porcentaje más alto de
utilización. En la Tabla 12, se puede observar un análisis ABC del cual se seleccionan los
siguientes anchos de compra: 0.161, 0.196, 0.183, 0.250, 0.170, 0.152, 0.101, 0.192 y
0.246 metros. Todos estos rollos de stock representan alrededor del 60% de las compras.
Adicionalmente, se compra material en un ancho 1.2 metros que! permite hacer distintas
combinaciones para obtener una o varias medidas que representa el 40% restante. Las
compras se revisan cada 3 semanas ya que por experiencia se considera que es el
periodo de tiempo necesario para comprar una cantidad mayor o igual a la de un
contenedor.
4.1.1 Entradas del modelo
De acuerdo con el disei'io de pruebas presentado en la sección 3.6 del capítulo anterior
éstas son las entradas del modelo:
• Demanda de rollos finales por semana en periodo de ajuste.
45
• Demanda de rollos finales por semana en periodo de simulación.
• Tasa de servicio objetivo: 85%, 90% y 95%
• Tipo de distribución a utilizar: Empírica y normal
• Política de inventario a utilizar: (R, .s) y (.s; <lJ
• Para cada rollo de stock:
o Ancho del rollo de stock:
• 1.2 metros
• 1.2. 0.161. 0.196, 0.183. 0.250, 0.170, 0.152, 0.101, 0.192 y 0.246
metros
o Tiempo de entrega: 1 O semanas
o Costos de inventario
• Costo por mantener en inventario: 0.00259 USD a la semana
• Costo unitario:
• anchos menores a 1.0 metros: 0.558 USD/mt2
• anchos mayores a 1.0 metros 0.542 USD/mt2
• Costo fijo por pedido: 800 USD
o Costos de corte
• Costo por ajuste de patrón de corte: 20 USD
• Costo por metro lineal cortado: 0.0038 USO/metro
4.1.2 Consideraciones adicionales
Todas las transacciones al inventario se llevarán a cabo únicamente al inicio de cada
semana. Se asume que a principios de la semana se utiliza el cutting stock para
transformar la demanda de rollos finales a rollos de stock, se retira lo que se va a usar esa
semana de rollos de stock y se actualiza el inventario en caso de que haya un pedido por
recibir. En este sentido, un sistema de revisión continuo como (s, <lJ implicarla una revisión
· semanal ya que es el único momento en el que se llevan a cabo transacciones. Las
semanas pues, son un periodo indivisible ya que no pueden realizarse transacciones . .
dentro de estas. Adicionalmente, una semana es un periodo relativamente corto respecto
al tiempo de entrega que se tiene del proveedor.
46
Actualmente, la distribuidora trabaja con un sistema (R, .5). Utilizando este sistema, el
tiempo de entrega del proveedor es mucho más alto que el tiempo de revisión.
Considerando un sistema (.s; Q), el tiempo de ciclo donde Q=EOQ se obtiene un valor de
3.025 semanas. Dicho resultado sigue siendo inferior al tiempo de entrega del proveedor
que es de 10 semanas.
Para la simulación se considera inicializar la existencia de cada rollo de stock con el valor
de su cantidad de reabasto, es decir µR para el sistema (R, .5) y EOQ para el sistema (.s; Q).
Adicionalmente, se están colocando 3 órdenes de reabastecimiento pendientes cada una
por la misma cantidad de reabasto. Para el sistema (R, .5) este número de órdenes
pendientes coincide con el número de revisiones. Por el otro lado en el sistema (.s; Q) se
justifica este número de órdenes debido a que coinciden con el tamar'lo de ciclo
previamente calculado.
Debido a que el inventario neto no es igual a la posición de inventario cuando llega el
pedido dado a />T(ciclo), las condiciones iniciales deben de considerar dejar el inventario
neto por abajo del punto de reorden y la posición de inventario por arriba.
La serie de datos que se utiliza para la prueba se obtuvo de la demanda histórica semanal
de la distribuidora. El grupo de datos de ajuste corresponde a la demanda histórica
durante el 2010. El grupo de datos de simulación corresponde a la demanda histórica del
2010 y 2011. Ambas series de datos serán utilizadas para generar demandas en rollos de
stock como se detalla en la sección 3.1. Posteriormente se va a modelar la demanda de
rollos de stock en periodo de ajuste y obtener los parámetros de inventario como se
detalla en la sección 3.2. Finalmente, se simulará la operación del sistema de inventario
de la compar'lla durante el periodo de simulación, descrito en la sección 3.3
Es importante aclarar que respecto a los datos de simulación, entre el 2010 y el 2011
hubo un incremento en la demanda de alrededor del 13%. Para eliminar esta variable del
análisis, los datos del 2011 fueron modificados para nulificar el efecto de este incremento.
Esto debido a que nuestro. supuesto es que el sistema funciona bajo demanda
estacionaria.
47
4.2 Resultados de las pruebas
El resultado de las 24 pruebas se puede resumir en la siguiente tabla:
~!s!' 1 ts~
1 1 Servicio Costo Total Servicio Costo Total
Simulada IUSD/m2) Simulada IUSD/m2)
Distribución 1 rollo 89.29% $ 0.57751 88.88% $ 0.57689
Tasa de Normal varios rollos 88.31% $ 0.57989 82.72% $ 0.58425 Servicio 1 rollo 96.69% $ 0.57818 96.75% $ 0.57727 Objetivo Distribución 85% Emoirlca varios rollos 91.01% $ 0.58039 87.52% $ 0.58394
Distribución 1 rollo 93.06% $ 0.57767 89.49% $ 0.57693
Tasa de Normal varios rollos 89.55% $ 0.58030 84.13% $ 0.58420 Servicio 1 rollo 97.93% $ 0.57848 98.04% $ 0.57765 Objetivo Distribución 90% Emoirica varios rollos 92.69% $ 0.58071 89.64% $ 0.58444
Distribución 1 rollo 96.28% $ 0.57808 93.58% $ 0.57734
Tasa de Normal varios rollos 89.55% $ 0.58107 84.13% $ 0.58521 Servicio 1 rollo 99.86% $ 0.57934 98.78% $ 0.57851 Objetivo Distribución 95% Emoirlca varios rollos 95.34% $ 0.58162 92.53% $ 0.58639
Tabla 4: Resumen de resultados de las pruebas
48
5 Interpretación y análisis de resultados
5.1 Desempeño de cutting stock
Como se mencionó anteriormente el programa computacional hace un recorrido por todas
las semanas de demandas de rollos finales y utiliza estas demandas como entrada para
ejecutar el cutting stock. La siguiente tabla muestra los resultados de una semana en
particular utilizando varios rollos de stock:
metros rollo 3 4 5 8 7 8 9 10 11 12 13 nillne usados stock
300.92 1.2 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0040
7,387.92 0.196 0.096 0.096 0.0040
2,080.95 1.2 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.0780
437.58 1.2 0.128 0.126 0.128 0.128 0.128 0.126 0.128 0.126 0.128 0.0680
3,544.59 1.2 0.138 0.138 0.138 0.138 0.138 0.138 0.138 0.138 0.0960
554.27 1.2 0.144 0.144 0.144 0.144 0.144 0.144 0.144 0.144 0.0480
7,241.76 0.17 0.162 0.0080
2,151.17 0.17 0.17
1,084.20 0.183 0.18 0.0030
1,294.91 0.183 0.162 0.0010
558.27 0.183 0.183
1,943.33 0.196 0.184 0.0120
18,085.90 0.196 0.191 0.0050
4,438.21 0.196 0.192 0.0040
35,937.32 0.196 0.196
2,081.72 1.2 0.214 0.214 0.214 0.214 0.214 0.1300
625.83" 1.2 0.235 0.235 0.235 0.235 0.235 0.0250
7,494.05 0.25 0.245 0.0050
19,325.58 1.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
778.53 0.25 0.096 0.151 0.0030
359.89 1.2 0.096 0.11 0.11 0.11. 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.0040
402.18 1.2 0.138 0.153 0.153 0.153 0.201 0.201 0.201
685.48 1.2 0.138 0.201 ·0.201 0.201 0.201 0.255 0.0030
3,375.79 1.2 0.071 0.102 0.255 0.255 0.255 0.255 0.0070
555.24 1.2 0.182 0.207 0.207 0.207 0.2!)7 0.207 0.0030
Tabla 5: Resultado de cutting stock
49
Como se puede observar de una demanda en metros de diferentes rollos finales (0.110,
0.201, 0.255, etc.) se obtienen arreglos de corte para un rollo de stock en particular. Por
ejemplo la última fila de la tabla dice que se deben cortar 555 metros del rollo de stock de
1.2 metros con el arreglo de corte de 0.162/0.207/0.207/0.207/0.207/0.207. De este corte
en particular se obtiene una merma de 0.003 metros que sobran del arreglo del corte.
La merma de la simulación completa (para todas las semanas) da un valor para un solo
rollo de stock de 3.17% y para varios rollos de stock de 1.61 %. De los datos históricos de
la empresa se obtuvo una merma promedio por merma de refine del 2.8% en el 2011.
5.2 Análisis de demandas de rollos de stock
Utilizando el cutting stock se convirtieron los datos de la demanda de anchos finales a
demanda de anchos de stock. Se aplicó la prueba de normalidad Anderson-Darling a la
demanda resultante obteniendo los siguientes resultados:
• Un rollo de stock: Ancho de 1.2 metros: Valor P: 0.420982397 > 0.05. No se
descarta normalidad.
º,:=, ____ J ···-·----- --· .. ..... _____ _. 0.8 - ·-------· } --- ------- ------ ·-------- -- --- --------- ·.
8 :~ ::::::::::~1=:::::_-::::::_ -- __ ::::::-:_::::::::::::::::::::::::::::
!} =--====== 1 ==------=================-- . -====---==-===-- -=
1-Nomial • Data
Figura 4: Gráfica de distribución normal de demanda de ancho de 1.2 metros
50
• Varios anchos de stock: Ancho de 1.2 metros: Valor P: 0.420982397 > 0.05. No se
descarta normalidad. Resto de los anchos: P: < 0.0005. Se descarta normalidad.
Asimismo se calculó el coeficiente de variación en ambos casos.
• Un rollo de stock: Ancho de 1.2 metros: cv= 38.83%
• Varios rollos de stock: ver Tabla 6: Coeficiente de variación para varios rollos
rollo desviación stock estándar coeficiente lml Medlalm2) (m2) variación
0.101 1,281.34 5,737.25 447.76%
0.152 3,076.42 6,127.73 199.18%
0.161 5,717.73 16,590.03 290.15%
0.170 30,478.98 36,923.35 121.14%
0.183 9,695.45 14,835.50 153.01%
0.192 23,954.29 36,265.25 151.39%
0.196 40,518.51 33,178.00 81.88%
0.246 8,570.48 14,283.35 166.66%
0.250 26,627.02 22,553.67 84.70%
1.200 37 060.53 19,530.51 52.70% Tabla 6: Coeficiente de variación para varios rollos
5.3 Desempeño de sistema de inventarios
La simulación de inventario consiste en inicializar existencias de los rollos de stock e ir
restando las demandas de. cada periodo asl como hacer pedidos cada que las pollticas y
parámetros de inventario lo detonan. Las dos siguientes gráficas son salidas del programa
computacional donde se puede apreciar el comportamiento de la simulación en un modelo
con un solo rollo de stock usando distribución normal con un 90% de tasa de servicio
objetivo. La linea roja representa el punto de reorden para (~ (l) y la posición de inventario
objetivo para (~ .5). La linea verde representa la posición de inventario y finalmente la azul
representa el inventario neto:
51
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Figuras· Simulación utilizando (R, S)
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~~QI~ --Figura 6: Simulación con (s. Q)
52
5.3.1 Disparos del punto de reorden
En los modelos de inventario (s, (/) utilizando un solo rollo de stock y los tres distintos
porcentajes de tasa de servicio objetivo, el porcentaje de pedidos en los cuales la posición
de inventario queda por debajo del punto de reorden ses en promedi1:> del 5%. Esto indica
que el comportamiento del sistema es adecuado y que los valores con los que se están
trabajando no comprometen su buen funcionamiento.
Por otro lado, las simulaciones de (.s; (/) utilizando varios rollos de stock, y los tres distintos
porcentajes de tasa de servicio objetivo, este porcentaje es en promedio del 13%. Esto
indica que el comportamiento del sistema ya se ve algo afectado y explica en buena
medida que exista una diferencia mayor entre la tasa de servicio objetivo y la simulada.
5.3.2 Tasa de servicio simulada
Como se puede observar en la Tabla 4: Resumen de resultados de las pruebas, las . pruebas de varios rollos de stock con distribución normal casi nunca consiguen tasas de
servicio simuladas iguales o mayores a las objetivo (con excepción de (R, ,S) con objetivo
del 85%). Este comportamiento es esperado dado que ninguna de las demandas de
varios rollos de stock tiene una distribución normal como se demostró anteriormente.
Las pruebas de varios rollos de stock con distribución empírica siempre obtienen tasas de
servicio iguales o mayores a las objetivo utilizando una política de inventario (R, .5). Por
otro lado, estas mismas pruebas utilizando una polltica de inventario (.s; (/) sólo obtienen
tasas mayores o iguales en una ocasión (con objetivo del 85%).
Las pruebas de un rollo de stock .con distribución normal son las que obtienen valores·
más cercanos a la tasa de servicio objetivo. De estas, son las de (s, (/) las que se
encuentran más cercanas al objetivo aunque por una diferencia pequeña (1 al 2%). Poréf
contrario la distribución emplrica obtiene siempre tasas de servicio mucho más elevadas.
El caso más drástico es en el que con un objetivo del 85% se obtienen tasas simuladas de
casi 97% tanto en (.s; (/) como en (R, ,S).
53
S.4 Costo total del sistema
La siguiente tabla muestra cómo quedan los costos de cutting stock comparados entre
uno o varios rollos de stock:
Rollos stock Corte merma materia! total
un rollo $0.01061 $0.01776 $0.54200 $0.57037
varios rollos $0.01222 $0.00896 $0.54842 $0.56960
Tabla 7: costos de corte en USD/m2
Utilizar varios rollos es la opción más económica aunque la diferencia entre el total de
costos es mlnima (0.14%). La ventaja de obtener una menor merma prácticamente
desaparece por la diferencia en costo de los rollos de stock.
Respecto a los costos de inventario, en todos los casos es mayor el de varios rollos de
stock comparado con el de un sólo rollo. El costo ies 45% mayor usando la estrategia(~
5) mientras que llega hasta 55% en promedio usando la estrategia (.s; {}). El costo A por
otro lado es un 4% superiqr en el sistema (~ 5) y un 50% mayor en el sistema (.s; {}).
Considerando sólo las pruebas con un rollo de stock, se puede observar que el costo i es
· marginalmente menor utilizando (~ 5) (1.6%) aunque el costo A se comporta mejor
utilizando (.s; {}) (22%). Considerando ambos costos (.s; {}) resulta ser una estrategia más
efectiva. Las tablas 8 y 9 muestran el detalle de esta información:
Costo de Inventarlo (R,S) (s,Q) (USD/m2) IUSD/m21 diférencia
85 normal $ 0.00303 $ 0.00330 9.1%
85 empirlca $ 0.00400 $ 0.00396 -1.1%
90 normal $ 0.00334 $ 0.00336 0.7%
90 empirlca $ 0.00435 $ 0.00438 0.6%
95 normal $ 0.00388 $ 0.00392 1.0%
95 emPirlca $ 0.00528 $ 0.00525 -0.5% Tabla 8: costo de inventario un rollo de stock
54
Costo eor eedldos (R, S) (s,Q) (USD/m2l (USD/m2) diferencia
85 normal $ 0.00412 $ 0.00322 -21.8%
85 empírica $ 0.00381 $ 0.00294 -22.8%
90 normal $ 0.00395 $ 0.00319 -19.3%
90 emoirlca $ 0.00376 $ 0.00290 -22.8%
95 normal $ 0.00383 $ 0.00304 -20.4%
95 empirlca $ 0.00369 $ 0.00288 -21.9% Tabla 9: costo por pedidos un rollo de stock
Considerando sólo las pruebas con varios rollos de stock, se puede c,bservar que (R, ,S) se
desempei'\a mejor que (.s; (/} tanto para el costo i(28% en promedio) como para el costo A
(53% en promedio). El costo i es mayor por los valores tan altos de EOQ con varios rollos
de stock ya que en su cálculo no se contempla que en cada periodo de compra se puedan
consolidar varias medidas. El costo A es mayor por la misma situación ya que el número
de pedidos se incrementa dependiendo del número de anchos.
Las tablas 10 y 11 muestran el detalle de esta información:
Costo de Inventarlo (R,S) (s,Q) (USD/m2l (USD/m2) diferencia
85 normal $ 0.00604 $ 0.00840 39.0%
85 empírica $ 0.00676 $ 0.00832 23.1%
90 normal $ 0.00661 $ 0.00846 28.0%
90 emolrlca $ 0.00714 $ 0.00907 27.0%
95 normal $ 0.00754 $ 0.00926 22.8%
95 empírica $ 0.00816 $ 0.01054 29.1% Tabla 10: costo de Inventario vanos rollos de stock
Costo oor oedldos (R,S) (s,Q) fUSD/m2l fUSD/m2l diferencia
85 normal $ 0.00425 $ 0.00626 47.3%
85 emplrlca $ 0.00404 $ 0.00602 49.2%
90 normal $ 0.00410 $ 0.00615 49.9%
90 emoírlca. $ 0.00397 $ 0.00577 45.5%
95 normal $ 0.00393 $ 0.00636 61.7%
95 emolrlca $ 0.00386 $ 0.00626. 62:1% Tabla 11: costo por pedidos varios rollos de stock
55
Por último, respecto al costo total resumido en la Tabla 4: Resumen de resultados de las
pruebas, todas las pruebas de un rollo de stock tienen un desempeño económico superior
al de las pruebas con varios rollos. En los sistemas (R, .s) la diferencia en costo ronda
alrededor del 0.4% mientras que en los sistemas (~ (/) la diferencia promedia un 1.3%.
56
6 Conclusiones
6.1 Ventajas y Limitaciones
El modelo propuesto en este trabajo es novedoso ya que integra un problema de
optimización muy estudiado como es el cutting stock con un sistema de inventario para
demanda probabillstica. Esto nos permite hacer una evaluación integral del desempei'\o
de un conjunto de rollos de stock utilizados como materia prima en términos de costo y
cumplimiento de un nivel de servicio objetivo. Evaluar con éste distintos escenarios con
variación en el número de rollos de stock, sus anchos, la distribución, la polltica de
inventario utilizada, etc. será posible escoger la alternativa más óptima.
El modelo esta respaldado por un programa computacional y probado con datos
empíricos de una distribuidora de empaque farmacéutico al generar distintos escenarios.
Los resultados sugieren que la empresa referida dentro del caso de estudio debe limitarse
a comprar un solo rollo de stock modelando su demanda mediante distribución normal con
una polltica de inventario. Estas decisiones permitirán obtener el mejor desempei'\o tanto
en la tasa de servicio como en los costos totales del sistema. Los ahorros de costo
respecto a corte e inventario se estiman entre un 0.6 y un 1.2%. Adicionalmente la
empresa contará con una herramienta que permita alcanzar con mayor precisión un nivel
de objetivo determinado.
La principal limitación de este trabajo es que como todo modelo no permite reflejar
completamente un problema en particular. La empresa del caso de estudio además de
distribuir rollos finales, también lleva a cabo otros procesos como impresión o hojeado.
Estos procesos tienen otras consideraciones adicionales que actualmente· no se
contemplan. Por ejemplo, un producto impreso debe aprovechar de preferencia el ancho
máximo de la impresora para maximizar su uso. En ese sentido no se meterá a imprimir
un rollo en ancho final sino probablemente en un múltiplo mayor que permita mejorar la
utilización de la máquina. Una optimización absoluta deberla considerar muchos más
factores a costa de volverla muy compleja y sumamente particular a un caso de estudio.
La cantidad de datos históricos disponibles fue una variable ·que limitó las pruebas. Como
las demandas son semanales y sólo se contó con información del 2010 en adelante, el
57
número de periodos para el estudio fue únicamente de 104 registros. Haber contado con
información de otros 2 años podrla haber dado una idea más completa del
comportamiento del modelo.
Otra limitación encontrada tuvo que ver con el tiempo necesario para llevar a cabo las
pruebas. El tiempo que toma el modelo para poder resolver el problema de cutting stock
puede ser largo y presentar mucha variabilidad (desde resolverse en milisegundos hasta
tomar más de un minuto). Adicionalmente el número de pruebas fue considerable ya que
se evaluaron distintos escenarios como diferentes tasas de servicio objetivo, pollticas de
inventario y tipos de distribuciones. Cada una de los escenarios evaluados supuso
resolver un problema de cutting stock por cada semana evaluada tanto en el periodo de
ajuste como el de simulación. 24 diferentes escenarios considerando 104 semanas
implicaron resolver 2,496 problemas. El levantamiento de resultados tomó por lo mismo
bastante tiempo.
6.2 Trabajo futuro
La programación lineal es algo rlgida para poder incluir nuevas restricciones.
Adicionalmente agregar restricciones también genera incrementos considerables con el
tiempo de ejecución del programa computacional asi como soluciones no factibles. Otro
problema encontrado relacionado con la programación lineal es que pareciera que
solución inicial está forzando a . que haya tantos patrones como anchos finales. Una
alternativa al uso de la programación lineal es probar con otros algoritmos documentados
en la literatura del cutting stock como con algoritmos heurísticos. Adicionalmente valdrla
la pena considerar las restricciones de cutting stock 1.5 dimensional mencionadas en la
sección 1.1.5 para reflejar de mejor manera la problemática de los rollos.
En el modelo actual se genera primero la demanda de rollos de stock para un año
completo y posteriormente se lleva a cabo la simulación del iriventario. Para fines de
evaluación de desempeño esto es útil sin embargo en la operación día a dla esto se debe
llevar a cabo intercalado y semana por semana. Una semana antes de producción se
58
debe correr el cutting stock considerando la demanda en rollos finales y as[ generar la
demanda para esa semana. Con esta información se actualizan los inventarios y se hacen
pedidos considerando las políticas establecidas. Una integración aún mayor se lograría
metiendo restricciones dinámicas al problema de programación lineal para que considere
las existencias de cada rollo de stock. Esto ayudaría a poder sustituir un rollo de stock por
otro compatible cuando hay desabasto del mismo. Evaluar ese comportamiento sería muy
útil ya que se van a modificar las demandas de rollos de stock por configuraciones menos
óptimas aunque probablemente ayudando a alcanzar mejoras en las tasas de servicio
simuladas.
Otra oportunidad de mejora ar correr intercaladamente la generación de rollos de stock y
la simulación de inventario es que se podrían ir actualizando los parámetros de control de
inventario. Si el modelo actualizara sus parámetros de control conforme pasa cada
periodo, este podría absorber incrementos o decrementos en la demanda de un cierto
rollo de stock. Una posibilidad sería considerar únicamente la demanda de un periodo
preestablecido de tiempo para calcular medias, desviaciones, puntos de reorden o de
reabastecimiento. Por ejemplo, se podrían considerar las demandas de 52 semanas hacia
atrás. Que el modelo actualice sus parámetros con base en las demandas mes a mes
también tendría como beneficio poder prescindir del periodo de ajuste teniendo
parámetros de inventario más actualizados.
Existen varias industrias en las que se puede aplicar el modelo además de las dedicadas
a distribuir rollos. Cualquier industria dedicada a distribuir bienes con medidas variables
como de tubos, perfiles (cutting stock unidimensional) o tablones y vidrios (cutting stock
bidimensional) podría utilizar el modelo planteado para evaluar las medidas de los
productos que tienen en stock y as[ poder encontrar un conjunto que minimice sus costos
de inventario y de corte. Únicamente es necesario hacer algunos cambios al problema de
programación lineal para considerar sus restricciones y su tipo de problema (una, dos o 3
dimensiones).
59
7 Bibliografía
Branch, A. (2008). Global Supply Chain Management and lnternational Logistics. Taylor
and Francis.
Chiong, R., & Beng, O. K. (12 de Febrero de 2007). A Comparison between Genetic
Algorithms and Evolutionary Programming based on Cutting Stock Problem.
Engineering Letters.
Chopra, S., & Meindl, P. (2001). Supply Chain Management. New Jersey: Prentice-Hall.
Chuen-Lung S. Chen, S. M. (13 de Diciembre de 1993). A simulated annealing heuristic
for the one-dimensional cutting stock problem. European Journal of Operational
Research, 522-535.
Ducatelle, F., & Levine, J. (s.f.). Ant Colony Optimization for the Bin Packaging and Cutting
Stock Problems.
Dyckhoff, H., & Finke, U. (1992). Cutting and packing in production and distribution: A
Typology and Bibliography. GE: Physica, Aachen.
Ferret. (23 de Noviembre de 2004). Future trends in packaging. Recuperado el 10 de
Noviembre de 2009, de Australia's Manufacturing and Industrial Directory:
http://www.ferret.com.au/n/Future-trends-in-packaging-n 718545
Gomory, & Gilmore. (1961). A linear programming approach to the cutting-stock problem.
Operations Research, 849-859.
Gradisar, M., Resinovic, G., & Kljajic, M. (2002). Evaluation of algorithms for one
dimensional cutting. Computers and operations research, 29, 1207-1220. Slovenia:
Pergamon.
Haessler, R. W. (1992). One-dimensional cutting stock problems and solution procedures.
Mathl. Comput. Modelling, 1-8.
Heikkila, J. (2002). From supply to demand chain management: efficiency and customer
satisfaction. Journal of Operations Management, 20, 747-767. Elsevier.
60
Holthaus, O. (2002). Decomposition approaches for solving the integer one-climensional
cutting stock problem with different types of standard lengths. European Joumal of
Operational Research(114), 395-402.
lndustryWeek Manufacturing Perfonnance lnstitute. (2007). Manufacturing Census. New
York: Penton Media.
Nahmias, S. (2007). Análisis de la producción y las operaciones. México, D.F.: McGraw
Hill.
Nonfis, S. L., & Thorstenson, A. (2008). Solving a combinad cutting-stock and lot-sizing
problem with a column generating procedure. Computers and operations research,
3371 - 3392.
Porras, E., & Dekker, R. (2008). An inventory control system for spare parts ata a refinery:
An empirical comparison of different re-arder point methods. European Joumal of
Operational Research(114), 395-402.
Silver, E. A. (1998). lnventory Management and production planning and scheduling. New
York: John Wiley.
Sipper, D., & Bulfin, R. (1997). Production Planning, Control and lntegration. New York:
McGraw-Hill.
Song, X., Chu, C., Nie, Y., & Bennell, J. (2006). An iterativa sequential heuristic procedure
to a real-lite 1.5-climensional cutting stock problem. European Joumal of
Operational Research, 1870-1889.
van Hoek, R. (2001). The rediscovery of postponement a literatura review and directions
for research. Journal of Operations Management(19), 161-184. Elsevier.
Van Landeghema, H., & Vanmaele, H. (2002). Robust planning: a new paradigm for
demand chain planning. Journal of Operations Management(20), 769-783.
Elsevier.
Yang, C.-T., Sung, T.-C., & Weng, W.-C. (2006). An improved tabu search approach with
mixed objective fi.mction for one-climensional cutting stock problems. Advances in
Engineering Software(37), 502-513. Elsevier ..
61
Yaodong, C., Tianlong, G., & Wei, H. (2009). A cutting and invento1y control problem in the
manufacturing industry of stainless steel wares. The intemational joumal of
management science, 864-875.
Zobel, C. W. (1 de January de 2004). The ordered cutting stock problem. Decision
Sciences.
62
8 Apéndice
1.. 20 .. 1 J,e-7 •l.. g -..¡ ... 1
ce co Sdns" l
1.. 21 .. ¡ --i s I s ¡...-1 ~ 3 ~-
ce eco 1.. 21 ... 1
.....i s I s ~-, - .. u~-
cc c co Sdling 3
Figura 7: Representación gráfica del cutting stock unidimensional
63
s 10 15 20
14 T
15
12 17
5 11
13 ·10 6 5
4 Ul
9 7 Q'I, 3
16 5 T 5
2 ..... 5
Figura 8: Representación gráfica del cutting stock bidimensional
Figura 9: Representación gráfica del cutting stock tridimensional
64
Ancho demanda demanda Acumulado Acumulado (metros) (metros (kgs) demanda anchos
cuadrados! 0.196 284,162.80 21,539.54 7.60% 1% 0.183 277,930.87 21,087.16 15% 2% 0.162 267,710.42 20,292.45 22% 3% 0.098 245,779.42 18,630.08 29% 4% 0.152 205,272.30 15,814.70 34% 6% 0.250 203,184.04 15,401.35 40% 7% 0.170 162,688.21 12,330.25 44% 8% 0.192 150,855.01 11,532.78 48% 9% 0.246 145,874.67 11,086.48 52% 10% 0.102 129,001.98 9,778.35 56% 11% 0.212 107,482.40 8,145.65 58% 12% 0.205 100,282.19 7,601.39 61% 13% 0.230 76,063.72 5,765.63 63% 14% 0.110 62,187.47 4,713.81 65% 16% 0.114 61,887.34 4,664.50 66% 17% 0.201 60,951.58 4,620.13 68% 18% 0.128 60,718.73 4,602.48 70% 19% 0.165 54,386.62 4,1.66.51 71% 20% 0.092 49,046.17 3,712.38 72% 21% 0.096 47,800.79 3,623.30 74% 22% 0.150 45,950.79 3,483.07 75% 23% 0.133 40,947.10 3,103.79 78% 24% 0.169 39,307.92 2,994.86 77% 26% 0.144 38,686.02 2,932.40 78% 27% 0.140 38,191.29 2,899.49 79% 28% 0.100 36,442.74 2,782.36 80% 29% 0.161 35,809.63 2,714.37 81% 30% 0.135 35,151.45 2,664.48 82% 31% 0.210 33,782.72 2,560.73 83% 32% 0.265 32,820.05 2.487.76 84% 33% 0.156 32,734.04 2,495.68 85% 34% 0.112 32,488.26 2,462.61 86% 36% 0.111 31.703.30 2,403.11 86% 37% 0.104 30,426.52 2.306.33 87% 38% 0.193 26,739.05 2,026.82 88% 39% 0.081 26,287.20 1,992.57 89% 40% 0.213 25,428.38 1,927.47 89% 41% 0.200 25,149.34 1,906.32 90% 42% 0.071 23,284.70 1,764.98 91% 43% 0.400 22,332.32 1,692.79 91% 44% 0.125 22,012.53 1,668.55 92% 46% 0.146 21,281.13 1,613.11 92% 47% 0.183 20,997.89 1,591.64 93% 48% 0.122 19,875.73 1,506.58 93% 49% 0.138 18,396.31 1,405.21 94% 50% 0.120 17,438.79 1,321.86 94% 51% 0.204 17,030.61 1,290.92 95% 52% 0.180 17.008.05 1,289.21 95% 53% 0.232 15,303.17 1,159.98 96% 54% 0.160 14,262.80 1,081.12 96% 56% 0.251 13,586.02 1.029.82 97% 57% 0.195 12,978.63 983.78 97% 58% 0.175 12,769.39 967.92 97% 59% 0.082 9,639.18 730.65 97% 60% 0.255 8,206.46 822.05 98% 61% 0.304 8,169.92 619.28 98% 62% 0.220 7,280.61 551.87 98% 63% 0.188 5,763.59 436.88 98% 64% 0.106 5,395.78 409 98% 66% 0.190 5,335.49 404.43 99% 67% 0.076 5,230.47 396.47 99% 68% 0.149 5,082.98 385.29 99% 69% 0.260 4,277.57 324.24 99% 70% 0.235 4,249.47 322.11 99% 71% 0.164 3,639.31 275.86 99% 72% 0.080 3,337.60 252.99 99% 73% 0.134 3,314.51 251.24 99% 74%
65
0.209 2,878.63 218.2 99% 76% 0.130 2,448.55 185.6 99% 77% 0.090 2,375.99 180.1 100% 78% 0.249 2,238.79 169.7 100% 79% 0.101 2,153.03 163.2 100% 80% 0.222 1,998.81 151.51 100% 81% 0.091 1,564.64 118.6 100% 82% 0.142 1,382.98 104.83 100% 83% 0.109 1,308.71 99.2 100% 84% 0.154 1,026.39 77.8 100% 86% 0.121 642.22 63.64 100% 87% 0.094 725.59 55 100% 88% 0.072 685.49 51.96 100% 89% 0.155 6n.57 51.36 100% 90% 0.095 643.27 48.76 100% 91% 0.143 570.58 43.25 100% 92% 0.800 558.05 42.3 100% 93% 0.285 290.24 22 100% 94% 0.300 271.24 20.56 100% 96% 0.147 202.51 15.35 100% 97% 0.105 138.52 10.5 100% 98% 0.214 115.44 8.75 100% 99% 0.026 o 100% 100%
Total eneral 3 733 830.74 283 245.32
Tabla 12: Análisis ABC
66
G.(le) le G.(le) le Gu(le) le G.(le) le G.(le) le G.(le) le 0.39890 - 0.17990 0.56 0.06595 1.12 0.01920 1.68 0.00436 2.24 0.00078 2.80 0.39400 0.01 0.17710 0.57 0.08465 1.13 0.01874 1.69 0.00424 2.25 0.00074 2.81 0.38900 0.02 0.17420 0.58 0.08338 1.14 0.01829 1.70 0.00411 2.28 0.00071 2.82 0.38410 0.03 0.17140 0.59 0.06210 1.15 0.01785 1.71 0.00400 2.27 0.00069 2.83 0.37930 0.04 0.16870 0.60 0.06088 1.16 0.01742 1.72 0.00388 2.28 0.00067 2.84 0.37440 0.05 0.16590 0.61 0.05964 1.17 0.01699 1.73 0.00377 2.29 0.00064 2.85 0.36970 0.06 0.16330 0.62 0.05844 1.18 0.01658 1.74 0.00366 2.30 0.00062 2.86 0.36490 0.07 0.16060 0.63 0.05726 1.19 0.01617 1.75 0.00356 2.31 0.00060 2.87 0.36020 0.08 0.15800 0.64 0.05610 1.20 0.01578 1.76 0.00345 2.32 0.00058 2.88 0.35560 0.09 0.15540 0.65 0.05496 1.21 0.01539 1.77 0.00335 2.33 0.00056 2.89 0.35090 0.10 0.15280 0.66 0.05384 1.22 0.01501 1.78 0.00326 2.34 0.00054 2.90 0.34640 0.11 0.15030 0.67 0.05274 1.23 0.01464 1.79 0.00316 2.35 0.00052 2.91 0.34180 0.12 0.14780 0.68 0.05165 1.24 0.01428 1.80 0.00307 2.36 0.00051 2.92 0.33730 0.13 0.14530 0.69 0.05059 1.25 0.01392 1.81 0.00298 2.37 0.00049 2.93 0.33280 0.14 0.14290 0.70 0.04954 1.26 0.01357 1.82 0.00289 2.38 0.00047 2.94 0.32840 0.15 0.14050 0.71 0.04851 1.27 0.01323 1.83 0.00280 2.39 0.00046 2.95 0.32400 0.16 0.13810 0.72 0.04750 1.28 0.01290 1.84 0.00272 2.40 0.00044 2.98 0.31970 0.17 0.13580 0.73 0.04650 1.29 0.01257 1.85 0.00264 2.41 0.00043 2.97 0.31540 0.18 0.13340 0.74 0.04553 1.30 0.01226 1.86 0.00256 2.42 0.00041 2.98 0.31110 0.19 0.13120 0.75 0.04457 1.31 0.01195 1.87 0.00248 2.43 0.00040 2.99 0.30690 0.20 0.12890 0.76 0.04363. 1.32 0.01184 1.88 0.00:'.41 2.44 0.00038 3.00 0.30270 0.21 0.12670 0.77 0.04270 1.33 0.01134 1.89 0.00234 2.45 0.00037 3.01 0.29860 0.22 0.12450 0.78 0.04179 1.34 0.01105 1.90 0.00227 2.46 0.00036 3.02 0.29440 0.23 0.12230 0.79 0.04090 1.35 0.01077 1.91 0.00220 2.47 0.00034 3.03 0.29040 0.24 0.12020 0.80 0.04002 1.36 0.01049 1.92 0.00213 2.48 0.00033 3.04 0.28630 0.25 0.11810 0.81 0.03916 1.37 0.01022 1.93 0.00207 2.49 0.00032 3.05 0.28240 0.28 0.11600 0.82 0.03831 1.38 0.00996 1.94 0.00200 2.50 0.00031 3.06 0.27840 0.27 0.11400 0.83 0.03748 1.39 0.00970 1.95 0.00·194 2.51 0.00030 3.07 0.27450 0.28 0.11200 0.64 0.03667 1.40 0.00945 1.96 0.00·188 2.52 0.00029 3.08 0.27080 0.29 0.11000 0.85 0.03587 1.41 0.00920 1.97 0.00º183 2.53 0.00028 3.09 0.26680 0.30 0.10800 0.86 0.03508 1.42 0.00896 1.98 0.00177 2.54 0.00027 3.10 0.26300 0.31 0.10810 0.87 0.03431 1.43 0.00872 1.99 0.00172 2.55 0.00026 3.11 0.25920 0.32 0.10420 0.88 0.03356 1.44 0.00849 2.00 0.00168 2.56 0.00025 3.12 0.25550 0.33 0.10230 0.89 0.03281 1.45 0.00827 2.01 0.00161 2.57 0.00024 3.13 0.25180 0.34 0.10040 0.90 0.03208 1.48 0.00805 2.02 0.00156 2.58 0.00023 3.14 0.24810 0.35 0.09860 0.91 0.03137 1.47 0.00783 2.03 0.00151 2.59 0.00022 3.15 0.24450 0.36 0.09880 0.92 0.03067 1.48 0.00762 2.04 0.00146 2.60 0.00021 3.16 0.24090 0.37 0.09503 0.93 0.02998 1.49 0.00742 2.05 0.00142 2.81 0.00021 3.17 0.23740 0.38 0.09328 0.94 0.02931 1.50 0.00722 2.06 0.00137 2.62 0.00020 3.18 0.23390 0.39 0.09518 0.95 0.02865 1.51 0.00702 2.07 0.00133 2.63 0.00019 3.19 0.23040 0.40 0.08986 0.96 0.02800 1.52 0.00684 2.08 0.00129 2.64 0.00019 3.20 0.22700 0.41 0.08819 0.97 0.02736 1.53 0.00665 2.09 0.00125 2.65 0.00018 3.21 0.22360 0.42 0.08854 0.98 0.02674 1.54 0.00647 2.10 0.00121 2.66 0.00017 3.22 0.22030 0.43 0.08491 0.99 0.02612 1.55 0.00629 2.11 0.00117 2.67 0.00017 3.23 0.21690. 0.44 0.08332 1.00 0.02552 1.56 0.00612 2.12 0.00113 2.68 0.00018 3.24 0.21370 0.45 0.08174 1.01 0.02494 1.57 0.00595 2.13 0.00110 2.69 0.00015 3.25 0.21040 0.46 0.08019 1.02 0.02436 1.58 0.00579 2.14 0.00106 2.70 0.00015 3.28 0.20720 0.47 0.07866 1.03 0.02380 1.59 0.00563 2.15 0.00103 2.71 0.00014 3.27 0.20400 0.48 0.07716 1.04 0.02324 1.60 0.00547 2.16 0.00099 2.72 0.00014 3.28 0.20090 0.49 0.07568 1.05 0.02270 1.61 0.00532 2.17 0.00096 2.73 0.00013 3.29 0.19780 0.50 0.07422 1.06 0.02217 1.62 0,00517 2.18 0.00093 2.74 0.00013 3.30 0.19470 0.51 0.07279 1.07 0.02165 1.63 0.00503 2.19 0.00090 2.75 0.00012 3.31 0.19170 0.52 0.07138 1.08 0.02114 1.64 0.00489 2.20 0.00087 2.78 0.00012 3.32 0.18870 0.53 0.06999 1.09 0.02064 1.65 0.00475 2.21 0.00084 2.77 0.00011 3.33 0.18570 0.54 0.06862 1.10 0.02015 1.66 0.00462 2.22 0.00081 2.78 0.00011 3.34 0.18280 0.55 0.06727 1.11 0.01967 1.67 0.00449 2.23 0.00079 2.79 0.00011 3.35
Tabla 13: Valores de k y G.,(k)
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