iii bim - geom - guia nº6 - poligonos (1ra. parte)

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” III BIM – GEOMETRÍA – 3ER. AÑO

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 179

c. 2500? a.C. - c. 1700? a.C.Civilización del valle del Indo La civilización del valle del Indo floreció en la zona que actualmente abarca Pakistán y el oeste de la India. Su economía estaba basada en la agricultura. La prosperidad de las ciudades de Harappa, al norte, y Mohenjo-Daro, al sur, se debió a las cosechas obtenidas en las fértiles llanuras del Indo.

c. 2500? a.C. Vehículos de ruedas Aparecen vehículos de ruedas en el valle del Indo y en las estepas de Asia central.

c. 2500? a.C. Construcción de Harappa En Harappa y Mohenjo-Daro, ciudades ambas pertenecientes al entorno cultural de la civilización del valle del Indo, se utilizaron ladrillos cocidos para construir los edificios. Muchas de las casas disponían de un tubo de desagüe y un cuarto de baño.

c. 2500? a.C. Bronces minoicos La civilización minoica aprende a trabajar el bronce. Con esta aleación de cobre y estaño realizará numerosos utensilios y objetos artísticos.

c. 2500? a.C. Producción de vidrio en Egipto El vidrio se comenzó a producir en Egipto a partir de arena de sílice fundida a altas temperatura. El arte del vidrio soplado se originó en Siria en el siglo I a.C.

c. 2500 a.C. Primera biblioteca Se considera que un templo babilónico de la ciudad de Nippur, en el que se encontraron miles de tablillas con composiciones literarias grabadas en escritura cuneiforme, fue la primera “biblioteca” del mundo.


“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”180

Las mayores contribuciones de Arquímedes fueron en geometría. Sus métodos anticipados de cálculo integral 2.000 años antes de Newton y Leibniz.Arquímedes era un nativo de Siracusa, Sicilia y estudió en Alejandría, volviendo en seguida a su patria. Dedicó su genio a la geometría, mecánica, física e Ingeniería. Su geometría es una geometría de la medida. Efectúa cuadraturas de superficies planas y curvas. Escribió varias obras las cuales se han ordenado según la época en que fueron escritas:

1. Esfera y cilindro.2. Medida del círculo.3. Gnoides y esferoides.4. Espirales.5. Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad.6. Cuadratura de la parábola.7. El arenario.8. Cuerpos flotantes.9. Los lemas.10. El método.

Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. Demostró que " El área de un casquete esférico es igual a la superficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con punto de la circunferencia basal".El problema al cual le atribuía gran importancia era el de demostrar que "El volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro". Como postrer homenaje se colocó una esfera inscrita en un cilindro. Asimismo demostró Arquímedes que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro.Es tal vez más interesante su trabajo sobre Medida del circulo. Trata de la rectificación de la circunferencia y el área del círculo. Arquímedes es el primero que hizo un intento verdaderamente positivo sobre el cálculo de p=Pí asignándole un valor entre 3(10/71)

El método que empleó consiste en calcular los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos a un mismo círculo.Admite, sin demostrarlos, los principios siguientes:1. " La línea recta es la más corta entre 2 puntos."2. " De 2 líneas cóncavas hacia el mismo lado y que tienen los mismos extremos, es mayor la que queda fuera de la otra".- ó como diríamos ahora " es mayor la línea circundante que la circundada". Este principio lo aplica al círculo y a los polígonos inscritos y circunscritos"3. " De 2 superficies que pasan por una misma curva cerrada, cóncavas hacia un mismo lado, es mayor la exterior."También demuestra que "un círculo es equivalente a un triángulo que tiene por base la circunferencia y por altura el radio."En otra de sus obras se refiere a la mecánica, especialmente a los principios de la palanca. Su punto de partida lo constituyen dos principios fundamentales, que bien pueden considerarse como axiomas del mecánica.1. "Si se tiene una palanca en cuyos extremos actúan pesos iguales, la palanca se equilibrará colocando el punto de apoyo en el medio de ella."2. "Un peso se puede descomponer en dos mitades actuando a igual distancia del punto medio de la palanca".Basándose en estos dos principios estableció las leyes de la palanca. Conocida es su famosa fase para hacer resaltar la aplicación de la palanca como máquina multiplicadora de fuerza: Deduce un punto de apoyo y os levantaré el mundo"Cuenta la historia que Arquímedes un día que se encontraba en el baño observó que sus piernas podía levantarla fácilmente cuando estaban sumergidas. Esta fue la chispa que le permitió llegar a lo que ahora conocemos como "Principios de Arquímedes". Fue tan grande el entusiasmo que le produjo el descubrimiento de su principio que tomó la corona en una mano y salió desnudo del baño corriendo por las calles de Siracusa y gritando su célebre exclamación de júbilo: " ¡ Eureka!, ¡ eureka! "que quiere decir "ya lo encontré". Lo que había hallado era un método para determinar la densidad de los cuerpos tomando como unidad la del agua.

Es cierto que los conocimientos y descubrimientos matemáticos de Arquímedes son notables; sin embargo, son tal vez más importantes sus aportes y descubrimientos hechos en la Física".

En efecto, fuera del principio de la hidrostática ya nombrado anteriormente y de cuya importancia no es necesario insistir, inventó un sistema de poleas, el torno, la rueda dentada, el tornillo sinfín y una serie de por lo menos cuarenta inventos. Entre ellos es curioso mencionar un tornillo sinfín que se usaba para extraer el agua que había entrado

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/leib.html

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/newt.html

POLIGONOS (1ra. Parte)POLIGONOS (1ra. Parte)

V

C

B C

D

E

A

F

Z

W

x

y

CB

A

E

D

A

B

CD

E

F

G

A

B

C

D

FE

x

x

x

x

x


¿QUÉ ES UN POLÍGONO?

Es una figura geométrica cerrada, que se forma al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales.

ELEMENTOS

Vértices: A, B, C, D, E, F Lados :

NOTACIÓN

Polígono ABCDEF

ÁNGULOS DETERMINADOS

Ángulos interiores: , , , , Ángulos exteriores: x, y, z, w, v

LÍNEA ASOCIADA

Diagonales:

CLASIFICACIÓN

Por la región que limitan

- Polígono Convexo : cuyos ángulos interiores son menores de 180º.

- Polígono No convexo : cuando uno o más ángulos son mayores de 180º.

Por la medida de sus elementos

- Polígono Equiángulo : Cuando los ángulos interiores y exteriores son de la misma medida.


NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 6 TERCER AÑO

A

B

B

A C

E D

Q S

T P

R

C

B D

A E

O


- Polígono Equilátero : Cuando los lados tienen igual longitud.

Convexo Concavo

- Polígono Regular : Cuando los ángulos y lados tienen la misma medida.

Donde: “O” es el centro del polígono.

NOTA:

Solo los polígonos que son regulares tienen ángulo central.

Ángulo central: ∡ AOBOA = OB

NOMENCLATURA POR LA CANTIDAD DE LADOS

- Polígono de 3 lados: ___________________












PROPIEDADES

Relación de lados, vértices, ángulo

Nº vértices = Nº lados = Nº ángulos = n

Suma de medidas de los ángulos interiores (Si)

Si = 180 (n - 2)

n = numero de lados

Ejemplo:

Calcular la suma de ángulos internos de un octógono.

Sol:Octógeno tiene 8 lados n = 8.

Luego:

Si = 180 (n - 2) = 180 (8 - 2) = 180 x 6Si = 1080º

Suma de medidas de los ángulos exteriores (Se)

Se = 360º

Medida de un ángulo interior en polígonos equiángulos ( ∡ i)

∡i = 180 (n - 2) n

n = numero de lados

Ejemplo:

Si el polígono es equiángulo, calcular “”

Sol:

=

=

n =


Para Convexo

y Concavo

Para Convexo

∡i + ∡e = 180º

3x

2x

2x2x


Medida de un ángulo exterior en polígonos equiángulos ( ∡ e)

∡e = 360 n

NOTA:

Solo en polígono regularÁngulo central = ángulo exterior

∡c =∡e

Ejemplo:Si el polígono es regular, calcular “”

Sol.: Como ∡c = ∡e = 360 n

Suma de un ángulo interior y un ángulo exterior

1. La suma de los ángulos interiores de un dodecágono es:

a) 1900 b) 1800 c) 1950d) 1960 e) 2000

2. La suma de los ángulos exteriores de un dodecágono es:

a) 270 b) 360 c) 230d) 200 e) 300

3. Si un ángulo interior es 108º ¿Cuánto mide el ángulo exterior del polígono?

a) 72 b) 108 c) 180d) 36 e) 18

4. ¿Cómo se llama el polígono cuya suma de ángulos interiores es 720?

a) Pentágonob) Hexágonoc) Octógonod) Heptágonoe) Nanágono

5. Si tiene un hexágono equiángulo, el ángulo exterior mide:

a) 120 b) 60 c) 90d) 45 e) 75

6. Calcular el ángulo externo de un polígono regular:

a) 90 b) 120 c) 132d) 108 e) 135

7. Calcular la suma de ángulos interiores de un polígono de 8 vértices:

a) 1080 b) 900 c) 1260d) 1440 e) 720

8. Si el ángulo interior es el quíntuple del ángulo exterior de un polígono regular. ¿Cuánto mide la diferencia de los ángulos?

a) 120 b) 30 c) 60d) 150 e) 90

9. En un polígono regular de 9 vértices. ¿Cuánto mide uno de sus ángulos externos?

a) 50 b) 60 c) 20d) 40 e) 30

10. Calcular “”; si el polígono es equiángulo:

a) 135b) 45c) 120d) 90e) 108

11. Calcular “x”, si los polígonos son regulares:

a) 90b) 120c) 150d) 130e) 160

12. Calcular “x”:

a) 27b) 45c) 54d) 36e) 63


n =

∡e

∡i

x

x

Ex

Fx

Ax

Bx

Cx

Dx


13. Calcular “x”, si el polígono es regular.

a) 10b) 108c) 9d) 12e) 30

14. Calcular el perímetro del hexágono regular ABCDEF.

a) 6b) 12c) 36d) 18e) 72

15. Calcular “AE”, si ABCM y CDEM son rombos.

a) 3b) 1,5c) 2

d)

e) 3

1. La suma de los ángulos interiores de un icoságono:

a) 3240 b) 3800 c) 4000d) 3600 e) 1800

2. Si el ángulo interior de un polígono es 132º ¿Cuánto mide su ángulo exterior?

a) 132 b) 58 c) 68d) 48 e) 122

3. Si el ángulo interior de un polígono equiángulo es 135º ¿Cómo se llama el polígono?

a) Octógonob) Decágonoc) Hexágonod) Nanágono e) Heptágono

4. Calcular “x”, si el polígono es regular:

a) 36b) 18c) 54d) 75

e) 45

5. Si el ángulo central de un polígono es 18º. ¿Cuánto mide su ángulo interior?

a) 162 b) 36 c) 72d) 152 e) 18

6. Si el ángulo interior es el triple del ángulo exterior de un polígono regular. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

a) 7 b) 9 c) 6d) 8 e) 10

7. La suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono es 1800º. ¿Cuántos lados tiene?

a) 10 b) 12c) 14

d) 8 e) 6

8. Calcular “”, si el polígono es regular.

a) 30b) 60c) 45d) 90e) 75

9. Calcular “x”:

a) 40b) 15c) 20d) 25e) 30

10.Calcular “x”, si los polígonos son regulares:

a) 15b) 24c) 30d) 26e) 17

11.Calcular “x”, si el polígono es regular.

a) 36b) 18c) 54d) 72e) 25

12.Calcular “x”, si los polígonos son regulares:

a) 70b) 75c) 65d) 60e) 80


6

x

Ax

Ax

3 C

D

E

M

x

36 0

4x

3x

2x

x

x

x


13.Calcular el número de lados del polígono. Si el ∡AOB es central (Polígono Regular):

a) 15b) 16c) 17d) 18e) 19

14.Calcular “x”, si el polígono es regular AB = 16:

a) 16b) 8

c) 8

d) 8

e) 4


RETO DE LA SEMANA

15. Si ABCDE… es un polígono regular de 12 lados. Calcular “x”.

a) 60º

b) 45

c) 60

d) 90

e) 37

80

0

A

B

x

F E

A

B C

Do

0

C

B

AE

Dxx

iii bim - geom - guia nº6 - poligonos (1ra. parte)

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