ies la bahÍa - juntadeandalucia.es · inecuaciones y sistemas 17 3.1. ecuaciones de primero y...
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IES LA BAHÍADepartamento de Matemáti as
Cuaderno de ejer i iosde Matemáti aspara 4o ESO-Op ión B
Ma Fernanda Babiano Álvarez de los CorralesFran is o Fernández DíazSusana Sempere PérezMa Isabel Vilarrubí VázquezMa Jesús Aragón PeriñánJesús Javier Velas o Serrano
Índi e generalI NÚMEROS 51. Números reales 71.1. Repaso del urso anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Ra ionaliza ión de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Ejer i ios variados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II ÁLGEBRA 112. Polinomios. Fra iones algebrai as 132.1. Opera iones on polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Teorema del Resto. Fa toriza ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. E ua iones, ine ua iones y sistemas 173.1. E ua iones de primero y segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. E ua iones bi uadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3. E ua iones irra ionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4. E ua iones por des omposi ión fa torial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5. E ua iones ra ionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6. Ine ua iones de segundo grado on una in ógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7. Ine ua iones de tipo ra ional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8. Ine ua iones por des omposi ión fa torial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.9. Sistemas de e ua iones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.10. Sistemas de e ua iones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194. Cál ulo logarítmi o y e ua iones exponen iales 214.1. Con epto de logaritmo de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2. Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3. E ua iones exponen iales y logarítmi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235. Progresiones. 255.1. Su esiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2. Progresiones aritméti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3. Progresiones geométri as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4. Problemas variados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III GEOMETRÍA 296. Trigonometría 316.1. Medidas de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2. Razones trigonométri as. Rela iones entre ellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3. E ua iones trigonométri as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.4. Resolu ión de triángulos re tángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
IV FUNCIONES 357. Fun iones reales de variable real 377.1. Con epto de fun ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2. Fun iones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.3. Fun iones uadráti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408. Álgebra de fun iones. Estudio de nuevas fun iones. 418.1. Fun iones radi ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2. Fun iones de propor ionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.3. Fun iones exponen iales y logarítmi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.4. Opera iones on fun iones. Composi ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.5. Corresponden ia inversa o fun ión re ípro a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A. Binomio de Newton 45B. Solu ionario 47B.1. Solu iones del tema 1: Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47B.2. Solu iones del tema 2: Polinomios. Fra iones algebrai as . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48B.3. Solu iones del tema 3: E ua iones, ine ua iones y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50B.4. Solu iones del tema 4: Cál ulo logarítmi o y e ua iones exponen iales . . . . . . . . . . . 51B.5. Solu iones del tema 5: Progresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53B.6. Solu iones del tema 6: Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55B.7. Solu iones del tema 7: Fun iones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58B.8. Solu iones del tema 8: Álgebra de fun iones. Estudio de nuevas fun iones. . . . . . . . . . 63C. Geometría plana 69D. Cuerpos geométri os 77
4
BLOQUE INÚMEROS
5
Tema 1Números reales1.1. Repaso del urso anterior1. Cal ula el valor de las siguientes expresiones:a) 3−2 b) 41/2 ) (−8)−1/3 d) −3−2e) (−3)−2 f ) ( − 1
4
)−2 g) 25−1/2 h) −802. Expresa omo una úni a poten ia:a) (x2y)−2 · x3 · y−2(x−2 · y)−1 · x2 · y b) (22 · 4−1)3 · 83
(23)−23. Expresa en forma de poten ia:a) 3√2 b) √√
35 ) 14√57
d) ( 3√2)44. Introdu e los fa tores dentro de ada raíz:a) 2 3
√3 b) 4 3
√
1
4 ) 2
x
√
3x
8d) 3
53
√
25
9e) 2 4
√4 f ) 1
53√155. Sa a de la raíz los fa tores que puedas:a) 3
√16 b) 4
√8 ) √
1000 d) 3√8a5e) √125a2
16bf ) √1
4+
1
9g) √16
a3h) √
4a2 + 4i) 4
√
1 +9
16j ) 5
√
28 · 315(xy2)8 · z33 k) x2y3
√
4x3y8
z5l) √
625a17b106. Simpli� a los siguientes radi ales:a) 3√24 b) 6
√27 ) 3
√−108d) 12
√
64y3 e) 4
√
81
64f ) 8
√625 : 4
√257. Redu e a índi e omún y ordena de menor a mayor:a) 4
√4, 3
√3,
√2 b) √
6, 3√4 ) 4
√6, 5
√10 d) 4
√72, 3
√9, 6
√1008. Realiza la opera ión y simpli� a si es posible:7
a) 4√27 · 5
√6 = b) 2
√
4
3·√
27
8= ) √
2 ·√
1
8=d) ( 3
√12)2 = e) ( 6
√32)3 = f ) 3
√24 : 3
√3 =g) 3
√2 ·
√3 = h) 3
√a · 3
√
1
a· √a = i) ( 6
√32√8
)3
=j ) 3
√
2√3 :√
3√4 = k) 3
√
3√3 · 4
√
9√3 ·√
3 4√3 = l) 3
√
√
√
√
a4
b5· 4
√
b3
a·√a2b =9. Expresa omo una úni a raíz:a) 4
√
3√4 b) 3
√
2 4√8 ) (
4√a3 · 5
√a4) :
√a10. Cal ula y simpli� a:a) 5
√125 + 6
√45− 7
√20 +
3
2
√80 = b) 3
√16 + 2 3
√2− 3
√54− 21
53√250 = ) √
125 +√54−
√45−
√24 = d) (
√2 +
√3)(
√6− 1) =11. Simpli� a al máximo las siguientes expresiones:a) 3 3
√16− 2 3
√250 + 5 3
√54− 4 3
√2 = b) √2
5− 4
√
18
125+
1
3
√
8
45= ) 7 3
√81a− 2
3√3a4 +
3√3a
5= d) 2
3
√
a3
b− 1
5
√
a
b3+
2
9
√
a
b=12. Efe túa y simpli� a:a) (
√3 +
√2)2 − (
√3−
√3)2 = b) (
√6 +
√5) · 2
√2 = ) (
√5 +
√6)(
√5−
√6) =d) (2
√5− 3
√2)2 = e) (
√2− 1)(
√2 + 1)
√3 = f ) (3
√3− 2
√2)2 =1.2. Ra ionaliza ión de denominadores13. Ra ionaliza los siguientes denominadores:a) 8
3√2
b) 1√2
) 43√4
d) 53√5
e) a4√a3bf ) 2√
5 +√3
g) 3
2√3− 3
√2
h) 3
3 +√3
i) 3√5− 2
j ) 11
2√5 + 314. Ra ionaliza:a) 5√
2 4√3
b) 2√3√
18 ) √
2− 1√2
d) 2√3−
√2√
18e) √
72 + 3√32−
√8√
8f ) 2√3 +
√2√
12g) 1
2(√3√5)
h) 3√6 + 2
√2
3√3 + 2
i) 2√2 3√3
j ) a+ b√a+ b15. Ra ionaliza:a) √
3 +√2√
3−√2
b) 4
8−√2
) 3√2 + 3
√5
3√2− 3
√5
d) 1√2 + 5
e) 2√3− 3
√2
2√3 + 3
√28
f ) x+ y√x+
√y
g) a− 1√a− 1
h) √x+
√y√
x−√y
i) 4√18
j ) 13√401.3. Ejer i ios variados16. Redu e a un úni o radi al:a) 3
√ab2 ·
√ba · 4
√b2a = b) √ a
b2· 3
√
b3
a4· 6
√
a
b= ) √a
√
a√a = d) 3
√
a√
a3√a3 =e) √√√√ b
a2
√
a
b= f ) 4
√
b2
a3√ab =g) √a 3
√a · 3
√a4
√
3√ab
= h) √a
b
3√ab2 · 4
√
a3√b2a =i) √√√√a
b
√
b2
a· 3
√
b
a
√b2a
√
ab3√a2b
= j ) 5
√
x2 3√x5 · 3
√x7
√
x4 3√x8
=17. Opera y simpli� a:a) 1√2+
1√2− 1
+1√2 + 1
= b) 1√x√y+
1√x−√
y= ) 3√
3−√2− 2√
3 +√2= d) √
7−√5√
7 +√5−
√7 +
√5√
7−√5=e) 1
1−√3
1 +√3
+1
1 +
√3
1−√3
= f ) 1√2− 1
− 1√2 + 1
=g) 7
3−√2− 1√
3−√2+
1
2−√3= h) 5√
6+
2√6 + 3
√2− 4
√2√3
=i) √6 +√27 ·
√
6−√27 = j ) √
a3 − 2a4√a2 + 3a
6√a3 − 8
√a12 =k) √
98−√18√
96· 30
√3 = l) (
√2 +
√3)(
√6− 1) =m) √5 +
√
5 +√5 ·√
5−√
5 +√5 = n) (
√
17 + 12√2 +
√
17− 12√2)2 =ñ) (
√
14 + 6√5 +
√
14− 6√5)2 = o) √1183
25− 5
√
112
225+
1
30
√12348− 10
√
7
36=p) −18
√
1
3+√147 + 30
√
1
2− 4
√72 +
20√2= q) 3 8
√81− 2 6
√27− 2 10
√32 + 9
√
1
3+ 2 4
√4− 27
√
1
27=
9
10
BLOQUE IIÁLGEBRA
11
Tema 2Polinomios. Fra iones algebrai as2.1. Opera iones on polinomios1. Realiza las siguientes opera iones:a) (x3 − 6x+ 9) +
(
1
2x3 − 3x2 − x− 1
4
)
−(
1
3x3 +
1
2x2 + x
)
=b) 1
2(−2x2 + 6x− 5)− 1
3(3x2 + 1) +
(
1
2x3 − 3x2 − x− 1
4
)
= ) (−2x2 + 6x− 5)2 = d) (−2x2 + 6x− 5)[(3x2 + 1) + (x3 − 6x+ 9)]e) (x− 2)3 − (x+ 3)(x− 1)(x+ 5)− (x− 1)(x2 + 1)− (x− 1)3 =f ) (4x5 − 3x3 + 2x+ 1) : (2x3 − x+ 2) g) (2x5 − x2 − x− 1) :
(
x+1
3
)
2.2. Teorema del Resto. Fa toriza ión2. Halla a para que el polinomio 3x4 − 4x3 − 5x2 + ax+ 6 sea divisible por x− 2.3. Halla a para que el polinomio x5 + 3x4 − 2x3 − 7x+ a sea divisible por x+ 3.4. Halla a y b para que el polinomio x5 − ax+ b sea divisible por x2 − 4.5. Halla a para que el polinomio 2x3 − x2 + 5x− a sea divisible por 2x+ 1.6. Halla a para que el resto de la división del polinomio x4 + ax3 − 3x2 − ax− 3 por x+ 3 sea a+ 1.7. Halla a para que al dividir el polinomio x2 + ax+ 3 entre x− 2 y x+ 2, los restos sean iguales.8. Halla a y b on la ondi ión de que el polinomio ax4 + bx3 + 1 sea divisible por x2 − 2x+ 1.9. Cal ula por dos pro edimientos distintos, el valor numéri o del polinomio para x = 3. Indi a uáles ada uno de los pro edimientos.10. Des ompón en fa tores el polinomio P (x) = x4 + 3x3 − 8x2 − 12x+ 16.11. Des ompón fa torialmente el siguiente polinomio P (x) = 2x3 − 3x2 − 9x+ 10.12. Des ompón fa torialmente el siguiente polinomio P (x) = 2x3 − x2 − 2x+ 1.13. Halla las raí es enteras del polinomio P (x) = x3 − x2 − 4x+ 4.14. Halla un polinomio de uarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 1 y x = 3.15. Halla un polinomio de uarto grado que tenga por raí es −2,0,3 y 4.16. Cal ula las raí es del polinomio P (x) = x3 − 5x2 + 3x+ 9.17. Des ompón en fa tores los polinomios:a) P (x) = x4 − 3x2 + 2 b) Q(x) = 4x3 − 16x2 + 9x+ 9 ) R(x) = x3 − 6x2 + 12x− 8 d) S(x) = x3 + x2 − 6x13
18. Cal ula las raí es y des ompón en fa tores:a) P (x) = x4 − 4x3 + 4x2 − 4x+ 3 b) Q(x) = x3 + 3x2 + 4x+ 12 ) R(x) = 2x3 − 3x2 d) S(x) = 2x2 − 13x− 719. a) ¾Cuánto han de valer a y b para que la siguiente división sea exa ta?(x4 − 5x3 + 3x2 + ax+ b) : (x2 − 5x+ 1)b) ¾Cuánto han de valer a y b para que el resto de la división sea 3x− 7?20. Bus a un polinomio que sea divisible por x− 1, por x− 3 y por x+ 3.21. Cal ula el máximo omún divisor y el mínimo omún múltiplo de ada pareja de polinomios:a) P (x) = x2 − 4 y Q(x) = x2 − 4x+ 4b) P (x) = x4 − 7x3 + 12x2 y Q(x) = x5 − 3x4 − 4x3 ) P (x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 y Q(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 122. De los siguientes pares de fra iones algebrai as, di uáles son equivalentes y uáles no:a) x− 2
x+ 2y x2 − 4x+ 4
x2 − 4b) x+ 1
x− 1y x2 − 2x+ 1
x2 − 1 ) a+ b
a− by a2 − b2
a2 − 2ab+ b2d) x
x+ 1y x3 + x2 + x
x3 + 2x2 + 2x+ 1e) 2x− 1
3x− 2y 2x2 + x− 1
3x2 + x− 2f ) x
x+ yy x3 − xy2
x3 − xy2 − x2y + y323. Opera y simpli� a:a) 1
x2 − y2:
1
x− y= b) 1 +
x− y
x+ y= ) 1
2(x+ h)− 1
2x
h= d) x− y
3
x2 − y2
9
=e) x− 2
2− x− x2
x2 − 4− x− 2
x+ 2= f ) xy − x
y:xz − z
y2=g) ( 3
x− x
3
)
:
(
1
x+
1
3
)
= h) x+ 1
(x− 1)2· x
2 − 1
x=i) [(x+
1
x
)
:
(
x− 1
x
)]
· (x− 1) = j ) 2
x:
(
1
x:
1
x− 1
)
=k) (x− 1
x2+
3
x− 5
x− 4
)
· 2x2 = l) x− 1
(x− 2)(x− 3)+
x− 2
(x − 1)(x− 3)+
x− 3
(x− 1)(x− 2)=m) 2
x− 1+
x− 3
x2 + x+ 1− 3x2
x3 − 1= n) 1
x2 − 9x+ 20− 1
x2 − 11x+ 30+
1
x2 − 10x+ 24=ñ) x
x3 − 1− 1
x2 + x+ 1− x+ 1
x− 1= o) x2 − 1
x2 + 4x+ 4· 3x+ 6
x2 − 2x+ 1=p) 4x
x2 − 1· x
2 + 2x− 3
x+ 3= q) x+ 1
x2 − 2x+ 1:x+ 2
x− 1=14
24. Opera y simpli� a:a) x2 − 1
x2 − 4:x+ 1
x+ 2= b) 3 + x
x2:
(
1
x+
1
3
)
= ) (1 + 1
x
)
:
(
1− 1
x
)
= d) x+ 1
3x− 2
(
1
x− 4− 5x
x2
)
=e) x− 1
x
x− 1
x
= f ) x
1− 1− x
1 + x
=g) x
1− x+
1 + x
x
x
1− x− 1 + x
x
= h) x− 2
x− 3− x− 3
x− 2
1
x− 3− 1
x− 2
=i) (1 + x
1− x− 1− x
1 + x
)
:
[(
1 + x
1− x− 1
)(
1− 1
1 + x
)]
=j ) [x3 − x
x3 + 1· x
2 − x+ 1
x2 − x
]
:x2 + 2x+ 4
x3 − 8= k) a2 − 2ab+ b2
x2 − y2:a− b
x− y=l) x3 − 1
x3 + 1:x− 1
x+ 1= m) (x2 − x+
1
x− 1
x2
)
:
(
x− 11
x
)
=n) x+ 1
x− 1+
1 + x2
1− x2
1− x
1 + x− 1 + x2
1− x2
= ñ) x2 − x
1− x
x+ 1
=o) 1 + x
1 + x+1
1− x+x2
1 + x
=
p) [(9x2 + 4
6x− 2
)
:
(
9x2 + 4
6x+ 2
)]
·(
3x
3x− 2:
2
3x+ 2
)
=q)
1
x2+ 1
1
x2− 1
−
1
x2− 1
1
x2+ 1
·[(
x+ 1
x− 1+
x− 1
x+ 1
)
·(
x2 +1
x2− 2
)]
=
15
16
Tema 3E ua iones, ine ua iones y sistemas3.1. E ua iones de primero y segundo grado1. Resuelve las siguientes e ua iones:a) 5(x− 2)
3− 2(x+ 4)− x− 1
5=
6− x
15+ 2 b) (x − 1)(x+ 5) +
5x
2= (x + 3)2 − (x− 7) ) −
3(x− 2
3)
4+
3x
2− 9
12=
− 3x+ 6
6−
3x− 3
2
3d) √
2x2 − 2√6x+
√18 = 0e) (x−
√3)(x+
√15)− x2 + 3 = (x−
√3)2 f ) 1
6
[
13− 2x− 2(x− 3)2]
= −1
3(x+ 1)2g) 3x2 − 1
4+
1
2
[
x2 − 2− 1
2x
]
=x2 − 5
4h) x2 − 1
3+ (x− 2)2 =
x2 + 2
23.2. E ua iones bi uadradas2. Resuelve las siguientes e ua iones bi uadradas:a) 4x4 − 5x2 + 1 = 0 b) x4 − 10x2 + 9 = 0 ) x4 − 9x2 + 20 = 0d) x4 − 3x2 − 4 = 0 e) x4 − 5x2 + 4 = 0 f ) 36x4 − 13x2 + 1 = 0g) x4 − 5x2 − 36 = 0 h) x4 − 4x2 + 3 = 0 i) 25x4 − 26x2 + 1 = 03. Resuelve las siguientes e ua iones bi uadradas in ompletas:a) 3x4 − 12x2 = 0 b) 7x4 − 63x2 = 0 ) 3x4 − 75x2 = 0d) x4 − 9x2 = 0 e) 7x4 − 112 = 0 f ) x4 − 81 = 03.3. E ua iones irra ionales4. Resuelve las siguientes e ua iones irra ionales:a) √x2 + 7 + 2 = 2x b) x−
√2x− 3 = 1 ) √
4x+ 5 = x+ 2 d) √x+ 2 = xe) x−
√169− x2 = 17 f ) x−
√25− x2 = 1g) x+
√5x+ 10 = 8 h) √
x+ 4−√6− x = 2i) √
2x− 3−√x− 5 = 2 j ) 2
√x+ 4 =
√5x+ 4k) √
x+ 4 = 3−√x− 1 l) √
x− 3 + 2 =√2x+ 2m) √
x+ 4 +√x+ 1 = 3 n) √
x+ 5 +√x = 1ñ) √
x+√x+ 7 = 7 17
3.4. E ua iones por des omposi ión fa torial5. Resuelve las siguientes e ua iones:a) (x− 1)(x+ 2)x = 0 = 0 b) x3 − 4x2 + 4x = 0 ) (x2 − 1)(x+ 3)(x+ 2) = 0d) x4 − 81x2 = 0 e) 8x3 − 2x2 − x = 0 f ) x4 − x2 = 0g) x3 + 3x2 + 4x+ 12 = 0 h) 2x3 − 3x2 = 0 i) x3 − x2 − 12x = 0j ) x3 − 7x2 + 14x− 8 = 0 k) x4 − 4x3 + 4x2 − 4x+ 3 = 0 l) 6x3 + 7x2 − x− 2 = 0m) 6x3 − 7x2 − 20x = 03.5. E ua iones ra ionales6. Resuelve las siguientes e ua iones:a) x+ 1
x− 1+
3
x+ 1− x− 2
x2 − 1= 0 b) x2
x2 − 2x+ 1− 2x− 3
x− 1+ 1 = 0 ) x+ 2
x− 1− x+ 1
x− 2− 1 = 0 d) 1− x
x+ 3+
2x
x− 2=
x2 + 5(x− 2)
x2 + x− 6e) x2
x2 − 2x+ 1=
2x+ 3
x− 1+ 3 f ) x+ 1
x− 3+
x+ 2
x+ 3=
2x− 3
x2 − 9g) x2 − 8x+ 16
x− 6− x+ 4
x− 2=
16
x2 − 8x+ 12h) 1
x2 + 3x+ 2=
2
x2 + 2x− 1
x2 + x3.6. Ine ua iones de segundo grado on una in ógnita7. Resuelve las siguientes ine ua iones:a) x2 − 4x+ 3 > 0 b) x2 + x− 6 > 0 ) x2 + 2x+ 3 6 0d) x2 − 6x 6 0 e) x2 − 3x− 10 > 0 f ) x2 − 6x+ 9 < 0g) x2 − 3x− 4 > 0 h) 3x2 + 5x− 8 < 0 i) 4x2 − 16x+ 16 > 0j ) 8x2 − 6x+ 1 6 0 k) (3x− 1)2 + 2x− (2x− 1)2 6 5 l) (2x− 5)2 − 17x > (x+ 1)2 + 243.7. Ine ua iones de tipo ra ional8. Resuelve las siguientes ine ua iones:a) 2x− 1
1− 3x> 0 b) x
x− 16 0 ) x+ 2
x− 4< 0d) x+ 7
2− 3x6 0 e) 2x+ 3
4x+ 36 0 f ) 6x− 5
3x+ 2> 0g) x2 − 1
x+ 3> 0 h) 1− x
x2< 0 i) x2 − 4
x2 − 1> 0j ) 9− x2
x2 − 16 0 k) x− 1
x+ 2> 3 l) 1− x
x+ 36 418
3.8. Ine ua iones por des omposi ión fa torial9. Resuelve las siguientes ine ua iones:a) x3 − x > 0 b) x3 + 2x2 + x > 0 ) x4 − 1 6 0 d) x3 − 2x2 − 5x+ 6 < 03.9. Sistemas de e ua iones lineales10. Resuelve los siguientes sistemas de e ua iones lineales:a)
x− 1
3− y
6= 1
x
7+ 4y = 25
b) { 5(2− x) + 8y = 33x+ 3(2y − 2) = 9 )
x+ 1
3− y − 1
2= 1
7x− 4(x+ y) = 4d)
x+ y
2− x− y
3= 3
x+ 2y
3− x− 2y
4= 3e)
3x− 2y
5− 2x− 4y
3=
x− y
2+ 1
21x− 15 = 13(2x− y) + 45f )
2x+ 3y
4− y + x
3= x
2(x− 3y + 5)− (2x+ y) = −2y3.10. Sistemas de e ua iones no lineales11. Resuelve los siguientes sistemas de e ua iones no lineales:a) { 5x+ 7y = 61x · y = 8
b) { 6x− 5y = 14x · y = 72
) { x− y = 2x · y = 48d) { x+ xy + y = 11
x · y = 6e) { xy + 2y = 4
3x− y = 5f ) { 5xy − 3x = 84
2x+ 7y = 35g) { x2 + y2 = 25x+ y = 1
h) { x2 + 3xy − 2x+ y2 = 32x− y = −5
i) { x · y = 2x− y = 1j ) { 2x2 + y2 = 22
x2 − y2 = 5k) { 2x2 − y2 = −2
xy = −2l) { 8x = y2
2x− y = 8m) { x2 + y2 = 10x · y = 3
n) { x2 + y2 = 41xy = 20
ñ) { x2 + y2 = 5xy = 2o) { x− 2y + 8 = 0
x2 − y2 + 5 = 0p) { 2x2 − 5y2 = 52
3x2 − 7y2 = 80q) { x2 + y2 = 100
x− 7y = 50r) { x2 − y2 = 163x− 5y = 0
s) { y2 = 4xx2 + y2 = 32
t) { x+ y = 13√x−√
y = 1
19
20
Tema 4Cál ulo logarítmi o y e ua ionesexponen iales4.1. Con epto de logaritmo de un número1. Cal ula los siguientes logaritmos, apli ando la de�ni ión:a) log3 9 = b) log2 1024 = ) log2 8 = d) log 1
3
9 = e) log 100 =f ) log 1
2
1024 = g) log 1
2
8 = h) log2 1 = i) log2 0, 5 = j ) log2 0,25 =k) log3 243 = l) log31
9= m) log 1
3
1
9= n) log 0, 01 = ñ) log8
1
8=o) log5 125 = p) log√2 4 = q) log216 6 = r) log9 3 = s) log4
√2 =2. Cal ula los siguientes logaritmos, apli ando la de�ni ión:a) log2 512 = b) log3 27 = ) log 0, 001 = d) log 1
2
2 = e) log21
64=f ) log0,5 4 = g) log√3 3 = h) log9 1 = i) log 10100 = j ) log2
√8 =k) log3
√3 = l) log 1
9
3 = m) log251
125= n) log49 7 = ñ) log 1
6
36 =3. Halla la base de los logaritmos en las siguientes igualdades:a) loga 4 = 2 b) loga 9 = 2 ) loga 625 = 4 d) loga 243 = 5e) loga 256 = 8 f ) loga 0, 125 = 3 g) loga 0, 001 = −3 h) loga 1 = 04. Cal ula la base de los siguientes logaritmos:a) logx 3 = −1 b) logx π = 1 ) logx1
9= −2 d) logx 0, 015625 = 3e) logx 125 = 3 f ) logx 3 =
1
2g) logx
1
4= 2 h) logx 2 =
1
2i) logx 0, 04 = −2 j ) logx 4 = −1
2k) logx 7 = −2 l) logx
4√3 =
1
25. Apli ando la de�ni ión de logaritmo resuelve los siguientes ejer i ios:a) 2x = 16 b) 2x = 32 ) 31/x = 9 d) log2 64 = xe) log3 81 = x f ) log101 10201 = x g) log16 0, 5 = x h) log10 0, 00001 = xi) logx 125 =3
2j ) logx
1
3= −1
2k) log125
1√5= x l) log343
√7 = x
21
6. Cal ula el valor de x, apli ando la de�ni ión de logaritmo:a) log 2
3
81
16= x b) log 5
3
27
125= x ) log8
4√2 = x d) x = log3(3
√3)e) x = log3
(
4√3
9
) f ) x = log81(3) g) x = log81
(√3
3
)
= h) x = log1/9
(
4√3
3
)
=i) x = log√3/3 81 j ) x = log√3/3
(
4√3
3
) k) logx
(
1
2187
)
= 7 l) log2/5 x = −17. Halla el resultado de las siguientes expresiones:a) log5 125− log3 243 + log4 256 = b) log3 1 + log2 64 + log3 9 + log7 49 = ) log2 4 + log3 81− log6 216 + log4 64 = d) log31
9− log5 0, 2 + log6
1
36− log2 0, 5 =4.2. Propiedades de los logaritmos8. Sabiendo que log 2 ≃ 0′3010, log 3 ≃ 0′4771 y log 7 ≃ 0′8451, halla aproximadamente el valor de:a) log 30 b) log 84 ) log 162 d) log 0′128e) log 14′4 f ) log 3
√12 g) log 25 h) log 0′1259. Sabiendo que log 2 ≃ 0′3010, log 3 ≃ 0′4771, al ula:a) log 2, 025 b) log 5
√0, 02 ) log
√0, 025
8d) log5 4e) log
√0, 3 f ) log 8 g) log 5 h) log
(
12
5
)310. Halla el valor de x en estas expresiones apli ando las propiedades de los logaritmos:a) lnx = ln 8 + ln 2 b) log x = log 36− log 6 ) lnx = 3 ln 2d) lnx = ln 3 + ln 2− ln 6 e) log x = 4 log 2− 1
2log 25 f ) log x = 3 log 2− 1
4log 1611. Sabiendo que el log k = 14, 4 al ula el valor de las siguientes expresiones:a) log
k
100b) log(0, 1k2) ) log 3
√
1
kd) log1/2 x12. Comprueba que log
1
a+ log
√a
log a3= −1
6, (siendo a 6= 1)13. Comprueba que en ualquier base loga 0'01 + 3 loga 100− 4 loga 10 = 0.14. Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos:a) log
a2b
cb) log(a2b3c) ) log
a2 3√b
4√c3d) log
m 3
√
n4√
m/n
ne) log2
1
23xf ) logx
√x
3√x215. Comprime las expresiones de modo que el logaritmo aparez a una sola vez:a) log x4 − log
√xy b) log x− 2 log y ) 3 logx+ log(1 − x)d) log x
2+
log y
4e) − logx− log y f ) log xlog x22
16. Elimina los logaritmos en las expresiones siguientes:a) log x+ log y = 1 b) log x− log y = −1 ) 4 log x− 3 log y = 2d) 2 log x
3− 1 = log y e) log(log x) = 14.3. E ua iones exponen iales y logarítmi as17. Resuelve las siguientes e ua iones exponen iales:a) 3x = 81 b) 42x−1 =
1
4 ) 2x+1 = 3
√4d) 5x = 42 e) 2x = 3 f ) 3x = 1000g) 3x + 3x+2 = 90 h) 2x−1 + 2x+1 − 2x = 12 i) 10x−2 + 10x−4 + 10x−6 = 10101j ) 3x
2−2x = 1 k) 3x + 32−x = 10 l) 23x−1 = 4√2m) 32x+2 − 28 · 3x + 3 = 0 n) 3x+1 + 3x + 3x−1 = 39 ñ) 24x − 22x − 12 = 0o) 52x+1 − 5x+2 = 2500 p) 2x
2
= 5 q) 32−x2
=1
3r) 22x−1 = 3 s) 4 · 2x+3 =1
512t) 4x−1 + 2x+2 = 48u) 2x−1 + 2x + 2x+1 = 7 v) 2x+1 + 4x = 80 w) 3 · 4x+1 − 5 · 2x−1 = 182x ) 52x − 6 · 5x + 5 = 0 y) 4x+1 + 2x+3 − 320 = 0 z ) 81+x + 23x−1 =
17
1618. Resuelve las siguientes e ua iones exponen iales:a) 102+x = 1 b) 2187 = 3x ) 23x+2 = 4x−1d) (1
2
)x
= 16 e) 3x2−5 = 81 f ) 41−x = 0, 125g) 22x−3 =
1
8h) 5x + 5x−1 = 6 i) 3x + 3x+2 = 30j ) 5x + 5x+1 + 5x−1 =
31
5k) 3x−1 + 3x+1 − 3x = 189 l) 2x−1 + 4x−3 = 5m) 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 480 n) 2x−1 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4 = 960ñ) 2x + 2x+1 + 2x−1 = 7 o) 4x − 5 · 2x + 4 = 0p) 3x − 31−x = 4 q) 52x − 30 · 5x + 125 = 0r) 4x − 3 · 2x+1 + 8 = 0 s) 2x − 4−x = 0t) 3x + 9−x = 0 u) 22x + 22x−1 + 22x−2 + 22x−3 + 22x−4 = 1984v) { 7x+y = 493
7x−y = 49w) { 3x+y = 729
3x + 3y = 9019. Resuelve las siguientes e ua iones y sistemas logarítmi os:a) log2(x+ 3) = −1 b) loga a = x23
) log 7 = log x+ log 3 d) log7x
5+ log7 5 = 2e) log 2 + log(x− 3) = log
√2x f ) log(3x+ 5)− log(2x+ 1) = 1− log 5g) 2 log x− log(x+ 6) = 0 h) log(x+ 2)− log(x + 1) = 1i) 4 log
x
3− log
4
81= 2 logx j ) 2 log2 x− log2(x+ 3) = 2k) log(x2 − 3x+ 12) = 1 l) log
√3x+ 1 + log 5 = 1 + log
√2x− 3m) log(25− x3)− 3 log(4− x) = 0 n) 2 log x = 4 + log
(
x
10
)ñ) { x2 − y2 = 99
log x− log y = 1o)
log2 x+ 4 log2 y = 6
log2x
y= 1p) { x+ y = 22
log x− log y = log 10q) { 2x+3 : 2y = 8
log(xy) = 10r) { log(x + y) + log(x− y) = log 145
2x−12y+1 = 32s) { log(x+ 2y) = log 50
log x+ log y = 2 + log 220. Resuelve las siguientes e ua iones y sistemas logarítmi os:a) log1/33√81 = x b) log2(2x− 1) = 3 ) log x+ log 50 = 3 d) 2 log x = 1 + log
(
x+11
10
)e) 2 log x = 2 + log(x− 16) f ) log x− 1 = log(22− x)g) 3 log x = log 6 + 2 logx h) log x+ log(2x) + log(4x) = −3i) 5 logx− log 32 = log
(
x
2
) j ) log(x− 2)− 1 = log 2− log(x− 3)k) log(16− x2)
log(3x− 4)= 2 l) log(35− x3)
log(5 − x)= log 1000m) 3 log x− 4 log 2 = 3 log 3 n) log(x− 53) + log(x− 5) = 2ñ) log 2 + log(11− x2)
log(5 − x)= 2 o) { x+ y = 22
log x− log y = 1p) { log x+ log y = 1
2 logx− 3 log y = 7q) { log(x · y) = 4
log x− log y = 5
24
Tema 5Progresiones.5.1. Su esiones de números reales1. Es ribe los uatro primeros términos de la su esión de término general an =
n+ 1
n2. Cal ula los diez primeros términos de la su esión de término general an = n2 + 33. Dada la su esión an =2n2 + 1
n+ 3. Cal ula a1, a5 y a11.4. Si an = (−1)n(n+ 1). Halla los términos a2, a7 y a10.5. Cal ula el término que o upa el lugar quin e en la su esión an =
2− n2
n2 − 16. Halla la expresión del término general de las siguientes su esiones:a) 1, −3, 5, −7, 9, . . . b) 1, 4, 9, 16, 25, . . . ) 1, 2, 4, 8, 16, . . . d) 1, 4, 7, 10, . . .e) 1
2,2
3,3
4,4
5, . . . f ) 5
3,10
9,20
27,40
81, . . .g) 2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . h) 1,
1
2,1
4,1
8,
1
16, . . .7. Dada la su esión de término general an =
2n2 + n+ 3
n+ 1, halla h sabiendo que ah =
108
85.2. Progresiones aritméti as8. Cal ula el término general de ada una de las progresiones aritméti as siguientes:a) 1, 6, 11, 16, . . . b) 1, 5, 9, 13, . . . ) −8, −5, −2, 1, . . . d) 2, 0, −2, −4, . . .e) 3, 8, 13, 18, . . . f ) 1
2,5
8,3
4, . . .9. Cal ula el término a20 de la su esión 5, 10, 15, 20, . . .10. Cal ula el término a18 de la su esión 1,
3
2, 2, . . .11. Completa los términos que faltan en las siguientes su esiones:a) 7, 10, . . . , 16, . . . , 22, 25, . . . b) . . . , −3, −5, −7, . . . , −11, . . . ) −5, −3, . . . , 1, . . . , 5, . . .12. De las siguientes su esiones indi a uáles son aritméti as y uáles no:a) 5, 7, 9, 11, . . . b) 2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . ) 1, 4, 9, 16, 25, . . . d) 1
3,2
3, 1,
4
3, . . .25
13. Halla los términos que se indi an en las siguientes progresiones aritméti as:a) El trigésimo en 1, 6, 11, 16, . . .b) El de imosexto en 1, 5, 9, 13, . . . ) El vigésimo uarto en −8, −5, −2, 1, . . .14. Halla el término vigésimo en una progresión aritméti a siendo el primer término 7 y la diferen ia 2.15. Interpola en una progresión aritméti a los términos que se indi an:a) Cuatro términos entre 5 y 25 b) Tres términos entre 12 y -2 ) Cin o términos entre 3 y 2716. Halla la suma de los términos de una progresión aritméti a en los siguientes asos:a) Los 25 primeros términos de 3, 8, 13, . . .b) Loa 22 primeros términos de 42, 39, 36, . . . ) Los 40 primeros términos de 1
2,5
8,3
4. . .17. Halla la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritméti a sabiendo que el ter ero es24 y el dé imo 26.18. Cal ula la suma de los múltiplos de 59 omprendidos entre 1000 y 2000.19. ¾Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritméti a 2, 8, 14, . . . para obtener omoresultado 1064?20. La suma de n números naturales onse utivos tomados a partir de 11 es 1715. ¾Cuántos términoshemos sumado?21. Sabiendo que a5 = 18 y d = 2, halla la suma de los nueve primeros términos de di ha progresiónaritméti a.22. Se onsideran 16 términos de una progresión aritméti a. La diferen ia entre los dos extremos es 16y la suma del uarto y el de imoter ero es 18. Cal ula los extremos.23. Cal ula tres números sabiendo que están en progresión aritméti a, que su suma es 18 y que la sumadel primero y el segundo es igual al ter ero menos 2 unidades.24. Halla los seis primeros términos de una progresión aritméti a sabiendo que los tres primeros suman-3 y los tres últimos 24.5.3. Progresiones geométri as25. En uentra uáles de las siguientes su esiones son progresiones geométri as:a) 2,
4
3,8
9,16
27, . . . b) 12, 20, 50, . . . ) 27, 45, 75, 125, . . .26. Halla el término duodé imo de la progresión 2, 4, 8, . . ..27. Cal ula el término dé imo de la progresión 1
1000,
1
100,
1
10, . . .28. Determina los siete primeros términos de una progresión geométri a si los dos primeros son 3 y 4respe tivamente.29. El término séptimo de una progresión geométri a vale 243 y la razón 3. Halla el primer término.26
30. Dos términos onse utivos de una progresión geométri a valen 6 y 8 respe tivamente. Cal ula ellugar que o upan si el primer término de la progresión es 81
3231. Interpola in o términos entre 7 y 5103 de modo que formen una progresión geométri a.32. Interpola uatro términos entre 4 y 1
8de modo que formen una progresión geométri a.33. Halla tres números en progresión geométri a sabiendo que su suma es 26 y su produ to 216.34. ¾Cuántos términos se han tomado de una progresión geométri a sabiendo que el primer término es7, el último 448 y su suma 889?35. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométri a de razón 3 es 7651. Halla elprimero y el séptimo término.36. Tres términos están en progresión geométri a; el segundo es 32 unidades mayor que el primero, yel ter ero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números.37. Halla los ángulos de un uadrilátero, si se sabe que están en progresión geométri a y que el mayores 27 ve es el menor.38. En una progresión geométri a, los términos primero y de imoquinto son 6 y 54, respe tivamente.Halla el término sexto.39. Una progresión geométri a tiene in o términos, la razón es igual a la uarta parte del primertérmino y la suma de los dos primeros términos es 24. Halla los in o términos.40. El produ to de los seis primeros términos de una progresión geométri a es igual al término vigésimoprimero y el término primero es 2. Cal ula la razón y el término sexto.41. Cal ula la suma de los in�nitos términos de la progresión geométri a 0, 1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001; . . .5.4. Problemas variados42. Un oronel manda 5050 soldados y quiere formar on ellos un triángulo para una exhibi ión, demodo que la primera �la tenga un soldado. la segunda dos, la ter era tres, et . ¾Cuántas �las habrá?43. Para saldar una deuda de 31.000 euros, una persona pagará 3000 euros al �nal del primer año, 3250euros al �nal del segundo año, 3500 euros al �nal del ter er año, et . ¾Cuánto tardará en saldar ladeuda?44. ¾Cómo deben repartirse 100 litros de vino en 10 vasijas, para que ada vasija ontenga 2 litros másque la anterior?45. Un mu ha ho quiere poner 45 piedras en linea re ta a 3, 6, 9,. . . metros de distan ia del lugar dondeestán apiladas. ¾Cuánto deberá andar si sólo puede llevar una piedra en ada viaje?46. Se sabe que, por término medio, el pelo re e medio milímetro ada día, y que un abello sanopermane e en la abeza unos uatro años. Un pelo normal que naz a hoy, ¾qué longitud tendrá uando aiga?47. Un buen o he ostó ini ialmente 60.000 euros. Al abo de tres años se vendió a la mitad de pre io;pasados otros tres años se volvió a vender a la mitad del último pre io, y así su esivamente. ¾Cuántole ostó el o he al sexto propietario? ¾Qué antidad pagaron en total los seis propietarios?48. En una planta ión hay 51 �las de árboles. Cada �la tiene dos árboles más que la anterior. La �la26 tiene 57 árboles. Se desea saber el número de árboles que hay en la primera �la, en la última, yel número total de árboles. 27
49. Un móvil tiene una velo idad ini ial de 1000 m/s. Cada segundo y de forma uniforme disminuye lavelo idad en 15 m/s. ¾Cuál será la velo idad al abo de 10 s, 20 s y 30 s?50. Dada la su esión b2 − 1
b,b2 + 1
b,b2 + 3
b, . . ., donde b es un número natural.a) Estudia si se trata de una progresión aritméti a o geométri a.b) Cal ula el término n-ésimo.51. Se deja aer una pelota desde una altura de 4 m y en ada bote sube la mitad de la altura anterior.¾Qué altura al anzará en el o tavo bote?52. Se lanza un proye til verti almente ha ia arriba, on una velo idad de 137,2 m/s. Si ada segundola velo idad disminuye 9,8 m/s. ¾Cuánto tiempo tardará en al anzar la altura máxima?53. Una élula se reprodu e por mitosis ada 10 segundos:a) ¾Cuántas élulas habrá al abo de una hora y 10 minutos?b) ¾Cuánto tiempo deberá pasar para que existan 128 élulas?
28
BLOQUE IIIGEOMETRÍA
29
Tema 6Trigonometría6.1. Medidas de ángulos1. Expresar en radianes:a) 1◦ b) 120◦ ) 45◦ d) 210◦ e) 280◦ f ) 1120◦2. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes:a) 2π
3rad. b) 5π
4rad. ) 18π rad. d) 1 rad. e) −π
3rad. f ) 7π
2rad.3. Ordena de mayor a menor los siguientes ángulos:
1 radián; π radianes; 30◦24′; ángulo re to; π/7 radianes.4. Determina el área de un se tor ir ular uyo ángulo entral mide 33◦15′.5. Cal ula en grados y en radianes el suplementario del omplementario de un ángulo α = 2π/7.6.2. Razones trigonométri as. Rela iones entre ellas6. Halla el valor de x en los siguientes triángulos re tángulos:PSfrag repla ements20
60◦
45◦
15
10 30◦xxx7. Determina las razones trigonométri as de los dos ángulos de un triángulo re tángulo uya hipotenusamide 3 m y uno de sus atetos mide 1 m.8. Indi a el uadrante al que pertene en ada uno de los siguientes ángulos:a) 130◦ b) 3π/4 rad ) 3507◦ d) 11π/3 rad e) 7π/3 rad f ) −135◦9. Indi a, sin al ular su valor, el signo de las razones trigonométri as de los siguientes ángulos:a) 179◦ b) −18◦ ) 342◦ d) −120◦ e) 68◦ f ) 235◦10. Sabiendo que α es un ángulo del uarto uadrante y que tgα = −2, al ula las restantes razonestrigonométri as.11. Sabiendo que α es un ángulo del segundo uadrante y que senα = 1/3, al ula las restantes razonestrigonométri as.12. Si tg x = −12/5 y x ∈ IV uadrante. Halla senx y cosx.13. Si tg x =
4
3, al ula las demás razones trigonométri as para π < x <
3π
2.31
14. Ídem si secx = −3 y π < x <3π
2.15. Ídem si cotg x = −3
4y π
2< x < π.16. Si cosecx = −5/3 y π < x <
3π
2, halla las restantes razones trigonométri as.17. Sabiendo que sen 5◦ = 0, 0875 (aproxima ión por redondeo a las diezmilésimas), al ula las razonestrigonométri as de 175◦.18. Halla el ángulo del primer uadrante uyas razones trigonométri as oin idan en valor absoluto onlas del ángulo dado:a) −86◦ b) 400◦ ) 150◦ d) 230◦ e) 300◦ f ) 2329◦19. Halla sin al uladora:a) sen 330◦ b) sen 180◦ ) cos 330◦ d) sen(−120◦) e) sec(−270◦)f ) cotg 4500◦ g) cosec 2700◦ h) sen240◦ i) tg 315◦ j ) tg(−30◦)k) sec(−180◦) l) cos 1800◦ m) cos300◦ n) tg 150◦ ñ) cos 120◦20. Si senα = 3/4 y α es un ángulo agudo, halla:a) sen(90◦ − α) b) cos(180◦ − α) ) tg(−α)21. Si cos(180◦ − α) = −1/3 y α es un ángulo del primer uadrante, halla:a) senα b) cos(90◦ − α) ) tg(−α)22. Dado un ángulo α medido en radianes y del primer uadrante, se ono e senα =
1
4, halla:a) cosα b) sen(π − α) ) sen(π + α) d) sen
(
3π
2− α
)23. Dado un ángulo α del segundo uadrante , se ono e cosα = −2
5, halla:a) senα b) cos(π + α) ) sen(π + α) d) tg (π + α)24. Si tg x = 2 y x pertene e al primer uadrante, halla:a) tg(90◦ − x) b) tg(360◦ + x) ) tg(180◦ − x) d) tg(−x)e) tg(180◦ + x) f ) tg(270◦ + x) g) tg(270◦ − x) h) tg(90◦ + x)25. Cono iendo sen 11◦ = 0, 19 y cos 11◦ = 0, 98, al ula el seno, oseno y tangente de:a) α = 79◦ b) α = 101◦ ) α = 169◦ d) α = 191◦e) α = 259◦ f ) α = 281◦ g) α = 349◦ h) α = 371◦26. Comprueba las siguientes identidades trigonométri as:a) sec2 α+ cosec2 α = sec2 α cosec2 α b) (senα+ cosα)2 = 1 + 2 tgα cos2 α ) cosα+ tgα
cosα tgα= cotgα+ secα d) sen2 α =
1
1 + cotg2 αe) cos2 α =cotg2 α
1 + cotg2 αf ) (cosecx+ tg x) cos x = senx+ cotg xg) sen2 a− cos2 b = sen2 b− cos2 a h) tg a+ tg b
cotg a+ cotg b= tg a · tg bi) 1 + tg2 x
cotg x=
tg x
cos2 xj ) sena · cos a
cos2 a− sen2 a=
tg a
1− tg2 ak) secα− cosα
cosecα− senα= tg3 α l) cos2 x− sen2 x =
cos2 x
1 + senx− sen2 x32
27. Simpli� a las siguientes expresiones trigonométri as:a) sen3 a+ sen a · cos2 a b) sen a1
tg a ) cos3 a+ cos2 a · sen a+ cos a · sen2 a+ sen3 a d) cos2 a
1− senae) (1− cosx)(1 + cosx)
senxf ) cos4 x(1 + senx)
(1 − sen2 x)2g) sen4 x− sen2 x · cos2 xcos4 x− cos2 x · sen2 x · cotg x h) √
1− sena ·√1 + sen a√
1− cos a ·√1− cos ai) (1 − tg2 a) sena · cos2 a
(cos2 a− sen2 a) tg aj ) coseca
1 + cotg2 ak) ( senx− 1
cosecx+ cos2 x
)(
cosx+ cotg x
cosx
) l) sec2 a+ cos2 a
sec2 a− cos2 a6.3. E ua iones trigonométri as28. Halla todos los ángulos x tales que:a) tg x = 1 b) cosx = −1/2 ) tg x =√3 d) senx =
√2/2e) senx = cosx f ) senx = 0 g) senx = −1/2 h) cosx = −1i) tg x = 0 j ) cosx = −
√3/2 k) cosx = −1 l) senx = −
√2/229. Ha iendo uso de la al uladora y redondeando a los minutos, resuelve de 0◦ a 360◦ las siguientese ua iones trigonométri as:a) senx = 0, 5432 b) senx = −0, 3714 ) cosx = 0, 7321d) cosx = −0, 1238 e) tg x = 1/5 f ) tg x = −1/3g) secx = 7 h) cosecx = −4 i) cotg x = −0, 330. Resuelve las siguientes e ua iones trigonométri as:a) sen(2x+ 1) =
1
2b) sen
(
5x− π
3
)
= −√3
2 ) tg(
x− π
5
)
=√3 d) sen2 x− 2 cos2 x = 1e) senx+ cosecx =5
2f ) 5 secx− 4 cosx = 8g) 5 cos2 x+ sen2 x = 2 h) 7 senx+ 4 cos2 x− 2 = 0i) 2 sen2 x+ cosx = 1 j ) sen2 x− cos2 x = 1/2k) 3 cos2 x = sen2 x l) 2 sen2 x+ cos2 x = 16.4. Resolu ión de triángulos re tángulos31. Resuelve los siguientes triángulos re tángulos (A = 90◦, a es la hipotenusa, b y c son los atetos, Bes el ángulos opuesto al lado b y C el ángulo opuesto al lado c) de los que ono emos los siguientesdatos:a) a = 10 m y b = 6 m b) a = 15 m y B = 32◦12′ ) b = 12 m y B = 72◦10′ d) b = 7 m y C = 23◦15′e) b = 15 m y c = 20 m f ) La altura relativa a la hipotenusa ha = 5 m y B = 35◦20′33
32. A 30 metros del pie de una himenea de fábri a se ve la punta de ésta, bajo un ángulo de 68◦.Cal ula la altura de la himenea.33. Cal ula la altura de un edi� io, si desde el suelo y a una distan ia de su pie de 30 m, se ve la partemás alta bajo un ángulo de 42◦.34. Desde lo alto de un faro de 35 m de altura, se ve un bar o bajo un ángulo de depresión de 18◦.Cal ula la distan ia a la que se en uentra el bar o.35. Determina la longitud de la sombra que proye ta un árbol de 7 m de altura, si la eleva ión de losrayos del sol sobre el horizonte es de 23◦.36. Desde la orilla de un río, se ve la parte más alta de un árbol situado en la otra orilla, bajo unángulo de 25◦. si nos alejamos de la orilla en dire ión perpendi ular 25 m, el ángulo es ahora de20◦. Determina la an hura del río.37. Desde un bar o situado a 100 m de la osta y en perpendi ular a ella, se ve la base y el punto másalto de un faro situado sobre un a antilado, on ángulos de eleva ión de 22◦ y 25◦ respe tivamente.Determina la altura del faro.38. Cal ula el radio, la apotema y el área de un o tógono regular de 10 m de lado.39. Las diagonales de un rombo miden 52 y 66 m. Halla los ángulos y el lado.40. Halla la longitud de un túnel AB que atraviesa una montaña, sabiendo:PSfrag repla ements
500 m700 m 50◦
3 kmA
70◦
B41. Dos ir unferen ias se antes tienen de radios 6 m y 8 m. El ángulo que forman sus dos tangentes omunes es de 30◦. Cal ula la distan ia que hay entre los dos entros de las ir unferen ias.42. Desde ierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30◦ onla horizontal. Si nos a er amos 75m ha ia el pie de la torre, este ángulo mide 60◦. Halla la alturade la torre.43. En un instante dado, el altímetro de una avioneta registra 1095 m de altitud. El piloto ve la torrede ontrol del aeropuerto mediante una visual que forma un ángulo de 81◦ on la verti al. ¾A quédistan ia del aeropuerto vuela el aparato?44. Desde el punto medio de la distan ia entre dos torres A y B, los ángulos de eleva ión de sus extremossuperiores son 30◦ y 60◦ respe tivamente. Si A tiene una altura de 40m, halla la altura de B y ladistan ia entre las torres.
34
BLOQUE IVFUNCIONES
35
Tema 7Fun iones reales de variable real7.1. Con epto de fun ión1. De las siguientes grá� as, ¾ uáles de ellas no orresponden a una fun ión?
PSfrag repla ements
a) b) )d) e) f )g) h) i)
111
111
1
11
2. Consideremos la fun ión dada por f(x) = 2x
x− 1, al ula:a) Las imágenes para x = 2, x = −5 y x =
2
5b) Los originales para y = 0 e y = 6. ) Dominio de la fun ión.3. Si f(x) = √x+ 3, halla:a) f(1), f(0), f(−2) y f
( − 26
9
)b) ¾Cuánto vale f(−4)?¾Pertene e −4 al dominio de la fun ión? ) Cal ula los originales de 3, 5 y de 2
3d) ¾Cuál es el dominio de f? 37
4. De las siguientes fun iones dadas por su grá� a:a) Cal ula f(−3), f(0), f(4) y f(3).b) En uentra los valores de x para los que f(x) = 2. ) Cal ula el dominio y la imagen.d) Estudia la ontinuidad de la fun ión.PSfrag repla ements I II IIId)e)f )g)h)i) 1
1
1
5. Observa las grá� as de las siguientes fun iones y determina su dominio, onjunto imagen, intervalosde re imiento y de re imiento, extremos relativos y estudia su ontinuidad y a ota ión.PSfrag repla ements a) b) )d)e)f )g)h)i) 1
116. Dibuja las grá� as orrespondientes a las fun iones on las ara terísti as que se itan a ontinua- ión:a) Dom(f) = (−∞,−2]∪ [2,+∞); Im(f) = (−∞, 2]; máximos relativos en los puntos (−3, 2)y (3, 2).b) Dom(f) = R; Im(f) = (−3, 2); mínimo relativo en el punto (−2,−1) y máximo relativoen el punto (0, 1). ) Dom(f) = (−∞, 0); Im(f) = (1,+∞) y estri tamente re iente en todo su dominio.d) Dom(f) = R − {0}; Im(f) = R; estri tamente re iente en (−∞, 0) y estri tamentede re iente en (0,+∞.7. Cal ula el dominio de las siguientes fun iones:a) f(x) = x3 + 3x b) f(x) = −5 ) f(x) = 2x+ 4d) f(x) =− 3
2x+ 3e) f(x) =
3x− 1
x2 − 8xf ) f(x) =
x2 − 3x
x2 + 5x+ 7g) f(x) =3x
x2 − 9h) f(x) =
1
x3 − 2x2i) f(x) =
2x− 1
x2 + 2x− 3j ) f(x) =2x+ 5
x2 − 1k) f(x) =
3x+ 2
x3 + 3x2 − x− 3l) f(x) =
x2 − 5
x2 + 1m) f(x) =√2x n) f(x) =
√3x− 2 ñ) f(x) =
√2− 3xo) f(x) =
√x2 + 2x− 3 p) f(x) =
√x2 − 1 q) f(x) =
√x2 − 2x38
r) f(x) =√2x2 + 4x+ 2 s) f(x) =
√x2 + 2x− 8 t) f(x) =
√x2 + 4u) f(x) =
√
x+ 4
x− 2v) f(x) =
1√x− 1
w) f(x) =
√
x− 3
3x+ 9x ) f(x) =
√
4x+ 3
x− 1y) f(x) =
√
x2 − 25
x+ 2z ) f(x) =
√x+ 2
x− 17.2. Fun iones lineales8. Representa las siguientes re tas, al ulando dominio, onjunto imagen y puntos de ortes on losejes:a) y = −3 b) y = 0 ) y =3
2d) y = 2xe) y = −1
4x f ) y = −3x+ 1 g) y = 2x− 4 h) y =
− x+ 1
29. Di uál es la pendiente y la ordenada en el origen de ada una de las re tas del ejer i io anterior.10. Las grá� as siguientes orresponden a fun iones lineales. Indi a para ada una la ordenada en elorigen, la pendiente e indi a si son re ientes o de re ientes:PSfrag repla ements a) b) )d)e)f )g)h)i) 1
1
111. Representa grá� amente las siguientes fun iones:a) f(x) =
2 si x ≤ 3x− 1 si 3 < x ≤ 87 si 8 < x
b) f(x) =
x
2si x ≤ 4
−x+ 3 si 4 < x ) f(x) =
x− 2
3si x ≤ 2
2x si 2 < x ≤ 30 si x > 3
d) f(x) =
{
−2 si x < 32 si x > 612. Representa en los mismos ejes las re tas y = 2x, y = 2x+2 e y = 2x− 4. ¾Cómo son las pendientesde re tas paralelas?13. Un repartidor de periódi os obra una antidad �ja diaria de 9 euros más una antidad variableque depende del número de periódi os repartidos a razón de 0,12 euros por periódi o.a) Es ribe la fun ión que permite obtener la antidad a obrar (y) en fun ión del número deperiódi os repartidos (x).b) Si un día reparte 125 periódi os, ¾ uánto obra ese día? ) Si ierto día ha obrado 19,32 euros, ¾ uántos periódi os ha repartido?d) ¾Puede obrar un día 16,86 euros? 39
14. Por la en uaderna ión de libros nos obran 7 euros ada uno si el número de páginas no supera las200. A partir de las 200 páginas, por ada página de más se in rementa el pre io anterior en 0,02euros. Responde a las siguientes preguntas:a) En uentra la fun ión que nos da el pre io a pagar por la en uaderna ión de un libro depen-diendo del número de páginas de éste.b) Representa grá� amente esta fun ión.15. Una determinada empresa nos ofre e la oferta siguiente por one tarnos a Internet:Cuota mensual de abono 6 euros.Cada hora de onexión 1,8 euros.a) En uentra la fun ión que nos indique el pre io a pagar mensualmente, según las horas que sehaya estable ido la onexión.b) Representa grá� amente esta fun ión. ) La empresa arga un 16% de IVA. ¾Cómo afe ta esto a la fun ión anterior y a su grá� a?7.3. Fun iones uadráti as16. Representa las siguientes parábolas al ulando dominio, imagen, vérti e y puntos de ortes y estudiala monotonía, extremos y a ota ión.a) y = −x2 b) y = x2 − 3 ) y = x2 − 4x d) y = x2 + 4x+ 1e) y = −x2 + 4 f ) y = x2 − 2x+ 2 g) y = −x2 + 2x− 3 h) y = 2x2 − 10x+ 817. Representa las siguientes fun iones:a) f(x) = x2 + 2x para x ∈ [−3, 2]b) f(x) = −2x+ 1 para x ∈ (2,+∞) ) f(x) = −3 para x ∈ [−2, 6)18. Representa grá� amente la fun ión f(x) = 2x2 y a partir de ella representa:a) f(x) = 2x2 + 1 b) f(x) = 2x2 − 2 ) f(x) = 2(x− 1)2d) f(x) = 2(x+ 4)2 e) f(x) = −2x2 f ) f(x) = −2x2 + 419. Representa grá� amente las siguientes fun iones:a) f(x) =
2 si x < −1−2x si −1 ≤ x < 1x2 si x ≥ 1
b) f(x) =
{
x2 si x ≤ 0−x2 si x > ) f(x) =
{
2x2 − 2x si x ≤ 22x si 2 < x ≤ 4
d) f(x) =
x2 − 1 si x < −10 si −1 ≤ x ≤ 11− x2 si x > 120. Halla a y b para que la parábola y = x2 + ax+ b pase por los puntos A(0, 4) y B(2, 2).21. La altura en metros, al anzada por un objeto lanzado verti almente desde el suelo viene dada porla fun ión f(t) = −10t2 + 20t, donde t es el tiempo en segundos.a) Representa grá� amente la fun ión.b) ¾En qué instante al anza la altura máxima? ¾Cuál es esa altura?
40
Tema 8Álgebra de fun iones. Estudio denuevas fun iones.8.1. Fun iones radi ales1. Representa grá� amente las siguientes fun iones, al ulando dominio, onjunto imagen y puntos de orte on los ejes:a) f(x) =
√x b) f(x) =
√−x ) f(x) =
√x+ 3d) f(x) = −√
x e) f(x) =√x− 2 f ) f(x) = 3
√xg) f(x) = 3
√x+ 1 h) f(x) = 2−
√x− 2 i) f(x) = 3 +
√x8.2. Fun iones de propor ionalidad inversa2. Representa grá� amente las siguientes fun iones, al ulando dominio, imagen, puntos de ortes yasíntotas:a) f(x) =
1
xb) f(x) =
2
x− 2 ) f(x) =
− 1
x+ 3d) f(x) =2x+ 1
x− 1e) f(x) =
x+ 1
x+ 3f ) f(x) =
− x
x+ 28.3. Fun iones exponen iales y logarítmi as3. Halla el dominio de las siguientes fun iones:a) y = log(x2 − 4) b) y = log(x2 − 6x+ 8) ) y = log1− x
1 + xd) y = log
1− x2
x+ 3e) y =3x + 1
2x + 3f ) y =
x− 1
2x − 4g) y =
3x − 1
log2 xh) y =
log3(x− 1)
3x − 9i) y =log2(2x− 4)
2x − 16j ) y =
log2 x
log2 x− 14. Halla el dominio de las siguientes fun iones:a) y = log(x− 3) b) y = lnx− 1
x+ 2 ) y = ln(9− x2) d) y = log(x2 + x− 2)e) y = log
x2 + x− 2
x2 + x− 6f ) y =
2x
2x − 2g) y =
4x−2
16− 4xh) y =
3
22x − 6 · 2x + 8i) y = 31/x j ) y = 3√x k) y = 4(x+1)/(x−1) l) y = 3
√4−x2m) y =
ln(x− 4)
x− 5n) y =
1
lnxñ) y =
x+ 1
ln(x− 2)41
5. Dadas las siguientes fun iones, halla su grá� a:a) y = 2x−1 b) y = 3x−2 − 4 ) y = 1 + 2xd) y = 2−x e) y = log2(x+ 3) f ) y = 1 + log3(x + 5)g) y = log2(x+ 1) h) y = 3 + log2 x i) f(x) =
{
2x si x > 0x− 1 si x < 08.4. Opera iones on fun iones. Composi ión6. Dadas las fun iones f(x) = x+ 3
x2 − 1y g(x) = x− 2, al ula:a) Dom f y Dom g b) f + g; f · g; f
gy sus dominios ) 1
fy su dominio7. A partir de las fun iones reales de variable real de�nidas de la forma:
x −→ f(x) =1
x− 1y x −→ f(x) =
1
x+ 1 al ula:a) Dom f y Dom g b) f + g y su dominio ) f − g y su dominiod) 3 · g y su dominio e) f · g y su dominio f ) f/g y su dominio8. Dadas las fun iones reales de variable real f y g de�nidas de la forma:x −→ f(x) =
1
x2 − 4y x −→ f(x) =
x+ 2
xde�ne las fun iones f + g, f · g y f/g y sus dominios.9. Dadas las fun iones f(x) = x2 y g(x) =√x, de�ne las fun iones f/g, 1/f y 1/g y sus dominios.10. Dadas las fun iones f(x) = 1
x2 − 1y g(x) =
√x+ 2 es ribe los riterios y dominios de las fun iones
f · g y f/g.11. Dadas las fun iones f y g, al ula g ◦ f en los siguientes asos:a) f(x) =1
x− 2y g(x) = x+ 2 b) f(x) =
2
1− xy g(x) = 2x+ 1 ) f(x) =
1
xy g(x) =
√x+ 1 d) f(x) =
3
xy g(x) =
1
x− 3e) f(x) =√x+ 1 y g(x) =
1√x+ 1
f ) f(x) =2
x− 1y g(x) =
2
x+ 212. Dadas las fun iones f(x) = x+ 3
2x− 1y g(x) =
√x, halla f ◦ g y g ◦ f .13. Halla la omposi ión de la fun ión f(x) = 2x on las siguientes fun iones:a) g(x) = ln2 x b) g(x) = ln4 x ) g(x) = ln√2x d) g(x) = ln1/2 x14. Dadas las fun iones f(x) = log2(x
2 − 3), g(x) = 1 + 2x y h(x) = log3(2x − 3), halla:a) (g ◦ f)(x) b) (g ◦ h)(x) ) (f ◦ g)(x) d) (h ◦ g)(x)e) (h ◦ f)(x) f ) (f ◦ h)(x) g) (f ◦ g−1)(x) h) (h ◦ g−1)(x)42
8.5. Corresponden ia inversa o fun ión re ípro a15. Dadas las siguientes fun iones, halla su orrespondiente re ípro a (o inversa):a) f(x) = 4x+ 5 b) f(x) = x2 + 2x− 3 ) f(x) =x+ 2
x+ 1d) f(x) =
2− x
x+ 3e) f(x) =√2x f ) f(x) = x2 − 3x g) f(x) = 3
√x− 1 h) f(x) =
2x+ 5
x− 416. Dadas las siguientes fun iones, halla su orrespondiente re ípro a (o inversa):a) y = −1 + log2 3x b) y = 3x+2 ) y = 2 + log3 x d) y = 1− 2x+3e) y =log4(x− 1)
2f ) y = 1− log3
x
5g) y = 3− 3x+2 h) y = log2 x17. Halla las re ípro as de las siguientes fun iones:a) y = log(x− 3) b) y = log2(2x+ 1) ) y = log2/3
√x+ 1d) y = 2 + log3(4x
2 + 1) e) y =4− 3 log(x2 + 4)
5f ) y =
√
ln(x− 1)g) y = 1− 4 log(1− x2) h) y = 2x+1 i) y = 23−xj ) y = 2 + 10x2+1 k) y = 3− 2x−1 l) y =
3− 51−x2
8m) y =3
2x+1 − 2n) y = 3− 34x+1 ñ) y = ex+1
43
44
Apéndi e ABinomio de Newton1. Desarrolla los siguientes binomios:a) (a+ 2b)4 b) (x+√2)5 ) (a1/3 + b1/3)52. Desarrolla los siguientes binomios:a) (2z + 1
4y3)5 b) (x2 + y2)5 ) (2xy + y3)43. Desarrolla los siguientes binomios:a) (3x2 + 2y3)4 b) ( 1√
2+
√2
x
)10 ) (2x+y
3
)44. Desarrolla los siguientes binomios:a) (a− 1)8 b) (3x− 2y)
4 ) ( 2
x−√x
)45. Desarrolla los siguientes binomios:a) (√x−√√
2)5 b) (x3/5 − x2
)4 ) (x2
2− 3y
)66. Halla el valor de (x+ y)5 − (x− y)57. Halla el valor de (1 +√y)5 − (1−√
y)58. Halla el valor de (3− 2√3)3 − (3 + 2
√2)3Solu iones1. a) a4 + 8a3b+ 24a2b2 + 32ab3 + 16b4b) x5 + 5
√2x4 + 20x3 + 20
√2x2 + 20x+ 4
√2 ) a5/3 + 5a4/3b1/3 + 10ab2/3 + 10a2/3b + 5a1/3b4/3 + b5/32. a) 32x5 + 20x4y3 + 5x3y6 +
5
8x2y9 +
5
128xy12 +
1
1024y15b) x10 + 5x8y2 + 10x6y4 + 10x4y6 + 5x2y2 + y10 ) 16x4y4 + 32x3y4 + 24x2y8 + 8xy10 + y123. a) 81x8 + 216x6y3 + 216x4y6 + 96x2y9 + 16y1245
b) 1
32+
5
8x+
45
8x2+
30
x3+
105
x4+
252
x5+
420
x6+
480
x7+
360
x8+
160
x9+
32
x10 ) 16x4 +32
3x3y +
24
9x2y2 +
8
27xy3 +
1
81y44. a) a8 − 8a7 + 28a6 − 56a5 + 70a4 − 56a3 + 28a2 − 8a+ 1b) 81x4 − 216x3y + 216x2y2 − 96xy3 + 16y4 ) 16
x4− 32
√x
x2+
24
x− 8
√x+ x25. a) x2√x− 5x2
√2 + 20x
√x− 20x
√2 + 20
√x− 4
√2b) x12/5 − 4x19/5 + 6x26/5 − 4x33/5 + x8 ) x12
64− 9
16x10y +
135
16x8y2 − 135
2x6y3 +
1215
4x4y4 − 729x2y5 + 729y66. 10x4y + 20x2y3 + 2y57. 2 + 20y + 10y28. −156
√3
46
Apéndi e BSolu ionarioB.1. Solu iones del tema 1: Números reales1. a) 1
9b) 2 ) − 1
2d) − 1
9e) 1
9f ) 16 g) 1
5h) −12. a) 1
x5y4b) 2153. a) 21/3 b) 35/4 ) 5−7/4 d) 24/34. a) 3
√12 b) 3
√16 ) √ 3
2xd) 3
√
3
5e) 23 f ) 3
√
3
255. a) 2 3√2 b) 8
√2 ) 10
√10 d) 2a
3√a2e) 5a
4
√
5
bf ) √
13
6g) 4
a
√
1
ah) 2
√a2 + 1i) 4
√25
2j ) 2 · 33xy3z6 5
√
23x3yz3 k) 2x3y7
z2
√
x
zl) 52a8b5
√a6. a) 2[3]
√3 b) √
3 ) −3 3√4 d) 4
√4y e) 3
4√2
f ) 17. a) 4√4 =
√2 < 3
√3 b) 3
√4 <
√6 ) 4
√6 < 5
√10 d) 3
√9 < 6
√100 < 4
√728. a) 180
√2 b) 3
√2 ) 1
2d) 2 3
√18 e) 4
√2 f ) 2g) 6
√108 h) √
a i) 1
4j ) 6
√3 k) 3 4
√27 l) a2 12
√
a
b59. a) 6√2 b) 12
√128 ) a 20
√a10. a) 35
√5 b) −22 3
√2 ) 2
√5 +
√6 d) √
3 + 2√247
11. a) 7 3√2 b) −53
45
√
2
5 ) 106− 10a
53√3a d) 30ab− 9 + 10b
45b
√
a
b12. a) 4√6 b) 4
√3 + 2
√10 ) −1 d) 38− 12
√10 e) √
3 f ) 35− 12√613. a) 4 3
√4 b) √
2
2 ) 2 3
√2 d) 3
√25 e) 4
√ab3
bf ) √5−
√3 g) −2
√3 + 3
√2
2h) 3−
√3
2i) 3
√5 + 6 j ) 2
√5− 314. a) 5 4
√108
6b) √
6
3 ) 2−
√2
2d) √
6− 1
3e) 8f ) 1 +
√6
6g) −
√3 +
√5
4h) √
2 i) 6√648
3j ) √
a+ b15. a) 5 + 2√6 b) 16 + 2
√2
31 ) −7 + 2
√10
3d) 5−
√2
23e) −5 + 2
√6f ) x
√x− x
√y + y
√x− y
√y
x− yg) √
a+ 1 h) x+ y + 2√xy
x− yi) 2
√2
3j ) 3
√25
1016. a) ab12√ab8 b) 1
6√a4b
) 8√a7 d) a 12
√a e) 4
√
b
a3f ) 12
√
b7
a2g) a 6
√
a5
bh) a i) 1
4√a3
j ) 1
x
15√x1117. a) 5
√3
2b) 2
√x
x− y ) √
3 + 5√2 d) −2
√35 e) 2f ) 2 g) 5 h) 3
√2− 4
√6
6i) 3 j ) √
ak) 30 l) √3 + 2
√2 m) √20−
√5 n) 36 ñ) 36o) √
7 p) √2 +
√3 q) √
3B.2. Solu iones del tema 2: Polinomios. Fra iones algebrai as1. a) 7
6x3 − 7
2x2 − 8x+
35
4b) 1
2x3 − 5x2 + 2x− 37
12 ) 4x4 − 24x3 + 56x2 − 60x+ 25 d) −2x5 + 25x3 − 71x2 + 90x− 50e) −2x3 − 9x2 + x+ 9 f ) C(x) = 8x2 − 1
2, R(x) = −4x2 +
3
2x+ 2g) C(x) = 2x4 − 2
3x3 +
2
9x2 − 29
27x− 52
81, R(x) = −191
2432. a = −13. a = −754. a = 16 y b = 05. a = −36. a = 2 48
7. a = 08. a = 3 y b = −49. 5510. P (x) = (x− 1)(x− 2)(x+ 2)(x+ 4)11. P (x) = 2(x− 1)(x+ 2)(x− 5/2) = (x− 1)(x+ 2)(2x− 5)12. P (x) = 2(x− 1)(x+ 1)(x− 1/2) = (x− 1)(x+ 1)(2x− 1)13. Raí es simples: 1, −2, 214. x4 − 4x3 − x2 + 16x− 1215. x4 − 5x3 − 2x2 + 24x16. 3 es una raíz doble y −1 una raíz simple.17. a) P (x) = (x− 1)(x+ 1)(x+√2)(x−
√2) b) Q(x) = 4(x− 3)
(
x− 3
2
)(
x+1
2
)
= (x− 3)(2x− 3)(2x+ 1) ) R(x) = (x− 2)3 d) S(x) = x(x − 2)(x+ 3)18. a) Raí es reales simples: 1 y 3; P (x) = (x− 1)(x− 3)(x2 + 1)b) Raíz real simple: −3; Q(x) = (x+ 3)(x2 + 4) ) 0 es una raíz doble y 3/2 raíz simple; R(x) = 2x2(x − 3/2) = x2(2x− 3)d) Raí es reales simples: 7 y −1/2; S(x) = 2(x− 7)(x+ 1/2) = (x− 7)(2x+ 1)19. a) a = −10 y b = 2 b) a = −7 y b = −5.20. x3 − x2 − 9x+ 9.21. a) m. .d.(P (x), Q(x)) = (x− 2), m. .m.(P (x), Q(x)) = (x− 2)2(x + 2)b) m. .d.(P (x), Q(x)) = x2(x− 4), m. .m.(P (x), Q(x)) = x3(x − 4)(x− 3)(x+ 1) ) m. .d.(P (x), Q(x)) = (x− 1)3, m. .m.(P (x), Q(x)) = (x − 1)422. a) Si son equivalentes b) No son equivalentes ) Si son equivalentesd) Si son equivalentes e) Si son equivalentes f ) No son equivalentes23. a) 1
x+ yb) 2x
x+ y ) − 1
2x(x + h)d) 3
x+ ye) − 3x2 + 4x
x2 − 4xf ) yx(y − 1)
z(x− 1)g) 3− x h) (x + 1)2
x(x − 1)i) x2 + 1
x+ 1j ) 2
x− 1k) − 2x2 − 34x+ 8
x− 4l) 3x2 − 12x+ 14
(x − 1)(x− 2)(x− 3)m) − 2x+ 5
x3 − 1n) x− 7
(x− 4)(x− 5)(x− 6)ñ) − x3 − 2x2 − 2x
x3 − 1o) 3x+ 3
x2 + x− 2p) 4x
x+ 1q) x+ 1
x2 + x− 249
24. a) x− 1
x− 2b) 9− x2
3x3 ) x+ 1
x− 1d) 2x+ 2
x2e) x+ 1 f ) 1 + x
2g) 1
2x2 − 1h) 2x− 5 i) 2
xj ) x− 2 k) a− b
x+ yl) x2 + x+ 1
x2 − x+ 1m) x2 − x+ 1
xn) 1 ñ) −xo) 1
2p) 3x(3x− 2)
2(3x+ 2)q) −8
B.3. Solu iones del tema 3: E ua iones, ine ua iones y sistemas1. a) x = −29 b) x = 14 ) x = 2 d) x =√3e) x =
√3 y x =
√5 f ) x = 3/14 g) x1 = 0 y x2 = 1/4 h) x1 = 4 y x2 = 4/52. a) x1 = 1; x2 = −1; x3 = 1/2; x4 = −1/2 b) x1 = 3; x2 = −3; x3 = 1; x4 = −1 ) x1 =
√5; x2 = −
√5; x3 = 2; x4 = −2 d) x1 = 2; x2 = −2e) x1 = 2; x2 = −2; x3 = 1; x4 = −1 f ) x1 = 1/2; x2 = −1/2; x3 = 1/3; x4 = −1/3g) x1 = 3; x2 = −3 h) x1 = 3; x2 = −3; x3 = 1; x4 = −1i) x1 = 1; x2 = −1; x3 = 1/5; x4 = −1/53. a) x1 = 0; x2 = 2; x3 = −2 b) x1 = 0; x2 = 3; x3 = −3 ) x1 = 0; x2 = 5; x3 = −5 d) x1 = 0; x2 = 3; x3 = −3e) x1 = 2; x2 = −2 f ) x1 = 3; x2 = −34. a) x = 3 b) x = 2 ) x = 1, x = −1d) x = 4 e) No tiene solu ión. f ) x = 4g) x = 3 h) x = 5 i) x = 6j ) x = 12 k) x = 13/9 l) x = 7m) x = 0 n) No tiene solu ión. ñ) x = 95. a) x1 = 1; x2 = −2; x3 = 0 b) x1 = 0; x2 = 2 ) x1 = 1; x2 = −1; x3 = −3; x4 = −2 d) x1 = 0; x2 = 9; x3 = −9e) x1 = 0; x2 = 1/2; x3 = −1/4 f ) x1 = 0; x2 = 1; x3 = −1g) x1 = −3 h) x1 = 0; x2 = 3/2i) x1 = 0; x2 = 5/2; x3 = −4/3 j ) x1 = 2; x2 = 1; x3 = 4k) x1 = 1; x2 = 3 l) x1 = −1; x2 = −2/3; x3 = 1/2m) x1 = 0; x2 = 5/2; x3 = −4/36. a) x = 0, x = −4 b) x = 2/3 ) No tiene solu ión.d) x = −2 e) x = 0, x = 5/4 f ) x = 0, x = −1/2g) x = 1, x = 4 h) R− {−2,−1, 0}50
7. a) (−∞, 1) ∪ (3,+∞) b) (−∞,−3] ∪ [2,+∞) ) No tiene solu ión.d) [0, 6] e) (−∞,−2) ∪ (5,+∞) f ) No tiene solu ión.g) (−∞,−1) ∪ (4,+∞)) h) (−8/3, 1) i) Rj ) [1/4, 1/2] k) [−1, 1] l) (−∞, 0) ∪ (13,+∞)8. a) (1/3, 1/2) b) [0, 1) ) (−2, 4)d) (−∞,−7] ∪ (2/3,+∞) e) [−3/2,−3/4) f ) (−∞,−2/3)∪ [5/6,+∞)g) (−3,−1] ∪ [1,+∞) h) (−∞, 1) i) (−∞,−2) ∪ (−1, 1) ∪ (2,+∞)j ) (−∞,−3] ∪ (−1, 1) ∪ ([3,+∞) k) (−7/2,−2) l) (−∞,−9] ∪ (−3,+∞)9. a) [−1, 0] ∪ [1,+∞) b) (0,+∞) ) [−1, 1] d) (−∞,−2) ∪ (1, 3)10. a) x = 7; y = 6 b) x = 3; y = 1 ) x = 8; y = 5d) x = 8; y = 2 e) x = 365; y = 145 f ) x = 1; y = 211. a) x1 = 1 y1 = 8; x2 = 56/5 y2 = 5/7 b) x1 = 9 y1 = 8; x2 = −20/3 y2 = −54/5 ) x1 = −6 y1 = −8; x2 = 8 y2 = 6 d) x1 = 3 y1 = 2; x2 = 2 y2 = 3e) x1 = 2 y1 = 1; x2 = −7/3 y2 = −12 f ) x1 = 7 y1 = 3; x2 = 42/5 y2 = 13/5g) x1 = −3 y1 = 4; x2 = 4 y2 = −3 h) x1 = −1 y1 = 3; x2 = −2 y2 = 1i) x1 = 2 y1 = 1; x2 = −1 y2 = −2j ) x1 = 3 y1 = 2; x2 = 3 y2 = −2; x3 = −3 y3 = 2; x4 = −3 y4 = −2k) x1 = −1 y1 = 2; x2 = 1 y2 = −2 l) x1 = 8 y1 = 8; x2 = 2 y2 = −4m) x1 = 1 y1 = 3; x2 = −1 y2 = −3; x3 = 3 y3 = 1; x4 = −3 y4 = −1n) x1 = 5 y1 = 4; x2 = −5 y2 = −4; x3 = 4 y3 = 5; x4 = −4 y4 = −5ñ) x1 = 2 y1 = 1; x2 = −2 y2 = −1; x3 = 1 y3 = 2; x4 = −1 y4 = −2o) x1 = −2 y1 = 3; x2 = 22/3 y2 = 23/3p) x1 = 6 y1 = −2; x2 = 6 y2 = 2; x3 = −6 y3 = −2; x4 = −6 y4 = 2q) x1 = −6 y1 = −8; x2 = 8 y2 = −6 r) x1 = 5 y1 = 3; x2 = −5 y2 = −3s) x1 = 4 y1 = 4; x2 = 4 y2 = −4 t) x1 = 9 y1 = 4B.4. Solu iones del tema 4: Cál ulo logarítmi o y e ua iones ex-ponen iales1. a) 2 b) 10 ) 3 d) −2 e) 2 f ) −10g) −3 h) 0 i) −1 j ) −2 k) 5 l) −2m) 2 n) −2 ñ) −1 o) 3 p) 4 q) 1/3r) 1/2 s) 1/42. a) 9 b) 3 ) −3 d) −1 e) −6 f ) −2g) 2 h) 0 i) 100 j ) 3/2 k) 1/2 l) −1/2m) −3/2 n) 1/2 ñ) −23. a) a = 2 b) a = 3 ) a = 5 d) a = 3e) a = 2 f ) a = 0, 5 g) a = 10 h) Cualquier a > 051
4. a) x = 1/3 b) x = π ) x = 3 d) x = 1/4 e) x = 5 f ) x = 9g) x = 172 h) x = 4 i) x = 5 j ) x = 1/16 k) x = 1/√7 l) x =
√35. a) x = 4 b) x = 5 ) x = 1/2 d) x = 6 e) x = 4 f ) x = 2g) x = −1/4 h) x = −5 i) x = 25 j ) x = 9 k) x = −1/6 l) x = 1/66. a) x = −4 b) x = −3 ) x = 1/12 d) x = 3/2 e) x = −7/4 f ) x = 1/4g) x = −1/8 h) x = 3/8 i) x = −8 j ) x = 3/2 k) x = 3 l) x = 5/27. a) 2 b) 10 ) 6 d) −28. a) 1, 4771 b) 1, 9242 ) 2, 2094 d) −0, 893e) 1, 1582 f ) 0, 3597 g) 1, 398 h) −0, 9039. a) 0, 3064 b) −0, 3398 ) −1, 704 d) 0, 8612e) −0, 26145 f ) 0, 903 g) 0, 699 h) 1, 140310. a) x = 16 b) x = 6 ) x = 8 d) x = 1 e) x = 16/5 f ) x = 411. a) 12, 4 b) 27, 8 ) −4, 8 d) 3, 794712. No pro ede la solu ión.13. No pro ede la solu ión.14. a) 2 log a+ log b− log c b) 2 log a+ 3 log b+ log c ) 2 log a+
1
3log b− 3
4log cd) 7
6logm+
1
6logn e) −3x f ) −1
615. a) log
(
x4
√xy
) b) log
(
x
y2
) ) log(
x3(1− x))d) log
(
4
√
x2y) e) log
(
1
xy
) f ) log2 x16. a) x · y = 10 b) x
y=
1
10 ) x4
y3= 100d) 3
√x2
y= 10 e) x = 101017. a) x = 4 b) x = 0 ) x = −1/3 d) x = 2, 32 e) x = 1, 58 f ) x = 6, 28g) x = 2 h) x = 3 i) x = 6 j ) x = 0; x = 2 k) x = 1; x = 2 l) x = 5/12m) x = 1; x = −2 n) x = 2 ñ) x = 1 o) x = 2 p) x = ±1, 52 q) x = ±
√3r) x = 1, 29 s) x = −14 t) x = 3 u) x = 1 v) x = 3 w) x = 2x ) x = 0; x = 1 y) x = 3 z ) x = −118. a) x = −2 b) x = 7 ) x = −4 d) x = −4 e) x = ±3f ) x = 5/2 g) x = 0 h) x = 1 i) x = 1 j ) x = 0k) x = 4 l) x = 3 m) x = 5 n) x = 10 ñ) x = 1o) x = 0, x = 2 p) x = 0; x = 1 q) x = 1; x = 2 r) x = 1; x = 2 s) x = 0t) Sin solu ión u) x = 5 v) x = 4, y = 2 w) x = 4, y = 252
19. a) x = −5/2 b) x = 1 ) x = 7/3 d) x = 49 e) x = 2; x = 9/2f ) x = 3 g) x = 3 h) x = −8/9 i) x = 2 j ) x = 6k) x = 1; x = 2 l) x = 13/5 m) Sin solu ión n) x = 1000 ñ) x = 10; y = 1o) x = 4; y = 2 p) x = 20, y = 2q) x1 = 105; y1 = 105 x2 = 105; y2 = 105 r) x = 7; y = −12s) x1 = 10; y1 = 20 x2 = 40; y2 = 520. a) x = −4/3 b) x = 9/2 ) x = 20 d) x = 11e) x = 20; x = 80 f ) x = 20 g) x = 6 h) x = 1/20i) x = 2 j ) x = 7 k) x = 12/5 l) x = 3, x = 2m) x = 3/2, x = 3
√
1/2 n) x = 55 ñ) x = 3, x = 1/3 o) x = 20; y = 2p) x = 102; y = 10−1 q) x = 109/2; y = 10−1/2B.5. Solu iones del tema 5: Progresiones1. a1 = 2, a2 = 3/2, a3 = 4/3, a4 = 5/42. a1 = 4, a2 = 7, a3 = 12, a4 = 19, a5 = 28, a6 = 39, a7 = 52, a8 = 67, a9 = 84,a10 = 1033. a1 =
3
4, a5 =
51
8, a11 =
243
144. a2 = 3, a7 = −8, a10 = 115. a15 =− 223
2246. a) an = (−1)n+1(2n− 1) b) an = n2 ) an = 2n−1 d) an = 3n− 2e) an =n
n+ 1f ) an =
5n
3ng) an = n2 + 1 h) an =
1
2n−17. h = 78. a) an = 5n− 4 b) an = 4n− 3 ) an = 3n− 11d) an = −2n+ 4 e) an = 5n− 2 f ) an =1
8n+
3
89. a20 = 10010. a18 =19
211. a) 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, . . . b) −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, . . . ) −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, . . .12. a) Aritméti a de diferen ia 2 b) No aritméti a ) No aritméti a d) Aritméti a de diferen ia 1/3.13. a) a30 = 146 b) a16 = 61 ) a24 = 6114. a20 = 4515. a) 9, 13, 17, 21 b) 8,5; 5; 1,5 ) 7, 11, 15, 19, 2316. a) S25 = 1575 b) S22 = 231 ) S40 =235
217. S12 = 540 53
18. S17 = 2507519. n = 1920. n = 4921. S9 = 16222. a1 = 1, a16 = 1723. 2, 6, 10.24. −4, −1, 2, 5, 8, 11.25. a) Geométri a de razón 2/3 b) No es progresión geométri a ) Geométri a de razón 5/326. a12 = 409627. a10 = 100000028. 3, 4,16
3,64
9,256
27,1024
81,4096
243, . . .29. a1 = 1/330. El uarto y el quinto.31. 21, 63, 189, 567, 170132. 2, 1, 1/2, 1/433. 18, 6 y 2 ó 2, 6 y 18.34. n = 735. a7 = 510336. 16, 48 y 44.37. 9◦, 27◦, 81◦, 243◦38. a6 = 6 · 35/739. 8, 16, 32, 64, 128 y −12, 36, −108, 324, −97240. r = 2 y a6 = 2641. S = 1/942. 100 �las.43. 8 años.44. a1 = 1, a2 = 3, . . .45. 6210 metros.46. 730 mm.47. a) 1875 euros b) 118.125 euros48. 7, 107, 2907.49. 850 m/s; 700 m/s y 550 m/s.50. a) Progresión aritméti a b) an =b2 + (2n− 3)
b51. 1/64 metros.52. 14 segundos.53. a) 2420 élulas. b) 70 segundos 54
B.6. Solu iones del tema 6: Trigonometría1. a) π
180rad b) 2π
3rad ) π
4rad d) 7π
6rad e) 14π
9rad f ) 56π
9rad2. a) 120◦ b) 225◦ ) 3240◦ d) 57, 29578◦ e) −60◦ f ) 630◦3. π rad >
π
2rad > 30◦24′ >
π
7rad4. El área es aproximadamente 0, 092πr2 u2.5. 11π
14≃ 141◦25′.6. a) x = 15 b) x =
20√3
3 ) x =
20√3
37. senα =1
3, cosα =
2√2
3, tgα =
1
2√2, cotgα = 2
√2, secα =
3√2
4, cosecα = 3
sen(90◦ − α) =2√2
3, cos(90◦ − α) =
1
3, tg(90◦ − α) = 2
√2, cotg(90◦ − α) =
1
2√2,
sec(90◦ − α) = 3, cosec(90◦ − α) =3√2
48. a) II uadrante b) II uadrante ) III uadranted) IV uadrante e) I uadrante f ) III uadrante9.sen cos tg cotg sec cosec
179◦ + − − − − +−18◦ − + − − + −342◦ − + − − + −−120◦ − − + + − −68◦ + + + + + +235◦ − − + + − −10. senα =
− 2√5
5, cosα =
√5
5, tgα = −2, cotgα = −1
2, secα =
√5, cosecα = −
√5
211. senα =1
3, cosα =
−√2
4, tgα = −
√3
6, cotgα = −2
√3, secα =
3√2
4, cosecα = 312. senx = −12
13y cosx = − 5
1313. senx = −4
5, cosx = −3
5, tg x =
4
3, cotg x =
3
4, secx = −5
3, cosecx = −5
414. senx = −2√2
3, cosx = −1
3, tg x = 2
√2, cotg x =
√2
4, secx = −3, cosecx = −3
√2
415. senx =4
5, cosx = −3
5, tg x =
− 4
3, cotg x = −3
4, secx = −5
3, cosecx =
5
416. senx = −3
5, cosx = −4
5, tg x =
3
4, cotg x =
4
3, secx = −5
4, cosecx = −5
355
17. sen 175◦ = 0, 0872; cos 175◦ = −0, 9962; tg 175◦ = −0, 0878;
cotg 175◦ = −11, 4301; sec175◦ = −1, 0038; cosec 175◦ = 11, 473718. a) 86◦ b) 40◦ ) 30◦ d) 50◦ e) 60◦ f ) 11◦19. a) − 1
2b) 0 ) √
3
2d) −
√3
2e) → ∞f ) → ∞ g) → ∞ h) −
√3
2i) −1 j ) −
√3
3k) −1 l) 1 m) 1
2n) −
√3
3ñ) −1
220. a) cosα =
√7
4b) − cosα = −
√7
4 ) − tgα = −3
√7
721. a) 2√2
3b) 2
√2
3 ) −2
√222. a) √
15
4b) 1
4 ) −1
4d) −
√15
423. a) √21
5b) 2
5 ) −
√21
5d) −
√21
224. a) 1
2b) 2 ) −2 d) −2e) 2 f ) −1
2g) 1
2h) −1
225.79◦ 101◦ 169◦ 191◦ 259◦ 281◦ 349◦ 371◦
sen 0, 98 0, 98 0, 19 −0, 19 −0, 98 −0, 98 −0, 19 0, 19cos 0, 19 −0, 19 −0, 98 −0, 98 −0, 19 0, 19 0, 98 0, 98tg 5, 15 −5, 15 −0, 19 0, 19 5, 15 −5, 15 −0, 19 0, 1926. No pro ede la solu ión.27. a) sena b) cos a ) sena+ cos a d) 1 + sen ae) senx f ) 1 + senx g) − tg x h) cotg ai) cos a j ) sena k) cotg x · cosx l) 1 + cos4 a
1− cos4 a28. a) x = 45◦ + 180◦k =π
4+ k · π rad, k ∈ Z b) x =
120◦ + 360◦k =2π
3+ k · 2π rad
240◦ + 360◦k =4π
3+ k · 2π rad k ∈ Z ) x = 60◦ + 180◦k =
π
3+ k · π rad, k ∈ Z d) x =
45◦ + 360◦k =π
4+ k · 2π rad
135◦ + 360◦k =3π
4+ k · 2π rad k ∈ Ze) x = 45◦ + 180◦k =
π
4+ k · π rad, k ∈ Z f ) x = 360◦k = k · 2π rad, k ∈ Zg) x =
150◦ + 360◦k =5π
6+ k · 2π rad
210◦ + 360◦k =7π
6+ k · 2π rad k ∈ Z56
h) x = 180◦(2k + 1) = (2k + 1) · π rad, k ∈ Z i) x = 180◦k = k · π rad, k ∈ Zj ) x =
120◦ + 360◦k =2π
3+ k · 2π rad
240◦ + 360◦k =4π
3+ k · 2π rad k ∈ Zk) x = 270◦ + 360◦k =
3π
2+ k · 2π rad, k ∈ Z l) x =
225◦ + 360◦k =5π
4+ k · 2π rad
315◦ + 360◦k =7π
4+ k · 2π rad k ∈ Z29. a) x1 = 32◦ 54′; x2 = 147◦ 6′ b) x1 = 201◦ 48′; x2 = 338◦ 12′ ) x1 = 42◦ 56′; x2 = 317◦ 4′ d) x1 = 97◦ 7′; x2 = 262◦ 53′e) x1 = 11◦ 18′; x2 = 191◦ 18′ f ) x1 = 161◦ 35′; x2 = 341◦ 35′g) x1 = 81◦ 47′; x2 = 278◦ ′13 h) x1 = 194◦ 28′; x2 = 245◦ 32′i) x1 = 106◦ 42′; x2 = 286◦ 42′30. a) x =
π − 6
12+ k · π
5π − 6
12+ k · π
k ∈ Z b) x =
π
3+ k · 2π
52π
3+ k · 2π
5
k ∈ Z ) x =
8π
15+ k · 2π
23π
15+ k · 2π
k ∈ Z
d) π
2+ k · π k ∈ Z e) x =
π
6+ k · 2π
5π
6+ k · 2π
k ∈ Z f ) x =
π
3+ k · 2π
5π
3+ k · 2π
k ∈ Z
g) x =
π
3+ k · π
2π
3+ k · π
k ∈ Z h) x =
{
345◦ 31′ + k · 360◦165◦ 31′ + k · 360◦ k ∈ Z i) x =
2π
3+ k · 2π
4π
3+ k · 2π
k · 2π
k ∈ Z
j ) x =
π
3+ k · π
2π
3+ k · π
k ∈ Z k) x =
π
3+ k · π
2π
3+ k · π
k ∈ Z l) x = k · 2π k ∈ Z31. a) c = 8 m; B = 36◦ 52′; C = 53◦ 8′ b) b = 7, 99 m; c = 12, 69 m; C = 57◦ 48′ ) a = 12, 61 m; c = 3, 86 m; C = 17◦ 50′ d) a = 7, 62 m; c = 3, 01 m; C = 66◦ 45′e) a = 25 m; B = 36◦ 52′; C = 53◦ 8′ f ) a = 10, 60 m; b = 6, 13 m; c = 8, 65 m; C = 54◦ 40′32. 74,25 m.33. 27 m.34. 107,7 m.35. 16,5 m.36. 89 m.37. 6,2 m.38. Radio: 13,7 m; apotema:12,07 m; Área: 482,8 m2.39. Ángulos: 103, 6◦ y 51, 4◦;lado: 42,01 m.40. 3.621 m.
41. 7,72 m.42. 65 m.43. 7.000 m.44. 120 m y 138,5 m.57
B.7. Solu iones del tema 7: Fun iones reales de variable real1. No son fun iones las grá� as de los apartados ), d), e) y f).2. a) f(2) = 4, f(−5) =5
3y f
(
2
5
)
=− 4
3b) f(0) = 0 y f
(
3
2
)
= 6 ) Dom f = R− {1}3. a) f(1) = 2, f(0) =√3, f(−2) = 1 y f
( − 26
9
)
=1
3b) No existe f(−4) y por tanto −4 6∈ Dom f ) f(6) = 3, f(22) = 5 y f
( − 23
9
)
=2
3d) Dom f = [−3,+∞)4. Grá� a I:a) f(−3) = 0, f(0) no existe, f(4) = 1 y f(3) = 0 b) f(−1) = 2 ) Dom f = [−3, 0) ∪ (0, 4], Re f = (−2, 2) d) Continua en su dominioGrá� a II:a) f(−3) = 3, f(0) = 2, f(4) = −2 y f(3) = −1 b) f(0) = 2, f(−2) = 2 y f(2) = 2 ) Dom f = R, Re f = [−2,+∞) d) Continua en R.Grá� a III:a) f(−3) = −2, f(0) = 2, f(4) = 2 y f(3) = 3 b) f(x) = 2, para x ∈ [0, 2] ∪ {4} ) Dom f = [−3, 5], Re f = [−2, 3] d) Continua en su dominio5. a) Dom f = [−5,+∞); Re (f) = [−2,+∞);Monotonía: Cre iente en (−5,−1)∪(0, 2)∪(4,+∞),de re iente en (−1, 0) ∪ (2, 4); Extremos relativos: Máximos en los puntos (−1, 2) y (2, 3)y mínimos en los puntos (0, 1) y (4, 0); A ota ión: a otada inferiormente ; Continuidad: ontinua en su dominio.b) Dom f = [−3, 1]∪ [2, 4]; Re (f) = [−1, 4]; Monotonía: Cre iente en (−2, 1) ∪ (3, 4)∪, de re- iente en (−3,−2)∪ (2, 3); Extremos relativos: Mínimo en el punto (3, 0); A ota ión: estáa otada ; Continuidad: ontinua en [−3,−2) ∪ (−2, 1] ∪ [2, 4]. ) Dom f = R; Re (f) = (−∞,−2]∪ [1,+∞); Monotonía: Cre iente en (−1, 0)∪ (0, 1), de re- iente en (−∞,−1) ∪ (1,+∞); Extremos relativos: Máximos en el punto (1,−1) y mínimoen el punto (−1, 1); A ota ión: no está a otada; Continuidad: ontinua en R− {0}.6. No pro ede la solu ión.7. a) Dom f = R b) Dom f = R ) Dom f = Rd) Dom f = R− {−3/2} e) Dom f = R− {0, 8} f ) Dom f = Rg) Dom f = R− {3,−3} h) Dom f = R− {0, 2} i) Dom f = R− {−3, 1}j ) Dom f = R− {1,−1} k) Dom f = R− {−3,−1, 1} l) Dom f = Rm) Dom f = [0,+∞) n) Dom f = [2/3,+∞) ñ) Dom f = (−∞, 2/3]o) Dom f = (−∞,−3] ∪ [1,+∞) p) Dom f = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) q) Dom f = (−∞, 0] ∪ [2,+∞)r) Dom f = R s) Dom f = (−∞,−4] ∪ [2,+∞) t) Dom f = Ru) Dom f = (−∞,−4) ∪ [2,+∞) v) Dom f = (1,+∞) w) Dom f = (−∞,−3) ∪ [3,+∞)x ) Dom f = (−∞,−3/4] ∪ (1,+∞) y) Dom f = [−5,−2)∪ [5,+∞) z ) Dom f = [−2, 1) ∪ (1,+∞)8. 58
PSfrag repla ementsa) b) ) d)e) f ) g) h)i)k) 1
1
11
1
1
1
1
• Todas las fun iones son polinómi as y por tanto su dominio es R.a) Rec(f) = {−3}, Puntos de ortes: (0,−3) b) Rec(f) = {0}, Puntos de ortes: {(a, 0), a ∈ R} ) Rec(f) = {3/2}, Puntos de ortes: (0, 3/2) d) Rec(f) = R, Puntos de ortes: (0, 0)e) Rec(f) = R, Puntos de ortes: (0, 0) f ) Rec(f) = R, Puntos de ortes: (0, 1), (1/3, 0)g) Rec(f) = R, Puntos de ortes: (2, 0), (0,−4) h) Rec(f) = R, Puntos de ortes: (0, 1/2), (1, 0)9. a) m = 0, n = −3 b) m = 0, n = 0 ) m = 0, n = 3/2 d) m = 2, n = 0e) m = −1/4, n = 0 f ) m = −3, n = 1 g) m = 2, n = −4 h) m = −1/2, n = 1/210. a) m = −1, n = 2, de re iente b) m = −2, n = 2, de re iente ) m = 3/2, n = 0, re iente11.PSfrag repla ements a) b)
) d)e)f )g)h)i)k)3
3
3
4
6
8
2
59
12.
Las pendientes de las re tas paralelas son iguales.13. a) f(x) = 0, 12x+ 9 b) 24 e ) 86 periódi osd) No, porque tendría que vender 65,5 periódi os14.a)
f(x) =
{
7 si x < 2000, 02x+ 7 si x ≥ 200
x
1
PSfrag repla ementsa)b) )d)e)f )g)h)i)k) 7
10015.a) f(x) = 1, 8x+ 6 x
1
1
PSfrag repla ementsa) b) )d)e)f )g)h)i)k) 6
) Aumenta la tarifa mínima a 6,96 e y aumenta la pendiente de la re ta a 2,088 que es elpre io de�nitivo por hora de onexión.16. 60
PSfrag repla ementsa) b) ) d)
e) f ) g) h)i)k)
1
1
1
1
111
1
• Todas las fun iones son polinómi as y por tanto su dominio es R.a) Re (f) = (−∞, 0]); Vérti e: (0, 0); Puntos de ortes on los ejes: (0, 0); Cre iente en(−∞, 0); De re iente en (0,+∞); Máximo en (0, 0); A otada superiormente.b) Re (f) = [3,+∞); Vérti e: (0,−3); Puntos de ortes on los ejes: (0,−3), , (−
√3, 0), (
√3, 0);Cre iente en (0,+∞); De re iente en (−∞, 0); Mínimo en (0,−3); A otada inferiormente. ) Re (f) = [−4,+∞); Vérti e: (2,−4); Puntos de ortes on los ejes: (0, 0), (4, 0); Cre- iente en (2,+∞); De re iente en (−∞, 2); Mínimo en (2,−4); A otada inferiormente.d) Re (f) = [−3,+∞); Vérti e: (−2,−3); Puntos de ortes on los ejes: (0, 1), (−2+
√3, 0),
(−2 −√3, 0); Cre iente en (−2,+∞); De re iente en (−∞,−2); Mínimo en (−2,−3);A otada inferiormente.e) Re (f) = (−∞, 4]; Vérti e: (0, 4); Puntos de ortes on los ejes: (0, 4)(−2, 0), (2, 0) ;Cre iente en (−∞, 0); De re iente en (0,+∞); Máximo en (0, 4); A otada superiormente.f ) Re (f) = [1,+∞); Vérti e: (1, 1); Puntos de ortes on los ejes: (0, 2); Cre iente en
(1,+∞); De re iente en (−∞, 1); Mínimo en (1, 1); A otada inferiormente.g) Re (f) = (−∞,−2]; Vérti e: (1,−2); Puntos de ortes on los ejes: (0,−3); Cre ienteen (−∞, 1); De re iente en (1,+∞); Máximo en (1,−2); A otada superiormente.h) Re (f) = [−9/2,+∞); Vérti e: (5/2,−9/2); Puntos de ortes on los ejes: (0, 8), (1, 0), (4, 0);Cre iente en (5/2,+∞); De re iente en (−∞, 5/2); Mínimo en (5/2,−9/2); A otada in-feriormente.
61
17.PSfrag repla ements
a) b) )1
1
1
18.PSfrag repla ements
a) b) )d) e) f )
g)h)i)
y = 2x2
1
1
1
1
1
1
1
62
19.1
1
1
PSfrag repla ementsa) b)
) d)e)f )g)h)i)k) 2
20. a = −3 y b = 421.PSfrag repla ements t
ma)1
10 b) La altura máxima se al anza para t = 1 sy la altura es de 10 m.B.8. Solu iones del tema 8: Álgebra de fun iones. Estudio de nue-vas fun iones.1. 63
PSfrag repla ementsa) b) ) d)
e) f ) g)h) i)1
1
11
11
111
a) Dom(f) = [0,+∞); Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (0, 0).b) Dom(f) = (−∞, 0]); Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (0, 0). ) Dom(f) = [−3,+∞); Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (−3, 0) y (0,√3).d) Dom(f) = [0,+∞); Rec(f) = (−∞, 0]; Puntos de ortes on los ejes: (0, 0).e) Dom(f) = [2,+∞); Rec(f) = [0,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (2, 0).f ) Dom(f) = R; Rec(f) = R; Puntos de ortes on los ejes: (0, 0).g) Dom(f) = R; Rec(f) = R; Puntos de ortes on los ejes: (−1, 0) y (0, 1).h) Dom(f) = [2,+∞); Rec(f) = (−∞, 2]; Puntos de ortes on los ejes: (6, 0).i) Dom(f) = [0,+∞); Rec(f) = [3,+∞); Puntos de ortes on los ejes: (0, 3).
64
2.PSfrag repla ements
a) b) )d) e) f )
g)h)i)y
y
yyy
y
xx
xxx
x 11
11
1
1
1
1
a) Dom(f) = R−{0}; Rec(f) = R−{0}; Asíntotas: x = 0 e y = 0; Puntos de ortes on losejes: no tiene.b) Dom(f) = R−{2}; Rec(f) = R−{0}; Asíntotas: x = 2 e y = 0; Puntos de ortes on losejes: no tiene. ) Dom(f) = R−{−3}; Rec(f) = R−{0}; Asíntotas: x = −3 e y = 0; Puntos de ortes onlos ejes: no tiene.d) Dom(f) = R−{1}; Rec(f) = R−{2}; Asíntotas: x = 1 e y = 2; Puntos de ortes on losejes: (−1/2, 0).e) Dom(f) = R−{−3}; Rec(f) = R−{1}; Asíntotas: x = −3 e y = 1; Puntos de ortes onlos ejes: (−1, 0).f ) Dom(f) = R− {−2}; Rec(f) = R−{−1}; Asíntotas: x = −2 e y = −1; Puntos de ortes on los ejes: (0, 0).3. a) Df = (−∞,−2) ∪ (2,+∞) b) Df = (−∞, 2) ∪ (4,+∞) ) Df = (−1, 1)d) Df = (−∞,−3) ∪ (−1, 1) e) Df = R f ) Df = R− {2}g) Df = (0, 1) ∪ (1,+∞) h) Df = (1,+∞)− {2} i) Df = (2,+∞)− {8}j ) Df = (0,+∞)− {2}4. a) Df = (3,+∞) b) Df = (−∞,−2) ∪ (1,+∞) ) Df = (−3, 3)d) Df = (−∞,−2) ∪ (1,+∞) e) Df = (−∞,−3) ∪ (−2, 1) ∪ (2,+∞) f ) Df = R− {1}g) Df = R− {2} h) Df = R− {1, 2} i) Df = R− {0}j ) Df = [0,+∞) k) Df = R− {1} l) Df = [−2, 2]m) Df = (4, 5) ∪ (5,+∞) n) Df = (0, 1) ∪ (1,+∞) ñ) Df = (2, 3) ∪ (3,+∞)65
5. a)PSfrag repla ements
1
1
2
2
3
3
4
−1−2 b)PSfrag repla ements
2 3 4
−1
−3
−4
5
)PSfrag repla ements
1
1
2
2
3
4
−1−2−3
5
d)PSfrag repla ements
1
1
2
2
3
3
4
−1−2 e)PSfrag repla ements
1
1
2
2 3
−1
−1
−2
−2
−3
−3 f )PSfrag repla ements
1
1
2
2
3
3 4
−1
−2
−2
−3
−4−5
g)PSfrag repla ements
1
1
2
2 3 4
−1
−1 h)PSfrag repla ements
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5 i)PSfrag repla ements
1
2
2
4
−1
−2
−2−3
−46. a) Dom(f) = R− {−1, 1} y Dom(g) = Rb) (f + g)(x) =x3 − 2x2 + 5x
x2 − 1, f · g =
x2 + x− 6
x2 − 1, f
g(x) =
x+ 3
x3 − 2x2 − x+ 2,
Dom(f + g) = Dom(f · g) = R− {−1, 1} y Dom(f/g) = R− {−1, 1, 2} ) (1/f)(x) =x2 − 1
x+ 3y Dom(1/f) = R− {−1, 1,−3}7. a) Dom(f) = R− {1} y Dom(g) = R− {−1} b) (f + g)(x) =
2x
x2 − 1, Dom(f + g) = R− {−1, 1} ) (f − g)(x) =
2
x2 − 1, Dom(f + g) = R− {−1, 1} d) (3 · g)(x) = 3
x+ 1, Dom(f − g) = R− {−1}e) (f · g)(x) = 1
x2 − 1, Dom(f · g) = R− {−1, 1} f ) (f/g)(x) =
x+ 1
x− 1, Dom(f/g) = R− {−1, 1}8. (f + g)(x) =
x3 + 2x2 − 3x− 8
x3 − 4x, f · g =
1
x(x − 2), f
g(x) =
x
(x+ 2)(x2 − 4),
Dom(f + g) = Dom(f · g) = R− {−2, 2, 0} y Dom(f/g) = R− {−2, 2, 0}66
9. f
g(x) =
x2
√x= x
√x, Dom(f/g) = (0,+∞), 1
f(x) =
1
x2, Dom(1/f) = R− {0},
1
g(x) =
1√x=, Dom(1/g) = (0,+∞)10. f · g =
√x+ 2
x−1, Dom(f · g) = [−2,+∞− {−1, 1})
f/g =1
(x2 − 1)√x+ 2
, Dom(f/g) = (−2,+∞− {−1, 1})14. a) (g ◦ f)(x) = 1 + 2log2(x2−3) = 1 + x2 − 3 = x2 − 3 b) (g ◦ h)(x) = 1 + 2log3
(2x−3) ) (f ◦ g)(x) = log2[
(1 + 2x)2 − 3] d) (h ◦ g)(x) = log3(2
1+2x − 3)e) (h ◦ f)(x) = log3
(
2log2(x2−3) − 3
)
= log3(x2 − 6) f ) (f ◦ h)(x) = log2
[
(log3(2x − 3))
2 − 3]g) (f ◦ g−1)(x) = log2
[
(log2(x− 1))2 − 3] h) (h ◦ g−1)(x) = log3
(
2log2(x−1) − 3)
= log3(x − 4)16. a) f−1(x) =2x + 1
3b) f−1(x) = −2 + log3 x ) f−1(x) = 3x−2d) f−1(x) = −3 + log2(1− x) e) f−1(x) = 1 + 42x f ) f−1(x) = 5 · 31−xg) f−1(x) = −2 + log3(3 − x) h) f−1(x) = 2x17. a) f−1(x) = 3 + 10x b) f−1(x) =
2x − 1
2 ) f−1(x) =
(
2
3
)2x
− 1d) f−1(x) =
√3x−2 − 1
2e) f−1(x) =
√10(4−5x)/3 − 4 f ) f−1(x) = 1 + ex
2g) f−1(x) =√1− 10(1−x)/4 h) f−1(x) = −1 + log2 x i) f−1(x) = 3− log2 xj ) f−1(x) =
√
−1 + log(x− 2) k) f−1(x) = 1 + log2(3− x) l) f−1(x) =√
1− log5(3 − 8x)m) f−1(x) = −1 + log2
(
3 + 2x
x
) n) f−1(x) =− 1 + log3(3− x)
4ñ) f−1(x) = −1 + lnx
67
68
Apéndi e CGeometría planaRECTAS Y ÁNGULOS EN EL PLANOPSfrag repla ementsPunto Re ta Semirre ta SegmentoPSfrag repla ements Re tas se antes Re tas paralelasTipos de ángulosPSfrag repla ementsLlano Convexo Cón avo Re to Agudo ObtusoÁngulo llano: sus lados es-tán alineados, (180◦).Ángulo re to: lados perpen-di ulares, (90◦). Ángulo onvexo: menor queuno llano.Ángulo agudo: menor que elre to. Ángulo ón avo: mayor queuno llano).Ángulo obtuso: mayor queel re to y menor que el llano.Rela iones angularesPSfrag repla ementsLlanoConvexoCón avoRe toAgudoObtuso
AAB
B ++ ==Ángulos omplementarios: suman 90◦; A+ B = 90◦ Ángulos suplementarios: suman 180◦; A+ B = 180◦
PSfrag repla ementsLlanoConvexoCón avoRe toAgudoObtusoÁngulos omplementarios: suman ;Ángulos suplementarios: suman ; Ángulos onse utivos Ángulos adya entes Opuestos por el vérti e69
Mediatriz y bise triz
PSfrag repla ementsLlanoConvexoCón avoRe toAgudoObtusoÁngulos omplementarios: suman ;Ángulos suplementarios: suman ;Ángulos onse utivosÁngulos adya entesOpuestos por el vérti eA B
P
PSfrag repla ementsLlanoConvexoCón avoRe toAgudoObtusoÁngulos omplementarios: suman ;Ángulos suplementarios: suman ;Ángulos onse utivosÁngulos adya entesOpuestos por el vérti eP
R
S s
r
Mediatriz de un segmento es la re ta perpendi- ular al mismo en su punto medio.Los puntos de la mediatriz equidistan de los ex-tremos del segmento: PA = PB. Bise triz de un ángulo es una semirre ta que di-vide al ángulo en dos ángulos iguales.Los puntos de la bise triz equidistan de los ladosdel ángulo: PR = PS.
70
POLÍGONOSSe llama polígono a la región errada del plano limitada por varios segmentos.Los polígonos se lasi� an según el número de lados en:PSfrag repla ementsTriángulo: 3 lados Cuadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados
O tógono: 8 lados Eneágono: 9 lados De ágono: 10 lados Ende ágono: 11 lados Dode ágono: 12 ladosSe lasi� an según sus ángulos en:PSfrag repla ementsPolígono onvexo Polígono ón avoTodos sus ángulos son menores que 180◦ Al menos uno de sus ángulos es mayor que 180◦Polígonos regularesSon los polígonos que tienen todos sus ángulos y lados iguales.Los elementos de un polígono regular son los siguientes:PSfrag repla ementsladoángulo entralradiovérti e ángulo interiorapotema entrodiagonalLado: ada uno de los segmentos que forman elpolígono.Vérti e: punto de unión de dos lados onse uti-vos.Radio: segmento que va del entro del polígonoa ualquiera de los vérti es.Apotema: segmento que va del punto medio de ualquier lado al entro del polígono. Siempre esperpendi ular a di ho lado.Ángulo entral: ángulo formado por dos radios onse utivos.Ángulo interior: ángulo formado por dos lados onse utivos.Diagonal: segmento que une dos vérti es no on-se utivos.Suma de los ángulos de un polígono y número de diagonalesLa suma de los ángulos interiores de ualquier polígono se obtiene multipli ando 180◦ por el número delados menos dos, es de ir, si el polígono tiene n lados, la suma de los ángulos interiores viene dada por:
180◦(n− 2).La suma de los ángulos entrales de ualquier polígono regular es de 360◦. Por tanto, podemos al ular elángulo entral dividiendo 360◦ entre el número de lados.El número de diagonales de ualquier polígono es n(n− 3)
2.71
TRIÁNGULOSClasi� a ión según sus lados Clasi� a ión según sus ángulosPSfrag repla ements Equilátero(3 lados iguales) (2 lados iguales) (3 lados desiguales)Es alenoIsós eles PSfrag repla ements A utángulo Re tángulo obtusángulo(3 ángulos agudo) (1 ángulo re to) ( 1 ángulos obtuso)Suma de los ángulos Teorema de PitágorasPSfrag repla ements
A B
C
A+ B + C = 180◦PSfrag repla ements a
c
b
a2 = b2 + c2
PSfrag repla ementsA
B
C
c
b
a
ma
mc
mb
GMediana: es el el segmento que va de un vérti e alpunto medio del lado opuesto.Punto de orte de las tres medianas: bari entro.El bari entro divide a ada mediana en dos segmentos,uno doble que el otro.
PSfrag repla ementsA
B
C
c
b
aha
hc
hb
O
Altura: es el segmento que va, perpendi ularmente,desde un vérti e al lado opuesto o a su prolonga ión.Punto de orte de las tres alturas: Orto entro.PSfrag repla ements
A
B
C
c
b
a
O
Mediatriz de un segmento es la re ta perpendi ularque pasa por el punto medio.Punto de orte de las tres mediatri es: Cir un entro.El ir un entro es el entro de la ir unferen ia ir uns- rita.PSfrag repla ements
A
B
C
c
b
a
I
Bise triz de un ángulo es una semire ta que divide unángulo en otros dos iguales.Punto de orte de las tres bise tri es: In entro.El in entro es el entro de la ir unferen ia ins rita.72
CUADRILÁTEROSParalelogramos: los lados opuestos son paralelos.Propiedades:• Sus lados opuestos son iguales.•Sus ángulos opuestos son iguales. • Sus ángulos ontiguos son suplementarios.
•Las dos diagonales se ortan en sus puntos medios.PSfrag repla ements Base AlturaRe tángulo Rombo Romboide(ángulos re tos) (lados iguales) (2 ángulos desigualesy 2 lados desiguales)Cuadrado(4 ángulos iguales(y 4 lados iguales)Trape ios: es un uadrilátero on dos lados paralelos y otros dos no paralelos.PSfrag repla ements Trape io es aleno Trape io isós eles Trape io re tángulo(distintos los lados no paralelos) (iguales los lados no paralelos) (dos ángulos re tos)BaseBaseAltura
Trapezoides: es un uadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos.PSfrag repla ements Trapezoides
73
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULOCir unferen ia: es la línea urva errada y plana uyos puntos equidistan de otro llamado entro.Cír ulo: Es la por ión de plano en errada en el interior de una ir unferen ia.Cir unferen ia y ír uloPSfrag repla ements uerdadiámetro entroradioCir unferen ia Cír uloCentro: es el punto uya distan ia a todos lospuntos de la ir unferen ia es siempre la misma.Radio: es el segmento que une el entro on ual-quier punto de la ir unferen ia.Diámetro: segmento que une dos puntos uales- quiera de la ir unferen ia, pasando por el entro.Cada diámetro divide a la ir unferen ia en dossemi ir unferen ias.Cuerda: segmento que une a dos puntos uales-quiera. Cada uerda divide a la ir unferen ia endos ar os.Posi iones relativas de re ta y ir unferen iaPSfrag repla ements Exteriores Tangentes Se antesPosi iones relativas de dos ir unferen iasPSfrag repla ements Exteriores Tangentes Se antesTangentes interiores Interiores Con éntri asÁngulos en la ir unferen iaPSfrag repla ementsÁngulo entral Ángulo ins ritoO
AA
B
B C
Ángulo entral: tiene el vérti e en el entro. Midelo mismo que el ar o que abar aÁngulo ins rito: tiene el vérti e en un punto dela ir unferen ia. Mide la mitad que el ar o queabar a.Todos los ángulos ins ritos que abarquen el mismoar o son iguales.El ángulo que abar a una semi ir unferen ia esre to.Re intos en el ír uloPSfrag repla ementsSe tor ir ular Segmento ir ular Zona ir ular Corona ir ular Trape io ir ular74
ÁREAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS PLANASCUADRADO RECTÁNGULOPSfrag repla ements l
l
Área= lado × ladoS = l2
P = 4lPSfrag repla ements
a
b Área= base × alturaS = a · b
P = 2a + 2bROMBO ROMBOIDEPSfrag repla ements ld
D
Área= diagonal menor ×diagonal mayor divididoentre 2S =
D · d
2P = 4l
PSfrag repla ementsh
b
a Área= base × alturaS = b · h
P = 2a + 2bTRAPECIO TRIÁNGULOPSfrag repla ements h
B
b Área= base menor masbase mayor dividido en-tre 2 por la alturaS =
(B + b) · h
2Perímetro = suma de to-dos los ladosPSfrag repla ements h
b
Área= base × altura di-vidido entre 2S =
b · h
2Perímetro = suma de to-dos los ladosPOLÍGONO REGULAR CÍRCULOPSfrag repla ements L
A
Área= Perímetro porapotema dividido entre 2S =
Perímetro × a
2Perímetro= suma de to-dos los ladosPSfrag repla ements r
S = πr2Longitud de la ir unfe-ren ia: l = 2πr
SECTOR CIRCULARPSfrag repla ements
r
α
S =πr2
360· αLongitud del ar o =
2πr
360· α
75
76
Apéndi e DCuerpos geométri osPOLIEDROSPoliedros: Son uerpos geométri os limitados porpolígonos.Caras del poliedro son los polígonos que lo for-man.Aristas de un poliedro son los lados de las a-ras.Vérti es de un poliedro son los vérti es delas aras. En ada vérti e on urren tres o más aras.Dentro de los poliedros podemos distinguir:1. Prismas: un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos, llamados bases,y varios paralelogramos llamados aras laterales.La altura del prisma es la distan ia entre las bases.Un prisma es re to uando todas las aras laterales sean re tángulos, y por tanto perpendi- ulares a las bases.Si las aras laterales no son re tángulos enton es se llama prisma obli uo.Los prismas re tos uyas bases son polígonos regulares se llaman prismas regulares.Dependiendo de que las bases sean triángulos, uadriláteros, pentágonos, et ., el prisma sellama triangular, uadrangular, pentagonal, et .Los prismas uyas aras son todas re tángulos se llaman ortoedros.PSfrag repla ementsBaseBase AlturaCara lateralPrisma pentagonal re to Prisma triangular obli uo ortoedro Prisma hexagonal regular2. Pirámides: es un poliedro que tiene por base un polígono ualquiera y por aras lateralestriángulos on un vérti e omún, que se denomina vérti e de la pirámide.La altura de la pirámide es la distan ia del vérti e al plano de la base.77
Una pirámide es regular uando la base es un polígono regular y el vérti e se proye ta sobreel entro de ese polígono.En una pirámide regular, todas las aristas laterales son iguales y las aras laterales son trián-gulos isós eles iguales. Las alturas de los triángulos se llaman apotemas de la pirámide.Las pirámides se llaman triangulares, uadrangulares, pentagonales. . . según que el polígonode la base sea un triángulo, un uadrilátero, un pentágono,et .PSfrag repla ementsBaseAlturaCara lateralVérti e
Apotema de la pirámideapotema de la base Pirámide hexagonal re taPirámide uadrangular re ta Tron o de pirámide3. Poliedros regulares: son aquellos uyas aras son polígonos regulares y en ada vérti e on urrenel mismo número de aras. Hay in o poliedros regulares:Tetraedro: formado por 4 triángulos equilátero. En ada vérti e on urren 3 aras.O taedro: formado por 8 triángulos equiláteros. En ada vérti e on urren 4 aras.I osaedro: formado por 20 triángulos equilátero. En ada vérti e on urren 5 aras.Hexaedro o ubo: formado por 6 uadrados. En ada vérti e on urren 3 aras.Dode aedro: formado por 12 pentágonos. En ada vérti e on urren 3 aras.PSfrag repla ements Tetraedro Hexaedro o uboO taedro I osaedro Dode aedroSuper� ies y VolúmenesPrismasÁrea lateral: Perímetro de la base × altura.Área total: Área lateral +2× área de la base.Volumen: Área de la base × la altura.PirámidesÁrea lateral: 12(Perímetro de la base × apotema).Área total: Área lateral + área de la base.Volumen: 1
3Área de la base × la altura. 78
CUERPOS DE REVOLUCIÓNSe llama uerpo de revolu ión a los uerpos geométri os que se generan ha iendo girar una �guraplana alrededor de un eje.Entre ellos, vamos a ver:1. Cilindros: Se generan ha iendo girar un re tángulo alrededor de uno de sus lados.Las bases de un ilindro re to son ír ulos. La distan ia entre las bases se llama altura.PSfrag repla ements r
r
h h
2πr
basebase
Área lateral: 2πr × hÁrea total: Área lateral +2× área de la base = 2πrh+ 2πr2Volumen: Área de la base × la altura = πr2h2. Conos: se obtienen ha iendo girar un triángulo re tángulo alrededor de uno de los atetos.La altura es la distan ia del vérti e a la base. El segmento g (hipotenusa del triángulo re -tángulo) re ibe el nombre de generatriz.Si ortamos un ono por un plano paralelo a la base, el uerpo geométri o obtenido entre losdos planos se llama tron o de ono.PSfrag repla ementsr
rrr
h
h h
r′
2πrbasebase alturaalturavérti e generatrizgeneratriz g
g g g tron o de onoÁrea lateral: πr × gÁrea total: Área lateral + área de la base = πrg + πr2Volumen: 1
3Área de la base × la altura =
1
3πr2h
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3. Esferas: se generan ha iendo girar un semi ír ulo alrededor de su diámetro.Un asquete esféri o es ada una de las partes de la esfera determinada por un plano se ante.Una zona esféri a es la parte de la esfera omprendida entre dos planos se antes paralelos.PSfrag repla ements
rh
hCasquete esféri o Zona esféri avérti eEsferaEl área de la super� ie esféri a es igual al área lateral del ilindro que envuelve a la esfera.El volumen de la esfera es igual a dos ter ios del volumen del ilindro que la envuelve.Área: 4πr2Volumen: 43πr3Casquete esféri oÁrea: 2πrh (r es el radio de la esfera que lo ontiene)Zona esféri aÁrea: 2πrh (r es el radio de la esfera que lo ontiene)
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