ia unidad final

8/8/2019 IA Unidad Final

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ContenidoContenido

y Mapas conceptuales.

y Redes semnticas.

y Conocimiento montono.

y Lgica de predicados:Sintaxis, semntica,validez e inferencia.

y La demostracin y sus mtodos.

y Mtodo de resolucin de Robinson

y Conocimiento no-montono y otras lgicas.

y Razonamiento probabilstico.

y Teorema de Bayes.


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2.1.2.1. M PM PPP


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Mapas conceptualesMapas conceptuales

Los mapas conceptuales tienen su origen enlos trabajos que Novak y sus colaboradores de

la Universidad de Cornell.

Estos autores compartan la idea, de laimportancia de la actividad constructiva delalumno en el proceso de aprendizaje, yconsideran que los conceptos y las

proposiciones que forman los conceptos entre

s son elementos centrales en la estructura delconocimiento y en la construccin delsignificado.


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Qu son los mapas conceptuales?Qu son los mapas conceptuales?

Son un medio para visualizar ideas o conceptos y las relaciones jerrquicas

entre los mismos.

Con la elaboracin de estos mapas se aprovecha la gran capacidad humana

para reconocer pautas en las imgenes visuales, con lo que se facilitan elaprendizaje y el recuerdo de lo aprendido.


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Elementos de los mapas conceptualesElementos de los mapas conceptuales

Desde el punto de vista gramatical losconceptos se identifican como nombres,adjetivos y pronombres, los querepresentan hechos, objetos, ideas, etc.

EP

Se utilizan para unir los conceptos y paraindicar el tipo de relacin que seestablece entre ellos.

P B EENLACE

Dos o ms trminos conceptualesunidos por palabras para formar unaunidad semntica.

P P ICI NES


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Utili ci l s s c c t l sUtili ci l s s c c t l s

Como medio didctico para organizarinformacin, sintetizarla y presentarla

grficamente.

Para apreciar el conjunto de informacin quecontiene un texto y las relaciones entre suscomponentes, lo que facilita su comprensin.

Para relatar oralmente o para redactar textosen los que se maneje lgica y ordenadamente

cierta informacin.


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TcnicaTcnica de construccin de los mapas conceptualesde construccin de los mapas conceptuales

1 Leer cuidadosamente el texto y entenderlo claramente.

2

Localizar y subrayar las ideas o palabras ms importantes(palabras clave) con las que se construir el mapa; por lo general,son nombres o sustantivos.

3 Determinar la jerarquizacin de dichas ideas o palabras clave.

4 Establecer las relaciones entre ellas.

5 Utilizar correctamente la simbologa:


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Simbologa de los mapas conceptualesSimbologa de los mapas conceptuales

Ideas o conceptos : Cada una se presentaescribindola encerrada en un valo o en

un rectngulo.

ConceptoIdea

Conectores: La conexin o relacin entredos ideas se representa por medio de una

lnea inclinada, vertical u horizontal

llamada conector o lnea ramal que uneambas ideas.


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Flechas: se pueden utilizar en los conectores paramostrar que la relacin de significado entre las ideas

o conceptos unidos se expresa primordialmente enun solo sentido; tambin se usan para acentuar la

direccionalidad de las relaciones, cuando se consideraindispensable.

Descriptores: Es la palabra oconjunto de palabras que describen la

conexin; se escriben cerca de losconectores o sobre ellos. Estos

descriptores sirven para "etiquetar"las relaciones.

Animales

Vertebrados Invertebrados

pueden ser


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2.2.2.2.EDES

EDES

SEMNTICASSEMNTICAS


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Perspectiva de las redes semnticasPerspectiva de las redes semnticas

y Los responsables de los primeros esquemas derepresentacin formalizados fueron Quillian (1968) y Shapiro

& Woddmansee (1971).

y Los esquemas de redes semnticas tienen unafundamentacin psicolgica muy slida, por lo que se hanrealizado numerosos esfuerzos por llevar a cabo

implementaciones importantes basadas en ellas.

y Muchas disciplinas han desarrollado tcnicas de realizacinde diagramas que constituyen lenguajes formales visuales querepresentan el conocimiento operacional en forma

esquemtica.


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Los elementos bsicos que encontramos en todos los

esquemas de redes son:

Estructuras de datos en nodos, querepresentan conceptos, unidas porarcos que representan las relaciones

entre los conceptos.

Un conjunto de procedimientos deinferencia que operan sobre las

estructuras de datos.


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Partes de una red semnticaPartes de una red semntica

Es un concepto y se encierra en un crculo o elipse.

Nodos

Es una propiedad del concepto.

Relaciones


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Diferencia entre mapa conceptual y red semnticaDiferencia entre mapa conceptual y red semntica

y Una diferencia importante es que los mapas conceptualestienen jerarqua grfica; es decir, los conceptos ms

abarcativos se explicitan en la parte superior del mismo y,descendiendo por el mapa, se encuentran los conceptos de

jerarqua intermedia y luego los menos abarcativos.

y La lectura de un mapa conceptual es, entonces, de arriba

hacia abajo.

y Las redes semnticas, en cambio, no requieren jerarqua

grfica vertical; por lo tanto, las conexiones entre nodos, envez de lneas, son flechas que orientan el sentido de la lectura


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2.3.2.3.AZONA

MIEN

TO

AZONA

MIEN

TO

MONTONOMONTONO


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Razonamiento montonoRazonamiento montono

y El razonamiento montono, es el que utilizacontradicciones para procesar. Elimina un hecho (factor deconocimiento) obteniendo la contradiccin hasta que llega

a una conclusin final.


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Ejemplo:

Cuando se ve a una persona tirando basura en la calle y pensamos en lomal que se ve, la criticamos, pero cuando realizamos el mismo acto sin

pensar, caemos en una contradiccin y concluimos que somos igual a la

persona que estaba tirando basura en la calle.


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El razonamiento montono es parte de la lgica clsicay abarca temas de la misma los cuales son:

x Lgica proposicional

x Deduccin lgicax Lgica de primer orden


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Lgica proposicionalLgica proposicional

y La lgica proposicional es un sistema formal diseado para analizarciertos tipos de argumentos.

y En la lgica proposicional, las frmulas representan proposiciones

y las constantes lgicas son operaciones sobre las frmulas queproducen otras frmulas de mayor complejidad.

y Como otros sistemas lgicos, la lgica proposicional intentaesclarecer nuestra comprensin de la nocin de consecuencialgica para el rango de argumentos que analiza.


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Deduccin lgicaDeduccin lgica

y La deduccin lgicaconsiste en que a partir de

unas premisas,representadas consmbolos, y a travs deunas reglas, obtenemosuna conclusin (deducimosla conclusin).


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Lgica de primer ordenLgica de primer orden

Tambin llamada lgica de predicados o clculo depredicados, es un sistema formal diseado para estudiar

la inferencia en los lenguajes de primer orden.

La lgica de primer orden tiene el poder expresivosuficiente para definir a prcticamente todas lasmatemticas.

Una lgica de primer orden (LPO) consta de un lenguajeL y un concepto de inferencia C.

El lenguaje L se describe en sus dos dimensionesfundamentales:Sintaxis y Semntica.

Sintcticamente L consta de un alfabeto y de dos clasesde expresiones bien definidas a partir de los smbolos deeste alfabeto: trminos y frmulas.


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2.4.LA

LG

ICA

DE

PED

ICADOS

2.4.LA

LG

ICA

DE

PED

ICADOS

SINTAXIS,SEMNTICA, ALIDEZE INFERENCIA.SINTAXIS,SEMNTICA, ALIDEZE INFERENCIA.


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Lgica

Un sistema formal paradescribir lo que est

sucediendo en un momentodeterminado

La sintaxis del lenguaje, queexplica cmo construir

oraciones

La semntica del lenguaje,que especifica las restricciones

sistemticas sobre cmo serelacionan las oraciones conaquello que est sucediendo

La teora de la demostracin

Est formada por


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Lgica

Lgicapropositiva

Lgica deprimerorden

Los smbolos representan proposicionescompletas (hechos). Los smbolos deproposiciones pueden combinarse usandolos conectivos booleanos para generar

oraciones de significado ms complejo.Una lgica como esta poco se preocupa

por la manera de representar las cosas,por ello no es sorprendente que no

ofrezca mucho como lenguaje derepresentacin.

Se preocupa por la representacin delos mundos en trminos de objetos ypredicados sobre objetos (es decir,propiedades de los objetos o

relaciones entre los objetos), as comodel uso de conectivos ycuantificadores, mediante los cualesse pueden escribir oraciones sobre

todo lo que pasa en el universo, a unmismo tiempo.


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Lgica PropositivaLgica Propositiva

Sintaxis


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SemnticaSemntica

y La semntica de la lgica propositiva tambin es bastante directa. Sedefine especificando la interpretacin de los signos de proposicin y delas constantes y especificando el significado de los conectores lgicos.

y Una manera de definir una funcin es construir una tabla mediante la

que se obtenga el valor de salida de todos los valores de entradaposibles.A este tipo de tablas se les conoce como tablas de verdad.

y Mediante las tablas de verdad se define la semntica de las oraciones.

P Q P PQ PQ PQ PQ Falso Falso Verdadero Falso Falso Verdadero Verdadero

Falso Verdadero Verdadero Falso Verdadero Falso Falso

Verdadero Falso Falso Falso Verdadero Falso Falso

Verdadero Verdadero Falso Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero


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Validez e inferenciaValidez e inferencia

y Las tablas de verdad sirven no solo para definir losconectores, sino tambin para probar la validez de lasoraciones.

y Por ejemplo:

((P

H)

H)

P

P H PH (PH)H) ((PH)H)P

Falso Falso Falso Falso Verdadero

Falso Verdadero Verdadero Falso Verdadero

Verdadero Falso Verdadero Verdadero Verdadero

Verdadero Verdadero Verdadero Falso Falso


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Reglas de inferenciaReglas de inferencia

y Existen ciertos patrones de inferencias que se presentan una y otra vez, lo que

permite establecer de una vez por todas su confiabilidad. De esta manera seaprende el patrn respectivo en algo que se conoce como regla de inferencia.


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Lgica de primer ordenLgica de primer orden(calculo de predicados)(calculo de predicados)

La lgica de primer orden considera que el mundo estconstituido por objetos, es decir, entes con identidadesindividuales y propiedades que los distinguen de otrosobjetos.

Entre estos objetos, existen diversos tipos de relaciones.Algunas de estas son las funciones: relaciones en que unaentrada corresponde un solo valor.

Objetos: gente, casas, nmeros, teoras, Ronald McDonald,colores, juegos de beisbol, guerras, siglos

Relaciones: hermano de, mayor que, dentro de, parte de, decolor, sucedi luego de, es el dueo de

Propiedades: rojo,redondo, de varios pisos, falso, lo mejor Funciones: padre de, mejor amigo de, tercer tiempo de, uno

ms que


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y Los cuadros cercanos al wumpus apestan

Objetos: wumpus, cuadros.Relacin: cercana.Propiedades: apestosos.

y El malvado rey Juan gobern Inglaterra en1200

Objetos: Juan, Inglaterra, 1200.

Relacin: gobern.Propiedades: malvado, rey.


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Sintaxis y SemnticaSintaxis y Semntica

Oracin Oracin atmica

Oracin Conector Oracin Cuantificador Variable, Oracin Oracin (Oracin)

Oracin atmica Predicado(trmino,) Trmino=Trmino

Trmino Funcin(Trmino,)

Constante Variable

Conector

Cuantificador

Constante A X1Juan

Variable a xs

Predicado Antes TieneColorLloviendo

Funcin Madre PiernaIzquierdaDe


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Signos de constantes:A, B, C,Juan

Signos de predicados:Redondo, Hermano,

Signos de funciones:Coseno, PadreDe, PiernaIzquierdaDe

Trminos: PiernaIzquierdaDe(Juan)

Oraciones atmicas

y Hermano(Ricardo,Juan)

y Casado(PadreDe(Ricardo),MadreDe(Juan))

Oraciones complejas

y Hermano(Ricardo, Juan) Hermano(Juan, Ricardo)

y

Mayor(Juan, 30)

Menor(Juan, 30)y Mayor(Juan, 30) Menor(Juan, 30)

y Hermano(Robin,Juan)


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Cuantificacin universal ()xGato(x)Mamfero(x)

y Gato(Mancha)Mamfero(Mancha)y Gato(Rebeca)Mamfero(Rebeca)

y Gato(Flix)Mamfero(Flix)

y Gato(Ricardo)Mamfero(Ricardo)

y Gato(Juan)Mamfero(Juan)

Cuantificador existencial ()xHermana(x, Mancha)Gato(x)

y (Hermana(Mancha, Mancha)Gato(Mancha))

y (Hermana(Rebeca, Mancha)Gato(Rebeca))

y (Hermana(Flix, Mancha)Gato(Flix))

y (Hermana(Ricardo, Mancha)Gato(Ricardo))

y (Hermana(Juan, Mancha)Gato(Juan))


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2.5.2.5.LA

DE

MOSTRAC

IN

YLA

DE

MOSTRAC

IN

YSUS MTODOSSUS MTODOS


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La demostracin y sus mtodosLa demostracin y sus mtodos

La demostracin es un razonamiento o serie derazonamiento que prueba la validez de un nuevo

conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias

con otros conocimientos.

La demostracin consta de tres partes:

El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la

proposicin (teorema) cuya validez se trata de probar. Los fundamentos empleados como base de la demostracin.

El procedimiento usado para lograr que el conocimientoquede demostrado.


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Mtodo deductivoMtodo deductivoy Segn el sistema aristotlico, el mtodo deductivo es un proceso que parte

de un conocimiento general, y arriba a uno particular. La aplicacin del

mtodo deductivo nos lleva a un conocimiento con grado de certezaabsoluta, y esta cimentado en proposiciones llamadas SILOGISMOS.

He aqu un ejemplo:

Todos las venezolanas son bellas, (Este es el conocimiento general)

Marta Colomina es venezolana

Luego:

Marta Colomina es bella, (Este es el conocimiento particular)


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Mtodo directoMtodo directoSi tomamos una frase lgica condicional sencilla del tipo:

P Q

Que podemos analizar como si se cumple P entonces se cumpleQ , esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en haceranlisis mas intensivos o mas extensivos pues lo hacemos de unaforma innata.

Si decimos: El cielo esta encapotado, va a llover estamosrealizando una asociacin de causa y efecto. En la cual el cielo estaencapotado es la causa y el efecto lgico es que,va a llover.


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Sean:

p:Trabajo.

q:Ahorro.r: Comprar una casa.

s: Podr guardar el automvil en mi casa.

Analizar el siguiente argumento:

"Si trabajo y ahorro, entonces comprar una casa. Si compro unacasa, entonces podr guardar el coche en mi casa. Porconsiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces noahorro".

El enunciado anterior se puede representar como:p q r; y r s; entonces s' q'


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Mtodo indirectoMtodo indirectoEjemplo

Sean a y b nmeros enteros positivos impares. Demostrar que ab es impar.

En este caso las bases de la demostracin (hiptesis) se encuentra en las nociones denmero impar, nmero par, la suma y la multiplicacin de nmeros enteros con sus

propiedades.

Si a es un nmero impar, entonces es de la forma 2k+1 y si b es un nmero impar,entonces es de la forma 2r+1, donde k y rpueden tomar los valores 0, 1, 2, 3,.... as:

a=2k+1..(1) b=2r+1..(2)

Supongamos contrariamente que ab no es impar, es decir que ab es par. Entonces, ab=2,para algn entero positivo s.

Luego el producto ab contiene el factor 2, lo que implica que a contiene el factor 2 o bcontiene el factor 2,o ambos,es decir a o b son pares en contradiccin con la hiptesis.


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Mtodo de recursinMtodo de recursin(Induccin Matemtica)(Induccin Matemtica)

Demostrar que 22n - 1 es un mltiplo de 3 para todo entero positivo n.

Aplicando el procedimiento anteriormente descrito, tenemos:

Comprobamos para un caso inicial, Si n = 1, entonces:

22n - 1 = 2(2*1) - 1 = 22 - 1 = 4 - 1 = 3

y obviamente 3 es un mltiplo de 3.

Admitimos nuestra hiptesis inductiva, esto es, que 22n - 1 es un mltiplo de

3, entonces si n = k; tendramos:

22k- 1 es un mltiplo de 3, escrito de otra forma

22k1 = 3p para cualquier p entero positivo


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Por ltimo, comprobamos que se cumple para el caso siguiente

El caso siguiente a n = k ser n = k + 1, en consecuencia:

22(k+1)1 = 22+2k- 1

= 4 * 22k- 1

= (3 + 1) * 22k- 1

= 3 *22k+ 22k- 1

= 3 * 22k+ (22k- 1)

= 3(22k+ p) esta expresin final, no es otra cosa que un nmero mltiplo de3.

As entonces, 2

2n

- 1 es un mltiplo de 3 para n = k + 1 si 2

2k

1 es mltiplode 3 para n = k. Por tanto, por el principio de induccin matemtica, 22n- 1 es un mltiplo de 3 para todo entero positivo n., con lo cual quedaentonces demostrado,el enunciado en cuestin.


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2.6.EL MTODODE2.6.EL MTODODERESOLUCINDERESOLUCINDEROBINSON.ROBINSON.


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Mtodo para decidir si una proposicin es vlida ono.

Introducido por Alan Robinson en 1965

Es simple de implementar

Es bastante popular en el mbito de demostracinautomtica de teoremas.

Se extiende a lgica de primer orden y otras lgicasno funcionales.

Tiene una nica regla de inferencia: la regla deresolucin.

Mtodo de resolucin de RobinsonMtodo de resolucin de Robinson


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La idea del mtodo es mostrar la validez de una

proposicin estableciendo que la negacin de la

proposicin es insatisfactible por ello se dice que es un

mtodo de refutacin.

El mtodo de resolucin se basa en el hecho de que la

siguiente proposicin es una tautologa

(A _ P) ^ (B _ P) () (A _ P) ^ (B _ P) ^ (A _ B)

Mtodo de resolucin de RobinsonMtodo de resolucin de Robinson


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Definicin

Dado un literal L, el opuesto de L (escrito L) se define como:

P si L = PP si L = P

Dadas dos clusulas C1, C2, una clusula C se dice resolventede C1 y C2 si, para algn literal L, L 2 C1, L 2 C2, y

C = (C1 {L}) [ (C2 {L})


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{A1, . . . ,Am,Q}{B1, . . . ,Bn,Q}{A1, . . . ,Am,B1, . . . ,Bn}

Regla deResolucin

El mtodo de resolucin trata de construir unasecuencia de conjuntos de clusulas, obtenidas usando

pasos de resolucin hasta llegar a una refutacin.


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2.7.CONOCIMIENTO2.7.CONOCIMIENTONONO--MONTONOMONTONO

YYOTRAS

LG

ICASO

TRAS

LG

ICAS


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1 Forma de razonamiento que contrasta con el

razonamiento deductivo estndar.

2

Intuitivamente, la monotonicidad indica que el agregarnuevos conocimientos no se reduce el conjunto de lascosas conocidas.

3 Si entonces:

Donde A es una frmula cualquiera y y

son conjuntos de frmulas cualesquiera.

Conocimiento NoConocimiento No--MontonoMontono


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Sistemas de razonamiento Montono y no Montono

Son utilizados para inferir conclusiones a partir de unainformacin dada.

Son representados por medio de programas lgicos.

Dentro del razonamiento no montono se encuentra lacompletitud de Clark.


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Lgicas no montonas Campo del razonamiento no

montonoEnfoques

Lgica no montona modal

Lgica autoepistmica Lgicas de condicionales revocables

Sistemas basados en reglas

Enfoques

msimportantes


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Otras Teoras

ArgumentacinRebatible

Teora de cambio decreencias


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2.8.2.8.RAZONA

MIENTO

RAZONA

MIENTO

PROBABILSTICOPROBABILSTICO


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El agente lgicoEl agente lgico

y Un agente lgico se puede considerarcomo una entidad que posee

conocimiento de su mundo, y que tambines capaz de razonar sobre las posibles

acciones que puede emprender para ellogro de sus objetivos, adems que tiene

la posibilidad de aceptar nuevas tareas.

Una de las limitaciones de la lgica de primerorden es que los agentes casi nunca tienen

acceso a toda la verdad acerca de su ambiente.


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IncertidumbreIncertidumbre

y Se entiende por incertidu bre una

situacin en la cual no se conoce

co pleta ente la probabilidad de

que ocurra un deter inado evento.

Para que el agente realice lo correcto depender

tanto de la importancia relativa de las diversasmetas as como de la posibilidad y gradocorrespondiente en que esperamos que seanlogradas.


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Manejo del conocimiento inciertoManejo del conocimiento incierto(Teora de la probabilidad)(Teora de la probabilidad)

Ejemplo

y Si nos interesara elaborar un sistema para diagnsticosodontolgicos recurriendo a la lgica pondramos reglascomo:

El problema es que esta regla est equivocada.

No todos los pacientes que tienen dolor de dientes, tambin tienen caries;algunos quiz tengan algn padecimiento de las encas, o muelas del juicio

afectadas. Esto provoca que tengamos una lista casi ilimitada de posiblescausas.


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Teora de la probabilidadTeora de la probabilidad

y En el caso anterior la relacin entre dolor de dientes y caries no implicauna consecuencia lgica en ambos sentidos. En estos casos lo que el agentepuede ofrecer es solo un grado de creencia en las oracionescorrespondientes.

La herramienta para manejar los gradosde creencia es la teora de laprobabilidad, mediante la que se le asignaa las oraciones un grado numrico de

creencia entre 0 y 1.


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y La probabilidad 0 asignada a una determinadaoracin corresponde a la inequvoca creencia

de que la oracin es falsa, en tanto que unaprobabilidad de 1 corresponde a la creencia de

que la oracin es verdadera.

Las probabilidades situadas entre 0 y 1correspondes a grados intermedios de

creencia en la verdad de la oracin.


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La probabilidad que un agente asigna a

una proposicin depender de laspercepciones que ste haya recibido

hasta ese momento.

Por lo tanto en todas las afirmacionesprobabilsticas deber indicarse la

evidencia en la que se basa laprobabilidad que se est calculando.

Conforme el agente vaya recibiendonuevas percepciones los clculos deprobabilidad se van actualizando, de

manera que reflejen nuevas evidencias.


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Probabilidad y las decisiones racionalesProbabilidad y las decisiones racionales

Teora de decisiones =Teora de la probabilidad +Teora de la utilidad

La Teora general de decisiones racionales conocida tambin como teora dedecisiones se puede expresar con la siguiente frmula:

Un agente ser racional si y solo si elige unaaccin que le produzca la mayor de las

utilidades esperadas, tomando en cuenta todoslos resultados posibles de la accin.


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Probabilidad a priori o incondicional.Probabilidad a priori o incondicional.

y La notacin P(A) indica en la probabilidad a priori o incondicional que laproposicin A es verdadera. Por ejemplo, si Caries representa la

proposicin de que un determinado paciente tiene una caries entonces:

y Significa que, de no existir ms informacin, el agente asignar laprobabilidad de 0.1 (10% de posibilidad) al evento de que el paciente tenga

una caries.


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y En las proposiciones puede tambin haber desigualdades que involucren loconocido como variables aleatorias. Por ejemplo si nuestro objeto de

atencin es la variable aleatoria EstadoDelTiempo, tendramos que:

y Adems podemos utilizar conectores lgicos para construir oraciones mscomplejas y asignarles probabilidades por ejemplo:

Dice que hay 6% de posibilidades de que un paciente tenga caries y no est

asegurado.


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Probabilidad condicionalProbabilidad condicionaly Una vez que el agente cuenta con evidencias respecto a las proposiciones que

constituyen el dominio, las probabilidades a priori pierden vigencia.

y En vez de stas, se utilizan las probabilidades condicionales o posteriores,representadas como P(A|B) y que se interpreta como la probabilidad de A,considerando que todo lo que sabemos es B. Por ejemplo:

y Indica que si se descubre que un paciente padece de dolor dental, y todava nose dispone de mayor informacin, la probabilidad de que el paciente tenga unacaries es de 0.8 (80% de posibilidad).

y Es importante tener presente que slo puede emplearse cuando todolo que se sabe es B. En cuanto sabemos C, debemos calcular enlugar de


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y La probabilidad condicional se obtiene a travs de la siguienteecuacin:

y Esta ecuacin tambin puede escribirse de la siguiente manera:

y Esta ecuacin expresa que:Para queA yB sean ciertas, es necesarioque B sea cierta, y luego queA sea cierta considerando B.

y Tambin se puede expresar como:


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Ejemplo de probabilidad condicional:Ejemplo de probabilidad condicional:

y Se lanza un dado, si el nmero que se obtuvo es impar. Cul es laprobabilidad de que sea primo?

Solucin:

y La probabilidad de que un nmero sea impar es de dado que los nmeros

impares pueden ser 1,3 y 5.

y Es decir

y As mismo vemos que la probabilidad de que sea primo e impar es de yaque se incluyen los nmeros 3 y 5.

Finalmente tenemos que:


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2.9.2.9. TEOREMADE BAYESTEOREMADE BAYES


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Teorema de BayesTeorema de Bayes

y Thomas Bayes nacido enLondres en 1702 fue unmatemtico britnico queestudi el problema de ladeterminacin de laprobabilidad de las causas atravs de los efectosobservados.

y El teorema que lleva sunombre se refiere a la

probabilidad de un sucesoque se presenta como sumade diversos sucesosmutuamente excluyentes.


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Teorema de BayesTeorema de Bayes

y Sea A1, A2,...,An un sistema completo de sucesos mutuamenteexcluyentes (no pueden ocurrir dos de ellos a la vez), tales que laprobabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B unsuceso cualquiera del que se conocen las probabilidadescondicionales P(B/Ai). Entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada

por la expresin:


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Demostracin del teorema:Demostracin del teorema:

y El cuadrado corresponde a todas las situaciones posibles, que en este casopueden dividirse en tres: A1, A2, A3. El suceso B se puede producir en

cualquiera de las tres situaciones.

Recordando las formulas de la probabilidad condicional tenemos que:


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Si reescribimos la ecuacin anterior para A1:

Para cualquiera de las otras situaciones (A2, A3) la frmula es similar.


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EjemploEjemplo

y El parte meteorolgico ha anunciado tres posibilidades para el fin de

semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

y Segn estos posibles estados meteorolgicos, la posibilidad de que ocurraun accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10% c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.


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y Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estbamos en laciudad no sabemos qu tiempo hizo (si llovi, nev o hubo niebla). Elteorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

y

Vamos a aplicar la frmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el da delaccidente (probabilidad a posteriori) es del 71.4%.


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b) Probabilidad de que estuviera nevando:

y La probabilidad de que estuviera nevando es del 21.4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

y La probabilidad de que hubiera niebla es del 7.14%


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GRACIASGRACIASPORSUPORSU

ATENCINATENCIN

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