INST

ITUCIÓN EDUCATIVAA

C

b d1 2

a 4c

3BD

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN LUIS GONZAGA NIT 809007307-2

DANE 173001002467 APROBADA POR RESOLUCIÓN NÚMERO 002566 DEL 27 DE SEPTIEMBRE 2017

POR MEDIO DEL CUAL SE RECONOCEN LOS ESTUDIOS EN LOS NIVELES DE PREESCOLAR, BASICA PRIMARIA Y SECUNDARIA, EDUCACIÓN MEDIA Y EDUCACIÓN DE ADULTOS POR CICLOS

. MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS (MONOMIOS)

1. Para el caso de los monomios se multiplican los coeficientes numéricos y luego se procede a ubicar las

letras que los componen (de ambos). Si poseen alguna letra repetida dicha letra llevará como exponente

la suma de los exponentes que tenían individualmente.

M u l t i p l i c a r :

M u l t i p l i c a r :

M u l t i p l i c a r :

M u l t i p l i c a r :

M u l t i l p l i c a r :

M u l t i l p l i c a r :

Multiplicar:

S i m p l i f i c a r :

DIVISIÓN DE MONOMIOS

P r o c e d i m i e n t o : 1. Se aplica la ley de los signos

2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético.

Dividir:

P r o c e d i m i e n t o: 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios":

3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético.

Dividir:

P r o c e d i m i e n t o : 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores

DIVISION DE DOS POLINOMIOS

P r o c e d i m i e n t o : 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

D i v i d i r:

P r o c e d i m i e n t o: 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece.

D i v i d i r :

b

VALOR NUMERICO

Procedimiento: 1. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas 3. Se simplifica Nota1: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva Nota2: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para

PRODUCTOS NOTABLES P r o c e d i m i e n t o : 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Escribir, por simple inspección, el resultado de:

Escribir, por simple inspección, el resultado de:

Escribir, por simple inspección, el resultado de:

COCIENTES NOTABLES P r o c e d i m i e n t o: Se aplican las siguientes reglas y su respectiva fórmula:

1. La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual a

la diferencia de las cantidades:

2. La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es

igual a la suma de las cantidades:

Hallar, por simple inspección, el cociente de:

P r o c e d i m i e n t o: Se aplican las siguientes reglas y su respectiva fórmula:

1. La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado

de la

primera cantidad, menos el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda

cantidad:

2. La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al

cuadrado

de la primera cantidad, más el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda

cantidad:

Hallar, por simple inspección, el cociente de:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO P r o c e d i m i e n t o 1. Se reducen términos semejantes

2. Se hace la transposición de términos, los que contengan la incógnita se ubican en el miembro

izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho

3. Se reducen términos semejantes

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la

incógnita, y se simplifica.

Resolver las ecuaciones:

P r o c e d i m i e n t o 1. Se suprimen ("destruyen") los signos de agrupación, comenzando por los más internos

2. Se reducen términos semejantes

3. Se hace la transposición de términos, los que contengan la incógnita se ubican en el miembro

izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho

4. Se reducen términos semejantes

5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la

incógnita, y se simplifica.

Resolver las siguientes ecuaciones:

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADOCON UNA INCOGNITA

DESCOMPOSICION FACTORIAL FACTOR COMUN MONOMIO P r o c e d i m i e n t o: 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo signo).

Factorar o descomponer en dos factores:

FACTOR COMUN POPLINOMIO P r o c e d i m i e n t o: 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se abren dos paréntesis, en el primero se escribe el factor común y en el segundo los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo).

FACTORAR O DESCOMPONER EN DOS FACTORES:

FACTORAR O DESCOMPONER EN DOS FACTORES

P r o c e d i m i e n t o: 1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis 2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis 3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis).

Factorar o descomponer en dos factores:

DESCOMPOSICION TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Definición: Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el producto de multiplicar dos factores

iguales.

P r o c e d i m i e n t o: 1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior 4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo término del trinomio y si el primero y terceros términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal. 5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primero y terceros términos, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al cuadrado.

Factorar o descomponer en dos factores:

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

P r o c e d i m i e n t o: 1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma y en el segundo la diferencia de las raíces halladas en el paso 1.

Factorizar o descomponer en dos factores:

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS CASO ESPECIAL

P r o c e d i m i e n t o : 1. Se extrae la raíz cuadrada tanto al minuendo como al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. 4. Se reducen términos semejantes, si es el caso.

Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible:

Escriba aquí la ecuación.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior 4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo término del trinomio 5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo término del trinomio cuadrado perfecto 6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumó o resto en el paso anterior, para que el valor de la expresión no se altere 7. Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante 8. Se ordena el resultado.

Factorar o descomponer en dos factores:

TRINOMIO DE LA FORMA 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

EJEMPLO Factorar o descomponer en dos factores: 1

P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordena el trinomio

2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio

3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada

uno de los paréntesis

4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio

5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del

trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis

6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo

término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del

segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del

primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis

9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar

la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8

Factorar o descomponer en dos factores:

Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma

y se factoriza como en el ejercicio anterior

1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a

2. Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 )

3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio

4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno

de los paréntesis

5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio

6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y terceros términos del trinomio;

éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis

7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo

término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del

segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer

paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis

10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar

la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8

11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común

12. Se simplifica

Nota: siempre es posible eliminar el denominador.

Factorar o descomponer en dos factores:

FACTORAR UNA EXPRESIÓN QUE ES EL CUBO DE UN BINOMIO P r o c e d i m i e n t o El desarrollo del cubo de un binomio es:

En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho de las identidades

anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios

(como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder de la

siguiente manera:

1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra

2. Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio

3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativo-positivo-negativo

4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se

compara con el segundo término del cuadrinomio dado

5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se

compara con el tercer término del cuadrinomio dado

6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de

un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del primero y

cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se

eleva al cubo el paréntesis

7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo

de un binomio y no se puede factorizar como tal

Factorar:

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS P r o c e d i m i e n t o 1. Se abren dos paréntesis

2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de las raíces cúbicas de los

dos términos

3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos (si es una suma de cubos)

o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, mas el cuadrado de

la segunda raíz

Descomponer en dos factores:

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

P r o c e d i m i e n t o

1. Se aplican los siguientes criterios:

2. Si el binomio dado es divisible por (a-b) o por (a+b), esto es, si se cumple con los requerimientos de los Criterios 1 a 3, se halla el otro factor efectuando la división respectiva. Factorar:

.