i = p ( 1 + i ) - 1 i = p ( 1 + j ) - 1 m p = p = s s ( 1...
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1
UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN
DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS
CAMPUS VILLA NUEVA
CURSO MATEMATICA FINANCIERA
Lic. Manuel de Jesús Campos Boc
NOVENA UNIDAD
OPERACIONES A LORGO PLAZO
VALORES EQUIVALENTES Y DEPRECIACIÓN MONETARIA A
INTERESES COMPUESTO Y BANCARIO
1.- Ecuaciones de Equivalencia
Las ecuaciones de valores equivalentes son una de las técnicas más útiles
de las matemáticas financieras, debido a que nos permiten plantear y
resolver diversos tipos de problemas financieros, mediante los
desplazamientos simbólicos de los capitales a través del tiempo.
Es usual que deudores y acreedores hagan un convenio para refinanciar
sus deudas, es decir, para remplazar un conjunto de obligaciones que
previamente contrajeron por otro nuevo conjunto de obligaciones que le
sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas
La solución de este tipo de problemas se plantea en términos de una
ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados en una sola
fecha denominada fecha focal.
FORMULAS:
1.- MONTO CON TASA EFECTIVA 2.- MONTO CON TASA NOMINALn m n
S = P ( 1 + i ) S = P ( 1 + j )
m
3.- INTERÉS CON TASA EFECTIVA 4.- INTERÉS CON TASA NOMINALn m n
I = P ( 1 + i ) - 1 I = P ( 1 + j ) - 1
m
5.- VALOR ACTUAL CON TASA EFECTIVA 6.- VALOR ACTUAL CON TASA NOMINAL
P = P =n m n
( 1 + i ) ( 1 + j )
m
SS
2
Aplicación:
PROBLEMA No. 1
En la fecha Sebastián debe Q10, 000.00 por un préstamo con vencimiento
en seis meses, contratado originalmente a un año y medio a la tasa de
12%, y debe además, Q25, 000.00 con vencimiento en nueve meses, sin
intereses. El desea pagar Q20, 000.00 de inmediato y liquidar el saldo
mediante un pago único dentro de un año. Suponiendo un rendimiento del
10% y considerando la fecha focal dentro de un año, determinar el pago
único mencionado
PASO 1
PASO 2
Ahora, en una línea de tiempo vamos a poner los siguientes datos
(representaremos con x el pago requerido):
-Q20, 000 en la fecha.
-Q11, 852.97 al final de seis meses
-Q25, 000 al final de nueve meses.
-x al final de doce meses.
DATOS:
P =
n = ( 1 + 6 / 12 )
i =
S = ?1.5
S = ( 1 + )1.5
S = ( )
S = ( )
S =
10,000.00
10,000.00
1.5
0.12
0.12
10,000.00 1.12
10,000.00 1.185297
11,852.97
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
n = 18 i = S
a) P =
b) S =
MESES
0.12
Q10,000.00
Q25,000.00
3
0 6 9 12
S
S
S25,000.00
20,000.00
MESES
11,852.97
DATOS:
P =
n = ( 1 + 0 / 12 )
i =
S = ?1
S = ( 1 + )1
S = ( )
S = ( )
S = 22,000.00
20,000.00 0.1
20,000.00 1.1
20,000.00 1.100000
20,000.00
1
0.10
DATOS:
P =
n = ( 0 + 6 / 12 )
i =
S = ?0.5
S = ( 1 + )0.5
S = ( )
S = ( )
S = 12,431.50
0.1
11,852.97 1.1
11,852.97 1.048809
11,852.97
0.5
0.10
11,852.97
DATOS:
P =
n = ( 0 + 3 / 12 )
i =
S = ?0.25
S = ( 1 + )0.25
S = ( )
S = ( )
S = 25,602.84
0.1
25,000.00 1.1
25,000.00 1.024114
25,000.00
0.25
0.10
25,000.00
1.- MONTO CON TASA EFECTIVA 2.- MONTO CON TASA NOMINALn m n
S = P ( 1 + i ) S = P ( 1 + j )
m
3.- INTERÉS CON TASA EFECTIVA 4.- INTERÉS CON TASA NOMINALn m n
I = P ( 1 + i ) - 1 I = P ( 1 + j ) - 1
m
5.- VALOR ACTUAL CON TASA EFECTIVA 6.- VALOR ACTUAL CON TASA NOMINAL
P = P =n m n
( 1 + i ) ( 1 + j )
m
SS
4
PASO 3
Ecuación de equivalencia:
PROBLEMA No.2
Juan López debe Q 18, 000.00, a cancelar dentro de dos años, y
Q10, 0000.00 a seis años, cuya sumas ya incluyen intereses. Tales
deudas fueron negociadas, conviniendo con su acreedor en efectuar un
pago único al final de cuatro años, reconociendo el 10% de interés
capitalizable semestralmente, que es la tasa vigente en el mercado.
Calcular el valor del pago único (X).
+ X = +
+ X =
X = -
X =
38,034.34
22,000.00
22,000.00
16,034.34
22,000.00 12,431.50 25,602.84
38,034.34
1 0.5 0.25
( 1 + ) + X = ( 1 + ) + ( 1 + )
+ X = +
X = -
X =
38,034.34 22,000.00
16,034.34
25,000.00 0.10
22,000.00 12,431.50 25,602.84
20,000.00 0.10 11,852.97 0.10
DATOS: DATOS:
P = S =
n = ( 2 + 0 / 12 ) n = ( 2 + 0 / 12 )
j = j =
m m =
S = ? P = ?
0.10
10,000.00
2
0.10
2 2
18,000.00
2
0 1 2 3 4 5 6
a)
S =
b)
S =
P = S =
n = n =
i = i =
18,000.00
10,000.00
18,000.00
2
0.10
10,000.00
2
0.10
Nuevas obligaciones
2 2
X = ( 1 + ) + 2 2
( 1 + )
X = +
X =
21,879.11 8,227.02
30,106.13
0.102
10,000.00
2
18,000.00 0.10
5
PROBLEMA No.3
Se ha convenido en liquidar una deuda mediante dos pagos de
Q 5, 000.00 cada uno, incluyendo intereses, a plazos de 30 y 120 días a
partir de hoy, en su orden. Sin embargo, antes de hacer el primer abono
se decide reemplazar ambas deudas por tres iguales, cuyos pagos se
harán: el primero, el día en que originalmente debería cancelarse
Q 5, 000.00, y los otros dos, a plazos de 30 y 60 días, contados a partir
de la misma fecha, reconociéndose en esta conversión la tasa de interese
del mercado, 25% anual capitalizable mensualmente. De cuanto tendría
que ser cada uno de los pago (X).
PASO 1
Condiciones originales
a)
S =
b)
S =
P = S =
n = n =
j = j =
m = m =
F F
0 30 60 90 120
PASO 1
Nuevas condiciones
n = = X
j =
m =
n = = X
j =
m =
n = = X
j =
m =
0.00
0
60
0.25
12
PAGO 230
PAGO 1
PAGO 3
0.25
12
0
5,000.00 5,000.00
60 30
12 12
0.250.25
5,000.00
5,000.00
PASO 1
Condiciones originales
DATOS: DATOS:
P = S =
n = ( 0 + 2 / 12 ) n = ( 0 + 30 / 360 )
j = j =
m m =
S = ? P = ?
12
S = ( 1 + ) 12
( 1 + )
S = P =
12
P =0.083333
5,210.50 4,897.96
12 12
5,000.00 0.25
12
0.166667 5,000.00
0.25
5,000.00 5,000.00
0.166667 0.083333
0.25 0.25
6
PROBLEMA No.4
Se tienen en venta un terreno bajo las siguientes dos ofertas:
-Q 38, 000.00 cash.
-O bien Q 20, 000.00 al contado y el saldo en tres pagares (valor
vencimiento) de Q 10, 000.00 cada uno; los plazos son de un año, dos
año y tres años, siendo la tasa de interés del mercado del 16% anual,
capitalizable semestralmente.
¿Qué oferta sería más ventajosa para el comprador y por qué?
PASO 1
Nuevas condiciones
DATOS PAGO 1:
n = ( 0 + 2 / 12 )
j =
m
DATOS PAGO 2:
n = ( 0 + 30 / 360 )
j =
m
DATOS PAGO 2:
n = ( 0 + 0 / 360 )
j =
m
0.083333
0.25
12
0.000000
0.00
0
0.166667
0.25
12
12 12
X ( 1 + ) + X ( 1 + ) + X = +
X ( ) + X ( ) + X =
X =
X =
X = x 3 = 9,900.76
3.062934 10,108.46
10,108.46 3.062934
3,300.25
5,210.50 4,897.96
1.042101 1.020833 10,108.46
12
0.083333
0.25
0.166667
0.25
12
7
PASO 1
Condiciones originales
1.- Contado
2.- Credito
a b c d
0 1 2 3
F F
X = ?P
PASO 2
Nuevas condiciones
=
= X
n =
j =
m =
= X
n =
j =
m =
= X
n =
j =
m =
38,000.00
años
10,000.00 10,000.00 10,000.00 20,000.00
PAGO 3
3
0.16
2
Contado 20,000.00
PAGO 1
1
0.16
2
2
0.16
2
PAGO 2
X = + + +2 1 2 2 2 3
( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + )
X = + + +
X =
2
42,225.38
20,000.00 10,000.00
0.16
2
20,000.00 8,573.39
10,000.00
0.16
2
7,350.30 6,301.70
10,000.00
0.16
8
2.- Impacto de la desvalorización monetaria
En las operaciones de intereses compuesto o sea largo plazo, se presenta
el fenómeno de la desvalorización monetaria por efectos de la inflación.
Si en una operación de largo plazo se ven con anticipación variaciones
sensibles en el nivel general de precios entre las fechas de suscripción y
de vencimiento de un préstamo, para el monto compuesto deben de ser
corregidas por inflación.
FORMULAS
APLICACIÓN
PROBLEMA No.1
Cuanto recibirá en total un acreedor que dio en préstamo Q 5, 000.00, a
seis años plazo, al 6% de interese anual, bajo los siguientes supuestos.
a) Que no se registraran variaciones sensibles en los precios.
b) Si el índice de precios en la fecha de suscripción está al 130% y se
estima que en la fecha de vencimiento llegará al nivel de 220%.
TASA EFECTIVA TASA NOMINAL
n m n
S = P ( 1 + i ) I o S = P ( 1 + j ) I o
I n m I n
DONDE:
I o = Índice de precios en la fecha de suscripción del préstamo
I n = Índice de precios en la epoca de vencimiento del prestamo
TASA EFECTIVA
Bajo el supuesto "a"
DATOS:
P =
n =i =
S =n
S = P ( 1 + i )6
S = ( 1 + )
S = ( )
S =
5,000.00
?
6
0.06
5,000.00 0.06
5,000.00 1.418519
7,092.60
9
COMENTARIO: al finalizar el plazo de seis años, el acreedor recibiría
moneda por Q 7, 092.60; suma que en términos de poder de comprar
equivale a Q 4, 191.08, expresado a los precios vigentes en La fecha en
que se suscribió el préstamo, o sea en función de moneda del año inicial.
El poder adquisitivo monetario tuvo una contracción de 100-59.0909= o
sea 40.9091%. Y en efecto.
Bajo el supuesto "b"
DATOS:
P =n =i =
Io =In =S =
n
S = P ( 1 + i ) I o
I n
6
S = ( 1 + )
S = ( )
S =
130
220
0.590909
5,000.00
6
0.06
?
130
220
5,000.00 0.06
5,000.00 1.418519
4,191.08
Moneda con valor constante
(-) Merma en poder adquisitivo
=
DEMOSTRACIÓN
Monto equivalente a precios del año inicia, fecha de
suscripción del prestamo
0.409091
7,092.60
2,901.52
4,191.08
10
3.- Ajustes de renta por desvalorización monetaria
Al igual que todos los ingresos fijos, la renta proveniente del
arrendamiento de inmuebles a largo, sufre merma en su poder de compra,
dados los incrementos constantes y generalizados de los precios,
derivados de la inflación.
Esta situación favorece a los deudores y afecta a los acreedores, por lo
cual debe aplicarse “un compensador” de la desvalorización monetaria
en el tiempo, tratando de mantener el poder adquisitivo de los alquileres a
percibirse en el futuro.
Esta es una práctica común llamada “indexación”, para proteger los
ahorros y las inversiones, ya que el valor de compra de la moneda es
inversamente proporcional al nivel de los precios. Y para ello, entre otras,
hay varias alternativas:
a) Corrección según la inflación del pasado
b) Corrección por inflación pasada y la futura
4.- Corrección por inflación del pasado: la renta se revaloriza de
acuerdo al nivel inflacionario de un periodo ya transcurrido (mes o año
anterior), lo cual permite recuperar transitoriamente el poder de compra
en la fecha en que se da el ajuste (mensual, trimestral o anual), de
acuerdo a lo que convengan las partes contratantes, pero no más allá.
La fórmula para este ajuste es:
FORMULA: DONDE:
=
K = n X n =
O
O =
Variación porcentual del índice
de precios
100
I
Índice de precios en la fecha
convenida de la revaluación
Índice de precios vigente al suscribir
el contrato (o en caso el de la
ultima revaluación)
I I
k
I
11
APLICACIÓN:
PROBLEMA No. 1
De acuerdo a un contrato de arrendamiento por tres años, se ha
convenido en cobrar la suma de Q 10, 000.00 anuales, anticipados, sujeta
a ajuste anuales según el índice de precios vigentes al inicio de cada año.
¿Qué renta corresponderá cobrar para el segundo año, si el índice de
precios al firmarse era 388, el que durante el año llegó a 420?
DATOS:
=
n =
O =
=
=
= - = %
K
COEFICIENTE O
ÍNDICE
INFLACIONARIO
108.25 100 8.25
388X
100 108.25=
420
I
I
R 10,000.00
420
388
R₁ ?
FORMULA
W = ( X P₁ ) + ( X P₂ )
DONDE:
W = El porcentaje de corrección
P₁ = Tasa inflacionaria del año anterior a la fecha de revaluación
P₂ = Tasa inflacionaria estimada para el siguiente periodo
El 0.5 indica el porcentaje de participación de cada una de las tasas en el cálculo
(50% cada una), como un criterio ecuánime.
0.5 0.5
RESOLUCIÓN:
RENTA =
O =
FECHA DEL CONTRATO n =
FECHA DE REVALUACIÓN
AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3
10,000.00
I 388I
420
P A S A D O F U T U R O
12
5.-Corrección por inflación pasada y futura: el sistema anterior de
indexación es simple. Sin embargo, este ajuste va perdiendo vigencia en
el tiempo hasta anularse, ante los nuevos incrementos de precios que se
dan en el tiempo.
Esto hace reflexionar sobre que también deben considerarse los
incrementos de los precios que se darán en el periodo subsiguiente a la
fecha del ajuste.
La conservación del ingreso real del propietario del inmueble dado en
arrendamiento, dependerá más bien de las alzas de precios que se darán
en el periodo en que se está recibiendo las rentas y no tanto del periodo
pasado. Ambos criterios deben considerarse simultáneamente para la
resolución de las rentas de inmuebles.
La fórmula siguiente produce un efecto compensatorio de la pérdida del
poder de compra monetario, conservando el rendimiento del capital
invertido, mediante la corrección periódica de las rentas.
LA REVALORIZACIÓN DE LA RENTA
X =
X =
= +
= +
=
AJUSTE POR INFLACIÓN
10,000.00 0.0825 824.74
824.74
AJUSTE POR INFLACIÓN
RENTA INICIAL % DE ACTUALIZACIÓN
R₁ 10,000.00
R₁ 10,824.74
R₁ R
FORMULA
W = ( X P₁ ) + ( X P₂ )
DONDE:
W = El porcentaje de corrección
P₁ = Tasa inflacionaria del año anterior a la fecha de revaluación
P₂ = Tasa inflacionaria estimada para el siguiente periodo
El 0.5 indica el porcentaje de participación de cada una de las tasas en el cálculo
(50% cada una), como un criterio ecuánime.
0.5 0.5
13
APLICACIÓN
PROBLEMA No. 1
Supóngase que se hizo un contrato de arrendamiento de una propiedad
por el término de dos años por Q 20, 000.00 y que al final del primer año
se deberá actualizar dicha renta para el año siguiente. El índice promedio
del año 1 era del 10%, estimándose para el año 2 en 18%.
¿Qué renta deberá estar vigente para el segundo año?
RESOLUCIÓN:
R =
P₁ = P₂ =
CONTRATACIÓN
20,000.00
0.10
AÑO 1 AÑO 2
P A S A D O F U T U R O
ÉPOCA DE
ACTUALIZACIÓN
0.18
R₁ = ?
DATOS:
R =
P₁ =
P₂ =
R₁ =
W = ( X ) + ( X
W = ( ) + ( )
W = %
?
0.10
0.18
20,000.00
0.5 0.10 0.18
0.05 0.09
0.14
0.5
AJUSTE DE LA RENTA PARA EL AÑO 2
R₁ = R X W
R₁ = X
R₁ =
20,000.00 0.14
2,800.00
RENTA CORREGIDA PARA EL AÑO 2
R₁ = R +
R₁ = +
R₁ =
AJUSTE
20,000.00 2,800.00
22,800.00
14
NOTA: También podría darse mayor peso a la inflación futura como
(60%), y entonces la inflación del pasado tendría (40%).
-Este sistema tiene las siguientes ventajas:
-Su metodología es sencilla.
-Está en función de los índices inflacionarios del pasado y de los
previstos para el futuro.
-Conserva el poder de compra del contrato original a la vez que
anticipa al grado futuro de inflación.
-Es consistente y justo, porque concilia los intereses de arrendante y
arrendatario, situando el nivel de ajuste en un promedio ecuánime.
Sin embargo, tiene dos limitantes: tiene dos ingredientes de libertad que
son: el grado de inflación futura que debe ser sólido, transparente y
confiable y no estar sujeto a ninguna manipulación para NO afectar a
ninguno de los contratantes; y depende de la selección del periodo que se
convenga para revalorizar las rentas.
CONCLUSIÓN: de no adoptarse un sistema de actualización de las
rentas en el largo plazo, se estaría favoreciendo al arrendatario en
perjuicio del propietario del inmueble, ya que el primero cancelaría
periódicamente sus rentas con moneda de menor capacidad de compra.
De allí que en un contrato de arrendamiento de largo plazo, es
conveniente que el pago de la renta periódica sea fluctuante y sujeta a los
niveles que señale un índice general de precios, como el de precios al
consumidor (IPC) y las estimaciones del índice inflacionario del Instituto
Nacional de Estadística (INE) o del Banco de Guatemala.
6.- Descuento Bancario
El descuento es la rebaja que se hace sobre una suma de dinero pagada
antes de su vencimiento.
Si una persona necesita disponer de efectivo, del valor de un documento
de crédito antes de su vencimiento, puede venderlo a un banco, operación
llamada Descuento Bancario. En el momento de descontar el
documento, se deduce del valor al vencimiento los intereses desde la
fecha del descuento hasta su vencimiento. El descuento sobre el
documento de crédito, es el interés que cobra el banquero sobre el dinero
que anticipa.
15
-Cálculo: para calcular el descuento compuesto debe conocerse al valor
al vencimiento. Cuando la deuda “NO” devenga intereses, el valor al
vencimiento es el mismo valor nominal. Si la deuda devenga intereses,
antes de aplicar la fórmula del descuento, debe calcularse el Monto.
APLICACIÓN
PROBLEMA No. 1
El banco la Esperanza descontó un pagare de Q 4, 000.00, que ya incluye
interese, que vencerá dentro de tres años a la tasa del 20% anual.
¿Cuál fue el descuento y cuanto recibió el tenedor del documento?
FORMULAS
TASA EFECTIVA
n
DESCUENTO D = S 1 - ( 1 - d )
VALOR LÍQUIDO V₁ = S - D
TASA NOMINAL
m n
DESCUENTO D = S 1 - ( 1 - f )
m
VALOR LÍQUIDO V₁ = S - D
DONDE:
D = Descuento Bancario d = Tasa efectiva de descuento
S = Valor al vencimiento f = Tasa nominal de descuento
n = Tiempo y plazo m = Capitalizaciones por año
DESCUENTO BANCARIO QUE NO GENERA INTERESES
TASA EFECTIVA
DATOS
S =
d =
n =
D =
4,000.00
0.20
3
?
16
PROBLEMA No. 2
La empresa Cortijo, S. A., contrajo una obligación, generando un
documento con valor nominal de Q 10, 000.00, al 10% de interés
compuesto, capitalizable semestralmente durante 10 años. La empresa
quien es tenedor del documento por falta de liquides decide negociar el
documento con una institución financiera, cuatro años ante de su
vencimiento, a una tasa del 15% capitalizable semestralmente.
¿Cuál fue el descuento y cuanto recibió el tenedor del documento?
DESCUENTO n
D = S 1 - ( 1 - d )
3
D = 1 - ( 1 - )
3
D = 1 - ( )
D = 1 -
D =
D =
VALOR LÍQUIDO
V₁ = S - D
V₁ = -
V₁ =
1,952.00
4,000.00 1,952.00
2,048.00
4,000.00 0.80
4,000.00
4,000.00
0.512000
0.488000
4,000.00 0.20
DESCUENTO BANCARIO QUE GENERA INTERESES
TASA NOMINAL
DATOS
P =
j =
n =
m
S =
10
?
2
10,000.00
0.10
17
DETERMINAR MONTOm n
S = P ( 1 + )
2 x 10
S = ( 1 + )
20
S = ( )S = ( )
S = 26,532.98
0.10
2
10,000.00 1.05
10,000.00 2.653298
10,000.00
j
m
DATOS
S =
f =
m =
n
D =
26,532.98
0.15
2
4
?
m n
DESCUENTO D = S 1 - ( 1 - f )
m2 X 4
D = 1 - ( 1 - )
8
D = 1 - ( )
D = 1 - ( )
D =
D =
VALOR LÍQUIDO V₁ = S - D
V₁ = -
V₁ = 14,220.66
26,532.98 0.535962
26,532.98 0.464038
12,312.31
26,532.98 12,312.31
0.15
26,532.98 0.925000
2
26,532.98