I. Municipalidad de ProvidenciaLiceo TajamarProf: María Cecilia Palma Valenzuela

Profesora : María Cecilia Palma Valenzuela Fecha: 15/08/2011

Unidad Temática:Sistemas de Ecuaciones Lineales

Contenido: Diversos métodos de Resolución Analítica de sistemas de ecuaciones lineales

Objetivos de Aprendizaje:1) Conocen y aplican diversos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones

2) Plantean y resuelven sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Observación: Estimadas alumnas las dudas en relación a los contenidos y los ejercicios pueden hacerla en el correo maricecpalv@gmail.com

Inicio revisión desde el 22/08/2011

SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS ECUACIONES CON DOS

INCÓGNITAS Técnicas de resolución

MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA

Objetivo nº1

Resuelven analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas.Método de sustitución

1) Resolución por igualación

• Debemos que resolver el sistema:•

• esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación

Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual

tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también

lo son, por lo tanto:

Reemplazar el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

Reemplazar el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

y=2y=2

•Verificar, en ambas ecuaciones, para saber si •realmente (x ; y) = (4;2):•Verificar, en ambas ecuaciones, para saber si •realmente (x ; y) = (4;2):

• Ahora sí, podemos asegurar que

• x= 4 e y = 2

Actividad nº1 :RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS:• 1) 4x + 5y = 3• 6x – 10y = 1

2) 4(x + 2) = -6y• 3(y + 2x) = 0

3) y(x – 3) – x(y – 2) = 14• x(y + 9) – y(x – 6) = -54

• 1) 4x + 5y = 3• 6x – 10y = 1

2) 4(x + 2) = -6y• 3(y + 2x) = 0

3) y(x – 3) – x(y – 2) = 14• x(y + 9) – y(x – 6) = -54

Trabajen estos ejercicios con su grupo de compañeras de estudios

• 1) Respuesta : x = ½ , y= 1 /5• 2) Respuesta : x = 1 , y = - 2• 3) Respuesta : x = - 2 , y = - 6• ¿Tienen dudas de la materia revisada hasta

ahora?

¿Qué hemos aprendido hasta ahora?

• ¿Podríamos usar este método en todas las situaciones en que se nos presenten sistemas de ecuaciones?

• Si, pero existen otros métodos de resolución analítica de los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, éstos los veremos en las clases siguientes.

Objetivo nº2

Resuelven analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas.Método de igualación

Estrategias

• 1) Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación):

• Ejemplo :• •

Y, la reemplazamos en la otra ecuación:

Operamos para despejar la única variable existente ahora:

Reemplazando el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la

primera):

Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Resuelvan los siguientes sistemas:Trabajen estos ejercicios con sus compañeras de grupo.

• 1) (x+3)(y+5)-(x+1)(y+8) = 0 (x-10)(y-1)+(x-9)(3-y) = 0

• 2) • 3)

4

1

5

3

62

1

y

x

y

x

Trabajen estos ejercicios a nivel grupal, comparen sus resultados y si se presentan diferencias, revisen

detalladamente paso a paso .

• 1) Respuesta : x = 42 , y = 67• 2) Respuesta : x = 5 , y = 3• 3) Respuesta : x = 5 , y = - 4• ¿ha quedado alguna duda en lo estudiado?• Consulten si hay dudas al correo enviado al

inicio

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Objetivo nº3

Resuelven analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas.Método de reducción

Estrategias

• 1) El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.

• 2) También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.

Resolver el sistema:

• Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?

• La respuesta es -2. Veamos:

• Con lo que obtenemos:

sumando ambas ecuaciones se obtiene -7y = -14 / ·(- 1) entonces y = 2

• Luego al reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación

tenemos :• Finalmente para hallar el valor de x, se

despeja en la ecuación y se tiene que :

Ejercicios: Resuelve por este método:

13

2

4

3

75

3

3

2)3

yx

yx

2) 2x – 3y = -7 x : y = 4 : 5

Trabajen estos ejercicios con sus compañeras integrantes del grupo y comparen sus resultados

• 1) Respuesta : x = 2 , y = 4

• 2) Respuesta : x = 4, y = 5

• 3) Respuesta : x = , y =

• ¿Hay dudas de la materia?• Pueden consultar al correo donde debes enviar

tus respuestas F I NF I N

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Objetivo nº4

• Resuelven problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas usando cualquier método o técnica de resolución vistas anteriormente

Ejemplo nº1• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es de 90 .

Los ángulos x e y son complementarios y el ángulo x mide 24 más que el ángulo y. Determine los ángulos x e y.

• Solución: Una ecuación la podemos plantear considerando el hecho de que x e y son complementarios : x + y = 90. La segunda la obtenemos del hecho de que el ángulo x mide 24 más que el ángulo y : x = y + 24

• Tenemos entonces el siguiente sistema: x + y = 90 (1)• x = y + 24 (2)• Restando y en ambos miembros de la ecuación (2) y sumando las

ecuaciones resultantes, para resolver mediante reducción.• (+) x + y = 90• x – y = 24• 2 x = 11 x = 57• Si ahora sustituimos x = 57 en la ecuación (1), tendremos:• 57 + y = 90 y = 90 – 57 y = 33• Los ángulos son : x = 57 e y = 33 .

Observación: En ciencias y en otras áreas se utilizan con frecuencia ecuaciones, para resolver problemas, los cuales nos llevan a plantearnos sistemas, como en el siguiente ejemplo

• Ejemplo 2:Un vitivinicultor desea fortalecer un vino que contiene 10% de alcohol agregándole algo de solución acuosa con 70% de alcohol, la mezcla obtenida de esta forma, debe tener una concentración alcohólica de 16%, y se deben llenar 1.000 botellas de 1 litro .¿Cuántos litros de vino y de solución de alcohol debe usar?

• Solución : • Designamos X = nº de litros de vino ; Y = nº de litros de solución de alcohol• En la siguiente tabla, organizamos la información

• El volumen de la mezcla debe ser igual a la suma de los volúmenes que se usarán, entonces : x + y = 1000

Vino Solución de alcohol

Mezcla resultante

Volumen X Y 1000

Porcentaje de alcohol 10% 70% 16%

Cantidad de alcohol 0,1 x 0,7y 0,16 · 1000

Análogamente, la cantidad de alcohol en la mezcla debe ser igual a la suma del alcohol que aportan el vino y la solución de alcohol, luego: 0,1 x + 07 y = 0,16 · 1000 0,1 x + 0,7y = 160 / · 10 x + 7 y = 1600

• Por lo tanto, tenemos el sistema: x + y = 1000 (1)• x + 7y = 1600 (2)• Restando : (2) – (1) se tiene 6y = 600• y = 100• Reemplazando y = 100 en (1) , tenemos x = 900.• Por lo tanto:• El vitivinicultor debe usar 900L de vino y 100L de alcohol.

• ¿Ha quedado alguna duda?• Si hay dudas consultar al correo de envío de

respuestas

Ejercicios• 1) La suma de dos números es 34 y su diferencia es 10. Encuentre

los números. • Respuesta: 22 y 12• 2) Repartir $1080 entre dos personas P y Q, de modo que P reciba

1008 más que Q.• Respuesta : P = 1044 y Q = 36• 3) En un corral hay conejos y gallinas. Si entre ellos hay 121 cabezas

y 338 patas, encuentre el nº de conejos y de gallinas que hay en el corral

• Respuesta : 48 = conejos y 73 = gallinas

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