Notas sobre Teorıa de Codigos y Campos deFunciones

Octavio Paez Osuna

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias, UNAM

February 11, 2011

Indice

1 Campos finitos y el campo de funciones racionales 5

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Campos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 El automorfismo de Frobenio. Existencia de Campos finitos . . 101.5 Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Ejemplos de campos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 El campo de funciones racionales K(x) . . . . . . . . . . . . . 141.8 Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Codigos Correctores de Errores 20

2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Codigos de Reed-Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Codigos MDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Interpolacion de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Decodificacion en RS(k, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8 Codigos Simplex y de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9 Codigos perfectos y empaquetado por esferas . . . . . . . . . . 282.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.11 Metodo Geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.11.1 Codigos asociados a conjuntos de puntos . . . . . . . . 302.11.2 Codigos relacionados a conicas . . . . . . . . . . . . . . 302.11.3 Conicas sobre campos finitos de orden impar . . . . . . 312.11.4 Cota de Griesmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

2.13 Construcciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.13.1 Proyeccion y acortamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 342.13.2 Alargamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.13.3 Construccion X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.13.4 Construccion XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.13.5 Encadenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Codigos cıclicos 37

3.1 Codigos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Codificacion sistematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Decodificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5 Ceros de un codigo cıclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.1 Codigos BCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 El idempotente de un codigo cıclico . . . . . . . . . . . . . . . 443.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Campos de Funciones Algebraicos 46

4.1 Lugares y Valoraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 El teorema de aproximacion debil . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 El Teorema de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5 Puntos de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.6 El Teorema del Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7 Extensiones Algebraicas de F/K. . . . . . . . . . . . . . . . . 764.8 Codigos de Goppa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Extensiones de grado dos 84

5.1 Campos de funciones elıpticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4 Campos de funciones hiperelıpticos . . . . . . . . . . . . . . . 885.5 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

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Introduccion

Consideremos la siguiente situacion: queremos enviar un mensaje a travesde un canal de comunicacion a un receptor. El problema es que dicho canalde comunicacion es ruidoso, es decir, el mensaje recibido no necesariamentees el mensaje enviado. Es comun encontrarse con esta situacion en unaconversacion via telefonica por ejemplo, por lo que al pesentarse ese problemael receptor solicita que se repita el mensaje. En este ejemplo tanto el receptorcomo el transmisor pueden enviar mensajes, es decir se trata de un canalbidireccional.

Otro ejemplo es el canal binario utilizado en las comunicaciones internasentre los dispositivos de una computadora. Por ejemplo si un dispositivo,digamos el teclado, quiere decirle al CPU que se pulso la tecla 00001011,hace lo siguiente: en lugar de enviar el mensaje de 8 bits, el teclado codificael mensaje agregandole un bit extra. Este bit es igual a 0 si hay un numeropar de 1′s en el mensaje o igual a 1 si hay un numero impar. En el ejemplo, elteclado codifica el mensaje 00001011 como la palabra 000010111. Si el CPUrecibe 001010111 inmediatamente rechaza dicho mensaje pues en los primeros8 bits (de izquierda a derecha) hay un numero par de bits. El teclado notiene memoria, es decir, el CPU no puede pedir una repeticion del mensajepor lo que la transmision es simplemente ignorada (en ese caso se debe volvera presionar la tecla). Al bit extra se le denomina bit de verificacion de

paridad (parity check bit en ingles).El proposito de la Teorıa de Codigos Correctores de Errores es el de crear

una lista finita de palabras en un alfabeto finito transmisibles por un canalque permitan detectar y corregir errores de transmision. En el ejemplo delteclado dicha lista consta de todas las palabras binarias de longitud 9 quetienen un numero par de 1′s. Nota que con este esquema solo podemosdetectar 1 error. Esta lista de palabras no nos da informacion acerca delbit donde ocurrio el error. Sin embargo, podemos ver que este codigo tiene

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estructura algebraica: es simplemene el complemento ortogonal del vector(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) en el espacio vectorial Z9

2 respecto del producto internocanonico. Este es un ejemplo de un codigo lineal.

Estas notas tienen como proposito brindar un panorama general de al-gunos de los metodos mas usados para la construccion de Codigos Correctoresde errores. Nos enfocaremos a codigos lineales construidos sobre campos fini-tos. Damos al principio un breve repaso de la teorıa de extensiones de camposque normalmente se ve en un curso de Algebra Moderna II enfocandonos enla construccion de campos finitos.

En el capıtulo 2 exponemos los metodos de construccion de Codigos Co-rrectores lineales comunmente usados. Debido a su extension y riqueza sededica el capıtulo 3 a la construccion de Codigos Cıclicos. Tratamos dedescribir, en la medida de lo posible, los metodos de decodificacion de loscodigos de Hamming, Reed-Solomon y de los Codigos Cıclicos.

El resto de las notas esta dedicado a la construccion de los Codigos deGoppa. Dichos codigos poseen las mejores propiedades en cuanto a capacidadde correccion de errores, volumen de informacion codificable y simetrıas. Esuna de las construcciones mas elegantes dentro de la Teorıa de Codigos. Elcapıtulo 4 introduce todo el andamiaje algebraico necesario para definir uncodigo de Goppa y en el capıtulo 5 construimos ejemplos concretos basadosen curvas elıpticas e hiperelıpticas.

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Capıtulo 1

Campos finitos y el campo de

funciones racionales

1.1 Introduccion

En este capıtulo resumimos algunos resultados de la teorıa de extensiones decampos que nos seran utiles mas adelante. Discusiones mas amplias y detal-ladas de estos resultados se pueden encontrar en textos de Algebra Modernacomo [5].

Sea K un campo. Un campo F se dice que es una extension de K si Kes un subcampo de F . Sea F una extension de K y sea S un subconjuntode F . Denotaremos por K(S) al subcampo mas pequeno de F que contienea K y a S. El campo K(S) es la interseccion de todos los subcampos deF que contienen a K y a S. El campo K(S) es una extension de K ydiremos que es el campo que se obtiene de K pegandole los elementos de S.Si S es un conjunto finito, digamos S = a1, . . . , an, denotaremos a K(S)por K(a1, . . . , an). Si F es una extension de K entonces F es un espaciovectorial sobre K. Llamaremos a la dimension de F sobre K el grado de la

extension de F sobre K y lo denotaremos por

[F : K].

Nota que el grado puede ser finito o infinito. Diremos que F es una extensionfinita de K si [F : K] es finito. Ahora supongamos que F ′ es una extensionde F . Sean a1, . . . , am ∈ F ′ elementos linealmente independientes sobre F yb1, . . . , bn ∈ F elementos linealmente independientes sobre K y supongamos

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quem∑

i=1

n∑

j=1

cijaibj = 0

donde cij ∈ K. Entonces

m∑

i=1

(

n∑

j=1

cijbj

)

ai = 0

por lo que, ya que∑n

j=1 cijbj ∈ F ,

n∑

j=1

cijbj = 0,

para i = 1, . . . , m. Como los bj son linealmente independientes sobre K,tenemos que cij = 0 para toda i y j. Esto nos dice que los mn productosaibj son linealmente independientes sobre K.

Supongamos ahora que m = [F ′ : F ] y que n = [F : K]. Entoncesa1, . . . , am es una base para F ′ sobre F y b1, . . . , bn es una base para F sobreK. Dado x ∈ F ′ tenemos que existen elementos x1, . . . , xm ∈ F tales que

x =m∑

i=1

xiai.

Por otro lado, para i = 1, . . . , m tenemos que existen elementos yi1, . . . , yin ∈K tales que

xi =

n∑

j=1

yijbj

por lo que

x =

m∑

i=1

n∑

j=1

yijaibj .

Con esto vemos que los mn productos aibj forman una base para F ′ sobreK. Se sigue que

[F ′ : K] = [F ′ : F ][F : K]. (1.1)

Si F es una extension finita de K y si a1, . . . , an es una base para F sobreK entonces todo elemento F se escribe como

∑

xiai y como todas estassumas pertenecen a K(a1, . . . , an) tenemos que F = K(a1, . . . , an).

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Por comodidad usaremos la notacion F/K para indicar que F es unaextension de K. Diremos que una extenson F/K es simple si F = K(a)para alguna a ∈ F .

Consideremos ahora la extension F = K(S) de K donde S ⊆ F . Seap(x1, . . . , xn) un polinomio en n indeterminadas con coeficientes en K. Sia1, . . . , an ∈ S entonces p(a1, . . . , an) ∈ F . El conjunto de todos estos ele-mentos forman un subanillo, denotado por K[S], de F que contiene a K y aS. El campo de cocientes de K[S] es un subcampo de F que contiene a Ky a S, por lo tanto (como F es el campo mas pequeno con esta propiedad)coincide con F , es decir K(S) es el campo de cocientes del anillo K[S]. Sesigue que K(S) consiste de elementos de la forma

p(x1, . . . , xn)

q(y1, . . . , ym),

donde p y q son polinomios con coeficientes en K en n y m indeterminadasrespectivamente, x1, . . . , xn, y1, . . . , ym ∈ S y q(y1, . . . , ym) 6= 0.

Sea F/K una extension y sea a ∈ F . Decimos que el elemento a esalgebraico sobre K si existe un polinomio f(x) ∈ K[x] tal que f(a) = 0,en caso contrario decimos que a es trascendente sobre K. Diremos que laextension F/K es una extension algebraica de K si todo elemento de F esalgebraico sobre K. En caso de existir al menos un elemento x ∈ F que seatrascendente sobre K diremos que F/K es una extension trascendente deK.

Sea F una extension finita de K, digamos que n = [F : K], si a ∈ Fentonces los n+1 elementos 1, a, a2, . . . , an son linealmente dependientes porlo que existe una combinacion lineal no trivial con escalares c0, c1, . . . , cn ∈ Ktales que

c0 + c1a+ c2a2 + · · ·+ cna

n = 0,

es decir, el elemento a es raız del polinomio

p(x) = c0 + c1x+ c2x2 + · · ·+ cnx

n ∈ K[x].

Por lo tanto todo elemento de la extension finita F es algebraico sobre K.Sea a ∈ F un elemento algebraico sobre K. Un mapeo importante es el

mapeo evaluacion en a:ϕ : K[x] −→ K[a]

definido como ϕ(f(x)) := f(a). El homomorfismo ϕ tiene un kernel notrivial, pues a es algebraico. Dicho kernel es un ideal principal de K[x] de

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la forma (p(x)), para algun polinomio monico p(x). Entonces K[x]/(p(x)) esisomorfo a K[a] y por lo tanto es un dominio entero. Esto ultimo implicaque el ideal (p(x)) es primo y por lo tanto el polinomio p(x) es irreducible enK[x]. Como todo ideal primo de K[x] es maximal, tenemos que K[x]/(p(x))y por tanto K[a] son campos. Se sigue que K(a) = K[a]. Por otro lado,dado f(x) ∈ K[x], existen polinomios unicos q(x), r(x) ∈ K[x] tales que

f(x) = q(x)p(x) + r(x)

con grado(r(x)) < grado(p(x)) o r(x) = 0 por lo que todo elemento en K(a)se puede escribir como r(a). A cada elemento algebraico a ∈ F le podemosasociar, de manera unica, el polinomio monico irreducible p(x) ∈ K[x] quetiene como raız a a. Denotaremos a dicho polinomio por Irr(K, a) y lellamaremos el polinomio minimal de a sobre K. Si a, b ∈ F son elementosalgebraicos sobre K entonces a − b y ab−1 tambien lo son, pues pertenecenal campo K(a, b) el cual es una extension algebraica de K. Definimos lacerradura algebraica de K en F como el subcampo

K := a ∈ F |a es algebraico sobre K.

Si K = K decimos que K es algebraicamente cerrado en F .

1.2 Ejercicios

1. Sean K un campo, F una extension de K, S, T ⊆ F . Demuestra queK(S ∪ T ) = K(S)(T ) = K(T )(S).

2. Demuestra que toda estension finita de K se puede obtener medianteuna sucesion de extensiones simples de K.

3. Demuestra que si a1, . . . , ar ∈ F son algebraicos sobre K entonces laextension K(a1, . . . , ar)/K es finita y algebraica.

1.3 Campos finitos

Sea p un primo. Entonces Z/pZ es un campo finito con p elementos. Lodenotaremos por Fp. Ahora, sea F cualquier campo finito. Denotaremos lasuma de n copias de 1 como n·1 ∈ F . Como F es finito los elementos n·1 ∈ F

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no pueden ser todos distintos. Entonces existe m < n tal que n ·1 = m ·1. Sesigue que (n−m) · 1 = 0. Denotemos por a al numero natural mas pequenotal que a · 1 = 0. Al ser F un campo, y en particular un dominio entero,concluimos que a = p debe ser primo. Se sigue por minimalidad que p es elunico primo con esta propiedad, y que n · 1 = 0 sı y solo sı n es un multiplode p. Vemos tambien que los i · 1, i = 0, 1, . . . , p − 1 forman un subcampode F , isomorfo a Fp. Llamaremos a p la caracterıstica de F y a Fp, elsubcampo generado por 1, su campo primo. Entonces todo campo finitoF se puede ver como una extension de su campo primo Fp. Por definicion Fes un espacio vectorial sobre Fp, por lo que el numero de elementos de F espn para alguna n (de hecho, n = [F : Fp]).

En el parrafo anterior asumimos que Z/pZ es un campo (lo cual no esdifıcil de ver). Otra manera de demostrar la existencia y unicidad de camposfinitos es la siguiente: Sea q = pn, p un primo, n un natural. El campode descomposicion del polinomio f = xq − x ∈ Fp[x] es un campo finitocon q elementos. La unicidad de Fq se sigue de la unicidad del campo dedescomposicion de un polinomio. Los elementos de Fq son las raıces (todasdistintas) de f . Esto se aclara mas adelante.

Para construir directamente campos finitos hacemos uso de polinomiosirreducibles: Sea f(x) ∈ Fp[x] un polinomio irreducible de grado n. Supon-gamos que f(x) es monico, i.e. el coeficiente de xn es 1, de tal forma quef(x) = xn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0. Afirmamos que F = Fp[x]/(f(x)), elanillo cociente de el anillo de polinomios sobre el ideal (maximal) generadopor f(x), es un campo con pn elementos: sea X la imagen de x modulo(f(x)), el ideal generado por f(x). Recordemos que (f(x)) no es mas queel conjunto de polinomios en Fp[x] que son multiplos de f(x). Primero quenada observamos que F es un espacio vectorial de dimension n sobre Fp, deaquı que |F | = pn. Los elementos de F se pueden representar de maneraunica en la forma u =

∑n−1i=0 ciX

i. De hecho, ya que Xn = −an−1Xn−1 −

· · · − a1X − a0, todo elemento de F tiene esta forma (en pocas palabrasF es el conjunto de polinomios en Fp[x] de grado < n). Por otro lado, lasX i, i = 0, 1, . . . , n − 1 son linealmente independientes, de lo contrario f(x)dividirıa a un polinomio no nulo de grado < n, lo cual es imposible. Entocestodo elemento no nulo de F se puede escribir de manera unica como polinomiode grado < n con coeficientes en Fp. Supongamos ahora que h(X), g(X) sontales polinomios y que g(X)h(X) = 0. Esto querrıa decir que f(x) dividea g(x)h(x), y al ser f(x) irreducible entonces f(x) divide a h(x) o a g(x)por lo que h(X) = 0 o g(X) = 0. Esto demuestra que F es un dominio

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entero (no tiene divisores de cero). Falta demostrar que todo elemento en Ftiene un inverso multiplicativo. Sea pues g(x) un polinomio no nulo de grado< n. Como f(x) es irreducible, debe ser primo relativo a g(x). Usando elalgoritmo de Euclides encontramos polinomios h(x) y l(x) tales que

1 = g(x)h(x) + f(x)l(x).

Calculando la expresion anterior mod (f(x)) obtenemos que 1 = g(X)h(X)con lo que habremos encontrado el inverso multiplicativo de g(X) ∈ F .

De ahora en adelante aceptaremos de la teorıa de campos el hecho deque una cerradura algebraica siempre existe y que esta determinada demanera unica. Denotaremos por F a una cerradura algebraica fija de Fp.Esto quiere decir: primero que todo elemento a ∈ F es algebraico sobre Fp,es decir satisface una equacion polinomial con coeficientes en Fp. Y segundo,F es algebraicamente cerrado, es decir, todo polinomio con coeficientes en Fse descompone como producto de factores lineales sobre el mismo campo.

Consideremos de nuevo al polinomio Xpn

−X. Supongamos la existenciade un campo con pn elementos. Al ser este un campo finito, debe ser una ex-tension algebraica sobre Fp, entonces se puede considerar como un subcampode F . Como el grupo multiplicativo de este campo tiene pn − 1 elementos,todo elemento no nulo u satisface upn−1

= 1. Por lo que todo elemento dedicho campo es raız de dicho polinomio. De esta forma, vemos que un campocon pn elementos queda determinado de manera unica, si es que existe, comocierto subcampo de F . Por otro lado el polinomio Xpn

−X es separable, esdecir sus pn raices son distintas. Como ya estamos trabajando dentro de uncampo, es suficiente demostrar que sumas, productos e inversos multiplica-tivos de raıces son raıces. Esto es obvio para producos e inversos. Para lasuma necesitamos el siguiente Lema:

1.4 El automorfismo de Frobenio. Existencia

de Campos finitos

Lema 1.4.1 (automorfismo de Frobenio). Sea F un campo de caracterısticap. Entonces el mapeo σ, donde σ(x) = xp, es un automorfismo de F en F p.En el caso que F es un campo finito tenems que F p = F . El campo fijadopor σ es Fp.

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Demostracion: Sean x, y ∈ F . Tenemos que σ(xy) = xpyp = σ(x)σ(y) yσ(x+ y) = (x+ y)p. Usando el teorema del binomio tenemos que

(x+ y)p =

p∑

i=0

(

pi

)

xiyp−i.

Pero

(

pi

)

es multiplo de p si i 6= 0, p por lo que (x + y)p = xp + yp (el

sueno de todo estudiante de secundaria). Con esto, σ(x+ y) = σ(x) + σ(y).Hemos demostrado que σ abre productos y sumas.

Usando el Lema 1.4.1 podemos demostrar que la suma y el producto deraıces del polinomio Xpn

−X son de nuevo raıces. Es decir, demostramos laexistencia y unicidad de un campo con pn elementos.

Resumimos lo anterior en el siguiente

Teorema 1.4.1. Para todo primo p y natural n existe un campo con pn

elementos. Y cada cerradura algebraica F de Fp contiene exactamente unsubcampo con pn elementos, consistiendo de las raıces de el polinomio Xpn

−X. Denotaremos este campo como Fpn

1.5 Extensiones algebraicas

Una vez construido el campo Fpn podemos construir extensiones algebraicascon pkn elementos pues siempre existen polinomios irreducibles de gradok en Fpn[x]. Como vimos, estas extensiones, es decir estos nuevos campos,son determinados de manera unica. Ası pues Fpn ⊂ Fpm siempre y cuandon divida a m. Por otro lado, si tenemos que Fpn ⊂ Fpm entonces el campogrande es un espacio vectorial sobre el pequeno. De aquı que pm debe seruna potencia de pn y entonces n divide a m. Hemos visto que:

Teorema 1.5.1. Fpn ⊂ Fpm si y solo si n divide a m.

Un resultado importante es el siguiente:

Teorema 1.5.2. El grupo multiplicativo F×pn := Fpn−0 es un grupo cıclico.

Demostracion: Notemos que F×pn es un grupo abeliano de orden pn − 1.

Sea d un divisor de pn−1. La ecuacion xd−1 = 0 tiene a lo mas d solucionesen F×

pn. Por otro lado, todo elemento a ∈ F×pn que satisface ad = 1 es raız de

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xd − 1. Entonces, para cada divisor d de pn − 1 existe a lo mas un subgrupocıclico de orden d. Por lo tanto F×

pn es un grupo cıclico.Sea q := pn. En los parrafos anteriores discutimos la existencia y unicidad

de un campo con q elementos. Hablaremos un poco acerca de la extensionFqn ⊃ Fq.

Lema 1.5.1. Considerese la extension Fqn ⊃ Fq, q una potencia de un primo.El mapeo σ, donde σ(x) = xq, es un automorfismo de Fqn sobre Fq, esdecir, los elementos del campo base son fijados por σ. Las potencias de σforman un grupo de automorfismos de orden n. Llamaremos a este grupo elgrupo de Galois G(Fqn/Fq).

Demostracion: σ es una potencia del automorfismo de Frobenio. En-tonces σ es ciertamente un automorfismo de Fqn. Los elementos del campobase satisfacen la ecuacion xq = x por lo que todo elemento de Fq es fijadopor σ. Por esta misma razon vemos que σn es el mapeo identidad en Fqn , locual no es el caso para ninguna otra potencia menor de σ.

Definicion 1.5.1 (Traza). Sea σ el generador de G(Fqn/Fq). Entonces latraza tr : Fqn −→ Fq se define como

tr(x) =

n−1∑

i=0

σi(x) (1.2)

En otras palabras tr(x) se define como la suma de las imagenes de x bajolos elementos del grupo de Galois. Y tiene las siguientes propiedades:

1. tr es un mapeo lineal sobre Fq.

2. Como cada aplicacion de σ permuta a los elementos del grupo de Galoistenemos que σ(tr(x)) = tr(x).

3. De la propiedad anterior tenemos que tr(x) ∈ Fq

4. La traza se puede ver como un polinomio de grado qn−1 en σ por lo queno es identicamente cero.

5. Ker(tr) es un hiperplano de Fqn (visto como espacio vectorial sobreFq).

6. Para cada x ∈ Fqn el mapeo y 7→ tr(xy) es un funcional lineal.

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1.6 Ejemplos de campos finitos

Ejemplo 1: En el anillo Z2[x] existe un unico polinomio irreducible de gradodos: x2 + x+ 1. Tenemos que

F4 = Z2[x]/(x2 + x+ 1).

Podemos listar todos los elementos de F4:

F4 = aX + b|a, b ∈ Z2 = 0, 1, X,X + 1,

donde X es la imagen de x mod (x2 +x+1). En algunos casos es convenientedescribir los elementos utilizando un generador del grupo cıclico: sea α talque α2 + α+ 1 = 0. Vemos que α2 = α + 1 por lo que

F4 = 0, 1, α, α2.

Ejemplo 2: Los polinomios x3 + x + 1 y x3 + x2 + 1 son los unicos poli-nomios cubicos irreducibles en Z2[x]. Entonces, si α es tal que α3+α2+1 = 0,tenemos que F8 = 0, 1, α, α2, α3, α4, α5, α6. El grupo aditivo queda deter-minado por 1 + α4 = (1 + α2)2 = (α3)2 = α6 y 1 + α = α5. Ejemplo

3: Para construir un campo de orden 16 podemos extender F2 o F4. Us-ando F4 como campo base (Ejemplo 1) buscamos un polinomio irreduciblede grado dos con coeficientes en F4, digamos x2 + x + α (recordemos queα2 + α + 1 = 0). Sea β tal que β2 + β + α = 0. Como antes, los ele-mentos de F16 son polinomios de grado 1 en β con coeficientes en F4, i.etodo elemento de F16 se escribe como aβ + b con a, b ∈ F4. Se sigue queβ3 = (β + α)β = β2 + αβ = β + α + αβ = α2β + α. De manera similarβ4 = β + 1, β5 = β2 + β = α, las demas potencias de β son de la formaβ5+i = αβi y β10+i = α2βi. La estructura aditiva queda determinada por

0 = 1 + β + β4 = 1 + β2 + β8 = 1 + β3 + β14;0 = 1 + β6 + β13 = 1 + β7 + β9 = 1 + β11 + β12.

Sea tr la traza de F16 a F4. Por lo anterior podemos calcular la traza delos elementos del campo grande: tr(β) = β + β4 = β(1 + β3) = ββ14 = 1,tr(β3) = β3 + β12 = β3(1 + β9) = β3β7 = β10 = α2, etc.

13

1.7 El campo de funciones racionales K(x)

Sea K un campo y x un elemento trascendente sobre K, es decir, un elementono algebraico sobre K. Sea K[x] el anillo de polinomios en la ”variable” xcon coeficientes en K. El campo de funciones racionales K(x) se define como

K(x) := f(x)

q(x)|f(x), q(x) ∈ K[x], q(x) 6= 0.

Se sigue que K(x) es el campo de fracciones del anillo K[x].Sea p(x) ∈ K[x] un polinomio irreducible. Definimos

Op(x) := f(x)

q(x)∈ K(x)|p(x) 6 |q(x)

y

Pp(x) := f(x)

q(x)∈ K(x)|p(x)|f(x), p(x) 6 |q(x).

El lector puede verificar que Op(x) es un anillo con ideal maximal Pp(x).Definimos una funcion

vp(x) : K(x) −→ Z ∪ ∞z 7→ np(x),

donde, np(x) = i si z = p(x)ih y vp(x)(0) := ∞. Podemos verificar que

Op(x) = z ∈ K(x)|vp(x)(z) ≥ 0

y quePp(x) = z ∈ K(x)|vp(x)(z) > 0.

De ahora en adelante llamaremos al anillo Op(x) anillo de valoracion ya Pp(x) le llamaremos lugar.

Asociamos al polinomio irreducible p(x) el campo Kp(x) ⊂ K(x): Al serPp(x) un ideal maximal del anillo Op(x) podemos definir el campo residual

Kp(x) := Op(x)/Pp(x). Definimos el grado de un lugar Pp(x) como

grado(Pp(x)) := [Kp(x) : K],

el grado de la extensionKp(x)/K. Notemos que grado(Pp(x)) = grado(p(x)) <∞. Ejemplo: Los dos lugares de F2(x) de grado 3 son Px3+x+1 y Px3+x2+1.

14

En ambos casos su campo residual es F8. Ejemplo: Los lugares de grado 1de Z3(x) son P0, P1, P2 y P∞ (ver mas abajo), los campos residuales corre-spondientes son isomorfos a Z3.

Dado un elemento z ∈ K(x) y un lugar P de grado uno entonces podemosinterpretar a z como una funcion P 7→ z(P ) ∈ K ∪ ∞. Esto justifica elnombre de campo de funciones. Notemos que si P = Px−a donde a ∈ K y siz = f/q, entonces z(P ) = z(a) y z(a) := ∞ si q(a) = 0.

En K(x) existe otro anillo de valoracion:

O∞ := f(x)

q(x)∈ K(x)|grado(f(x)) ≤ grado(q(x))

con ideal maximal

P∞ = f(x)

g(x)∈ K(x)|grado(f(x)) < grado(q(x)).

El lugar P∞ es llamado el lugar infinito de K(x). Cabe notar que estaetiqueta depende del generador de la extension K(x)/K que se utilice, pues,por ejemplo P0 es el lugar infinito de K(1/x).

Se sigue que existe una correspondencia biyectiva entre los lugares degrado 1 de K(x) y los puntos de la recta proyectiva PG(1, K).

1.8 Extensiones separables

Sea F una extension sobre K y a ∈ F un elemento algebraico sobre K.Supongamos que f(x) ∈ K[x] es tal que f(a) = 0. Si f(x) = (x− a)mg(x) ysi g(a) 6= 0 entonces decimos que a es una raız de multiplicidad m de f(x).Llamaremos a una raız de multiplicidad 1 de f(x) raız simple de f(x). Uncriterio para verificar si una raız a de f(x) es simple es evaluar en f ′(x): aes raız simple de f(x) si y solo si f ′(a) 6= 0 (ver ejercicios).

Diremos que un elemento a ∈ F es separable sobre K si a es algebraicosobreK y a es raız simple de Irr(K, a). Diremos que una extension algebraicaF/K es separable si todo elemento de F es separable sobre K. Tambiendiremos que F es separable sobre K o que F/K es separable. Una extensionalgebraica F/K que no sea separable le llamaremos extension inseparable

de K. Un campo K es perfecto si no tiene extensiones inseparables.

Teorema 1.8.1. Un campo K con car(K) = p es perfecto si y solo si K =Kp.

15

Demostracion: Sea F una extension algebraica de K, a ∈ F y p(x) =Irr(K, a). Supongamos primero que Kp = K y que a no es separable sobreK. Esto implica que p′(a) = 0. Como grado(p′(x)) < grado(p(x)) contra-decimos que p(x) es el polinomio minimal de a a menos que p′(x) = 0. Seapmx

m un monomio de p(x). Entonces mpmxm = 0 por lo cual, o bien, pm = 0

o m es divisible entre p. Por lo tanto

p(x) =

n∑

i=0

pixpi.

Por hipotesis, cada pi tiene una raız p-esima, digamos ri. Entonces podemosfactorizar

p(x) =

(

n∑

i=0

rixi

)p

,

contradiciendo el hecho que p(x) es irreducible. Por lo que F/K debe serseparable y entonces K es perfecto.

Ahora supongamos que K es perfecto. Queremos demostrar que Kp = K.Sea f(x) = xp−a ∈ K[x]. Si f(x) tiene una raız b ∈ K entonces a = bp ∈ Kp.Supongamos que f(x) no tiene raıces en K y que p(x) es un factor irreduciblede f(x). Consideremos la extension K(b)/K con p(b) = 0. En el anillo depolinomios K(b)[x] tenemos que f(x) = xp − a = xp − bp = (x− b)p, por otrolado p(x) divide a f(x) por lo que p(x) = (x− b)m para alguna m. Si m = 1tendrıamos que b ∈ K, lo cual no es el caso, entonces m > 1. Pero entoncesb no es raız simple de p(x), es decir, b no es separable sobre K. Esto ultimocontradice el hecho que K es perfecto. Por tanto a ∈ Kp para toda a ∈ K,es decir Kp = K.

Corolario 1.8.1. Todo campo finito es perfecto.

En lo que resta de esta seccion K denota un campo de caracterıstica p y Funa extension algebraica de K. Un elemento a ∈ F se le llama puramente

inseparable sobre K si Irr(K, a) = (x−a)m para alguna m. Una extensionfinita F/K de llama extension puramente inseparable si todo elementode F es puramente inseparable sobre K.

Sea a ∈ F un elemento puramente inseparable sobre K y sea p(x) =Irr(K, a). Escribamos grado(P (x)) = m · pe con m no divisible entre p, esdecir

p(x) = (x− a)mpe

= (xpe

− ape

)m ∈ K[x].

16

Cada coeficiente de p(x) pertence a K, en particular, mape

∈ K. Como pno divide a m se sigue que ape

∈ K. Por otro lado, p(x) es irreducible sobreK, por lo que m = 1. Ahora bien, si d < e y apd

∈ K tendrıamos quef(x) = xpd

− apd

∈ K[x] y que f(a) = 0 lo que implica que p(x)|f(x), lo cuales imposible. Acabamos de demostrar que el grado del polinomio minimal deun elemento puramente inseparable es pe, para alguna e > 0 y que apd

6∈ Kpara 0 ≤ d < e.

Corolario 1.8.2. Si F es una extension puramente inseparable de K en-tonces [F : K] es una potencia de p.

Demostracion: Ver ejercicios.

Teorema 1.8.2. Sea a ∈ K tal que a 6∈ Kp. Entonces, para todo enteroe ≥ 0 el polinomio f(x) = xpe

− a es irreducible en K[x].

Demostracion: Sea p(x) un factor no constante, monico e irreducible def(x) y sea F = K(b) con p(b) = 0. Entonces f(b) = 0 y a = bp

e

. En F [x]tenemos que

f(x) = (x− b)pe

,

lo que nos dice que todo factor irreducible q(x) de f(x) en K[x] es unapotencia de (x−b) y, en particular, q(b) = 0 por lo que p(x)|q(x). Se sigue queq(x) = p(x) y que f(x) = p(x)m para alguna m ≥ 1. Como grado(f(x)) = pe

tenemos que grado(p(x)) y m son potencias de p, con lo que

f(x) = p(x)pr

para alguna r ≥ 0. Sea c ∈ K el termino constante de p(x), entoncesa = (±c)pr

. Si r > 0 tendrıamos que a ∈ Kp, una contradiccion. Entoncesr = 0 por lo que f(x) = p(x) es irreducuble en K[x].

Corolario 1.8.3. Sea a ∈ F . Si exise un entero e ≥ 0 tal que ape

∈ Kentonces a es puramente inseparable sobre K.

Demostracion: Sea e el entero no negativo mas pequeno con la propiedadque ape

∈ K. Si e = 0 entonces a ∈ K y entonces a es puramente inseparablesobre K. Supongamos que e > 0. Si ape

∈ Kp entonces ape

= bp para algunab ∈ K. En este caso, tenemos que, ape−1

= b ∈ K lo que contradice ladefinicion de e. Ahora supongamos que ape

6∈ Kp, por el Teorema anteriortenemos que el polinomio

xpe

− ape

17

es irreducible en K[x] y entonces Irr(K, a) = (x − a)pe

por lo que a espuramente inseparable sobre K.

Un elemento a ∈ F que sea al mismo tiempo separable y puramenteinseparable sobre K necesariamente es un elemento de K: Sea e el entero nonegativo mas pequeno tal que ape

∈ K . Tenemos que Irr(K, a) = xpe

− ape

.Como a es tambien separable tenemos que la derivada (Irr(K, a))′ 6= 0. Sesigue que e = 0 y por lo tanto a ∈ K.

1.9 Ejercicios

1. Sea f(x) = f0 + f1x+ · · ·+ fnxn ∈ K[x] un polinomio con coeficientes

en K. Definimos

f ′(x) := f1 + f2x+ · · ·+ nfnxn−1

demuestra que, para g(x) ∈ K[x], (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x) y que(f(x)g(x))′ = f(x)g′(x) + f ′(x)g(x).

2. Demuestra que a es raız simple de f(x) si y solo si f ′(a) 6= 0.

3. Demuestra el Corolario 1.8.2. Sugerencia: F se obtiene de K por unasucesion de extensiones simples F1 = K(a1), F2 = F1(a2), . . . , F =Fn = Fn−1(an). Si p(x) = Irr(K, ai) y q(x) = Irr(Fi−1, ai) demuestraque q(x) divide a p(x) para i = 2, . . . , n.

4. Calcula la suma de todos los elementos de un campo finito.

5. Calcula el producto de todos los elementos distinos de cero de un campofinito.

6. Demuestre que Op(x) es un anillo tal que para toda z ∈ K(x) z ∈ Op(x)

z ∈ Op(x) o z−1 ∈ Op(x). Demuestre tambien que Pp(x) es el unico idealmaximal de Op(x) (hint: un ideal maximal no contiene unidades, i.e.Pp(x) = Op(x) −O∗

p(x)).

7. Lista todos los lugares de grado 2 del campo F4(x).

8. Demuestre que K(x) = K( 1x).

18

9. Demuestre que la funcion v := vp(x) definida anteriormente satisface:v(zw) = v(z) + v(w), v(z + w) ≥ minv(z), v(w) y v(r) = 0 paraz, w ∈ K(x), r ∈ K.

10. Demuestre que todo elemento z ∈ K(x) admite una representacionunica

z = a ·∏

i

pi(x)ni ,

donde a ∈ K − 0, los pi(x) ∈ K[x] son polinomios monicos irre-ducibles distintos y ni ∈ Z.

19

Capıtulo 2

Codigos Correctores de Errores

2.1 Introduccion

Sea A un conjunto finito con v ∈ N elementos. Un codigo C de longitud nsobre el alfabeto A es un subconjunto del producto cartesiano An, es decir,C ⊆ An. A los elementos de C les llamaremos palabras.

Dados a, b ∈ C, digamos a = (a1, . . . , an) y b = (b1, . . . , bn), definimos ladistancia de Hamming enre las palabras a y b como

d(a, b) := |i|ai 6= bi| (2.1)

Un parametro fundamental de un codigo C es la distancia mınima

d := d(C) entre sus palabras:

d := d(C) := mind(a, b)|a, b ∈ C, a 6= b. (2.2)

Distinguimos un caso especial: A = Fq y C ≤ Fnq es un subespacio vecto-

rial de Fnq . En este caso decimos que C es un codigo lineal. En este contexto

consideramos un parametro adicional para el codigo C, su dimension comosubespacio vectorial de Fn

q . La denotaremos como k := dim(C).Si C es un codigo lineal y a, b ∈ C entonces d(a, b) = d(a − b, 0). Lo

anterior motiva la definicion del peso, w, de un palabra a ∈ C

w(a) := d(a, 0). (2.3)

En otras palabras, el peso de la palabra a, de acurdo a la definicion 2.1, esel numero de sus coordenadas distintas de cero. Por linealidad se sigue que

20

d = minw(a)|a ∈ C, a 6= 0, es decir la distancia mınima es igual al peso

mınimo.Para ahorrar espacio, diremos que C es un [n, k, d]q codigo lineal si C

tiene longitud n, dimension k sobre el campo Fq y distancia mınima d.Para describir un codigo lineal C ≤ Fn

q de dimension k basta con especi-ficar una base. Una matriz generadora para el codigo lineal C es unamatriz k × n cuyos k renglones contienen las coordenadas de los vectores deuna base dada. Esta manera de representar a C permite codificar el mensajem = (m1, . . . , mk) en la palabra

m ·G.

Como C es un subespacio lineal de Fnq es conveniente fijarnos el el comple-

mento ortogonal C⊥ ≤ Fnq de C. Una matriz de verificacion para el codigo

C es una matriz H cuyos renglones contienen las coordenadas de los vectoresde una base para C⊥. Tenemos entonces que

c ∈ C si y solo si H · c = 0.

De esta manera, al recibir una palabra c, el receptor verifica si hubo erroresde transmision calculando el producto H ·c. Si el resultado de dicho productoes distinto de cero entonces concluye que hubo errores en la transmision.

En este curso nos enfocaremos a la construccion de codigos lineales pordiversos metodos y seguiremos parte del contenido de los textos [1] y [13].

2.2 Ejercicios

1. Demuestra que la distancia de Hamming es una metrica en An.

2.3 Codigos de Reed-Solomon

La clase de Codigos de Reed-Solomon se considera de gran importancia den-tro de la Teorıa de Codigos ya que, entre otras propiedades que iremos des-cubriendo, son miembros de la familia de Codigos de Goppa o Codigos Alge-braicos.

Supongamos que Fq = 0, 1, α, . . . , αq−2. Para 1 ≤ k ≤ q consideramosel espacio vectorial

Lk := f ∈ Fq[x]|grado(f) < k (2.4)

21

y el mapeo φ : Lk −→ Fqq dado por

φ(f) := (f(0), f(1), f(α), . . . , f(αq−2)) ∈ Fqq. (2.5)

El mapeo lineal 2.5 es inyectivo pues un polinomio de grado a lo mas k − 1tiene menos de q raıces. Entonces

RS(k, q) := (f(0), f(1), f(α), . . . , f(αq−2))|f ∈ Lk (2.6)

es un Codigo lineal de longitud q, dimension k y peso mınimo q − k + 1.

2.4 Codigos MDS

Cuando consideramos un codigo C ⊆ An sobre el alfabeto finito A de cardi-nalidad v podemos concluir que |C| ≤ vn, esto es trivial. Pero si conocemosd, su distancia mınima, y proyectamos sobre cualquier conjunto de n− d+ 1coordenadas obtenemos un codigo C ′ ⊆ An−d+1 tal que |C| = |C ′| por lo que

|C| ≤ vn−d+1. (2.7)

Si C es un [n, k, d]q codigo lineal la cota 2.7 se puede escribir como

k + d ≤ n + 1.

A los codigos que satisfacen la igualdad en las desigualdades anteriores seles llaman codigos MDS (MDS es la abreviacion de Maximum DistanceSeparable).

El codigo lineal 2.6 con parametros [q, k, q − k + 1]q es MDS pues

k + q − k + 1 = q + 1.

2.5 Interpolacion de Lagrange

Un polinomio no nulo p(x) ∈ Fq[x] de grado n tiene a lo mas n raıces. Enefecto, si p(a) = 0 entonces p(x) es divisible entre el factor lineal x − a.Si p(x) tiene n + 1 raıces a1, a2, . . . , an+1, entonces p(x) es divisible por elproducto de los n+1 factores correspondientes. Si grado(p(x)) ≤ n entoncesp(x) es el polinomio nulo.

22

Teorema 2.5.1 (interpolacion de Lagrange). Sea F un campo. Dados nelementos distintos a1, . . . , an ∈ F y n elementos arbitrarios b1, . . . , bn ∈F existe exactamente un polinomio p(x) ∈ F [x], grado(p(x)) < n, tal quep(ai) = bi, i = 1, . . . , n.

Demos. Primero demostraremos la unicidad. Supongamos que p(x), q(x) ∈F [x] satisfacen las condiciones del Teorema, entonces el polinomio p(x)−q(x)tiene n raıces distintas, entonces el polinomio p(x)−q(x) es el polinomio nulo.La existencia de un polinomio de interpolacion se resuelve escribiendo dichopolinomio:

p(x) =

n∑

i=1

bi

∏

j 6=i(x− aj)∏

j 6=i(ai − aj). (2.8)

2.6 Decodificacion en RS(k, q)

Ahora nos situamos del otro lado del canal de transmision, es decir, del ladodel receptor. Supongamos que recibimos la palabra y = (y1, . . . , yq) ∈ Fq

q yque ocurrieron e errores en su transmision. Queremos recuperar el mensajeoriginal, f(x) ∈ Lk. Sean

B := i|f(αi) = yi,

M := i|f(αi) 6= yi y

e := |M |.

Definimos los siguientes polinomios:

w(x) :=∏

i∈B

(x− αi)

y

w(x) :=∏

i∈M

(x− αi).

Y sea ∆(x) el polinomio de grado < e tal que, para i ∈M ,

∆(αi) =yi − f(αi)

w(αi).

23

Finalmente, sean

p0 := w · w =

q∏

i=1

(x− αi) = xq − x,

p1 := w · ∆ + f.

Notemos primero que p1(αi) = yi para i = 1, . . . , q. Sean r0 := w y r1 :=∆. Mediante el algoritmo de Euclides extendido, obtenemos la secuencia

ri−1 := qiri + ri+1

con grado(ri+1) < grado(ri). Y supongamos que rm+1 = 0.Queremos ver que obtenemos la misma secuencia de cocientes qi al aplicar

el algoritmo de Euclides extendido a los polinomios p0 y p1. Para ver esto,definimos u0 = 1, u1 = 0, ui = ui−2 − qi−2ui−1, v0 = 0, v1 = 1, vi =vi−2 − qi−2vi−1 para 2 ≤ i ≤ m y entonces

ri = uir0 + vir1 = uiw + vi∆ para 0 ≤ i ≤ m+ 1

Ahora escribimos

pi := uip0 + vip1

= uiw · w + viw · ∆ + vi · f= w(ui · w + vi · ∆) + vi · f= w · ri + vi · f.

Tenemos entonces que

qi · pi + pi+1 = qi(w · ri + vi · f) + w · ri+1 + vi+1 · f= w(qi · ri + ri+1) + (qi · vi + vi+1) · f= w · ri−1 + vi−1 · f= pi−1.

Notemos que grado(pi) = grado(w · ri + vi · f). Ahora bien, grado(vi) <grado(r0) = e, por lo que grado(vi ·f) ≤ e+k−1. Por otro lado grado(w) =q − e. Suponiendo que e < q−k+1

2(esta es la capacidad de correccion del

codigo RS(k, q)), tenemos que

grado(w · ri) ≥ q − e > e+ k − 1 ≥ grado(vi · f).

24

Se sigue que grado(pi) = grado(w · ri) el cual es estrictamente decreciente.Es decir, grado(pi+1) < grado(pi). Con esto ultimo vemos que los mismoscocientes qi se obtienen al aplicar el algoritmo de Euclides extendido a p0 yp1. En particular, fijandonos en

pm+1 = w · rm+1 + vm+1 · f = vm+1 · f,

tenemos que f = pm+1

vm+1. Es decir hemos recuperado el mensaje original f(x).

Teorema 2.6.1 (Algoritmo de decodificacion de Gao).

Entrada: La palabra recibida y = (y1, . . . , yq) ∈ Fqq.

Salida: El polinomio f(x) de grado ≤ k − 1 o declarar una Falla de decodi-ficacion.

Paso 1 Sea p0(x) = xq−x y sea p1(x) el polinomio de grado qM−bM−HM−R1tal que p1(αi) = yi para i = 1, . . . , q.

Paso 2 Aplicamos el algoritmo euclideano extendido a p0 y a p1 deteniendonoscuando el grado del residuo pm(x) es menor que q−k

2.

Paso 3 Dividimos pm(x) = f(x)vm(x) + r(x). Si r(x) = 0 y grado(f(x)) < kentonces el polinomio es f(x), en caso contrario declaramos Falla dedecodificacion.

2.7 Ejercicios

1. Construye una matriz generadora para el codigo RS(4, 11).

2. Supon que recibes la palabra y = (1, 2, 6, 1, 9, 8, 9, 1, 6, 2, 2) ∈ F1111. Usa

el algoritmo de Gao para recuperar el mensaje original si el codigo quese uso para codificarlo es el RS(4, 11).

3. Construye una base para Lk de tal manera que la matriz generadora delcodigo RS(k, q) este en la forma [Ik|P ] donde Ik es la matriz identidadk × k y P es una matriz k × (q − k).

25

2.8 Codigos Simplex y de Hamming

Sea V = Fkq . V es un espacio vectorial de dimension k sobre Fq. El numero

de subespacios de V de dimension 1 es

qk − 1

q − 1.

Esto es, el numerador de la expresion anterior dice que vamos a considerarsolo vectores no nulos de V . El denominador dice que cada subespacio dedimension 1 tiene exactamente q−1 vectores no nulos. Definimos el Codigo

Simplex de dimension k sobre Fq, denotado por S(k, q), como el codigogenerado por los renglones de la matriz G que tiene por columnas a vectoresrepresentantes de todos y cada uno de los subespacios de dimension 1 de V .

El codigo Simplex tiene longitud qk−1q−1

y dimension k. A las columnas de Glas denoteremos por C1, . . . , C qk−1

q−1

.

Para calcular su distancia mınima procedemos de la siguiente manera: seax ∈ S(k, q) un vector no nulo. El conjunto x es linealmente independiente;al ser x un vector no nulo, se puede extender a una base para el espacioS(k, q). Podemos pensar pues que x es un renglon de la matriz G. Ahorabien, el numero de ceros en un renglon de la matriz G es (qk−1 − 1)/(q − 1),esto se sigue pues de que la columna correspondiente es representante de unsubespacio de dimension 1 de V , por lo que las k − 1 entradas restantes dedicha columna no pueden ser todas iguales a cero. El peso de un renglon dela matriz G es entonces

qk − 1

q − 1−qk−1 − 1

q − 1= qk−1.

El codigo Simplex S(k, q) tiene parametros

[(qk − 1)/(q − 1), k, qk−1]q

. Por la construccion de S(k, q), todo par de columnas de G es un conjuntolinealmente independiente. Definimos el Codigo de Hamming denotado

por H(k, q) como el complemento ortogonal del codigo S(k, q) en Fqk

−1

q−1

q . Esdecir, la matriz generadora G de S(k, q) es una matriz de verificacion paraH(k, q). Se sigue que el codigo H(k, q) tiene longitud (qk − 1)/(q − 1) ydimension (qk − 1)/(q − 1) − k.

26

Sea x ∈ H(k, q). Supongamos que peso(x) = 1 y que xi es su unica coor-denada no nula. Como x ∈ H(k, q) tenemos que G · x = 0 como G · x = xiCi

tendrıamos que la i-esima columna de G es nula, esto es imposible. Si xtiene peso igual a 2, digamos que las coordenadas no nulas de x son i y j,entonces tendrıamos que G ·x = 0 pero por otro lado G ·x = xiCi +xjCj = 0contradiciendo el hecho que las columnas Ci y Cj de G son linealmente inde-pendientes. Concluimos pues que peso(x) ≥ 3. Las columnas de G son dos ados linealmente independientes. El subespacio de dimension 2 generado porcualquier par de columnas de G, digamos Ci y Cj , necesariamente contieneal menos otro subespacio de dimension 1 distinto de < Ci > y de < Cj >.por lo que tenemos que la distancia mınima de H(k, q) es d = 3. El codigode Hamming H(k, q) tiene parametros

[(qk − 1)

(q − 1),(qk − 1)

(q − 1)− k, 3]q,

y puede corregir 1 error de transmision.Ejemplo: Consideremos el codigo H(3, 4) con parametros [21, 18, 3]4.

Recordemos que F4 = 0, 1, z, z2 con z2 + z + 1 = 0. Una matriz de verifi-cacion para H(3, 4) es cualquier matriz generadora para S(k, q). Por ejemplo

G =

0

@

0 1 1 1 1 z2 z2 z2 z2 z z z z 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 z z2 z2 z 1 0 z2 z 1 0 z2 z 1 0 z2 z 1 0

1 1 0 z2 z 1 0 z2 z 0 1 z z2 z2 z 1 0 z z20 1

1

A .

Supongamos que recibimos el vector

y = (1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1) ∈ F214

y que estamos usando el codigo H(3, 4) para corregir posibles errores detransmision. Lo primero que hace el receptor es calcular el sındrome de y

S(y) := G · y.

Tenemos que S(y) = 0 si y solo si y ∈ H(3, 4). En nuestro ejemplo,tenemos que S(y) = (z, 0, z)t 6= 0 por lo que concluimos que hubo erroresde transmision. Notemos que (z, 0, z)t = z · (1, 0, 1)t y que (1, 0, 1)t es lasegunda columna de G, en este punto sabemos que la segunda coordenadaes incorrecta. El vector error es

e := (0, z, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

por lo tanto concluimos que la palabra enviada fue

x = y − e = (1, z2, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1).

27

2.9 Codigos perfectos y empaquetado por es-

feras

Sea A, como siempre, un conjunto finito de sımbolos con v elementos. Con-sideramos An equipado con la metrica de Hamming. Definimos la bola deradio r con centro en a ∈ An como el conjunto de palabras a distancia deHamming menor o igual a r. En realidad estamos interesados en su volumen

V (r, n, v) :=

r∑

i=0

C(n, i)(v − 1)i. (2.9)

Sea e := ⌊d−12⌋. Si C ⊆ An es un codigo con distancia mınima d entonces

las bolas de radio e centradas en las palabras de C son ajenas. Por lo tantotenemos que

|C| · V (e, n, v) ≤ vn. (2.10)

A la desigualdad 2.10 se le llama cota de empaquetado por esferas y a loscodigos que la satisfagan con igualdad les llamaremos codigos perfectos.

En el caso del codigo de Hamming H(k, q) tenemos que e = 1, v = q y

n = qk−1q−1

. Tenemos que

|H(k, q)| · V (e, n, v) = qqk

−1

q−1−k · (1 + (q − 1)

qk − 1

q − 1) = q

qk−1

q−1 .

Por lo que concluimos que los codigos H(k, q) son codigos perfectos.

2.10 Ejercicios

1. Sea V = Fnq . Demuestra que el numero de subespacios de V de di-

mension i, i = 1, . . . , n es

G(n, i) :=(qn − 1)(qn − q) · · · (qn − qi−1)

(qi − 1)(qi − q) · · · (qi − qi−1). (2.11)

A G(n, i) se le conoce como polinomio de Gauss.

2. Supon que recibes el vector

y = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1) ∈ F214

28

por el canal de transmision y que estas usando el codigo de HammingH(3, 4). Verifica que la palabra recibida pertenece a dicho codigo orealiza su correcion.

3. Demuestra que un codigo perfecto con distancia mınima d = 2e + 1tiene radio de cubierta ρ = e.

4. Sea C un codigo lineal binario con distancia mınima impar d. Sea D ⊂C el subconjunto de todas las palabras de peso par de C. Demuestraque D es un subespacio de codimension 1 en C.

2.11 Metodo Geometrico

Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre un campo F . Dados x, y ∈V − 0 definimos la relacion de equivalencia R como sigue

(x, y) ∈ R ⇐⇒ existe λ ∈ F tal que x = λ · y.

A los elementos de (V −0)/R (clases de equivalencia) les llamaremos pun-

tos. Estas clases de equivalencia, o puntos, estan en correspondencia con lossubespacios de dimension uno de V (quitandoles el vector 0). Llamaremosa los subespacios de dimension 2 de V rectas, . . ., a los subespacios dedimension i + 1 les llamaremos i-planos y a los subespacios de dimensionn − 2 hiperplanos. Diremos que dos subespacios de V son incidentes siuno esta totalmente contenido en el otro. Al cociente (V − 0)/R, juntocon la relacion de incidencia anterior se le llama espacio proyectivo de

dimension n− 1 sobre F y lo denotaremos por

PG(n− 1, F ).

En nuestro contexto nos interesa estudiar el espacio proyectivo

PG(n− 1, q) := Fnq − 0/R.

Por el ejercicio 1 del capıtulo anterior, PG(n− 1, q) tiene

- qn−1q−1

puntos,

- (qn−1)(qn−q)(q2−1)(q2−q)

rectas

- y en general, G(n, i+ 1) i-planos.

29

2.11.1 Codigos asociados a conjuntos de puntos

Podemos pensar en las columnas de una matriz generadora k × n, G, deun codigo lineal C como representantes de n puntos P1, . . . , Pn en el espacioproyectivo PG(k−1, q). Esto nos da una interpretacion geometrica del codigoC. Notemos que en esta interpretacion podemos repetir puntos, pues G puedetener columnas repetidas o puede tener columnas que sean multiplos de otras.En este sentido, diremos que un codigo es proyectivo si ninguna columnade G es multiplo de alguna otra. A la interpretacion geometrica de C lellamaremos descripcion geometrica del codigo C.

Para calcular el peso de una palabra arbitraria no nula x ∈ C hacemos losiguiente: sean r1, . . . , rk los renglones de G. Entonces x =

∑ki=1 airi. Ahora

bien, la coordenada j de x es xj =∑k

i=1 airij . La coordenada xj es cero si elpunto (r1j , . . . , rkj) pertenece al hiperplano (a1, . . . , ak)

⊥. Por lo que el pesomınimo de una palabra no nula en C es

d = n−max|H ∩ P1, . . . , Pn| : H es hiperplano de PG(k − 1, q).

Un ejemplo de un codigo proyectivo es el codigo Simplex S(k, q). En estecaso las columnas de una matriz generadora para S(k, q) considera a todoslos puntos en PG(k − 1, q). En la siguiente seccion construiremos algunossubconjuntos de puntos en el plano proyectivo que dan origen a codigosinteresantes.

2.11.2 Codigos relacionados a conicas

Sea p(x, y, z) un polinomio en tres variables. Decimos que el polinomio pes homogeneo de grado d si todos sus monomios tienen grado d. Si pes homogeneo de grado d y si (x1, y1, z1) es una raız de p, entonces todomultiplo escalar λ(x1, y1, z1), con λ ∈ K tambien lo es. Por lo anteriorpodemos interpretar a las raıces de polinomios homogeneos en tres variablescomo puntos en un plano proyectivo. Al conjunto de dichos puntos se denota(comunmente) por V (p) y se le llama (comunmente) la variedad definidapor p(x, y, z).

En el plano euclideano, una conica es una curva de segundo grado quetiene por ecuacion

ax2 + by2 + c+ 2hxy + 2gx+ 2fy = 0,

30

donde a, b, c, f, g, h son numeros reales. Ejemplos de conicas son los cırculos,elipses, parabolas e hiperbolas. En el Plano Proyectivo la situacion es massimple:

La ecuacion general de una conica en el Plano Proyectivo es:

ax2 + by2 + cz2 + 2hxy + 2gxz + 2fyz = 0.

La variable z se introduce para hacer cada monomio de grado dos (ho-mogeneo). Sean S1 = 0 y S2 = 0 las ecuaciones de dos conicas, entoncesel polinomio S := λS1 +µS2 es homogeneo de grado dos, y la ecuacion S = 0es la ecuacion de una conica. Nota que si P1 es un punto comun a S1 y S2

entonces P1 es un punto de S. Es decir el haz de conicas definido por S1 yS2 descrito por S pasa por los cuatro puntos de interseccion de las conicasbase.

En particular, si S1 = xz = 0 y S2 = y2 = 0 (S1 es un par de lıneas, S2

es una lınea repetida) las conicas del haz son tangentes a las lıneas z = 0 yx = 0 en los puntos de interseccion de estas lıneas con la lınea doble y2 = 0.Supongamos ahora que el punto unitario [1 : 1 : 1] pertenece a S. Entoncesλ+ µ = 0 y entonces S = y2 − xz.

Es decir, si escogemos nuestro triangulo de referencia de manera adecuadala ecuacion general de una conica en el Plano Proyectivo es y2 − xz = 0.Ademas, todo punto en la conica es de la forma [t2 : t : 1], para algunat ∈ Fq. Nota que el punto [1 : 0 : 0] pertenece a la conica.

2.11.3 Conicas sobre campos finitos de orden impar

De los q2 + q + 1 puntos en PG(2, q), con q impar, q + 1 pertenecen a unaconica dada. Las tangentes en esos q + 1 puntos se intersectan por pares

en

(

q + 12

)

puntos externos que son los polos de las

(

q + 12

)

secantes.

Los restantes

(

q2

)

puntos son puntos internos (no pertenecen a ninguna

tangente); sus

(

q2

)

polares son las lıneas externas. Se sigue que cada lınea

externa contiene q + 1 puntos, 12(q + 1) de los cuales son externos (ya que

las dos tangentes a la conica por cada uno cuentan las q + 1 tangentes); los12(q+ 1) puntos restantes son internos. Cada secante contiene dos puntos de

la conica y 12(q + 1) puntos externos (pues las dos tangentes a la conica por

31

cada uno cuentan las tangentes en los q − 1 puntos restantes en la conica);los 1

2(q + 1) puntos restantes son internos. Obtenemos la configuracion con

parametros(

q2

)

1

2(q+1)

formada por los

(

q2

)

puntos internos y las

(

q2

)

rectas externas. Y la

configuracion con parametros(

q + 12

)

1

2(q−1)

formada por los

(

q + 12

)

puntos externos y las

(

q + 12

)

secantes. Ver

[3].Usando los puntos internos y un punto de la conica podemos construir

un codigo con parametros

[C(q, 2) + 1, 3, (q − 1)2/2]q.

Usando los puntos externos y todos los puntos de la conica obtenemos uncodigo con parametros

[C(q + 1, 2) + 1, 3, (q2 − 1)/2]q.

2.11.4 Cota de Griesmer

La imagen de un codigo lineal C ≤ Fnq de dimension k y distancia mınima d

bajo la accion de una matriz diagonal no singular n×n es un codigo C ′ ≤ Fnq

con los mismos parametros que C. Diremos que los codigos C ≤ Fnq y C ′ ≤ Fn

q

son diagonalmente equivalentes si existe una matriz diagonal no singularD ∈ Fn×n

q tal que C ′ = D · C.Tambien diremos que los codigos C y C ′ son equivalentes si uno se

obtiene del otro mediante una permutacion de coordenadas.

Teorema 2.11.1 (Griesmer). Sea C ≤ Fnq un codigo lineal con parametros

[n, k, d]q. Entonces existe un codigo C ′ con parametros [n− d, k − 1, ⌈d/q⌉]qy

n ≥k−1∑

i=0

⌈d/qi⌉

32

Demostracion: Sea x ∈ C una palabra de peso d. Sin perdida de gen-eralidad, podemos suponer que x tiene sus entradas distintas de cero en susprimeras d coordenadas y que estas son todas iguales a 1.

Vamos a construir el codigo residual, C ′, de C respecto de la palabrax. Consideremos el complemento en C del subespacio < x > y proyectemossus vectores en las ultimas n − d coordenadas. Sea C ′ la imagen de dichaproyeccion. Entonce C ′ ∪ 0 tiene longitud n− d y dimension k − 1.

Ahora vamos a calcular la distancia mınima d′ de C ′. Sea y ∈ C unapalabra cuya proyeccion tiene peso i en C ′. Entonces y debe de tener almenos d− i entradas distintas de cero en las primeras d coordenadas, de lascuales al menos (d − i)/(q − 1) tienen la misma entrada. Podemos suponerque esta entrada es igual a 1. Tenemos que 0 6= y − x ∈ C, entonces d ≤peso(y − x) ≤ i+ d− (d−i)

(q−1). Resolviendo para i obtenemos que i ≥ d/q. Por

lo tando d′ ≥ ⌈d/q⌉. Iterando este procedimiento con C ′ obtenemos la Cota

de Griesmer.

2.12 Ejercicios

1. Demuestra que todas las palabras no nulas en el codigo Simplex S(k, q)tienen el mismo peso. Es decir, el codigo Simplex es un codigo de peso

constante.

2. Supon que tienes 17 puntos en PG(3, 4) con la propiedad que cadahiperplano contiene a lo mas 5 de esos puntos. Usando el metodogeometrico, calcula los parametros del codigo asociado a dicho conjuntode puntos.

3. Determina cual es la distancia mınima maxima D que un codigo linealcon parametros [11, 6, D]3 puede tener.

4. Determina cual es la distancia mınima maxima D que un codigo linealcon parametros [14, 3, D]2 puede tener. Demuestra que dicho codigoexiste. (hint: usa el metodo geometrico comenzando con el codigoS(3, 2)).

5. Sea C un codigo lineal con parametros [n, k, d]q y sea x ∈ C una palabra

no nula en C con peso(x)−⌈peso(x)q

⌉ < d. Basiandote en la demostraciondel Teorema 2.11.1 construye el codigo residual Cx de C respecto de

33

x proyectando C en el conjunto de coordenadas nulas de x. Calcula losparametros de Cx como codigo lineal.

6. Demuestra que no puede existir un codigo con parametros [23, 7, 10]2.(sugerencia: construye codigos residuales hasta que llegues a distanciamınima 3. Luego usa la cota de empaquetado por esferas).

2.13 Construcciones recursivas

2.13.1 Proyeccion y acortamiento

Sea C un codigo lineal con parametros [n, k, d]q. Fijemos una coordenada,digamos n. Definimos el codigo

D := (x1, . . . , xn−1)|(x1, . . . , xn−1, 0) ∈ C.

Entonces D tiene parametros [n−1,≥ k−1,≥ d]q: Tenemos, por definicion,que D es un subespacio de C por lo que su distancia mınima es ≥ d. Dehecho, D es el kernel del funcional lineal

T : C −→ Fq

dado por T (x1, . . . , xn−1, xn) := xn. Se sigue que dim(D) ≥ k − 1. Ladimension de D es k cuando C = D, i.e., cuando toda palabra de C tienesu coordenada n igual a cero. Llamaremos al codigo D el acortamiento delcodigo C respecto de la coordenada n.

Podemos tambien definir a partir del codigo C el codigo

D′ := (x1, . . . , xn−1)|(x1, . . . , xn−1, x) ∈ C p.a. x ∈ Fq.

Entonces, si d > 1, D′ tiene parametros [n − 1, k,≥ d − 1]q: La distanciamınima de D′ no puede ser menor a d − 1. Si la dimension de D′ es < kentonces la proyeccion

P (x1, . . . , xn−1, xn) := (x1, . . . , xn−1)

tendrıa un kernel no trivial, lo que implica que d = 1. Al codigo D′ lellamaremos la proyeccion de C en n− 1 de sus coordenadas.

En particular, la existencia de un codigo C con parametros [n, k, d]q im-plica la existencia de codigos con parametros [n−1, k−1, d]q y [n−1, k, d−1]q.

34

2.13.2 Alargamiento

Consideremos el codigo binario C con parametros [n, k, d]2 y supongamos qued es impar. Construimos el codigo C ′ de longitud n + 1

C ′ := x := (x1, . . . , xn, x)|(x1, . . . , xn) ∈ C, peso(x) es par .

Los parametros de C ′ son [n+1, k, d+1]2. A la coordenada n+1 se le llamabit de verificacion de paridad.

Esta idea se puede extender a codigos no binarios: sea C un codigo conparametros [n, k, d]q, definimos el codigo C ′ de longitud n + 1

C ′ := x := (x1, . . . , xn,−n∑

i=1

xi)|(x1, . . . , xn) ∈ C.

Los parametros de C ′ son [n+1, k, d+1]q y se le conoce como el codigo suma

cero (la suma de las coordenadas de sus palabras es cero).

2.13.3 Construccion X

Sean C un codigo con parametros [n, k, d]q, D ≤ C un subcodigo de C conparametros [n, k−k′, d′]q con d′ > d y supongamos que existe un codigo auxi-liar E con parametros [l, k′, δ]q. Entonces existe un codigo C ′ con parametros[n+l, k,min(d+δ, d′)]q. Esta construccion se llama construccion X en [4] yconsiste en alargar C l veces. Describimos el codigo C ′ mediante una matrizgeneradora:

GD 0

GC/D GE

.

Donde GD, GC/D y GE son matrices generadoras para los codigos D,C/D yE respectivamente.

2.13.4 Construccion XX

Sean C un codigo con parametros [n, k, d]q, y Ci ≤ C, i = 1, 2, dos subcodigoscon parametros [n, k−ki, di]q respectivamente. Sea D el peso mınimo de unapalabra en C1∩C2. Supongamos ademas que existen dos codigos auxiliares E1

35

y E2 con parametros [li, ki, δi]q respectivamente. Entonces existe un codigocon parametros

[n+ l1 + l2, k,min(D, d2 + δ1, d1 + δ2, d+ δ1 + δ2)]q.

Dicho codigo se obtiene aplicando la construccion X al par C,C1 usando elcodigo auxiliar E1 para obtener el codigo C ′ con distancia mınima

min(d1, d+ δ1).

Consideremos ahora el subcodigo C ′2 ≤ C ′. Una palabra en C2 − (C1 ∩ C2)

obtiene un alargamiento no trivial en C ′, la palabra correspondiente en C ′

tiene peso ≥ d2 + δ1. Entonces el peso mınimo de C ′2 es ≥ min(D, d2 +

δ1). Aplicando la construccion X al par C ′2 ≤ C ′ con el codigo auxiliar E2

obtenemos un codigo con los parametros buscados.

2.13.5 Encadenamiento

Sea Q = qh. El metodo de encadenamieno construye un codigo E sobreFq de un codigo sobre FQ: Sea C un codigo con parametros [N,K,D]Q.Y supongamos que existe un codigo I con parametros [n, h, d]q. Fijamoscualquier isomorfismo ϕ : FQ −→ I ⊆ Fn

q . Entonces

E := (ϕ(c1)), . . . , ϕ(xN))|(x1, . . . , xN ) ∈ C.

El codigo E tiene parametros

[N · n,K · h,D · d]q.

2.14 Ejercicios

1. Calcula los parametros del codigo lineal que resulta de proyectar elcodigo Reed-Solomon RS(k, q) en las columnas correspondientes a loselementos de F∗

q . Verifica si el codigo resultante es MDS.

2. Calcula los parametros del codigo lineal que resulta al extender cadapalabra del codigo Reed-Solomon RS(k, q) en una coordenada, dondeesta coordenada se define como el coeficiente de xk−1 del polinomioasociado a la palabra. Compara el codigo extendido RS(3, q) con elcodigo geometrico que resulta de usar todos los puntos de la conicay2 − xz = 0 sobre Fq.

36

Capıtulo 3

Codigos cıclicos

Decimos que dos codigos son equivalentes si uno se puede obtener del otromediante una permutacion de sus coordenadas. Un automorfismo de uncodigo C es una permutacion de las coordenadas de C que deja fijo a C.El conjunto de todos los automorfismos de C es un grupo bajo la operacioncomposicion. Denotaremos a dicho grupo por Aut(C).

En esta parte del curso describiremos la construccion de codigos cıclicoslineales. Dichos codigos tienen como caracterıstica principal un grupo deautomorfismos no trivial.

3.1 Codigos cıclicos

Sea C ≤ Fnq un codigo lineal. Decimos que C es un codigo cıclico si

(c0, c1, . . . , cn−1) ∈ C si y solo si (cn−1, c0, c1, . . . , cn−2) ∈ C.

Es decir, la permutacion σ := (0, 1, 2, . . . , n − 2, n − 1) es un automorfismode C.

Es conveniente identificar a los elementos de Fnq con los polinomios del

anillo cociente R := Fq[x]/(xn − 1):

(c0, c1, . . . , cn−1) −→ c(x) := c0 + c1x+ · · · + cn−1xn−1.

Esta identificacion es util por lo siguiente:

(cn−1, c0, c1, . . . , cn−2) −→ cn−1+c0x+c1x2+· · ·+cn−2x

n−1 ≡ xc(x) mod xn−1

37

Con esta identificacion hablaremos indistintamente de la palabra c ∈ C ode la palabra c(x) ∈ C. Tambien diremos que C es un subconjunto depolinomios del anillo R.

Si C es un codigo cıclico tenemos que xic(x) mod xn − 1 ∈ C para todai ≥ 0. Si a(x) ∈ R, se sigue por linealidad que a(x)c(x) ∈ C. Esto ultimonos dice que C es un ideal de R. Por otro lado, si C es un ideal de R entoncesxic(x) mod xn−1 ∈ C para toda i ≥ 0, por lo que C es un codigo cıclico. Esdecir, existe una correspondencia uno a uno entre los codigos cıclicos linealesy los ideales de R.

El anillo R es un anillo de ideales principales, es decir, todo ideal C estagenerado por un unico elemento g(x), escribimos

C =< g(x) >:= a(x)g(x)|a(x) ∈ R.

Es decir, el ideal C consta de todos los multiplos de g(x) en R. El polinomiog(x) queda determinado de manera unica como el polinomio monico de gradomenor en C. Llamaremos al polinomio g(x) el polinomio generador de C.

Como d(x) := MCD(g(x), xn − 1) ∈ C es un polinomio de grado menorque grado de g(x), tenemos que g(x) = d(x) es un divisor del polinomioxn − 1, es decir

xn − 1 = g(x)h(x).

En particular, sig(x) = g0 + g1x+ · · ·+ gn−kx

n−k

yh(x) = h0 + h1x+ · · · + hkx

k,

entonces g0h0 = −1 y gn−khk = 1 (pues g(x)h(x) = xn − 1), lo que implicaque g0, gn−k, h0, hk 6= 0.

Llamaremos a h(x) el polinomio de verificacion de C. Este nom-bre tiene sentido por lo siguiente: supongamos que a(x) ∈ R es tal quea(x)h(x) ≡ 0 mod xn − 1, es decir a(x)h(x) = p(x)(xn − 1) = p(x)g(x)h(x)por lo que h(x)(a(x) − p(x)g(x)) = 0 como h(x) 6≡ 0 mod xn − 1 tenemosque a(x) ≡ p(x)g(x) mod xn − 1, es decir a(x) ∈ C. Entonces

C = c(x) ∈ C|c(x)h(x) ≡ 0 mod xn − 1.

Convencion: Solo consideraremos el caso en que xn − 1 no tiene factoresrepetidos. Por lo cual supondremos de ahora en adelante que MCD(n, q) =1.

38

Una base para el codigo cıclico C =< g(x) > es g(x), xg(x), . . . , xk−1g(x).Es decir C es un codigo lineal de longitud n y dimension k. Calcularemosuna cota inferior para la distancia mınima mas adelante.

Para codificar un mensaje m(x) = m0+m1x+· · ·+mk−1xk−1 simplemente

hacemos la multiplicacion m(x)g(x) mod xn − 1. Si recibimos un mensajer(x), podemos verificar si dicho mensaje pertenece a C calculando el residuomodulo g(x); si dicho residuo es cero, entonces r(x) pertenece a C. En casocontrario concluimos que hubo errores en la transmision.

3.2 Codificacion sistematica

Sea C un codigo cıclico con generador g(x). El mensaje que queremos codi-ficar es m := (m0, . . . , mk−1). A dicho mensaje le asociamos el polinomio

m(x) := m0 +m1x+ · · ·+mk−1xk−1.

Una manera conveniente de codificar mensajes es la siguiente: Multiplicamosm(x) por xn−k y dividimos entre g(x) para obtener

xn−km(x) = q(x)g(x) + p(x).

De donde se sigue que el polinomio c(x) := xn−k+1m(x)−p(x) es un multiplode g(x) y tiene grado n − 1. Este polinomio es la palabra del codigo queasociamos al mensaje m. Notemos que

c(x) = xn−km(x) − p(x)

= −(p0 + p1x+ · · ·+ pn−k−1xn−k−1) +m0x

n−k + · · ·+mk−1xn−1.

Por lo que al recibir una palabra de C podemos recuperar (decodificar) elmensaje enviado m(x) fijandonos en las ultimas k coordenadas de la palabrarecibida. A este tipo de codificacion, donde el mensaje original aparece en lapalabra, se le llama codificacion sistematica.

3.3 Decodificacion

Supongamos que recibimos la palabra r(x). Dividiendo entre el polinomiogenerador g(x) tenemos

r(x) = q(x)g(x) + s(x)

39

donde

g(x) = g0 + g1x+ g2x2 + · · · + gn−k−1x

n−k−1 + gn−kxn−k

ys(x) = s0 + s1x+ s2x

2 + · · ·+ sn−k−1xn−k−1

es el residuo. Notemos que r(x) es una palabra del codigo si y solo si s(x) = 0.Llamaremos a s(x) el sındrome de r(x).

Como r(x) = c(x) + e(x) y r(x) = q(x)g(x) + s(x) tenemos que

e(x) = q(x)g(x) + s(x) − c(x)

= q(x)g(x) + s(x) − q′(x)g(x)

= (q(x) − q′(x))g(x) + s(x)

Por lo que s(x) es el residuo que se obtiene al dividir e(x) entre g(x).

3.4 Ejemplos

Sea q = 3 y n = 7. Entonces

x7 − 1 = (x− 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1).

Entonces los unicos codigos cıclicos de longitud 7 sobre Z3 son

(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), < x− 1 >,< x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1 > y Z73.

El primero corresponde al polinomio g(x) = 0 = x7 − 1, el segundo es elcodigo suma cero, el tercero es el codigo de repeticion, y Z7

3 corresponde alpolinomio g(x) = 1.

Consideremos ahora el caso n = 8. Tenemos que

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x2 + x− 1)(x2 − x− 1).

Por lo que hay 25 = 32 codigos cıclicos de longitud 8 sobre Z3. Por ejemplo,consideremos el generado por g(x) = x2 + x − 1. El codigo C =< g(x) >

40

tiene longitud 8 y dimension 6. Calculemos una base para C:

x2 = (1)g(x) + (−x+ 1) g(x) 7→ (2, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0)x3 = (x− 1)g(x) + (2x+ 2) x3 − (2x+ 2) 7→ (1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0)x4 = (x2 − x− 1)g(x) + (2) x4 − (2) 7→ (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0)x5 = (x3 − x2 − 1)g(x) + (2x) x5 − (2x) 7→ (0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0)x6 = (x4 − x3 − x2 − 1)g(x) + (x− 1) x6 − (x− 1) 7→ (2, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0)x7 = (x5 − x4 − x3 − x2 + 1)g(x) + (x+ 1) x7 − (x+ 1) 7→ (2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1)

(3.1)Por lo que una matriz generadora para C es

G =

2 1 1 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 02 2 0 0 0 0 1 02 2 0 0 0 0 0 1

Supongamos que queremos enviar el mensaje m = (0, 1, 2, 2, 0, 2) 7→ m(x) =x+2x2 +2x3 +2x5. Para codificarlo primero multiplicamos x2m(x) y dividi-mos entre x2 + x− 1:

x2m(x) = (2x5 + x4 + x+ 2)g(x) + (2x+ 2).

Entonces

c(x) = x2m(x) − (2x+ 2) = 1 + x+ x3 + 2x4 + 2x5 + 2x7.

La palabra asociada es entonces c := (1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 2). El receptor, alrecibir la palabra r = (1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2), le asocia el polinomio 1 + x+ x3 +2x4 + 2x5 + +x6 + 2x7 y divide entre x2 + x− 1:

1+x+x3+2x4+2x5+x6+2x7 = (2x5+2x4+2x3+2x2+x+1)g(x)+(x−1).

Y fijandose en la tabla 3.1 se da cuenta que x6 tiene el mismo sındromeque r(x) por lo que debio de ocurrir un error de transmision en la septimacoordenada. Concluye que esta debe de ser igual a cero.

41

3.5 Ceros de un codigo cıclico

Recordemos la hipotesis MCD(n, q) = 1. Esto quire decir que el polinomioxn − 1 no tiene factores repetidos, es decir, es separable sobre Fq. Por otrolado sus raıces son las raıces n-esimas de la unidad. Tenemos que

xn − 1 =n−1∏

i=0

(x− βi)

con β una raız primitiva de la unidad en alguna cerradura algebraica deFq. Sea C un codigo cıclico de longitud n con polinomio generador g(x) degrado n−k. Recordemos que g(x)|(xn−1). Supongamos que α1, α2, . . . , αn−k

son todas las raıces de g(x) en alguna cerradura algebraica de Fq. Al ser βuna raiz primitiva de la unidad, tenemos que para i = 1, . . . , n− k

αi = βj p. a. j ∈ 0, 1, . . . , n− 1.

Capturamos estas potencias j de β en el conjunto

D(β) := 0 ≤ j ≤ n− 1|g(βj) = 0.

Al conjunto D(β) se le llama conjunto completo de definicion para C,tiene cardinalidad n− k y depende del elemento β.

Supongamos ahora que D(β) = δ1, δ2, . . . , δn−k. Y sea c ∈ C =<g(x) >, digamos c = (c0, c1, . . . , cn−1). Tenemos que

c · (1, βδj , β2δj , . . . , β(n−1)δj ) =

n−1∑

i=0

ciβiδj = 0

para j = 1, . . . , n− k. Por lo que la matriz

H :=

1 βδ1 β2δ1 . . . β(n−1)δ1

1 βδ2 β2δ2 . . . β(n−1)δ2

. . . .

. . . .

. . . .1 βδn−k β2δn−k . . . β(n−1)δn−k

es una matriz de verificacion para el codigo C.

42

3.5.1 Codigos BCH

En [2] y en [6] se propone lo siguiente: si β es una raiz primitiva de launidad sobre Fq, entonces el codigo cıclico que consiste de los polinomiosc(x) ∈ Fq[x]/(x

n − 1) que tienen las (d − 1) raices βl, βl+1, . . . , βl+d−2 tienedistancia mınima ≥ d. Para ver esto escribimos la matriz de verificacion Hcomo en la seccion anterior

H :=

1 βl β2l . . . β(n−1)l

1 βl+1 β2(l+1) . . . β(n−1)(l+1)

. . . .

. . . .

. . . .1 βl+d−2 β2(l+d−2) . . . β(n−1)(l+d−2)

y consideremos cualesquier conjunto de d − 1 columnas de H para formaruna submatriz (d − 1) × (d − 1) H ′ de H . Digamos que βi1l, βi2l, . . . , βid−1l

son los elementos del primer renglon de H ′. Es decir

H ′ :=

βi1l βi2l βi3l . . . βid−1l

βi1(l+1) βi2(l+1) βi3(l+1) . . . βid−1(l+1)

. . . .

. . . .

. . . .βi1(l+d−2) βi2(l+d−2) βi3(l+d−2) . . . βid−1(l+d−2)

.

Tenemos que el determinante de H ′ es

det(H ′) = β(ii+i2+···+id−1)l∏

r>s

(βir − βis) 6= 0

pues β es raiz primitiva de la unidad. Esto ultimo quiere decir que cualesquierconjunto de d− 1 columnas de H es linealmente independiente y como

c ·HT = 0

para toda c ∈ C, vemos que peso(c) ≥ d.Un codigo cıclico de longitud n sobre Fq se le llama codigo BCH si

consiste de todos los polinomios en Fq[x]/(xn − 1) que tienen las (d − 1)

raices βl, βl+1, . . . , βl+d−2, donce β es una raiz primitiva de la unidad. Tienedistancia mınima ≥ d. Nota que dicho codigo es generado por el polinomiomınimo comun multiplo de los polinomios de las raices βl, βl+1, . . . , βl+d−2

en Fq[x]. En el caso l = 1 se dice que C es un codigo BCH en sentido

estricto.

43

3.6 El idempotente de un codigo cıclico

Recordemos la hipotesis que hicimos respecto del polinomio xn − 1: no tienefactores repetidos. Si g(x) es un divisor de xn − 1 entoces existe h(x) tal quexn − 1 = g(x)h(x). Como xn − 1 no tiene factores repetidos, los polinomiosg(x) y h(x) no tienen ningun factor en comun, por lo que existen polinomiosa(x), b(x) ∈ Fq[x] tales que

a(x)g(x) + b(x)h(x) = 1

de donde1 − b(x)h(x) = a(x)g(x).

Esto ultimo implica que i(x) := 1 − b(x)h(x) pertenece al codigo cıclico Cgenerado por g(x). Pero eso no es todo: si p(x)g(x) ∈ C tenemos que

i(x)p(x)g(x) = (1 − b(x)h(x))p(x)g(x) = p(x)g(x) − b(x)h(x)p(x)g(x)

≡ p(x)g(x) mod xn − 1.

Entonces i(x) es una identidad para el codigo C, y por lo tanto es unico.En particular

i2(x) = i(x) (3.2)

por lo que i(x) se le llama el idempotente de C.Como cada palabra c(x) ∈ C se puede escribir como c(x)i(x) vemos que

i(x) es un generador para C.Notemos que, por 3.2, si el termino xa aparece en el polinomio i(x),

entonces tambien aparece el termino x2a en i(x).

3.7 Ejercicios

1. Describe todos los codigos cıclicos de longitud 7 sobre F2.

2. Sea C un codigo cıclico de longitud n sobre Fq. Demuestra que lapermutacion de coordenadas i 7→ iq mod n es un automorfismo de C.

3. Sea C un codigo cıclico de longitud n y distancia mınima d > 2 sobreFq, supongamos que recibimos la palabra r(x) y que ocurrieron ≤ e =⌊d−1

2⌋ errores de transmision. Demuestra que si s(x) es el sındrome

de r(x), entonces xis(x) es el sındrome de xir(x). (hint: si r(x) =r0 + r1x+ · · · + rn−1x

n−1 entonces xr(x) = xr(x) − rn−1(xn − 1)).

44

4. (Cota BCH:) Sea β una raiz n-esima primitiva de la unidad sobre Fq.Supon que C es un codigo cıclico de longitud n sobre Fq con conjuntode definicion D(β) y que D(β) contiene un subconjunto de d−1 enterosconsecutivos. Demuestra que C tiene distancia mınima ≥ d.

5. Sea C el codigo que se obtiene del codigo de Reed-Solomon RS(k, q)al proyectar sobre las columnas correspondientes a los elementos deF∗

q := Fq −0. Demuestra que C es un codigo BCH de longitud q− 1.

6. Construye un codigo BCH de longitud 8 sobre F3 con distancia mınima≥ 3.

45

Capıtulo 4

Campos de Funciones

Algebraicos

En este capıtulo introducimos los conceptos basicos que nos permitiran estu-diar curvas algebraicas sobre campos finitos y construir codigos correctores deerrores basados en estas. Uno puede buscar en la literatura disponible (bas-tante amplia) y darse cuenta que en la gran mayorıa de los textos se hacereferencia a resultados profundos de geometrıa algebraica. En este capıtuloresumiremos los resultados necesarios de la teorıa de campos de funcionesque nos permitiran definir y estudiar los codigos de Goppa. Seguiremos lasexposiciones de [12], [10], [11], [9], [13], [7] y de [8].

4.1 Lugares y Valoraciones

En general un campo de funciones algebraico F sobre un campo Kes una extension algebraica finita del campo de funciones racionales K(x).Es decir, F = K(x, y) donde y es un elemento algebraico sobre K(x). Enotras palabras, existe un polinomio irreducible ϕ con coeficientes en K(x)(i.e. ϕ ∈ K(x)[T ]) tal que ϕ(y) = 0. A dicho campo de funciones F lodenotaremos por F/K.

El conjunto de elementos algebraicos sobre K

K := z ∈ F |z es algebraico sobre K

es un subcampo de F . Decimos que K es algebraicamente cerrado en F siK = K. A los elementos de K les llamaremos constantes. Por otro lado

46

z ∈ F es trascendente si y solo si [F : K(z)] < ∞ pues K(z) es isomorfo aK(x).

En un campo de funciones F/K no tenemos la nocion de elemento ir-reducible como en el caso de el campo de funciones racionales K(x). Paracontrarrestar esto generalizaremos el concepto de lugar.

Definicion 4.1.1. Un anillo de valoracion de F/K es un anillo O ⊆ Ftal que

1. K & O & F , y

2. para cualquier z ∈ F , z ∈ O o z−1 ∈ O.

Proposicion 4.1.1. Sea O un anillo de valoracion de F/K. Entonces

1. O es un anillo local, es decir O tiene un unico ideal maximal

P = O\O∗

donde O∗ es el grupo de unidades de O.

2. Para x ∈ F\0, x ∈ P sii x−1 6∈ O.

3. K j O y K ∩ P = 0.

Demostracion. (1) En general, un ideal maximal M de un anillo R nopuede contener unidades. Entonces es suficiente demostrar que P es un idealdel anillo O. Sean x, y ∈ P , z ∈ O. Tenemos que demostrar que zx ∈ Py que x + y ∈ P . Ahora bien, zx ∈ O, y si zx ∈ O∗ entonces exitirıa unelemento t ∈ O tal que zxt = 1 lo cual implicarıa que x es una unidad. Estoultimo es una contradiccion pues x ∈ P , por lo que zx ∈ P .

Por otro lado x + y = x(1 + yx). Sin perdida de generalidad, podemos

suponer que yx∈ O. Entonces el elemento x(1+ y

x) ∈ P , y la parte (1) queda

demostrada.(2) Si x ∈ P entonces x no es una unidad de O, es decir, x−1 6∈ O. Si

x−1 6∈ O entonces x ∈ O y x no es una unidad de O lo cual implica quex ∈ P .

(3) Sea z ∈ K y supongamos que z 6∈ O. Entonces, por definicion de O,z−1 ∈ O, y por lo tanto K[z−1] ⊆ O. Ahora bien, z−1 es algebraico. Tenemosque existen elementos a1, ..., ar ∈ K tales que ar(z

−1)r+· · ·+1 = 0. Entonces

47

z−1(ar(z−1)r + · · ·+a1) = −1 y asi z = −(ar(z

−1)r + · · ·+a1) ∈ K[z−1] ∈ O.Como P no contiene unidades, se sigue que K ∩ P = 0.

Un hecho interesante es el siguiente: sea O un anillo de valoracion deF/K, sea P su ideal maximal y sea x ∈ P , x 6= 0. Construimos la secuenciax1 = x, xi ∈ xi+1P , para i = 1, . . . , n, con n un entero positivo. El conjuntox1, . . . , xn es un conjunto linealmente independiente sobre K(x). Comox ∈ P , x no es algebraico sobre K, y entonces [F : K(x)] <∞, por lo que lalongitud de cualquier secuencia ası construida estara acotada por [F : K(x)].Supongamos entonces que existe una combinacion lineal no trivial de las xi

tal quen∑

i=1

ϕixi = 0 (4.1)

con ϕi ∈ K(x). De entrada, podemos suponer que las ϕi son polinomios enx con coeficientes en K (si es necesario multiplicamos la ecuacion 4.1 por elmınimo comun multiplo de los denominadores de las ϕi) y que x no dividea todas las ϕi (si es necesario dividimos la ecuacion 4.1 entre xm). De aquıque las ϕi son elementos del anillo O. Sea ai := ϕi(0), el termino constantede ϕi, y sea j ∈ 1, . . . , n tal que aj 6= 0 pero ai = 0 para toda i > j. De laecuacion 4.1 obtenemos

−ϕjxj =∑

i6=j

ϕixi. (4.2)

Separamos el lado derecho de 4.2 en dos sumandos: ϕi es multiplo de xpara i > j, i.e. ϕi = xgi, gi ∈ K[x], y dividiendo 4.2 por xj obtenemos

−ϕj =∑

i<j

ϕi ·xi

xj+∑

i>j

x

xj· gixi.

Todos los sumandos del lado derecho pertenecen a P : de hecho para i < jxi ∈ xjP por lo que xi

xj∈ P y x

xj∈ P . Entonces ϕj ∈ P . Por otro lado

ϕj = aj + xgj , con gj ∈ K[x] ⊆ O, 0 6= aj ∈ K y x ∈ P por lo queaj = ϕj − xgj ∈ P ∩K = 0, y como aj 6= 0 contradecimos la parte (3) dela Proposicion anterior. Resumimos este resultado en el siguiente Lema.

Lema 4.1.1. Sea O un anillo de valoracion de F/K, P su ideal maximaly 0 6= x ∈ P . Sean x1, . . . , xn ∈ P tales que x1 = x, xi ∈ xi+1P parai = 1, . . . , n− 1. Entonces tenemos que n ≤ [F : K(x)] <∞.

Teorema 4.1.1. Sea O un anillo de valoracion de F/K, P su ideal maximal.Entonces

48

1. P es un ideal principal.

2. si P = tO entonces toda 0 6= z ∈ F tiene una representacion unica dela forma z = tnu para alguna n ∈ Z, y u ∈ O∗.

3. O es un dominio de ideales principales. De manera mas precisa, siP = tO y 0 6= I ⊆ O es un ideal entonces I = tnO para algunan ∈ N.

Demostracion: 1) Supongamos que P no es principal. Sea x1 ∈ P , comoP 6= x1O existe x2 ∈ P − x1O. Tenemos que, como x−1

1 6∈ O y x2 6∈ x1O,x2x

−11 6∈ O. Entonces x−1

2 x1 ∈ P . Se sigue que x1 ∈ x2P . Por induccion,podemos construir una sucesion infinita x1, x2, . . . con la propiedad de quexi ∈ xi+1P para toda i ≥ 1 contradiciendo el Lema 4.1.1.

2) Sea P = tO. La unicidad de la representacion z = tnu con u ∈ O esinmediata: si z = tnu′ entonces u = u′.

Sea z ∈ F . Entonces z ∈ O o z−1 ∈ O. Supongamos sin perdida degeneralidad que z ∈ O. Si z ∈ O∗ entonces z = t0z. Supongamos que z ∈ P .Entonces existe un entero maximal m ≥ 1 tal que x ∈ tmO, pues la secuenciax1 = z, x2 = tm−1, . . . , xm = t esta acotada por el Lema 4.1.1: z ∈ tm−1P ,etc. Escribimos z = tmu con u ∈ O. Si u ∈ P entonces u es multiplo de t yz = tm+1h con h ∈ O contradiciendo la maximalidad de m.

3) Sea 0 6= I ⊂ O un ideal. Sea A := r ∈ N|tr ∈ I. Notemos primeroque si 0 6= x ∈ I entonces x = tru con u ∈ O∗ y tr = xu−1 ∈ I. Por lo queA no es vacio. Sea n := min(A). Claramente I ⊇ tnO y si x ∈ I entoncesx = tsu con u ∈ O∗ y s ≥ n. Sea s = n+ r, entonces x = tnts−ru ∈ tnO.

Definicion 4.1.2. Un anillo O de un campo de funciones F/K con laspropiedades del Teorema anterior se le llama anillo de valoracion disc-

reta.

Definicion 4.1.3. 1. Un lugar de un campo de funciones F/K es el idealmaximal de un anillo de valoracion O de F/K. Todo elemento t ∈ P talque P = tO es llamado, dependiendo del contexto, elemento primo,parametro local o variable de uniformizacion.

2. PF := P |P es un lugar de F/K.

Un lugar P determina a O de manera unica:

O = z ∈ F |z−1 6∈ P.

49

Diremos entonces que OP := O es el anillo de valoracion del lugar P .Otra descripcion de los lugares de un campo de funciones se puede obtener

en terminos de valoraciones discretas:

Definicion 4.1.4. Una valoracion discreta de F/K es una funcion

v : F → Z ∪ ∞

con las siguientes propiedades:

1. v(x) = ∞ si y solo si x = 0.

2. v(xy) = v(x) + v(y) para toda x, y ∈ F .

3. v(x+ y) ≥ minv(x), v(y).

4. Existe un elemento z ∈ F tal que v(z) = 1.

5. v(a) = 0 para toda a ∈ K.

En este contexto ∞ + ∞ = ∞ + n = n + ∞ = ∞ y ∞ > m para todan,m ∈ Z.

La funcion v es sobre: dada m ∈ Z buscamos una z ∈ F con v(z) = 1 yentonces v(zm) = m. La propiedad 3 es conocida en este contexto como ladesigualdad del triangulo.

Lema 4.1.2 (Desigualdad del triangulo estricta). Sea v una valoracion dis-creta de F/K, y x, y ∈ F con v(x) 6= v(y). Entonces v(x+y) = minv(x), v(y).

Demostracion: Podemos suponer que v(x) < v(y). Supongamos quev(x+ y) 6= minv(x), v(y), en particular v(x+ y) > v(x) = v((x+ y)− y) ≥minv(x + y), v(y) > v(x) (pues v(−y) = v(−1) + v(y) = 0 + v(y)), unacontradiccion.

A cada lugar P ∈ PF asociamos una valoracion discreta

vP : F → Z ∪ ∞

de F/K: sea t un parametro local de P . Entonces toda funcion 0 6= z ∈ Ftiene una representacion unica de la forma z = tnu con u ∈ O∗

P y n ∈ Z.Definimos vP (z) := n y vP (0) := ∞.

Esta definicion depende de P y no del parametro local t: si P := sOentonces t = sw para alguna w ∈ O∗

P . Entonces tnu = snwnu = sn(wnu) conwnu ∈ O∗

P .

50

Teorema 4.1.2. Sea F/K un campo de funciones.

1. para P ∈ PF , la funcion vP definida arriba es una valoracion discretade F/K. Ademas, tenemos que

OP = z ∈ F |vP (z) ≥ 0,

O∗P = z ∈ F |vP (z) = 0,

P = z ∈ F |vP (z) > 0.

Un elemento x ∈ F es elemento primo de P si y solo si vP (x) = 1.

2. Recıprocamente, supongamos que v es una valoracion discreta de F/K.Entonces el conjunto P := z ∈ F |vP (z) > 0 es un lugar de F/K, yOP = z ∈ F |vP (z) ≥ 0 es el anillo de valoracion correspondiente.

3. Todo anillo de valoracion O de F/K es un subanillo maximal de F .

Demostracion: 1) Obviamente vP (x) = ∞ si y solo si x = 0. Sean tun parametro local para P y x, y ∈ F , entonces vP (xy) = vP (tnutmw) =vP (tn+m(uw)) = n +m = vP (x) + vP (y) con u, w ∈ O∗. Tambien vP (t) = 1.Si a ∈ K entonces vP (a) = 0. Ahora bien, vP (x + y) = vP (tnu + tmw).Supongamos que n ≤ m <∞, entonces vP (tnu+tmw) = vP (tn(u+tm−nw)) =vP (tnz) con z ∈ OP . Si z = 0 entonces vP (tnz) = ∞ > n, de otra maneratendrıamos que z = tku1 de donde vP (tnz) = n+k ≥ n = minvP (x), vP (y).

2) El ideal P es el unico ideal maximal de el anillo de valoracion OP .3) Sean O un anillo de valoracion de F/K, P su ideal maximal, vP la

valoracion asociada a P y z ∈ F\O. Demostraremos que F = O[z]. Seay ∈ F una funcion arbitraria; entonces vP (yz−k) ≥ 0 para un entero k ≥ 0suficientemente grande (notemos que vP (z−1) ≥ 0 ya que z 6∈ O). Se sigueque w := yz−k ∈ O y y = wzk ∈ O[z].

Sea P un lugar de F/K y OP su anillo de valoracion. Como P es unideal maximal, el anillo cociente OP/P es un campo. Llamaremos el campo

residual de P al campoFP := OP/P.

Al mapeo x 7→ x(P ) de F en FP

⋃

∞ le llamaremos el mapeo de clases

residuo con respecto a P . Tambien usaremos la notacion x + P := x(P )para x ∈ OP . Extendemos el mapeo a todo F : dada x ∈ F\OP definimosx(P ) := ∞.

51

En particular, por la Proposicion 4.1.1 el campo de constantes K quedainmerso en el campo residual FP . Esto ultimo es importante, pues en casode existir un lugar P de grado 1 tendrıamos que K = K.

El grado de un lugar P se define como

grado(P ) := [FP : K].

Proposicion 4.1.2. Si P es un lugar de F/K y 0 6= x ∈ P entonces

grado(P ) ≤ [F : K(x)] <∞.

Demostracion. Ya demostramos que [F : K(x)] < ∞. Entonces es su-ficiente demostrar que cualesquiera elementos z1, . . . , zn ∈ OP , cuyas clasesresiduo z1(P ), . . . , zn(P ) ∈ FP sean linealmenten independientes sobre K,son linealmenten independientes sobre K(x). Supongamos pues que existeuna combinacion lineal no trivial de la forma

n∑

i=1

ϕizi = 0 (4.3)

con ϕi ∈ K(x). Sin perdida de generalidad, podemos suponer que las ϕi

son polinomios en x y que x no divide a todas las ϕi, i.e. ϕi = ai + xgi

con ai ∈ K, gi ∈ K[x], y no todas las ai = 0. Como x ∈ P y gi ∈ OP ,ϕi(P ) = ai(P ) = ai. Calculando 4.3 modulo P obtenemos

0 = 0(P ) =

n∑

i=1

ϕi(P )zi(P ) =

n∑

i=1

aizi(P ).

Esto contradice la independencia lineal de las z1(P ), . . . , zn(P ) sobre K.Sea z ∈ F y P ∈ PF . Diremos que P es un cero de z si y solo si vP (z) > 0;

que P es un polo de z si y solo si vP (z) < 0. Si vP (z) = m > 0, diremos queP es un cero de orden m de z y si vP (z) = −m < 0 entonces diremos queP es un polo de z de orden m.

Teorema 4.1.3 (Existencia de lugares). Sea F/K un campo de funciones yR un subanillo de F tal que K ⊆ R ⊆ F . Supongamos que 0 6= I $ Res un ideal propio de R. Entonces existe un lugar P ∈ PF tal que I ⊆ P yR ⊆ OP .

52

Demostracion. Consideremos el siguiente conjunto

F := S|S es subanillo de F con R ⊆ S and IS 6= S.

(Por definicion, IS es el conjunto de sumas finitas de la forma∑

aνsν conaν ∈ I, sν ∈ S ; IS es un ideal de S.) F es no vacio pues R ∈ F , y Festa ordenado de manera inductiva por inclusion. De hecho, si H ⊆ F es unsubconjunto totalmente ordenado de F entonces T :=

⋃

S|S ∈ H es unsubanillo de F con R ⊆ T . Tenemos que verificar que IT 6= T . Supongamosque no es cierto, entonces 1 =

∑nν=1 aνsν con aν ∈ I, sν ∈ T . Como H es

un conjunto totalmente ordenado existe S0 ∈ H tal que s1, . . . , sn ∈ S0, yentonces 1 =

∑nν=1 aν , lo cual es una contradiccion.

Por el Lema de Zorn F contiene un elemento maximal i.e. existe un anilloO ⊆ F tal que R ⊆ O ⊆ F , IO 6= O, y O es maximal con respecto a esaspropiedades. Queremos demostrar que O es anillo de valoracion de F/K.

Como I 6= 0 e IO 6= O tenemos que O & F and I ⊆ O\O∗. Supongaseque existe un elemento z ∈ F con z 6∈ O y z−1 6∈ O. Entonces IO[z] = O[z]e IO[z−1] = O[z−1], y podemos encontrar a0, . . . , an, b0, . . . , bm ∈ IO con

1 = a0 + a1z + · · ·+ anzn and (4.4)

1 = b0 + b1z−1 + · · · + anz

−m. (4.5)

Claramente n ≥ 1 y m ≥ 1. Podemos suponer que m,n en 4.4 y 4.5 seescogen minimales y m ≤ n. Multiplicando 4.4 por 1 − b0 y 4.5 por anz

n

obtenemos

1 − b0 = (1 − b0)a0 + (1 − b0)a1z + · · · + (1 − b0)anzn, y

0 = (b0 − 1)anzn + b1anz

n−1 + · · ·+ bmz−m.

Sumando estas ecuaciones obtenemos que 1 = c0 + c1z + · · · + cn−1zn−1

con coeficientes ci ∈ IO. Esto es una contradiccion a la minimalidad de nen 4.4 . Hemos probado que z ∈ O o z−1 ∈ O para toda z ∈ F , por lo tantoO es anillo de valoracion de F/K.

Corolario 4.1.1. Sea F/K un campo de funciones, z ∈ F trascendente sobreK. Entonces z tiene al menos un cero y un polo. En particular PF 6= ∅.

Demostracion. Consideremos el anillo R = K[z] y el ideal I = zK[z]. ElTeorema anterior asegura la existencia de un lugar P ∈ PF con z ∈ P , porlo tanto P es un cero de z. El mismo argumento demuestra que z−1 tiene uncero Q ∈ PF . Entonces Q es un polo de z.

53

4.2 El teorema de aproximacion debil

Teorema 4.2.1 (Teorema de aproximacion debil). Sean F/K un campo defunciones, P1, . . . , Pn ∈ PF lugares de F/K distintos dos a dos, x1, . . . , xn ∈F y r1, . . . , rn ∈ Z. Entonces existe una funcion x ∈ F tal que

vPi(x− xi) = ri for i = 1, . . . , n.

Demostracion. Sea vi := vPi. La demostracion se divide en tres pasos:

Paso 1. Existe u ∈ F con v1(u) > 0 y vi(u) < 0 para i = 2, . . . , n.La demostracion del paso 1 es por induccion sobre n. Para n = 2 observa-

mos que OP1* OP2

y vice versa pues los anillos de valoracion son subanillosmaximales propios de F , cf. Teorema 4.1.2. Por lo tanto podemos encontrary1 ∈ OP1

\OP2y y2 ∈ OP2

\OP1. Entonces v1(y1) ≥ 0, v2(y1) < 0, v2(y2) ≥ 0.

La funcion u := y1/y2 es tal que v1(u) ≥ 0 and v2(u) < 0 como querıamos.Para n > 2 tenemos, por hipotesis de induccion, un elemento y ∈ F

con v1(y) > 0, v2(y) < 0, . . . , vn−1(y) < 0. Si por el contrario sucede quevn(y) ≥ 0 escogemos z con v1(z) > 0 y vn(z) ≥ 0 y hacemos u := y+zr. Aquır ≥ 1 se escoge de tal manera que rvi(z) 6= vi(y) para i = 1, . . . , n − 1. Sesigue que v1(u) ≥ minv1(y), r ·v1(z) > 0 y vi(u) ≥ minvi(y), r ·vi(z) < 0para i = 2, . . . , n. Esto demuestra el paso 1.

Paso 2. Existe una funcion w ∈ F tal que v1(w − 1) > r1 y vi(w) > ri

para i = 2, . . . , n.Para demostrar el paso 2, escogemos u ∈ F como en el paso 1 y hacemos

w := (1 + us)−1. Tenemos que, para una s ∈ N suficientemente grande,v1(w − 1) = v1(−u

s(1 + us)−1) = sv1(u) > r1 y vi(w) = −vi(1 + us) =−s · vi(u) > ri para i = 2, . . . , n.

Paso 3. Dadas y1, . . . , yn ∈ F existe un elemento z ∈ F con vi(z−yi) > ri

para i = 1, . . . , n. Escogiendo s ∈ Z tal que vi(yj) ≥ s para todas i, j ∈1, . . . , n. Por el paso 2 (aplicado n veces) existen w1, . . . , wn ∈ F con

vi(wi − 1)) > ri − s and vi(wj) > ri − s for j 6= i.

Entonces la funcion z :=∑n

j=1 yjwj es la buscada.Procederemos a demostrar el Teorema. Por el Paso 3 podemos encontrar

z ∈ F con vi(z−xi) > ri, i = 1, . . . , n. Escogemos funciones zi con vi(zi) = ri.

54

De nuevo por el Paso 3 existe z′ ∈ F con vi(z′ − zi) > ri para i = 1, . . . , n.

Se sigue que

vi(z′) = vi((z

′ − zi) + zi) = minvi(z′ − zi), vi(zi) = ri.

Sea x := z + z′. Entonces

vi(x− xi) = vi((z − xi) + z′) = minvi(z − xi), vi(z′) = ri.

Una consecuencia inmediata del Teorema anterior es el siguiente

Corolario 4.2.1. Todo campo de funciones F/K tiene un numero infinitode lugares.

Demostracion. Supongamos que F/K tiene un numero infinito de lugares,digamos P1, . . . , Pn. Por el Teorema 4.2.1 podemos encontrar una funcionx ∈ F con vPi

(x) > 0, para i = 1, . . . , n. Entonces x es trascendente sobre Kpues tiene ceros, pero x no tendrıa polos, contradiciendo el Corolario 4.1.1.

Este ultimo corolario es de suma importancia. De hecho demostraremosmas adelante que todo elemento trascendente de F tiene tantos ceros comopolos y un numero finito de ellos. Un paso importante hacia este resultadoes la siguiente

Proposicion 4.2.1. Sea F/K un campo de funciones, P1, . . . , Pn ∈ PF cerosde x ∈ F . Entonces

r∑

i=1

vPi(x) · grado(Pi) ≤ [F : K(x)].

Demostracion. Definimos vi := vPi, fi := grado(Pi) y ei = vi(x). Para

toda i existe un elemento ti (por ejemplo ti parametro local de Pi) con

vi(ti) = 1 and vk(ti) = 0 for k 6= i.

Escogemos funciones si1, . . . , sifi∈ OPi

tales que los residuos

si1(Pi), . . . , sifi(Pi)

sean una base para FPisobreK. Por el teorema de aproximacion debil existen

funciones zij ∈ F tales que lo siguiente se cumple para toda i, j:

vi(sij − zij) > 0 and vk(zij) ≥ ek for k 6= i. (4.6)

55

Afirmamos que los elementos

tai · zij , 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ fi, 1 ≤ a ≤ ei

son linealmente independientes sobre K(x). En numero son∑r

i=1 fiei =∑r

i=1 vPi· grado(Pi), entonces la proposicion se seguira directamente.

El argumento es standar: Supongamos que existe una combinacion linealno trivial de la forma

r∑

i=1

fi∑

j=1

ei−1∑

a=0

ϕijazij = 0 (4.7)

sobre K(x). Sin perdida de generalidad podemos suponer que ϕija ∈ K[x] yno todas las ϕija son divisibles por x. entonces existen ındices k ∈ 1, . . . , ry c ∈ 1, . . . , ek − 1 tales que

x|ϕkja para toda a < c y toda j ∈ 1, . . . , fk,

y x ∤ ϕkjc para alguna j ∈ 1, . . . , fk. (4.8)

Multiplicando 4.7 por t−ck obtenemos

r∑

i=1

fi∑

j=1

ei−1∑

a=0

ϕijatai t

−ck zij = 0. (4.9)

Para i 6= k, todos los sumandos de 4.9 pertenecen a Pk ya que

vk(ϕijatai t

−ck zij) = vk(ϕija) + avk(ti) − cvk(tk) + vk(zij)

≥ 0 + 0 − c + ek > 0.

Para i = k y a < c tenemos que

vk(ϕkjata−ck zkj) ≥ ek + a− c ≥ ek − c > 0.

(Notemos que x|ϕkja y por lo tanto vk(ϕkja) ≥ ek). Para i = k y a > c,vk(ϕkjat

a−ck zkj) ≥ a− c > 0.

Combinando lo anterior con 4.9 obtenemos que

fk∑

j=1

ϕkjczkj ∈ Pk. (4.10)

56

Observemos que ϕkjc(Pk) ∈ K, y no todas las ϕkjc(Pk) = 0 (por 4.8),entonces 4.10 nos da la combinacion lineal no trivial

fk∑

j=1

ϕkjc(Pk) · zkj(Pk) = 0

sobre K. Esto es una contradiction, pues los elementos zk1(Pk), . . . , zkfk(Pk)

son una base de FPk/K.

Corolario 4.2.2. En un campo de funciones F/K, todo elemento 0 6= x ∈ Ftiene un numero finito de ceros y de polos.

Demostracion. Si x es una constante, entonces x no tiene ni ceros nipolos. Si x es trascendente sobre K, el numero de ceros esta acotado por[F : K(x)] por la Proposicion 4.2.1. El mismo argumento muestra que x−1

tiene solo un numero finito de ceros, cada uno de ellos siendo un polo de x.

4.3 Divisores

Como el campo K de constantes de una extension algebraica F/K es unaextension finita de K, y F se puede ver como un campo de funciones sobreK, entonces podemos suponer que F/K es un campo de funciones tal que Kes el campo de constantes.

Definicion 4.3.1. Denotaremos por DF , al grupo abeliano libre generadopor los lugares de F/K. Le llamaremos el grupo de divisores de F/K.

Llamaremos a los elementos de DF divisores de F/K. En otras palabrasun divisor D es una suma formal de lugares

D =∑

P∈PF

nPP con nP ∈ Z, y casi todas las nP = 0.

El soporte de un divisor D ∈ DF se define como

supp(D) := P ∈ PF |nP 6= 0.

A veces es conveniente escribir

D =∑

P∈S

nPP ,

57

donde S ⊆ PF es un conjunto finito y S ⊇ supp(D).Un divisor de la forma D = P con P ∈ PF se le llama divisor primo .

Dados D =∑

nPP y D′ =∑

n′PP se suman coeficiente a coeficiente:

D +D′ =∑

P∈PF

(nP + n′P )P.

El elemento cero del grupo DF es el divisor

0 :=∑

P∈PF

nPP con todas las nP = 0.

Para Q ∈ PF y D ∈ DF definimos vQ(D) = nQ, entonces

supp(D) = P ∈ PF |vP (D) 6= 0 y D =∑

vP (D) · P.

Definimos un orden parcial en DF de la siguiente manera:

D1 ≤ D2 :⇐⇒ vP (D1) ≤ vP (D2) para todo P ∈ PF .

Un divisor tal que D ≥ 0 se dice positivo o efectivo . El grado de un

divisor se define como

grado(D) :=∑

P∈PF

vP (D) · grado(P )

y define un homomorfismo grado : DF −→ Z.Como toda funcion 0 6= x ∈ F tiene un numero finito de ceros y de polos

la siguiente definicion tiene sentido.

Definicion 4.3.2. Sea 0 6= x ∈ F y sean Z el conjunto de ceros y N elconjunto de polos de x en PF . Definimos

(x)0 :=∑

P∈Z

vP (x)P, el divisor de ceros de x,

(x)∞ := −∑

P∈N

vP (x)P , el divisor de polos de x,

(x) := (x)0 − (x)∞, el divisor principal de x.

58

Claramente (x)0 y (x)∞ son divisores positivos. Y

(x) =∑

P∈PF

vP (x)P . (4.11)

Por lo tanto los elementos constantes distintos de cero en F se caracterizancomo

x ∈ K ⇐⇒ (x) = 0.

El conjuntoPF := (x)|0 6= x ∈ F

es llamado el grupo de divisores principales de F/K. Es un subgrupode DF pues si 0 6= x, y ∈ F , entonces (xy) = (x) + (y). El grupo cociente

CF := DF/PF

le llamaremos el grupo de clases de divisores. Para D ∈ DF , el elementocorrespondiente en CF se denota por [D], la clase de D. Dos divisores D,D′ ∈ DF se dicen equivalentes (D ∼ D′) si [D] = [D′], esto es, D = D′ + (x)para alguna x ∈ F\0. Esta es una relacion de equivalencia.

Los divisores principales seran el reemplazo que buscabamos para la des-composicion en irreducibles de K(x).

Definicion 4.3.3. Dado un divisor A ∈ DF definimos

L(A) := x ∈ F |(x) + A ≥ 0 ∪ 0.

Podemos interpretar la definicion anterior como sigue: si escribimos

A =r∑

i=1

niPi −s∑

j=1

mjQj

con ni > 0 y mj > 0 entonces x ∈ L(A) si y solo si

1. x tiene ceros de orden ≥ mj en los Qj , para j = 1, . . . , s y

2. x solo puede tener polos en P1, . . . , Pr, con orden polar Pi no mayorque las ni, for i = 1, . . . , r.

Se sigue que x ∈ L(A) si y solo si vP (x) ≥ −vP (A) para todo P ∈ PF .Tambien tenemos que L(A) 6= 0 si y solo si existe un divisor A′ ∼ A conA′ ≥ 0.

59

Lema 4.3.1. Sea A ∈ DF . Tenemos que

1. L(A) es espacio vectorial sobre K.

2. Si A′ es un divisor equivalente a A entonces L(A) ≃ L(A′) como espa-cios vectoriales sobre K.

Demostracion. (1) Sea x, y ∈ L(A) y a ∈ K. Entonces

vP (x+ y) ≥ minvP (x), vP (y) ≥ −vP (A)

y vP (ax) = vP (x) ≥ −vP (A) para todo P ∈ PF por lo tanto x+ y y ax sonelementos de L(A).

(2) Por hipotesis A = A′ + (z) con 0 6= z ∈ F . Consideremos el mapeo

ϕ :

L(A) → Fx 7→ xz

Es un mapeo K-lineal cuya imagen esta contenida en L(A′). De manerasimilar el mapeo

ϕ′ :

L(A′) → Fx 7→ xz−1

es K-lineal de L(A′) a L(A). Y uno es el inverso del otro. Por lo tanto ϕ esun isomorfismo entre L(A) y L(A′).

Lema 4.3.2. 1. L(0) = K.

2. Si A < 0 entonces L(A) = 0.

Demostracion. (1) Tenemos que (x) = 0 para 0 6= x ∈ K, entoncesK ⊆ L(0). Si 0 6= x ∈ L(0) entonces (x) ≥ 0 esto quiere decir que x no tienepolos y por lo tanto x ∈ K.

(2) Supongamos que existe 0 6= x ∈ L(A). Entonces (x) ≥ −A > 0, loque implica que x tiene al menos un cero pero no tiene polos, lo cual es unacontradiccion.

El paso siguiente es demostrar que para todo A ∈ DF , L(A) tiene di-mension finita sobre K.

Lema 4.3.3. Sean A,B ∈ DF tales que A ≤ B. Entonces L(A) ⊆ L(B) y

dim(L(B)/L(A)) = grado(B) − grado(A).

60

Demostracion. Sea x ∈ L(A) entonces, para todo P ∈ PF ,

vP (x) ≥ −A ≥ −B

por lo tanto x ∈ L(B). Para demostrar la otra afirmacion supongamosprimero que B = A + P para algun P ∈ PF , i.e., los divisores A y B solodifieren en el lugar P por uno. (El caso general se sigue por induccion). Porel Teorema de aproximacion, podemos escoger un elemento t ∈ F tal que

vP (t) = vP (B) = vP (A) + 1.

Para x ∈ L(B) tenemos que vP (x) ≥ −vP (B) = −vP (t), y entonces xt ∈ OP .De esta manera obtenemos el mapeo K-lineal

ψ :

L(B) → FP ,x 7→ (xt)(P ).

x pertenece al kernel de ψ si y solo si vP (xt) > 0, i.e. vP (x) > −vP (A). Sesigue que Ker(ψ) = L(A), y que ψ induce un mapeo K-lineal inyectivo deL(B)/L(A) a FP . Entonces

dim(L(B)/L(A)) ≤ dim(FP ) = grado(B) − grado(A).

Proposicion 4.3.1. Para todo divisor A ∈ DF , el espacio L(A) tiene di-mension finita sobre K. Esto es, si A = A+ −A− con divisores positivos A+

y A−, entoncesdim(L(A)) ≤ grado(A+) + 1.

Demostracion. Como L(A) j L(A+), es suficiente demostrar que dim(L(A+)) ≤grado(A+) + 1. Ahora bien A+ ≥ 0, entonces el Lema 4.3.3 dice que

dim(L(A+)/L(0)) ≤ grado(A+).

Como L(0) = K por el Lema 4.3.2,

dim(L(A+)) = dim(L(A+)/L(0)) + 1.

Definicion 4.3.4. Dado A ∈ DF , al entero dim(A) := dim(L(A)) le lla-maremos la dimension de el divisor A.

61

Teorema 4.3.1. Todo divisor principal tiene grado cero. Sea x ∈ F\Ky denotemos por (x)0 y (x)∞ el divisor de ceros y el divisor de polos de xrespectivamente. Entonces

grado((x)0) = grado((x)∞) = [F : K(x)].

Demostracion. Sean n = [F : K(x)] y

B := (x)∞ =r∑

i=1

−vPi(x)Pi,

donde P1, . . . , Pr son los polos de x. Entonces

grado(B) =r∑

i=1

vPi(x−1)Pi ≤ [F : K(x)] = n

por la Proposicion 4.2.1. Por otro lado, podemos elegir una base u1, . . . , un deF/K(x) y un divisor C ≥ 0 teles que (ui) ≥ −C para i = 1, . . . , n. Entonces

dim(lB + C) ≥ n(l + 1) para toda l ≥ 0, (4.12)

pues xiuj ∈ L(lB + C) para 0 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ n. Estos elementosson linealmente independientes sobre K ya que u1, . . . , un son linealmenteindependientes sobre K(x). Sea c := grado(C) se sigue que n(l + 1) ≤dim(lB + C) ≤ l · grado(B) + c+ 1 por la Proposicion 4.3.1. Entonces paratoda l ∈ N

l(grado(B) − n) ≥ n− c− 1 (4.13)

El lado derecho de 4.13 es independiente de l, de ahı que la desigualdad 4.13solo es posible si grado(B) ≥ n. Por lo tanto

grado(x)∞ = [F : K(x)].

Como (x)0 = (x−1)∞ entonces

grado(x)0 = grado(x−1)∞ = [F : K(x−1)] = [F : K(x)].

Corolario 4.3.1. (a) Sean A,A′ ∈ DF dos divisores equivalentes. En-tonces dim(A) = dim(A′) y grado(A) = grado(A′).

62

(b) Si grado(A) < 0 entonces dim(A) = 0

(c) Sea A un divisor de grado cero. Las siguientes afirmaciones son equi-valentes

(1) A es principal.

(2) dim(A) ≥ 1.

(3) dim(A) = 1

Demostracion. (a) y (b) se siguen de los Lemas 4.3.1 y 4.3.2 respectiva-mente.

(c) (1) implica (2): Si A = (x) entonces x−1 ∈ L(A), se sigue quedim(A) ≥ 1.

(2) implica (3): Si dim(A) ≥ 1 y grado(A) = 0 entonces A ∼ A′ paraalgun divisor A′ ≥ 0, entonces, como grado(A′) = 0 y A′ ≥ 0 tenemos queA′ = 0, y ası dim(A) = dim(A′) = dim(0) = 1.

(3) implica (1): Supongamos que dim(A) = 1 y que grado(A) = 0. Sea0 6= z ∈ L(A), entonces (z) + A ≥ 0. Como grado((z) + A) = 0 se sigue que(z) + A = 0, por lo tanto A = −(z) = (z−1) es un divisor principal.

Proposicion 4.3.2. Existe una constante γ ∈ Z tal que, para todo divisorA ∈ DF , se tiene que

grado(A) − dim(A) ≤ γ.

El enfasis en esta Proposicion es que la constante γ no depende de A;solo depende de el campo de funciones F/K.

Demostracion. Por el Lema 4.3.3

A1 ≤ A2 ⇒ grado(A1) − dim(A1) ≤ grado(A2) − dim(A2). (4.14)

Fijamos un elemento x ∈ F y consideremos especıficamente el divisorB := (x)∞. Como en la demostracion del Teorema 4.3.1, existe un divisorC ≥ 0 (que depende de x) tal que

dim(lB + C) ≥ (l + 1)grado(B)

63

para toda l ≥ 0 (ver ecuacion 4.12). Por otro lado,

dim(lB + C) ≤ dim(lB) + grado(C)

por el Lema 4.3.3. Combinando estas desigualdades obtenemos que

dim(lB) ≥ (l + 1)grado(B)− grado(C)

= grado(lB) + ([F : K(x)] − grado(C)).

Por lo tantogrado(lB) − dim(lB) ≤ γ para toda l ≥ 0 (4.15)

con γ ∈ Z. Queremos demostrar que 4.15 se satisface aun cuando sustituimoslB por cualquier divisor A ∈ DF (con la misma γ).

Afirmacion. Dado un divisor A, existen divisores A1, D y un entero l ≥ 0tal que A ≤ A1, A1 D y D ≤ lB.

Usando esta afirmacion, demostramos la Proposicion 4.3.2 de la siguientemanera:

grado(A) − dim(A) ≤ grado(A1) − dim(A1) por 4.14= grado(D) − dim(D) por el Corolario 4.3.1≤ grado(lB) − dim(lB) por 4.14≤ γ por 4.15.

Demostracion de la afirmacion. Sea A1 ≥ A tal que A1 ≥ 0. Entonces

dim(lB − A1) ≥ dim(lB) − grado(A1) por el Lema 4.3.3≥ grado(lB) − γ − grado(A1) por 4.15> 0

para una l suficientemente grande. Entonces existe un elemento 0 6= z ∈L(lB − A1). Haciendo D := A1 − (z) obtenemos A1 es equivalente a D yD ≤ A1 − (A1 − lB) = lB como queriamos.

Definicion 4.3.5. El genero g of F/K esta definido como

g := maxgrado(A) − dim(A) + 1|A ∈ DF.

64

Notemos que si A = 0 entonces

grado(0) − dim(0) + 1 = 0 − 1 + 1 = 0

por lo tanto g ≥ 0.

Teorema 4.3.2 (Teorema de Riemann). Sea F/K un campo de funcionesde genero g.

(a) Para todo divisor A ∈ DF ,

dim(A) ≥ grado(A) + 1 − g.

(b) Existe un entero c, que depende de F/K, tal que

dim(A) = grado(A) + 1 − g

si gradoA ≥ c.

Demostracion. (a) se sigue de la definicion del genero.(b) Sea A0 ∈ DF tal que g = grado(A0) − dim(A0) + 1 y sea c :=

grado(A0) + g. Si grado(A) ≥ c entonces

dim(A− A0) ≥ grado(A− A0) + 1 − g ≥ c− grado(A0) + 1 − g ≥ 1.

Entonce existe un elemento 0 6= z ∈ L(A− A0). Consideremos el divisorA′ := A+ (z) ≥ A0. Tenemos que

grado(A) − dim(A) = grado(A′) − dim(A′) por el Corolario 4.3.1≥ grado(A0) − dim(A0) por el Lema 4.3.3= g − 1.

Entonces dim(A) ≤ grado(A) + 1 − g.Calcular el genero de un campo de funciones no es trivial. Pero podemos

demostrar que el campo de funciones racionales K(x) tiene genero cero: seaP∞ el divisor de polos de x. Consideremos, para r ≥ 0 el espacio vecto-rial L(rP∞). Tenemos que las funciones 1, x, . . . , xr pertenecen a L(rP∞)entonces

r + 1 ≤ dim(P∞) = grado(P∞) + 1 − g = r + 1 − g

para r suficientemente grande. Entonces g ≤ 0. Pero g ≥ 0 para todo campode funciones, entonces g = 0 para K(x).

65

4.4 El Teorema de Riemann-Roch

En esta seccion F/K denota un campo de funciones algebraico de genero g.

Definicion 4.4.1. Para A ∈ DF definimos el ındice de especialidad deA como el entero

i(A) := dim(A) − grado(A) + g − 1.

Por el Teorema de Riemann, i(A) es un entero no negativo, y i(A) = 0 sigrado(A) es suficientemente grande.

En esta seccion interpretaremos el entero i(A) como la dimension of cier-tos espacios vectoriales. El concepto de adele sera fundamental para esteproposito.

Definicion 4.4.2. Un adele de F/K es un mapeo

α :

PF → F,P 7→ αP ,

tal que αP ∈ OP excepto en un numero finito de lugaresP ∈ PF . Considera-remos a los adeles como elementos del producto directo

∏

P∈PFF . Usaremos

la notacion α = (αP ).

La suma de adeles (coordenada a coordenada) es cerrada, y la multipli-cacion de un adele por un elemento de K es un adele. Ası que al conjunto

AF := α|α es un adele de F/K

le llamaremos el espacio de adeles de F/K.El adele principal de un elemento x ∈ F es el adele cuyas componentes

son todas iguales a x. Esta ultima definicion tiene sentido pues toda x ∈ Ftiene un numero finito de ceros y polos. De esta manera obtenemos unainmersion natural de F en AF , que llamaremos la inmersion diagonal.

Las valoraciones vP de F/K se extienden de manera natural a AF como

vP (α) := vP (αP ),

aquı αP es la P -componente de el adele α. Entonces, por definicion de α,vP (α) ≥ 0 excepto en un numero finito de lugares.

66

Definicion 4.4.3. Dado A ∈ DF definimos

AF (A) := α ∈ AF |vP (α) ≥ −vP (A) para todo P ∈ PF

Este es un K-subespacio vectorial de AF . Conforme A recorre el conjuntoordenado DF los AF (A) forman una familia creciente de subespacios de AF

cuya union es AF .

Lema 4.4.1. Sean A1, A2 ∈ DF con A1 ≤ A2. Entonces AF (A1) ⊆ AF (A2)y

dim(AF (A2)/AF (A1)) = grado(A2) − grado(A1). (4.16)

Demostracion: Para demostrar 4.16 hacemos induccion en

grado(A2) − grado(A1).

Si grado(A2) − grado(A1) = 0 entonces A2 = A1 y

dim(AF (A2)/AF (A1)) = 0.

Es suficiente entonces con demostrar 4.16 en el caso A2 = A1+P con P ∈ PF .Sea t ∈ F tal que vP (t) = vP (A1) + 1 y consideremos el mapeo lineal sobreK ϕ :−→ FP dado por ϕ(α) := (tαP )(P ). ϕ es sobre y ker(ϕ) = AF (A1).Se sigue que

grado(A2) − grado(A1) = grado(P ) = dim(AF (A2)/AF (A1)).

La sucesion

0 → L(A2)/L(A1) → AF (A2)/AF (A1)→ (AF (A2) + F )/(AF (A1) + F ) → 0

(4.17)

es exacta por lo que

dim((AF ( A2 ) + F )/(AF (A1) + F ))= dim(AF (A2)/AF (A1)) − dim(L(A2)/L(A1))= (grado(A2) − grado(A1)) − (dim(A2) − dim(A1)).

67

Ahora supongamos que B ∈ DF es tal que dim(B) = grado(B) + 1 − g.Si B1 ≥ B entonces

dim(B1) ≤ grado(B1) + dim(B) − grado(B) = grado(B1) + 1 − g.

por el Lema 4.3.3. El Teorema 4.3.2 dice que

dim(B1) ≥ grado(B1) + 1 − g

por lo que

dim(B1) = grado(B1) + 1 − g para todo B1 ≥ B. (4.18)

Dado α ∈ AF podemos encontrar B1 ≥ B tal que α ∈ AF (B1). Por 4.17 ypor 4.18 tenemos que

dim((AF (B1) + F ) / ((AF (B) + F )= (grado(B1) − dim(B1)) − (grado(B) − dim(B))= (g − 1) − (g − 1) = 0.

Es decir, AF (B1) + F = AF (B) + F . Como α ∈ AF (B1) tenemos que

AF = AF (B) + F. (4.19)

Llegamos a la primera interpretacion de el ındice de especialidad de un divi-sor:

Teorema 4.4.1. Para cualquier divisor A ∈ DF , el ındice de especialidad es

i(A) = dim(AF/(AF (A) + F )).

Demostracion: Sea A ∈ DF . Por el Teorema 4.3.2 existe un divisorA1 ≥ A tal que dim(A1) = grado(A1) + 1 − g. Por 4.19 tenemos que AF =AF (A1) + F y 4.17 implica que

dim(AF/(AF (A) + F )) = dim((AF (A1) + F )/(AF (A) + F ))= (grado(A1) − dim(A1)) − (grado(A)− dim(A))= g − 1 − dim(A) − grado(A) = i(A).

Como Corolario, obtenemos

Corolario 4.4.1. g=dim((AF/(AF (0) +F)).

68

Demostracion. i(0) = dim(0) − grado(0) + g − 1 = 1 − 0 + g − 1 = g.Resulta util pensar en el espacio dual de AF/(AF (A) + F ), es decir,

en el espacio de funcionales lineales (AF/(AF (A) + F ))∗. El concepto dediferencial de Weil es fundamental para una segunda interpretacion de elındice de especialidad de un divisor.

Definicion 4.4.4. Un diferencial de Weil de F/K es un mapeo K-linealω : AF → K que se anula en AF (A) + F para algun divisor A ∈ DF .Llamaremos al conjunto

ΩF := ω|ω es un diferencial de Weil de F/K

el modulo de diferenciales de Weil de F/K. Sea A ∈ DF , definimos

ΩF (A) := ω ∈ ΩF |ω se anula en AF (A) + F.

Tenemos que ΩF es un espacio vectorial sobreK, de hecho, si ω1 se anulaen AF (A1) + F y ω2 se anula en AF (A2) + F entonces ω1 + ω2 se anula enAF (A3)+F para todo divisor A3 tal que A3 ≤ A1 y A3 ≤ A2, y aω1 se anulaen AF (A1) + F para a ∈ K. Se sigue tambien que ΩF (A) es un subespaciode ΩF .

Lema 4.4.2. Para todo A ∈ DF tenemos que dim(ΩF (A)) = i(A).

Demostracion. El espacio ΩF (A) Es isomorfo el spacio de formas linealesen AF/AF (A) + F . El Lema se sigue pues la dimension de AF/AF (A) + Fes finita e igual a i(A).

Del Lema anterior podemos ver que ΩF 6= ∅ tomando un divisor A ∈ DF

con grado(A) ≤ −2. Entonces dim(ΩF ) = i(A) = dim(A) − grado(A) + g −1 ≥ 1, entonces ΩF 6= ∅.

De esto ultimo se sigue que ΩF 6= 0 tomando un divisor A ∈ DF tal quegrado(A) ≤ −2. Entonces dim(ΩF ) = i(A) = dim(A)−grado(A)+g−1 ≥ 1,por lo que ΩF 6= 0.

Definicion 4.4.5. Para cada x ∈ F y ω ∈ ΩF definimos xω : AF → K como

(xω)(α) := ω(xα).

Si ω se anula en AF (A) + F entonces xω se anula en AF (A + (x)) + F .Esta definicion le da a ΩF la estructura de espacio vectorial sobre F .

69

Proposicion 4.4.1. ΩF es un espacio vectorial de dimension uno sobre F .

Demostracion. Sea ω1 ∈ ΩF −0. Tenemos que demostrar que para cadaω2 ∈ ΩF existe z ∈ F tal que ω2 = zω1. Supongamos que ω2 6= 0 (si ω2 = 0entonces z = 0). Y sean A1, A2 ∈ DF tales que ω1 ∈ ΩF (A1) y ω2 ∈ ΩF (A2).

Sea B ∈ DF , B ≥ 0, de grado suficientemente grande para que dim(Ai +B) = grado(Ai+B)+1−g para i = 1, 2 (esto es posible por el Teorema 4.3.2).Definimos los mapeos ϕi : L(Ai +B) −→ ΩF (−B) como ϕi(x) := xωi. Estosmapeos son lineales (sobre K) e inyectivos. Definimos Ui = ϕi(L(Ai +B)) ≤ΩF (−B).

Como

dim(ΩF (−B)) = i(−B) = 0 − grado(−B) + g − 1 = grado(B) + g − 1

tenemos quedim(U1) + dim(U2) − dim(ΩF (−B)) =

grado(B) + (grado(A1) + grado(A2) + 3(1 − g)).

Observamos que el segundo sumando en el lado derecho de la ecuacion ante-rior es independiente de B, por lo que dim(U1)+dim(U2)−dim(ΩF (−B)) > 0si grado(B) es lo suficientemente grande. Entonces

U1 ∩ U2 = ϕ1(L(A1 +B)) ∩ ϕ2(L(A2 +B)) 6= 0.

Por lo que existen funciones x1 ∈ L(A1 +B) y x2 ∈ L(A2 +B) tales quex1ω1 = x2ω2 6= 0 entonces ω2 = x1x

−12 ω1. Esto demuestra la Proposicion.

A cada diferencial de Weil le asociaremos un divisor como sigue: consi-deremos el conjunto

M(ω) := A ∈ DF |ω se anula en AF (A) + F.

Lema 4.4.3. Sea 0 6= ω ∈ ΩF . Entonces existe un divisor, determinado demanera unica, W ∈ M(ω) tal que A ≤W para todo divisor A ∈M(ω).

Demostracion. Por el Teorema de Riemann existe una constante c, quedepende solo de F/K, tal que i(A) = 0 siempre que grado(A) ≥ c. Comodim(AF/(AF (A) + F )) = i(A) tenemos que grado(A) < c para todo A ∈M(ω). Ası que podemos escoger W ∈M(ω) de grado maximo.

Supongamos que exite un divisor A0 ∈M(ω) con W < A0, i.e. vQ(A0) >vQ(W ) para algun Q ∈ PF . Demostraremos que

W +Q ∈M(ω). (4.20)

70

Consideremos un adele α = (αP ) ∈ AF (W + Q). Lo escribimos comoα = α′ + α′′ con

α′ :=

αP si P 6= Q,0 si P = Q,

y α′′ :=

0 si P 6= Q,αP si P = Q

Entonces α′ ∈ AF (W ) y α′′ ∈ AF (A0), por lo tanto

ω(α) = ω(α′) + ω(α′′) = 0.

Se sigue que ω se anula en AF (W+Q)+F , con lo que queda demostrada 4.20.Se sigue tambien que tal divisor W es unico.

Lo anterior motiva la siguiente

Definicion 4.4.6. (a) El divisor (ω) de un diferencial de Weil ω 6= 0 es eldivisor de F/K determinado de manera unica que satisface

1. ω se anula en AF ((ω)) + F .

2. Si ω se anula en AF (A) + F entonces A ≤ (ω).

(b) Dado 0 6= ω ∈ ΩF y P ∈ PF definimos vP (ω) := vp((ω)).

(c) Decimos que un lugar P es un cero (resp. polo) si vP ((ω)) > 0 (resp.vP ((ω)) < 0). ω se dice que es regular en P si vP ((ω)) ≥ 0, ω se diceregular si es regular en todo P ∈ PF .

(d) Se dice que un divisor W es divisor canonico de F/K si W = (ω)para algun ω ∈ ΩF .

De la definicion anterior podemos reescribir

ΩF (A) = ω ∈ ΩF |ω = 0 o (ω) ≥ A

y, en particular que

ΩF (0) = ω ∈ ΩF |ω es regular .

Como ya sabiamos dim(ΩF (0)) = g.

Proposicion 4.4.2. (a) Dada 0 6= x ∈ F y 0 6= ω ∈ ΩF tenemos que(xω) = (x) + (ω).

71

(b) Cualesquiera dos divisores canonicos de F/K son equivalentes.

Demostracion. (a) Si ω se anula en AF (A) + F entonces xω se anulaen AF (A + (x)) + F , por lo que (ω) + (x) ≤ (xω), en particular xω seanula en AF ((ω) + (x)) + F ası que (ω) + (x) ≤ (xω). De igual manera(xω) + (x−1) ≤ (x−1xω) = (ω), de lo que se sigue que

(ω) + (x) ≤ (xω) ≤ −(x−1) + (ω) = (ω) + (x).

(b) Ya que ΩF es un F -espacio de dimension uno cada ω ∈ ΩF se puedeescribir como ω = fω1 para algun ω1 ∈weild y f ∈ F . Sean W = (fω1) = (ω1) + (f) y W ′ = (gω1) = (ω1) + (g) dosdivisores canonicos. Vemos que ambos son claramente equivalentes a (ω1).

Este resultado nos dice que el conjunto de divisores canonicos de F/K esuna clase en el grupo de clases de divisores CF . A esta clase le llamaremosla clase canonica de F/K.

Teorema 4.4.2. Sea A un divisor arbitrario y W = (ω) un divisor canonicode F/K. Entonces el mapeo

µ :

L(W − A) → ΩF (A),x 7→ xω

es un isomorfismo de espacios vectoriales sobre K. En particular,

i(A) = dim(W − A).

Demostracion. Dada x ∈ L(W − A) se tiene que

(xω) = (x) + (ω) ≥ −(W − A) +W = A,

por lo que xω ∈ ΩF (A). Entonces µ mapea L(W − A) en ΩF (A). El mapeoµ es lineal e inyectivo. Queda demostrar que µ es sobre. Para demostraresto, sea ω1 ∈ ΩF (A) un diferencial de Weil. Entonces ω1 = xω para x ∈ F .Ya que (x) +W = (x) + (ω) = (xω) = (ω1) ≥ A obtenemos que

(x) ≥ A−W = −(W − A),

entonces x ∈ L(W − A) y w1 = µ(x). Por lo tanto i(A) = dim(ΩF (A)) =dim(W −A).

Tenemos todas las herramientas para demostrar el siguiente

72

Teorema 4.4.3 (Riemann-Roch). Sea W un divisor canonico de F/K. En-tonces para todo A ∈ DF ,

dim(A) = grado(A) + 1 − g + dim(W − A).

Corolario 4.4.2. Para un divisor canonico W , tenemos que

grado(W ) = 2g − 2 y dim(W ) = g.

Demostracion. Para 0 = A ∈ DF tenemos, por el teorema de Riemann-Roch que

1 = dim(0) = grado(0) + 1 − g + dim(W − 0).

Entonces dim(W ) = g. Para A = W tenemos que

g = dim(W ) = grado(W ) + 1 − g + dim(W −W ) = grado(W ) + 2 − g.

Por lo tanto grado(W ) = 2g − 2.La constante c en el teorema de Riemann se puede escoger igual a 2g−1:

Teorema 4.4.4. Si A ∈ DF tiene grado ≥ 2g − 1 entonces i(A) = 0 i.e.

dim(A) = grado(A) + 1 − g.

Demostracion. El teorema de Riemann-Roch dice que dim(A) = grado(A)+1− g+dim(W −A) para un divisor canonico W de F/K. Pero grado(W ) =2g − 2 < 2g − 1 = grado(A), por lo que grado(W − A) < 0 y entoncesdim(W −A) = 0.

El teorema de Riemann-Roch caracteriza al genero y a la clase canonica:

Teorema 4.4.5. Supongamos que g0 ∈ Z y W0 ∈ DF satisfacen

dim(A) = grado(A) + 1 − g0 + dim(W0 − A)

para todo divisor A ∈ DF . Entonces g0 = g y el divisor W0 es canonico.

Demostracion. Tomando A = 0 y A = W0 obtenemos, por hipotesis,que dim(W0) = g0 y grado(W0) = 2g0 − 2 respectivamente. Sea A undivisor de F/K con grado(A) > max2g − 2, 2g0 − 2 entonces, por un ladodim(A) = grado(A) + 1 − g, y por hipotesis dim(A) = grado(A) + 1 − g0.Entonces, g = g0.

Ahora tomamos A = W . Entonces, por hipotesis, tenemos que g =(2g − 2) + 1 − g + dim(W0 − W ). Entonces dim(W0 − W ) = 1. Comogrado(W0 −W ) = 0 tenemos que el divisorW0 −W es principal. Y entoncesW0 W .

73

Proposicion 4.4.3. Un divisor B es canonico si y solo si grado(B) = 2g−2y dim(B) ≥ g.

Demostracion. Supongamos que grado(B) = 2g − 2 y que dim(B) ≥ gentonces, si W es un divisor canonico tenemos que

g ≤ dim(B) = grado(B) + 1 − g + dim(W −B) = g − 1 + dim(W −B).

Por lo tanto dim(W − B) ≥ 1. Como grado(W − B) = 0 se sigue queB ∼W y entonces B es canonico.

4.5 Puntos de Weierstrass

Sean P ∈ PF y n ≥ 2g. Tenemos, por el Teorema de Riemann-Roch, que

dim((n−1)P ) = (n−1)grado(P )+1− g < dim(nP ) = n · grado(P )+1− g.

Esto implica que L((n − 1)P ) 6= L(nP ). Cualquier funcion f ∈ L(nP ) −L((n− 1)P ) tiene divisor de polos (f)∞ = n · P . Es decir, existen funcionesen F que tienen un unico polo. La siguiente definicion tiene sentido:

Definicion 4.5.1. Sea P ∈ PF . Un entero n ≥ 0 se dice orden polar de Psi y solo si existe un elemento x ∈ F tal que (x)∞ = nP . En caso contrariodecimos que n es un salto de P .

i es un salto de P si y solo si L(iP ) = L(i− 1)P .Si (x1)∞ = n1P y si (x2)∞ = n2P entonces la funcion x1x2 tiene divisor

de polos (x1x2)∞ = (n1 + n2)P . Esto nos dice que el conjunto de ordenespolares de un lugar P es un subsemigrupo del semigrupo N.

Un resultado interesante se obtiene al especializar la discusion anterior alos lugares de grado 1:

Teorema 4.5.1 (Teorema de los saltos de Weierstrass). Sea F/K un campode funciones de genero g > 0 y P ∈ PF un lugar de grado 1. Entonces Ptiene exactamente g saltos 1 = i1 < . . . < ig ≤ 2g − 1.

Demostracion: Tenemos que dim(2g − 1)P = (2g − 1) + 1 − g = glo que quiere decir que hay g naturales 0 ≤ i ≤ 2g − 1 para los cualesL(iP ) = L(i + 1)P . Estos enteros i son los g saltos de P buscados. Al ser

74

el conjunto de ordenes polares un subsemigrupo de N y g > 0 entonces 1 nopuede ser un orden polar (no habrıa saltos).

Cuando K es un campo algebraicamente cerrado, casi todos los lugares degrado uno tienen la misma secuencia de saltos de Weierstrass. Dichos lugaresse dicen ordinarios. Cualquier lugar no ordinario se le llama punto de

Weierstrass. Los puntos de Weierstrass son fundamentales para el calculodel grupo de automorfismos de F/K.

4.6 El Teorema del Residuo

Dado P ∈ PF consideramos el mapeo

ιP : F −→ AF

x 7→ α

tal que αP = x y αQ = 0 para todo Q ∈ PF − P. Dado ω ∈ ΩF definimossu componente local ωP : F → K como el mapeo K-lineal

ωP (x) := ω(ιP (x)).

Un hecho interesante es el siguiente: si ω ∈ ΩF y α = (αP ) ∈ AF entoncesωP (αP ) = 0 para casi todos los lugares P ∈ PF . Para deducir esto, supon-gamos que ω 6= 0 y sea W := (ω) ∈ DF el divisor canonico asociado. Existeun conjunto finito S ⊆ PF tal que

vP (W ) = 0 y vP (αP ) ≥ 0 para todo P 6∈ S.

Definimos el adele β = (βP ) tal que βP = αP si P 6∈ S y βP = 0 si P ∈ S.Entonces tenemos que β ∈ AF (W ), por lo que ω(β) = 0. Por otro lado

α = β +∑

P∈S

ιP (αP )

por lo que

ω(α) =∑

P∈S

ωP (αP ).

Para P 6∈ S, ιP (αP ) ∈ AF (W ) por lo que ω(αP ) = 0. Tenemos que

ω(α) =∑

P∈PF

ωP (αP ).

75

Recordemos que vP (ω) = vP (W ), donde W = (ω) es el divisor canonicoasociado. Sea s := vP (ω), entonces, si x ∈ F es tal que vP (x) ≥ −s tenemosque ιP (x) ∈ AF (W ), por lo que ωP (x) = ωP (ιP (x)) = 0. Supongamos ahoraque ωP (x) = 0 para toda x ∈ F con vP (x) ≥ −s − 1. Sea α = (αQ)Q∈PF

∈AF (W + P ). Entonces

α = (α− ιP (αP )) + ιP (αP )

con α− ιP (αP ) ∈ AF (W ) y vP (αP ) ≥ −s− 1, por lo que

ω(α) = ω(α− ιP (αP )) + ωP (αP ) = 0,

es decir, ω se anula en AF (W + P ), contradiciendo la definicion de W . En-tonces vP (ω) queda caracterizado como

vP (ω) = maxr ∈ Z|ωP (x) = 0 para toda x ∈ F con vP (x) ≥ −r.

En particular, si ω′ ∈ ΩF es otro diferencial de Weil con ω′P = ωP para algun

lugar P , entonces (ω − ω′)P = 0, el parrafo anterior nos dice que ω = ω′. Esdecir, un diferencial ω queda determinado por cualquiera de sus componenteslocales.

4.7 Extensiones Algebraicas de F/K.

Definicion 4.7.1. (a) Un campo de funciones algebraicas F ′/K ′ se diceextension algebraica de F/K si F ′ ⊇ F es una estension algebraica yK ′ ⊇ K.

(b) La extension F ′/K ′ de F/K se dice extension de constantes si F ′ =FK ′.

(c) F ′/K ′ se dice extension finita si [F ′ : F ] <∞.

Si F ′/K ′ es una extension algebraica de F/K entonces la extension K ′/Kes algebraica y K = F ∩K ′. Tambien tenemos que F ′/K ′ es una extensionfinita de FK ′/K ′.

Por otro lado si F ′/K ′ es una extension finita de F/K entonces, con-siderando a F ′ como un campo de funciones algebraico sobre K, tenemosque K ′ es el campo de constantes de F ′/K, por lo que [K ′ : K] <∞.

76

Ahor bien, supongamos que [K ′ : K] < ∞ y sea x ∈ F −K. Entonces xes trascendente sobre K ′ y F ′/K ′(x) es una extension finita por lo que

[K ′(x) : K(x)] = [K ′ : K] <∞

y entonces[F ′ : K(x)] = [F ′ : K ′(x)][K ′(x) : K(x)] <∞.

Como K(x) ⊆ F ⊆ F ′ tenemos que [F ′ : F ] <∞. En resumen, F ′/K ′ esuna extension algebraica finita de F/K si y solo si [K ′ : K] <∞.

Definicion 4.7.2. Consideremos una extension algebraica F ′/K ′ de F/K.Un lugar P ′ ∈ PF ′ se dice que esta sobre P ∈ PF si P ⊆ P ′. Tambien dire-mos que P ′ es una extension de P o que P esta debajo de P ′, y escribiremosP ′|P .

Proposicion 4.7.1. Sea F ′/K ′ una extension algebraica de F/K. Supon-gamos que P ∈ PF y que P ‘ ∈ PF ′, sean OP ⊆ F y O′

P ⊆ F ′ los anillos devaloracion correspondientes, vP and vP ′ las valoraciones dicretas correspon-dientes. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. P ′|P .

2. OP ⊆ O′P .

3. Existe un entero e ≥ 1 tal que vP ′(x) = e · vP (x) para toda x ∈ F .Ademas, si P ′|P entonces P = P ′ ∩ F y OP = O′

P ∩ F . Es por estoultimo que a P se le llama la restriccion de P ′ a F .

Demostracion: El anillo F ∩O′P es un subanillo de F que contiene a OP .

Entonces, como OP es un subanillo maximal de F , F ∩ O′P = OP o bien

F ∩ O′P = F . Supongamos que esto ultimo es lo que sucede. En particular

F ⊆ O′P . Sea z ∈ F ′ − O′

P . Como F ′/F es algebraica, tenemos que existeuna ecuacion no trivial

zn + cn−1zn−1 + · · ·+ c1z + c0 = 0 (4.21)

con ci ∈ F . Tenemos entonces que vP ′(zn) = nvP ′(z) < 0 pues z 6∈ O′P y

ademasvP ′(zn) < vP ′(ciz

i) para i = 0, 1, . . . , n− 1.

77

Por la desigualdad del triangulo estricta tenemos que

vP ′(zn + cn−1zn−1 + · · ·+ c1z + c0) = nvP ′(z) 6= vP ′(0).

Esta contradiccion nos dice que OP = F ∩O′P .

1) implica 2): supongamos que P ′|P y que OP 6⊆ O′P . Entonces existe

alguna funcion u ∈ F con vP (u) ≥ 0 y vP ′(u) < 0. Como P ⊆ P ′ tenemosque vP (u) = 0. Sea t ∈ F tal que vP (t) = 1, y sea r := vP ′(t). Como P ⊆ P ′

tenemos que r > 0. Entonces

vP (urt) = rvP (u) + vP (t) = 1,

vP ′(urt) = rvP ′(u) + vP ′(t) ≤ −r + r = 0.

Las dos ecuaciones anteriores dicen que urt pertenece a P pero no pertencea P ′ lo que contradice la hipotesis P ⊆ P ′.

2) implica 1): Supongamos ahora que OP ⊆ O′P y sea x ∈ P , entonces

x−1 6∈ OP por lo que x−1 6∈ O′P lo que implica que (x−1)−1 = x ∈ P ′. Por lo

tanto P ⊆ P ′.2) implica 3): Sea u ∈ F tal que vP (u) = 0. Entonces u, u−1 ∈ OP ⊆ O′

P

lo que implica que v′P (u) = 0 (u es unidad). Sean t ∈ F tal que vP (t) = 1 ye := v′P (t). Como P ⊆ P ′ tenemos que e ≥ 1. Sean x ∈ F−0 y r := vP (x).Entonces vP (xt−r) = 0 y entonces

v′P (x) = v′P (xt−r) + v′P (tr) = 0 + rv′P (t) = evP (x).

3) implica 2): Sea x ∈ OP . Entonces vP (x) ≥ 0. Como OP ⊆ O′P ,

tenemos que v′P (x) = evP (x) ≥ 0 por lo que x ∈ O′P .

Sea x ∈ P ′∩F . Tenemos entonces que 0 < v′P (x) = evP (x) lo que implicaque vP (x) > 0.

Una consecuencia importante de la Proposicion anterior es que podemosinyectar de manera canonica el campo residual FP en el campo residual F ′

P ′

como siguex(P ) 7→ x(P ′) para x ∈ OP .

Es decir podemos considerar a FP como subcampo de F ′P ′. La proposicion

y la discusion anterior motiva la siguiente

Definicion 4.7.3. Sea F ′/K ′ una extension algebraica de F/K, y sea P ′ ∈PF ′ un lugar de F ′/K ′ sobre P ∈ PF .

78

1. Al entero e(P ′|P ) := e con vP ′(x) = e · vP (x) para toda x ∈ F se lellama el ındice de ramificacion de P ′ sobre P . Diremos que P ′|Pes ramificado si e(P ′|P ) > 1, y P ′|P es no ramificado si e(P ′|P ) = 1.

2. A f(P ′|P ) := [F ′P ′ : FP ] se le llama el grado relativo de P ′ sobre P .

Ahora queremos investigar la existencia de extensiones de lugares en ex-tensiones de campos de funciones. Sea pues P ∈ P′

F donde F ′/K ′ es unaextension algebraica de F/K. Afirmamos que existe una funcion 0 6= z ∈ Ftal que v′P (z) 6= 0.

Supongamos que esta afirmacion es falsa. Sea t ∈ F ′ con vP ′(t) > 0. Alser t algebraico existe una ecuacion de la forma

cntn + cn−1t

n−1 + · · · + ct + c0 = 0

con ci ∈ F , c0 6= 0 y cn 6= 0. Por hipotesis tenemos que vP ′(c0) = 0 yvP ′(cit

i) = vP ′(ci) + ivP ′(t) > 0 para i = 1, . . . , n. Esto ultimo contradice ladesigualdad del triangulo estricta.

La discusion anterior dice que O = O′P ∩ F es un anillo de valoracion de

F/K y P = P ′ ∩ F el lugar correspondiente. Es claro ahora que existe ununico lugar P ∈ PF tal que P ′|P .

Ahora consideremos un lugar P ∈ PF . Sea x ∈ F − K tal que Psea su unico cero, es decir vP (x) > 0. Entonces si P ′|P tenemos quev′P (x) = e(P ′|P )vP (x) > 0 lo que dice que P ′ es un cero de x en PF ′. Ahorasupongamos que v′P (x) > 0, y sea Q = P ′∩F el lugar que esta debajo de P ′.Entonces vQ(x) > 0 lo que dice que Q es un cero de x y como x solo tiene aP como cero concluimos que Q = P .

En este contexto tenemos que

P ′|P si y solo si vP ′(x) > 0.

En particular, tenemos que un lugar P ∈ PF tiene un numero finito deextensiones P ′ ∈ PF ′. Podemos entonces definir un homomorfismo de elgrupo de divisores DF al grupo de divisores DF ′:

Definicion 4.7.4. Sea F ′/K ′ una extension algebraica de F/K. Definimosla conorma de un lugar P ∈ PF como el divisor

ConF ′/F (P ) :=∑

P ′|P

e(P ′|P )P ′,

79

aquı la suma corre sobre todos los lugares P ′ ∈ PF ′ que estan encima de P .Este mapeo se extiende de manera natural a DF como sigue:

ConF ′/F (∑

nPP ) :=∑

nPConF ′/F (P ),

Una propiedad interesante de la conorma es que manda divisores princi-pales en divisores principales: sea x ∈ F . El divisor principal de x en F ′,denotado por (x)F ′

es

(x)F ′

=∑

P ′∈PF ′

vP ′(x)P ′ =∑

P∈PF

∑

P ′|P

e(P ′|P )vP (x)P ′

=∑

P∈PF

vP (x)ConF ′/F (P ) = ConF ′/F (∑

P∈PF

vP (x)P )

el lado derecho de la igualdad anterior es ConF ′/F ((x)). Como consecuenciala conorma induce un homomorfismo de los grupos de clases de divisoresConF ′/F : CF → CF ′ .

Nuestro siguiente objetivo es encontrar una relacion entre los grados deun divisor D ∈ DF y su conorma.

Supongamos que F ′/K ′ es una extension finita de F/K y sean P ∈ PF

un lugar de F/K y P1, . . . , Pm ∈ PF ′ todos los lugares de F ′/K ′ que estansobre P . Definimos ei := e(Pi|P ) y fi := f(Pi|P ). Sea x ∈ F tal que P seasu unico cero, y sea r := vP (x) > 0. Entonces P1, . . . , Pm son todos los cerosde x en PF ′. Con esta informacion podemos calcular

[F ′ : K(x)] = [F ′ : K ′(x)][K ′(x) : K(x)]= grado((x)F ′

0 )[K ′ : K]= (

∑mi=1 vPi

(x)grado(Pi)) [K ′ : K]=

∑mi=1 (eivP (x)[F ′

Pi: K ′][K ′ : K])

= r ·∑m

i=1[F′Pi

: FP ][FP : K]= r · grado(P ) ·

∑mi=1 eifi.

Por otro lado

[F ′ : K(x)] = [F ′ : F ][F : K(x)] = [F ′ : F ] · r · grado(P ),

pues rP es el divisor de ceros de x en F . Combinando estas dos ecuacionestenemos que

[F ′ : F ] =

m∑

i=1

eifi.

En particular, en una extension finita F ′/K ′ de F/K tenemos que

80

1. |P ′ ∈ PF ′|P ′ esta sobre P| ≤ [F ′ : F ].

2. Si P ′|P entonces e(P ′|P ) ≤ [F ′ : F ] y f(P ′|P ) ≤ [F ′ : F ].

Sea P ∈ PF . Entonces

grado(ConF ′/F (P )) = grado(

∑

P ′|P e(P′|P ) · P ′

)

=∑

P ′|P e(P′|P ) · [F ′

P ′ : K ′]

=∑

P ′|P e(P′|P ) ·

[F ′

P ′:K]

[K ′:K]

= 1[K ′:K]

·∑

P ′|P e(P′|P ) · [F ′

P ′ : FP ][FP : K]

= 1[K ′:K]

·(

∑

P ′|P e(P′|P ) · f(P ′|P )

)

· grado(P )

= [F ′:F ][K ′:K]

· grado(P ).

Como Corolario de la discusion anterior tenemos que para D ∈ DF

grado(ConF ′/F (D)) =[F ′ : F ]

[K ′ : K]· grado(D).

Estamos en condiciones de dar un criterio para determinar la irreducibi-lidad de polinomios con coeficientes en un campo de funciones:

Proposicion 4.7.2 (Criterio de Einsenstein). Consideremos el campo defunciones F/K y un polinomio

ϕ(T ) = anTn + an−1T

n−1 + · · · + a1T + a0

con coeficientes ai ∈ F . Supongamos que existe un lugar P ∈ PF tal que unade las siguientes condiciones (a) o (b) se satisface:

(a) vP (an) = 0, vp(ai) ≥ vP (a0) > 0 para i = 1, . . . , n− 1, y

MCD(n, vP (a0)) = 1.

(b) vP (an) = 0, vp(ai) ≥ 0 para i = 1, . . . , n− 1, vP (a0) < 0, y

MCD(n, vP (a0)) = 1.

Entonces ϕ(T ) es irreducible en F [T ]. Si F ′ = F (y) = K(x, y) con ϕ(y) = 0,entonces P tiene una unica extension P ′ ∈ PF ′, e(P ′|P ) = n y f(P ′|P ) = 1.

81

Demostracion: Consideremos la extension F ′ = F (y) con ϕ(y) = 0.Tenemos que [F ′ : F ] = grado(ϕ) si y solo si ϕ(T ) es irreducible. Sea P ′

alguna extension de P en F ′. Tenemos que

−anyn = a0 + a1y + · · ·+ an−1y

n−1.

Supongamos que ocurre (a): vemos que vP ′(y) > 0. Sea e := e(P ′|P ),entonces vP ′(a0) = e · vP (a0) y vP ′(aiy

i) = e · vP (ai) + i · vP ′(y) > e · vP (a0)para i = 1, . . . , n− 1. La desigualdad del triangulo estricta nos dice que

n · vP ′(y) = e · vP (a0).

Como MCD(n, vP (a0)) = 1 tenemos que n|e y entonce n ≤ e. Por otrolado habiamos visto que n ≥ [F ′ : F ] ≥ e. Entonces

n = e = [F ′ : F ].

4.8 Codigos de Goppa

Sea F/K un campo de funciones algebraico de genero g. Sean P1, . . . , Pn ∈PF n lugares distintos de grado 1 de F . Definimos el divisor

D := P1 + · · ·+ Pn ∈ DF ,

y sea G ∈ DF un divisor tal que soporte(G) ∩ soporte(D) = ∅. El codigo

de Goppa o codigo geometrico CL(D,G) asociado a los divisores D y Gse define como

CL(D,G) := (f(P1), . . . , f(Pn))|f ∈ L(G) ≤ Fnq .

Notemos que toda f ∈ L(G) esta definida en Pi (vPi(f) ≥ 0), i = 1, . . . , n,

por lo que f(Pi) ∈ Fq. De esta manera CL(D,G) es simplemente la imagendel espacio L(G) bajo el mapeo lineal evaluacion

evD : L(G) −→ Fnq

dado por evD(f) := (f(P1), . . . , f(Pn)).Esta definicion es analoga a la de los codigos de Reed-Solomon. De hecho,

en el caso del codigo Reed-Solomon RS(k, q) tenemos que F = K(x),

D = P0 + P1 + Pα + · · · + Pαq−2

82

yG = k · P∞.

Se sigue que Ker(evD) = L(G−D) por lo que, usando Riemann-Roch

dim(CL(D,G)) = dim(G) − dim(G−D).

Ahora sea f ∈ L(G) tal que d = peso(evD(f)). Entonces f tiene exactamenten− d ceros Pi1 , . . . , Pin−d

∈ soporte(D). Esto ultimo nos dice que

f ∈ L(G− (Pi1 + . . .+ Pin−d)),

de donde

0 ≤ grado(G− (Pi1 + . . .+ Pin−d)) = grado(G) − (n− d).

Por lo que d ≥ n−grado(G). Entonces CL(D,G) es un codigo con parametros

[n, dim(G) − dim(G−D),≥ n− grado(G)]q.

83

Capıtulo 5

Extensiones de grado dos

Consideremos el polinomio

T 2 + a(x) ∈ K(x)[T ]

cona(x) = xm + am−1x

m−1 + · · · + a1x+ a0

y P = (x)∞, m > 2 impar. Por el criterio de Einsenstein (b) el polinomioϕ(T ) := T 2 + a(x) es irreducible sobre K(x). Sea F := K(x, y) con

ϕ(y) = y2 + a(x) = 0.

El mismo criterio nos dice que P tiene una unica extension Q en F , e(Q|P ) =2 y f(Q|P ) = 1. Es decir Q es un lugar de grado uno y K es el campo deconstantes de F .

Entonces(x)F

∞ = −vQ(x)Q = −2 · vP (x)Q = 2Q.

Comoy2 = −a(x) = −(xm + am−1x

m−1 + · · ·+ a1x+ a0)

tenemos que2vQ(y) = mvQ(x) = 2mvP (x) = −2m,

es decir vQ(y) = −m. Por lo que

(y)F∞ = mQ.

Como consecuencia inmediata tenemos que 2 y m son ordenes polares de Q.Como el conjunto de ordenes polares de Q es un semigrupo, tenemos que

84

todo natural > 2m− 2−m = m− 2 es orden polar de Q. El Teorema se lossaltos de Weierstrass nos dice que

g =m− 1

2

pues, en particular 2i es orden polar de Q para i = 1, 2, . . ..Supongamos que F es una extension cuadratica de K(x) de genero g > 0.

Entonces existe z ∈ F tal que z2 ∈ K(x) si char(K) 6= 2. En particularF = K(x, z) con z2 = a(x) ∈ K(x). Escribiendo

a(x) = c ·∏

pi(x)αi , c ∈ K − 0,

con pi ∈ K[x] polinomios monicos irreducibles y αi ∈ Z. Escribamos αi =2βi + ri, con βi ∈ Z y ri ∈ 0, 1. Sea

y := z ·∏

p−βi

i .

Entonces F = K(x, y) con y2 = f(x) ∈ K[x] de grado 2g + 1 o 2g + 2.Notemos que f(x) no tiene factores cuadraticos.

5.1 Campos de funciones elıpticos

Un campo de funciones F/K se dice elıptico si tiene genero 1 y existe undivisor A ∈ DF de grado 1.

El Teorema de Rieman-Roch dice que dim(A) = grado(A) + 1 − g = 1por lo que A es equivalente a un divisor efectivo A1 de grado 1. Se sigueque A1 = P ∈ PF es un lugar de grado 1. Eso quiere decir que un campoelıptico tiene al menos un lugar de grado uno. Como 2g − 2 = 0, Rieman-Roch nos dice que dim(iP ) = i y dim((i+ 1)P ) > dim(iP ) para i > 0. Seanx1 ∈ L(2P ) −K, y1 ∈ L(3P ) − L(2P ). Entonces

(x1)∞ = 2P, (y1)∞ = 3P,

lo que implica que [F : K(x1)] = 2 y que [F : K(y1)] = 3. Se sigue queF = K(x1, y1). Los siete elementos 1, x1, y1, x

21, x1y1, x

31, y

21 son linealmente

dependientes pues pertenecen al espacio L(6P ) de dimension 6. Por lo queexiste una relacion no trivial de la forma

a1y21 + b1x1y1 + c1y1 = d1x

31 + e1x

21 + f1x1 + g1,

85

con a1, . . . , g1 ∈ K, a1, d1 6= 0. Despues de multiplicar por a31d

21 y susti-

tuyendo y2 = a21d1y1 y x2 = a1d1x2 obtenemos que F = K(x2, y2) con

y22 + (b2x2 + c2)y2 = x3

2 + e2x22 + f2x2 + g2

con b2, c2, e2, f2, g2 ∈ K.Si char(K) 6= 2 podemos sustituir y = y2 + (b2x2 + C2)/2 y x = x2 para

obtener que F = K(x, y) con

y2 = x3 + ex2 + fx+ g = f(x) ∈ K[x].

Por otro lado, si char(K) = 2 entonces sustituimos

y3 =y2

(b2x2 + c2).

Nota que b2x2 + c2 6= 0 pues, en caso contrario, y22 ∈ K(x2) implica que

la extension F/K(x2) es puramente inseparable de grado 2, es decir F 2 =K(x2); como el genero de K(x2)/K es cero y el genero de F 2/K es uno (Fy F 2 son isomorfos via Frobenio) aribamos a una contradiccion. Obtenemosque F = K(x2, y3) con

y23 + y3 =

x32 + e2x

22 + f2x2 + g2

(b2x2 + c2)2.

Si b2 = 0 entonces el lado derecho es un polinomio de grado 3 en K[x2].Si b2 6= 0 entonces el lado derecho de la ecuacion se puede escribir (usandofracciones parciales) como

Ax2 +B +C

(b2x2 + c2)2+

D

b2X2 + c2

con A,B,C,D ∈ K, A 6= 0. Sea C1 ∈ K tal que C = C21 . Sea

y4 = y3 +C1

b2X2 + c2,

entonces

y24 + y4 = A2x2 +B2 +

C2

b2X2 + c2con A2, B2, C2 ∈ K, A = A2 6= 0. Notemos que C2 6= 0 pues, de otra manera,F = (x2, y4) serıa racional. Finalmente escribimos y = y4 y x = A2X2 + B2

para obtener que F = K(x, y) con

y2 + y = x+1

ax+ b

con a, b ∈ K, a 6= 0.

86

5.2 Ejemplo

En este ejemplo usaremos como campo base a F4 = 0, 1, α, α2 donde

α2 + α + 1 = 0.

Consideremos el campo de funciones F := F4(x, y) con

y2 + y = x3.

Sea P∞ el polo de x en Fx(x). Por el criterio de Einsenstein, usando P∞, elpolinomio T 2 + T − x3 es irreducible por lo que [F : F4(x)] = 2. El mismocriterio nos dice que hay un unico lugar Q∞ ∈ PF que esta encima de P∞,que e(Q∞|P∞) = 2 y por lo tanto f(Q∞|P∞) = 1 lo que nos dice que Q∞ esun lugar de grado uno en F . Entonces

vQ∞(x) = 2 · vP∞

(x) = −2,

vQ∞(y2 + y) = min2vQ∞

(y), vQ∞(y) = 2vQ∞

(y) = −2 · 3

por lo quevQ∞

(y) = −3.

Tenemos que(x)F

∞ = 2Q∞

y(y)F

∞ = 3Q∞.

De lo anterior tenemos que las funciones xiyj ∈ L(rQ∞) para 0 ≤ 2i+3j ≤ r.Supongamos ahora que Q ∈ PF − Q∞ es un lugar de grado uno. Eva-

luando en Q obtenemos x1 = x(Q) ∈ F4, y1 := y(Q) ∈ F4 tales que

y21 + y1 = x3

1.

Por lo que los lugares de grado uno de F quedan determinados por pares deelementos (x1, y1) en F2

4 tales que y21 + y1 = x3

1. En este ejemplo podemoscalcular todos los lugares de grado uno distintos de Q∞:

(0, 0), (0, 1), (1, α), (1, α2), (α, α), (α, α2), (α2, α), (α2, α2).

Podemos ahora construir un codigo de Goppa: Por ejemplo, definimos losdivisores D,G ∈ DF

D := (0, 0) + (0, 1) + (1, α) + (1, α2) + (α, α) + (α, α2) + (α2, α) + (α2, α2)

87

yG := 3 ·Q∞.

Las funciones 1, x, y ∈ L(G), y son linealmente independientes. Como

grado(G) = dim(G) = 3

las funciones 1, x, y son una base para L(G). Una matriz generadora para elcodigo de Goppa asociado a los divisores D y G es

(0, 0) (0, 1) (1, α) (1, α2) (α, α) (α, α2) (α2, α) (α2, α2)1 1 1 1 1 1 1 1 1x 0 0 1 1 α α α2 α2

y 0 1 α α2 α α2 α α2

El codigo obtenido tiene parametros

[8, 3, 5]4

y puede corregir 2 errores de transmision.

5.3 Ejercicios

1. Demuestra que si char(K) 6= 2 el polinomio cubico f(x) en la ecuaciony2 = f(x) no tiene factores cuadraticos.

2. En referencia al ejemplo. Sean ǫ ∈ F∗4, δ, µ ∈ F4 tales que

µ2 + µ = δ3.

Demuestra que existe un automorfismo σ ∈ Aut(F/F4(x)) tal queσ(x) := ǫx + δ y σ(y) = ǫ3y + ǫδqx + µ. Concluye que el codigodel ejemplo tiene al menos 24 automorfismos.

5.4 Campos de funciones hiperelıpticos

Un campo de funciones F/K se dice hiperhelıptico si g ≥ 2 y F contieneun subcampo racional K(x) tal que [F : K(x)] = 2.

Supongamos que F/K es un campo hiperelıptico de genero g. Entonces[F : K(x)] = 2 para alguna x ∈ F . Se sigue que grado((x)∞) = 2. Sea

88

A = (x)∞, entonces 1, x ∈ L(A) por lo que dim(A) ≥ 2. Por lo que todocampo hiperelıptico tiene al menos un divisor A ∈ DF con grado(A) = 2 ydim(A) ≥ 2.

Recıprocamente, supongamos que F/K es un campo de funciones degenero g ≥ 2 y tal que existe A ∈ DF con grado(A) = 2 y dim(A) ≥ 2. Sesigue que existen un divisor efectivo A1 ∼ A, con grado(A1) = 2 y dim(A1) ≥2 y x ∈ L(A1) −K. Entonces (x)∞ ≤ A1 y [F : K(x)] = grado((x)∞) ≤ 2.Pero como F no es racional (g ≥ 2) tenemos que, en particular, F 6= K(x),por lo tanto [F : K(x)] = 2. Entonces todo campo de funciones F/K degenero g ≥ 2 tal que existe a ∈ DF con grado(A) = 2 y dim(A) ≥ 2 eshiperelıptico.

Podemos demostrar ahora que todo campo de funciones de genero g = 2es hiperelıptico: Consideremos un divisor canonico W ∈ DF . Tenemos quegrado(W ) = 2g− 2 = 2 y dim(W ) = g = 2. El parrafo anterior nos dice queF/K es hiperelıptico.

5.5 Ejemplo

Sea F8 = 0, 1, α, α2, α3, α4, α5, α6 tal que α3 + α2 + 1 = 0. Consideremosel campo de funciones hiperelıptico de genero 2 F = F8(x, y) con

y2 + y = x(x− 1)(x− α)(x− α2)(x− α3).

Sus lugares de grado uno distintos de Q∞ son

P1 := (0, 0), P2 := (0, 1), P3 := (1, 0), P4 := (1, 1),P5 := (α, 0), P6 := (α, 1), P7 := (α2, 0), P8 := (α2, 1),

P9 := (α3, 0), P10 := (α3, 1), P11 := (α4, α2), P12 := (α4, α3).

Se sigue del crierio de Einseinstein que

(x)F∞ = 2Q∞

y que(y)F

∞ = 5Q∞.

Definimos los divisores

D := P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 + P8 + P9 + P10 + P11 + P12

89

yG := 5 ·Q∞.

Tenemos que las funciones xiyj pertenecen a L(G) si y solo si 2i + 5j ≤ 5,ademas son linealmente independientes sobre K. Por Riemann-Roch

dim(G) = grado(G) + 1 − g = 5 + 1 − 2 = 4.

Se sigue que las funciones1, x, x2, y

son una base para L(G). Una matriz generadora para el codigo de Goppaasociado a los divisores D y G es

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1x 0 0 1 1 α α α2 α2 α3 α3 α4 α4

x2 0 0 1 1 α2 α2 α4 α4 α6 α6 α αy 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 α2 α3

Este codigo tiene parametros

[12, 4, 7]8

Y puede corregir 3 errores de transmision.

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Bibliografıa

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