homotecia nº 4-10 abril 2012servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2012/4-2012.pdf · 2016-08-23 ·...

HOMOTECIA Nº 4 – Año 10 Lunes, 2 de Abril de 2012 1

¿Cuándo una persona es culta? Quienes que se han dedicado a estudiar este caso, defienden la idea de explicar los fenómenos sociales desde lo socio-cultural, con base en sostener que las conductas de los seres humanos que coexisten en comunidad, así como el tipo de bienes materiales que producen para ayudarse a buen vivir, son consecuencias de la práctica de unos valores y unas reglas que norman a la sociedad que los incluye. Así, intentan explicar uno a uno los elementos de una cultura específica en cuanto a la relación que existe entre estos, buscando que se haga evidente que los patrones de las conductas sociales de las personas están intrínsecamente relacionados con los valores y las normas de la cultura con las que se identifican. Por lo anterior, están de acuerdo en que cada ser durante el proceso de su crecimiento va asimilando, convenciéndose, aceptando y practicando el modo de pensar (ideas y creencias), la manera de hablar e inclusive los comportamientos (costumbres) de la sociedad a la que pertenece, lo que les permite afirmar que la vida de esta persona se desenvuelve en el contexto de las características de una determinada práctica cultural. Esta cultura la hereda desde el nacimiento y durante el transcurso de la infancia, transmitida por el contacto con los seres de mayor edad que conforman el núcleo familiar. Al llegar a adulto, se espera que haya aprendido lo necesario y suficiente para establecer, por su propia cuenta, contacto y participar en convivencia con el resto de sus conciudadanos. Con lo anterior aclaran que ser culto no es solamente manifestar maneras y gestos refinados, dominar varios idiomas, tener una profesión universitaria, asistir al teatro, a la ópera, por citar algunos elementos, porque aunque éstos pueden ser expresiones que caracterizan los hábitos que acostumbran practicar cierto grupo de personas, por lo que pueden aceptarse como elementos culturales pero que al no ser una manifestación de generalidad social, no serían elementos principales para definir el perfil de una cultura. Para ellos, de cierta manera el perfil de una cultura practicada por una sociedad lo determina el cómo las personas que la conforman, se comportan y comparten con sus pares ciudadanos, cómo se respetan los unos a los otros para poder vivir y convivir. De ser esto así, es posible afirmar que una persona se hace culta en la medida que su conducta social se identifique (se aproxime a) con los parámetros culturales de su sociedad. Esta cultura, en lo que puede llamarse una definición convencional, son los elementos materiales e inmateriales que determinan en su totalidad, el modo de vida de una comunidad, en la que se advierten técnicas (habilidades y destrezas), pautas sociales (moral exigida, creencias, costumbres, hábitos permitidos, prácticas religiosas tradicionales), lenguaje, normativas que regulan los sistemas sociales, económicos y políticos. Entonces, ¿puede haber personas incultas? Mejor aun, ¿cuándo, dentro de una sociedad, una persona debería ser considerada inculta? Si se afirma que una persona culta, o con gran cultura, es la que se comporta conforme a las pautas y reglas imperantes, entonces inculta debería ser “la grosera”, “la desobediente”, “la que no acata las reglas ni las normas”. Pero la tendencia es aceptar que si los seres humanos se desarrollan en un núcleo social, esto los lleva a compartir creencias, valores, costumbres, tradiciones y educación; es decir practican una cultura. Se insinúa así una escala de amplio espectro, donde los extremos serían “poco culturizado” y “altamente culturizado”, lo que incluye que cada ser determinará el grado de cultura a poseer si se entiende que este grado se evidencia por el cúmulo de manifestaciones humanas que se heredan y se aprenden en cuanto a lenguaje, folclor, bailes, artes, costumbres, hábitos, moral, religiosidad, creencias, habilidades, destrezas y educación y, junto a esta última, el conocimiento socialmente adquirido, dejando ver que mantenerse en una práctica cultural es asimilar y adaptarse a los cambios epocales. Concluyen entonces que dentro de una sociedad no hay personas incultas. Pero ¿serán suficientes estas razones para llegar a esta afirmación? Parecieran que lo son pero unas investigaciones sobre conducta animal (chimpancés) en Gombe, Tanzania (por Jane Goodall), en Guinea Ecuatorial (por Jordi Sabater Pi), y en Costa de Marfil (por C. y H. Boesch) pusieron en dudas los criterios hasta ahora manejados (los resultados obligaron la pregunta: ¿estos chimpancés practican una cultura?) y se buscó entonces otros juicios sobre rasgos que permitieran ser más exactos a la hora de decidir cuando las pautas de conductas tanto de los seres humanos como la de los animales son naturales o culturales. Esta situación hizo que se manejaran ideas y principios de la teoría de la información, llevando a Richard Dawkins a introducir la noción de meme, que definió como la unidad o trozo elemental de información adquirida. Esta noción condujo a la que se llama concepción científica de cultura, en la que se manifiesta que cultura es la información transmitida por aprendizaje social entre animales de una misma especie, descartando cualquier posibilidad de aceptar que por vía natural o genética pueda transmitirse información cultural. Así, lo culto de un individuo de cualquier especie estará determinado por el número de memes que estén presentes en su cerebro en un momento determinado. En consecuencia, lo avanzado de la cultura de una sociedad lo determinará el número de memes presentes en los cerebros de los miembros que la integran. Cabe preguntarse: ¿Cuán culta es una sociedad que posee muchos memes si la mayoría de los mismos se encuentran en pocos cerebros?

ISAAC BARROW

(1630-1677)

Nació durante el mes de Octubre de 1630 y falleció el 4 de Mayo de 1677.

Ambos eventos en Londres, Inglaterra.

Matemático y teólogo. Fue profesor de matemáticas en la

Universidad de Cambridge hasta 1669, cuando abandonó

esta cátedra para dedicarse a la enseñanza de la teología.

Sus trabajos fueron fundamentales para el desarrollo del

cálculo infinitesimal. Enunció la relación recíproca entre la

diferencial y la integral, y editó diversas obras de antiguos

matemáticos.

Isaac Barrow fue un teólogo, profesor y matemático inglés al que históricamente se le ha dado menos mérito en su papel en el desarrollo del cálculo moderno. En concreto, en su trabajo respecto a la tangente. Por ejemplo, Barrow es famoso por haber sido el primero en calcular las tangentes de la curva Kappa. Isaac Newton fue discípulo de Barrow.

Barrow empezó el colegio en Charterhouse (donde era tan agresivo y peleón que se cuenta que su padre rezaba a Dios para pedirle que, si algún día tuviera que llevarse a alguno de sus hijos, se llevara a Isaac). Completó su educación en el Trinity College, en Cambridge, donde su tío y tocayo (más tarde obispo de St. Asaph), era Miembro de la Junta de Gobierno del colegio. Fue muy estudioso, sobresaliendo especialmente en matemáticas; tras graduarse en 1648, le fue concedido un puesto de investigación en 1649. Residió unos cuantos años en Cambridge, y le fue ofrecido un puesto de profesor de griego en Cambridge, pero en 1655 fue expulsado debido a la persecución a la que era sometido por los independientes. Los siguientes cuatro años estuvo viajando por Francia, Italia e incluso Constantinopla, y tras varias aventuras regresó a Inglaterra en 1659.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

Reflexiones

"Descubrir con precisión lo que no ha sucedido ni va a suceder es el privilegio inapreciable de todo hombre culto y de talento". Oscar Wilde


(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Fue ordenado al año siguiente, así como nombrado Profesor Regius de griego en Cambridge. En 1662 fue profesor de Geometría en el Gresham College, y en 1663 fue elegido primer profesor Lucasiano en Cambridge. Mientras ocupaba esta cátedra publicó dos trabajos matemáticos de gran aprendizaje y elegancia, el primero de ellos en Geometría y el segundo en Óptica. En 1669 dejó la cátedra en favor de su pupilo, Isaac Newton, quien fue considerado durante mucho tiempo el único matemático inglés que le ha superado. Durante este tiempo también escribió sus Expositions of the Creed, The Lord's Prayer, Decalogue, and Sacraments. El resto de su vida fue muy devota pues se dedicó al estudio de la teología. En 1672 fue director del Trinity College, donde fundó una biblioteca, que regentó hasta su muerte en Cambridge en 1677.

Además de los trabajos ya mencionados, escribió otros importantes tratados en matemáticas, pero en la literatura se dedicó especialmente a escribir sermones, que fueron obras maestras de argumentaciones elocuentes, donde su tratado Pope's Supremacy es considerado como uno de los tratados de controversia más perfectos que existen. Barrow como hombre fue en todos los aspectos digno de sus grandes talentos, aunque tuvo una gran vena excéntrica. Murió sin casarse en Londres a la temprana edad de 47 años.

Ha sido descrito como "bajo de estatura, flaco y de pálido aspecto", despreocupado en sus vestimentas y un empedernido fumador. Fue notoria su fuerza y valentía, y se cuenta que una vez cuando viajaba hacia el Este logró esquivar el ataque de unos piratas gracias a su destreza. Su predisposición e ingenio le hicieron favorito de Charles II, quien indujo a sus cortesanos a respetarle aunque no le mostraran aprecio. Escribía muy a menudo y con elocuencia, y con su intachable vida y su escrupulosa conciencia fue uno de los personajes más impresionantes de su tiempo.

Su primer trabajo fue una edición completa de los Elementos de Euclides, que fue editado en latín en 1655 y posteriormente en inglés en 1660; en 1657 publicó una edición de Datos. Sus lecturas, publicadas en 1664, 1665 y 1666, fueron más tarde publicadas en 1683 bajo el título de Lecciones Matemáticas (en latín Lectiones Mathematicae); la mayoría hablan de fundamentos de metafísica para verdades matemáticas. Sus lecturas de 1667 fueron publicadas el mismo año, y hablan del análisis sobre cómo Arquímedes pudo llegar a los resultados que obtuvo. En 1669 publicó sus Lectiones Opticae et Geometricae en el que se aproxima al actual proceso de diferenciación al determinar tangentes a curvas y estableció que la derivación y la integración son procesos inversos. Se dice en el prefacio que el propio Newton revisó y corrigió personalmente estas lecturas, añadiendo ideas propias, pero parece probable que los comentarios de Newton sólo se refirieron a aquellas partes que hablan de los tratados de óptica. Este trabajo, que es su trabajo más importante en matemáticas, volvió a ser publicado con algunas pequeñas modificaciones en 1674. En 1675 publicó una nueva edición con numerosos comentarios de los primeros cuatro libros de On Conic Sections de Apolonio de Pérgamo, y de otros trabajos de Arquímedes y de Teodosio.

Imágenes obtenidas de:


Aportes al conocimiento

Resolviendo integrales:

IInntteeggrraalleess ssiinn ffuunncciióónn pprriimmiittiivvaa..

El sentido de resolver una integral indefinida es encontrar la función primitiva de la misma.

Durante nuestros estudios de cálculo, nos encontramos con ciertas funciones que al integrarlas, se nos dificulta hallar su función primitiva mediante las técnicas de integración conocidos. Es por ello que se hacen arreglos con funciones especiales para obtener un resultado válido, aproximándolo a la función primitiva.

Un caso conocido es el de la integral ∫ dxTgx . He aquí la propuesta de una posible solución.

Primero se plantea la ecuación diferencial ordinaria (EDO): 0=−′ Tgxy , y el objetivo será encontrar la solución

general (sg) de dicha EDO. Apliquemos el método de variables separables:

)1(

0

∫

∫∫

=

=

=

=

=′

=−′

dxxTgy

dxxTgdy

dxxTgdy

xTgdx

dy

xTgy

Tgxy

Realicemos el siguiente cambio de variable (CVA):

duu

udx

dxuudu

dxxTgudu

dxxSecudu

xTgu

4

4

2

2

2

1

2

)1(2

)1(2

2

+=

+=

+=

=

=

Sustituyendo en (1) el cambio de variable, se tiene:

)2(1

2

1

24

2

42 du

u

udu

u

uuy ∫∫ +

=+

⋅=

El denominador en (2) es un polinomio de grado cuatro y no posee raíces reales; para factorizarlo utilizaremos una completación de cuadrados:




( )

)12()12(1

)21()21(1

211

2211

2211

224

224

2224

2424

2244

+−++=+

−+++=+

−+=+

−++=+

−++=+

uuuuu

uuuuu

uuu

uuuu

uuuu

Sustituyendo en (2):

∫ +++− )12()12(

222

2

uuuu

duu

Este es un cociente que admite la aplicación del método de fracciones parciales. Siendo los factores en el

denominador cuadráticos irreducibles, tenemos:

)3(12

212

2)12()12(

2)12()12(

22222

2

22

2

duuu

DCudu

uu

BAu

uuuu

duu

uuuu

duu∫∫∫∫ ++

+++−

+=+++−

=+++−

Luego:

)()22()22()(

2222

)12)(()12)((

12121

232

2232232

222

224

2

DBuDBCAuDCABuCAu

DDuDuCuuCCuBBuBuAuuAAuu

uuDCuuuBAuu

uu

DCu

uu

BAu

u

u

++−++++−+++=

+−++−++++++=

+−+++++=

++++

+−+=

+




=

−=

=

=

⇒

=+

=−++

=+−+

=+

0

4

2

0

4

2

)7(0

)6(022

)5(122

)4(0

D

C

B

A

DB

DBCA

DCAB

CA

Regresando a (3):

)()()()(

12

2

12

22

12

2

12

22

12

222

12

222

12

2

12

2

12

02

12

02

1

2

4321

242

242

242

242

242

242

242

242

242

242

4

2

IIII

duuu

duuu

udu

uudu

uu

u

duuu

udu

uu

u

duuu

udu

uu

udu

uu

udu

uu

udu

u

u

∫∫∫∫

∫∫

∫∫∫∫∫

+++

+++−

+−+

+−−=

=++

−+−+−

+−=

=++

−+−

=++

+−+

+−+

=+

Resolviendo I1:

12

42

12

42

142

42

242 1212

12

22CxTgxTgLnCuuLnCaLn

a

dadu

uu

u ++−=++−=+==+−

−∫∫

duuda

uua

CV

)22(

12

:2

1

−=

+−=

Resolviendo I2:

( ) ( ) ( )

( ) 2222

222

22

2222

12

222

22

21

2

222

22

42

242

122

2

2

)(2

2

2

2

)(2

2

2

2

2

2

2

)()(

2

12

2

CTgxArcTgCxTg

ArcTgCu

ArcTg

Cv

ArcTgv

dv

u

dudu

udu

uu

cuadrados)do(completan

+−=+

−=+

−=

+

=+

=+−

=+−

=+− ∫∫∫∫

dudv

uv

CV

=−= 2

2

2 :




Resolviendo I3:

32

42

32

42

342

42

242 1212

12

22CxTgxTgLnCuuLnChLn

h

dhdu

uu

u +++−=+++−=+−=−=++

+− ∫∫

duudh

uuh

CV

)22(

12

:2

3

+=

++=

Resolviendo I4:

Luego la solución general es:

( ) ( )

( ) ( ) CTgxArcTgTgxArcTgxTgxTg

xTgxTgLn

CCCCTgxArcTgxTgxTgLnTgxArcTgxTgxTgLn

IIIII

+++−++++−

=

=++++++++−−++−=

=+++=

122

212

2

2

12

12

122

21212

2

212

2

2

42

43212

422

42

4321

Así que:

( ) ( ) CTgxArcTgTgxArcTgxTgxTg

xTgxTgLndxxTgI +++−+

+++−

== ∫ 122

212

2

2

12

122

2

42

Considérese válida la solución.

LLVV

( ) ( ) ( )

( ) 4422

422

42

2222

12

222

222

12

222

224

2

242

122

2

2

)(2

2

2

2

)(2

2

2

2

2

2

2

)()(

2

12

2

CTgxArcTgCxTg

ArcTgCu

ArcTg

Cb

ArcTgb

db

u

dudu

udu

uu

cuadrados)do(completan

++=+

+=+

+=

+

=+

=++

=++

=++ ∫∫∫∫

dudb

ub

CV

=+= 2

2

4 :


VViiccttoorr WWeeiisssskkooppff Nació el 19 de septiembre de 1908, en Viena, Austria; y falleció el 22 de abril de 2002, en Cambridge, Massachusetts, E. E. U. U., a la edad de 93 años.

Se casó con Ellen Tvede.

“La existencia humana se basa en dos pilares: Compasión y

conocimiento. Compasión sin conocimiento es inefectivo;

conocimiento sin compasión es inhumano”.

Victor Weisskopf

VICTOR WEISSKOPF (1908-2002)

Victor Frederick Weisskopf. Físico austríaco estadounidense. Durante la Segunda Guerra Mundial trabajó en Los Álamos en el Proyecto Manhattan para desarrollar la bomba atómica, y después hizo campaña contra la proliferación de armas nucleares. Weisskopf fue co-fundador y miembro de la Unión de Científicos Preocupados. Sirvió como director general del CERN en 1961-1966. Weisskopf fue galardonado con la Medalla Max Planck en 1956 y el Prix mondial Cino Del Duca en 1972, National Medal of Science en 1980, y el Premio Wolf en 1981.

Si alguien es la conciencia parlante del científico de un país desarrollado, ese alguien puede ser Víctor Weisskopf, profesor del Instituto de Tecnología de Massachusetts. Exdirector del Centro Europeo de Investigaciones Nucleares y físico de primera desde hace mucho, Weisskopf no ha dejó de analizar la relación entre la ciencia y la sociedad con una mentalidad que bien refleja el mejor pensamiento occidental contemporáneo. En una reunión de la Sociedad Norteamericana de Física, convocada para conmemorar los 40 años del descubrimiento de la fisión nuclear por Hahn y Strassman, Weisskopf platicó acerca del "Peligro y la Esperanza". La visión científica de Weisskopf se manifiesta en varios puntos de su discurso: "Claramente hay algo diferente en los últimos desarrollos de la física que me gustaría, llamar el brinco al cosmos. Anteriormente estábamos principalmente interesados en procesos similares a los que ocurren en nuestro medio ambiente terrestre. En las últimas décadas, sin embargo, hemos dado un paso decisivo: ahora tratamos con fenómenos exclusivamente extraterrestres."

Para Weisskopf no es novedad la ambivalencia de los descubrimientos científicos: "De vez en vez, nuevos descubrimientos llevan a nuevas armas, a nuevas fuentes de energía y a innumerables aplicaciones de las que mucho bien ha surgido y también algunos resultados que no han sido buenos. En los últimos 20 años se ha puesto de moda enfatizar el no tan bueno; pero seamos objetivos y justos".


HOMOTECIA Nº 4 – Año 10 Lunes, 2 de Abril de 2012


Esta postura optimista no es gratuita, Weisskopf la adquiere de estudiar la historia él es un ejemplo de científico "culto" en la mejor aWeisskopf, la terrible potencialidad de desentrañar los secretos de las fuerzas nucleares y de los procesos de la vida tiene antecedentes en la coexistencia de las catedrales góticas con las cruzadas de hace 700 años; del arte y Renacimiento con las guerras religiosas hace 500 años; de la música de Mozart y Beethoven con los barcos de esclavos de hace siglo y medio; en nuestro siglo han dado la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad al mismo tiempo que loperiodos de nazismo y fascismo.

De lo que obviamente no puede escapar Weisskopf es de la perspectiva de ciudadano del Primer Mundo. Tiene razón en afirmar que el peligro del armamentismo nuclear es real y muy superior a los posibles peligros de los muchos críticos han dejado pasar de ladosobresale cuando afirma que "la abolición de las armas nucleares debe tener prioridad absoluta; todo lo demás debe subordinarse a esa meta". Las tdesarrollado —sea primero o segundomuerte, hambre y sufrimiento que una bomba atómica; y la situación sigue empeorando.

Desgraciadamente y "por construcción" tenga una visión personal, interna y clara, objetiva y moderna, tanto de la situación del llamado Tercer Mundo cuanto de las fronteras amplias de la ciencia. Si nuestros científicos y filósofos de veras son las peras del olmo, un filósofo de la autóctono y talentoso es tan escaso que no se ha dado.

Año 10 Lunes, 2 de Abril de 2012

Esta postura optimista no es gratuita, Weisskopf la adquiere de estudiar la historia él es un ejemplo de científico "culto" en la mejor acepción del términoWeisskopf, la terrible potencialidad de desentrañar los secretos de las fuerzas nucleares y de los procesos de la vida tiene antecedentes en la coexistencia de las catedrales góticas con las cruzadas de hace 700 años; del arte y Renacimiento con las guerras religiosas hace 500 años; de la música de Mozart y Beethoven con los barcos de esclavos de hace siglo y medio; en nuestro siglo han dado la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad al mismo tiempo que loperiodos de nazismo y fascismo.

De lo que obviamente no puede escapar Weisskopf es de la perspectiva de ciudadano del Primer Mundo. Tiene razón en afirmar que el peligro del armamentismo nuclear es real y muy superior a los posibles peligros de los reactores nucleares muchos críticos han dejado pasar de lado—. Pero su perspectiva primer mundista sobresale cuando afirma que "la abolición de las armas nucleares debe tener prioridad absoluta; todo lo demás debe subordinarse a esa meta". Las tensiones entre el mundo

sea primero o segundo— y todos los demás, producen tanta o más muerte, hambre y sufrimiento que una bomba atómica; y la situación sigue

Desgraciadamente y "por construcción" —como dicen los científicostenga una visión personal, interna y clara, objetiva y moderna, tanto de la situación del llamado Tercer Mundo cuanto de las fronteras amplias de la ciencia. Si nuestros científicos y filósofos de veras son las peras del olmo, un filósofo de la autóctono y talentoso es tan escaso que no se ha dado.

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Esta postura optimista no es gratuita, Weisskopf la adquiere de estudiar la historia —cepción del término—. Para

Weisskopf, la terrible potencialidad de desentrañar los secretos de las fuerzas nucleares y de los procesos de la vida tiene antecedentes en la coexistencia de las catedrales góticas con las cruzadas de hace 700 años; del arte y la filosofía del Renacimiento con las guerras religiosas hace 500 años; de la música de Mozart y Beethoven con los barcos de esclavos de hace siglo y medio; en nuestro siglo han dado la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad al mismo tiempo que los

De lo que obviamente no puede escapar Weisskopf es de la perspectiva de ciudadano del Primer Mundo. Tiene razón en afirmar que el peligro del armamentismo nuclear es

reactores nucleares —punto que . Pero su perspectiva primer mundista

sobresale cuando afirma que "la abolición de las armas nucleares debe tener prioridad ensiones entre el mundo

y todos los demás, producen tanta o más muerte, hambre y sufrimiento que una bomba atómica; y la situación sigue

como dicen los científicos— no hay quien tenga una visión personal, interna y clara, objetiva y moderna, tanto de la situación del llamado Tercer Mundo cuanto de las fronteras amplias de la ciencia. Si nuestros científicos y filósofos de veras son las peras del olmo, un filósofo de la ciencia

FUENTES:


PPaarraaddoojjaa ddee RRuusssseellll Fuente: Wikipedia.

Consulta: Agosto 29, 2011

La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell en 1901, demuestra que la teoría

original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.

La paradoja en términos de conjuntos.-

Supongamos un conjunto que consta de elementos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito es el que

supone un conjunto que consta de "ideas abstractas". Dicho conjunto es miembro de sí mismo porque el propio

conjunto es una idea abstracta, mientras que un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque

el conjunto en sí no es un libro. Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos

que no forman parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están

incluidos en sí mismos, como el de "libros" en el ejemplo anterior) forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en

que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto

forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.

Enunciemos la paradoja de otra forma: llamemos M al "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí

mismos como miembros". Es decir:

{ }xxxM ∉= :)1(

Según la teoría de conjuntos de Cantor, la ecuación (1) se puede representar por:

xxMxx ∉⇔∈∀)2(

Es decir "Cada conjunto es elemento de M si y sólo si no es elemento de sí mismo". Ahora, en vista de que M es un

conjunto, se puede substituir x por M en la ecuación (2), de donde se obtiene:

MMMM ∉⇔∈)3(

La paradoja en términos del barbero.-

La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del

barbero que se puede enunciar de la siguiente manera:

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet

diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner

sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y

ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo

por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó

sus angustias:

-- En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi

pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí

mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me

afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único

barbero de allí!




El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.

En lógica de primer orden, la paradoja del barbero se puede expresar como:

( ) ( )xxafeitarbarberoxafeitarx ,,)4( ¬⇔∀ (4)

Donde afeita (x, y) significa "x es afeitado por y". Lo anterior se leería como "Cada persona es afeitada por el barbero

si y sólo si no se afeita a sí misma". Es importante notar la semejanza entre las ecuaciones (2) y (4). Al substituir x por

barbero se obtiene

( ) ( )barberobarberoafeitarbarberobarberoafeitar ,,)5( ¬⇔

Es decir que el barbero se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo, lo cual es una contradicción.

Explicación de la paradoja.-

Los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc. y en este sentido los llamaremos

conjuntos normales.

La característica principal de un conjunto normal es que no se contiene a sí mismo. Pero también existen conjuntos

de conjuntos, como 2M

, que es el conjunto de subconjuntos de M.

Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo que se contenga a sí mismo. Esto último no es difícil si

tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las

cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros. Estos conjuntos que se

contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares.

Está claro que un conjunto dado o bien es normal o bien es singular, no hay término medio, o se contiene a sí mismo

o no se contiene. Ahora tomemos el conjunto C como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Qué clase de

conjunto es C? ¿Normal o Singular?

Si es normal, estará dentro del conjunto de conjuntos normales, que es C luego ya no puede ser normal. Si es

singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar en C, pero si no está en C

entonces no es singular.

Cualquier alternativa nos produce una contradicción, ésta es la paradoja.

Sin embargo, también existe la frase:

Si en una peluquería vemos el cartel: "yo afeito a quienes no se afeitan a si mismos, y solamente a estos", entonces

¿quién afeita al barbero?

Que muestra una solución más sencilla pues ninguna de las afirmaciones expuestas muestra una idea de conjunto

cerrado o estrictamente exclusivo.

Referencias

• López Mateos, Manuel (1978). Los Conjuntos. México D.F.: Publicaciones del Departamento de Matemáticas,

Facultad de Ciencias, UNAM.


LLaa ““lleeyy ddeell ssáánnddwwii

La “ley del sándwich” trata sobre un procedimiento para hallar el límite en un tipo de función que tiene las siguientes características:

• Existen las funciones f, g y h las cuales tienen un comportamiento conocido y• el límite a estudiar será el resultado de operar entre las funciones

La ley del sándwich enuncia como hipótesis:

Se tiene que ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ para todo x en una vecindad perforada de

Entonces se concluye que LxgLimax

=→

)(

Se va a aplicar el uso de la ley en la comprobación

El límite trigonométrico básico enuncia: 0→ θ

θθ

SenLim

Comprobación:

FIGURA 1

En el círculo unitario (radio

del límite propuesto.

Se tienen las áreas de los triángulos rectángulos

Como se observa en la figura 1, las áreas están relacionadas por la expresión:

b la base y h la altura de un triángulo rectángulo, el área se calcula con la ecuación

θ el ángulo barrido, el área de un sector circular se calcula con la ecuación

entonces son:

12BDEA BE DE= × × ,

12ABCA AB AC= × ×

θCosBE= , θTgAC= , se tiene:

θθ SenCosABDE 21=

θTgAABC 21=

12ABDA θ=

Sustituyendo en la relación (1): θθ SenCos21

Multiplicando por 2 en los tres miembros: θCos

Sustituyendo θθθθθθ SenCos

Cos

SenTg ≤= :

Multiplicando porθSen

1 (con θ distinto de cero) en los tres miembros:

Invirtiendo los términos: θ

θθ

CosSen

Cos≤≤1

Analizando el comportamiento de las funciones Cos

10

=→ θ

θθ

SenLim , lo que se quería comprobar

(1) N. E.: Teorema del Encaje.


wiicchh”” ((11)) yy ssuu aapplliiccaacciióónn eenn eell llíímmiittee ttrriiggoonnoommééttrriiPor: Lic. Roberto Ortega

trata sobre un procedimiento para hallar el límite en un tipo de función que tiene las siguientes características:

las cuales tienen un comportamiento conocido y el límite a estudiar será el resultado de operar entre las funciones f, g y h.

x en una vecindad perforada de a y que )( LimLxfLimxax →→

==

de la existencia del límite trigonométrico básico.

1=θ

En el círculo unitario (radio r=1) se van representar áreas, las cuales se van a comparar entre sí para llegar a la noción

del límite propuesto.

Se tienen las áreas de los triángulos rectángulos BDEA , ABCA y el área del sector circular

Como se observa en la figura 1, las áreas están relacionadas por la expresión:

la altura de un triángulo rectángulo, el área se calcula con la ecuación

el ángulo barrido, el área de un sector circular se calcula con la ecuación

A AB AC y 21

2ABDA r θ= , dado que 1AB r= = y por relaciones trigonométricas

θθ Tg21

21 ≤≤

θθθ TgSen ≤≤

θθ

Cos

Sen≤

distinto de cero) en los tres miembros: θθ

θθCosSen

Cos1≤≤

θCos

θCos y θCos

1cuando θ tiende a cero, 1

0=

→θ

θCosLim

comprobar.

11

iiccoo bbáássiiccoo..

trata sobre un procedimiento para hallar el límite en un tipo de función que tiene las siguientes características:

).(xhLima→

) se van representar áreas, las cuales se van a comparar entre sí para llegar a la noción

y el área del sector circular ABDA .

Como se observa en la figura 1, las áreas están relacionadas por la expresión: BDE ABD ABCA A A≤ ≤ (1). Siendo

la altura de un triángulo rectángulo, el área se calcula con la ecuación 12A bh= , y siendo r el radio y

el ángulo barrido, el área de un sector circular se calcula con la ecuación 21

2A r θ= . Las áreas en la figura 1

y por relaciones trigonométricas θSenDE= ,

1 y 11

0=

→ θθ CosLim por lo tanto:

R.O.


Nació el

Análisis computacional,

Fue niño prodigio pero se relacionaba poco con niños de su edad. Nieto de emigrantes que habían llegado a EEUU desde Varsoviapadre), y desde Kiev (la de su madre). Los descubrimientos de Feigenbaum han tenido un fuerte impacto en varios campos de estudios de lmatemática pura y aplicada. Es pionero en el estudio de la Feigenbaum. Actualmente trabaja en la Universidad Rockefeller

Versión en español del artículo en inglés de J. J. O'Connor

Fuente: Universidad de Saint Andrews, Escocia. IMÁGENES OBTENIDAS DE: Consulta: 15 de Julio de 2011.

El padre de Mitchell Feigenbaum es Abraham Joseph Feigenbaum, un químico analítico cuyos padres emigraron de un pueblo cerca de Varsovia en Polonia a los Estados Unidos. La madre de Mitchell (o de Mitch como es conocido) es Mildred Sugar, cuyos padres emigraron a los Estados Unidos desde Kiev, Ucrania. Mitchell fue el segundo hijo de tres, siendo su hermano mayor Edward y su hermana menor Glenda.

Mitchell entró en una escuela pública para niños superdotados cuando tenía cinmostraba todas las características de un niño prodigio, leyendo desde que era muy pequeño, Mitchell no sabía leer cuando entrnecesitó la tutoría de su madre para llevarlo hasta el nivel de los otrolo llevó a no trabar amistad con los otros niños. estudios universitarios.

Su madre le enseñó álgebra cuando estaba en el quinto, pero la lectura seguía siendo algo que no le gustaba mucho. cual intentó la lectura de artículos incluidos en comprender. Cuando tenía doce años empezó sus estudios de bachillerato en Brooklyn. tendencias obsesivas por el aseo de sus manos, siendo evidente el continuo y excesivo lavado de estas. superándola en su época de estudiante universitario.

El funcionamiento del sistema escolar no satisfacía a Feigenbaum, parecía no proporcionamayor esfuerzo para lograr un progreso académico notable, obteniendo la puntuación máxima tanto en matemáticas y como en cienexámenes que el Estado aplicó y evaluó para verificar el progreso una escuela con una buena reputación, Feigenbaum tampoco se sintió satisfecho del nivel educativo de la misma, a pesar de unasobresaliente en los exámenes.

En [1], Feigenbaum describe cómo su amor por el cálculo comenzó en la escuela:

... a partir de la secundaria, decidí que podía calcular la tabla de logaritmos por mí mismo, y más tarde las tablas trigonométriel Método de Newton para la solución de los trascendentales, y en la escuela sgran diferencia y llevar los saltos no convergentes hasta el límite de la paciencia del manual de aritmética. regla de cálculo en marfil y caoba que utilizó en calculadora Friden que, poco antes de de convertirse en una reliquia, también permitía extraer raíces cuadradas.siempre tanto como una diversión, y como algo más en serio que eso, se inventaron nuevos algoritmos para calcular.

De hecho, en la escuela, Feigenbaum generalmente aprendió por sí mismo a tocar el piano, y en la escuela secundaria aprendió por sí mismo el cálculo. secundaria, un amigo de su padre le obsequió un dispositivo mecánico con conmutación de circuitos con el que se podía jugar nim y otros juegos. La máquina vino acompañada con un escrito sobre un trabFeigenbaum, una actitud esperada por su tendencia al auto

En febrero de 1960, a la edad de dieciséis años, Feigenbaum entró a la Universidad de la Ciudad de Nueva York. pero asistió a todas las clases de matemáticas y a cursos de física, además de los de ingeniería eléctrica. estudios que eran para cinco, obteniendo su licenciatura en 1964. Tecnología de Massachusetts (MIT). Entró en el MIT con la finalizar el primer curso, se cambió a física y comenzó a estudiar sobre la relatividad general.

Para Feigenbaum, de nuevo la relatividad general se convirtió en un tema para estudiar por su cuenta, iniciándose con la lectura del libro de Física Teórica escrito por Lev Landau y Evgenii teoría de funciones complejas. Mientras estaba en el MIT, Feigenbaum utilizPolitécnico de Brooklyn, encontrando que ellos tenían una computadora digital programable.

Ese fue el primer ordenador que utilicé, y en una hora lo programé para calcular raíces cuadradas por el Método de


MITCHELL JAY FEIGENBAUM Nació el 19 de diciembre de 1944 en Filadelfia, Pensilvania, E. E. U. U.

CCaammppoo ddee IInnvveessttiiggaacciióónn::

Teoría de la Relatividad General, Espacios de Banach,

Análisis computacional, Teoría del Caos, Ecuación Logística, Geometría Fractal.

Fue niño prodigio pero se relacionaba poco con niños de su edad. Nieto de emigrantes que habían llegado a EEUU desde Varsoviadesde Kiev (la de su madre). Los descubrimientos de Feigenbaum han tenido un fuerte impacto en varios campos de estudios de l

matemática pura y aplicada. Es pionero en el estudio de la Teoría del Caos, lo que lo llevó al descubrimiento de los hoy muy conocidos Universidad Rockefeller. Sus últimas publicaciones son de una extraordinaria importancia.

J. J. O'Connor y E. F. Robertson sobre Mitchell Jay Feigenbaum.

IMÁGENES OBTENIDAS DE:

es Abraham Joseph Feigenbaum, un químico analítico cuyos padres emigraron de un pueblo cerca de Varsovia La madre de Mitchell (o de Mitch como es conocido) es Mildred Sugar, cuyos padres emigraron a los Estados

Mitchell fue el segundo hijo de tres, siendo su hermano mayor Edward y su hermana menor Glenda.

Mitchell entró en una escuela pública para niños superdotados cuando tenía cinco años de edad. A diferencia de su hermano Edward, que mostraba todas las características de un niño prodigio, leyendo desde que era muy pequeño, Mitchell no sabía leer cuando entrnecesitó la tutoría de su madre para llevarlo hasta el nivel de los otros niños. Fue trasladado a otra escuela, donde el ambiente lo aburrió, lo que lo llevó a no trabar amistad con los otros niños. De hecho, llegó a disfrutar de la compañía de sus compañeros de clase sólo después de iniciar sus

Su madre le enseñó álgebra cuando estaba en el quinto, pero la lectura seguía siendo algo que no le gustaba mucho. cual intentó la lectura de artículos incluidos en La Enciclopedia Británica, pero dado que él era muy joven, se le hizo demasi

Cuando tenía doce años empezó sus estudios de bachillerato en Brooklyn. Casi al mismo tiempo, comenzó a desarrollar ciertas tendencias obsesivas por el aseo de sus manos, siendo evidente el continuo y excesivo lavado de estas. Sufrió esta obsesión por muchos años, superándola en su época de estudiante universitario.

El funcionamiento del sistema escolar no satisfacía a Feigenbaum, parecía no proporcionarle el estímulo adecuado aunque él siempre hizo su mayor esfuerzo para lograr un progreso académico notable, obteniendo la puntuación máxima tanto en matemáticas y como en cienexámenes que el Estado aplicó y evaluó para verificar el progreso estudiantil. Incluso cuando fue a la Escuela Secundaria de Tilden enuna escuela con una buena reputación, Feigenbaum tampoco se sintió satisfecho del nivel educativo de la misma, a pesar de una

], Feigenbaum describe cómo su amor por el cálculo comenzó en la escuela:

a partir de la secundaria, decidí que podía calcular la tabla de logaritmos por mí mismo, y más tarde las tablas trigonométripara la solución de los trascendentales, y en la escuela secundaria ya sabía que los valores iniciales pueden hacer una

gran diferencia y llevar los saltos no convergentes hasta el límite de la paciencia del manual de aritmética. regla de cálculo en marfil y caoba que utilizó en la escuela secundaria, y rápidamente me di cuenta de su idea.

n que, poco antes de de convertirse en una reliquia, también permitía extraer raíces cuadradas.una diversión, y como algo más en serio que eso, se inventaron nuevos algoritmos para calcular.

De hecho, en la escuela, Feigenbaum generalmente aprendió más estudiando por sí mismo que en las clases formales. en la escuela secundaria aprendió por sí mismo el cálculo. También, cuando estaba en la escuela

padre le obsequió un dispositivo mecánico con conmutación de circuitos con el que se podía jugar nim y otros juegos. La máquina vino acompañada con un escrito sobre un trabajo de Claude Elwood Shannon relacionado con la Lógica Booleana lo cual fascinó a Feigenbaum, una actitud esperada por su tendencia al auto-aprendizaje.

En febrero de 1960, a la edad de dieciséis años, Feigenbaum entró a la Universidad de la Ciudad de Nueva York. pero asistió a todas las clases de matemáticas y a cursos de física, además de los de ingeniería eléctrica. Comestudios que eran para cinco, obteniendo su licenciatura en 1964. En el verano de ese año comenzó sus estudios de posgrado

Entró en el MIT con la intención de investigar en ingeniería eléctrica para su doctorado, pero después de finalizar el primer curso, se cambió a física y comenzó a estudiar sobre la relatividad general.

a relatividad general se convirtió en un tema para estudiar por su cuenta, iniciándose con la lectura del libro y Evgenii Lifshitz. Sus cursos conducentes fueron sobre mecánica cuántica, mecánica clásica y la

Mientras estaba en el MIT, Feigenbaum utilizó por primera vez una computadora. Politécnico de Brooklyn, encontrando que ellos tenían una computadora digital programable. Escribió [1]:

icé, y en una hora lo programé para calcular raíces cuadradas por el Método de

12

Fue niño prodigio pero se relacionaba poco con niños de su edad. Nieto de emigrantes que habían llegado a EEUU desde Varsovia (la familia de su desde Kiev (la de su madre). Los descubrimientos de Feigenbaum han tenido un fuerte impacto en varios campos de estudios de la

, lo que lo llevó al descubrimiento de los hoy muy conocidos Números de son de una extraordinaria importancia.

es Abraham Joseph Feigenbaum, un químico analítico cuyos padres emigraron de un pueblo cerca de Varsovia La madre de Mitchell (o de Mitch como es conocido) es Mildred Sugar, cuyos padres emigraron a los Estados

Mitchell fue el segundo hijo de tres, siendo su hermano mayor Edward y su hermana menor Glenda.

A diferencia de su hermano Edward, que mostraba todas las características de un niño prodigio, leyendo desde que era muy pequeño, Mitchell no sabía leer cuando entró en la escuela y

Fue trasladado a otra escuela, donde el ambiente lo aburrió, lo que De hecho, llegó a disfrutar de la compañía de sus compañeros de clase sólo después de iniciar sus

Su madre le enseñó álgebra cuando estaba en el quinto, pero la lectura seguía siendo algo que no le gustaba mucho. Tal vez fue la razón por la , pero dado que él era muy joven, se le hizo demasiado difícil

Casi al mismo tiempo, comenzó a desarrollar ciertas Sufrió esta obsesión por muchos años,

rle el estímulo adecuado aunque él siempre hizo su mayor esfuerzo para lograr un progreso académico notable, obteniendo la puntuación máxima tanto en matemáticas y como en ciencias, en los

Incluso cuando fue a la Escuela Secundaria de Tilden en Brooklyn, una escuela con una buena reputación, Feigenbaum tampoco se sintió satisfecho del nivel educativo de la misma, a pesar de una vez más, salir

a partir de la secundaria, decidí que podía calcular la tabla de logaritmos por mí mismo, y más tarde las tablas trigonométricas. Me encantó ecundaria ya sabía que los valores iniciales pueden hacer una

gran diferencia y llevar los saltos no convergentes hasta el límite de la paciencia del manual de aritmética. Mi padre me mostró su hermosa la escuela secundaria, y rápidamente me di cuenta de su idea. Se me permitía utilizar la nueva

n que, poco antes de de convertirse en una reliquia, también permitía extraer raíces cuadradas. Me encantan los números y una diversión, y como algo más en serio que eso, se inventaron nuevos algoritmos para calcular.

aprendió más estudiando por sí mismo que en las clases formales. A los 12 años de edad, También, cuando estaba en la escuela

padre le obsequió un dispositivo mecánico con conmutación de circuitos con el que se podía jugar nim y otros juegos. ajo de Claude Elwood Shannon relacionado con la Lógica Booleana lo cual fascinó a

En febrero de 1960, a la edad de dieciséis años, Feigenbaum entró a la Universidad de la Ciudad de Nueva York. Allí estudió ingeniería eléctrica, Completó en menos de cuatro años unos

En el verano de ese año comenzó sus estudios de posgrado en el Instituto de intención de investigar en ingeniería eléctrica para su doctorado, pero después de

a relatividad general se convirtió en un tema para estudiar por su cuenta, iniciándose con la lectura del libro Curso Sus cursos conducentes fueron sobre mecánica cuántica, mecánica clásica y la

ó por primera vez una computadora. Ocurrió en una visita al ]:

icé, y en una hora lo programé para calcular raíces cuadradas por el Método de Newton. (CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)



En los estudios de doctorado del MIT Feigenbaum su tutor fue Francis E. Low, logrando este título en 1970 con una tesis sobre las relaciones de dispersión. Después de esto, él se fue a Cornell como instructor investigador asociado, puesto que fue financiado una mitad como subvención postdoctoral por la NSF, y la otra parte financiada como cargo docente. Durante sus dos años en Cornell impartió cursos sobre técnicas variacionales y de mecánica cuántica. Utilizó una computadora HP de Cornell, que tal vez podría ser mejor descrita como una calculadora programable. La máquina tenía un solo usuario, Ken Wilson, por lo que tuvo mayor oportunidad de utilizar mayor tiempo para dominar su uso.

Después de los dos años de Cornell, Feigenbaum se fue al Instituto Politécnico de Virginia para trabajar en el postdoctorado, contratado por dos años. Dio cursos donde enseñó sobre Espacios de Banach y C*-álgebras. Ciertamente, estos puestos a corto plazo no eran ideales. Como dijo Feigenbaum (ver [7]):

Esta posición de ser contratado por dos años, hacía imposible tener un trabajo serio. Después de finalizar un año, había que empezar a preocuparse dónde conseguir otro para la próxima temporada.

Después de dos años en el Instituto Politécnico de Virginia, a Feigenbaum le ofrecieron un puesto por un tiempo a largo plazo como miembro del personal de la división de teoría en Los Álamos. El escribió: [1]:

Cuando llegué a Los Álamos, el jefe de la división de teoría, P. Carruthers, sintió que el momento era el adecuado, y que yo era la persona adecuada, para ver si las ideas sobre el grupo de renormalización de Wilson podrían resolver el viejo problema, con una data de siglo y medio, de la turbulencia. En pocas palabras, él no había podido o nadie lo había podido resolver hasta la fecha, pero me dio unas maravillosas instrucciones.

Las “instrucciones maravillosas” a las que Feigenbaum se refirió, involucraban el estudio del caos, donde hizo un descubrimiento notable. Esto se logró ya que los datos estaban disponibles en medios computarizados y, como Feigenbaum señaló, simplemente se hizo evidente ya que los equipos que se utilizaron para realizar cálculos, permitían ver poco a poco los pasos intermedios del proceso. Al relacionarse Feigenbaum con las computadoras, lo llevó en diciembre de 1974 a hacerse por primera vez, de su propia calculadora programable, la HP65. Con esta máquina [1]:

De manera rápida, inventé nuevos solucionadores ODE, rutinas de minimización, métodos de interpolación, etc. Para alguien a quien los números le preocupan, gran parte del tedio fue eliminado.

En 1976, Sir Robert May, entonces profesor de biología en Princeton, señaló que el mapa logístico llevaba a la dinámica caótica. El mapeo logístico g está definido por:

xn +1=g(xn)=λxn(1-xn).

Esto modela la población relativa xn, la cual es el promedio de población real de la población máxima. Cada iteración da la nueva población relativa en términos de la anterior. El parámetro λ es la tasa de crecimiento efectiva. Debemos tener 0 <xn ≤ 1 y 0 ≤ λ ≤ 4.

Para λ <1, xn tiende a 0. Para 1 ≤ λ ≤ 3, xn tiende a 1-1/λ. Más allá de tres se produce una bifurcación (lo que corresponde a las poblaciones alta y baja en años alternos). Las bifurcaciones que ocurren más allá λ = 3,57..., establecen una dinámica caótica.

En 1973 se había conjeturado que el comportamiento de la ecuación logística era la misma en un sentido cualitativo para toda g(x), la cual tiene un valor máximo y disminuye monótonamente a ambos lados de dicho límite máximo. El notable resultado obtenido por Feigenbaum fue mostrar que no sólo era el comportamiento cualitativamente similar, pero había un resultado matemático muy preciso que se mantenía para todas las ecuaciones logísticas.

Feigenbaum en realidad no trabajó precisamente con la ecuación logística estudiada por May y, de hecho, su trabajo fue independiente del de éste. Lo que Feigenbaum señaló, si utilizamos la notación establecida anteriormente, fue que si λn es el valor del parámetro en el que la bifurcación enésima se produce, entonces:

(λn-λn -1) / (λn +1-λn) → 4,669201609102 ... cuando n → ∞.

Cuando Feigenbaum encontró los primeros 4.669 números en agosto de 1975, lo cual encuentra utilizando sólo tres lugares debido al nivel de exactitud de su HP65, durante cierto tiempo intentó verificar si era una combinación simple de números “bien conocidos”. No encontró nada. Claro, los números encontrados hoy en día son conocidos como “Números de Feigenbaum”.

Esto en sí mismo fue una sorpresa, pero en octubre de 1975, Feigenbaum encontró que este número es el mismo para una extensa clase de mapeos doblemente periódicos. Esto fue verdaderamente notable y Feigenbaum se dio cuenta de su importancia por lo que inmediatamente [1]:

Llamé a mis padres esa noche y les dije que había descubierto algo verdaderamente notable, que cuando yo lo entendía, me convertiría en un hombre famoso.

Para abril de 1976, Feigenbaum había completado su primer artículo sobre el tema. El lo entregó a una revista para su publicación, pero después de seis meses bajo arbitraje fue rechazado. En 1977 le solicitó a más de mil científicos que revisaran una copia del mismo. Finalmente logró que se lo publicaran en 1978. Su segundo artículo, más técnico que el primero, lo terminó en noviembre de 1976, y también fue rechazado la primera vez que lo presentó. Eventualmente fue impreso en 1979. Feigenbaum presentó una revisión elemental sobre bifurcaciones doblemente periódicas en sistemas dinámicos no lineales. [4].

Feigenbaum ha hecho otras contribuciones a la teoría del caos y también ha escrito dos artículos sobre las matemáticas en la elaboración de mapeos. En uno de ellos (el documento [2]), Feigenbaum escribió lo siguiente: -

La construcción de mapas a partir de una base de datos digital requiere el desarrollo de una serie de herramientas especiales. Estas, entre otras, incluyen métodos para una línea de trabajo generalizada y para la colocación automática de tipos. Además, conceder al poder numérico de una computadora, indiferente a si se opera con ploteo de líneas y de círculos o curvas analíticamente más complicadas, una oportunidad para elaborar las proyecciones con una posible más alta fidelidad de las que se han realizado previamente.




Por lo tanto, uno debe desarrollar herramientas para aprovechar esta energía y la modernización de la cartografía.... La modernización de la cartografía bajo normas de archivo, plantea muchos problemas, cuyas soluciones que están fuertemente iluminadas por las ideas y los métodos de los sistemas no lineales. Los mapas construidos con todos estos métodos aparecieron por primera vez en el Atlas Hammond del mundo, publicado exactamente hace un año.

En las notas de la Introducción del Atlas Hammond [6], se puede leer:

Utilizando la geometría fractal para describir las formas naturales como las costas, el físico matemático Mitchell Feigenbaum desarrolló un software capaz de reconfigurar las costas, fronteras, y las cadenas montañosas con adaptación a una multitud de escalas para mapas y proyecciones. El Dr. Feigenbaum también creó un nuevo programa informático de colocación de tipos que pone miles de etiquetas a los mapas en cuestión de minutos, una tarea que anteriormente requería días de trabajo tedioso.

En este momento cabe preguntarse si Feigenbaum se considera un matemático o un físico. Personalmente él considera que no hay una marcada diferencia entre la física y la matemática. Estamos de acuerdo con él y desde luego en la elaboración de este escrito referido a su persona, tomamos su opinión en cuanto a que las matemáticas incluyen a la física teórica.

En 1982 Feigenbaum partió de Los Álamos cuando se le designó como profesor de una cátedra en la Universidad de Cornell. Cuatro años más tarde se convirtió en el primer Profesor Toyota de la Universidad Rockefeller. En el mismo año en el que fue designado como profesor de la Universidad Rockefeller, recibió el Premio Wolf en Física. La reseña sobre el otorgamiento del premio, refiere que el mismo le fue otorgado a Feigenbaum:

... por ser pionero en los estudios teóricos que demuestran el carácter universal de los sistemas no lineales, lo que ha hecho posible el estudio sistemático del caos.

El comunicado de prensa en el momento que le fue concedido el premio, resume muy bien su contribución:

El impacto de los descubrimientos de Feigenbaum ha sido fenomenal. Ha abarcado nuevos campos de la matemática teórica y experimental... Es difícil pensar en cualquier otro desarrollo reciente en la ciencia teórica que tenga tan gran impacto sobre un sector tan amplio de campos, que abarquen tanto la teoría pura como su aplicación.

Entre otros premios que Feigenbaum ha recibido se pueden mencionar: Premio por Desempeño Distinguido del Laboratorio Nacional Los Álamos (1980), Premio Ernest O. Lawrence por el Departamento de Energía de E. E.U. U. (1982), Premio de la Fundación MacArthur (1984), y homenajeado por el alcalde de Nueva York con el Premio a la Excelencia en Ciencia y Tecnología (2005):

... por sus estudios pioneros en la teoría del caos.

Referencias.-

1. M J Feigenbaum, Computer generated physics, in Twentieth Century Physics (New York, 1995), 1823-1853. 2. M J Feigenbaum, Using nonlinear dynamics to make a new world atlas, in Towards the harnessing of chaos (Amsterdam, 1994), 1-9. 3. M J Feigenbaum, Scaling function dynamics, in Chaos, order, and patterns, Lake Como, 1990 (New York, 1991), 1-23. 4. M J Feigenbaum, Universal behavior in nonlinear systems, in Order in chaos, Los Alamos, N.M., 1982, Phys. D 7 (1-3) (1983), 16-39. 5. M J Feigenbaum, Low-dimensional dynamics and the period doubling scenario, in Dynamical systems and chaos, Sitges/Barcelona, 1982

(Berlin, 1983), 131-148. 6. Hammond Atlas of the World (Maplewood, NJ, 1992), 9. 7. A Pais, Mitchell Jay Feigenbaum, in The genius of science (Oxford, 2000), 84-104.

IMÁGENES OBTENIDAS DE:

homotecia nº 4-10 abril 2012servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2012/4-2012.pdf · 2016-08-23 ·...

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