homotecia nº 11-2008

EDITORIAL Se inició el semestre 2-2008 en la FACE de nuestra UC y para el mismo, la Cátedra de Cálculo continúa con el Plan Lector como estrategia de evaluación. Los motivos que condujeron a los profesores de la cátedra a implementar esta estrategia, tienen como principio el compromiso de ser docentes que forman docentes, por lo que consideraron sumamente importante el mejoramiento de la información manejada por los alumnos cursantes de la Mención Matemática, como elemento necesario para formar continuamente en ellos una cultura matemática donde convergen conocimiento y elementos filosóficos y epistemológicos que rodean la enseñanza y el aprendizaje de esta área, así como hacerlos conscientes de cómo ha sido el proceso histórico como ciencia en constante crecimiento, y como elemento principal en la educación del ser humano; siendo consecuencia de lo anterior, el mejoramiento en lo humano y en lo profesional del discurso de los egresados de la mención, que en la práctica y en lo histórico, se presenta bastante alejado del que usualmente ellos deben utilizar por su condición de docente, en primer lugar, y de docente de matemática, luego. Como elemento cultural, la implementación del Plan Lector permitirá erradicar la posición asumida con frecuencia por muchos estudiantes de docencia en matemática quienes consideran que esta carrera está dada para “echar números solamente” y no como en Lengua y Literatura o en Ciencias Sociales donde es imprescindible la lectura como hábito. Las primeras reacciones de algunos estudiantes fue de malestar pero con el tiempo hubo un cambio en positivo, y para los egresados que han seguido estudios de postgrado se les ha hecho evidente cuan útil es la misma. En la actualidad, la mayor preocupación de lo docentes es proponer lecturas especializadas, recreativas, que no promuevan lo tedioso y que relacionen a la matemática con lo cotidiano.

Por otro lado, este tipo de actividad ha permitido detectar que a la Mención Matemática ingresan estudiantes cuyo interés es aprender, en formarse y no sólo aprobar sin sentido de la significación del hecho. Además, quien la sigue, se siente bien realizándola porque el efecto es sobre él mismo. Quien no la sigue, no tiene nada que compartir con el resto de sus compañeros. No maneja el discurso que la actividad “Docente de Matemática” le exige intelectualizar.

REFLEXIONES

"El hombre no es el creador de las circunstancias, más bien las circunstancias crean al hombre."

Benjamín Disraeli "La cultura es la buena educación del entendimiento."

Jacinto Benavente

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CCÁÁTTEEDDRRAA DDEE CCÁÁLLCCUULLOO

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA YY FFÍÍSSIICCAA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN

Prof. Rafael Ascanio H. Prof. Próspero González M.

Contribuyentes al Cálculo

Leonhard Euler Leonhard Euler (nombre completo, Leonhard Paul Euler) nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.

Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. También se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.

LEONHARD EULER (1707-1783)

Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»

En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.

PRIMEROS AÑOS.

Euler nació en Basilea, Suiza, hijo de Paul Euler, un pastor luterano, y de Marguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeñas llamadas Anna María y María Magdalena. Poco después de su nacimiento, su familia se trasladó desde Basilea a la ciudad de Riehen, en donde Euler pasó su infancia. Por su parte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa familia de matemáticos entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya considerado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influencia sobre el joven Leonhard.

ANTIGUO BILLETE DE 10 FRANCOS SUIZOS CON EL RETRATO DE

EULER.

La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron a vivir con su abuela materna. A la edad de trece años se matriculó en la Universidad de Basilea, y en 1723 recibiría el título de maestro de Filosofía tras una disertación comparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Por entonces, Euler recibía lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por la tarde, que descubrió rápidamente el increíble talento de su nuevo pupilo para las matemáticas.

En aquella época Euler se dedicaba al estudio de teología, griego, y hebreo siguiendo los deseos de su padre, y con la vista puesta en convertirse también en pastor. Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonhard estaba destinado a convertirse en un gran matemático. En 1726 Euler finalizó su Doctorado sobre la disertación sobre la propagación del sonido bajo el título De Sono y en 1727 participó en el concurso promovido por la Academia de las Ciencias Francesa por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el mástil en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de Pierre Bouguer, que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante Euler conseguiría ganar ese premio hasta en doce ocasiones.

(Continúa en la siguiente página)

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HHOOMMOOTTEECCIIAA Tiraje: 100 ejemplares

CÁTEDRA DE CÁLCULO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA - FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - UNIVERSIDAD DE CARABOBO PUBLICACIÓN PERIODICA Nº 11 - AÑO 6 e-mail: [email protected] Valencia, 3 de Noviembre de 2008

HOMOTECIA Nº 11 –Año 6 Lunes, 3 de Noviembre de 2008

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(Viene de la página anterior)

SAN PETERSBURGO.

Por aquella época, los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolás, se encontraban trabajando en la Academia Imperial Rusa de las Ciencias en San Petersburgo. En julio de 1726, Nicolás murió de apendicitis tras haber vivido un año en Rusia y, cuando Daniel asumió el cargo de su hermano en la división de matemáticas y física, recomendó que el puesto que había dejado vacante en fisiología fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese mismo año Euler aceptó la oferta, aunque retrasó su salida hacia San Petersburgo mientras que intentaba conseguir, sin éxito, un puesto de profesor de físicas en la Universidad de Basilea.

Euler llegó a la capital rusa el 17 de mayo de 1727. Fue ascendido desde su puesto en el departamento médico de la academia a un puesto en el departamento de matemáticas, en el que trabajó con Daniel Bernoulli, a menudo en estrecha colaboración. Euler aprendió el ruso y se estableció finalmente en San Petersburgo a vivir. Llegó incluso a tomar un trabajo adicional como médico de la Armada Rusa.

La Academia de San Petersburgo, creada por Pedro I el Grande, tenía el objetivo de mejorar el nivel educativo en Rusia y de reducir la diferencia científica existente entre ese país y Europa Occidental.

Como resultado, se implementaron una serie de medidas para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La academia poseía amplios recursos financieros y una biblioteca muy extensa, extraída directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza. La Academia admitía a un número muy reducido de estudiantes para facilitar la labor de enseñanza, a la vez que se enfatizaba la labor de investigación y se ofrecía a la facultad tanto el tiempo como la libertad para resolver cuestiones científicas.

SELLO DEL AÑO 1957 DE LA ANTIGUA UNIÓN SOVIÉTICA CONMEMORANDO EL 250 ANIVERSARIO DEL NACIMIENTO DE EULER. EL TEXTO DICE: 250 AÑOS DESDE EL NACIMIENTO DEL GRAN MATEMÁTICO Y ACADÉMICO LEONHARD EULER.

Sin embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz Catalina I de Rusia, que había continuado con las políticas progresistas de su marido, murió el mismo día de la llegada de Euler a Rusia. Su muerte incrementó el poder de la nobleza, puesto que el nuevo emperador pasó a ser Pedro II de Rusia, por entonces un niño de tan sólo doce años de edad. La nobleza sospechaba de los científicos extranjeros de la Academia, por lo que cortó la cuantía de recursos dedicados a la misma y provocó otra serie de dificultades para Euler y sus colegas.

Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la jerarquía de la Academia, convirtiéndose en profesor de físicas en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de las dificultades que le planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en San Petersburgo, dejó la ciudad y volvió a Basilea. Euler le sucedió como director del departamento de matemáticas.

El 7 de enero de 1734 Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor de la Academia. La joven pareja compró una casa al lado del río Neva y llegó a concebir hasta trece hijos, si bien sólo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta.

BERLÍN.

Preocupado por los acontecimientos políticos que estaban teniendo lugar en Rusia, Euler partió de San Petersburgo el 19 de junio de 1741 para aceptar un cargo en la Academia de Berlín, cargo que le había sido ofrecido por Federico II el Grande, rey de Prusia. Vivió veinticinco años en Berlín, en donde escribió más de 380 artículos. También publicó aquí dos de sus principales obras: la Introductio in analysin infinitorum, un texto sobre las funciones matemáticas publicado en 1748, y la Institutiones calculi differentialis, publicada en 1755 y que versaba sobre el cálculo diferencial.

Además, se le ofreció a Euler un puesto como tutor de la princesa de Anhalt-Dessau, la sobrina de Federico. Euler escribió más de 200 cartas dirigidas a la princesa que más tarde serían recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos Temas de Filosofía Natural dirigidas a una Princesa Alemana. Este trabajo recopilaba la exposición de Euler sobre varios temas de físicas y matemáticas, así como una visión de su personalidad y de sus creencias religiosas. El libro se convirtió en el más leído de todas sus obras, y fue publicado a lo largo y ancho del continente europeo y en los Estados Unidos. La popularidad que llegaron a alcanzar estas Cartas sirve de testimonio sobre la habilidad de Euler de comunicar cuestiones científicas a una audiencia menos cualificada.

SELLO DE LA ANTIGUA REPÚBLICA DEMOCRÁTICA DE ALEMANIA EN HONOR A EULER EN EL 200 ANIVERSARIO DE SU MUERTE. EN MEDIO SE MUESTRA SU FÓRMULA POLIÉDRICA PARA EL GRAFO PLANAR.

Sin embargo, y a pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la Academia, fue finalmente obligado a dejar Berlín. El motivo de esto fue, en parte, un conflicto de personalidad entre el matemático y el propio Federico, que llegó a ver a Euler como una persona muy poco sofisticada, y especialmente en comparación con el círculo de filósofos que el rey alemán había logrado congregar en la Academia. Voltaire, en particular, era uno de esos filósofos, y gozaba de una posición preeminente en el círculo social del rey. Euler, como un simple hombre de carácter religioso y trabajador, era muy convencional en sus creencias y en sus gustos, representando en cierta forma lo contrario que Voltaire. Euler tenía conocimientos limitados de retórica, y solía debatir cuestiones sobre las que tenía pocos conocimientos, lo cual le hacía un objetivo frecuente de los ataques del filósofo. Por ejemplo, Euler protagonizó varias discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la retórica y la metafísica. Federico también mostró su descontento con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler:

Quería tener una bomba de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza necesaria de las ruedas para elevar el agua a una reserva, desde la que caería después a través de canalizaciones para finalmente manar en Sanssouci. Mi molino fue construido de forma geométrica y no podía elevar una bocanada de agua hasta más allá de cinco pasos hacia la reserva. ¡Vanidad de las vanidades! ¡Vanidad de la geometría!

Federico II el Grande

DETERIORO DE LA VISIÓN.

La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año 1735 Euler sufrió una fiebre casi fatal y, tres años después de dicho acontecimiento, quedó casi ciego de su ojo derecho. Euler, sin embargo, prefería acusar de este hecho al trabajo de cartografía que realizaba para la Academia de San Petersburgo.

La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico hacía referencia a él como el Cíclope. Euler más tarde sufrió cataratas en su ojo sano, el izquierdo, lo que le dejó prácticamente ciego pocas semanas después de su diagnóstico. A pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria fotográfica. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la Eneida de Virgilio desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningún momento, y en cada página de la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última. También se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 potencias de los primeros 100 números primos. Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor.

RETRATO DE EULER DEL AÑO 1753 DIBUJADO POR EMANUEL HANDMANN. EL RETRATO SUGIERE PROBLEMAS EN EL OJO DERECHO, ASÍ COMO UN POSIBLE ESTRABISMO. EL OJO IZQUIERDO PARECE SANO, SI BIEN MÁS TARDE EULER TUVO PROBLEMAS DE CATARATAS.



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RETORNO A RUSIA.

La situación en Rusia había mejorado enormemente tras el ascenso de Catalina la Grande, por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para volver a la Academia de San Petersburgo para pasar ahí el resto de su vida. Su segunda época en Rusia, sin embargo, estuvo marcada por la tragedia: un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su casa y casi su vida y en 1773 perdió a su esposa, que por entonces tenía 40 años de edad. Euler se volvió a casar tres años más tarde.

El 18 de septiembre de 1783 Euler falleció en la ciudad de San Petersburgo tras sufrir un ictus, y fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en la isla de Vasilievsky. Hoy en día el cementerio en el que fue enterrado Euler no existe, dado que fue destruido por los soviéticos. Éstos trasladaron previamente sus restos al monasterio ortodoxo de Alejandro Nevski.

El matemático y filósofo francés Nicolas de Condorcet escribió su elogio funeral para la Academia francesa. …il cessa de calculer et de vivre —… dejó de calcular y de vivir.

Por su parte, Nikolaus Von Fuss, ahijado de Euler y secretario de la Academia Imperial de San Petersburgo, escribió un relato de su vida junto con un listado de sus obras.

TUMBA DE EULER, UBICADA EN MONASTERIO DE ALEJANDRO NEVSKI.

CONTRIBUCIÓN A LAS MATEMÁTICAS Y A OTRAS ÁREAS CIENTÍFICAS.

Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia, comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes. Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10% de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.

NOTACIÓN MATEMÁTICA.

Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.

También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.

ANÁLISIS.

El desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de la investigación matemática del siglo XVIII, y la familia Bernoulli había sido responsable de gran parte del progreso realizado hasta entonces. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en uno de los principales objetos del trabajo de Euler. Si bien algunas de sus demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de rigor matemático, es cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese campo.

El número e es el único número real para el valor a para el cual se cumple que el valor

de derivada de la función xaxf =)( en el punto x = 0 es exactamente 1. En comparación

se muestran las funciones x2 y x4 , que no son tangentes a la línea de pendiente 1. Euler definió la constante matemática conocida como número e como aquel número real

tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función f(x) = ex en el punto x = 0 es exactamente 1. La función ex es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo natural, también llamado logaritmo neperiano o logaritmo en base e.

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite:

,1

1n

n nLime

+=∞→

y también como la serie: ∑∞

==

0 !

1

n ne

Además, Euler es muy conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:

++++==

∞→

∞

=∑

!!2!1!0

1

!

2

0 n

xxxLim

n

xe

n

nn

nx

L

Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de la función arco tangente. Su atrevido

aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735, por el cual quedaba demostrado que:

6

1

3

1

2

1

1

1 2

2222

π=

++++∞→ n

Limn

L .



4


Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los logaritmos. También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula:

.ϕϕϕ SeniCosei +=

Siendo un caso especial de la fórmula lo que se conoce como la identidad de Euler:

01=+πie

Esta fórmula fue calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1, e, i y π.22 En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron la fórmula como «la más bella fórmula matemática de la historia». En total, Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA

FÓRMULA DE EULER. Además de eso, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentales (aquellas que no se basan en operaciones algebraicas) mediante la

introducción de la función gamma, e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de cuarto grado. También descubrió una forma para calcular integrales con límites complejos, en lo que sería en adelante del moderno análisis complejo, e inventó el cálculo de variaciones incluyendo dentro de su estudio a las que serían llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas teóricos de carácter numérico. Con ello, Euler unió dos ramas separadas de las matemáticas para crear un nuevo campo de estudio, la teoría numérico-analítica. Para ello, Euler creó la teoría de las series híper geométricas, las series q, las funciones hiperbólicas trigonométricas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostró que la cantidad de números primos es infinita utilizando la divergencia de series armónicas, y utilizó métodos analíticos para conseguir una mayor información sobre cómo los números primos se distribuyen dentro de la sucesión de números naturales. El trabajo de Euler en esta área llevaría al desarrollo del teorema de los números primos.

TEORÍA DE NÚMEROS.

El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas.

Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann.

Euler también demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange. También definió la función φ de Euler que, para todo número entero positivo, cuantifica el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Más tarde, utilizando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que se conoce como el teorema de Euler.

Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos, tema que fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas pavimentaron el camino del matemático Carl Friedrich Gauss.

En el año 1772, Euler demostró que 231 - 1 = 2.147.483.647 es un número primo de Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido hasta el año 1867.

Teoría de grafos y geometría.

En 1736, Euler resolvió el problema conocido como problema de los puentes de Königsberg. La ciudad de Königsberg, en Prusia Oriental (actualmente Kaliningrado, en Rusia), estaba localizada en el río Pregel, e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre ellas y con las dos riberas del río mediante siete puentes. El problema consistía en decidir si era posible seguir un camino que cruzase todos los puentes una sola vez y que finalizase llegando al punto de partida. No lo hay, y Euler logró probarlo matemáticamente demostrando que no existía un ciclo euleriano debido a que el número de puentes en más de dos bloques era impar. A esta solución se la considera el primer teorema de teoría de grafos y de grafos planares. Euler también introdujo el concepto conocido como característica de Euler del espacio, y una fórmula que relacionaba el número de lados, vértices y caras de un polígono convexo con esta constante.

El teorema de poliedros de Euler, que básicamente consiste en buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros. Utilizó esta idea para demostrar que no existían más poliedros regulares que los sólidos platónicos conocidos hasta entonces. El estudio y la generalización de esta fórmula, especialmente por Cauchy y L'Huillier, supuso el origen de la topología. Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un triángulo —baricentro, ortocentro y circuncentro— podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina «Recta de Euler» en su honor.

MAPA DE LA CIUDAD DE KÖNIGSBERG, EN TIEMPOS DE EULER, QUE MUESTRA RESALTADO EL LUGAR EN DÓNDE SE ENCONTRABAN UBICADOS LOS SIETE PUENTES.

MATEMÁTICAS APLICADAS. Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real a través del análisis matemático, en lo que se conoce como matemática aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el Método de Fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notable de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introducción de la constante de Euler-Mascheroni:

( )

−+++++=∞→

nLnn

Limn

1

4

1

3

1

2

11 Lγ .



5


Por otro lado, uno de los intereses más llamativos de Euler fue la aplicación de las ideas matemáticas sobre la música. En 1739 escribió su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de las matemáticas a la teoría musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo demasiada atención del público, y llegó a ser descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.

FÍSICA Y ASTRONOMÍA.

Euler ayudó a desarrollar la ecuación de la Curva elástica, que se convirtió en el pilar de la ingeniería. Aparte de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a los problemas de mecánica clásica, Euler también las aplicó sobre los problemas de los movimientos de los astros celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido mediante varios Premios de la Academia de Francia a lo largo de su carrera, y sus aportaciones en ese campo incluyen cuestiones como la determinación con gran exactitud de las órbitas de los cometas y de otros cuerpos celestes, incrementando el entendimiento de la naturaleza de los primeros, o el cálculo del paralaje solar. Sus cálculos también contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud más exactas para la navegación. También publicó trabajos sobre el movimiento de la luna.

Además, Euler llevó a cabo importantes contribuciones en el área de la óptica. No estaba de acuerdo con las teorías de Newton sobre la luz, desarrolladas en su obra Opticks, y que eran la teoría prevalente en aquel momento. Sus trabajos sobre óptica desarrollados en la década de 1740 ayudaron a que la nueva corriente que proponía una teoría de la luz en forma de onda, propuesta por Christiaan Huygens, se convirtiese en la teoría hegemónica. La nueva teoría mantendría ese estatus hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz.

En el campo de la mecánica Euler, en su tratado de 1739, introdujo explícitamente los conceptos de partícula y de masa puntual y la notación vectorial para representar la velocidad y la aceleración, lo que sentaría las bases de todo el estudio de la mecánica hasta Lagrange. En el campo de la mecánica del sólido rígido definió los llamados «tres ángulos de Euler para describir la posición» y publicó el teorema principal del movimiento, según el cual siempre existe un eje de rotación instantáneo, y la solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo).

En hidrodinámica estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las ecuaciones de Euler de la Hidrodinámica. Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la presión de radiación, fundamental en la teoría unificada del

electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su época.

LÓGICA.

En el campo de la lógica, se atribuye a Euler el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Este tipo de representaciones reciben el nombre de diagramas de Euler.

ARQUITECTURA E INGENIERÍA.

En este campo, Euler desarrolló la ley que lleva su nombre sobre el pandeo de soportes verticales y generó una nueva rama de ingeniería con sus trabajos sobre la carga crítica de las columnas.

CREENCIAS RELIGIOSAS Y FILOSÓFICAS.

Euler y su amigo Daniel Bernoulli se oponían al monismo de Leibniz y a la corriente filosófica representada por Christian Wolff. Euler insistía en que el conocimiento se basa en parte en la existencia de leyes cuantitativas precisas, algo que el monismo y las teorías filosóficas de Wolff no eran capaces de proveer. Sus inclinaciones religiosas también pueden haber contribuido a que le desagradase ese tipo de doctrinas, hasta el punto de que llegó a catalogar las ideas de Wolff como «paganas y ateas».

Gran parte del conocimiento que tenemos de las creencias religiosas de Euler se deduce de su obra Cartas a una Princesa Alemana, así como de un trabajo anterior llamado Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (en español, Defensa de la revelación Divina frente a las objeciones de los Librepensadores). Estos trabajos muestran a Euler como un cristiano convencido que defendía la interpretación literal de la Biblia (por ejemplo, su obra Rettung era principalmente una discusión en defensa de la inspiración divina de las escrituras).

OBRA.

Euler cuenta con una extensísima bibliografía, en esta sección se puede encontrar alguna referencia sobre algunas de sus obras más conocidas o importantes.

• Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736)

• Tentamen novae theoriae musicae (1739)

• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)

• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744).

• Introductio in Analysis Infinitorum (1748)

• Institutiones Calculi Differentialis (1765)

• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765)

• Institutiones Calculi Integralis (1768-1770)

• Vollständige Anleitung zur Algebra (1770)

• Lettres à une Princesse d'Allemagne (Cartas a una Princesa Alemana) (1768–1772).

En 1911, la Academia Suiza de las Ciencias comenzó la publicación de una colección definitiva de los trabajos de Euler titulada Opera Omnia. Existe un plan para la ampliación de la obra a la publicación de la correspondencia (en el año 2008 se han publicado ya tres volúmenes de correspondencia) y los manuscritos de Euler, aunque no se ha especificado ninguna fecha para su edición.

PORTADA DE LA OBRA DE EULER TITULADA METHODUS INVENIENDI LINEAS CURVAS.

Tomado de: Wikipedia® Wikimedia Foundation, Inc. 3 Julio 2008


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CCÁÁLLCCUULLOO IINNTTEEGGRRAALL

LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA

SUMA INTEGRAL O SUMA DE RIEMANN.- Se llama Suma de Riemann a la suma asociada a una partición sobre el intervalo [a, b] con respecto al cual, una determinada función f es continua. Si esta función f es continua en dicho intervalo, entonces es integrable en el mismo. Esta condición se mantiene aún si f tiene un número finito de discontinuidades en [a, b] pero está acotada para todo x perteneciente a dicho intervalo; es decir que sólo presenta discontinuidades evitables o de salto finito. A continuación, se dará una definición pormenorizada de Suma de Riemann. Sea a x b≤ ≤ un intervalo sobre el cual una función dada f x( ) es continua. Si se divide este intervalo en n subintervalos

h h hn1 2, , ⋅ ⋅ ⋅ insertando n − 1 puntos: 121 ,, −⋅⋅⋅ nξξξ , (ξ se lee zi) originándose una partición no regular

a bn< < < ⋅ ⋅ ⋅ < <−ξ ξ ξ1 2 1 , haciendo a = ξ0 y a b n= ξ ; entonces estos subintervalos, cuyas amplitudes pueden ser iguales o

diferentes a consecuencia de la partición, quedan de la siguiente forma: [ ] [ ] [ ]ba n ,,,,,, 1211 −ξξξξ L . Se considera que la

amplitud (o longitud) del subintervalo h1 es ∆1 1 0x = −ξ ξ , de h2 es ∆2 2 1x = − ⋅ ⋅ ⋅ξ ξ , , de hn es 1−−=∆ nnnx ξξ .

Esto se muestra en la gráfica anterior, donde las amplitudes o longitudes de los subintervalos son distancias dirigidas, cada una de ellas positivas debido a las condiciones del intervalo determinado (a la derecha del cero). Ahora si en cada subintervalo se

selecciona un punto tales como: x x xn1 2, , ,⋅ ⋅ ⋅ para h h hn1 2, , ,⋅ ⋅ ⋅ respectivamente y no necesariamente en el centro

de cada ih , se puede formar la siguiente suma, llamada Suma Integral o Suma de Riemann:

∑=

∆=∆++∆⋅++∆+∆=n

iiinnkkn xxfxxfxxfxxfxxfS

12211 )()()()()( LL

donde cada término es el producto de la longitud del subintervalo ( )xi∆ por el valor de la función en el punto seleccionado en

dicho subintervalo [ ])( ixf .

A continuación, se presentarán algunos ejemplos utilizando Sumas de Riemann.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


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Ejemplos.-

1.- Evalúe la Suma de Riemann para 825)4)(2)(1()( 23 ++−=−−+= xxxxxxxf , en el intervalo [0,5] utilizando la

partición 542,321,10 <<<<< , y los correspondientes puntos .56,3;5,2;5,1;5,0 54321 ===== xyxxxx

Solución: Aplicando la fórmula:

9698,239698,23183552,215,38125,26625,8

1188,0)944,2(2,1)625,2(9,0125,31,1875,7

)45()5()2,34()6,3()22,3()5,2()1,12()5,1()01,1()5,0(

)()()()()( 5544332211

=⇒=+−−+=

=⋅+⋅−+⋅−+⋅+⋅=

=−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+−⋅=

=∆+∆+∆+∆+∆=

n

n

S

fffff

xxfxxfxxfxxfxxfS

2.- Obtenga la Suma de Riemann para 86)( 3 −−= xxxf en el intervalo [ ]1,2− usando los puntos de separación

equidistantes: 15,005,015,12 <<<−<−<−<− donde ix corresponderá al punto medio de cada subintervalo.

Solución:

Los ix se calculan por la fórmula .2

1 kkix

ξξ += − Luego estos son:

75,0;25,0;25,0;75,0;25,1;75,1 654321 ==−=−=−=−= xxxxxx

Calculando los ),( ixf estos son:

078,12)(;484,9)(;515,6)(;921,3)(;453,2)(;859,2)( 654321 −=−=−=−=−=−= xfxfxfxfxfxf

Como los iξ son equidistantes entre sí, entonces 5,01 =−=∆ −iii x ξξ para todos los subintervalos.

Luego:

( )

655,18655,185,031,37

5,0078,12484,9515,6921,3453,2859,2

)()()()()()( 665544332211

−=⇒−=⋅−=

=⋅−−−−−−=

=∆+∆+∆+∆+∆+∆=

n

n

S

xxfxxfxxfxxfxxfxxfS

En el próximo número, trataremos otros aspectos relacionados con las Sumas de Riemann y la Integral Definida.


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Tomado de: DIARIO EL CARABOBEÑO - Artículo publicado el: 20/10/2008

El Origami ayuda a superar el temor a las matemáticas

Por: Daniela Martucci

Desde siempre se ha concebido la Matemática, la Física y la Geometría como materias de gran dificultad, a las cuales hay que dedicarle mucha más atención, estudio y concentración. Es por ello que los contenidos matemáticos y geométricos se hacen más complicados para los y las estudiantes que ya vienen con un concepto anticipado de éstas, las llamadas "tres marías". Gaby Cabello Santos, docente e investigadora especialista en educación primaria, didáctica de la matemática y nuevas tecnologías de la Universidad Nacional de Educación de Lima, Perú, afirma que este rechazo es afianzado, la mayoría de las veces, por la misma familia. "El temor, miedo, fobia o rechazo hacia las matemáticas se inicia en las familias porque muchas veces los adultos (padres, hermanos, tíos, abuelos) influyen en la percepción de niños, niñas y adolescentes con opiniones pesimistas, al manifestar por ejemplo 'no importa si tienes bajas notas, total, yo también las tuve' u 'hoy te prepararé un caldo especial, porque te toca la clase de Matemática', entre otros comentarios", dice. Para acabar con esta falsa apreciación existen estrategias que hacen de estos temas algo divertido y fácil de aprender, desarrollando además habilidades intelectuales y motoras. Una de ellas es el origami o papiroflexia, como es también llamado este arte milenario de origen japonés, que ha servido, desde épocas remotas, como una técnica de relajación, aprendizaje y expresión artística. Arte con papel. Origami significa doblado (ori) de papel (gami), también conocido como papeloflexia o papiroflexia, y consiste en hacer coincidir bordes y realizar dobleces con el fin de crear figuras de todo tipo, que pueden ir desde cuadrados, circunferencias y pirámides hasta animales, flores, estrellas y demás objetos tridimensionales que con un poco de creatividad, paciencia y destreza pueden surgir de un trozo de papel en muy poco tiempo. "El origami es una técnica fácil que no requiere de cambios serios en los currícula de los países para insertarse en la labor educativa; el docente innovador que apueste por ella debe tener en cuenta la contextualización, la pertinencia, la significatividad y la creatividad en el quehacer pedagógico", explica Cabello, resaltando que el interés por el aprendizaje de las matemáticas sólo se formará cuando el niño, niña y adolescente entienda su funcionalidad para la vida cotidiana. La docente utilizó origami en niños con dificultades para manejar la posición espacial, quienes luego fueron adquiriendo precisión manual y motricidad fina. Al final del año, comenta, ya no había confusión entre las posiciones de las letras "b" y "d". Aprender haciendo. Además de ser amena, la técnica de doblar papel enriquece el progreso de habilidades motoras finas y ofrece ventajas que pueden ser contrarrestadas con las teorías del desarrollo evolutivo de Piaget, que, como lo señala Cabello, "sostienen que el perfeccionamiento de la inteligencia depende de un crecimiento en contacto con la realidad, destacan la acción de promover el proceso de aferencia (entrada de ideas) y eferencia (salida de ideas procesadas) a manera de bucle". Asimismo, refiere que el origami es un gran motivador para la concentración, el pensamiento geométrico y de estimación espacial, así como también la tolerancia consigo mismo y la solidaridad con los demás. Por lo tanto, puede ser de gran ayuda incluso combinado con el empleo de nuevas tecnologías en la metodología de enseñanza, enunciación de contenidos y procedimientos didácticos.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


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"Desde el ámbito del estudiante, aprender matemáticas con ayuda de nuevas tecnologías permitirá el reforzamiento de aprendizajes, potenciar la retroalimentación y el descubrimiento de nuevos saberes, dado que la curiosidad de niños, niñas y adolescentes es una característica natural, la experimentación por sí mismos y conectarse e interactuar con nuevos escenarios de aprendizaje", manifiesta la docente. La edad promedio para comenzar a trabajar con técnicas de origami son los 6 años, dado que, según explica Cabello, "los niños y niñas a esta edad pueden realizar dobleces simples, como por ejemplo el doblez de servilleta, el doblez de pañuelo, entre otros de los más sencillos, y, de acuerdo a la praxis y la estimulación, se irán realizando origamis más complejos". En el proceso de plegado, el o la estudiante aprende las relaciones espaciales del pensamiento geométrico (adentro, afuera, arriba, abajo, izquierda, derecha, etc.). Estas etapas de evolución en el desarrollo de las ideas matemáticas de los niños y niñas fueron estudiadas por Clements y Sarama, dos investigadores que ensayan aplicaciones computacionales para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría. Citados por Alejandra León Castellá en un estudio para la Fundación para el Centro Nacional de la Ciencia y la Tecnología (Cientec), de Costa Rica, ambos expertos exponen que "niñas y niños pasan por varias etapas en su acercamiento a las figuras geométricas. En el primer estadio, el precognitivo, los niños y niñas perciben las formas, pero no pueden distinguirlas y clasificarlas. En la siguiente, la etapa visual, son capaces de identificarlas de acuerdo a su apariencia. Por ejemplo, identifican un rectángulo porque se parece a una puerta. No es sino hasta después, en la etapa descriptiva, en la que aprenden a reconocer y caracterizar las formas, basándose en sus propiedades. Es hasta entonces que, habiendo asimilado los conceptos y no sólo repitiendo una serie de palabras, reconocen y describen conscientemente un rectángulo como una forma que tiene dos lados iguales y cuatro ángulos rectos". Más adelante adquieren nociones de plano, superficie, bordes, aristas y vértices, y luego proyectarán esos polígonos en sólidos, es decir, pasarán de planos a figuras en 3D con todos sus elementos. Otras técnicas En función de esto, en clases de Matemática o Geometría pueden emplearse diversas técnicas además del origami, como por ejemplo el kirigami, que consiste en cortar el papel dibujando y haciendo figuras directamente con las tijeras; el maquigami, que no es más que trabajar el papel para rasgar, unir, doblar y arrugar únicamente con las manos. Esta última tiene una gran influencia en los niños y niñas, ayudándolos a trabajar inteligencia emocional y autoestima. También puede nombrarse el tangram de cinco, que es una especie de rompecabezas de cinco o más piezas con las que pueden formarse múltiples figuras y demás juegos educativos y canciones, que harán de la clase un espacio para compartir experiencias gratificantes y afianzar los conocimientos matemáticos y geométricos de los y las estudiantes, sin que sientan temor o rechazo hacia estas cátedras. Por otra parte, Cabello mantiene que el hogar debe ser un espacio donde exista una "dualidad sostenible que tenga productividad intelectual, valorativa y procedimental", por lo que la integración de los padres con la formación impartida en la escuela los hará cumplir con ese rol de reforzadores de aprendizajes. Recomendaciones para padres y maestros Algunas recomendaciones que ofrece Gaby Cabello Santos, docente e investigadora de la Universidad Nacional de Educación de Perú, a los padres, madres y maestros para ayudar a los niños, niñas y adolescentes en el aprendizaje de las matemáticas son: * Desarrollar la observación en el hogar, en el supermercado, en el consultorio, en la escuela, en la comunidad, entre otros lugares. * Comunicarse matemáticamente, es decir, que los padres, maestros y público interesado en contribuir con la enseñanza de la matemática utilice en sus diálogos, conectores como: mucho, poco, algunos, todos, etc. De esta manera, los niños y niñas se irán familiarizando con la matemática y adquiriendo la noción de cantidad. * Desarrollar la creatividad mediante dibujos, plegados, rasgados, etc.


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SSEERRVVIICCIIOO PPÚÚBBLLIICCOO: Cuidando la salud

Acto de Higiene 1

Este es un Comunicado del Instituto Venezolano para las Ciencias, avalado por las distintas federaciones de médicos de Venezuela.

Ante la proliferación de casos de tuberculosis y otras enfermedades de transmisión oral en la ciudad de Caracas y en el resto de las ciudades del país, se le pide a la gente no consumir paquetes de plátano, papas, maní, semillas de merey, ajonjolí, pistacho y otros tipos similares, que venden en semáforos y vías públicas pues se ha detectado que dichos alimentos de producción casera se introducen en las bolsas previo soplado a pulmón por las personas encargadas, que luego lo engrapan o pegan, quedando contaminado el producto y perjudicando a quien lo consuma.

Recuerden que estas bolsitas vienen pegadas y la única manera de despegarlas es soplando la bolsa y muchas de estas personas pueden sufrir de alguna enfermedad contagiosa. Ya se han hecho encuestas de los casos detectados y en su mayoría las respuestas son positivas con relación al consumo de dichos alimentos.

Tome sus precauciones. Cuide su salud y la mejor manera de hacerlo es no comer nada de eso, porque la forma de llenar las bolsitas es totalmente antihigiénica.

No consuma nada que no venga tapado de fábrica, que es un poco más seguro.

Remitan por favor esta información a su familia, amigos, conocidos y al prójimo en general.

Acto de Higiene 2 ¿Dónde colocan sus carteras o bolsos las mujeres? No son pocas las veces que se ha hecho referencia al enojo mostrado por algunas amas de casa cuando alguna invitada al llegar de visita, deja caer su cartera o bolso en la mesa donde están cocinando o poniendo la comida. ¿La razón? La costumbre de las mujeres de poner sus carteras o bolsos en cualquier parte hace que las mismas siempre estén lo suficientemente sucias y en consecuencia, sean fuentes de contaminación.

Pero se ha comprobado que esta preocupación de las amas de casa es muy válida y con fundamentación científica. Recientemente, algunas carteras o bolsos utilizados por mujeres, fueron sometidas a pruebas de laboratorios. Previamente se detectó que las mujeres que las utilizaban acostumbraban a colocarlas en cualquier sitio si en un momento dado realizaban una actividad donde se veían obligadas a dejar de sostenerlas. Entre los sitios usuales se citaron cualquier lugar de una oficina, carritos de supermercados, pisos de automóviles o autobuses, pisos de baños públicos, etc. También dieron a saber que la mayoría de ellas acostumbraban poner los bolsos en las mesas de cocina donde se prepara la comida.

Para sorpresa de los microbiólogos que llevaron a cabo la investigación, resultó que las carteras estaban muy sucias. No sólo tenían altos índices de bacterias, sino que además eran de las más peligrosas. Por ejemplo, la pseudomona puede causar infecciones en los ojos, el estafilococo aéreo puede causar serias infecciones en la piel, la salmonela y la e-coli encontradas en las carteras podrían enfermar gravemente a la gente. En una muestra, cuatro de cinco carteras dieron positivo de salmonela, y ésto no fue lo peor porque algunas carteras presentaron hasta contaminación fecal.

También se detectó que las carteras de piel o vinyl, tienden a ser más limpias que las de tela y el estilo de vida juega sin duda un papel importante. La gente con niños tiende a tener carteras más sucias. El bolso de una mujer que frecuentaba antros resultó uno de los más contaminados.

Posiblemente esta situación con las carteras de mujeres no conduzcan a una muerte inmediata, pero reúne el suficiente potencial para causar graves enfermedades si afecta la alimentación, causando un continuo deterioro de la salud.

Una conclusión sobre lo tratado aquí, es que las mujeres deben tener mucho cuidado en la forma de usar sus carteras. Deben tomar consciencia que pueden perjudicar a su familia y sus relacionados. Deben acostumbrarse a utilizar percheros para colgar la cartera en casa y baños, y por ningún motivo ponerlas encima de escritorios, mesas de restaurantes, de cocinas o comedores.

Los expertos dicen que se debe pensar en una cartera o bolso de la misma manera que se hace con los zapatos. Nadie coloca un par de zapatos usados encima de la mesa de la cocina porque considera tal acto como de falta de higiene; por esta misma razón las mujeres no deben colocar la cartera sobre la mesa. Debe convertirse en un hábito lavar las carteras de tela y utilizar limpiadores para las de piel o plástico.

En general, aunque este artículo esté dirigido a las carteras o bolsos de mano utilizados por las mujeres; es de considerarse que a esta situación no escapan objetos similares utilizados por hombres: maletines, bolsos deportivos, etc. Los hombres también acostumbran a colocar estos objetos en sitios muy pocos higiénicos (pisos de baños públicos, de autobuses, de automóviles, etc.) tal como lo hacen las mujeres. E igualmente es posible que al llegar a sus hogares, los coloquen sobre la mesa de la cocina o del comedor. ¡Así que la advertencia es para todos!


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AMENIDADES

¡Arquitectura exótica!

Sudoku!!! El juego numérico que activa la inteligencia

Recuerda: la regla para hacerlo es rellenar cada fila, cada columna y cada caja de 3x3 con los números del 1 al 9 sin repetirlos.

La respuesta del anterior:

Y ahora…… ¡¡¡Nuevo Reto!!!

Tomado de: Mephan, M. (Comp.) (2005). Sudoku. El nuevo juego numérico que activa la inteligencia. Caracas-Venezuela: Editorial Random House Mondadori.

¡Éxito y hasta el próximo encuentro!


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GALERIA

TALES DE MILETO (625 A.C - 547 A.C.)

Tales de Mileto, Filósofo Griego, fundador de la escuela

Jónica, considerado como uno de los 7 sabios de Grecia.

Nació en Tebas, en el año 625 A.C. y murió en Atenas en el

547 A.C. a los 78 años.

Matemático, astrónomo, y un gran pensador. Tales de

Mileto viajó a Egipto, donde realizó estudios y entró en

contacto con los misterios de la religión egipcia.

Se atribuye a él, la previsión de un eclipse de Sol, en el

año 585 AC, y se dice que fue el primero en dar una

explicación lógica a las ocurrencias de los eclipses.

También realizó una hazaña increíble: su talento

matemático era tan poco común, que consiguió establecer

con precisión la altura de las pirámides, con sólo medir la

sombra que proyectan.

Se destacó principalmente por sus trabajos en filosofía y

matemáticas. Se le atribuyen las primeras demostraciones

de teoremas geométricos mediante el raciocinio lógico y

fue por estos trabajos que se le considera el Padre de la

Geometría.

Fue el primero en sustentar que la Luna brillaba por reflejo

del Sol, y por consiguiente, determinó el número exacto de

días que conforman un año. Para probar que su

conocimiento podía tener utilidad práctica, afirmó que en

determinado año, la recolección de aceitunas sería

excepcional. Entonces él arrendó la mayoría de las

destilerías de aceite de la ciudad de Mileto. Con esta

maniobra ganó buen dinero pero este no era su interés

primordial; lo hizo con el sólo propósito de hacer callar a

los que decían que la filosofía sólo era un capricho de los

ociosos.

En una determinada oportunidad, un sofista se aproximó a

Tales de Mileto e intentó confundirlo con preguntas

consideradas muy difíciles pero el sabio de Mileto estaba a

la altura de la prueba. Respondió a todas las preguntas sin

la menor vacilación.

Sofista: ¿Qué es lo más antiguo?

Tales: Dios, porque siempre ha existido.

S: ¿Qué es lo más bello?

T: El Universo, porque es obra de Dios.

S: ¿Cuál es la mayor de todas las cosas?

T: El Espacio, porque contiene todo lo creado.

S: ¿Qué es lo más constante?

T: La Esperanza, porque permanece en el hombre

después de que lo ha perdido todo.

S: ¿Cuál es la mejor de todas las cosas?

T: La Virtud, porque sin ella no existiría nada bueno.

S: ¿Cuál es la más rápida de todas las cosas?

T: El Pensamiento, porque en un pequeño instante nos

permite volar hasta los confines del universo.

S: ¿Cuál es la más fuerte de todas las cosas?

T: La necesidad, porque es con lo que el hombre

enfrenta todos los peligros de la vida.

S: ¿Cuál es la más fácil de todas las cosas?

T: Dar Consejos.

...Pero cuando llegó a la última pregunta, el sabio de Mileto

dio una respuesta tan inesperada, que a su interlocutor

sofista le pareció paradójica, ...quizás porque no entendió

su profundo significado...

S: ¿Cuál es la más difícil de todas las cosas?

El sabio de Mileto respondió sin titubear: Conocerse a sí

mismo.

homotecia nº 11-2008

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