Las ideas y opiniones de los autores de los artículos que publicamos en HOMOTECIA son responsabilidad de los mismos. Si algún lector tiene objeciones sobre éstas, agradecemos nos haga llegar por escrito sus comentarios.

EDITORIAL El inicio de 2008 marca también el

comienzo del sexto año de

publicación de HOMOTECIA. Si hasta

ahora no lo hemos hecho lo mejor

que se pueda, no es este un índice

para afirmar que no se ha intentado.

Diariamente nos esforzamos por

buscar, encontrar e incluir en cada

edición, detalles que nos permitan

cumplir con nuestro objetivo

primogénito: hacer de la revista una

herramienta que desde la Cátedra de

Cálculo del Departamento de

Matemática y Física de la FACE-UC,

proporcione a los estudiantes

información que les permita

complementar su formación, no

solamente en lo referente a

contenidos sino también a esos

elementos de la cultura matemática

y de la cultura científica que en lo

general debe caracterizar el

discurso de un docente que egrese

en las menciones que administra

nuestro departamento, al integrarse

a la familia profesional que será

contextualmente su comunidad de

estudios con la que ha de compartir

intereses comunes.

Mientras sea posible seguir

publicando la revista, lo citado

anteriormente marcará la tónica de

nuestro trabajo. Este es nuestro

compromiso para este próximo año y

para los siguientes.

REFLEXIONES "La utopía es el principio de todo progreso y el diseño de un futuro mejor".

ANATOLE FRANCE

"Cada fracaso enseña al hombre algo que necesitaba aprender".

CHARLES DICKENS

"Detrás de cada logro hay otro desafío". GASTÓN GAUDIO

Argentino-Tenista Profesional

RReevviissttaa HHOOMMOOTTEECCIIAA

PPuubblliiccaacciióónn ddee::

CCáátteeddrraa ddee CCáállccuulloo

DDeeppaarrttaammeennttoo ddee MMaatteemmááttiiccaa yy FFííssiiccaa Facultad de Ciencias de la Educación

COORDINADORES DE PUBLICACIÓN

Prof. Rafael Ascanio H. Prof. Próspero González M.

LLAA DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEELL TTIIEEMMPPOO YY SSUU SSIIGGNNIIFFIICCAADDOO EEMMPPÍÍRRIICCOO Por Héctor Daniel Gianni – Tomado de casanchi.com

¿Realmente olvidamos cómo se originaron los conceptos pre-científicos, como sugería Einstein? ¿Cuánto hace que se originó el concepto de “tiempo”? ¿Cómo habrá comenzado la confusión entre “medida de tiempo” y “tiempo”? Todos sabemos que “tiempo” no es una dimensión, ¿Por qué comenzó a confundírsela con una de ellas?

Continuando con el artículo anterior sobre definición, o más bien reemplazo de la palabra “tiempo” por los conceptos movimiento, cambio o transformación y antes de comenzar con estos interrogantes. Podríamos decir que el concepto sería la concepción de una idea, o pensamiento sobre algo con o sin existencia física, que podamos describir suficientemente para integrar nuestro conocimiento o el de los demás y que permita así ser reconocido. Por ello es que dijimos que el “tiempo” que creemos medir con el reloj, que hoy nadie puede describir, no es un concepto sino una palabra, que no solo no podemos definir, sino tampoco ubicar en el mundo de lo que existe o no físicamente. Sin embargo cuando nominamos algo que tenga o no existencia física, debería ser factible de ser descrito aunque más no sea precariamente, de manera tal que al verse (si tiene existencia física) o pensar acerca de él (si no la tiene) su descripción sea suficiente para permitir reconocerlo. Si el hombre prehistórico con la palabra “tiempo” nominó el “movimiento” periódico y recurrente del sol, el día, la noche, la fases de la luna, el paso de la esfera celeste, las cuatro estaciones, muy probablemente nunca los consideró como movimientos, sino como cambios raros, por su escaso número y excepcionalmente regulares en un mundo donde todo sucede a través de movimientos, cambios, y transformaciones irregulares de distinta rapidez.

Entonces sí, que dicha palabra en épocas prehistóricas fue un concepto fácil de describir y reconocer, la periodicidad y recurrencia que por su utilidad superaron en importancia al hecho de que era movimiento, las primeras características le permitieron anticipar las posibilidades de caza y más tarde practicar una eficiente agricultura. Al carecer de importancia el hecho de que fuese un movimiento llevó a que se dejara de usar conscientemente, desapareciendo así de nuestra conciencia pero esto suele perdurar a otro nivel, como el subconsciente, de manera tal que seguimos siendo poseedores de dicho conocimiento sin saberlo.

Creo que lo que la física infructuosamente busca como definición de “tiempo” y su significado experimental, no es el movimiento periódico recurrente que los prehistóricos llamaron “tiempo”, sino el movimiento, cambio o transformación (que es a lo que la física se refiere como “tiempo”) que es los que medimos con el primer movimiento. Por ello, repito una vez más, con un movimiento periódico recurrente, regular, uniforme y continuo tomado como unidad, como el del sol o el reloj, medimos, todos los movimientos, cambios y transformaciones sin las características anteriores. Cuando creen estar midiendo el “tiempo” y buscan inútilmente su definición y significado. Lo que en realidad están midiendo es movimiento, cambio o transformación. Creo que deberíamos tener presente las siguientes palabras de Einstein: “el pensamiento científico es un desarrollo del pensamiento pre-científico”. “Con nuestros conceptos pre-científicos nosotros estamos en la posición de un arqueólogo con respecto al problema ontológico. Nosotros podríamos decir que hemos olvidado que características del mundo de la experiencia nos llevaron a formar esos conceptos, y tenemos gran dificultad en recordar el mundo de la experiencia sin los anteojos de la vieja ya establecida interpretación conceptual. Allí hay más dificultad, porque nuestro lenguaje está obligado a trabajar con palabras las cuales están inseparablemente conectadas con aquellos primitivos conceptos. Estos son los obstáculos con que nos enfrentamos cuando tratamos de describir la esencial naturaleza del pre-científico concepto de espacio.” (Ideas and Opinions, Págs. 270,271). Conscientemente he repetido muchas cosas muchas veces y este artículo no está bien redactado en lo absoluto, he priorizado trasmitir y hacer entendible algo que estoy totalmente convencido de saber, pero me resulta terriblemente dificultoso explicarlo por escrito.

(Continúa en la siguiente página)

HHOOMMOOTTEECCIIAA Tiraje: 100 ejemplares

CÁTEDRA DE CÁLCULO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA - FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - UNIVERSIDAD DE CARABOBO PUBLICACIÓN PERIODICA Nº 1 - AÑO 6 e-mail: homotecia@hotmail.com Valencia, 7 de Enero de 2008

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 2

(Viene de la página anterior)

Creo que en gran medida esta es la razón que impidió durante miles de años redescubrir el origen de “tiempo” como concepto (el movimiento del Sol), su olvido (ya nadie sabe qué es) indujo a aplicarlo erróneamente a lo que se medía comparativamente con el conteo de dichos movimientos, que siempre fue y es el resto de los movimientos, cambios y transformaciones no periódicas y recurrentes. Repito, en ves de decir que se miden estos últimos movimientos, se dice que se mide el “tiempo” de dichos movimientos, cambios y transformaciones, interponiendo así, inútilmente la palabra “tiempo” que ya dejó de ser un concepto. Ruego del lector la más buena voluntad para entender este trabalenguas, más, yo diría traba-razonamientos. Desgraciadamente en este caso, Einstein también tenía razón.

En este segundo artículo solo nos referiremos a lo que respecta a “tiempo” y no a “espacio” tema que dejaremos para un artículo próximo. Con un cráneo y pocos huesos sabemos que el hombre de Neandertal era de miembros cortos y muy fornidos. ¿Cómo?, por el largo y las prominentes rugosidades de sus huesos, donde evidentemente se insertaron poderosos músculos, conformando una estructura ideal para conservar el calor en esa era glacial, esto lo deducimos comparativamente a partir del ser humano actual. No sería para nada disparatado pensar que un hombre hace veinte o treinta mil años (los antropólogos encontraron un hueso con marcas de esa época que ellos interpretan como marcas calendarias basadas en las fases de la luna) tuviese una capacidad mental similar a la nuestra. Con un buen conocimiento de los procesos de nuestra mente y siendo capaces de despojarnos en el momento de los conocimientos acumulados por la humanidad desde entonces, podríamos especular con aproximación razonable, la reacción del hombre de aquellos días, ante iguales fenómenos y circunstancias que en la actualidad conocemos mejor. En aquel entonces, como hoy en día, el hombre se encontraba rodeado por otros hombres, animales, plantas y nubes que se movían al viento, agua que corría en los ríos. Sin embargo, no siempre se movían y cuando lo hacían no lo hacían siempre de igual manera. Solo algo como el sol al que no podía mirar directamente, pero lo iluminaba, dándole el día y calor, que inexplicablemente desaparecía dejando la noche y las estrellas que comenzaban a brillar y que lentamente desaparecían en el horizonte, entre ellas se apreciaba fría y hermosa la luna, todas las noches con distinto tamaño y forma. Todos ellos sorprendentemente en el aire, sin que nadie los sostenga e imposibles de influir. Todos con sagrada diferencia de lo que lo rodeaba, tenían movimientos, apariciones y desapariciones (periódicas y recurrentes no conscientemente reconocidas de esa manera) que no se cansaban de suceder a lo largo de toda su vida. El conocía cientos de cosas que se movían y solo eran tres que lo hacían de esa manera, el sol, la luna y las estrellas que brillaban en el espacio, inalcanzables e inconmovibles. Las tres, en distintas culturas y épocas, fueron “tiempo”. El contaba dichos pasajes y usaba dicha cuenta comparativamente para conocer la duración de las cosas (“tres pasos de sol duró el viaje”). Probablemente lo primero que el hombre valoró del sol, fue la luz que le permitía ver y el calor que ella le traía, quizás más tarde comenzó a valorar la utilidad de sus movimientos, difícil sería especular cual de ellos mereció un nombre al comienzo, de todas maneras la utilidad que nos ocupa recién habrá sido nominada miles de años después y su nombre fue “tiempo” en castellano, “idö” en húngaro, (shí jían) en chino, valla a saber en esos días cuales fueron los sonidos que fonéticamente nominan como “tiempo” a esos movimientos. Lo que sí podemos pensar, dado lo que hemos dicho hasta ahora, es que el concepto nominado por esa palabra describía algo de importancia casi sagrada para el hombre y que ese concepto no era compartido por ninguna otra cosa, era único, de uso específico y nombre sin sinónimos. En ese entonces el paso del sol recibió un nombre, era el de “tiempo” él contaba cuantos pasos del sol se sucedían, mientras sucedía el evento a medir. ¿Qué es lo que contaba?, él decía cuento el “tiempo”. Probablemente miles de años después, comenzó a confundir el “tiempo” (pasajes del sol) con la medida ¿Cuál era esta?, era la que comparativamente aplicaba el conteo de los pasos sol, al evento que simultáneamente sucedía, obteniendo así su duración.

¿Qué es lo que hacía?, erróneamente él decía mido el “tiempo”. Sin embargo él no media el “tiempo”, sino que con él medía la duración de las cosas, allí comienza la confusión entre “tiempo” y “medida” al llamarle “tiempo” a lo que medía y ya no a los pasos del sol, o “tiempo” olvidado. Al olvidar que “tiempo” eran los pasos del sol, el creía que con el conteo… medía el “tiempo” (que ya no sabía que era) que duraba un movimiento y en realidad lo que hacía era medir la duración del movimiento, directamente sin necesitar siquiera mencionar el “tiempo”. Allí “tiempo” quedaba sin definición ni significado empírico, y solo continuó recordando que usaba el paso del sol porque era un hecho infalible en el cual podía confiar. Se empezó a confundir el conteo de períodos recurrentes (originariamente “tiempo”), con el uso de la suma de ellos para medir la duración de las cosas. Y a este último hecho lo llamó, medir el “tiempo”. Repetimos ésta es la confusión entre “tiempo” y medida de “tiempo”. Una hora es una unidad de “tiempo”, 24 hs. además de ser 24 unidades de “tiempo” conforman 1 día y cualquiera diría que 1 día es el “tiempo” que tarda el sol entre un amanecer y el siguiente. No, 1 día es el transcurso (aparente) que realiza el sol en el espacio entre un amanecer y el siguiente. Nótese que nos viene desde esa época, el sol “transcurre y pasa” y casualmente también se le atribuyó al “tiempo” que “transcurre y pasa. El sol se mueve en una dirección y nunca vuelve hacia atrás y al “tiempo” se le atribuyo una dirección y la imposibilidad de volver hacia atrás. Esta similitud entre las características del paso del sol y el “tiempo”, no es casualidad pues antes eran la misma cosa. Por supuesto estamos seguros de que el sol los amaneceres y el día y el resto de los movimientos, cambios y transformaciones están unos miles de millones de años antes que el concepto primitivo de “tiempo” y que la palabra “tiempo” sin definición y significado empírico de nuestros días. Lo que el hombre primitivo olvidó es que el “tiempo” eran lo sucesivos pasajes del sol, no como Einstein creyó que lo olvidado era lo que se medía con el conteo de los pasajes del sol, y esto último (lo que se medía con el conteo) tanto antes como ahora era el movimiento, el cambio y la transformación de las cosas, y no el “tiempo” que esas cosas tardan, porque repetimos ese “tiempo” hoy en día solo existe como palabra, que nadie sabe como se relaciona con un sistema de medición, y en el idioma castellano muy extrañamente con el clima. Creo que lo más probable fue que nunca olvidó que lo que él llamo “tiempo” era un movimiento, sino por el contrario que jamás lo consideró como tal.

(Continúa en la siguiente página)

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 3 (Viene de la página anterior)

El pasaje del sol, las fases de la luna, las estaciones y el paso de la esfera celeste muy probablemente fue aceptado como algo mágico y lleno de mitos, como contemporáneamente lo siguen haciendo algunas tribus de Nueva Zelanda, hecho que luego favoreció su posterior endiosamiento.

Recordemos lo que hasta aquí hemos dicho y ello nos deja en claro que originariamente para contar el “tiempo” debían mirar hacia cielo al contar los pasos del sol, si su recorrido se desplazaba hacia el norte o el sur le anticipaba la proximidad del verano o del invierno, dato fundamental para sobrevivir. De noche al observar en que fase estaba la luna también veían si tenía un halo de finas nubes pronosticando lluvias. En el cielo las distintas formas de nubes presagiaban distintos clímax. De allí, tiempo bueno, tiempo malo, tiempo tormentoso, etc., esto tampoco es casualidad, pues cuando se miraba el cielo para saber el “tiempo” esto involucraba en su momento ambas cosas, se veía más o menos la hora y si iba a llover, hacer buen tiempo o si próximamente iba a llegar el frío o el calor.

Con la aparición de las primeras civilizaciones la humanidad se encontró midiendo o contando algo desconocido pero de enorme importancia, pues lo que se contaba, el paso de los días y las estaciones nos afectaba directamente a nosotros y prácticamente a todo lo que nos rodeaba. 3.500 a.c. los Egipcios dividieron el día en 24 partes, 12 de día y 12 de noche, 300 a.c. los Babilonios lo hicieron en 24 partes de igual duración, y los europeos recién lo hicieron en el 1350 de nuestra era. Se atribuye a los Sumerios la división de las horas, minutos y segundos en 60 partes. Los Egipcios también crearon el primer calendario de 365 días, basado en la aparición en el horizonte de la estrella Sirio, la que coincidía con las inundaciones del Nilo, dato éste muy importante para su agricultura y la riqueza del país.

Para complicar las cosas, dado el hecho que lo que medíamos fuese desconocido, que nos afectara con una determinante e implacable acción, a nosotros y a todas las cosas, de que todo intento de brujos chamanes y hechiceros y de la humanidad toda por controlar el ya desconocido “tiempo” fracasare rotundamente, fueron probablemente las razones que llevaron al hombre a endiosar al “tiempo”. Los hititas un par de milenios antes de cristo lo habían hecho con el dios Heshu. En el ámbito religioso de los egipcios se encuentran referencias enigmáticas sobre el “tiempo” pasado presente y futuro y la imposibilidad del hombre de descubrir su naturaleza. Sobre e zócalo de la estatua de Isis en la ciudad de Sais están grabadas las sugestivas palabras “Yo soy todo lo que fue, todo lo que es, y todo lo que será Y ningún mortal ha sido nunca capaz de descubrir lo que hay bajo mi velo” (1). Cantú Cesar “Historia Universal”,Gasso Hnos. Edit. Barcelona, s/f.,t.2, pág. 57. En versiones ulteriores del Zoroastrismo entre los persas se lee “Una potencia única, Zarván Akarán, el tiempo sin limites, que reposa en su gloria, incomprensible para el hombre y que no podemos venerar mas que con un silencio respetuoso” (2) Seligmann Kart, “Historia de las magias”. Ed. Plaza y Jánes, S.A. Barcelona, 1971, pág. 45. Entre los hindúes en el Baghavad-gita o (canto del Señor), o mejor (canto del Creador), en la undécima lectura en “La visión del ser indomable” manifiesta: “Te veo, dice Arjuna a Baghavad, con un numero infinito de brazos, de pechos, de bocas y de ojos, limitado en todo sentido. No veo ni el fin, ni el medio, ni el comienzo……..Y a la pregunta de ¿quien eres? , responde Baghavad: “Yo soy el tiempo que progresando destruye el mundo”.(3) Vagyhavad-Gita, Traducción de Emile Senart, Societe d’Edition “Les Belles letras” París, 1944 (XI,16) (XI,32). En el Mahabarata, la obra más antigua de la literatura hinduista, la que incluye al Baghavad, dice: “El tiempo es el señor que opera el cambio en los seres, lo que no se puede comprender y de lo que no se puede volver, el tiempo es el flujo de todo, si no se le sigue, ¿dónde iremos? Si se intenta huirle, o si se queda uno quieto, no puede evitarse el tiempo. Los cinco sentidos no pueden concebirle. Algunos dicen que Kala (tiempo) es el fuego, y otros que es el señor de las criaturas, Prajapati. Algunos conciben el tiempo como la estación, otros como el mes, otros como el día, o el instante. Pero lo que es uno tiene muchas formas. Es necesario saber que el tiempo controla todo lo que es” (4) Mahabarata XII, 224,5-54, Citado por Panikkar, o.c. Pág., 72, Panikkar Raimundo “Tiempo e Historia en la tradición de la India” en “Las culturas y el tiempo”,UNESCO, Ed. Sígueme Salamanca,1979. Los griegos son los que le quitan al “tiempo” su estatus sagrado, bajándolo a la tierra, sin embargo son incapaces de redescubrirlo y ellos no buscan saber que fue originalmente el “tiempo”(los pasos del sol) sino, ¿que se medía con el conteo de los pasos del sol? ese “tiempo” ¿Qué era?, el que luego utilizábamos para medir movimientos cambios y transformaciones. El que Einstein creía que la humanidad había olvidado. Pero uno de ellos, Aristóteles no hubiese redescubierto que el “tiempo” originalmente eran los pasos del sol, o sea movimientos, periódicos recurrentes, pero sí estuvo a punto de descubrir que era lo que se medía con el conteo de los pasos del sol, pues “tiempo”, ya en ese entonces había dejado de ser un concepto para pasar a ser una palabra. Entonces los griegos contaban el “tiempo” en un reloj de sol y luego aplicaban comparativamente como lo hacemos ahora el “tiempo” medido, para saber la duración de las cosas. Aristóteles hace 2.300 años nos decía “parece que el “tiempo” es, sobre todo, un movimiento y un cambio. Pero el cambio y el movimiento de cada cosa están solo en la misma cosa que cambia, no en el lugar donde se encuentra el mismo móvil y mudable; en cambio el tiempo existe igualmente en todas las partes y en todas las cosas. Además todo cambio puede ser más veloz o más lento, y el tiempo no. Entonces es evidente que no es movimiento”(5) Aristóteles, Física IV, IS, 218. Como podemos ver si Alberto Einstein y su relatividad hubiesen existido antes que Aristóteles, éste hubiese descubierto que era el “tiempo” que se media con los pasos de sol o con el reloj de entonces porque se hubiera liberado del prejuicio de la época, al saber que el “tiempo” era relativo, de que podía ser más veloz o más lento y de que cada cosa tiene su “tiempo” el que implica la velocidad de los movimientos, cambios y transformaciones de sus integrantes , como su inteligencia se lo dictaba hace más de dos mil años. Ya que citamos a Aristóteles digamos que es él el que nos recuerda de que “cada cosa se numera por medio de una cosa particular del mismo género, a saber, las unidades por medio de una unidad y los caballos por medio de un caballo”. Así es que tenemos a un particular movimiento periódico, recurrente, regular, uniforme y continuo, como los pasos del sol al que utilizamos como unidad para medir con él a todos los movimientos, cambios o transformaciones, que no tienen las características particulares del primero Bien antes de hablar de la época actual respecto del “tiempo”, hagamos un recuento de las distintas etapas del “tiempo” desde su creación como concepto:

a) Uso anterior a su creación Muy probablemente cientos de miles de años atrás el hombre comenzó a utilizar los pasos del sol, los días y las noches para comparativamente medir la duración de lo que lo rodeaba y poder anticipar sucesos de gran importancia para su supervivencia, estos movimientos periódicos recurrentes, a los que él consideraba como algo mágico e incomprensible, pero útil para predecir acontecimientos.

(Continúa en la siguiente página)

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 4 (Viene de la página anterior)

b) Creación del concepto “tiempo”. Luego de usar éste conocimiento, probablemente durante varios miles de años, el hombre consideró que merecía un nombre y a los mágicos pasos del sol los llamó “tiempo”, como no sabemos que lenguaje tenia, si podemos saber que era un concepto, pues tenía definición, para él era la mágica y constante repetición de los incansables pasajes del sol durante toda su vida, el nombre o palabra que describía el concepto, probablemente no era compartido por ninguna otra cosa, era único y sin sinónimos. c) Olvido de la descripción del concepto: Los pasos del sol que él había nominado como “tiempo”, con el desarrollo y aumento de los conocimientos del hombre, la utilidad y valoración de los mágicos y constantes pasos del sol, se incremento tanto, que no importo que era, sino para que servía y comenzó a dejar de lado la descripción y características de dichos pasajes, de los cuales paulatinamente dejo de estar conciente, al punto de caer en el olvido total para la humanidad. d) Confusión de “tiempo” con su medida: Cuando olvidó que “tiempo” eran los pasos del sol, comenzó a aplicar el nombre a lo que él medía comparativamente con el conteo de los pasos, y entonces decía que él medía el “tiempo” que ya no sabía que era. e) Endiosamiento de la palabra “tiempo”: Siguió contando los pasos del sol y con el decía que medía el “tiempo”. Para ese entonces se consideraba que se encontraba en todas partes, que era todo poderoso, que nos influía a nosotros y a todo lo que nos rodeaba y que simultáneamente era inconmovible y que nada lo afectaba, en pocas palabras que era absoluto, paso a ser dios, alejando todavía más al hombre de la posibilidad de saber que estaba midiendo con los pasos del sol y esto era (movimiento, cambio y transformación). f) Pérdida del estatus de dios: Los griegos se encargaron de ello, sin embargo al no saber que era lo que supuestamente se medía con los pasos de sol, o leyendo un reloj, “tiempo” a pesar de haber perdido su estatus sagrado, siguió creciendo el tamaño del misterio que lo rodeaba, y como “tiempo” ya no era un concepto sino solo una palabra y como a todo lo desconocido que se cree importante, la ciencia comenzó a atribuirle, cualquier cantidad de características que en mi humilde opinión son inexistentes. g) “Tiempo” en la actualidad: Hoy como en la época de San Agustín sigue siendo válido lo que él dijo: “Mido y no se lo que mido”. Cuando hay algo que nadie sabe lo que es, es fácil atribuirle cualquier cosa, pues nadie podrá desmentirlo, y así es que tiene dirección, imaginen, si la tuviese tendría existencia física y sería cierto hacia adelante y atrás en el “tiempo”.El amor, el odio y la ternura existen, pero no físicamente, imaginen adelante o hacia atrás en cualquiera de los tres.

Einstein más de una vez se refiere al “tiempo” como a la dimensión imaginaria diferenciándola así de las 3 dimensiones espaciales, ¿porque? porque él no sabe que es el tiempo, pero está convencido de que existe, porque puede medirlo. Es imposible describir un evento si no consideramos al “tiempo”, pues no habría nada que se sucediese, por lo que no sería un evento. Nosotros y el resto de los animales y plantas como seres vivos que se transforman continuamente desde su concepción hasta su muerte formamos parte del “tiempo” (movimiento, cambio o transformación) y poseemos como parte de nuestra estructura procesos químicos periódicos y recurrentes, que de alguna manera, no sabemos como son contabilizados y nos permiten estimar el “tiempo” (transformación), por ejemplo, animales domésticos que esperan diariamente la vuelta del trabajo de sus amos a una hora determinada y con gran precisión. Árboles que desarrollan el crecimiento de su corteza formando una nueva capa cada año, en un corte transversal se puede apreciar un anillo por año (365días), el más largo record de crecimiento por anillos es una sequoia en el que se contaron 8.700 años. Como todas las cosas que tienen existencia física se mueven cambian y transforman continuamente, desde una ardilla a una montaña su diferencia consiste en la velocidad a que lo hacen. Inclusive podríamos decir que las cosas sin existencia física como las ideas pensamientos, sentimientos también se transforman continuamente, quizás por el hecho de que resultan de procesos físicos. Yo creo que al “tiempo” comenzó a confundírselo con una dimensión, porque al graficarse a las 3 dimensiones espaciales con 3 rectas que se cruzan entre si X1, X2, X3, imprescindibles para localizar topográficamente un objeto en el espacio o para describir su forma y estructura. Así de imprescindible como las dimensiones espaciales era el “tiempo” para describir un evento, dada la similitud de su función, de su importancia, y como no se sabe que es el “tiempo”, solo se puede graficar su medida escalar y se lo hace por medio de una recta, que siempre aparece conjuntamente con las tres espaciales, realmente creo que por su apariencia gráfica y su similar importancia con las anteriores se la nominó la 4ta. Dimensión. El saber que el “tiempo” que la ciencia dice medir es movimiento, cambio o transformación, altera varias cosas, por ejemplo, si bien la imaginaria 4ta dimensión continuará midiendo el “tiempo”. El “tiempo” pasará a graficarse conjuntamente con las 3 Dimensiones espaciales, pues todos los movimientos, cambios y transformaciones de un evento serán el “tiempo” del mismo, que podrán ser más rápidos o más lentos lo que se graficará con la 4ta dimensión (de esto probablemente podremos hablar en un próximo artículo).

Cuando Einstein se refiere al “tiempo como relativo se esta refiriendo a su medición, “un incremento de la velocidad, hace que el reloj de la nave espacial funcione más lentamente”, se debió sentir incomodo refiriéndose al “tiempo” sin saber que es, por ello generalmente se refería al reloj. Por supuesto experimentalmente esta probado que el “tiempo” con un incremento de la velocidad es más lento ¿por qué?, porque hace más lentos los movimientos del reloj y cualquier otro movimiento, cambio o transformación como hemos mostrado en la paradoja de los gemelos al comienzo del primer artículo.

Finalmente solo es importante saber como se originó el concepto de “tiempo” para saber que es un movimiento periódico recurrente, regular uniforme y continuo, como el sol o el reloj atómico. Que es esto lo que olvidó el hombre. Por ello repito una ves más, con un movimiento periódico recurrente, regular, uniforme y continuo tomado como unidad sol, reloj, medimos, todos los movimientos, cambios y transformaciones sin las características anteriores. Por ello creo que la física se equivoca cuando cree estar midiendo el “tiempo” y busca inútilmente su definición y significado. Lo que en realidad esta midiendo es movimiento, cambio o transformación.

Como en el resto de las cosas “cada cosa se numera por medio de una cosa particular de su mismo genero”. Que ambos son movimiento, el llamado “tiempo” y lo que con él se mide.

Héctor Daniel Gianni E-mail: hectorgianni38@hotmail.com

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 5

TRABAJANDO EN CÁLCULO

Por: Prof. Rafael Ascanio H. – Prof. Próspero González M.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA - FACE – UC

CÁLCULO INTEGRAL: INTEGRAL INDEFINIDA.

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Más ejercicios resueltos sobre integración por sustituciones trigonométricas.-

1.- Evalúe ∫

−+ 322 xx

dx .

Solución:

Para resolver esta integral, es necesario completar cuadrados en el radicando. Así que:

4)1(31)12(3)112(3)2(32 22222 −+=−−++=−−++=−+=−+ xxxxxxxxx

Luego, al rescribir la integral, queda:

∫∫ =−+

=−+

= (*)4)1(32 22 x

dx

xx

dxI

Forma:

1)1(

11

24

4)1(

22

2

2

2222

+=⇒+=

=⇒=

=⇒=

−≡−+

xuxu

bb

aa

aubx

Cambio:

dZTgZSecZdx

SecZxSecZb

au

⋅=⇒

=+⇒=

2

21

Sustituyendo en (*):

(**)2

2

14

2

44

2

4)2(

2

4)1(32(*)

22222=++==

⋅=

−⋅

⋅=

−

⋅=

−

⋅=

−+=

−+== ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ CTgZSecZLndZSecZ

TgZ

dZTgZSecZ

ZSec

dZTgZSecZ

ZSec

dZTgZSecZ

SecZ

dZTgZSecZ

x

dx

xx

dxI

Devolviendo el cambio para conseguir los valores de SecZ y TgZ:

2

1

21

?

?

+=⇒

=+

==

==

xSecZ

SecZxComo

n

mTgZ

n

pSecZ

Luego:

Por Teorema de Pitágoras:

4)1( 2

22

222

222

−+=

−=

−=

+=

xm

npm

npm

nmp

Además:

2

4)1(

2

4)1( 22 −+=⇒

−+==

xTgZ

x

n

mTgZ

Volviendo a (**):

CxxxLnCxxLnCLnxxLn

Cxx

LnCxx

LnCxx

LnCTgZSecZLndZSecZI

+−+++=+−+++=+−−+++

=+−+++

=+−+++

=+−+

++

=++=== ∫

32)1(4)1()1(24)1()1(

2

4)1()1(

2

4)1()1(

2

4)1(

2

1(**)

222

222

2.- Obtenga: ∫−− xx

xdx

448 2.

Solución:

Para resolver esta integral, es necesario completar cuadrados en el radicando. Así que:

22222 )12(9)144(18)1144(8)44(8448 +−=++−+=−++−=+−=−− xxxxxxxxx

(Continúa en la siguiente página)

Z

1+= xp

2=n

4)1( 2 −+x

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 6

(Viene de la página anterior)

Luego, al rescribir la integral, queda: ∫∫ =+−

=−−

= (*))12(9448 22 x

xdx

xx

xdxI

Forma:

12)12(

11

39

)12(9

22

2

2

2222

+=⇒+=

=⇒=

=⇒=

−≡+−

xuxu

bb

aa

ubax

Cambio:

dZCosZdx

SenZx

SenZxSenZb

au

23

2

13

312

=⇒

−=⇒

=+⇒=

Sustituyendo en (*):

( ) ( ) ( )

( )(**))13(

3

1999)3(9)12(9448(*)

41

43

41

43

412

32

13

2

23

213

2

23

213

2

23

213

22

=+−−=−=−=⋅

=

=−⋅

⋅=

−

⋅=

−

⋅=

+−=

−−==

∫∫∫ ∫

∫∫∫∫∫−

−−−

CZCosZdZSenZdZdZSenZCosZ

dZCosZ

xSen

dZCosZ

xSen

dZCosZ

xSen

dZCosZ

x

xdx

xx

xdxI

SenZ

SenZSenZSenZ

Devolviendo el cambio para obtener el valor de Z y de CosZ:

p

mSenZladootroPor

xarcSenZ

SenZx

SenZxComo

=

+=⇒

⇒=+

⇒

⇒=+

:

3

12

3

12

312

Luego:

Por Teorema de Pitágoras:

2

22

222

222

)12(9 +−=

−=

−=

+=

xn

mpn

mpn

nmp

Entonces:

3

)12(9

3

)12(9 22 +−=⇒

+−==

xCosZ

x

p

nCosZ

Por lo tanto, en (**):

Cx

arcSenxx

Cx

arcSenx

Cx

arcSenx

CZCosZI

+

+−

−−−=+

+−+−⋅−=

=+

+−

+−⋅−=+−−==

3

12

4

448

3

12)12(9

3

12

3

)12(9(**)

41

2

412

41

41

2

43

41

43

3.- Compruebe que CxxLnxxLn

xxdxx +++++++

+⋅=+∫ 22

22 33

2

33

Comprobación: Resolviendo la integral.

Forma:

33

332

2222

=⇒=

+≡+=+

aa

xaxx

Cambio:

dzZSecdx

ZTgxZTgax

23

3

⋅=

=⇒⋅=

Aplicando el cambio:

( )

)(

(*)3133

3333333

1

222

22222

I

dZZSecSecZdZZSecZTg

dZZSecZTgdZZSecZTgdxxI

=⋅=+⋅=

=+⋅=⋅+=+=

∫∫∫∫∫

(Continúa en la siguiente página)

Z 12 +x

3

2)12(9 +− x

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 7 (Viene de la página anterior)

Resolviendo a I1 utilizando integración por partes.

(**).21 =⋅−=⋅= ∫∫ duvvudZZSecSecZI

Cambio:

CTgZvZdzSecdv

dZTgZSecZduSecZu

+=⇒=

⋅=⇒=2

Volviendo a (**):

( )11

12

12

12

11

1

(**)

CTgZSecZLnITgZSecZ

CdZSecZdZZSecSecZTgZSecZCdZSecZZSecTgZSecZ

CdZSecZZTgTgZSecZCdZTgZSecZTgZTgZSecZI

+++−⋅=

=++⋅−⋅=+⋅−−⋅=

=+⋅−⋅=+⋅⋅−⋅==

∫ ∫∫∫∫

I1 es una integral cíclica. Luego:

121

21

1

11

111

2

CTgZSecZLnTgZSecZI

CTgZSecZLnTgZSecZI

CTgZSecZLnITgZSecZI

+++⋅=

+++⋅=

+++−⋅=

Volviendo a (*):

[ ] *)*(*33(*) 23

23

21

21

1 =+++⋅=+++⋅⋅=== CTgZSecZLnTgZSecZCTgZSecZLnTgZSecZII

Devolviendo el cambio, para determinar los valores de TgZSecZ ∧ .

33

xTgZZTgx =⇒=

3

3

3

311

22

32 2 x

SecZx

ZTgSecZ x+

=⇒+

=+=+=

Volviendo a (***):

( )

CxxLnxxLnxx

CxxLnxxLnxx

CxxLnxx

CxxLnxx

CLnxxLnxx

Cxx

Lnxx

Cxx

Lnxx

CTgZSecZLnTgZSecZI

++++++++⋅

=

=++++++++⋅

=

=++++++⋅

=+++++⋅

=

=+−++++⋅

=+++

+⋅+

=

=+++

+⋅+

⋅=+++⋅==

332

3

332

3

312

33

2

3

332

3

3

3

3.2

33

33

3

33

3*)*(*

222

2212

2

221

22

23

2

232

23

22

23

2

2

23

2

23

23

23

L. Q. Q. C. En el manual de nuestra autoría, CÁLCULO II. Ejercicios, se presentan un significativo número de ejercicios resueltos por este procedimiento así como otros propuestos, los que pueden servir al lector interesado para practicar y profundizar mejor sobre esta técnica. El manual está a disposición de todos en la sección de Publicaciones de la Facultad de Ciencias de la Educación.

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 8

Por: Msc. Morella Acosta

Docente Facultad de Ingeniería UC Doctoranda en Educación-FACE-UC

Es importante reflexionar acerca de las características de los investigadores para trabajar en su búsqueda y consolidación. Si estas características se encuentran en nuestras vidas se puede alcanzar la superación personal y el éxito, que se visualizará en nuestro accionar en el aula y como seres sociales que dan respuesta oportuna a la comunidad donde viven. ¿Qué aspectos se deben considerar como propios de los investigadores? Posiblemente algunos serán:

• De la visión: se refiere a como nos imaginamos las cosas y del empeño que ponemos en lo que se hace.

• Del deseo: se relaciona con la pasión que se le pone a lo que se ha visionado, a lo que se ha soñado.

• De la fe: tiene que ver con la capacidad de creer en lo que imaginamos y con la manera como se defienden las ideas.

• De la dedicación: la dedicación influye en el deseo, la visión y la fe. Se relaciona con la necesidad de manifestar a otros nuestras metas para que esto sirva de incentivo.

• De la planeación: tiene que ver con los planes que se realizan para las metas. En la medida que somos organizados y vamos superando obstáculos, se logra lo que vamos necesitando.

• De la persistencia: se relaciona con la capacidad para vencer los obstáculos y con la necesidad de perseverar en las metas planteadas.

• De la necesidad de aprender de los errores: se entiende la capacidad para aprender de los errores y convertirlos en oportunidades.

• Del conocimiento del tema: se relaciona con la necesidad de profundizar en los conceptos relacionados con las metas y los proyectos.

• Del conocimiento profundo de la mente: tiene que ver con la necesidad de conocer el órgano que nos permite pensar, aprender y desarrollarnos. Se pueden realizar ejercicios para desarrollar el pensamiento y el aprendizaje.

• De la imaginación: se refiere a la capacidad de visualizar las metas y de anticipar resultados.

• De la actitud positiva: la tendencia al optimismo y una actitud positiva favorecen la realización de las metas.

• De la autosugestión: tiene que ver con la disposición de hablar con nosotros mismos y con la importancia de enviar mensajes positivos, ya que esto favorece la realización de las metas.

• De la intuición: se refiere a la capacidad de percibir las posibilidades de realizar las metas.

• De la dirección de grupo: se refiere a la capacidad de influir positivamente con los que nos rodean.

• De la honestidad y verdad: tiene que ver con la capacidad de ser honestos y veraces con las creencias.

• De la creatividad y flexibilidad: se menciona la importancia de dejar que la mente pase las barreras tradicionales en nuevas formas de lograr las metas.

• Del amor por lo que se realiza: se relaciona con el gusto y la pasión que dispensemos a lo que hacemos.

• De la energía física, sensual y sexual: las energías deben dirigir al logro de las metas.

Los aspectos mencionados favorecen el desarrollo de la inteligencia y es un paso adelante en la relación de los nuevos conocimientos porque tiende a eliminar los bloqueos que pueden surgir en el proceso de pensamiento, favoreciendo con ello el proceso de investigación.

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 9

EELL MMaarrxxiissmmoo EEnn LLaa AAccaaddeemmiiaa

Por: Víctor M. Hermoso A. Doctorando en Educación-FACE-UC Victor_hermoso@hotmail.com.

Turmero. Domingo, 28 de octubre de 2007.

Pobrecito Marx, tan lejos de la

revolución y tan cerca de los

académicos.

La producción intelectual va de la mano con las vivencias del autor. ¿Qué hubiera sido de la producción

de Karl Marx si hubiese permanecido como profesor de una universidad europea (de varias)? O mejor que

importancia tuvo el peregrinar de Marx como periodista y político, como asalariado, como amarrado a una familia

numerosa sin las posibilidades materiales de subsistencia. Diría mi Tía clota que no hubiese pirateado su escrito

sobre Bolívar. El hecho real es que esa vida azarosa fue el sustrato para encariñarse con lo concreto y desprenderse

parcialmente de Hegel y escalar la unidad teoría-praxis. Lo he oído decir a algunos respetados profesores de la UC

que son marxistas. ¿A qué se referirán con esa adscripción? ¿A cuál versión del marxismo? El mismo Marx una

vez afirmó que no era marxista. Posiblemente se refieren a que comulgan con algunos planteamientos del pensador

alemán. A menudo se refieren a la alienación y creo que tienen razón aunque a veces ellos se alienan con su

marxismo.

Dos planteamientos medulares del marxismo son el materialismo y la vocación radical por lo económico.

Adelantaremos dos irreverencias: Una, que el mensaje básico del marxismo es que es vida y es realidad al

procurar desentrañar los problemas complejos de cómo los hombres y mujeres producen su vida que es distinta de

la vida animal. Para ello reformulan las viejas contradicciones y las convierten en una metódica para incursionar

en aquellos problemas complejos. La otra irreverencia se refiere al simplismo de referirse al fatalismo mediante el

cual necesariamente el marxismo pretende destruir el capitalismo para construir el socialismo. Este determinismo

conduce entre otras “prácticas intelectuales” (sic), a entender al marxismo como el uso de categorías que le

identifican y a satanizar el uso de palabras que tiene su origen en posiciones filosóficas ajenas al marxismo. Creo

que para acercarse hoy, seriamente, a Marx es conveniente poner en duda algunas de las recetas que los estudiosos

de Marx, por trascendentes que parezcan y por iconoclasta que se juzgue este planteamiento. Pero, esto es una

invitación a reinterpretar a Marx desde Marx. Ya algunos latinoamericanos lo han hecho. Es interesante, en esta

vía de argumentación, el planteamiento de Enrique Dussel. “En su tratamiento de la relación del capital, Dussel

enfatiza que, de acuerdo a la teoría de Marx, el trabajo vivo es la ‘fuente creadora’ del plus valor. Sin trabajo vivo,

el capital no puede valorizarse. Que el capital es la fuente de su propia ganancia, es una ilusión nacida de la forma

engañosa de las ‘apariencias’ de las cosas. Uno de los pasos más importantes que da Dussel es situar esta ‘fuente’

en la ‘exterioridad’; viene del exterior de la totalidad del valor sistematizada por el capital” (Arthur, 2005, p.1).

Continuará si hay respuestas a esta provocación.

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 10

CCÁÁTTEEDDRRAA DDEE CCÁÁLLCCUULLOO:: PPaarrttee 22

TEST DE COOPER - SEMESTRE 2-2007. El sábado 8 de diciembre de 2007, a partir de las 6:30 AM, se realizó en la Pista de Atletismo “Profesor Arístides Pineda” del Complejo Deportivo Universitario, la segunda parte del Test de Cooper (recorrer la pista de 400m durante 12 minutos) en la que participaron los alumnos cursantes de la asignatura Cálculo III, secciones 11 y 71, evento coordinado por el profesor Próspero González y con el apoyo del profesor Rafael Ascanio. Esta actividad integra el conjunto de estrategias de evaluación de estas secciones en la asignatura mencionada. En la logística participaron los bachilleres Carmen González, Willman Villamizar, Ángel Figuera y Pedro Calderón.

En esta jornada se premiaron los tres mejores lugares masculinos y los tres mejores lugares femeninos de la jornada. A Continuación los resultados:

RESULTADOS TEST DE COOPER – Semestre 2-2007 NOMBRE SECCIÓN DIST. R 17-11-2007 DIST. R 8-12-2007 .

ANDRÉS VILORIA 71 6V+380M 8V+150M MEDALLA PRIMER LUGAR MÁSCULINO WILLMAN VILLAMIZAR 11 6V+65M 6V+60M JOHSE ROSSEL 71 6V+60M 6V+380M NAHUM FALCÓN 11 6V+40M 6V+100M WINKEL ARISMENDI 71 6V 5V+150M JOSÉ SEPÚLVEDA 11 6V NO ASISTIO FÉLIX MARÍN 71 6V 6V+200M ANDRÉS ORTEGA 11 6V 7V+100M MEDALLA TERCER LUGAR MÁSCULINO FRANKLIN MEDINA 71 5V+300M 6V+200M RONALD PACHECO 11 5V+200M 6V+300M ROMSTIN CESCUTTI 11 5V+200M 6V+300M ANIBAL RODRÍGUEZ 11 5V+200M 6V+300M IRWING PÉREZ 11 5V+150M 5V+60M OSCAR LOBO 11 5V+150M 6V+40M JORGE CASTILLO 11 5V+120M 7V+150M MEDALLA SEGUNDO LUGAR MÁSCULINO YONATHAN MORENO 71 5V+100M NO ASISTIÓ YONDER CHIRINOS 11 5V+100M 6V MOISÉS LAGUNA 71 5V+100M NO ASISTIÓ ÁNGEL FIGUERA 71 5V+65M 6V+300M ÁLVARO CARMEZA 71 5V 4V+200M LUÍS MÁRQUEZ 71 4V+320M 5V+200M FRANCIS OCHOA 71 4V+300M 5V+20M MEDALLA SEGUNDO LUGAR FEMENINO JOHANA ARAUJO 71 4V+300M 5V+10M MEDALLA TERCER LUGAR FEMENINO EDDLUIS AULAR 11 4V+250M 5V+40M ISMAEL LOYO 11 4V+250M NO ASISTIÓ CINTHYA ARRÁEZ 11 4V+230M 4V+380M REINALDO FIGUERA 71 4V+200M 4V+300M EMILY SALAS 11 4V+200M 4V+200M JESÚS FERNÁNDEZ 11 4V+200M 6V+100M MARIELA CASTRO 11 4V+120M 4V+350M EDUARDO JOUDZBALIS 71 4V+100M 4V+300M JOSÉ BERNAL 71 4V+100M NO ASISTIÓ ROXANA NUÑEZ 11 4V+100M NO ASISTIÓ RICARDO ORTEGA 11 4V+100M 5V+300M ROBERT SIVIRA 11 4V+100M 5V+100M YUDILMA LEOTUR 71 4V+100M 4V+300M KISBEL BAUTE 11 4V+50M 4V+200M BELEIDA SIMANCAS 71 4V+50M 3V SAYIL HERNÁNDEZ 11 4V+50M 5V+60M MEDALLA PRIMER LUGAR FEMENINO DANELLYS PARRA 71 4V+10M 4V+80M SORENNYS LEDEZMA 11 4V+10M 5V+100M ARMANDO GUILLÉN 71 4V NO ASISTIÓ CARLOS ISTÁN 71 4V 6V+100M CARMEN GONZÁLEZ 11 3V+370M LOGÍSTICA BEATRIZ TRUJILLO 11 3V+370M 4V+300M ANDREINA ARMÁS 11 3V+350M 4V+300M KATHERINE TOVAR 71 3V+300M 4V JENIFER NAVEDA 11 3V+300M 4V+50M GIANNY FRANCO 11 3V+300M 3V+350M PEDRO RIZO 11 3V+250M NO ASISTIÓ PASTORA DÍAZ 11 3V+250M 3V+350M ROSALBA HUNG 11 3V+240M 4V+200M ANGELIS LÓPEZ 71 3V+220M 3V+300M FRANCIS RODRÍGUEZ 71 3V+220M 3V+100M SILVIA DURÁN 11 3V+220M 3V+300M ODALYS TORO 11 3V+210M 3V+270M AURA SAYAGO 71 3V+200M NO ASISTIÓ GLADYMAR DEJESÚS 11 3V+200M 3V+295M VALERIA MEDINA 11 3V+200M 4V+100M YEXI MELÉNDEZ 71 3V+100M NO ASISTIÓ FRANCIS RUIZ 71 3V+20M 4V+150M TANG-LING HERNÁNDEZ 71 3V+10M NO ASISTIÓ WENDY LOZADA 71 2V+300M 3V+200M LAURA PERAZA 71 NO ASISTIÓ 4V+120M Mª ANTONIETA TORREALBA 11 NO ASISTIÓ 4V+250M RICHARD RICO 71 NO ASISTIÓ 4V+380M

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 11

AMENIDADES

IIlluussiioonneess ÓÓppttiiccaass

¿¿CCuuaannttaass ccoolluummnnaass hhaayy?? DDooss CCuuaaddrraaddaass oo ........TTrreess RReeddoonnddaass

¿¿CCoommoo eess ppoossiibbllee qquuee ssiinn ssuubbiirr eessccaalleerraass lllleegguueess aall sseegguunnddoo ppiissoo??

Sudoku!!! El juego numérico que activa la inteligencia

Recuerda: la regla para hacerlo es rellenar cada fila, cada columna y cada caja de 3x3 con los números del 1 al 9 sin repetirlos.

La respuesta del anterior:

Y ahora……

¡¡¡Nuevo Reto!!!

Tomado de: Mephan, M. (Comp.) (2005). Sudoku. El nuevo juego numérico que activa la inteligencia. Caracas-Venezuela: Editorial Random House Mondadori.

¡Éxito y hasta el próximo encuentro!

HOMOTECIA Nº 1– AÑO 6 Lunes, 7 de Enero de 2008 12

GALERIA

CAMILLE JORDAN (1838-1922)

Camille Jordan, matemático francés nacido en Lyon y fallecido en París. Fue un conocido tanto por su trabajo fundamental sobre la teoría de los grupos como por su influyente Curso de análisis (Cours d’analyse). Jordan estudió en la Escuela Politécnica (promoción 1855). Fue ingeniero de minas y, más tarde ejerció como examinador en la misma escuela. En 1876 entró como profesor en el Colegio de Francia, sustituyendo a Joseph Liouville.

Su nombre se asocia a un determinado número de resultados fundamentales:

• El teorema de la curva de Jordan: un resultado topológico recogido en análisis complejo.

• La forma normal de Jordan en álgebra lineal.

• El teorema de Jordan-Holder, que es el resultado básico de unas series de composiciones.

El trabajo de Jordan incidió de manera sustancial en la introducción de la teoría de Galois en la corriente del pensamiento mayoritario. Investigó también los grupos de Mathieu, los primeros ejemplos de grupos esporádicos. Su Tratado de las sustituciones (Traité des substitutions) sobre las permutaciones de grupos fue publicado en 1870.

El 4 de abril de 1881 fue elegido miembro de la Academia de la Ciencia.

De 1885 a 1921 dirige la «Revista de matemáticas puras y aplicadas» (Journal de mathèmatiques

pures et apliqués), fundado por Liouville.

Tomado de: Wikipedia ® Wikimedia Foundation, Inc [Consulta: 13 Dic 2007]

EDMOND NICOLAS LAGUERRE

(9 de abril de 1834- 14 de agosto de 1886)

Matemático francés, conocido principalmente por la introducción de los polinomios que llevan su nombre.

Comenzó sus estudios en la École Polytechnique (Promoción 1853). Efectuó una carrera militar de 1854 a 1864 como oficial de artillería. Luego, fue tutor de la École polytechnique.

Gracias al apoyo de Joseph Bertrand, obtiene la cátedra de físico matemático en el Colegio de Francia, en 1883, y se convierte en miembro de la Academia de Ciencias en 1885.

Laguerre publicó más de 140 artículos sobre los diferentes aspectos de la geometría y del análisis. Sus obras completas fueron publicadas en diez volúmenes entre 1898 y 1905 por encargo de Charles Hermite, Henri Poincaré y Eugène Rouché.

Tomado de: Wikipedia ® Wikimedia Foundation, Inc [Consulta: 13 Dic 2007]