Espacios Vectoriales – 3 Hoja 8

E.1 En P2R[x] se consideran los conjuntos

V1 = {p(x) ∈ P2R[x] :

∫ 2

0

p(x) dx = 0}

V2 = {p(x) ∈ P2R[x] : p(1) = 0, p′(1) = 0}

Se pide:

1. Probar que V1 es un subespacio vectorial.

2. Estudiar si P2R[x] = V1 ⊕ V2.

3. Considera B1 y B2 bases de V1 y V2, respectivamente. ¿Es B = B1 ∪ B2 una base de P2R[x]? En

caso afirmativo, encuentra la matriz de cambio de base de B a la base canonica de P2R[x].

4. Dado el polinomio x2−x+1, usa la matriz de cambio de base encontrada en el apartado anteriorpara obtener las coordenadas en la base B de dicho polinomio.

5. Usa lo obtenido en el apartado anterior para encontrar p1(x) ∈ V1 y p2(x) ∈ V2 tales quex2 − x+ 1 = p1(x) + p2(x).

6. Haz lo mismo que en el apartado anterior para el polinomio ax2 + bx+ c.

A.1 ¿Para que valores de α y β el conjunto W = {p(x) ∈ P2R[x] : p(1) = α, p′(0) = β} es un

subespacio vectorial? Para los valores obtenidos obtener una base y la dimension de dicho subespacio.