Espacios vectoriales – 2 Hoja 7

E.1 Consideremos los conjuntos de R3

B1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}, B2 = {(0, 1, 0), (1, 1,−1), (−2, 0, 1)}

1. Probar que ambos conjuntos son bases de R3.

2. Determinar el conjunto de vectores de R3 que poseen las mismas coordenadas respecto deambas bases.

E.2 En el espacio P3R[x] se consideran los conjuntos

L1 = {p(x) ∈ P3R[x] : p(0) = 0}

L2 = {p(x) ∈ P3R[x] : p(x)− xp′(x) = 0}

1. Probar que L1 es un subespacio vectorial.

2. Hallar la dimension y una base de ambos subespacios.

E.3 En el espacioM2(R) se considera la matriz P =

(1 −1−1 1

)y los conjuntos

L1 = {A ∈M2(R) : AP = 0}L2 = {A ∈M2(R) : AP − PA = 0}

Se pide:

1. Probar que L1 es un subespacio vectorial.

2. Hallar la dimension y una base de L1, L2, L1 ∪ L2 y L1 ∩ L2. ¿EsM2(R) = L1 ⊕ L2?

3. ¿Pertenece la matriz P a alguno de los subespacios anteriores? En caso afirmativo, halla lascoordenadas de la matriz P en la base que hayas obtenido del subespacio al que pertenece.

4. Ampliar la base de L1 ∩ L2 encontrada en el apartado 2 a una base de L2 de tal forma que lascoordenadas de la matriz P en la nueva base sean las opuestas de las obtenidas en el apartado3.

5. Calcular la matriz de cambio de base entre la base de L2 encontrada en el apartado 2 y la baseencontrada en el apartado 4.

A.1 Consideremos {e1, e2, . . . , en} la base canonica de Rn y los vectores

u1 = e2 − e1, u2 = e3 − e2, . . . ,un−1 = en − en−1, un = en

1. Demostrar que los uj forman base en Rn.

2. Encontrar las coordenadas del vector x =∑n

i=1 ei con respecto a la base formada por los uj .