Numeros Complejos – 1 Hoja 1

E.1 Probar que para cada z ∈ C,

Re(z) =z + z

2, Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|

E.2 En este ejercicio se pretende demostrar la desigualdad triangular

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

Para ello, probar:

1. Probar que 2αβ ≤ α2 + β2, ∀α, β ∈ R.

2. Usar (1) para probar que

α1α2 + β1β2 ≤√

(α21 + β2

1)(α22 + β2

2), ∀α1, α2, β1, β2 ∈ R

3. Usar (2) para probar que z1z2 + z1z2 ≤ 2|z1| |z2|, ∀z1, z2 ∈ C.

4. Deducir de (3) la desigualdad triangular

5. Deducir la desigualdad (VI) de la Proposicion 1.2.

E.3 Obtener la expresion cartesiana del numero complejo:(1 +√3i

−√22−

√22i

)6

E.4 ¿En que cuadrante se encuentran los siguientes numeros?

(2000e3π4i + 1)7, (5000e

9π7i + 2)11

E.5 Sea z ∈ C tal que z6 = −64i, Re(z) < 0 y Im(z) < 0. Calcular z4.