hmvi- modelos de simulación - modulos 1y2

M1: Generalización para el modelado - Modelos de inventarios. Lectura 01a: INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS

IntroducciónUn modelo se puede ser definido como una representación abstracta de la realidad. Existen diferentes clases de

modelos; como nuestra asignatura se vincula a la ciencia de la administración haremos una breve inducción sobre la ciencia de la administración y los modelos.

La Ciencia de la Administración y su evolución histórica

La Ciencia de la Administración tuvo sus comienzos durante la Segunda Guerra Mundial.

Fue previo a esta guerra que un grupo de estudiosos de áreas básicas, se reúnen con el objetivo de determinar la forma más efectiva de aplicar las fuerzas militares ya que éstas eran escasas; aún cuando este personal operativo hacía funciones de la ciencia administrativa, se le dio el nombre de investigación de operaciones, debido a que a lo que se dedicaban era a analizar operaciones militares.

Al término de la guerra, personal que había contribuido en la investigación de operaciones, se dio cuenta que sus métodos y técnicas adquiridas durante el período bélico bien podrían aplicarse en la industria.

No fue hasta 1950, época en que fueron lanzadas las computadoras al mercado, que se empezó a aplicar la investi-gación de operaciones en la industria. En un principio, los principales problemas eran respecto al control de inventa-rios y los sistemas de transporte, ya que éstos eran muy parecidos a las estrategias militares.

Hoy en día, la investigación de operaciones se aplica a compras, mercadotecnia, Contabilidad, planeación financie-ra entre otras áreas. Aunque es Gran Bretaña quien dio inicio a los estudios de la investigación de operaciones, es Estados Unidos quien hace las grandes contribuciones al tema. En el año de 1947 George B. Dantzig desarrolla el mé-todo simplex de programación lineal, el cual es aplicado a muchos problemas operativos y sirve de base para técni-cas matemáticas como la programación de metas y la programación entera.

1.1. Concepto de modelo.Una de las de las principales funciones de los administradores es resolver problemas, principalmente a través de la

construcción de modelos, o planteamientos de modelos. La construcción de modelos es un medio que permite a los administradores analizar y estudiar problemas, así como también examinar diferentes alternativas. Pueden ser men-tales, a escala, matemáticos.

1.1.1. Clasificación de los distintos tipos de modelo.Los modelos se pueden clasificar en:

- Descriptivos y normativos;

- Determinístico y estocástico;

- Lineales y no lineales;

- Estáticos y dinámicos;

- De simulación.

1.1.2. Modelos descriptivos.Permiten comprender el problema y su comportamiento (aproximado) pero no hay decisiones o formas de optimi-

zación. Son útiles para pronosticar la conducta de sistemas pero no pueden identificar el “mejor” curso de acción que debe tomarse. Por ejemplo: cola de espera, regresión, entre otros.

1.1.3. Modelos Normativos.Permite tomar decisiones y optimizar un determinado sistema, ya que es posible establecer un curso de acción óp-

timo o mejor. Esto implica que se incorpora un objetivo al modelo y que es posible identificar los efectos que dife-rentes cursos de acción tienen sobre el objetivo. Ejemplos: modelo de inventarios, modelo de toma de decisiones, modelo simples.

La mayoría de los modelos normativos están constituidos por tres conjuntos de elementos básicos:

1. Variables de decisión (cantidades desconocidas que deben determinarse en la solución del modelo) y paráme-tros (valores que describen la relación entre las variables de decisión. Permanecen constantes para cada problema).

2. Restricciones (limitaciones físicas que ocurren en el problema. Generalmente se expresan como funciones mate-máticas).

3. Función objetivo (define la efectividad del modelo como función)

1.1.4. Modelos determinísticos y estocásticos.En los modelos determinísticos las relaciones o los parámetros se conocen con certidumbre. Por lo contrario, en los

modelos estocásticos se trabaja en situación de incertidumbre.

1.1.5. Modelos lineales y no lineales.Un modelo lineal es aquel en el que todas las relaciones funcionales implican que la variable dependiente es pro-

porcional a las variables independientes. Por otro lado, los modelos no lineales utilizan ecuaciones curvilíneas o no proporcionales. Si una o más de las relaciones son no lineales, se clasifica al modelo como tal.

1.2. Modelos cuantitativos de simulación.La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a término experiencias con él, con la

finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluar nuevas estrategias (dentro de los límites impues-tos por un cierto criterio o un conjunto de ellos) para el funcionamiento del sistema. En otras palabras, la simulación es un proceso de planteamiento de modelos y experimentación que se utiliza para describir y/o analizar un proble-ma o un área de problemas específicos.

Lectura 01b: Modelos de inventariosResulta conveniente antes de comenzar a desarrollar los diversos modelos de inventarios que reconozcamos los

términos a que haremos referencia frecuentemente.

Terminología Inventario: recursos utilizables (mercadería, información, humanos, entre otros.) almacenados durante un lapso

de tiempo determinado.

Demanda: cantidad de recursos requerida por los clientes en lapsos determinados. Puede ser: determinista, alea-toria, constante (o que la ley de distribución, si es aleatoria, no varíe), variable.

Tiempo de adelanto ( tL ): es el tiempo (Δt) entre que se pide y se satisface el pedido (Δt= tL). Puede ser: Inmedia-to: tL = 0 (suministro inmediato); con demora: tL ≠ 0 (suministro pactado o con tiempo); suministro paulatino (lote de producción); aleatorio (con incertidumbre en el reaprovisionamiento)

Política de pedidos: consiste en saber cuándo y cuánto se ordena (se compra).

Sistema de pedidos:

a. de punto de orden con frecuencias denominados “sistemas de inventario perpetuos” donde la revisión de inven-tario es continua (se ordena el reaprovisionamiento en el punto de orden – cantidad y momento definido – )

b. de revisión periódica donde los inventarios no se revisan en forma continua; más bien se hacen evaluaciones a intervalos fijos y predeterminados. La cantidad ordenada es igual a la diferencia entre la cantidad desea y la disponi-ble.

Agotamiento: carencia de existencia ante demanda de los clientes (stock negativo). Puede darse dos situaciones:

a. modelo de ventas perdidas

b. modelo con pedidos retroactivos

Costo de inventario: a. de pedidos (Co): costos asociados a la realización de pedidos tales como, gastos adminis-trativos, papeleo, transporte, recepción, inspección, otros).

b. de conservación (Cc): mantenimiento

c. de adquisición (Cp): preparación para una corrida de producción

d. de agotamiento (Cs): por falta de existencia (por no satisfacer la demanda).

Modelos comerciales: los inventarios de reabastecimiento se adquieren de proveedores externos a la empresa, instantáneamente al recibir el pedido.

Modelos de producción: los inventarios se producen en la organización para ser comercializados.

2.1. Modelo de la Cantidad Económica de Pedidos Clásicos (C.E.P. Clásico).

2.1.1. C.E.P. clásico sin tiempo de adelanto.Hipótesis del modelo:

1) Se conoce la demanda con certidumbre y es constante en el tiempo.

2) Reabastecimiento instantáneo y en un solo lote ( tL = 0 )

3) Inventario perpetuo (punto de orden)

4) Reabastecimiento a nivel cero ( R = 0 –no hay stock de seguridad– )

5) La cantidad (Q) es constante al finalizar cada ciclo de inventario, tc.

6) Co y Cc son constantes

7) Horizonte infinito (las hipótesis se mantienen constantes durante el período de aplicación)

El objetivo de éste modelo es determinar la cantidad óptima de pedido (Q*) y el punto de

reorden (R*), de manera que se minimicen los costos totales de inventarios.

tL = R* = 0

Parámetros a calcular:

- Cantidad óptima de pedido: Q*=√[(2CoD)/Cc]

- Número óptimo de pedido por período: N* = D/Q* = √[(CcD)/2Co]

- Tiempo óptimo de ciclo: tc* = 1/N = Q*/D

- Costo Total Óptimo de Inventario: Ct* = √(2CoCcD)

Gráficamente se representa:

2.1.2. C.E.P. clásico con tiempo de adelanto y punto de reorden.En este caso, se conoce el tiempo de adelanto y la demanda es constante.

Para definir la situación en la que el tiempo de adelanto es distinto que cero, se relajan las consideraciones 2 y 4 del apartado anterior. Como la Q* sigue siendo la misma, ahora lo que se busca es cuándo emitir la orden de pedido para que el proveedor entregue la mercadería justo cuando nos quedamos sin ella, por lo tanto debemos conocer cuánto demora el proveedor para establecer un punto de reorden (R) que satisfaga la demanda mientras llega la mercadería del proveedor.

Con tL < tC

R* = tL D Con tL < tC

R* = tL D – [ tL/ tC ] Q* con tL > tC

Donde tL D es la demanda durante el tiempo de adelanto

Se consume hasta R (Stock mínimo o punto de reorden), en ese punto se realiza el pedido, el cual tarda en llegar tL días y justo cuando se queda sin mercadería, llega el pedido con una Q* (que es siempre la misma).

2.1.3. Optimización de inventarios en el modelo C.E.P. clásico.El óptimo en el CEP clásico se alcanza cuando el costo total de inventario es mínimo. Ese punto se da cuando el cos-

to de ordenar es igual al costo de conservación.

Gráficamente:

Entonces, el planteamiento del modelo general es MINIMIZAR la expresión:

CT de inventario = Costo de los pedidos + Costo de conservación

En donde:

Costo de pedidos → Co x (D/Q)

(Costo de conservación por el número promedio que se conserva en inventario)

Costo de conservación → CC x (Q/2) (Costo de mantenimiento por el inventario promedio)

Si reemplazando en la expresión del costo total anterior, obtenemos:

CT = Co x (D/Q) + Cc x (Q/2) (1)

Para optimizar CT se debe derivar en Q para obtener el valor de Q que minimiza el costo total. La expresión resul-tante es igual a:

Q* = √[(2CoD)/Cc]

Si reemplazamos en la expresión (1) del CT, obtenemos el valor del costo total óptimo (CT*):

CT* = Co x (D/Q*) + Cc x (Q*/2)

Sustituyendo Q* por su fórmula y simplificando se obtiene así:

CT*= √(2CoCcD)

2.1.4. Análisis de sensibilidad de los costos de inventarios y en la cantidad económica de pedidos por va-riación de la demanda, los tiempos de ciclos de inventario y lotes de aprovisionamiento.

El análisis de sensibilidad permite expresar el efecto de los errores o de cambios en las variables y/o parámetros en forma de razón. Ésta razón sería la cantidad económica de pedido real (Q’) dividida entre la cantidad óptima estima-da del pedido (Q*).

Cantidad Real viene determinada por:

Q´=√[(2Co´D´)/Cc´]

Para saber si nos equivocamos o no en la estimación de la demanda (Q*) utilizamos “k” como factor de corrección (también sirve para la demanda (D) y el tiempo de ciclo, tc).

Tenemos que k = Q´/Q*

Si reemplazamos k = √[(2Co´D´)/Cc´] / √[(2CoD)/Cc] = √D´ / √D -> despejamos -> k^2 = D´/D

También emplea para el tiempo de ciclo como se puede observar en la siguiente expresión:

k=tc´/tc*

Remplazando el tiempo de ciclo (tc) por su valor, obtenemos que:

k = (Q´/D)/(Q*/D)=Q´/Q* -> k= Q´/Q*

Cada vez que nos equivocamos en la estimación de Q* ó D ó tc* , tenemos un impacto en los costos, que vienen

representados por un factor “l”.

Donde:

l = CT´/CT* = (k^2+1) / 2k

k puede tomar valores:

- mayores a uno (k > 1) → Q’ < Q*

- iguales a uno (k = 1)

- menores a uno (k < 1) → Q’ > Q*

l puede tomar valores:

- mayores a uno (l > 1)

- iguales a uno (l = 1)

- nunca menores que uno por los costos (el costo siempre se incrementa sin importar la Q)

Este método sirve para una variación en la Q*, tc*ó D, donde primero se calcula el valor del factor “k” y luego, el

impacto que tiene en los costos a través del factor “l”

Gráficamente:

2.2. Modelo de la Cantidad Económica de Pedidos, con descuentos por cantidad.Se ofrecen precios con descuento por compras en una cantidad Q’ > Q*, pero, ¿conviene realmente aceptar este

descuento?

Se deben considerar ahora los costos de inventario y los costos del producto.

- CT (S/desc)= CoD + CcQ + Ps/dD

1 2 3

- CT (C/desc)= CoD + CcQ + Pc/dD

1´ 2´ 3´

Donde 1 > 1’ ; 2 < 2’ ; 3 > 3’.

Gráficamente:

Respuesta:

- si Q’ se encuentra en el intervalo [Q*, Q’*] conviene aceptar el descuento.

- si Q’ > Q’* no conviene.

- si Q’ = Q’* se analiza en ese momento qué es lo que conviene.

2.2.1. Análisis de los distintos casos según los distintos tipos de descuentos por cantidad.Se presentan tres casos:

- Primero

Nunca conviene pedir menos de Q* (demanda insatisfecha)

A partir de Q1 tengo descuentos

Si Q’>Q* conviene seguir comprando con descuentos

¿Hasta dónde me conviene comprar? Hasta llegar al CT*

- Segundo

Si Q2’>Q* es indistinto, conviene sólo si compra Q2’

Si compra más que Q2’, ya no conviene por que aumentaría el CT. Si compra Q2’, los costos son iguales pero au-mentaría la Q.

- Tercero

Si Q3’>Q* no conviene.

Los costos a partir de donde ofrecen descuentos son mayores que el óptimo.

2.3. Modelo de la Cantidad Económica de Pedidos con agotamientos.En este modelo el comerciante se queda sin mercadería y tiene dos opciones:

1) Perder las ventas;

2) Satisfacer la demanda con ventas a futuro (caso de análisis de la materia).

Se relaja la condición de qué el reabastecimiento se realiza en Q(t)= 0 y permitimos que se trabaje con agotamien-tos de inventario, hasta un cierto punto que debemos analizar. Se supone que los agotamientos se satisfacen con pedidos retroactivos a un costo Cs (pesos / unidad x año).

Uno decide incurrir en estos costos debido a que a su vez:

disminuye el número de pedidos, disminuye niveles de inventario (al llegar la mercadería se asigna inmediatamente a la demanda atrasada).

Entonces se busca el equilibrio entre el aumento del costo de agotamiento (Cs) y la disminución de los costos de conservación (Cc) y los costos de ordenar (Co).

Gráficamente:

Donde: - B: tamaño del pedido retroactivo (B = Q - S)

- Q: cantidad de pedido

- S: nivel máximo de inventario

- tc: t1 + t2

- t1: hay inventario disponible

- t2: no hay inventario. Existe agotamiento.

2.3.1. Optimización de los costos de inventarios.Ahora la optimización se da cuando se minimiza la expresión de costo total (CT) con agotamiento:

CT= costo de ordenar + costo de conservar + costo de agotamiento

Donde:

Costo de ordenar → Co x (D/Q)

Costo de conservar → Cc * (S^2/2Q) dónde S^2/2Q = inventario promedio por ciclo.

Costo de agotamiento → Cs * (B^2/2Q) donde B^2/2Q = número promedio de unidades por ciclo.

→ Cs * [(Q-S)^2]/2Q

Entonces reemplazado en la expresión del costo total con agotamiento, resulta que:

CT(c/a) = Co (D/Q) + Cc * (S^2/2Q) + Cs * (B^2/2Q)

El equilibrio se alcanza cuando:

Co (D/Q) = Cc * (S^2/2Q) + Cs * (B^2/2Q)

Ahora existen dos variables de decisión: S* y Q*. Para despejarlas se puede utilizar el proceso de ensayo y error o por Hessiano.

Para obtener el valor mínimo del costo total con agotamiento:

1° Calculamos la derivada primera con respecto a Q y S. Q’ debe ser 0.

∂CT(Q) = 0 y ∂CT(S) = 0

2° Calculamos la derivada segunda a través de Hessiano (para dos variables)

Se obtiene así que:

Q*=S* (1+ Cc/Cs) (I)

Y que:

S*= √[(2CoD)/Cc] * 1 / √[1+(Cc/Cs)] (II)

Si se reemplaza (II) en (I), obtenemos:

Q*(c/a) = √[(2CoD)/Cc] * (1+ Cc/Cs) * 1/√[1+(Cc/Cs)]

En donde:

Expresión que indica cuál es la cantidad óptima de pedidos con agotamiento que hace mínimo el costo total con agotamiento.

2.3.2. Relación entre el C.E.P. clásico con agotamientos y sin agotamientos. El factor de corrección.De la expresión anterior podemos observar un factor de corrección que lo denominamos H.

Éste es un factor de corrección entre el CEP clásico y el CEP con agotamiento, en donde:

H = √[(Cc+Cs)/Cs]

Si se simplifica:

H = √[1+(Cc+Cs)] > 1

Ó

1/H = 1 / √[1+(Cc+Cs)] < 1

De la relación entre el CEP clásico y con agotamiento a través de H, obtenemos que:

a. Q*(c/a) = Q*(s/a) H Q*(c/a) > Q*(s/a)

El lote con agotamiento debe ser mayor ya que hay que reponer los pedidos retroactivos.

b. S* = Q*(s/a) 1/H S* < Q*(s/a)

En el CEP con agotamiento se trabaja con menos inventario.

c. N*(c/a) = Q*(s/a) 1/H N*(c/a) < Q*(s/a)

Se trabaja con un menor número de pedidos.

d. tc*(c/a) = tc*(s/a) H tc*(c/a) > tc*(s/a)

En el CEP c/a los tiempos de ciclos son más largos.

e. CT*(c/a) = CT*(s/a) 1/H CT*(c/a) < CT*(s/a)

En el CEP c/a los costos totales disminuyen.

f. Q*(c/a) = S*H^2 Q*(c/a) > S*

CEP con agotamiento y tiempo de adelantoSi el modelo CEP con agotamiento permitimos agotamiento, es decir que el tiempo de adelanto es mayor a cero (TL

> 0) obtenemos un punto de reorden (R), en donde:

R* = tLD – (tL/tC) Q*(c/a) – B*

Q*(c/a) = B*+S*

B* = Q*(c/a) - S*

Reemplazando en la expresión original de R*, obtenemos que:

R* = tLD – (tL/tC) Q*(c/a) – (Q*(c/a) – S*)

Donde:

tLD = R* + B*

Que expresa la cantidad de stock disponible para satisfacer la demanda (D) durante el tiempo de adelanto (TL)

Existen tres casos posibles, que se pueden calcular mediante:

tL =ntc + t

1) tc>t>t2 → R*>0 2) t=t2 → R*=0 3) t<t2 → R*<0

2.4. Modelo de tamaño de lote de producción.La diferencia con el CEP es que en ese modelo se compraban las mercaderías para comercializar, en cambio en este

modelo se producen los productos a una tasa de producción r1 y se comercializar a una tasa demanda r2.

Otra disimilitud es que en el modelo de lote de producción el reabastecimiento no se realiza en un único lote sino re realiza en forma paulatina.

La variable de decisión ahora es Q*LP

Gráficamente el modelo se representa:

Dónde: 1: Q(t)= r1t

2: Q(t)= (r1 - r2)t

3: Q(t)= -r2t + Q*LP

r1 = tasa de producción (reabastecimiento)

r2 = tasa de demanda D (uso)

Siempre r1 > r2

De acuerdo al modelo:

I) r1 = QLP/t1 t1 = QLP/r1

II) En el intervalo [0;t1]: hay producción y comercialización → Q(t)= (r1 - r2)^t

En el intervalo [t1; tc]: sólo se comercializa → Q(t)= -r2t + Q*LP

III) En el instante t=t1, gráficamente podemos observar que:

Q(t1) = M

Dónde:

M = (r1-r2)t1

Reemplazando t1 por la expresión obtenida en el punto I), resulta que:

M = (r1-r2) QLP/r1

M = QLP [(r1-r2)/r1]

M = QLP [1-(r2-r1)]

Expresión del stock máximo almacenado (M) para el modelo de lote de producción.

Por otra parte la demanda durante el tiempo t1 (tiempo en que se produce y se satisface la demanda r2), es igual a: t1 = r2t1 t1 = (Q/r1)r2

2.4.1. Optimización de los costos de inventarios.Lo que se busca minimizar el costo total del lote de producción (CT):

CT = Co (D/QLP) + Cc (QLP/2 [1-(r2/r1)])

Donde (QLP/2 [1-(r2/r1)]) es el inventario promedio por ciclo.

2.4.2. Relación entre el C.E.P. clásico sin agotamientos y el Lote de producción. El factor de corrección.El factor de corrección entre el CEP clásico y el lote de producción se lo denomina habitualmente como L y permite

comparar ambos modelos, a saber:

L = √[1-(r2/r1]

L es siempre menor que uno (L < 1) y su inversa 1/L es mayor que uno (1/L > 1), de esta manera cuando las expre-siones del CEP clásico se multiplican por L su equivalente en el modelo de lote de producción será menor que las del CEP clásico y mayor cuando se multiplique por 1/L.

Analicemos cómo quedarían nuestras relaciones cuando lo multiplicamos por el factor de corrección L ó 1/L

a. Q*LP = √[(2CoD)/CC] * 1/L Q*LP > Q*CEP

b. tC*LP = Q*CEP/D * 1/L tC*LP > tC*CEP

c. Ct*LP = √(2CoCcD) * √[1-(r2/r1)] Ct*LP < Ct*CEP

d. N*LP = D/Q*CEP x √[1-(r2/r1)] N*LP < N*CEP

e. M = √[(2CoD)/Cc] * √[1-(r2/r1)] M < Q*CEP

f. M = Q*LP x √[1-(r2/r1)] M < Q*LP

Lectura 02 - Modelo clásico de la cantidad económica a ordenar - (EOQ-economic order quantity)

Modelo de la cantidad económica a ordenar (EOQ)

El modelo considera los siguientes supuestos:1. La demanda se conoce con certidumbre y los artículos salen a una tasa constante denotada por a.2. El tiempo de adelanto es cero.3. Se utiliza la política de punto de pedido.4. El inventario se reabastece cuando llega a cero. No hay inventario de seguridad ni agotamientos.5. El reabastecimiento es instantáneo.6. La cantidad a pedir es constante.7. Los costos no varían en el tiempo.

Los únicos costos que se considerarán son:K : Costo de preparación para producir u ordenar un lote.

c : El costo de producir o comprar cada unidad.

h : El costo de mantenimiento de una unidad de inventario por unidad de tiempo.

El objetivo consiste en determinar con qué frecuencia y en qué cantidad reabastecer el inventario, de manera que se minimice la suma de estos costos por unidad de tiempo

Debemos hallar el costo total por unidad de tiempo ($/tiempo).

Primero hallaremos los costos únicamente para un ciclo, por lo que los costos estarán en ($).

Costo por ciclo de producción u ordenar = K + c Q

[$] + [$/ artículo ] * [artículo ] =[$]

Sabemos que el inventario promedio es (Q/2).

Costo mantenimiento de inventario = h Q/2

[$/artículo -tiempo] * [artículo]=[$/tiempo]

Para hallar el costo en un ciclo debemos multiplicar por el tiempo que demora un ciclo, es decir Q/a

Costo mantenimiento de inventario por ciclo = (hQ/2) *(Q/a) = (hQ^2)/2a

[$/artículo -tiempo] * [artículo] * [tiempo] =[$]

Entonces el costo total por ciclo es

Costo total por ciclo = K + c Q + hQ^2/2ª [$]

Para hallar el costo total por unidad de tiempo basta dividir por Q/a

Costo total por unidad de tiempo = (K + cQ + hQ^2/2a)/(Q/a) = [$/tiempo]

Costo total por unidad de tiempo = aK/Q + ac + hQ/2 [$/tiempo] Función de la cantidad económica de pedido

Para hallar el costo mínimo basta con aplicar los conceptos básicos del cálculo

Costo total por unidad de tiempo = aK/Q + ac + hQ/2 [$/tiempo]

Debemos derivar esta función con respecto a Q e igualarla a cero

Veamos gráficamente la función

La derivada de la función costo total es dCt/dQ = -aK/Q^2 + h/2

Igualando a cero y despejando obtenemos la cantidad económica a ordenar o producir

Q* = √[(2aK)/h]

De manera similar obtenemos el tiempo óptimo

Sabemos que a =Q*/t* t* = Q*/a

t* = √[(2K)/(ah)] Frecuencia * = √[(ah) ((2K)/]

Si no se consideran los costos por producir o comprar cada unidad obtenemos el costo de administración de los inventarios

Costo admon = aK/Q + hQ/2

Costo admon mínimo = aK/Q* + hQ*/2

Reemplazando Q*=√[(2aK)/h] En Costo de admón. Obtenemos

Costo admon* = √(2aKh)

Observe que

Ak/Q* = hQ*/2 Es decir en el óptimo los costos de hacer pedidos son iguales a los de mantenimiento

Ejemplo.Recordemos el caso de la Manufactura de bocinas para televisores.

1. Cada vez que se produce un lote, se incurre en un costo de preparación de $12000.

2. El costo unitario de producción de una sola bocina (excluyendo el costo de preparación) es de $10 y es indepen-diente del tamaño del lote fabricado.

3. El costo de mantenimiento de una bocina en almacén es de $0.3 por mes.

4. La demanda es de 8000 bocinas mensuales.

Q* = √[(2aK)/h] = √[(2*8.000*12.000)/0,3]

Q* = 25.298

t* = √[(2K)/(ah)] = √[(2*12.000)/(8.000*0,3)]

t* = 3.2 meses

Esta respuesta nos indica que la solución óptima es hacer una preparación de la línea de producción de bocinas cada 3.2 meses y producir 25298 bocinas cada vez.

Costo total por unidad de tiempo = aK / Q + a c + h Q /2 [$/tiempo]

Costo total por unidad de tiempo = $ 87589 / mes

Análisis de sensibilidadEs importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad , para investigar el efecto que tendría sobre la solución ópti-

ma el hecho de que los parámetros tomaran otros valores posibles.

Sensibilidad de Q ante variaciones de a, K, h.

Sean a’, K’, h’ las variaciones de los valores reales a, K, h.

Q´* = √[(2a´K´)/h´] Q* = √[(2aK)/h]

Variemos primero la demanda aSea μ = Q’*/Q* = √(a´/a)

Suponga que a’=6000 y a=8000

a’/ a = 6000/ 8000 = 0.75 Hay una variación del 25% entre las demandas

μ = √(a´/a) = √(6.000/8.000) = 0.87 Hay una variación del 13% entre las cantidades económicas de pedido (Q)

Una variación del 25% entre las demandas, produce una variación del 13% entre las cantidades económicas de pe-dido. Este modelo es poco sensible a cambios en a

Variemos ahora el costo de mantenimiento hSea μ = Q’*/Q* = √[(1/h´)/ (1/h)] = √(h/h´)

Suponga que h’=0.2 y h=0.3

h’ / h = 0.2 / 0.3 = 0.67 Hay una variación del 33% entre los costos de mantenimiento

μ = √(h/h´) = √(0,3/0,2) = 1.22 Hay una variación del 22% entre las cantidades económicas de pedido (Q)

Una variación del 33% entre los costos de mantenimiento, produce una variación del 22% entre las cantidades eco-nómicas de pedido. Este modelo es poco sensible a cambios en h.

Conclusión: Q es poco sensible a variaciones de k, h, a

Sensibilidad del costo administración a cambios en Q

Costo admon’ = aK/Q’ + hQ’/2

Costo admon* = aK/Q* + hQ*/2

Sea μ = Q´/Q* Q´= μQ*

Costo admon’ = aK/Q’ + hQ’/2 Dado que Q´= μQ* Costo admon’ = aK/ μQ* + h μQ*/2

Remplazando

Q* = √[(2aK)/h]

Costo admo n´ = [(i + 1/i)/2] * √(2aKh)

Costo admon´ = [(μ + 1/μ)/2] Costo admon*

Costo admon´ / Costo admon* = [(μ + 1/μ)/2] = Ө

Ejemplo.

En el caso de la manufactura de bocinas para televisores tenemos que el óptimo es Q* = 25298

Para observar la variación en el costo utilizaremos

- Q´ = 22000- Q´´ = 27000

Caso 1

μ = Q´/Q* = 22.000/25.298 = 0.87

Ө = [(μ + 1/μ)/2] = 2.01/2 = 1.005

Caso 2

μ = Q´´/Q* = 27.000/25.298 = 1.07

Ө = [(μ + 1/μ)/2] = 2.00/2 = 1.002

En general

1. El costo de administración es muy poco sensible a variaciones de la cantidad económica a ordenar (Q).

2. El costo es más sensible a variaciones de Q por debajo de Q* que por encima.

Videos M1:

Video Conceptual:Clases de Modelos Procesos de solución

Mentales Algoritmo

A escala Métodos heurísticos

Matemáticos

- Normativos (buscan óptimos)- Descriptivos

Simulación (describen)

Determinístico- Estocásticos

Lineal – No lineal

Estático - Dinámico

“Los modelos son una representación abstracta de la realidad”

Teleclase:Sistema Abstracto (Mundo

simbólico)Modelos Proporcionan Resultados

↑Construyen Contribuyen a tomar ↓

Sistema Real (Mundo real) Administración Intuición Decisiones

Identificación ↑↓ Solución

Problemas

Modelos:Se lo puede definir como una representación o abstracción de la realidad.

¿Cómo lo emplea la Ciencia de la Administración?La construcción de modelos es un medio que permite a los administradores analizar y estudiar problemas, así como

también examinar diferentes alternativas.

¿Cómo se clasifican los modelos?- Descriptivos y normativos.- Determinísticos y estocásticos.- Lineales y no Lineales.- Estáticos y dinámicos.- De simulación

Modelo de Inventario

¿Qué es un inventario?Son recursos utilizables (mercadería, materia prima, información, entre otros) almacenados durante un lapso de

tiempo determinado.

¿Qué se busca de los inventarios?Optimizar la cantidad de recursos que necesitamos para minimizar los costos asociados.

Modelo de la Cantidad Económica de Pedidos Clásico (C.E.P. Clásico)

¿Cuáles son hipótesis del Modelo CEP Clásico?- Se conoce la demanda con certidumbre y es constante en el tiempo.- Reabastecimiento instantáneo y en un solo lote, es decir que no hay tiempo de adelanto (tL = 0)- Inventario perpetuo (revisión de inventario es continua se ordena el reaprovisionamiento en el punto de

orden para una cantidad y momento definido).- Reabastecimiento a nivel cero (no hay stock de seguridad – R = 0)- La cantidad de pedidos es la misma (Q = cte.) al finalizar cada ciclo de inventario, tC- Los costos de ordenar (Co) y de conservación (Cc) son constantes.- Horizonte infinito.

¿Qué estamos buscando?Minimizar los costos totales de inventario.

¿De dónde partimos?Mediante el cálculo del costo total, cuya expresión es:

CT = Co D / Q + Cc Q/2

¿Qué obtenemos?- La cantidad económica de pedidos óptimos (Q*)- El costo total óptimo asociado a la cantidad económica de pedidos (CT*)- La cantidad de pedidos óptimos asociados a la cantidad económica de pedidos (N*)- El tiempo de ciclo óptimo asociado a la cantidad económica de pedidos (tC*)

¿Cómo se representa gráficamente el modelo C.E.P. clásico?

C.E.P. Clásico con tiempo de adelanto y punto de reorden

HipótesisReabastecimiento no es instantáneo, es decir que hay tiempo de adelanto (tL≠0)

Reabastecimiento puede ser un nivel muy distinto de cero (hay stock de seguridad –R-)

¿Qué significa?Que el stock se consume hasta el punto de reorden (R) instante en que se realiza el pedido (Q*), el cual tarda en

llegar tL días, justo en el momento cuando nos quedaríamos sin stock.

¿Cómo se representa gráficamente?

Análisis de sensibilidad

¿Cuándo se emplea este análisis?Cuando deseamos conocer cuál es el impacto en los costos totales por haber estimado incorrectamente la deman-

da o la cantidad de pedidos o los tiempos de ciclos.

C.E.P. con descuentos por cantidadNunca conviene pedir menos de Q*

A partir de Q1 tengo descuentos.

Si Q1 > Q* conviene seguir comprando con descuentos

¿Hasta dónde me conviene comprar? Hasta llegar a CT*

Si Q2 > Q* es indistinto, conviene sólo si compra Q2

Si compra más que Q2, ya no conviene por que aumentaría el CT.

Si compra Q2, los costos son iguales pero aumentaría la canti-dad (Q).

Si Q3 > Q no conviene

Los costos a partir de dónde ofrecen descuentos son mayores que el óptimo.

C.E.P. con agotamientos

CondicionesSe relaja la condición de reabastecimiento permitiendo que se trabaje con agotamientos de inventario, hasta un

cierto punto que debemos analizar.

Se supone que los agotamientos se satisfacen con pedidos retroactivos a un costo Cs (pesos / unidad x año)

¿Qué estamos buscando con éste modelo?Se busca el equilibrio entre el aumento de Cs y la disminución de los Cs y Co.

¿Cómo se representa gráficamente?Referencias- Q* = Cantidad óptima de pedidos.- S* = Nivel óptimo de inventario.- B* = Cantidad óptima de pedidos retroactivos.- t1 = Tiempo que poseemos el inventario.- t2 = Tiempo que NO tenemos el inventario (existe agotamiento)- tC = Tiempo de ciclo.

¿Cómo será el punto de reorden (R)?tC > tL > t2 R* > 0

tL = t2 R* = 0

tL < t2 R* < 0

Modelo de tamaño de lote de producciónr1 = tasa de producción

r2 = tasa de demanda

Siempre r1 > r2

¿Cómo se representa gráficamente?Referencias:

- M = Nivel máximo de inventario- t1 = Período que se invierte en fabricar el pedido comple-

to- t2 = Período que solamente se satisface la demanda- tC = Tiempo de ciclo- Q(t) = r1 t- Q(t) = (r1-r2) t- Q(t) = r2t + Q*LP

M2: Modelos de decisión

Lectura 03.- Modelos de decisión

IntroducciónTodo el tiempo estamos tomando decisiones, algunas sin importancia, otras, sumamente transcendentes. Con fre-

cuencia estas decisiones son intuitivas, emocionales o por consejos de otras personas que han experimentado algo parecido, pero en la mayoría de los casos en condiciones diferentes del momento en que nos encontramos para to-mar una decisión.

Aquí analizaremos MODELOS DE DECISIÓN lógicos con los que usted podrá tomar una decisión o por lo menos contrastar sus conclusiones, con su visión intuitiva, política, emocional, entre otros.

La mayoría de los modelos no nos indican qué decisión tomar, sino cómo proceder para tomarlas, o cómo analizar decisiones a tomar o tomadas.

Por otra parte, con los modelos que vamos a analizar, no podemos asegurar que el resultado de la decisión sea fa-vorable (lo único seguro que algo puede salir bien o mal si intenta hacerlas bien, pero si las hace mal, sin duda, sal-drán mal).

Por ejemplo; dos personas deciden jugar a la quiniela, uno acierta y el otro no; las dos tomaron la misma decisión (jugar a la quiniela) y el resultado fue totalmente diferente, por elegir números diferentes.

3.1. Modelos de decisión determinísticos y estocásticos.Cuando se supone que los parámetros o coeficientes se conocen con certidumbre se está trabajando con un mode-

lo determinístico. Sin embargo no todos los modelos de toma de decisiones son determinísticos. En muchos casos, los parámetros del modelo varían debido a incertidumbres, se habla entonces de modelos estocásticos. Este tipo de modelos puede dividirse en dos categorías, dependiendo si la decisión se tomara utilizando datos previos (relaciona-dos con la ocurrencia de sucesos anteriores), o si no poseo ningún dato de acontecimientos anteriores.

3.2. Procesos de una toma de decisión.Una solución puede definirse como el proceso de elegir la solución para un problema, siempre y cuando existan al

menos dos soluciones alternativas. El proceso de toma de decisión consta de 5 etapas (donde TD: es quien toma las decisiones):

1º) El TD se da cuenta de que existe un problema. 2º) El TD recopila datos acerca del problema. 3º) El TD elabora un modelo (versión simplificada de la realidad) que describe el problema. 4º) El TD utiliza un modelo para generar las soluciones alternativas al problema. Es aconsejable no tener

demasiadas alternativas porque dificulta el proceso de selección. 5º) El TD elige entre las soluciones alternativas. En esta etapa, los modelos cuantitativos pueden diferir de

los cualitativos. En los modelos cualitativos las decisiones se toman de acuerdo a las características del pro-blema y según los intereses y motivaciones del TD, buscan encontrar la mejor u óptima solución. Mientas que en los cuantitativos se busca calcular el valor económico de cada decisión, teniendo en cuenta las ne-cesidades y objetivos del TD, tratan de encontrar cualquier solución satisfactoria.

El modelo cualitativo se usa frecuentemente para eliminar opciones falsas o perjudiciales, o también porque un análisis cuantitativo es muy oneroso y la ecuación costo – beneficio es desfavorable.

Existen tres tipos principales de decisiones:- decisiones bajo certidumbre;- decisiones en las que no contamos con datos previos para calcular probabilidades denominadas incertidumbre;- decisiones para las cuales existen datos previos que permiten calcular probabilidades, conocidas como riesgo,

porque pueden ocurrir como que no.

Antes de comenzar a desarrollar cada modelo expondremos la terminología empleada en la toma de decisiones.

- Decisiones alternativas: son las distintas opciones que tiene el tomador de decisiones (TdD), para elegir entre una u otra. (Para que tengamos un modelo de toma de decisiones debe haber por lo menos dos alternativas).

- Estados de la naturaleza: situaciones externas, que no controla o domina el TdD y que en general son aleato-rios.

- Resultado de una decisión: el valor económico o anímico en el que desemboca el TdD al decidirse por alguna de sus alternativas u opciones.

3.3. Modelos de decisión sin datos previos.En los casos en los que una decisión no se toma de forma repetida, es decir sólo una vez, o no existe experiencia

pasada que pueda utilizarse para calcular probabilidades, o las circunstancias que rodean la decisión cambian de un momento a otro, se considera que la decisión se toma sin datos previos.

Para desarrollar los distintos modelos de decisión sin datos previos suponemos la siguiente matriz de datos:

Estados de la naturaleza

A B C D

Alternativas I 10 100 0 50

II 75 50 60 40

III 30 40 25 25

3.3.1. Modelo del optimista.La persona considera que el medio ambiente es propicio. El TD determinará el mayor pago (ganancia) para cada

alternativa y después elige el máximo de ellos en el caso de una matriz de pago, caso contrario elegirá el menor valor de costo para cada alternativa y posteriormente seleccionará el menor costo, para una matriz de costo.

Veamos un ejemplo para ambos casos:

Pasos para la determinación (para pago o ganancia):1º. Para cada alternativa, determinar el resultado con el mayor valor y registrarlo.

Estados de la naturaleza Optimista (Maxi-Maxi)A B C D

Alternativas I 10 100 0 50 100

II 75 50 60 40 75

III 30 40 25 25 40

2º. De los resultados obtenidos en el paso anterior elegimos el valor máximo; la alternativa asociada con este resul-tado máximo es la estrategia que debe seguirse.

Estados de la naturaleza Optimista (Maxi-Maxi)A B C D


II 75 50 60 40 75

III 30 40 25 25 40

(Para costo o pérdida se realiza al revés)

Se busca el menor valor para cada alternativa y se elige el menor

Estados de la naturaleza Optimista (Mini-Mini)A B C D


II 75 50 60 40 40

III 30 40 25 25 25

3.3.2. Modelo del pesimista.Las decisiones se toman en un ambiente hostil con inseguridad económica y falta de experiencia donde la compe-

tencia es grande.

La persona que toma las decisiones es pesimista con respecto a los estados de la naturaleza antes mencionadas por lo que debe evitar pérdidas altas. Para ello se determina el menor resultado para cada estrategia y luego se elije la que tenga el mayor de estos resultados. Es decir, se maximizan los resultados mínimos (para el caso de una matriz de pago): Criterio de selección o estrategia denominada Maximin.

Si es pérdida o costo, se busca primero el valor más elevado de cada alternativa y luego el menor valor de los resul-tados obtenidos, es decir se persigue minimizar los resultados máximos: Criterio de selección o estrategia Minimini

Ejemplo

Pago o ganancia:Estados de la naturaleza Pesimista

(Maxi-Mini)A B C D


II 75 50 60 40 40

III 30 40 25 25 25

Pérdida o costoEstados de la naturaleza Pesimista (Mi-

ni-Maxi)A B C D


II 75 50 60 40 75

III 30 40 25 25 40

3.3.3. Modelo de minimización del arrepentimiento.Este modelo es bastante pesimista. Se debe construir una matriz de arrepentimiento que muestra lo que está dis-

puesto arrepentirse un tomador de decisiones por tomar una decisión según el estado de naturaleza que ocurra. Si el estado de naturaleza coincide con la mejor decisión que él tomó, no habrá arrepentimiento, caso contrario se arrepentirá en un valor equivalente entre el mejor valor de un estado de naturaleza comparado con la decisión que adoptó.

Para ello se debe establecer para cada estado de la naturaleza el valor económico máximo (o mínimo si es costo) y compararlo con cada valor de alternativa.

En otras palabras, la matriz de arrepentimiento exhibe lo que una persona que toma decisiones está dispuesto a arrepentirse (de perder) de no obtener la máxima ganancia o mínima pérdida.

Ejemplo

Pago o ganancia:Estados de la naturaleza

A B C DAlternativas I 10 100 0 50

II 75 50 60 40III 30 40 25 25

1º. Elegimos el mejor valor para cada estado de naturaleza (columna):


A B C D


II 75 50 60 40

III 30 40 25 25

2º. Restamos el mejor valor del estado de naturaleza (columna) con el valor de cada alternativa (fila) del mismo estado de naturaleza. Luego elegimos el “menos malo”; ya que si se llegamos a equivocarnos, el mayor arrepenti-miento será el valor menor de lo peor que nos pueda pasar.

Matriz de arrepentimiento

A B C D

I 65 0 60 0 65

II 0 500 0 10 50

III 45 60 35 25 60

Pérdida o costoEstados de la naturaleza

A B C D


II 75 50 60 40

III 30 40 25 25

Matriz de arrepentimiento

A B C D

I 0 -60 0 -25 -60

II -65 -10 -60 -15 -65

III -20 0 -25 0 -25

3.3.4. Modelo de maximización del pago promedio o de minimización del costo promedio.Este modelo considera rápidamente una decisión teniendo en cuenta las frecuencias relativas de los distintos esta-

dos de la naturaleza. Para ello se debe calcular el pago promedio para cada estrategia y elegimos la alternativa que

tenga mayor pago promedio, para el caso de ganancia o seleccionamos el menor valor promedio si estuviéramos en presencia de una matriz de costo.

Ejemplo

Pago o ganancia:Estados de la naturaleza Máximo pago

promedioA B C D


X II 75 50 60 40 50,25

X III 30 40 25 25 30

Pérdida o costoEstados de la naturaleza Mínimo Costo

promedioA B C D


X II 75 50 60 40 56,25

X III 30 40 25 25 30

3.3.5. Modelo de probabilidades subjetivas.Este modelo consiste en aplicar probabilidades a los estados de naturaleza en base a la experiencia que posea el

tomador de decisiones, es decir que como no contamos con datos previos, cada decisor establecerá para cada esta-do de la naturaleza, una probabilidad de lo que espera que sucederá.

Como estas probabilidades son subjetivas y depende del punto de vista o experiencia del tomador de decisiones es un modelo poco empleado.

Una vez establecidas las probabilidades subjetivas de ocurrencia, para elegir la mejor alternativa, debemos basar-nos en un parámetro estadístico, como por ejemplo, el valor monetario esperado o media (VME).

Supongamos que el tomado de decisiones establece las siguientes probabilidades subjetivas para cada estado de la naturaleza, a saber:


A B C D

20% 25% 35% 20%

¿Cómo se calcula el valor medio (monetario) esperado (VME)?El valor medio (monetario) esperado se obtiene calculando para cada alternativa; la sumatoria de los productos de

cada uno de los valores de los estados de naturaleza por su probabilidad de ocurrencia.

Calculemos el VME para la primera alternativa:

VMEI = 10 x 0,20 + 100 x 0,25 + 0 x 0,35 + 50 x 0,20

VMEI = 2 + 25 + 0 + 10 = 37

Vemos cómo se aplica en VME según sea una matriz de pago o de costo.

Ejemplo

Pago o ganancia:Estados de la naturaleza VME

A B C D


II 75 50 60 40 56,5

III 30 40 25 25 29,75

Probabilidades 20% 25% 35% 20%

Pérdida o costoEstados de la naturaleza VME

A B C D


II 75 50 60 40 56,5

III 30 40 25 25 29,75

Probabilida-des

20% 25% 35% 20%

3.4. Modelos de decisiones con datos previos.Características generales del modelo:

- Las decisiones se toman bajo las mismas condiciones (repetidas)- Existe más de un resultado para cada decisión- Las circunstancias que rodean a la decisión son siempre las mismas, es decir, existe experiencia anterior que

puede utilizarse para obtener probabilidades para cada resultado.

Hay dos maneras de tomar decisiones cuando existen datos previos que permiten calcular las probabilidades de ocurrencia de los distintos estados de la naturaleza:

- Análisis Clásico- Análisis Bayesiano

3.4.1. Análisis Clásico.Este análisis consiste en:

- 1º. Elaborar una regla de decisión.- 2º. Se establece un parámetro estadístico.- 3º. Proponer una hipótesis en base al parámetro estadístico (hipótesis nula - Ho).- 4º. Proponer una hipótesis opuesta a la nula (hipótesis alternativa – H1)- 5º. Correr una (o más) pruebas para aceptar o desechar la Ho.

La prueba de hipótesis se realiza tomando los datos previos y estableciendo un parámetro.

Ejemplo:1º. Se estima en base a la experiencia pasada que:

Demanda 100 250 320

Número de días 5 15 10

2º. Se calcula la probabilidad de ocurrencia de cada estado de la naturaleza:

Demanda 100 250 320

Número de días 5 15 10

Probabilidad (5/30)= 0,16 (15/30)=0,5 (10/30)=0,34

Se busca un parámetro estadístico, por ejemplo VME

VME = (100 x 0,16) + (250 x 0,5) + (320 x 0,34)

VME = 249,80

3º. y 4°. Se establece la Ho y H1 a partir de los estadísticos

Ho >= 250 y H1< 250

5°. Se ejecuta o “corre” una prueba para aprobar o rechazar la Ho.

Supongamos que un estudio realizado sobre la demanda en los últimos 30 días obtuvimos un valor de demanda esperada de 200, en este caso se rechazaría la Ho.

3.4.2. Análisis Bayesiano.En éste análisis, el problema siempre es la duda “atroz” de tomar una u otra decisión:

1. Porque hay aleatoriedad;

2. Porque dudamos de nuestros datos (probabilidad de los distintos estados de la naturaleza) y necesitamos corro-borarlos u optimizarlos. En este caso debemos hacer nuevas pruebas o mejor encargarle a una consultora que nos provea mejor información que la que poseemos.

En este último caso debemos:

a) Valorar los datos que nos proveen,b) Considerar el costo del trabajo de la consultora,c) Decidir si aceptamos o no los “consejos” de “n” consultora.

3.4.3. Análisis previo.También denominado “a priori”. Este análisis permite concluir que:

a) Ninguna consultora nos puede afirmar que obtendremos un valor mejor o igual al valor medio esperado de la información perfecta (VMEIP);

b) A ninguna consultora le pagaríamos por su información un valor mayor o igual al valor de la información per-fecta (VIP).

¿Cómo debemos proceder para cumplir el punto a)?

1º. Calculamos la probabilidad de ocurrencia para cada estado de la naturaleza.

Est. de naturaleza N1 Est. de naturaleza N2 Est. de naturaleza N3

Alternativa 1 A1 N1 A1 N2 A1 N3




P(N) P(N1) P(N2) P(N3)

2º. Calculamos el VME para todas las alternativas utilizando:

VMEi = ΣOijPj donde Oij = pago o costo utilizado, si ocurre j estado de la naturaleza

Posteriormente calculamos los valores medios esperados (VME) para cada alternativa:

VMEA1 = A1N1 . P(N1) + A1N2 . P(N2) + A1N3 . P(N3)



3º. Seleccionamos el valor máximo (para ganancia) o mínimo (para costo) de los VME obtenidos. Éste valor repre-senta la ganancia o costo (según el caso de estudio) que conocemos en base a nuestra experiencia, y lo denotamos como VME*

4º. Determinamos el valor medio esperado de la información perfecta (VMEIP)

VMEIP = (Max. O min.) N1 . P(N1) + (Max. O min.) N2 . P(N2) + (Max. O min.) N3 . P(N3)

5º. Calculamos el valor de la Información perfecta (VIP)

VIP = VMEIP – VME*

Éste VIP me indica cuánto estoy dispuesto a pagar por información perfecta.

3.4.4. Análisis pre-posterior.Primero se recordemos los conceptos sobre probabilidades condicionales:

P (A/B) → Probabilidad de que se produzca el evento A, habiéndose producido el evento B.

P (B/A) → Probabilidad de que se produzca el evento B, habiéndose producido el evento A.

P (A ∩ B) → Probabilidad de que se produzcan ambos eventos.

Teorema de Bayes:

P(A /B ) = [P(A/B ).P(B)]/P(A)

Demostración:

P(A∩B) = P(A/ B).P(B) [1]

(La probabilidad de que se produzca A y B es igual a la probabilidad de que se produzca A si se ha producido B por la probabilidad de que se produzca B)

P(A∩B) = P(B/A).P(A) [2]

Igualando [1] y [2] se tiene:

P(A/ B).P(B) = P(B/A).P(A)

P(A/B)= [P(A/B).P(A)]/P(B)

Ó

P(B/A)= [P(A/B).P(B)]/P(A)

Utilizando este teorema se analizara el valor de la prueba (R), siendo R= Resultado de las pruebas y N= Estados de la naturaleza.

Las probabilidades condicionales pueden variar según si la consultora posee o no experiencia sobre el tema en es-tudio

¿Cómo calcula para cada caso?

Sin experienciaP(R/N) = probabilidad de que la consultora haya pronosticado R y pasó el estado de la naturaleza N, o también,

cuando la realidad N se dio ellos pronosticaron N, donde R=N o R≠N.

Observemos la siguiente tabla:

N1 N2 N3

R1 P(R1/N1) P(R1/N2) P(R1/N3)

R2 P(R2/N1) P(R2/N2) P(R2/N3)

R3 P(R3/N1) P(R3/N2) P(R3/N3)

P(N) P(N1) P(N2) P(N3)

Esta tabla nos muestra que el consultor o consultora no tiene experiencia, ya que las probabilidades obtenidas sur-gen de hechos ya ocurridos, es decir, sabiendo el estado de naturaleza se predice la efectividad de la prueba.

Si estamos en presencia de una tabla de probabilidades sin experiencia debemos aplicar el teorema de Bayes para transformar cada P(R/N) en P(N/R)

Con experienciaPara valorar la información de prueba, se debe calcular P(N / R) , es decir, cuál es la probabilidad de que cuando la

consultora pronosticó R se produzca N.

Por lo general se desconocen los valores de P(N / R) puesto que estos valores sólo se conocen después de haber utilizado la prueba las suficientes veces para recopilar datos que permitan calcular probabilidades. Generalmente se conoce lo opuesto, es decir, la probabilidad de que ocurra el resultado de la prueba dado el resultado correspon-diente ( P(R/N) ) y puede calcularse usando datos históricos para determinar la forma en que se hubiera comportado la prueba si se hubiera usado.

Para calcular P(N / R) antes se debe calcular P(R) = probabilidad de que la consultora aconseje R=n1; R=n2; R=n3; R=n, es decir:

P(R) = P(R/N).P(N) + P(R/N¯).(N¯)

En donde N¯, significa que no ocurra N

Entonces se tiene que:

P(N/R)=[P(R/N).P(N)]/[P(R/N).P(N)+P(R/N¯).(N¯)

El resultado final, P(N/R) , probabilidad de que ocurra el suceso N dado el resultado de prueba R, se conoce como probabilidad a posteriori ya que se obtiene después del procedimiento de prueba.

Pasos para el análisis:

1º. Elaborar una tabla de probabilidades de prueba P(R/N), es decir, P (el resultado de la prueba será R/el resultado final fue N) y un conjunto de probabilidades previas P(N), para cada estado de la naturaleza.

N1 N2 N3

R1 P(R1/N1) P(R1/N2) P(R1/N3)

R2 P(R2/N1) P(R2/N2) P(R2/N3)

R3 P(R3/N1) P(R3/N2) P(R3/N3)

P(N) P(N1) P(N2) P(N3)

2º. Cada fila de la tabla de probabilidades de prueba lo multiplicamos por su probabilidad previa P(N), correspon-diente al estado de la naturaleza. El producto es un elemento de una tabla modificada de probabilidades, P(R/N) P(N). La suma de las probabilidades obtenidas para cada fila de la tabla será ahora la probabilidad de la prueba, P(R).

3º. Dividimos cada elemento de la matriz de probabilidades modificada por el P(R), es decir, P(R/N) P(N) / P(R), de esta manera obtenemos los elementos de la tabla de pronósticos, P(N/R).

4º. Utilizando la matriz de pago calculamos los distintos VME (máximo para utilidades, mínimos para costos) para cada resultado de prueba.

5º. Utilizando los VME (máximo para utilidades, mínimos para costos) para cada resultado de prueba, estamos en condiciones de calcular el valor medio esperado de la prueba, VME(prueba), que se obtiene multiplicando el VME (máximo para utilidades, mínimos para costos) para cada resultado de prueba por la probabilidad de que ocurra ese resultado, P(R), y sumando todos estos resultados. (Ver punto 3.4.6)

6º. El valor de la prueba, V(prueba), se determina realizando la diferencia entre el VME de la prueba calculado en el paso 5 y el VME (máximo para utilidades, mínimos para costos) posible sin la prueba, es decir V(prueba) = VME(prueba) –VME* (sin prueba)

3.4.5. El valor de la información perfecta.El valor de la información perfecta, VIP, fue demostrado en el punto 4.4.3. y significa, cuanto estoy perdiendo de

ganar por no poseer de información perfecta, o también, hasta cuando estoy dispuesto a abonar a una consultora para que me suministre información perfecta.

Recordemos que el valor de la información perfecta se obtiene de conocer el valor medio esperado de la informa-ción perfecta (VMEIP) menos el valor medio esperado de nuestra experiencia (VME*), es decir:

VIP = VMEIP – VME*

3.4.6. El valor de la prueba.Por lo general la información proviene de algún procedimiento imperfecto de prueba. Esto quiere decir que la in-

formación de la prueba no siempre pronostica en forma correcta el estado de la naturaleza que ocurrirá.

Tratemos de comprender el procedimiento que se utiliza:

P(N / R) es la probabilidad de qué ocurra en realidad el evento N, dado que el resultado de la prueba fue R.

Dado que la prueba es imperfecta, P(N / R) < 1.

Por lo general se desconocen los valores de P(N / R) puesto que estos valores sólo se conocen después de haber utilizado la prueba las suficientes veces para recopilar datos que permitan calcular probabilidades. Generalmente se conoce lo opuesto, es decir, la probabilidad de que ocurra el resultado de la prueba dado el resultado correspon-diente ( P(R/N) ) y puede calcularse usando datos históricos para determinar la forma en que se hubiera comportado la prueba si se hubiera usado.

La probabilidad de P(R/N) no es la probabilidad de prueba que se necesita, pues esta se calculó después de conocer el resultado. Se necesita entonces calcular:

P(N/R)=[P(R/N).P(N)]/[P(R)] (1)

Calcular ahora resulta fácil. Se debe calcular a partir de datos previos la probabilidad de que la prueba sea exacta, dado que se conoce el resultado real, P(R N) y la probabilidad de que ocurra un resultado particular sin importar cuál sea la prueba.

P(N) se conoce como probabilidad a priori puesto que se calcula antes de cualquier prueba, mientras que las otras son probabilidades condicionales.

La tercera probabilidad es P(R): la probabilidad de que ocurra el resultado de prueba R. puede calcularse por medio de:

P(R) = P(R/N).P(N) + P(R/N¯).(N¯) (2)

Combinando (1) y (2) obtenemos:

P(N/R) = [P(R/N).P(N)]/[ P(R/N).P(N) + P(R/N¯).(N¯)] (3)

El resultado final, P(N / R) , probabilidad de que ocurra el suceso N dado el resultado de prueba R se conoce como probabilidad a posteriori ya que se obtiene después del procedimiento de prueba.

En estos momentos estamos en condiciones de conocer el valor medio esperado de la prueba, VME (prueba).

Para poder mostrar su expresión supongamos que tenemos una matriz como la siguiente:

Est. de naturaleza N1 Est. de naturaleza N2 Est. de naturaleza N3




P(N) P(N1) P(N2) P(N3)

Si reemplazamos en la matriz cada P(N) por los distintos P(N/R) para cada R (prueba) y calculamos los distintos VME (máximo para utilidades, mínimos para costos) para cada resultado de prueba obtendríamos para cada prueba (R) un valor de VME*

Una vez calculados todos los VME* (máximo para utilidades, mínimos para costos) para cada resultado de prueba, estamos en condiciones de calcular el valor medio esperado de la prueba, VME (prueba), que se obtiene multiplican-do el VME* (máximo para utilidades, mínimos para costos) para cada resultado de prueba por la probabilidad de que ocurra ese resultado, P(R), y sumando todos estos resultados, obtenemos finalmente la expresión:

VME(Prueba) = (Max. O min.) VME*1 . P(R1) + (Max. O min.) VME*2. P(N2) + (Max. O min.) VME*3 P(N3)

que expresa el valor medio monetario esperado que nos suministra un consultor o consultora en base a su expe-riencia.

¿Cómo se calcula el valor de la prueba?El valor de la prueba, V(prueba), se determina realizando la diferencia entre el VME de la prueba y el VME (máximo

para utilidades, mínimos para costos) sin la prueba, es decir:

V(prueba) = VME(prueba) – VME* (sin prueba)

Veamos toda esta teoría aplicada a un ejercicio:

Suponga que el análisis bayesiano previo nos indica para una matriz de ganancia los siguientes valores:

VME* = $ 420 por día Valor que espero ganar en base a mi experiencia

VMEIP = $ 510 por día Valor máximo que espero ganar si tuviera información perfecta

VIP = $ 90 por día Es el valor que me estoy perdiendo de ganar por día por no poseer informa-ción perfecta

Presuma que consulto a cinco Consultoras para mejorar nuestro VME* diario y que las mismas cobran por sus ser-vicios un cierto valor monetario diario que a continuación se detallan:

- Consultora I: VME (prueba) = $ 510 y cobra $ 30- Consultora II: VME (prueba) = $ 530 y cobra $ 20- Consultora III: VME (prueba) = $ 480 y cobra $ 40- Consultora IV: VME (prueba) = $ 490 y cobra $ 40- Consultora V: VME (prueba) = $ 470 y cobra $ 50

¿Cuál consultora elegiría y por qué?Para comprender analicemos a cada consultora.

Consultora I

En base a sus pruebas nos indica que podemos ganar diariamente $ 510 y que por sus servicios cobra diariamente $ 30, es decir, nuestra ganancia neta será de $ 480 diarios. Esto significa que es posible contratarla ya que ganaría $ 60 más por día, pero tiene como contra que me asegura que voy a ganar $ 510, que es el valor máximo que puedo ganar (comparar con el VMEIP) y esto es casi imposible que suceda, es decir que me prediga lo que sucederá exacta-mente.

Para que pueda comprender mejor su significado, por ejemplo, me está prediciendo todos los días la demanda de clientes que tendré en mi negocio. ¿Usted se arriesgaría a confiar que se suministre esta información con tanta exac-titud y precisión?, en mi argumento lo contaría solamente si fuera ¡¡¡DIOS!!! Caso contario no.

Consultora II

En base a sus pruebas nos indica que podemos ganar diariamente $ 530 y que por sus servicios cobra diariamente $ 20, es decir, nuestra ganancia neta serían de $ 510 diarios. Esto significa que es imposible contratarlo porque nos está mintiendo y de paso nos cobra.

Se estará preguntando ¿por qué?, la respuesta es fácil, nunca el valor de su prueba me puede hacer ganar más que la información perfecta ($510). Por lo expuesto se descarta.

Consultora III

En base a sus pruebas nos indica que podemos ganar diariamente $ 480 y que por sus servicios cobra diariamente $ 40, es decir, nuestra ganancia neta será de $ 440 diarios. Esto significa que es posible contratarla ya que ganaría $ 20 más por día.

Consultora IV

En base a sus pruebas nos indica que podemos ganar diariamente $ 490 y que por sus servicios cobra diariamente $ 40, es decir, nuestra ganancia neta será de $ 450 diarios. Esto significa que es posible contratarla ya que ganaría $ 30 más por día.

Consultora V

En base a sus pruebas nos indica que podemos ganar diariamente $ 470 y que por sus servicios cobra diariamente $ 50, es decir nuestra ganancia neta será de $ 420 diarios. Esto significa que es indistinto contratarla ya que ganaría lo mismo que gano actualmente, por lo tanto, sino logro bajar el valor de lo que pretende ganar la Consultora, no lo contrataría.

Finalmente, del análisis efectuado para cada consultora la que convendría contratar es la Consultora III

Lectura 04: Análisis de Procesos de Decisiones: Modelos de decisión

1.1 Conceptos Básicos- Decisiones, estados de la naturaleza y probabilidades.- Resultados o pagos.- Árboles de decisión.

1.2 Modelos Clásicos• Modelo del pesimista (maxmin).• Modelo del optimista (maxmax).

• Modelo de minimización de las pérdidas de oportunidad.• Modelo del pago promedio• Modelo del valor monetario esperado.• Valor de la información perfecta.

1.3 Análisis de Bayes• Valor de la información imperfecta.

1.4 Modelo de la Minería de Datos• Modelo de lealtad.• Modelo de rentabilidad.• Modelo de análisis de respuesta.• Modelo de asociación.

Modelos de DecisiónCriterios comunes para la toma de decisiones en la vida cotidiana:

• La intuición.• Las emociones.

El análisis de decisiones proporciona un marco conceptual y una metodología para la toma de decisiones de forma racional.

El Proceso de Toma de DecisionesUna decisión puede definirse como el proceso de elegir la solución para un problema, siempre y cuando existan al

menos dos soluciones alternativas.

Las buenas decisiones no garantizan por sí solas buenos resultados.

Etapas en el Proceso de toma de decisiones• El TD se da cuenta de que existe un problema.• El TD recopila datos acerca del problema.• El TD elabora un modelo que describe el problema.• El TD utiliza el modelo para generar soluciones alternativas para el problema.• El TD elige entre las soluciones alternativas.

El proceso de solución de problemas en la CA puede dividirse en 6 etapas:1. Identificación, observación y planteamiento del problema.2. Construcción del modelo.3. Generación de la solución.4. Prueba y evaluación de la solución.5. Implantación.6. Evaluación.

El Proceso de Solución de Problemas de CA/IO(1) Identificar el problema

(1.a) Observar el problema, recopilar datos descriptivos e identificar los factores que afectan

(1.b) Describir en forma verbal el problema

(2) Clasificar los factores como controlables y no controlables

(2.a) Desarrollo del modelo

(3) Generar la solución (4) Correr datos de prueba

(4.a) Evaluar

(4.a.1) Aceptable (5)

(4.a.2) No aceptable (1.a)

(5) Implantación (6) Resultados

Futuro pronosticado Datos ↓

Intervalo predeterminado de valores

Metas

¿Los resultados satisfacen las metas ?↓

¿El costo de cambiar es ahorros ? ↓ No SI ↓

SI - ALTO NO: Revisar modelo (1.a)

Continuar

Tipos de Decisiones• Decisiones bajo certidumbre.• Decisiones utilizando datos previos.• Decisiones sin datos previos.

Toma de Decisiones bajo certidumbre.Son los casos en que existe sólo un resultado para una decisión.

Por ejemplo cuando se emplean los resultados de la programación lineal no hay duda con respecto a cuál será la utilidad asociada.

Toma de Decisiones utilizando datos previos.En estos casos se toman decisiones en forma repetida con muchos resultados posibles siendo las circunstancias

que rodean la decisión, siempre iguales. Es posible valerse de la experiencia pasada y es factible desarrollar probabi-lidades (modelos) con respecto a la ocurrencia de cada resultado.

Toma de Decisiones sin datos previos.Aquí las decisiones son únicas (se toman solo una vez), no existe experiencia pasada para calcular probabilidades y

las circunstancias que rodean la decisión cambian de un momento a otro.

Estructura de los Problemas para la Toma de DecisionesAnalicemos el caso de la Pizzería Ashley que tiene que decidir cuál es la política óptima de fabricación de pizzas an-

tes una demanda cambiante.

Además, también se está considerando la posibilidad de mudar la pizzería de local.

Demanda de Pizzas en los últimos 100 días

Número de pizzas que se solicitan 150 160 170 180

Número de días 20 40 25 15

Base de cálculo para las utilidades:

• Por cada pizza que se vende se ganan $2

• Por cada pizza que no se vende se pierde $1

Tabla de Utilidades para la PizzeríaNúmero de pizzas que se hornean con anticipación

Demanda de pizzas

150 160 170 180

150 300 300 300 300

160 290 320 320 320

170 280 310 340 340

180 270 300 330 360

Valores Presentes de la Decisión de Ubicación

DecisiónAcción Externa

Ninguna Cerrar los antiguos dormitorios Construir nuevos departamentosNo mudarse +$100,000 +$50,000 +$20,000Baxter Street +$40,000 +$150,000 +$25,000Epps Bridge Road -$20,000 +$20,000 +$200,000

Hay que tomar dos decisiones:• Determinar el número de pizzas a hornear (esta es del tipo de la existen datos previos)• Determinar si es conveniente cambiar de ubicación (esta es de las del tipo cuando no existen datos previos)

Terminología de los Modelos de Toma de Decisiones

Decisiones alternativas:Son las alternativas sobre las cuales se basará la decisión final. Ej. En el caso de la pizzería tiene 4 alternativas con

respecto a la cantidad de pizzas a hornear y 3 con respecto a la ubicación.

Estados de la naturaleza:Son las acciones externas o las circunstancias que afectan el resultado de la decisión pero que están fuera del con-

trol del TD. Ejemplo: Los niveles de demanda de las pizzas, las decisiones sobre mantener las mismas condiciones, cerrar los antiguos dormitorios o construir nuevos departamentos.

Resultados: Para determinar los resultados es necesario considerar todas las posibles combinaciones de decisiones y de esta-

dos de la naturaleza.

Ejemplo: 3 posibles decisiones x 3 estados de la naturales = 9 posibles resultados.

Árbol de DecisiónEstá formado por nodos de acción, nodos de probabilidad y ramas. Los nodos de acción se denotan con (•) y repre-

sentan aquellos lugares del proceso de toma de decisiones en los que se toma una decisión. Los nodos de probabili-dad se denotan por medio (O) e indicarán aquellas partes del proceso en las que ocurre algún estado de la naturale-za.

Las ramas se utilizan para denotar las decisiones o los estados de la naturaleza y sobre ellas pueden anotarse pro-babilidades de que ocurra un determinado estado de la naturaleza. Por último se colocan los pagos al final de las ra-mas terminales del estado de la naturaleza para demostrar el resultado que se obtendría a elegir un camino específi-co.

Árbol de Decisión para el problema de la pizzería con respecto a mudarse

(O)

No mudarse

(•)

Sin cambios $100,000

Cierran dormitorios $50,000

Se construyen dptos. $20,000

Mudarse a Baxter Street (•)

Sin cambios $40,000



Mudarse a Epps Bridge Road (•)

Sin cambios -$20,000



Características de los Modelos de Decisión• Proporcionan una estructura para examinar el proceso de toma de decisiones.

• Pueden evitar decisiones arbitrarias o inconsistentes que no se basen en los datos disponibles.

• No nos dicen que decisiones tomar; más bien, nos indican cómo proceder para tomarlas o cómo analizar decisio-nes pasadas.

• El resultado de las decisiones no siempre es favorable ; las buenas decisiones no necesariamente garantizan bue-nos resultados.

Toma de Decisiones sin Datos Previos (Sin Probabilidades)

Modelo del Pesimista (MaxMin)El TD es pesimista con respecto a los estados de la naturaleza o considera que de acuerdo a su inseguridad econó-

mica debe evitar pérdidas altas aún a riesgo de posiblemente perder altas utilidades. El procedimiento consiste en determinar el resultado de menor valor para cada alternativa y registrarlo en una lista y luego elegir el valor máximo.

Tabla de Pagos para el Problema de UbicaciónAlternativa Estados de la Naturaleza

Sin cambio (N1) Cerrar los antiguos dor-mitorios (N2)

Construir nuevos departa-mentos (N3)

Permanecer en la ubicación actual (A1)

+$100,000 +$50,000 +$20,000

Mudarse a Baxter Street (A2) +$40,000 +$150,000 +$25,000

Mudarse a Epps Bridge Road (A3) -$20,000 +$20,000 +$200,000

Tabla de Pagos Mínimos para el Problema de UbicaciónAlternativa Pago Mínimo

Permanecer en la ubicación actual (A1) $20,000 (N3)

Mudarse a Baxter Street (A2) MaxMin $25,000 (N3)

Mudarse a Epps Bridge Road (A3) -$20,000 (N1)

Modelo del Optimista (MaxMax)El TD considera que el medio ambiente es propicio y la cantidad de dinero que puede perderse es pequeña en com-

paración con la utilidad que puede alcanzarse.

El procedimiento consiste en determinar el resultado de mayor valor para cada alternativa y registrarlo en una lista y luego elegir el valor máximo.

Tabla de Pagos Máximos para el Problema de UbicaciónAlternativa Pago Máximo


Mudarse a Baxter Street (A2) $150,000 (N2)

Mudarse a Epps Bridge Road (A3) MaxMax $200,000 (N3)

Modelo de Minimización de las Pérdidas de OportunidadRepresenta una opinión bastante pesimista del medio. Aquí se busca evitar valores grandes de arrepentimiento

que están asociados con grandes pérdidas de oportunidad. Esta clase de decisiones es similar al modelo de decisión pesimista, excepto que en este se busca minimizar las pérdidas máximas de oportunidad.

Para un estado de la naturaleza determinado existen siempre una o más alternativas que producen el mayor pago. Si se elige una estrategia que de cómo resultado un pago inferior al máximo para ese estado de la naturaleza en par-ticular, entonces se incurre en un pérdida de oportunidad, que es igual a la diferencia entre el pago más alto y el pago que se da con la estrategia elegida:

Pérdidas de Oportunidad = Pago Máximo = Pago por la Alternativa Seleccionada

El procedimiento consiste en determinar el pago más alto por cada estado de la naturaleza, calcular las pérdidas de oportunidad y construir la tabla de arrepentimiento.

Luego para cada alternativa determine la pérdida máxima y confeccione una lista. Finalmente determine la mínima de las pérdidas máximas.

Tabla de Arrepentimiento

AlternativaEstados de la Naturaleza


Construir nuevos de-partamentos (N3)

Permanecer en la ubicación actual (A1) 0 $100,000 $180,000

Mudarse a Baxter Street (A2) $60,000 0 $175,000

Mudarse a Epps Bridge Road (A3) $120,000 $130,000 0

Tabla de Valores del Máximo ArrepentimientoAlternativa Máxima Pérdida de Oportunidad

Mudarse a Epps Bridge Road (A3) $130,000 (N2)

Mudarse a Baxter Street (A2) $170,000 (N3)


Modelo de Maximización del Pago PromedioUna estrategia puede ser determinar el pago promedio por cada alternativa y después elegir la que tenga el mayor.

Vi = (1/n) ∑^nj=1 Oij

Vi - Pago promedio para la alternativa i

Oij- Pago para la alternativa i y el estado de la naturaleza j

Al tomar los promedios de los resultados para cada decisión estamos considerando en forma implícita que los re-sultados son igualmente probables. En términos de probabilidades, la probabilidad de que ocurra cada resultado es igual 1/n, donde n es el número de resultados.

Tabla de Pagos para el Problema de UbicaciónAlternativa Estados de la Naturaleza


Construir nuevos de-partamentos (N3)

Permanecer en la ubicación actual (A1) +$100,000 +$50,000 +$20,000

Mudarse a Baxter Street (A2) +$40,000 +$150,000 +$25,000

Mudarse a Epps Bridge Road (A3) -$20,000 +$20,000 +$200,000

Tabla de Pagos PromediosAlternativa Pagos Promedios

Permanecer en la ubicación actual (A1) $56,667

Mudarse a Baxter Street (A2) MaxProm $71,667

Mudarse a Epps Bridge Road (A3) $66,667

Toma de Decisiones con Datos Previos (Con Probabilidades)

Modelo de Valor Monetario esperadoSe basa en el concepto de valor esperado de la teoría de probabilidades.

Si existen n resultados para un experimento donde cada resultado tiene un rendimiento rj y una probabilidad de ocurrencia Pj, entonces el valor monetario esperado estará dado por:

VME = ∑^nj=1 pj rj ∑^nj=1 pj = 1

Tabla de UtilidadesNúmero de pizzas que se hornean con anticipación

Número de pizzas que se solicitan

150 160 170 180

150 300 300 300 300

160 290 320 320 320

170 280 310 340 340

180 270 300 330 360

Fracción de tiempo 0.20 0.40 0.25 0.15

Árbol de decisión para el horneado previo de pizzas(O) Hornear 150 pizzas

(•)300

Demanda de 150 pizzas 0,2 $300




Hornear 160 pizzas (•)314 Demanda de 150 pizzas 0,2 $290




Hornear 170 pizzas

(•)316





Hornear 180 pizzas

(•)310,50





VMEi = ∑^nj=1 Oij pj

VMEi – Valor monetario esperado para la alternativa i

Oij – Pago para la alternativa i cuando ocurre el estado de la naturaleza j

pj – Probabilidad de que ocurra el estado de la naturaleza j

Videos M2:

Video Conceptual:

El Teorema de BayesA A1

B P(A∩B) P(A1∩B) P(B)

B1 P(B1)

P(A) P(A1)

Evento 1, dos sucesos A y A1. Evento 2, dos sucesos B y B1.

Probabilidad de que suceda A = P(A), de que suceda A1 = P(A1)

Pueden ocurrir dos sucesos en simultáneo, por ejemplo P(A∩B)

P(B) = P(A∩B)+ P(A1∩B)

Referencias:P(A): Probabilidad de A

P(A∩B): Probabilidad de A y B P(A∩B)= P(B)*P(A/B) P(A∩B) = P(A) * P(B/A)

P(A/B): Probabilidad de A dado B P(A∩B)/P(B) P(A∩B)/ P(A∩B)+ P(A1∩B)

P(A/B) = [P(A)*P(B/A)] /[P(A)*P(B/A)+P(A1)*P(B/A1)]

Teleclase“Los modelos de decisión no nos indica que decisión tomar, sino cómo proceder para analizar y evaluar las mejores

alternativas de solución”.

Modelos de decisión

Certidumbre Incertidumbre Riesgo

Modelos deterministas Modelos sin datos previos Modelos con datos previos

Modelos sin datos previos Modelos con datos previos

Utilidades Costos Modelo clásico

Modelo del optimista / Modelo del pesimista Modelo Bayesiano

Modelo de maximización del pago promedio

Modelo de minimización del costo promedio

Análisis Previo:

Valor medio esperado. Valor medio esperado de la Información Perfecta. Valor de la información perfecta.

Modelo de minimización de arrepentimiento Análisis pre-posterior:

Valor medio esperado de la prueba. Valor de la prueba.

Modelo de probabilidades subjetivas

“A menudo sabemos identificar el problema claramente, pero no encontrar una solución que sea la más apropiada”

El Administrador construye Modelos Normativos que optimizan la Toma de Decisión en condiciones de Certidum-bre / Incertidumbre empleando Métodos para obtener Resultados que permiten el Análisis por parte del Adminis-trador.

Toma de Decisiones:

¿Qué modelos de decisión estudiamos?Analizamos modelos de decisión lógicos con los que usted podrá tomar una decisión o por lo menos contrastar sus

conclusiones, con su visión intuitiva, política, emocional, entre otras.

¿Estos modelos, nos aseguran cuál será la mejor decisión a tomar?La mayoría de los modelos no nos dicen qué decisión tomar, sino cómo proceder para tomarlas, o cómo analizar las

decisiones a tomar o tomadas.

Proceso de la Toma de Decisiones

¿Cómo se realiza el proceso de la toma de decisiones a través del modelo? El tomador de decisiones se da cuenta que existe un problema o una necesidad. Se recopilan datos acerca del problema o necesidad. Se construye un modelo (versión simplificada de la realidad) que describe el problema. El tomador de decisiones elige entre las soluciones alternativas, que pueden ser para un modelo cuantitati-

vo o cualitativo.

¿En qué ámbito se toman las decisiones?1. Certidumbre.

2. Incertidumbre (sin datos previos).3. Riesgo (con datos previos).

Terminología empleada en la toma de decisionesAlternativas: son las distintas opciones que tiene un tomador de decisiones para elegir una de ellas.

Estados de la naturaleza: son situaciones externas que no controla o domina el tomador de decisiones y en general son aleatorias.

Resultado de una decisión: es el valor económico o anímico que desemboca el tomador de decisiones al decidirse por alguna de sus alternativas.

Toma de decisiones sin datos previos

Tipos de modelos de decisión sin datos previos- Modelo de decisión del optimista.- Modelo de decisión del pesimista.- Modelo de una decisión de minimización de arrepentimiento (costo de oportunidad para una matriz de cos-

tos).- Modelo de decisión de maximización del pago promedio o minimización de costos, según lo que se estudia.- Modelo de probabilidades subjetivas.

Ejercicio:Un especulador debe decidir en un momento del día si compra dólares a $3,43 o vende dólares a $3,41.

El tomador de decisiones ha determinado que la cotización del dólar puede ser al final de la jornada de:

a) $3,38 b) $3,42 c) $3,50

Construcción del modelo

Comenzamos armando nuestra matriz de decisión Est. Nat.

Alternativas

Si cierra a $3,38 Si cierra a $3,41 Si cierra a $3,50

Comprar a $3,43 - 0,05 - 0,01 0,07

Vender a $3,41 0,03 - 0,01 - 0,09

¿Qué tipo de matriz de decisión es?Es una matriz de pago porque quiero maximizar mis utilidades.

Los valores relevantes para el modelo optimista serán 0,07 y 0,03

Los valores relevantes para el modelo pesimista serán 0,05 y 0,09

Los valores relevantes para el modelo del máximo pago promedio serán (-0,05-0,01+0,07)/3=0,003 y -0,05/3= -0,023

Para mínimo costo promedio, son los mismos valores.

Para minimización de arrepentimiento

Matriz de arrepentimiento Opción

Comprar a $3,43 0,08 (-0,05-0,03) 0 (indistinto) 0 (sin arrepentim) 0,08

Vender a $3,41 0 (sin arrepentim) 0 (indistinto) 0,16 (-0,09-0,07) 0,16

Si comparamos los resultados, todos los métodos apunta a la alternativa Comprar.

Toma de decisiones Con Datos Previos

Existen dos tipos de métodos:Análisis clásico

Análisis bayesiano

Análisis previo.

Análisis preposterior.

Análisis Clásico:- Se estima un hecho en base a experiencias pasadas.- Se construye una regla de decisión para poder realizar el análisis, como por ejemplo, un parámetro estadís-

tico.- Se propone una prueba de hipótesis en base al parámetro estadístico, definiendo una hipótesis nula (H0) y

alternativas (H1)- Posteriormente se ejecuta una o más pruebas o se toman muestras para aceptar o desechar las hipótesis

(H0)

Análisis bayesiano: PrevioRetomamos el ejercicio anterior pero ahora asignamos probabilidades de ocurrencia para los estados de naturale-

za.

Ejercicio:Un especulador debe decidir en un momento del día si compra dólares a $3,43 o vende dólares a $3,41.

El tomador de decisiones ha determinado que la cotización del dólar puede ser al final de la jornada de:

a) $3,38 (probabilidad de 30%) b) $3,42 (probabilidad de 20%) c) $3,50 (probabilidad de 50%)

Est. Nat.

Alternativas

Si cierra a $3,38 Si cierra a $3,41 Si cierra a $3,50

Comprar a $3,43 - 0,05 - 0,01 0,07

Vender a $3,41 0,03 - 0,01 - 0,09

Probabilidad 0,30 0,20 0,5

¿Qué significa análisis previo?Es el valor económico esperado de un tomador de decisiones en base a su experiencia previa.

¿Cómo calculamos el valor económico esperado de nuestra experiencia?Como poseemos datos previos de nuestra experiencia a través de las probabilidades de ocurrencia de los estados

de la naturaleza registrados, estamos en condiciones de emplear un parámetro estadístico, como regla de decisión, por ejemplo la media; calculando el valor medio económico esperado para cada alternativa (VME)

Est. Nat.

Alternativas

Si cierra a $3,38 Si cierra a $3,41 Si cierra a $3,50 VME

Comprar a $3,43 - 0,05 - 0,01 0,07 $0,018 (VME*)

Vender a $3,41 0,03 - 0,01 - 0,09 -0,038

Probabilidad 0,30 0,20 0,5

El VME se calcula sumando la máxima utilidad para cada alternativa multiplicado por su probabilidad de ocurrencia de los estados de la naturaleza.

VME* = (-0,05*0,3)+(-0,01*0,2)+(0,07*0,5) = 0,018

Para calcular el Valor Medio Monetario Esperado de la Información Perfecta tomo el “mejor” dato de cada colum-na y lo multiplico por su probabilidad de ocurrencia:

(0,03*0,03) + (-0,01*0,2) + (0,07*0,5) = 0,042

El valor medio monetario esperado de la información perfecta (VMEIP) se calcula sumando la máxima utilidad para cada estado de naturaleza de cada alternativa multiplicando por su probabilidad de ocurrencia.

Es el máximo valor de utilidades que puedo esperar en base a mi experiencia.

El valor de la información perfecta (VIP) es la diferencia entre el VMEIP y el VME* y significa que estoy perdiendo de ganar por no poseer de antemano información perfecta o hasta cuando estoy dispuesto a pagar para tener infor-mación perfecta.

Para nuestro caso será = VIP = VMEIP – VME* =0,042 – 0,018 = 0,024

Análisis bayesiano: Análisis preposterior

¿Qué significa análisis preposterior?Es el valor económico esperado que nos brinda una consultora o una persona que puede tener o no experiencia en

el mercado.

¿El valor económico suministrado por la consultora siempre es creíble?La respuesta es NO, por este motivo poseemos herramientas para aceptar o rechazar la prueba o muestra que nos

suministra, a través del cálculo del valor medio monetario esperado de la prueba (VMEprueba)

El análisis previo nos arrojó los siguientes resultados:

-VME* = 0,018 (utilidad máxima en base a nuestra experiencia)

- VMEIP = 0,042 (utilidad máxima que podemos esperar si conocemos los acontecimientos de antemano)

- VIP = 0,024 (utilidad que estamos perdiendo por día por no contar con información perfecta)

El análisis preposterior nos indica que para aceptar la prueba o muestra del Consultor, el valor medio monetario de la prueba (VMEprueba), para este ejercicio, no debe superar nunca el VMEIP y no debe ser menor o igual que el VEM*

hmvi- modelos de simulación - modulos 1y2

Documents