historia y geografia

BATALLA DE TARAPACASEMANA DE LA VIDA ANIMALSEMANA FORESTALSIEMBRA UN RBOLI.E.P. REGINA PACISDel colegio a la UniversidadLideres en Educacin

ARITMTICANMEROS FRACCIONARIOSCOLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINACAPTULO

COMPETENCIAS.

Conocer una fraccinClasificar las fraccionesReconocer las propiedades de una fraccin.

PREGUNTA MOTIVADORA:Observe las graficas e identifique las fracciones que represente la parte sombreada.

NMEROS FRACCIONARIOS

FRACCIN: Es la divisin de 2 nmeros enteros positivos, son de la forma. Donde: N: numeradorD: denominador

CLASIFICACIN DE LAS FRACCIONESI.POR LA COMPARACIN DE SUS TRMINOS

1.Fraccin Propia:Cuando el numerador es menor que el denominador se tiene:, , ,

2.Fraccin Impropia: Cuando el numerador es mayor que el denominador se tiene:, ,

Las fracciones impropias originan a los nmeros mixtos.Es decir:

II.POR LOS DIVISORES DE SUS TRMINOS.

1.Irreductibles.-Cuando sus trminos son pesi, es decir MCD(N,D)=1.Se tiene:, , ,

2.Reductibles.-Cuando sus trminos no son pesi, es decir tienen factores comunes.Se tiene:, , ,

Las fracciones equivalentes se originan a partir de una irreductible.Es decir:

III.POR SU DENOMINADOR.-

1.Fracciones Ordinarios: Cuando el denominador no es potencia de 10.Es decir:, , , 2.Fracciones Decimales: Cuando el denominador es potencia de 10.Es decir:, ,

IV.EN GRUPOS:

1.HOMOGENEAS:Cuando presentan denominadores iguales.Es decir:, , ,

2.HETEROGENEAS:Cuando presentan por lo menos un denominador diferente.Es decir:, , ,

PROBLEMAS PARA LA CLASE.

Del colegio a la UniversidadMes: NoviembreI.E.P. Regina Pacis

1961er Grado de SecundariaLideres en Educacin1.Cuntas de las siguientes fracciones son propias? Rpta.: .............................................................

2.Cuntas de las siguientes fracciones son propias?, , , , , , ,

Rpta.: .............................................................

3.Cuntas de las siguientes fracciones son impropias?, , , , , , ,

Rpta.: .............................................................

4.Cuntas de las siguientes fracciones son impropias?, , , , , , ,

Rpta.: .............................................................

5.Cuntas de las siguientes fracciones son reductibles?,,,,,,;

Rpta.: .............................................................

6.Cuntas de las siguientes fracciones son irreductibles?

Rpta.: .............................................................

7.Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones: Rpta.: .............................................................

8.Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones.Rpta.: .............................................................

9.Cuntas fracciones equivalentes a 5/7 tienen su numerador de dos cifras?

Rpta.: .......................................................

10.Cuntas fracciones equivalentes a 6/7 tienen su denominador de dos cifras?

Rpta.: .............................................................

11.Cuntas fracciones equivalentes a 4/5 tienen sus trminos; numerador y denominador de dos cifras?

Rpta.: .............................................................

12.Cuntas fracciones con denominador 15 existen entre 3/5 y 4/5?

Rpta.: .............................................................


Rpta.: .............................................................

14.Cuntas fracciones irreductibles con denominador 30 existen entre 1/3 y 5/6?Rpta.: .............................................................

15.Cuntas fracciones irreductibles con denominador 21 existen entre 1/3 y 6/7?

Rpta.: .............................................................

16.Cul es la fraccin equivalente a 5/9 cuya diferencia de sus trminos es 36?

Rpta.: .............................................................

17.Cul es la fraccin equivalente a 3/7 cuya suma de su trmino es 120?

Rpta.: .............................................................

18.Cuntas fracciones propias e irreductibles con denominador 8 son mayores a 1/3?

Rpta.: .............................................................

19.Cuntas fracciones propias e irreductibles con denominador 9 son mayores a 1/5?

Rpta.: .............................................................

20.Cuntas fracciones equivalentes a 4/7 resultan una fraccin de la forma?Rpta.: .............................................................

TAREA DOMICILIARIA N 01

1.Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

A)1/7; 4/5; 5/4; 7/3B)1/7; 5/4; 4/5; 7/3C)1/7; 4/5; 7/3; 5/4D)1/7; 7/3; 4/5; 5/4E)7/3; 1/7; 4/5; 5/4

2.Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones:; ; ;

A)1/3; 3/8; 2/5; 5/7B)3/8; 1/3; 2/7; 5/7C)5/7; 3/8; 1/3; 2/5D)1/3; 3/8; 5/7; 2/5E)3/8; 1/3; 5/7; 2/5

3.Cuntas fracciones equivalentes a 5/2 tienen su numerador de dos cifras?

A)16B)17C)18D)19E)20

4.Cuntas fracciones equivalentes a 3/13 tienen su denominador de dos cifras?

A)4B)5C)6D)7E)8


A)2B)1C)3D)4E)5

6.Cuntas fracciones irreductibles con denominador 28 existen entre 1/2 y 4/7?

A)1B)2C)3D)4E)5

7.Cul es la fraccin equivalente a 2/3 cuyo producto de trminos es 54?

A)B)C)D)E)

8.Cul es la fraccin equivalente a 3/7 cuya diferencia de sus trminos es 16?

A)B)C)D)E)

9.Cuntas fracciones propias e irreductibles con denominador 9 son mayores que 1/2?

A)1B)2C)3D)4E)5

10.Cuntas fracciones equivalentes a 6/5 resultan una fraccin de la forma?

A)1B)2C)3D)4E)5

TALLER DE APRENDIZAJE N 01

1.Cul de las siguientes fracciones es la menor de todas?A)B)C)D)E)

2.Cul de las siguientes fracciones es la mayor de todas?A)B)C)D)E)

3.Cuntas fracciones equivalentes a 4/9 tienen su denominador de 2 cifras?A)9B)10C)11D)12E)13

4.Cul es la fraccin equivalente a 4/7 tal que suma de sus trminos es 121? A)B)C)D)E)

5.Cuntas fracciones propias e irreductibles con denominador 8 son mayores que 4/15?

A)1B)2C)3D)4E)5

6.Cuntas fracciones equivalentes a 4/7 resultan una fraccin de la forma?

ARITMTICAOPERACIONES CON FRACCIONESCOLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINACAPTULO

COMPETENCIAS.Realizar operaciones con las fraccionesInterpretar el significado de una fraccinReducir y simplificar las operaciones entre fracciones

PREGUNTA MOTIVADORA:Cuntos cuartos tiene cinco y medio?Rpta.: posee 22 cuartosDe una tela de 120 metros de largo se ha vendido y luego del resto. Cuntos metros quedan an por vender.Resolucin:

De lo que queda se vendi entonces queda 60m.

OPERACIONES ENTRE FRACCIONES

:

:

:

:


1.Realice la siguiente operacin:

Rpta.: .............................................................

2.Resuelva:

Rpta.: .............................................................

3.Resolver:Rpta.: .............................................................

4.Si se cumple:; Siendo fraccin irreductible. Determine: a+b.

Rpta.: .............................................................

5.Hallar el valor de A.

Rpta.: .............................................................

6.Hallar el valor de B:

Rpta.: .............................................................

7.Efectuar:

Rpta.: .............................................................

8.Efectuar:

Rpta.: .............................................................

9.Simplificar:Rpta.: .......................................................

10.Reducir:Rpta.: .............................................................

11.Hallar el valor de E:Rpta.: .............................................................

12.Cunto es los de 111? Rpta.: .............................................................13.Calcular los de los de los de 45. Rpta.: .............................................................

14.Cunto le falta a para ser igual a? Rpta.: .............................................................

15.Efectuar:Rpta.: .............................................................

16.Qu fraccin de es

Rpta.: .............................................................

17.Cunto le falta a la siguiente expresin para ser igual a la unidad?

Rpta.: .............................................................


1.Realice la siguiente operacin:

A)2B)3C)4D)5E)6

2.Resolver la siguiente operacin:

A)B)C)D)E)

3.Calcular la decima de E, si se sabe que:

A)50B)40C)20D)30E)54.Calcular el valor de A

A)B)C)D)E)

5.Hallar los de los de

A)B)C)D)E)6.Hallar los de los de de 56.

A)10B)12C)14D)16E)18

7.Si se cumple:Siendo una fraccin irreductible.Hallar: a + b

A)45B)49C)60D)105E)109

8.Qu fraccin de es ?A)B)C)D)E)

9.Cunto le falta a la siguiente expresin para ser igual a la unidad?

A)1/5B)2/5C)3/4D)1/4E)5/7

10.Resolver:A)4/5B)4C)5/6D)6 E)

11.Efectuar:Rpta.: .............................................................

12.Reducir:Rpta.: .............................................................


1.Realice la siguiente operacin:A)1B)2C)3D)4E)5

2.Hallar: a b; si se cumple:

A)11B)12C)17D)22E)23

3.Resolver la siguiente operacin:

A)15B)16C)17D)18E)19

4.Qu fraccin de es ? A)B)C)D)E)

5.Reducir:A)5B)3C)D)E)

6.Efectuar:

ARITMTICANMEROS DECIMALES ICOLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINACAPTULO

LECTURA:TABLERO DE VALOR POSICIONALNuestro sistema de numeracin es posicional, porque el valor de cada dgito depende de la posicin que ocupa en el nmero.Los nmeros decimales pueden escribirse empleando el principio posicional de nuestro sistema de numeracin en el cual 10 unidades de un orden forman una unidad de orden inmediato superior, como se observa en el siguiente tablero.

NMEROS DECIMALESSe obtiene al dividir los trminos de una fraccin

CLASIFICACIN DE LOS NMEROS DECIMALES

1.NMERO DECIMAL EXACTO:Una fraccin origina un nmero decimal exacto si en el denominador aparecen solo factores que son potencias de 2 de 5 de ambos.Ejemplos:

FRACCIN GENERATRIZ: Se toma todo el nmero decimal y se divide entre 1 seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal.Ejemplo:

2.NMERO DECIMAL INEXACTO PERIDICO PURO: Una fraccin origina un nmero decimal inexacto peridico puro, si en el denominador aparecen como factores primos a nmeros distintos al 2 y 5.Ejemplos:

FRACCIN GENERATRIZ: Se toma el nmero decimal y luego se divide entre tantas cifras 9 como cifras tiene la parte peridica.Veamos:

3.NMERO DECIMAL INEXACTO PERIDICO MIXTO: Una fraccin origina un nmero decimal inexacto peridico mixto, si los factores primos del denominador son potencias de 2 y/o 5 adems de otros factores primos distintos de 2 y 5. Ejemplos:

FRACCIN GENERATRIZ: Se toma todo el nmero decimal se le resta la parte no peridica y luego se divide entre tantos nueves como cifras peridicas posee el nmero seguido de tantos ceros como cifras no peridicas posee.Veamos:


1.Halla la fraccin generatriz de los siguientes nmeros decimales:

A)0,2B)0,32C)0,125D)0,3256

2.Halla la fraccin generatriz de:

A)0,12B)12,45C)13,126D)908,0001


A)B)C)D)


A)B)C)D)


A)B)C)D)

6.Hallar la fraccin generatriz de:

A)B)C)D)12

7.Hallar a+b si:

Rpta.: .............................................................

8.Hallar b-a si:

Rpta.: .............................................................

9.Calcular: a+b

Rpta.: .............................................................

10.Cul es el valor de b-a si se cumple que:

Rpta.: .............................................................

11.Hallar a sabiendo que:

Rpta.: .............................................................

12.Efecta:

Rpta.: .............................................................

13.Halla la fraccin generatriz equivalente a:

0,15+2,3333......

Rpta.: .............................................................

14.Sumar:

Rpta.: .............................................................15.Efectuar:

Rpta.: .............................................................


1.Si:

Calcular: a+bA)3B)9C)12D)7E)19

2.Efectuar:0,125 - 0,1A)1/40B)3/20C)1/20D)3/40E)7/40

3.Hallar: P

A)16/15B)18/15C)21/15D)1E)14/15

4.Hallar: R

A)2/15B)1/16C)1/48D)5/24E)3/5

5.Efectua:

A)2B)3C)4D)5E)8

6.Calcula:

A)28B)25C)10D)100E)36

7.Efectuar:

A)20B)15C)1/20D)35E)40

8.Efecta:

A)16B)15C)14D)32E)21

9.Resuelve:C = 0,6666....x 0,2333...x0,444.....A)17/125B)28/125C)28/405D)28/990E)36/125

10.Si:

Calcular: a+bA)6B)18C)5D)9E)12


1.Hallar: RR = 0,5 + 0,25 + 0,125A)7/8B)3/8C)1D)5/8E)1/8

2.Halla: a+bA)49B)13C)29D)31E)27

3.Efectuar:A)3B)7/3C)2D)8/3E)3/8

4.Efectuar:

A)3B)2C)1D)4E)5

5.Si:Calcula: b - aA)1B)2C)3D)4E)5

6.Calcula:

A)28B)25C)10D)100E)36

LGEBRAECUACIONES.COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINACAPTULO

IGUALDADEs la relacin que establece de que dos cantidades tienen el mismo valor.Clases de IgualdadesA.Igualdad Absoluta o Identidad:Es aquella que se verifica para todo valor que se le asigne a su variable.Ejemplos:(x + 1)2 = x2 + 2x + 1Es una igualdad que se cumple para x = 3 como tambin se cumple para x = 0 a la vez para x = 5; x = 7; etc.Por lo tanto estamos ante una identidad.B.Igualdad Relativa o Ecuacin:Es aquella que se verifica para ciertos valores de la variable llamada incgnita.Ejemplos:2x + 1 = 7 Es una igualdad que se cumple con la condicin que x sea igual a 3. x2 - 5x + 6 = 0Es una igualdad que se cumple slo si x es igual a 2 3.ECUACINEs una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica o satisface slo para determinados valores de sus variables (incgnitas).Ejemplos:2x + 1 = 7, se verifica slo para x = 35x + 7 = 2, se verifica slo para x = -1x2 - 5x + 6 = 0, se verifica slo si x = 2 x =3

-El signo igual separa en una ecuacin a un primer miembro (el de la izquierda) de un segundo miembro (el de la derecha).-Resolver una ecuacin significa, hallar los valores de x que la verifican (satisfacen).-Los valores de x que satisfacen a una ecuacin reciben el nombre de soluciones o races.-Las soluciones o races se agrupan en un conjunto al que llamamos: Conjunto Solucin o C.S.

Ejemplo:Al resolver: El nico valor que satisface a la ecuacin es 2Es decir:Si x = 2,la ecuacin se transforma en una afirmacin correcta (verdadero) es la solucin o raz de la ecuacino tambin: C.S. = { 2 }

Comprobacin:En la ecuacin: 2x - 3 = x + 5 - 3xReemplazando x = 2: 2(2) - 3 = 2 + 5 - 3(2) 4 - 3 = 2 + 5 - 6 1 = 1 (verdadero)

Clasificacin de las Ecuaciones

I.Por la Naturaleza de la IncgnitaA.Ecuaciones Algebraicas:Son aquellas ecuaciones en las que slo aparecen expresiones algebraicas. A su vez estas ecuaciones pueden ser:1.Ecuaciones Racionales:Cuando sus incgnitas no estn afectadas de radical. Estas a su vez pueden ser:Ecuaciones Racionales Enteras.- (Si la ecuacin no tiene incgnita en denominador alguno)Ecuaciones Racionales Fraccionarias.- (es la ecuacin que si tiene incgnita en el denominador)Ejemplos:5x - 2 = 18 + x ..... (Ec. R. entera) + 2 = x - 5 ... (Ec.R. entera)= 2x + 1 ... (Ec.R. fraccionaria) ... (Ec.R. fraccionaria)2. Ecuaciones Irracionales:Cuando la incgnita aparece afectada de un signo radical.Ejemplos:

B.Ecuaciones Trascendentes:Son aquellas ecuaciones en las que aparecen expresiones trascendentes (No algebraicas)

Ejemplos:Log (x - 3) = 2 ... (Ec. logartmica)3x + 7 = 81 ... (Ec. exponencial)cos(2x-1) = -1...(Ec. trigonomtrica)

II.POR EL NMERO DE SOLUCIONESA.Ecuaciones Compatibles:Son ecuaciones que si presentan solucin:A su vez se subdivide en :Ecuaciones Compatibles Determinadas.- Cuando el nmero de soluciones es limitado.Ecuaciones Compatibles

Indeterminadas.-Cuando presenta un nmero ilimitado de soluciones.

Ejemplos:*) Tiene como solucin: x = -3 (E.C. Determinada)

*) Al resolver: 3x + 6 = 2x - 2 + x + 8 3x + 6 = 3x + 6 6 = 6(Significa que la igualdad se verifica para cualquier valor de x) \ La ecuacin tiene infinitas soluciones.(Ec. C. Indeterminada)

B.Ecuaciones Incompatibles:Son aquellas que no tienen solucin. Tambin son conocidas como: Ecuaciones Absurdas.Ejemplos:*) *)

III.POR EL TIPO DE COEFICIENTESA.Ecuaciones Numricas:Cuando los coeficientes son nmeros.Ejemplo:

*)3x 5 = 2 + 5 (3 7x)

B.Ecuaciones Literales:

Cuando al menos, uno de sus coeficientes es letra.

Ejemplos:

2x - m = 2mx + 1

IV.POR EL TIPO DE GRADO:

ECUACIONES EQUIVALENTESDos ecuaciones con las mismas incgnitas se llaman equivalentes si tienen las mismas races.Ejemplo:La ecuacin: 2x + 3 = 13..... (I)y la ecuacin: x + 7 = 12 ..... (II)Son ecuaciones equivalentes ya que ambas se satisfacen para Teoremas de Equivalencias en las Ecuaciones1Si a los dos miembros de una ecuacin se le suma o se le resta una determinada cantidad constante, la ecuacin que obtenemos es equivalente a la ecuacin dada.Ejemplo:Sea la ecuacin:1)x + 2 = 10 su raz solucin es Ahora si restamos 2 miembros a miembro:2)x + 2 - 2 =10 - 2Luego: (1) y (2) son ecuaciones equivalentes, dado que tiene la misma raz.Observa:(1) x + 2 = 10 (2) x = 10 - 2,(Observamos que la equivalencia en las ecuaciones nos permite despejar la incgnita)Regla Prctica:Podemos trasladar un trmino de un miembro al otro con el solo cambio de signo de su coeficiente. (Transposicin de trminos).Sea la ecuacin:x + b = aRestando miembro a miembro (m.a.m.) b:, siendo x la incgnita.

2Si a los dos miembros de una ecuacin se le multiplica o divide por una determinada cantidad constante diferente de cero, la ecuacin resultante ser equivalente a la ecuacin dada.Ejemplo:Sea la ecuacin:1)5x = 30 su raz solucin es Ahora si dividimos por 5 miembros a miembro:2) x = 30/5 Luego: (1) y (2) son ecuaciones equivalentes.Observa:(1) 5x = 30 (2) x = 30/5(observamos que la equivalencia en las ecuaciones nos permite despejar la incgnita).

Regla Prctica:* Si un nmero multiplica a la incgnita, podemos trasladarlo al segundo miembro de la ecuacin dividiendo.Sea la ecuacin:dividiendo miembro a miembro (m.a.m.) a: , siendo x la incgnita**Si un nmero divide a la incgnita, podemos trasladarlo al segundo miembro multiplicando.Sea la ecuacin:multiplicando miembro a miembro (m.a.m.) a: , siendo x la incgnita

3Si a ambos miembros de una ecuacin se le eleva a un determinado exponente, entonces puede introducirse races extraas.Ejemplo :Sea la ecuacin:x - 1 = 3 ..... Ec. originalelevando al cuadrado m.a.m.(x - 1)2 = 32 x2 - 2x + 1 = 9 [ x2 - 2x - 8 = 0Resolviendo:

Al comprobar, en la ecuacin : x 1 = 3Para x = 4: 4 1 = 3 3 = 3 (verdadero)

Al comprobar:Para x = 2; 2 1 = 3 3 = 3 (falso) x = 2 (Solucin extraa es rechazada) x = 4 (Solucin aceptada)

4Si ambos miembros de una ecuacin se le extrae una determinada raz, la ecuacin puede perder races.Ejemplo :En la ecuacin:x3 = 1al extraer la raz cbica m.a.m.:x = 1 solucin(pero se van a perder 2 soluciones o races. Estas races sern cantidades imaginarias)

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITAEs aquella ecuacin que puede reducirse a la siguiente forma general:Siendo:a y b: coeficientes x : IncgnitaLuego:ax + b = 0Despejando x: ax = -b Discusin de la solucin:Observamos que el valor de x es decir, la solucin o raz de la ecuacin, depende de los valores de a y b.(1)Si:a 0, b 0; se tendr: (2)Si:a 0, b = 0; se tendr: (3)Si:a = 0, b 0; se tendr que no hay solucin(ecuacin incompatible)(4)Si:a = 0, b = 0;se tendr que la solucin es un nmero cualquiera.(ecuacin indeterminada)

COMO RESOLVER ECUACIONESResolver una Ecuacin:Significa hallar la solucin o raz de una ecuacin es decir; el valor o los valores de las incgnitas que satisfacen la ecuacin.Reglas para su solucin:1Se realizan las operaciones indicadas (suprimimos signos de agrupacin, si las hay)2Se hace la transposicin de trminos reuniendo en un miembro todos los trminos que contengan a la incgnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas o que no contengan a la incgnita.Se debe tener en cuenta que cualquier trmino de una ecuacin se puede pasar de un miembro a otro cambindoles de signo.3Se reducen trminos semejantes en cada miembro.4Despejamos la incgnita.


1.Resolver:A)6x - 6 = 24B)5x - 15 = 35C)4x + 16 = 32Rpta.: ........................................................

2.Resolver:

A)30x - 90= 30B)16x + 10= 154C)7x + 14= 210

Rpta.: ........................................................3.Resolver:A)B)

Rpta.: ........................................................

4.Resolver:

A)8x - 4= 4x+16B)2y +21= 5y-9

Rpta.: ........................................................

5.Resolver:

A)32 - 6x= 64 - 8xB)10x+12= 20x+10

Rpta.: ........................................................

6.Resolver:

A)8x - 4+3x= 7x+x+14B)8x+9-12x= 4x-13-5x

Rpta.: ........................................................

7.Resolver:8x-4+3x = 7x+x+14

Rpta.: ........................................................

8.Resolver:3x+101 4x-33 = 108 16x-100

Rpta.: ........................................................

9.Resolver:14 12x+39x 18x = 256 60x 657x

Rpta.: ........................................................

10.Resolver:8x 15x 30x 51x = 53x+31x 172 Rpta.: ........................................................

11.Resolver:8 (3x+3) = x (2x+1)

Rpta.: ........................................................

12.Resolver:15x 10 = 6x - (x+2) + (-x+3) Rpta.: ........................................................

13.Resolver:

Rpta.: ........................................................

14.Resolver:

Rpta.: ........................................................

15.Resolver:3(x-4) + 6= 5(x+1) 13 Rpta.: ........................................................

16.Resolver:5(x+5) 2(x-3) = 3(x+1) + 4(2x 1) Rpta.: ........................................................

17.Resolver:

Rpta.: ........................................................

18.Resolver:

Rpta.: ........................................................


1.Resolver:

A)4x+12 = x + 24

B)8x - 16 = 88

Rpta.: ........................................................

2.Resolver:

x (2x+1)=8 (3x+3)

Rpta.: ........................................................

3.Resolver:

15x 10 = 6x-(x+2) + ( x + 3)

Rpta.: ........................................................

4.Resolver:

Rpta.: ........................................................

5.Resolver:

Rpta.: ........................................................

6.Resolver:

Rpta.: ........................................................

7.Resolver:

Rpta.: ........................................................

8.Resolver:

Rpta.: ........................................................

9.Resolver:

Rpta.: ........................................................

10.Resolver:

Rpta.: ........................................................


1.Resolver:x+3(x 1) = 6-4 (2x+3)

Rpta.: ........................................................

2.Resolver:5(x 1) + 16 (2x+3) = 3(2x 7)-x

Rpta.: ........................................................

3.Resolver:

A)1/5B)2/3C)1/7

4.Resolver:

A) 13B) 14C) 15

5.Resolver:

A)5/7B)1/2C)3/5

6.Resolver:

x (2x+1)=8 (3x+3)

Rpta.: ........................................................

LGEBRAECUACIONES DE 2do. GRADOCOLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINACAPTULO

ECUACIN DE SEGUNDO GRADO(cuacin Cuadrtica)Es aquella ecuacin cuyo primer miembro es un polinomio de segundo grado con respecto a una variable (Incgnita) x y el segundo miembro es igual a cero. A la ecuacin de segundo grado se le denomina tambin: Ecuacin Cuadrtica. Luego una ecuacin de segundo grado con una incgnita, es aquella que puede reducirse a la forma general:

Donde:a: Coeficiente del trmino cuadrtico (a 0)b: Coeficiente del trmino linealc: Trmino independientexvariable (Incgnita)

Ejemplo 1:De la siguiente ecuacin:2x2 - x - 3 = 0Comparando:a = 2b = -1c = -3Ejemplo 2:De la siguiente ecuacin de segundo grado:(m + 3) x2 - 8x + m + 1 = 0Comparando:a = m + 3b = -8c = m + 1

Clasificacin(I)Ecuacin de segundo grado Completa.-Cuando no falta ninguno de sus trminos, es decir, tiene la forma general

(II)Ecuacin de segundo grado Incompleta.-Cuando falta algn trmino en la forma general, es decir:Si b = 0ax2 + c = 0Si c = 0ax2 + bx = 0Si b = c = 0 ax2 = 0

(*) La Ecuacin :ax2 + bx + c = 0,Es de 2 grado, porque el mayor exponente de la incgnita es 2, entonces tendr 2 soluciones o races.Recuerda, una ecuacin tendr tantas races, como lo indique el grado de la ecuacin.

(*) La Ecuacin :ax2 + bx + c = 0,Al resolverlos se obtendr dos soluciones :

Las soluciones o races se agrupan en un conjunto al que llamamos: Conjunto Solucin o C.S.C.S. = {x1, x2}

(*) La Ecuacin :2x2 + 5x 3 = 0, Es una ecuacin de segundo grado y se cumple cuando x toma los valores : x = 3Si reemplazamos en la ecuacin : 0 = 0Comprobado!!

Si reemplazamos x = 3 en la ecuacin :2(3)2 + 5(3) 3 = 0 0 = 0Comprobado!! son las soluciones o races de:

Tambin podemos decir : C.S. = {x1, x2} C.S. = {1/2, -3}

Resolucin de una Ecuacin de 2 Grado Completa

Mtodos :1.Mtodo Prctico por FactorizacinEste mtodo se emplea slo cuando la factorizacin del polinomio de 2 grado puede efectuarse.(se dice entonces que la ecuacin dada es factorizable).

Pasos:(1)Se trasladan todos los trminos a un slo miembro (para dar la forma general), dejando el otro miembro igual a cero.(2)Factorizar el polinomio de 2 grado, aplicando la regla del aspa simple.

(3)Cada uno de los factores que resulta se igualan a cero y se halla en cada igualdad el valor de la raz.Ejemplo 1:Hallar las soluciones de la ecuacin: 3x2 2x + 1 = 5x x2 - 2Resolucin:1 Paso :Transponiendo trminos (para darle la forma general):

2 Paso :Factorizando el polinomio de 2 grado (Aspa simple):(4x - 3)(x - 1) = 0

3 Paso : Cada factor se iguala a cero:4x - 3 = 0x - 1 = 0 x = 3/4 x = 1 C.S. = {3/4, 1}

Ejemplo 2:Hallar x1 y x2 de la siguiente ecuacin: x2 5x + 6 = 0Resolucin:1 Paso: Se observa que la ecuacin est dada en su forma general.

2 Paso: Factorizando por aspa simple:(x - 3)(x - 2) = 0

3 Paso: Igualando a cero cada factor:x - 3 = 0x - 2 = 0 x = 3 x = 2 x1 = 3 x2 = 2C.S. = {3, 2}

Ejemplo 3:Resolucin:Habrs notado que para resolver una ecuacin de 2 grado simplemente se necesita tres pasos para llegar a las soluciones o races. x2 + 10x - 5 = 4 - x2 - 7 x 2x2 + 17x - 9 = 0(2x - 1)(x + 9) = 0Luego:2x - 1 = 0x + 9 = 0 x1 = 1/2 x2 = -9C.S. = {, -9}

2.Mtodo por la Frmula GeneralCuando la factorizacin del polinomio de 2 grado no es inmediata, es decir, es muy complicada o simplemente no es posible aplicarla, entonces se emplea la frmula general de resolucin.Sea la ecuacin : ax2 + bx + c = 0Una vez identificado los coeficientes: (a, b, c)Se puede obtener los valores de la incgnita (x) La frmula general esta dado por:Donde las dos soluciones o races son:Ejemplo 1:Hallar x1 y x2 de la siguiente ecuacin:x2 4x + 1 = 0Resolucin:(i)Identificando los coeficientes correspondientes:a = 1b = -4c = 1

(ii)Reemplazando: a, b, c en la frmula:Separando ambas soluciones :C.S. =

Ejemplo 2:

Resolucin:Se observa que la factorizacin no es posible aplicarla.Aplicando la frmula general:Identificando : a = 2, b = -5, c = 1Reemplazando: a, b, c en la frmula:Luego:C.S. =

El empleo de la frmula general es para resolver cualquier forma de una Ecuacin de 2 grado, luego podemos decir, que si la Ecuacin es resuelta por el mtodo de la factorizacin entonces esta tambin se puede resolver por la frmula general.

Ejemplo:Resolucin:(*)Empleando el mtodo prctico por factorizacin:(2x 1)(x + 3) = 02x - 1 = 0x + 3 = 0 x1 = x2 = 3C.S. = {, -3}

(*)Empleando el mtodo Frmula General:2x2 + 5x 3 = 0a = 2, b = 5, c = 3

Luego:C.S. = {, -3}

Ejemplo: Resolucin:(*)Empleando el mtodo prctico por factorizacin:

Luego:(x - 9)(x + 4) = 0x - 9 = 0x + 4 = 0 x1 = 9 x2 = -4C.S. = {9, -4}

(*)Empleando Frmula General:x2 - 5x - 36 = 0Identificando:a = 1, b = -5, c = -36 C.S. = {9, -4}

OJO:Cuando encontramos las dos soluciones (races) :x1 = 9 x2 = 4No necesariamente es en ese orden, puede ser:x1 = 4 x2 = 9

Para resolver una Ecuacin de 2 grado completa, el mtodo prctico y recomendable es el de Factorizacin para poder calcular sus Races, caso contrario cuando es imposible realizar la factorizacin en la Ecuacin, entonces aplicar el mtodo de la Frmula General.

Resolucin de una Ecuacin de 2 Grado IncompletaSabemos que una ecuacin de 2 grado incompleta es cuando falta algunos de los trminos en la forma general de una ecuacin y se van a presentar tres casos:

Si b = 0 La ecuacin: ax2 + bx + c = 0se convierte en: * Para su solucin, consiste en despejar la variable y extraer la raz cuadrada.

Ejemplo:

Resolucin:Efectuando :

Transponiendo Trminos :x2 + 3x2 - 1 = 0 ... Ecuacin IncompletaDespejando:4x2 = 1x2 = 1/4: Si c = 0 La ecuacin: ax2 + bx + c = 0se convierte en: * Para su solucin, factorizamos (factor comn), luego igualamos a cero cada factor.Ejemplo:

Resolucin:Efectuando :2x2 - 5 = -[x2 - 2x + 5] Transponiendo Trminos : ... Ecuacin IncompletaFactor Comn:x(3x - 2) = 0Luego :x = 03x - 2 = 0x = 0 x = 2/3 OJO:Se debe tener presente que toda ecuacin de 2 grado tiene dos soluciones o races.

Si b = c = 0 La ecuacin: ax2 + bx + c = 0se convierte en: ax2 = 0Su solucin es : * Se observa que la solucin necesariamente es cero. Este 3 caso muy poco es frecuente en las ecuaciones.

Estudio de Naturaleza de las Races de una Ecuacin de 2 GradoDada la Ecuacin de 2 grado : Sabemos que los valores de la incgnita (x) se obtiene mediante la siguiente frmula :Observamos que las Races de la Ecuacin depende de la cantidad subradical : b2 4acLa cual la representamos : = b2 4acdonde : se le llama discriminante

Se establece que:1Si > 0, La Ecuacin tiene dos soluciones reales y diferentes2Si = 0, La Ecuacin tiene dos soluciones iguales.3Si < 0, La Ecuacin tiene dos soluciones Complejos conjugados.

Ejemplo:1. Resolucin:Analizando el discriminante (D) podemos deducir apriori como ser la naturaleza de las races a calcular:De la ecuacin se tiene :a = 2 = b2 4acb = 5 = (5)2 4(2)(3)c = 3 = 49 ( > 0)Entonces las races a obtenerse sern 2 raices reales y diferentes.

Luego decimos que se cumple en las races lo que deducimos antes de resolver la ecuacin.

Definamos: i se llama unidad imaginaria Luego:

Si las races o soluciones son nmeros irracionales complejos estos se presentan por pares o llamados pares conjugados.

Es decir: Si: O tambin: Si:


1.Resolver las siguientes ecuaciones :(Mtodo prctico por factorizacin)A)x2 x 6=0CS = B)x2 + 7x=18CS = Rpta.: ........................................................

2.Resolver utilizando la frmula general :A)8x 65= x2B)x2=108 3x

Rpta.: ........................................................3.Resolver a travs del T.C.P.:A)x2 - 4x + 4 = 0B)4x2+4x+1=0C)25x2+20x+4=0

Rpta.: ........................................................

4.Resolver:A)6x2 + 3x - 165=0B)15x2 - 75x + 90=0

Rpta.: ........................................................

5.Resolver:9x2 + 48x + 64 = 0

Rpta.: ........................................................

6.Resolver:4x2 - 8x +13 = 0

Rpta.: ........................................................

7.Resolver:

Rpta.: ........................................................

8.Resolver:

Rpta.: ........................................................

9.Resolver:

Rpta.: ........................................................

10.Resolver:(x+6)2 - 5(x+6) = 14 Rpta.: ........................................................

11.Resolver:

Rpta.: ........................................................

12.Resolver:

Rpta.: ........................................................

13.Resolver:

Rpta.: ........................................................

14.Resolver:

Rpta.: ........................................................

15.Resolver:

Rpta.: ........................................................

16.Resolver:

Rpta.: ........................................................


1.Resolver las ecuaciones:(mtodo prctico por factorizacin)A)20x2 27x = 14B)7x = 15 30x2

2.Resolver utilizando la frmula general:A)2x2 + 7x 4 = 0B)6x2 = 10 11x

Rpta.: ........................................................

3.Resolver a travs del TCPA)16x2+ 40x + 25 = 0B)100m4+60m2+9 = 0Rpta.: ........................................................

4.Resolver:A)25x2 10x+2 = 0B)5x2 + 6 x + 2 = 0Rpta.: ........................................................

5.Resolver:(x 3)2+(x+1) (x-3) = 3(1 x2)Rpta.: ........................................................

6.Resolver:

Rpta.: ........................................................

7.Aplicando las propiedades de las races de una ecuacin de 2do. grado. Hallar la suma y el producto de las races de las siguientes ecuaciones.A)2x2 3x + 5 = 0B)x2 5x + 2 = 0C)3x2 + x 12 = 0

Rpta.: ........................................................

8.Hallar la ecuacin de 2do. grado cuyas races son:x1 = 5x2 = 2Rpta.: ........................................................

9.Formar la ecuacin de races 5 y -1/2

Rpta.: ........................................................

10.Forma la ecuacin de 2do. grado que di como races. y

Rpta.: ........................................................


1.Resolver:(x-2)2 4(x 2) = 0Indicar el producto de las racesA)14B)10C)12

2.Hallar el producto de las races de la ecuacin

A)-3B)1/3C)3

3.Si x1 y x2 son las races de la ecuacin2x2 5x+1=0Hallar A)-6B)5C)1/5

4.De la ecuacin:x2 6x +13 = 0Calcular la diferencia de las racesA)B)C)

5.Formar una ecuacin de 2do. grado cuyas races son x1=3 y x2=-5A)x2 + 2x - 15 = 0B)x2 + 2x + 15 = 0C)x2 - 2x + 15 = 0

6.Formar una ecuacin de races igual a: -1/3 y 2A)3x2 + 5x + 2 = 0B)3x2 - 5x + 2 = 0C)3x2 + 5x - 2 = 0

LGEBRADESIGUALDADES E INECUACIONESCOLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINACAPTULO

MOTIVACIN:

Las desigualdades son tan importantes en las aplicaciones de las matemticas como las ecuaciones. En efecto, en el grado en que nuestro conocimiento del mundo fsico se obtiene midiendo (no meramente contando), ese conocimiento se describe por desigualdades ms bien que por ecuaciones. Por ejemplo, si decimos que el dimetro d del planeta Venus es de 7,700 millas, queremos decir que:1650 < d < 1150Un momento de reflexin muestra que era medicin absolutamente exacta de cualquier cantidad fsica tal como una distancia, un peso, una velocidad, etc., es completamente imposible; la precisin depende los instrumentos de medida, y tales instrumentos pueden hacerse solamente para medir dentro de ciertas tolerancias especificadas, nunca exactamente. Por estas razones es necesario un buen entendimiento bsico de las desigualdades.

Su representacin se da mediante los smbolos:>:que se lee : mayor que b se lee :a es mayor que ba < b se lee:a es menor que b

LEY DE LA TRICOTOMA:Dados dos nmeros reales a y b entre ellos ser posible establecer una y slo una de las siguientes relaciones:

Si se tiene: que se lee: a es mayor o igual que b que se lee: a es menor o igual que b

Se cumple:a>b a = b a-2 5- (-2) > 0 (la diferencia debe ser positiva) 7 > 0(cumple)-10 es menor que -3Por qu? Porque -10 est ubicado a la izquierda de -3 o tambin:-10b>c2do.Si:a>b m 3ro.Si:a>b m es un nmero positivo(m>0) El sentido de la desigualdad no cambia4ta.Si:a>b m es nmero negativo (m -2 -2 >-15Luego se cumple: Propiedad N 1En la recta real: Se observa 10>-15(2)Si: 5>-8 m=2 (nmero positivo)Luego si: Sumamos 2 miembros a miembro: 5+2 > -8+2 El sentido de la desigualdad no cambia por propiedad N2(3)Si: 10>-2 m=5 ( nmero positivo)Luego si: multiplicamos por 5 miembros a miembro: 10(5) > (-2) (5) El sentido de la desigualdad no cambia por propiedad N 3(4)Si: 10> -2 m=-5 (nmero negativo)Luego si: multiplicamos por (-5) miembro a miembro: (10) (-5) > (-2) (-5) El sentido de la desigualdad si cambia por propiedad N 4INTERVALO:Es un subconjunto de los nmeros reales que representan a todos los nmeros reales comprendidos entre dos extremos; llamados extremo superior y extremo inferior.Los intervalos pueden ser:(I)Intervalo acotado(II)Intervalo no acotadoEstudiemos las clases de intervalos:I.INTERVALO ACOTADOEs acotado si los extremos son nmeros reales (finito)Estos sern:I.1Intervalo cerrado.-Es un intervalo acotado, en el cual se consideran a los extremos finitos a y bGrficamente:Por definicin:El intervalo cerrado se representa: La forma de expresar que los extremos a y b s se consideran es con dos bolitas negreadas como se muestra en la figura.I.2Intervalo abiertoEs un intervalo acotado, en el cual no se consideran a los extremos a y b Graficamente:Por definicin:El intervalo abierto se representa: o La forma de expresar que los extremos a y b no se consideran es con dos bolitas vacas como se muestra en la figura.I.3.Intervalo semi-abiertoEs un intervalo acotado, en el cual un extremo es abierto y el otro extremo cerrado.As tenemos:Intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derechaPor definicin:Intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derechaPor definicin:II.INTERVALOS NO ACOTADOSSe denomina as, si por lo menos uno de los extremos tiende a o (extremos ideales)As tenemos:II.1Por definicin II.2Por definicin II.3Por definicin:INECUACIN DE PRIMER GRADO (INECUACIN LINEAL)Son aquellas que al reducir las expresiones toma una de las formas siguientes:a x + b > 0a x + b < 0Donde:ab y a; b son nmeros realesx es la incgnitaa y b son coeficientesSea la inecuacin:(i) a x + b < 0Por propiedad : si (a>0) a x > - bLuego el conjunto solucin: CS es:(ii) a x + b < 0Por propiedad : si (a>0) a x < - bLuego el conjunto solucin: CS es:PROBLEMAS PARA LA CLASE.1.Resolver A)x 5 < 2x 6B)5x 12 > 3x 4Rpta.: ........................................................2.Resolver A)3x 14 < 7x - 2B) > Rpta.: ........................................................3.Resolver A)5x + 23x + 8 B)5x - 2 < x/3 +2 Rpta.: ........................................................4.Resolver:A)B)Rpta.: ........................................................5.Resolver:3(x+2) - 12>2(x-4) - 4Rpta.: ........................................................6.Resolver:4 6(2x 1) < 3(x+4)Rpta.: ........................................................7.Resolver:(x-4)2 + 2x (x+4) (x-4) 10Rpta.: ........................................................8.Resolver:(x+5) (x 4) (x+2) (x-2) 16Rpta.: ........................................................9.Resolver:Rpta.: ........................................................10.Resolver: Rpta.: ........................................................11.Resolver:Rpta.: ........................................................12.Resolver: Rpta.: ........................................................13.Resolver: Rpta.: ........................................................14.Resolver: Rpta.: ........................................................15.Resolver: Rpta.: .......................................................TAREA DOMICILIARIA N 031.Resolver 3x+7x 4 = 8x+6Rpta.: ........................................................2.Resolverx+(3x+4)=12 (5x+1)Rpta.: ........................................................3.ResolverRpta.: ........................................................4.Resolver: Rpta.: ........................................................5.Resolver:(x 4) (x+5) < (x 3) (x 2)Rpta.: ........................................................6.Resolver:Rpta.: ........................................................7.ResolverRpta.: ........................................................8.ResolverRpta.: ........................................................9.ResolverRpta.: ........................................................10.ResolverRpta.: ........................................................TALLER DE APRENDIZAJE N 031.Resolver3(2x 1) + 5 > 2(x+3) 8A)x>-1B)x45.ResolverA)B)C)6.Resolver:GEOMETRATRINGULOS SEMEJANTESCOLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINA * COLEGIO REGINACAPTULOINTRODUCCINTRINGULOS SEMEJANTESDos o ms tringulos son semejantes si tienen sus tres ngulos congruentes y sus tres lados respectivamente proporcionales como tambin lo son sus elementos homlogos.Si: m< A mM; m< BmN; M 0x es positivo2x < 0x es negativoINTERVALOS1.2.3.4.5.PROBLEMAS PARA LA CLASE.1.Del siguiente grfico dar el intervalo para x Rpta.: ......................................................2.Calcular xRpta.: ......................................................3.Rpta.: ......................................................4.Rpta.: ......................................................5.Rpta.: ......................................................6.Rpta.: ......................................................7.Si : x < 3. Calcular : 2x-1Rpta.: ......................................................8.Si: x2. Calcular : 2x - 5Rpta.: ......................................................9.Si: x > -1. Calcular 5 - 6xRpta.: ......................................................10.Si : 2x - 3 > 5. Calcular : xRpta.: ......................................................11.Si: 3x - 27. Calcular : x Rpta.: ......................................................12.Si : 1 < x < 3. Calcular : 2x - 3Rpta.: ......................................................13.Si : -2x 5. Calcular : x Rpta.: ......................................................15.Si: -6 < x 2. Calcular el intervalo de: Rpta.: ......................................................TAREA DOMICILIARIA N 021.Del siguiente grfico. Determinar el intervalo para x.A) B)C)D)E)x>-2.Determine el intervaloA)B)C)D)x>2E)x-7D)E7E)E>56.Si : 3x-210. Calcular el intervalo de xA)x4B)x4D)x4E)x67.Si : 7x-5

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