HISTORIADE LA FISICA

CUANTICA

Heisenberg, imprecisióny revolución cuánticaA sus 32 años, Werner Heisenberg fue uno de los científicos más jóvenesentre los galardonados con el Nobel. Tras uno de los principiosfundamentales de lafísica, se halla una historia de ambicióny feroz competencia

David C. Cassidy

Entre los muchos logros cientí­ficos del siglo xx, quizás el fun­damental sea la mecánica

cuántica. Ideada por un puñado defísicos europeos de mente preclara,la ciencia del átomo exige transfor­maciones profundas y controvertidasen nuestra comprensión de la natu­raleza. La materia puede consistiren ondas o en partículas, según comola observemos; la causa y el efecto yano están íntimamente conectados.Esta interpretación de la mecánicacuántica -las prescripciones sobreel cómo y el cuándo de su uso y sobrequé nos dice del mundo físico- fueelaborada en Copenhague en 1927.Debido a la difusión que le dieron suscreadores y al éxito sorprendente queobtuvieron sus partidarios, la inter­pretación de Copenhague adquirióya en los años treinta el prestigio deque goza hoy. Pero una "interpre­tación" no es más que eso. Su origen,defensa y aceptación pudieron habersido, en aspectos importantes, frutode circunstancias históricas y prefe­rencias personales, tanto como de suvalidez científica.

El papel desempeñado en la cien­cia por el talante del hombre quedaejemplificado, quizá como en ningúnotro caso, en uno de los principalesinventores y más activos defensoresde la interpretación de Copenhague,Werner Karl Heisenberg. Ocurrió enfebrero de 1927, Y tenía 25 años, cuan­do este asistente posdoctoral de NielsBohr formuló lo que constituye sucontribución más famosa en el domi­nio de la física y es elemento clavepara la interpretación de Copenha­gue: el principio de imprecisión o inde­terminación. Como la interpretaciónde Copenhague, este principio pue­de considerarse el resultado de labúsqueda de un método coherente de

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conectar el mundo cotidiano dellabo­ratorio con ese mundo, nuevo y extra­ño, propio del minúsculo átomo.

Dicho brevemente, el principio deimprecisión afirma que la medidasimultánea de dos variables llama­das conjugadas, como la posición y elmomento lineal de una partícula enmovimiento, impone necesariamenteuna limitación en la precisión. Cuantomás precisa sea la medida de la posi­ción, tanto más imprecisa será lamedida del momento, y viceversa. Enel caso extremo, la precisión abso­luta de una de las variables implica­ría imprecisión absoluta respecto ala otra. (N. del T.: Se traduce siste­máticamente por imprecisión el tér­mino inglés uncertainty, con el quevino a expresarse el adjetivo originalalemán unscharf. Se pretende conello eliminar toda acepción psicoló­gica, de estado de la mente, que con­lleva el término castellano incerti­dumbre. Tal acepción es totalmenteausente tanto en Heisenberg comoen Cassidy.)

Esta indeterminación no debe acha­carse al experimentador, sino que setrata de una consecuencia funda­mental de las ecuaciones cuánticas yes característica de todo experimentocuántico. Más aún, Heisenberg de­claró absolutamente inevitable elprincipio de imprecisión, en la medidaen que fuera válida la mecánica cuán­tica. Era la primera vez, desde larevolución científica, que un físico deprimera línea proclamaba una limi­tación al conocimiento científico.

Junto con las ideas de Bohr y MaxBorn (otras lumbreras), el principiode imprecisión de Heisenberg cons­tituía el sistema lógicamente cerradode la interpretación de Copenhague,que Heisenberg y Born proclamaroncompleta e irrevocable ante una reu-

nión de los principales físicos cuán­ticos en octubre de 1927, con motivodel quinto congreso Solvay sobre físicafundamental celebrado en Bruselas.A las pocas semanas de ese aconte­cimiento, Heisenberg fue nomina­do para la cátedra de física teóricade la Universidad de Leipzig. Consólo 25 años, era el catedrático másjoven de Alemania.

L a extremajuventud de Heisenbergen el momento de su obra más sig­

nificativa señala un rasgo caracte­rístico que habría de definir a todasu investigación de primera hora: elansia casi insaciable de éxito acadé­mico y la necesidad de destacar comoel mejor en todo lo que hacía. De eseestado de ánimo podemos rastrear suexplicación hasta el entorno familiar.

Los Heisenberg eran una familiamuy culta y ambiciosa, que fue esca­lando peldaños hasta instalarse enla clase media alta de la sociedad ger­mana. La unificación de Alemaniabajo Otto von Bismarck hacia fina­les del siglo XIX, con el vigoroso cre­cimiento consiguiente de la econo­mía, había creado una apremiantenecesidad de burócratas, diplomáti­cos, jueces, abogados y empresarios.En consecuencia, las nuevas univer­sidades y escuelas conocieron unespectacular despegue. Y se presti­gió el reconocimiento y la remune­ración económica de los docentes y desus alumnos más brillantes.

Tanto el padre de Werner, August,como su abuelo materno, NikolausWecklein, se habían remontandodesde sus orígenes humildes hasta lacumbre de la alta burguesía alemanamediante logros académicos. Weck­lein era director de un renombradoinstituto (Gymnasium) de Munich, yAugust en 1910 fue nombrado profe-

TEMAS3!

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1. WERNER HEISENBERG realizó sus principales aportaciones a lafísica cuando apenas contaba ventitantos años de edad. La fotogra-

FENÓMENOS CUÁNTICOS

fía se tomó hacia 1924, en la Universidad de Gotinga. donde impar­tió la clase que le habilitó para una cátedra.

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2. PERSONAS QUE INFLUYERON en la vida de Heisenberg. Debemos empezar por su abue­lo, Nikolaus Wecklein (a), y su padre, August, que aparece con su esposa, Anna, y sus hi­jos, Erwin (de pie) y Werner (b). Abuelo y progenitor inculcaron afán de triunfo académicoen los dos muchachos. Heisenberg estudió con Niels Bohr (e), con quien más tarde de­sarrolló la interpretación de Copenhague. Uno de los primeros rivales de Heisenberg fueErwin Schrtidinger (d), cuyo formalismo ondulatorio constituía un reto a la mecánica ma­tricial, elaborada por Heisenberg con Max Born (e) y Pascual Jordan (f, a la derecha). Wolf­gang Pauli (g) fue una fuerza de primer orden, que ayudó a Heisenberg a elaborar el prin­cipio de imprecisión en 1927. En 1929 Heisenberg se embarcó en una vuelta al mundodocente para difundir el "espíritu de Copenhague", llegando a los Estados Unidos, Japón,China y, finalmente, la India (h).

sor de filología bizantina en la Uni­versidad de Munich. Ambos contra­jeron matrimonio dentro de su nuevasituación social.

Desde su mismo nacimiento en1901, la familia de Werner decidióque él persistiera también en ese nivelprivilegiado mediante una cómodasituación académica. Creyendo quela competencia alentaría el éxito enlos estudios, August estimuló la riva­lidad entre Werner y su hermanomayor, Erwin. Durante años los dosmuchachos pugnaron sin cuartel,hasta que un día la lucha acabó enuna pelea violenta con las sillas co­mo armas. Llegados a la edad adul­ta, cada uno siguió su propio camino- Erwin se trasladó a Berlín y se hizoquímico- y, fuera de esporádicasreuniones familiares, tuvieron pococontacto.

L a ambición de Werner por alcan­zar la cumbre se evidencia con

claridad durante el período com­prendido entre julio de 1925, cuandodesarrolló, con sus colegas Born yPascual J ordan, una descripciónmatemática de la mecánica cuántica,y febrero de 1927, cuando formuló lasrelaciones de imprecisión. La con­fluencia de dos procesos convirtió endeterminante ese afán durante dichointervalo.

En primer lugar, varias cátedrasde física teórica quedaron de repentevacantes en la Europa central de len­gua alemana. Esos cargos constituíanuna gran oportunidad para un aca­démico ambicioso como Heisenberg,que ya se había habilitado en laUniversidad de Gotinga, es decir,había sido reconocido apto para ocu­par una cátedra de enseñanza uni­versitaria.

En segundo lugar, y quizá másimportante, fue la aparición de unadescripción matemática nueva y rivalde la mecánica cuántica. Heisenbergy sus colegas habían desarrollado en1925 un formalismo de la mecánicacuántica, basado en las matemáticasabstractas del cálculo matricial. Parasus autores, esta "mecánica matri-

cial" incardinaba su voluntad de fun­darse, de manera exclusiva, en mag­nitudes observables en el laborato­rio. Sostenían puntos esenciales comola existencia de saltos cuánticos y dis­continuidades en los átomos, y recha­zaban la idea de modelos atómicosvisualizables (anschaulich).

Erwin Schrodinger, un físico vie­nés de 39 años que trabajaba enton­ces en Zurich, atacaba los enigmasde la física atómica desde un punto devista totalmente distinto y con obje­tivos enteramente otros. En una seriede artículos publicados durante laprimera mitad de 1926, Schrodingerpresentaba una ecuación de ondascuántica, basada en una hipótesisque había propuesto el doctorandofrancés Louis de Broglie. La idea,recibida favorablemente por Einstein,era que toda materia en movimientopodía considerarse como ondas. Schrb­dinger, sirviéndose de esa noción,aducía que las "ondas de materia" delelectrón excitaban modos armónicosde vibración en el interior del átomo.Estos armónicos reemplazaban losestados atómicos estacionarios dela teoría matricial; en vez de saltoscuánticos discontinuos, había tran­siciones continuas de un armónico aotro. Si eso era verdad, Schrbdingertornaba inútiles los puntos funda­mentales de la mecánica matricial deHeisenberg.

La mayoría de los físicos acogieroncon satisfacción el enfoque más fami­liar de Schrbdinger, a tendiendo pocoa su manera de interpretarlo. Estasituación cambió bruscamente enmayo de 1926, cuando Schrbdingerpublicó una prueba de que los dosformalismos rivales eran, de hecho,matemáticamente equivalentes. Hei­senberg y sus colegas matricialesrepusieron su causa y lo hicieron entérminos que fueron adquiriendo porambas partes tonos emocionales cre­cientes.

Schrbdinger no se mostraba muycooperador. En su artículo sobre laequivalencia no pondera por igual losdos esquemas opuestos, sino queresaltaba la superioridad del suyo

propio. En una famosa nota al pie,llegó a escribir: "No veo ninguna co­nexión genética de ningún tipo [en­tre el trabajo de Heisenberg y el míopropio]. Por supuesto que conocía suteoría, pero me sentía desanimado,por no decir repelido, por los méto­dos de álgebra trascendental, que amí me parecieron difíciles, y por lafalta de visualizabilidad [Anschau­lichkeit]."

En carta a su íntimo colega Wolf­gang Pauli, Heisenberg respondía enel mismo tono: "Cuanto más piensoen el aspecto físico de la teoría deSchrbdinger, más repulsiva la encuen­tro ... Lo que escribe Schrbdinger sobrela visualizabilidad de su teoría 'pro­bablemente no es del todo correcto'[eco de una expresión típica de Bohr],en otras palabras, es basura [Mist]."La única ventaja del método de Schrb­dinger, decía a quien quisiera oírlo,es que permite un cálculo simple delas probabilidades de transición ató­micas, o probabilidades de saltoscuánticos, para poder insertarlas enlas matrices de la mecánica cuántica.Pauli estaba de acuerdo.

U na lectura detenida de las obser­vaciones nos revela que lo que

provocó el conflicto no era la equiva­lencia (Pauli la había probado sinmás ni más un mes antes), sino loque cada bando sacaba de ella. Hei­senberg y su escuela matricial sehabían empeñado a fondo en las pro­piedades de la naturaleza que creíanexistir y estar incorporadas en sumecánica matricial. Habían apostadosu futuro en ese enfoque. Schrbdingerhabía arriesgado su reputación eneliminar la discontinuidad y los sal­tos cuánticos al parecer irracionales,resucitando la física de los movi­mientos ondulatorios, racionales, cau­sales y continuos. Ninguno de los dosbandos estaba dispuesto a concederal otro la superioridad, y su proba­ble consecuencia -el predominio pro­fesional-. Se debatía nada menosque la naturaleza de la orientaciónfutura de la mecánica cuántica.

Este desacuerdo espoleó aún másla ambición académica de Heisenberg.Una semanas antes de que Schrb­dinger publicara su prueba de la equi­valencia, Heisenberg había renun­ciado a una plaza de profesor enLeipzig, en favor del puesto de asisten­te de Bohr en Copenhague. El incré­dulo abuelo de Werner, Wecklein, seapresuró a viajar a Copenhague paradisuadir a su nieto de tomar dichaopción, justamente cuando aparecíael artículo de Schrbdinger sobre laequivalencia. La presión renovada

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3. CARTA ESCRITA por Heisenberg a Wolfgang Pauli, en que deriva las relaciones de im­precisión para p y q, donde P, = V2 !i.p Yq, = V2 !i.p. Este fragmento, tomado de una carta de14 páginas, fue la base de su artículo sobre el principio de imprecisión.

de Wecklein y el desafío de Schrb­dinger a las bases de la física matri­cial redoblaron los esfuerzos de Hei­senberg por producir un trabajo detan alta calidad, que pudiera adqui·rir amplia reputación profesional yle permitiera, en última instancia,hacerse con alguna otra cátedra va­cante.

Pero al menos tres sucesos de 1926ahondaron el profundo abismo in­telectual entre sus propias ideas yel punto de vista de Schrbdinger. Elprimero fueron las conferencias deSchrbdinger en Munich sobre su nue­va física, a fines de julio. Allí, mez­clado en una audiencia multitudina­ria, eljoven Heisenberg objetaba quela teoría de Schrbdinger dejaba sinexplicar diversos fenómenos. No lo­gró convencer a nadie, y abandonódesalentado la sala. A continuación,durante la reunión de otoño de loscientíficos y médicos alemanes, Hei­senberg fue testigo del soporte abru­mador -y a su juicio desquiciado­en favor de las concepciones deSchrbdinger.

Por último, en octubre de 1926 seprodujo un tenso debate, aunque enúltimo término inconcluso, entre Bohry Schrbdinger en Copenhague. Elresultado final de la disputa fue elreconocimiento de que no se disponíade ninguna interpretación entera­mente aceptable, ni del uno ni del

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momento lineal p y la posición qdeun electrón atómico, pero en su com­portamiento cuántico se manifestabaun "punto negro": "Ha de darse porsentado que las variables p están con­troladas y las q incontroladas. Estoes, sólo se pueden calcular las proba­bilidades de determinados cambios delas variables p, para unas condicio­nes iniciales dadas, y promediandosobre todos los valores posibles de lasvariable q". Por tanto, no se puedehablar de un determinado '''camino'de la partícula", escribía Pauli, ni "sepuede preguntar simultáneamentesobre el valor de la variable p y lavariable q".

Heisenberg respondió que estaba"muy entusiasmado" con la carta dePauli y con ese punto negro, sobre elque hubo de reflexionar una y otravez durante los meses siguientes. Elentusiasmo de Heisenberg culminó enuna carta de 14 páginas, enviada aPauli el 23 de febrero de 1927. Enella presentaba prácticamente todoslos elementos esenciales del artículo,que enviará a publicar un mes mástarde, titulado "Sobre el contenidointuitivo [anschaulichJ de la cine­mática y la mecánica teórico-cuánti­cas": el artículo de Heisenberg sobrela imprecisión.

Habiendo deducido las relacionesde imprecisión a partir de razona­mientos matemáticos y a partir deexperimentos mentales, Heisenbergconsideró la concordancia entre am­bas deducciones como una prueba dela validez universal de la impreci­sión. El argumento matemático co­menzaba con una función de ondascorrespondiente a una curva en formade campana o, dicho matemática­mente, a una distribución de pro­babilidad gaussiana, para la varia­ble q. El error en el conocimiento delvalor exacto de q (llamado la desvia­ción estándar) es delta q, que es­cribimos !i.q. Usando el formalismodesarrollado por Dirac y Jordan,transformó Heisenberg la distribucióngaussiana en la de su variable con­jugadap.

Al hacerlo, descubrió que, comoconsecuencia matemática, las des­viaciones estándar de las dos distri­buciones -es decir, las imprecisio­nes en los valores de q y p- están enrelación inversa una respecto a otra.Este carácter inverso puede gene­ralizarse y expresarse mediante larelación

donde h es la constante de Planck.A continuación demostró que este

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otro formalismo cuántico. Quienencontrara tal interpretación, fuerapersona o bando, podría dar cumpli­miento, expresaba Bohr abierta­mente, a sus "deseos" de cómo debieraser la física del futuro.

Puestas en marcha estas diversasmotivaciones -personales, pro­

fesionales y científicas-, Heisenbergcreyó, en febrero de 1927, haber dadode repente con la interpretación nece­saria: el principio de imprecisión. Suprogreso intelectual hacia esta idea,a finales de 1926 y principios de 1927,se apoya en la investigación de suscolegas más próximos, especialmentede J ardan y de Paul A. M. Dirac, quie­nes formularon a la vez la "teoría detransformaciones", una amalgamade matemática ondulatoria y matri­cial. El objetivo para Heisenberg y susaliados era, en aquel momento, des­cubrir un método irrefutable paraincorporar las discontinuidades enel formalismo de Dirac y Jordan.

De Pauli recibió Heisenberg unimpulso vigorosísimo para la nuevainterpretación. En una carta de 19 deoctubre de 1926, al tiempo que leinformaba de una cátedra vacante enLeipzig, Pauli aplicaba los estadosatómicos estacionarios al primer estu­dio de Born de ondas electrónicaslibres. Según sus resultados, han deelegirse variables continuas para el

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resultado no es mero constructo mate­mático, sino enteramente compati­ble con cualquier experimento ima­ginable que implique la mediciónsimultánea de pares de variables con­jugadas, como posición y momentolineal, o energía y tiempo.

La compatibilidad con el experi­mento se basaba, sin embargo, endiversas innovaciones que Heisenbergintroducía al objeto de incorporar ladiscontinuidad y las partículas. Unade ellas era la redefinición del términoalemán anschaulich (intuitivo) queaparecía en el mismo título de su ar­tículo, para significar "físico" o dotadode significado empírico, más que"visualizable" o pictórico. Con estecambio pretendía neutralizar las crí­ticas de Schrodinger, de que una físicade partículas discontinua es esen­cialmente irracional y unanschau­lich (no-intuitiva). Lo que se hallabaen íntima relación con otra innova-

ción: una redefinición de conceptosclásicos, como posición, velocidad ytrayectoria de una partícula atómica,en función de las operaciones expe­rimentales usadas para medirlas,una forma de operacionalismo. Sólolo que el físico puede medir tiene sig­nificado real, y estas medicionesmanifiestan siempre las relacionesde imprecisión.

Para eljoven Heisenberg, el princi­pio de imprecisión culminaba y

completaba la revolución cuántica,una revolución que incorporaba suscompromisos personales con los fun­damentos que él mismo había ayu­dado a establecer. Y, como para hacercallar toda objeción sobre este punto,concluía su artículo publicado conalgunas pretensiones que iban muchomás allá del razonamiento matemá­tico y el experimento mental. Con lateoría de transformaciones de Di-

rac-Jordan, declaraba, el formalis­mo cuántico queda completo y resultainalterable; las relaciones de impre­cisión son verdaderas e irrefutables,porque son una consecuencia directadel formalismo. Todas las observa­ciones experimentales anteriores yfuturas de fenómenos atómicos estánasí sometidas a tal interpretación.

Más aún, razonaba, aunque la físicacuántica contenga un elemento esta­dístico básico, éste no es una propie­dad de la naturaleza misma. Apareceen virtud de la perturbación causadapor los intentos del físico para ob­servar la naturaleza. Finalmente,presentaba su primera afirmaciónexplícita sobre la consecuencia másprofunda de la imprecisión: un de­safío a la causalidad.

El principio de causalidad requiereque todo efecto sea precedido por unacausa única. Esta idea había servidodurante más de un siglo como hipó-

El experimento mental con el microscopio de rayos gamma

y

" h ep x - ""'i: sen -.

2h!'>.Px - T sene.p'~ - p'x

LENTE-OBJETIVODEL MICROSCOPIO

El momento lineal final en la dirección x ha de ser enambos casos igual al lineal; por consiguiente,

P'x he" h e+ T sen - = p x - ""'i: sen - .

Si e es pequeño, entonces es'A. , - 'A." - 'A. ,

longitud de onda del rayo gamma desviado, h es la cons­tante de Plank (que relaciona la frecuencia del fotón con

su energía), y ~ es el momento lineal total del fotón rayo

gamma, según lo definen los principios cuánticos. En elotro extremo, el rayo gamma se dispersa hacia atrás, impac­tando justamente en el borde izquierdo de la lente. En estecaso, el momento lineal total en la dirección x es

Para demostrar el principio de imprecisión, Heisenbergofreció un experimento mental. Usando un microsco­

pio cuya resolución era alta, por basarse en rayos gammapara su iluminación, intentó mostrar que la posición y elmomento lineal del electrón obedecían al principio de impre­cisión. Aunque Heisenberg logró los resultados correctos,Bohr le señaló que el experimento original descuidaba dospuntos esenciales: el poder de resolución del microscopioy la dualidad onda-corpúsculo.

En la versión correcta, un electrón libre está directamentedebajo de la lente (el objetivo) del microscopio. El objetivocircular forma un cono de ángulo 2e con vértice en el elec­trón. El electrón es iluminado por un rayo gamma provenientede la izquierda. Según un principio de óptica ondulatoria, elmicroscopio tiene capacidad de resolución para objetos dehasta un tamaño !'>.x, relacionadocon e y con la longitud de la onda,'A. , mediante la expresión

!'>.x = ~sene2

En el momento en que la luz sedifracta en el objetivo del micros­copio, el electrón retrocede haciala derecha. Después de la colisión,el rayo gamma observado podríahaberse dispersado con un ángulocualquiera dentro del cono 2e. Enel caso extremo de dispersión haciaadelante hasta tocar el punto delborde más a la derecha de la lente,el momento lineal en la direcciónxsería

, h ePx + T sen -,

donde p'x es el momento lineal delelectrón en la dirección x, 'A. , es la

}-+-+-f--~----::::O>;X.

P 'A..uesto que !'>.x = '2 sene, eXIs-

te una relación inversa entre la im­precisión mínima en la medida dela posición del electrón a lo largodel eje xy la de su momento linealen la dirección x:

Para imprecisiones mayores queese mínimo, puede introducirseuna desigualdad

!'>.Px • /';,x ~ h,

que aproxima la relación de impre­cisión de Heisenberg.

FENÓMENOS CUÁNTICOS 11

4. HEINSEBERG a los 65 años, de vuelta a Leipzig para impartir un cursode conferencias como profesor invitado. Cayó enfermo años más tardey murió de cáncer en 1976.

tesis básica de prácticamente todaslas formas de investigación racional.Se le reconoce al matemático francésLaplace la definición quizá más sim­ple de causalidad, en su aplicación ala mecánica newtoniana: Si sabemoscon exactitud la posición y el momentolineal de una partícula en un ins­tante dado, conociéndose ademástodas las fuerzas que actúan sobre lapartícula, su movimiento queda en­tonces completamente determinadopor las ecuaciones mecánicas paratodo el futuro.

El principio de impre­cisión, asevera Heisen­berg, niega eso. "En la for­mulación estricta de la leycausal -si conocemos elpresente, podemos calcu­lar el futuro- no es falsala conclusión, sino la pre­misa." Los valores inicia­les del momento lineal yla posición no pueden sersimultáneamente medi­dos con absoluta precisión.Razón por la cual, sólopuede calcularse una ga­ma de posibilidades parala posición y el momentolineal de la partícula en uncierto tiempo futuro. Delmovimiento real de la par­tícula resultará, sin em­bargo, una única posibili­dad. La conexión causalentre presente y futuro sepierde, y las leyes y pre­dicciones de la mecánicacuántica resultan de natu­raleza puramente proba­bilística, o estadística.

El artículo de Heisen­berg sobre el principio deimprecisión era profundoy trascendental en casitodos sus aspectos. Ade­más de satisfacer estric-tamente sus propósitos, elartículo de Heisenberg estaba "corta­do a su medida". Cuando su mentor,Bohr, le señaló un error en el argu­mento, Heisenberg defendió su posi­ción obstinadamente en una batallaque en la primavera de 1927 degeneróen lo que Heisenberg llamó "granmalentendido personal". El errorimplicaba la confianza absoluta deHeisenberg en la discontinuidad ylos aspectos corpusculares del cuantode luz, en uno de sus experimentosmentales básicos, el llamado micros­copio de rayos gamma.

Bohr, que había estado de va­caciones en la nieve, se encontró so­bre la mesa, a su regreso, el borra­dor del artículo de Heisenberg. Al

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enviárselo a Einstein, cumpliendo elruego de Heisenberg, Bohr se le que­jaba de que el enfoque del autor pe­caba de excesiva estrechez y que elmicroscopio de rayos gamma era falsode arriba abajo, aunque el resultadofuera correcto. Para Bohr, las rela­ciones de imprecisión no surgían sólodel formalismo, de las re-definicionesde los conceptos clásicos y de la pri­macía de la discontinuidad y los cor­púsculos sobre las ondas continuas.También eran decisivas la dualidad

onda-partícula y, en el microscopio derayos gamma, la dispersión de ondasde luz sobre el electrón dentro delobjetivo del microscopio.

Las imágenes ondulatoria y cor­puscular eran complementarias unade otra, descripciones mutuamenteexclusivas pero conjuntamente esen­ciales. Bohr objetaba que el experi­mentador ha de elegir o la imagenondulatoria o la corpuscular, paraanalizar con ella el experimento. Elprecio a pagar por dicha opción pro­ducía una restricción sobre lo quepodía enseñarnos el experimento,limitación que venía representadapor las relaciones de imprecisión.Para Bohr, el argumento de Heisen-

berg era tan sólo un caso particularde lo que Bohr iba llamando ya com­plementariedad.

Heisenberg estaba en vehementedesacuerdo. Insistiendo en el

empleo primordial de partículas ydiscontinuidad, rechazó de plano lasugerencia que le hizo Bohr de reti­rar su artículo; lo había enviado enel ínterin a su publicación. Heisenbergno podía tolerar un uso extensivo deondas o de nociones de mecánica ondu-

latoria, ni podía dejar depublicar su propia y másimportante contribuciónal debate de la interpre­tación. La subsiguientebatalla con Bohr se hizotan intensa que, según sedice, durante uno de estosencuentros Werner esta­lló en lágrimas e inclusoconsiguió ofender al im­perturbable Bohr con al­gunas observaciones du­ras. Evidentemente habíamuchas cosas en juegopara el joven de 25 años:sus nuevas concepciones,sus planes académicos yquizá también su deseode paridad intelectual consus mentores. En mayoapareció su artículo enuna de las principales re­vistas de física alemanas,sin ninguna revisión; síagregaba un breve post­scriptum, donde admitíael error del microscopio yllamaba la atención dellector sobre algunos pun­tos esenciales del razo­namiento de Bohr.

Cuatro meses más tar­de, Heisenberg había en­jugado ya sus ojos y cam­biado de tono: parecíaestar agradecido por la

crítica de Bohr. Tras ofrecer Bohr suprimera presentación de la com­plementariedad ante una audienciareunida en el lago Como en septiem­bre de 1927, Heisenberg, antes tanseguro de su imprecisión, brindó aBohr el primero de sus generosos re­conocimientos. En la versión publi­cada de la discusión que siguió al ar­tículo de Bohr en Como, Heisenbergle agradeció por esclarecer la impre­cisión "en todos sus detalles" y porenunciar lo que vino a conocerse comola interpretación de Copenhague.

El cambio de corazón en Heisenbergpudo haberse iniciado con la reali­zación de su ambición. Porque elmismo mes del congreso de Como, se

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• Disimetría de la naturaleza

Prensa Científica, S. A.

Un volumen de 22 x 23,5 cmy 230 páginas, profusamenteilustrado en negro y en color.

SUMARIO

LA SEGUNDA LEY

P. w. ATKJNS

• Cuenta y razón del caos

• Transformaciones del caos

• Colapso en el caos

• El indicador del cambio

• Estructuras del caos

• Potenciasde la temperatura

• Caos constructivo

• Aspectos formales

• Juegos

• Potencia del caos

contribuye de alguna manera a ladifusión de este Kopenhagener Geistder Quantentheorie ... [espíritu deCopenhague de la física cuántica... J,que ha dirigido todo el desarrollo dela moderna física atómica."

El suministrador de ese espírituretornó a Leipzig con sus primeroscompromisos científicos, esta vezampliamente aceptados por una pro­fesión que le proporcionó posicionesprominentes en el aspecto insti­tucional y en el aspecto científico. En1933 la profesión le otorgó a Heisen­berg, con Schrbdinger y Dirac, el reco­nocimiento supremo de su trabajo: elpremio Nobel.

THE SHAKY GAME: EINSTEIN, REALISM ANDTHEQUANTUMTHEORY. ArthurFine. Uni­versity of Chicago Press, 1986.

SCHRÓDINGER: LIFE AND THOUGHT. Walter1. Moore. Cambridge University Press,1989.

NIELS BOHR's TIMES: IN PHYSICS, PHILO­SOPHY AND POLITY. Abraham Pais. Ox­ford University Press, 1991.

UNCERTAINTY: THE LIFE AND SCIENCE OFWERNER HEISENBERG. David C. Cassidy.W. H. Freeman and Company, 1991.

BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA

Aunque se le celebre, con todajus­ticia, como uno de los físicos más

eminentes de los tiempos modernos,no han faltado voces que le han cri­ticado su comportamiento tras lasubida de Hitler al poder. No militónunca en el partido nacionalsocia­lista, pero ocupó cargos académicosde altísimo rango y se convirtió eninterlocutor de la cultura alemanaen los territorios ocupados. Recha­zando repetidos ofrecimientos de emi­gración, dirigió el principal esfuerzode investigación sobre la fisión deluranio para el Tercer Reich. Despuésde la guerra ofreció diversas expli­caciones de sus actividades, queempañaron aún más su reputación enel extranjero. La enigmática yuxta­posición de ese comportamiento cues­tionable y una física brillante reflejalos delicados compromisos del cien­tífico y la ciencia durante un sigloturbulento y a veces brutal. Hijo lealde Alemania, Heisenberg, que veíatan profundamente en la naturaleza,encontró difícil distinguir y aceptarcuán trágicamente se había des­carriado su país. Murió de cáncerde riñón y vesícula biliar en su casa deMunich en 1976.

enteró de su inminente llamada a lacátedra de Leipzig. Al menos había­se cumplido esa meta.

Al apaciguarse en Heisenberg eldeseo de demostrar su capacidad y susaportaciones a la mecánica cuántica,surgió en él otro que ahora incluía aBohr: la voluntad de crear en Leipzigun programa de investigación per­manente y de primera línea, basadoen la física. Además de reforzar lodefectuosamente argumentado so­bre la imprecisión, las explicacionesde Bohr proporcionaban un punto deapoyo para los seguidores del danésque, como Heisenberg, estaban ansio­sos por una física completa que poderpropagar desde sus cátedras reciénadquiridas y explotar en sus artícu­los. Heisenberg y otros discípulos deBohr ya no prestaron su fidelidad aprogramas y descubrimientos indi­viduales, como la mecánica matricialo la imprecisión, sino al "espíritu deCopenhague".

Heisenberg y otros consiguieronasegurar la aceptación de su inter­pretación, a pesar de las prolongadasobjeciones de Einstein y Schrbdin­ger. Durante la media década quesiguió a la reunión de Como y el ulte­rior congreso Solvay, Heisenberg y suinstituto produjeron teorías cuánti­cas muy importantes: cristales deestado sólido, estructura molecular,dispersión de radiación por núcleos,y la estructura neutrónico-protónicade los núcleos. Con otros expertos,dieron pasos de gigante hacia unateoría cuántica de campos relativis­ta y sentaron los fundamentos de lainvestigación sobre física de altasenergías.

Tales éxitos atrajeron a los mejo­res alumnos hacia institutos como elde Heisenberg. Esos estudiantes,amamantados con la doctrina deCopenhague, formaron una nuevageneración de físicos, predominante,que difundieron por todo el mundoesas ideas, cuando el ascenso de Hitleral poder, en los años treinta, les obligóa emigrar y dispersarse.

Heisenberg y otros de la escuela deCopenhague no consumieron muchotiempo en explicar su doctrina a losque no viajaron a los institutos euro­peos. Aquél, en particular, encontróen los Estados Unidos un campo fér­til para el proselitismo. Durante unavuelta alrededor del mundo con Diracen 1929, Heisenberg impartió en laUniversidad de Chicago unas clasessobre la doctrina de Copenhague quetuvieron un enorme impacto. En elprólogo a la publicación de esas cla­ses, escribió: "El objetivo de este librome parece que quedará alcanzado, si

FENÓMENOS CUÁNTICOS 13

Dirac y la bellezade la físicaPrefería la teoría bella a la corroborada con hechospero fea porque, advertía, los hechos cambian.Ello le llevó a predecir la existencia de antimateria

R. Corby Hovis y Helge Kragh

A los físicos distinguidos que vi­. sitan la Universidad de Moscú

se les pide que dejen en ciertapizarra una sentencia para la poste­ridad. Niels Bohr, el padre de la teo­ría cuántica del átomo, escribió allíla divisa de su famoso principio decomplementariedad: "Contraria noncontradictoria sed complementa sunt"("los contrarios no son contradictoriossino complementarios"). Hideki Yu­kawa, el pionero de la moderna teo­ría de las fuerzas nucleares fuertes,grabó con tiza la frase: "La natura­leza es, por esencia, simple". PaulAdrien Maurice Dirac eligió el epí­grafe: "Una ley física tiene que poseerbelleza matemática".

Hace exactamente 40 años Diracescribía en Scientific American: "Dioses un matemático excepcional, queusó matemáticas muy avanzadas pa­ra construir el universo."[Véase "Laconcepción física de la naturaleza",TEMAS DE INVESTIGACIÓN y CIENCIA,número 10]. Inspirado por las concep­ciones de Albert Einstein y HermannWeyl, Dirac llegó a preocuparse, másque cualquier otro físico moderno, dela ide,a de "belleza matemática" comorasgo intrínseco de la naturaleza ycomo guía metodológica para su in­vestigación científica. "Una teoríacon belleza matemática es más pro­bablemente correcta que otra fea,aunque ésta case con unos cuantosdatos experimentales", aseguraba.

La preocupación de Dirac por laestética y la lógica de la física mate­mática,junto con su reticencia e intro­versión legendarias han hecho de éluna de las figuras más enigmáticasentre los grandes científicos del si­glo xx. Desgraciadamente, su racio­nalismo exagerado parece haberleconducido también a desviacionesestériles, tras unos años iniciales deéxito asombroso. Entre los 23 y los

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31 años Dirac descubrió una originaly potente formulación de la mecánicacuántica, una teoría cuántica de laemisión y absorción de radiación porlos átomos (una versión primitivapero importante de la electrodiná­mica cuántica), la ecuación de ondasrelativista para el electrón, la ideade antipartículayuna teoría de mono­polos magnéticos. Con todo, muypocas de sus contribuciones ulterio­res tuvieron valor perdurable, y nin­guna el carácter revolucionario de suobra inicial.

D irac había nacido en 1902 en Bris­tol, como el segundo de tres hijos,

en el seno de una familia que hoy tilda­ríamos de disfuncional. La calamidadde la familia era su cabeza, CharlesAdrian Ladislas Dirac, que había emi­grado de Suiza a Inglaterra hacia1890, y había encontrado y tomado poresposa allí a Florence Hannah Holten,la hija de un capitán de barco. Charlesse ganaba la vida enseñando su len­gua nativa, el francés, en el InstitutoTécnico Merchant Venturers' de Bris­tol, en el que fue tristemente famosopor imponer una rígida disciplina. Elhogar Dirac era gobernado por él segúnlos mismos principios de organiza­ción militar. Obviando toda manifes­tación de sentimientos e identificandoamor paterno con disciplina, aprisionóa sus hijos en una tiranía domésticaque les aisló de la vida social y cul­tural. No pudiendo o no queriendo su­blevarse, Paul se refugió en la segu­ridad del silencio y se distanció de supadre. Esos años de infelicidad le mar­caron para toda la vida. Al morirCharles Dirac en 1936, Paul no se afli­gió. "Me siento ahora mucho más li­bre", le escribía a su mujer.

Paul poseía un rico mundo interiordonde refugiarse. A una edad muytemprana mostró su aptitud por las

matemáticas. A los 12 años se ins­cribió en el Merchant Venturers', cen­tro que, a diferencia de la mayoría delos demás de su tiempo, no ofrecía unaeducación clásica en latín y griego,sino un plan de estudios moderno,con ciencias, lenguas modernas y ofi­cios. Estos estudios se adecuabanmuy bien a Dirac, pues, según élmismo dijo, "no apreciaba el valor delas culturas antiguas". Una vez aca­bado este programa de nivel secun­dario, pasó a otra institución ubicadaen los mismos edificios, la escuela deingeniería de la Universidad de Bris­tol. Allí se preparó en la especialidadde electricidad, no por tener graninterés en la ingeniería, sino por creerque eso daría gusto a su padre.

El plan de estudios de ingenieríaexcluía toda materia que no fuesefísica aplicada o matemáticas. A pesarde estas omisiones, Dirac sintió lafascinación y obtuvo pronto el domi­nio de las nuevas teorías einsteinia­nas del espacio, el tiempo y la gravi­tación -las teorías de la relatividadespecial y general.

Cuando Dirac se graduó en 1921,con las máximas clasificaciones,

la depresión económica de la pos­guerra parecía que iba a dejarle sintrabajo. Le salvó una beca para estu­diar matemáticas en Bristol, tras lacual, en el otoño de 1923, comenzó susestudios de posgrado de matemáticasy física teórica en la Universidad deCambridge, constituida por entoncesen centro de científicos consumados(JosephLarmor, J. J. Thomson, ErnestRutherford, Arthur Stanley Eddingtony James J ean) y de jóvenes estrellas(James Chadwick, Patrick Blackett,Ralph Fowler, Edward Milne, DouglasR. Hartree y Peter Kapitza). A Diracse le asignó Fowler como director detesis, y de él aprendió teoría atómica

TEMAS 31

1. "ERA ALTO, macilento, desmañado y extremadamente taciturno", escribió el físico y bió­logo alemán Walter Elsasser. "Había logrado que todo lo que en él había se pusiese en unsolo afán. Era hombre de altísima categoría en un campo, pero al que había quedado pocointerés y competencia para otras actividades humanas... En otras palabras, era el prototipode mente matemática superior. Mientras que en otros ésta había coexistido con una multi­tud de intereses, en el caso de Dirac todo confluía hacia la realización de su gran misión his­tórica, el establecimiento de la nueva ciencia, la mecánica cuántica, a la que probablemen­te contribuyó como el que más."

y mecánica estadística, materias queno había estudiado anteriormente.De estos días recordará más tarde:"Me encerraba totalmente en el traba­jo científico, y perseveraba en él muya gusto día tras día, excepto los domin­gos, en que descansaba y, si el tiempoera bueno, me daba un largo paseo soli­tario por el campo".

A los seis meses de su llegada a launiversidad, publicaba Dirac su pri­mer artículo científico, y en los dosaños siguientes publicó 10 más. Almomento de concluir su tesis docto­ral, en mayo de 1926, había descu­bierto una formulación original de lamecánica cuántica, y había impar­tido un curso de mecánica cuántica,el primero ofrecido en una universi­dad británica. Al cabo de sólo 10 años

. de pisar Cambridge, recibirá el No­bel de física, por su "descubrimientode nuevas y fructuosas formulacio­nes de la teoría de los átomos... y porsus aplicaciones".

L os ocho años de esplendor de Diraccomenzaron un buen día del mes

de agosto de 1925, en el que recibióde Fowler las pruebas de imprentade un artículo aún no publicado deWerner Heisenberg, un joven físicoteórico alemán. El artículo trazabalas bases matemáticas de una revo­lucionaria teoría de los fenómenosatómicos, que será pronto conocidacomo "mecánica cuántica". Dirac sedio cuenta inmediatamente de que eltrabajo de Heisenberg abría una víaenteramente nueva de contemplar elmundo a una escala ultramicroscó­pica. Durante el año siguiente refor­muIó la intuición básica de Heisen­berg, estableciendo una teoría originalde la mecánica cuántica, que fue cono­cida como álgebra de "números-q",por denominar así Dirac las magni­tudes físicas "observables", tales comoposición, momento o energía.

Aunque este trabajo le ganó prontoa Dirac un reconocimiento interna­cional, muchos de sus resultadoshabían sido obtenidos simultánea­mente por un potente grupo de físi­cos teóricos que trabajaban en Ale­mania, entre ellos Heisenberg, MaxBorn, Wolfgang Pauli y PascualJordan. Dirac competía abiertamentecon ellos. Born, Heisenberg y J ordanelaboraron el esquema inicial de Hei­senberg mediante el álgebra de matri­ces. Luego, en la primavera de 1926,el físico austríaco Erwin Schrodingerelaboró otra teoría cuántica, la mecá­nica ondulatoria, que conducía a losmismos resultados que las teoríasmás abstractas de Heisenberg y Dirac,y se prestaba más fácilmente al cálcu-

lo. Muchos físicos sospechaban queesos tres sistemas eran meras re­presentaciones particulares de unateoría más general de la mecánicacuántica.

Durante una estancia de seis mesesen el Instituto de Física Teórica de

Copenhague, Dirac encontró esa teo­ría general que tantos investigado­res habían esperado -un sistemaque subsumía todos los esquemasparticulares y proporcionaba reglasdefinidas para transformar un es­quema en otro. Esta "teoría de trans-

FENÓMENOS CUÁNTICOS 15

Hechos memorablesEn 1931, siendo profesor en Cambridge,Nevill Mott escribía a sus padres: "Diracse parece mucho a la idea que nos hemosformado de Gandhi. Le hemos tenido aquía cenar ... Ha sido una cenita estupenda.pero estoy seguro de que no le habríapreocupado si no le hubiéramos dado másque 'porridge' (gachas de avena). Se vaa Copenhague por la ruta del mar delNorte porque piensa que debe curarse así mismo de los mareos en barco. Es total­mente incapaz de aparentar que piensaalgo que realmente no piense. En la épocade Galileo habría sido un mártir muy satis­fecho". Dirac asistió una vez a un almuerzocon Eugene Wigner y Michael Polanyi.

Eugene Wigner

J. Robert Oppenheimer

Se entabló allí una viva discusión sobreciencia y sociedad, durante la cual Diracno dijo una palabra. Interpelado para queinterviniera y diera su opinión, respondió:"Siempre hay más gente dispuesta a hablarque dispuesta a escuchar". Un físico fran­cés que a duras penas hablaba inglésacudió en cierta ocasión a visitarle. Diracle escuchaba pacientemente mientras elpobre hombre se esforzaba por encontrarlas palabras inglesas correctas con queexponer su asunto. En ese momento entróen la habitación su hermana y le pregun­tó a Dirac algo en francés, a lo que él con­testó también en un fluido francés. Na­turalmente el visitante se puso furioso, yle preguntó indignado: ¿Por qué no me

ha dicho que sabía francés? Contestaciónconcisa de Dirac: "Usted nunca me lo pre­guntó".Cuando Dirac pasó por Berkeley caminodel Japón en 1934, J. Robert Oppenhei­mer salió a su encuentro y le ofreció doslibros que le ocuparan durante el viaje.Dirac cortésmente los rechazó, diciendoque el leer libros impide pensar. Una vezel físico ruso Peter Kapitza dio a Dirac unatraducción inglesa de Crimen y castigo,de Dostoievski. Pasado cierto tiempo, Ka­pitza le preguntó si había disfrutado. A loque respondió: "Es un libro bonito, pero enuno de los capítulos el autor comete unerror. Describe el sol saliendo dos vecesen un mismo día."

Peter Kapitza

formaciones" de Dirac,junto con otrateoría semejante elaborada al mismotiempo por Jordan, proporcionó labase de todos los ulteriores desarro­llos de la mecánica cuántica.

E126 de diciembre de 1927 el físicoinglés Charles G. Darwin (nieto

del famoso naturalista) escribía aBohr: "He estado en Cambridge hacepocos días y he visto a Dirac. Acabade obtener un sistema de ecuacionescompletamente nuevo para el elec­trón, que proporciona el espín correctoen todos los casos, y parece ser 'lacosa'. ¡SUS ecuaciones son ecuacio­nes diferenciales de primer orden, yno de segundo!".

La ecuación de Dirac para el elec­trón era realmente "la cosa", puessatisfacía inmediatamente las exi­gencias de la teoría especial de larelatividad, y daba cuenta del "espín"del electrón experimentalmente ob­servado, que puede tomar uno de losdos valores, +1/2 o -1/2, "arriba" o"abajo". La ecuación original deSchrodinger no había logrado haceresto, porque no era relativista, y suextensión relativista, la ecuación de

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Klein-Gordon, no podía dar cuentadel espín.

El uso de derivadas sólo de primerorden era crucial por dos razones. Enprimer lugar, Dirac deseaba conser­var la estructura formal de la ecua­ción de Schrodinger, que contenía unaderivada de primer orden en el tiempo.En segundo lugar, necesitaba satis­facer las exigencias de la relatividad,que ponen en pie de igualdad espacioy tiempo. La difícil reconciliación dira­quiana de los dos criterios era a la vezbella y funcional: al aplicar la nuevaecuación al caso de un electrón quese mueve en un campo electromag­nético, salía automáticamente el valorcorrecto del espín del electrón.

Esta deducción de una propiedada partir de primeros principios impre­sionó a los físicos, que aludían a laecuación como "un milagro" y "unaabsoluta maravilla", y se dedicabana analizar sus sutilezas. Esta líneade investigación condujo al nacimien­to del análisis espinorial -potenteherramienta matemática para ana­lizar problemas de prácticamentetodas las ramas de la física- y con­dujo también al desarrollo de la ecua-

ción de ondas relativista para partí­culas con espín distinto de 1/2. Otroéxito consistió en que Dirac y otros,aplicando esta ecuación al átomo dehidrógeno, lograron reproducir exac­tamente las líneas observadas en suespectro. Al cabo de un año escaso desu publicación, la ecuación de Diracse había convertido en lo que siguesiendo hoy: una piedra angular de lafísica moderna.

Además de adorador de la lógicamatemática, Dirac era maestro

consumado de la intuición. Estos ras­gos intelectuales de contradictoriaapariencia destacaron, más que enningún otro asunto, en su desarrollode la teoría de los "agujeros" entre1929 y 1931. Con dicha teoría alum­bró todo un mundo que había escapa­do al conocimiento de los físicos.

La teoría surgió cuando Dirac sedio cuenta de que su ecuación no sólotenía soluciones correspondientes alos electrones de energía positiva,sino también otras correspondientesa electrones de energía negativa.Tales partículas deberían mostrarpropiedades muy peculiares. Además,

TEMAS 31

Erwin Schriidinger

tía exactamente lo que acababa de decir,usando las mismísimas palabras.

Escribía en 1977: "De todos los físicos quehe conocido, creo que ninguno me haparecido más estrechamente semejantea mí que Schrodinger. Con él me poníade acuerdo antes que con ningún otro.Creo que la razón de ello es queSchródinger y yo teníamos en común unenorme aprecio por la belleza matemá­tica... Para nosotros era una especie deacto de fe que cualesquiera ecuacionesque describan leyes fundamentales de lanaturaleza tienen que encerrar en sí unagran belleza matemática,"

cir una entidad nueva e inobserva'da.Además, si los protones podían serinterpretados como estados de ener­gía negativa no ocupados por electro­nes, el número de partículas elemen­tales se reducía a una, el electrón. Talsimplificación era "el sueño de los fi­lósofos", según declaraba Dirac.

Pero las objeciones a esa interpre­tación inicial de los agujeros resul­taron pronto abrumadoras, y en mayode 1931 Dirac se decidió, a su pesar,por el segundo candidato a agujero,el antielectrón: "Un nuevo tipo de par­tícula, desconocido de la física expe­rimental, que tiene la misma masaque el electrón y carga opuesta". Latotal simetría en esta teoría entrecargas positivas y negativas le impul­só a admitir también el antiprotón enel ámbito de la existencia teórica.Dirac doblaba así el número de par­tículas elementales que había de ad­mitirse, y fijaba las bases para espe­cular sobre mundos enteros hechosde antimateria.

Dirac defendía también la exis­tencia de otra partícula hipotética, elmonopolo magnético, que tendría unacarga magnética aislada, como tienencarga eléctrica el electrón o el protón.Ni aun hoy contamos con una pruebaexperimental concluyente en favorde los monopolos.

En septiembre de 1932 fue elegidopara la cátedra Lucasiana de Cam­bridge, la famosa cátedra de matemá­ticas que en su tiempo había ocupadoNewton durante 30 años, y en la queDirac permanecerá 37 años (actual­mente la ocupa Stephen W. Hawking).Ese mismo mes, Carl D. Anderson, unjoven físico experimental del Institutode Tecnología de California, enviabaa Science un artículo en el que des­cribía la detección, en los rayos cós­micos, de "una partícula cargada po­sitivamente que poseía una masacomparable a la del electrón". Aunqueel descubrimiento no estaba en modoalguno inspirado por la teoría de Di­rac, la nueva partícula, apodada "posi­trón", será universalmente identifi­cada con el antielectrón de Dirac. Endiciembre de 1933, al recibir su pre­mio Nobel en Estocolmo, Dirac, a los31 años, daba su conferencia sobre la"Teoría de electrones y positrones".Tres años después Anderson, tam­bién de 31 años, recibía el premioNobel por haber sacado la partículade Dirac del ámbito de lo hipotético.

L a electrodinámica cuántica (EDC)es el nombre dado a la teoría cuán­

tica del campo electromagnético.Hacia mediados de los años 30, losintentos de formular una teoría cuán-

Pero, ¿con qué partícula podríaidentificarse un agujero? En aqueltiempo, dos eran los candidatos ima­ginables, y ambos fueron considera­dos por Dirac: el protón y el electrónpositivo. Su primera elección, el pro­tón, se enfrentó casi inmediatamentecon dos serias dificultades. En primerlugar, era de suponer que un elec­trón podría caer ocasionalmente den­tro de un agujero y llenarle, en cuyocaso ambos se aniquilarían produ­ciendo un destello de luz (rayosgamma). Pero tales aniquilacionesprotón-electrón no se habían ob­servado nunca. En segundo lugar, re­sultaba evidente que el candidatocorrecto tenía que ser idéntico al elec­trón en todos los aspectos, salvo enla carga eléctrica; sin embargo, lamasa del protón, como era bien sabido,multiplicaba unas 2000 veces la delelectrón.

Con todo, llevado del deseo de sim­plicidad, Dirac estaba a favor del

protón como agujero. En 1930 elec­trón y protón eran las únicas partí­culas fundamentales conocidas, y nole apetecía lo más mínimo introdu-

las partículas de energía positivadeberían ir cayendo constantementea esos estados de energía negativa,¡provocando así el derrumbe de nues­tro mundo circundante!

A finales de 1929 encontró una esca­patoria al enigma creado por la apa­rente necesidad de que se den en lanaturaleza electrones de energíanegativa. Imaginó que el vacío cons­tituía un "mar" uniforme de estadosde energía negativa, todos llenos deelectrones. Puesto que el principio deexclusión de Pauli prohíbe que doselectrones ocupen el mismo estadocuántico, los electrones de energíapositiva se mantendrían por encimadel mar invisible, formando los esta­dos "excitados" que observamos en lanaturaleza. Un estado excitado podríacrearse también inyectando suficienteenergía positiva para extraer del marun electrón, proceso que dej aría un"agujero" en el que podría caer otroelectrón de energía negativa. "Estosagujeros serían objetos de energíapositiva, y por consiguiente seríanen este respecto semejantes a las par­tículas ordinarias", escribía Dirac aprincipios de 1930.

Porque se lo aconsejaron, leyó tambiénGuerra y paz de Leon Tolstoi; tardó dosaños en acabar la novela.Dirac rehuía la publicidad. En un primermomento, se sintió tentado de no acep­tar el Nobel. El día en que se anunció sunombramiento para la cátedra Lucasiana,se escapó al zoo para evitar las muchasfelicitaciones. Rechazó todos los docto­rados honoris causa -por más que se leotorgaran muchos en su ausencia, y porlo que parece sin su aceptación.

Alrededor de 1950 se le asignó la tutoríadel doctorado en Cambridge de DennisSciama. Cierto día, entró éste entusias­mado en el despacho de Dirac: "Profesor,se me acaba de ocurrir un método de rela­cionar la formación de las estrellas conlas cuestiones cosmológicas. ¿Quiere quese lo cuente?" Respuesta de Dirac: "No".Se acabó la conversación, Parece queDirac no se daba cuenta de que su bre­vedad yfranqueza podía percibirse comodescortesía o insolencia. En sus clasesse esforzaba por presentar su manual conla máxima lucidez y claridad. Considerabaabsurdo modificar esas frases cuidado­samente elegidas sólo porque no hubie­sen sido entendidas, Más de una vezalguien de la audiencia le pidió repetir unpasaje que no se había entendido, dandoa entender que le agradaría oír una acla­ración ulterior, En tales casos Dirac repe-

FENÓMENOS CUÁNTICOS 17

2. EL CONCEPTO DE ANTIMATERIA, que introdujo Dirac en 1931, surgía directamente de suteoría de los "agujeros", bosquejada aquí en una carta a Niels Bohr con fecha 26 de no­viembre de 1929, que ilustra, en pulcra escritura, la claridad y concisión que le definían.

~ b~~ CI4 Q,~ ~dv-T~ ~,~

~~ ti.. ~~~ (l.~. t4fU ~~) tN.~

~ t. ~ -~ ~ :.....t¡.I1:-. 't~) G'\t, «),.,.,~

que admitir, no sólo que se había qiIe­dado aislado en la comunidad cien­tífica, sino también que ninguna desus muchas propuestas para recons­truir la EDC había tenido éxito.

La lucha de Dirac por una teoríacuántica de campos distinta obtuvo,no obstante, algunos subproductosvaliosos. Uno de ellos fue la impor­tante teoría clásica del electrón antesmencionada. Otro fue una notaciónpara la mecánica cuántica conocidacomo el formalismo de "bras" y "kets"(del inglés "bracket", paréntesis), queintroducía elegantemente en la físicacuántica las potentes matemáticasde espacios vectoriales (o "espacios deHilbert", como se les designa a veces).Este formalismo se difundió amplia­mente a través de la tercera edición(1947) de su prestigioso libro de textoPrincipios de mecánica cuántica, y hasido desde entonces el lenguaje mate­mático preferido para este tema.

Por lo general, Dirac sólo había tra­bajado en áreas de la teoría cuánticamuy especializadas. Resultó por elloalgo sorprendente que en 1937 seaventurara a entrar en la cosmolo­gía con una idea nueva, y que luegola desarrollara hasta obtener un mo­delo concreto de universo. Su interéspor este tema había sido inspirado engran parte por dos de sus antiguosprofesores de Cambridge, Milne yEddington, y por discusiones con unbrillante joven astrofísico indio, Su­brahmanyan Chandrashekhar, cuyotrabajo de doctorado en Cambridgehabía dirigido en parte Dirac. Al prin­cipio de los años 30, Eddington sehabía embarcado en un programa deinvestigación ambicioso y heterodoxo,que pretendía deducir las constantesfundamentales de la naturaleza enla­zando teoría cuántica y cosmología.Esta búsqueda de una "teoría funda­mental", según la llamaba Eddington,extendió la investigación racionalhasta introducirla en el ámbito de laespeculación metafísica -produ­ciendo, según acusaba un crítico, una"combinación de parálisis de la razóncon intoxicación de la fantasía". Diracera escéptico respecto a las preten­siones imaginativas de Eddington,pero estaba impresionado por su filo­sofía de la ciencia, que subrayaba lapotencia de un razonamiento pura­mente matemático, y por su idea deuna conexión fundamental entre elmicrocosmos y el macrocosmos.

En su primer artículo sobre cosmo­logía, Dirac concentraba la atenciónen los números "puros" (o sin dimen­siones físicas) muy grandes que pue­den construirse mediante combina­ción algebraica de constantes físicas

cía plausible que condujera a unaEDC libre de divergencias. Pero elcrear una versión mecánico-cuánticasatisfactoria de la teoría clásicaresultó ser más engorroso de lo queDirac había previsto. Luchó -envano- con este problema a lo largode más de 20 años.

Durante el bienio 1947-1948 sur­gió una nueva teoría de EDC que

resolvía, en un sentido práctico, la di­ficultad de los infinitos que habíanarruinado anteriormente los cálcu­los. Los iniciadores de la nueva teoría-Sin-itiro Tomonaga en Japón, y Ri­chard Feynman, Julian Schwinger yFreeman Dyson en Estados Unidos­propusieron un procedimiento de"renormalización", en el que los infi­nitos que resultaban en los cálculosteóricos se reemplazaban por expre­siones de los valores de la masa y lacarga del electrón experimentalmen­te medidos. Este procedimiento desustraer cantidades (de hecho) infi­nitas permitía hacer prediccionesenormemente precisas, y los muchostriunfos experimentales de la teoríaconvencieron a los físicos de que larenormalización debía aceptarse co­mo el método de hacer EDC.

Dirac, sin embargo, se resistió aaceptar el método de renormaliza­ción, juzgándole tan "complicado yfeo" como el viejo de Heisenberg yPauli. Una teoría que opera con tru­cos matemáticos ad hoc no dictadosdirectamente por principios físicosbásicos -argüía- no puede ser bue­na, por bien que concuerde con losresultados experimentales. Pero susobjeciones solían dejarse de lado. Alfinal de su vida no tuvo más remedio

tica de campos relativista satisfac­toria habían alcanzado una situaciónde crisis, y muchos físicos llegaban ala conclusión de que era necesariocambiar drásticamente ideas físicasfundamentales. Dirac había hechocontribuciones pioneras a la EDC alfinal de los años 20, y se dolía de losdefectos del esquema teórico exis­tente, construido en torno a una teo­ría propuesta por Heisenberg y Paulien 1929. Dirac llamaba a esa teoríailógica y "fea". Además, los cálculosrealizados con ella conducían a inte­grales divergentes -infinitos- a lasque no cabía atribuir ningún sentidofísico. En 1936, Dirac elaboró unateoría alternativa en la que no se con­servaba la energía. Aunque esta pro­puesta radical fue pronto refutadapor los experimentos, Dirac siguió

. criticando la teoría de Heisenberg­Pauli, y buscando -casi obsesiva­mente- una mejor. En una miradaretrospectiva a su carrera, escribíaen 1979: "Me he pasado la vida inten­tando sobre todo encontrar ecuacio­nes mejores para la electrodinámicacuántica, hasta ahora sin éxito, perocontinúo trabajando en ello".

Un camino lógico hacia una EDCmejor consistiría en utilizar, comotrampolín, una teoría clásica del elec­trón más perfecta. En 1938 Dirac si­guió esta estrategia, y construyó unateoría del electrón clásico-relativista,que perfeccionaba mucho la antiguateoría elaborada por H. A. Lorentz aprincipios de siglo. La teoría de Diracdaba como resultado una ecuación demovimiento exacta para el electrón,tratado como partícula puntual. Pues­to que la teoría eliminaba los infini­tos y los términos mal definidos, pare-

18 TEMAS 31

Predicciones de la raya alfa del hidrógeno

La raya alfa del espectro de hidrógeno ilustra bien los avances de la teoríaatómica desde que Niels Bohr la explicara en 1913 como el resultado de

una sola transición cuántica. Cuando experimentos más perfeccionados reve­laron una estructura fina en esa raya, Arnold Sommerfeld combinó la teoríaatómica de Bohr con la teoría de la relatividad especial de Einstein para expli­car las componentes de la raya como resultado de transiciones distintas. Losintentos de derivar el resultado de Sommerfeld a partir de la nueva mecá­nica cuántica fracasaron hasta 1928, año en que la teoría del electrón deDirac logró mostrar que reproducía exactamente la vieja ecuación deSommerfeld. Medidas ulteriores demostraron una estructura todavía más fina,que recibió justificación teórica en las postrimerías de los años cuarenta, através de la moderna electrodinámica cuántica de Julian Schwinger, RichardFeynman y Sin-itiro Tomonaga. A Dirac no le gustaba esta nueva teoría, por­que no era, decía, "más que un conjunto de reglas que funcionan", no unaverdadera teoría edificada sobre una base "firme y bella".

fundamentales (como la constante degravitación, la constante de Planck,la velocidad de la luz, y las cargas ymasas de electrón y protón), de formaque sus unidades de medida se can­celen en la división. Sostenía que sóloesos grandes números tenían signi­ficado profundo en la naturaleza.

Por ejemplo, era bien sabido que larazón de la fuerza eléctrica entre unprotón y un electrón a la fuerza gra­vitacional entre esas dos mismas par­tículas es un número muy grande,del orden de 1039. Es curioso, notabaDirac, que este número se aproximea la edad del universo (tal como eraestimada entonces), si esta edad seexpresa mediante una unidad detiempo apropiada, como es el tiempoque necesita la luz para atravesar eldiámetro de un electrón. BOHR (1913) DIRAC (1928) SCHWINGER·FEYNMAN·

TOMONAGA(1947-48)

FRECUENCIA

BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA

THE HISTORlCAL DEVELOPMENT OF QUAN­TUM THEORY, Vol. 4, Parte 1: THE FuN­DAMENTAL EQUATIONS OF QUANTUM ME­CHANICS, 1925-1926. Jagdish Mehra yHelmut Rechenberg. Springer-Verlag,1982.

PAUL ADRlEN MAURlCE DIRAc. R. H. Da­litz y Sir Rudolf Peierls en BiographicalMemoirs ofFellows ofthe Royal Society,vol. 32, págs. 137-185; 1986.

REMINISCENCES ABOUT A GREAT PHYSI­CIST: PAUL ADRlEN MAURlCE DIRAC. Di­rigido por Behram N. Kursunoglu yEugene P. Wigner. Cambridge UniversityPress, 1987.

DIRAC: A SCIENTIFIC BIOGRAPHY. HelgeKragh. Cambridge University Press,1990.

al mundo, y escaló algunos de los másaltos picos de Europa y América.

En septiembre de 1969 Dirac seju­biló de su cátedra Lucasiana. Al

año siguiente decidió con Margit tras­ladarse de Inglaterra al templadoclima de Florida, donde aceptó unpuesto de profesor en la universidaddel estado en Tallahassee, ciudaddonde falleció en octubre de 1984.

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distanciada de la corriente centralde investigación.

Dirac estaba casado con su trabajo,y sus colegas le habían tenido desdesiempre por un solterón empeder­nido. Por eso produjo una enorme sor­presa que en 1937 tomase por esposaa Margit Wigner, hermana del famosofísico húngaro Eugene Wigner. Margitera viuda, con un hijo y una hija desu matrimonio anterior; de Paul tuvodos niñas. No es de extrañar que éstepermaneciera distanciado de la vidafamiliar. "Es la ironía de la vida: Paulsufrió terriblemente por parte de supadre y éste había tenido con su fami­1ia las mismas dificultades que él",ha escrito Margit. "Paul, aunque nofuera un padre dominante, se man­tuvo excesivamente apartado de sushijos. Que la historia se repite, es lamayor de las verdades en la familiade Dirac."

Dirac no mostró nunca interés porel arte, la música o la literatura, yrara vez fue al teatro. Las únicas afi­ciones a las que dedicó mucho tiempoeran caminatas por la montaña y via­jes. Era un caminante infatigable, yen las excursiones demostraba confrecuencia una resistencia que asom­braba a los que sólo le conocían de con­gresos y convites. Sus viajes le lle­varon a dar por tres veces la vuelta

D irac sabía de varias correlacionesde este tipo entre números puros

grandes, pero en vez de considerar­las meras coincidencias, manteníaque constituían la esencia de un nuevoe importante principio cosmológico,que bautizó como la Hipótesis de losGrandes Números: "Dos cualesquierade los números muy grandes sindimensiones que ocurren en la natu­raleza estarán conectados por unarelación matemática simple en la quelos coeficientes son del orden de mag­nitud de la unidad".

A partir de este principio, Diracconcluía fácilmente -yenforma muydiscutible- que la "constante" gra­vitacional G es inversamente pro­porcional a la edad del universo, y portanto ha de estar disminuyendo con­tinuamente con el tiempo cósmico.

Hacia 1938 Dirac había derivadodiversas consecuencias empírica­mente contrastables de la Hipótesisde los Grandes Números, y había bos­quejado su propio modelo de universo,basado en ese principio. Pero la mayo­ría de los físicos y astrónomos -quecomenzaban a estar muy molestospor ese planteamiento racionalistade la cosmología- desecharon susideas. Sólo décadas más tarde, en losaños setenta, volvería Dirac a ocu­parse de la cosmología, principal­mente a partir de su teoría original.Defendió su Hipótesis de los GrandesNúmeros y su predicción de una cons­tante gravitacional variable, contralas objeciones basadas en observa­ciones, e intentó modificar su modelopara acomodarlo a nuevos descubri­mientos, como las microondas de laradiación cósmica de fondo. Susesfuerzos no llegaron a obtener reco­nocimiento, y se convirtió -en cos­mología como en EDC- en una figura

FENÓMENOS CUÁNTICOS 19

Cien añosde misterios cuánticosLa mecánica cuántica cumple cien añoscombinando éxitos espectaculares con enigmas persistentes

Max Tegmark y John Archibald Wheeler

Ecuación de Schrodinger;interpretación de Copenhague (1926)

Electrodinámica cuánticay renormalización

(1948)

Artículo del gatode Schrodinger;

artículo de Einstein,Podolsky y Rosensobre el realismo

local (1935)

Descubrimientode la superfluidez (1938)

Ecuación del electrónde Dirac (1928)

Principio de indeterminaciónde Heisenberg (1927)

Predicciónde la condensación

de Bose-Einstein(1924)

Principio de exclusiónde Pauli

(1925)

Descubrimiento de la superconductividad (1911)

Teoría de losespectrosatómicos

de Bohr (1913)

TPlanck explica la radiacióndel cuerpo negro (1900)

ANNALE~

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LAS BASES de la mecanlcacuántica se sentaron entre 1900y 1926, gracias en buena medidaa los siete físicos de la derecha.A lo largo del último siglo, la me­cánica cuántica no sólo nos hapermitido ahondar en nuestracomprensión de la naturaleza, si­no que nos ha proporcionadotambién numerosas aplicacio­nes técnicas. Pero quedan porresolver algunos enigmas funda­mentales.

MAXPLANCK(1858-1947)

ALBERT EINSTEIN(1879-1955)

NIELSBOHR(1885-1962)

20 TEMAS 31

"E n unos pocos años habre­mos determinado con unabuena aproximación las

grandes constantes de la física, y ...la única ocupación de los hombres deciencia será extender las medidas aun nuevo decimal." Recién llegadosal siglo XXI, en plena celebración delos logros anteriores, estas palabrasresultan familiares. Pero la frase fuepronunciada por James Clerk Max­well en 1871, en la clase magistralque impartió con motivo de su incor­poración a la Universidad de Cam­bridge; expresaba el sentir comúnpor aquel entonces (aunque él no lo

compartiera). Treinta años después,el 14 de diciembre de 1900, MaxPlanck anunció su fórmula para elespectro del cuerpo negro y dio así eldisparo de salida de la revolucióncuántica.

Abordamos aquí los primeros cienaños de la mecánica cuántica, pres­tando especial atención alIado mis­terioso de la teoría, para culminar enel debate abierto sobre cuestionesque van de la computación cuánticaa la naturaleza misma de la realidadfísica, pasando por la conciencia y losuniversos paralelos. Nos sorprende­ríamos de la cantidad asombrosa de

aplicaciones científicas y prácticasde la mecánica cuántica. Alrededordel 30 % del producto interior brutode los Estados Unidos depende deinventos basados en la mecánica cuán­tica; por citar algunos: semiconduc­tores de los chips de los ordenadores,láser de los lectores de discos com­pactos o aparatos de formación deimágenes por resonancia magnéticade los hospitales.

En 1871, los científicos tenían bue­nas razones para sentirse optimis­tas. La mecánica clásica y la elec­trodinámica habían impulsado larevolución industrial, y sus ecuacio-

Descubrimientode condensadosBose-Einstein (1995)

Descubrimientodel quark cima

(1995)

WERNER HEISENBERG(1901-1976)

Superconductoresde altas temperaturas

(1987)

Descubrimientode la partícula Z(1983)

Teoría delteletransportecuántico (1993)

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Refutación experimentalde las variables ocultaslocales (1982)

MAXBORN(1882-1970)

Descubrimientodel leptón tau(1975)

Efecto Hall cuánticofraccionario (1982)

1970

Unificaciónelectrodébil(1973)

ERWIN SCHRODINGER(1887-1961)

Teoría de la decoherencia(1970)

Escáner de resonanciamagnética

(1973)

1960

Teorema de Bellsobre variablesocultas locales

(1964)

• Invención del láser (1960)

LOUIS DE BROGLIE(1892-1987)

Teoría de aforo (gauge)de Yang-Mills (1954)

Teoría de lasuperconductividad

(1957)

• I

Interpretación de estadorelativo o de muchos

universos (1957)

Interpretación de laonda piloto de Bohm(1952)

FENÓMENOS CUÁNTICOS 21

"]

Naipes cuánticos.La caída del naipe da pie a un misterio cuántico

Según la física cuántica, un naipe ideal en equilibrioperfecto sobre uno de sus bordes caerá en ambos

sentidos a la vez; es lo que se conoce como superposición.La función de onda cuántica del naipe (azu~ varía conti­nuamente, sin saltos, desde el estado de equilibrio (izquierda)hasta el misterioso estado final (derecha), en el cual pareceque el naipe esté en dos lugares a la vez. Aunque el expe­rimento no es factible con un naipe real, se han puesto de

manifiesto situaciones análogas en ocasiones innumera­bles con electrones, átomos y objetos mayores. Uno de losretos más persistentes yfundamentales de la mecánica cuán­tica consiste en comprender el significado de tales super­posiciones y saber por qué no las vemos nunca en el mundoque nos rodea. A lo largo de varias décadas, los investi­gadores han desarrollado diversas ideas para resolver esteenigma, entre las que se cuentan las interpretaciones riva­les de Copenhague y de los muchos universos, sobre la fun­ción de onda, y la teoría de la decoherencia.

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nes fundamentales parecían bastarpara describir todas las propiedadesde los sistemas físicos. Algunos de­talles insignificantes empañaban laimagen. Así, el espectro calculado pa­ra la luz emitida por un objeto incan­descente no coincidía con las obser­vaciones. La predicción clásica seconocía como la catástrofe ultravio­leta, porque según ella una intensaradiación ultravioleta, acompañadade rayos X, debería cegarnos al con­templar el elemento incandescentede una estufa.

El desastre del hidrógeno

En su artículo de 1900 Planck con­siguió deducir el espectro correc­

to. Mas, para ello, hubo de introduciruna hipótesis tan extraña, que estuvoaños sin creer realmente en ella: todala energía se emitía en cantidadesdiscretas, o cuantos. Esta enigmáti­ca hipótesis resultó ser acertada.

En 1905 Albert Einstein avanzó unpaso más, al proponer que la radia­ción sólo podía transportar energíaen pequeños paquetes, o "fotones", yexplicar de esta manera el efecto foto­eléctrico, gracias al cual funcionanhoy las baterías solares y los sensoresde imagen de las cámaras digitales.

La física volvió a pasar apuros en1911. Ernest Rutherford argumentóde manera convincente que los áto-

mos consistían en electrones que orbi­taban en torno a un núcleo dotado decarga positiva, a la manera de un sis­tema solar en miniatura. Según lateoría electromagnética, sin embargo,los electrones en órbita emitiríanradiación continuamente y se preci­pitarían sobre el núcleo en una billo­nésima de segundo. Pero los átomosde hidrógeno eran muy estables. Taldiscrepancia representa el error cuan­titativo más grave de toda la histo­ria de la física, ya que estima a la bajala vida media del hidrógeno en unos40 órdenes de magnitud.

En 1913 Niels Bohr, que había idoa la Universidad de Manchester paratrabajar con Rutherford, dio con unaexplicación que nuevamente impli­caba a los cuantos. Postuló que el mo­mento angular de los electrones sólopodía tomar ciertos valores defini­dos, que confinarían a los electronesen un conjunto discreto de órbitas. Loselectrones sólo podrían emitir ener­gía saltando a una órbita inferior yemitiendo un fotón. Al alcanzar la ór­bita más cercana al núcleo, el elec­trón no tenía donde saltar y se for­maba un átomo estable.

La teoría de Bohr daba cuenta tam­bién de muchas de las líneas espec­trales del hidrógeno, es decir, las fre­cuencias específicas de la luz emitidapor los átomos excitados. La teoría

funcionaba con el átomo de helio, perosólo si se ignoraba uno de sus doselectrones. De vuelta a Copenhague,Bohr recibió una carta de Rutherfordque le instaba a publicar sus resul­tados, pero el danés respondió quenadie le creería a menos que expli­cara el espectro de todos los elemen­tos. Rutherford insistió que, si expli­caba el hidrógeno y el helio, el restono plantearía problemas.

Pese a los éxitos de la idea de loscuantos, los físicos todavía no sabíanqué pensar de estas reglas extrañasy aparentemente arbitrarias. En 1923,Louis de Broglie propuso una respues­ta en su tesis doctoral: los electronesy otras partículas actúan como ondasestacionarias, ondas que, cual vibra­ciones de una cuerda de guitarra,adoptan ciertas frecuencias discretas(cuantizadas). La idea se salía tantode lo normal, que el tribunal de tesistuvo que recabar la ayuda de Einstein,que emitió un informe favorable.

En noviembre de 1925 Erwin Schrti­dinger dio un seminario en Zurichsobre el trabajo de De Broglie. Al ter­minar, Peter Debye le preguntó que,tratándose de ondas, dónde estabala ecuación de ondas. Schrtidingerdedujo entonces la ecuación que llevasu nombre, donde se encierra la llavede buena parte de la física moderna,al tiempo que Max Born, Pascual

22 TEMAS 31

l

Cuando se mide o se observa una superposición cuántica, vemos al azaruna u otra de las dos alternativas, con probabilidades que vienen dadas

por la función de onda. Si una persona ha apostado que el naipe caerá caraarriba, la primera vez que lo mira tiene un 50 % de posibilidades de alegrarsepor haber ganado la apuesta. Esta interpretación ha sido aceptada en la prác­tica por los físicos durante mucho tiempo, pese a que exige un cambio bruscoo colapso de la función de onda que contradice la ecuación de Schrbdinger.

La interpretación de CopenhagueIDEA: Los observadores ven un resultado aleatorio; la probabilidad viene dada porla función de onda.VENTAJAS: Sólo se da un resultado, que coincide con lo que observamos.INCONVENIENTES: Precisa el "colapso" de la función de onda, pero ninguna ecua­ción especifica cuándo se producirá.

raleza seleccionara un estado al azar,de acuerdo con las probabilidades quedetermina la función de onda.

La interpretación de Copenhaguepermitió calcular en detalle, con sor­prendente eficacia, el resultado delos experimentos, pero no eliminó lasospecha de que alguna ecuacióndebía describir cuándo y cómo se pro­duciría el colapso de la función deonda. Para muchos físicos, el no dis­poner de esta ecuación significabaque la mecánica cuántica era intrín­secamente defectuosa, y que prontola sustituiría una teoría más funda­mental que incluiría dicha ecuación.Por ello, en lugar de debatir las impli­caciones ontológicas de las ecuacio­nes, la mayoría de los físicos se dedicóa desarrollar las numerosas aplica­ciones de la teoría y a ocuparse de losproblemas acuciantes que planteabala física nuclear.

Este enfoque pragmático cosechógrandes éxitos. La mecánica cuán­tica permitió predecir la antimateria,comprender la radiactividad (y losfundamentos de la energía nuclear),dar cuenta del comportamiento delos semiconductores y explicar lasuperconductividad, amén de des­cribir las interacciones entre la luzy la materia (que llevó a la invencióndel láser) o entre las ondas de radioy el núcleo (que condujo a la forma­ción de imágenes por resonancia mag­nética nuclear). Muchos de los éxitos

ideal con un naipe de verdad, con­cluiríamos sin duda que la física clá­sica está equivocada y que el naipecae; siempre lo veríamos caer al azara la derecha o a la izquierda, nuncaen ambos sentidos a la vez, como pre­tende la ecuación de Schrbdinger.Semejante contradicción aparenteestá relacionada con uno de los mis­terios originales y más persistentesde la mecánica cuántica.

La interpretación de Copenhaguede la mecánica cuántica, que se fra­guó en los intercambios que mantu­vieron Bohr y Heisenberg a finalesde los años veinte del siglo xx, abordaeste misterio a partir del carácterespecial de las observaciones o lasmediciones. Mientras no observamosel naipe en equilibrio, su función deonda evoluciona de acuerdo con laecuación de Schrbdinger; se trata deuna evolución continua y gradual querecibe el nombre matemático de "uni­taria" y que tiene diversas propie­dades interesantes. La evolución uni­taria produce la superposición en lacual el naipe ha caído tanto a la iz­quierda como a la derecha, pero el actode observarlo provoca un cambiobrusco en la función de onda, lo quese conoce como un "colapso": el obser­vador ve el naipe en un estado clá­sico determinado (cara arriba o caraabajo) y a partir de ese momento sólosubsiste la parte correspondiente dela función de onda. Es como si la natu-

J ordan y Werner Heisenberg propo­nían una formulación matricial equi­valente. Gracias a esta sólida fun­damentación matemática, la teoríacuántica realizó progresos espec­taculares. En pocos años, los físicosexplicaron multitud de resultadosexperimentales, desde los espectrosde átomos más complicados hasta laspropiedades de las reacciones quí­micas. Pero seguía sin saberse quéera esa "función de ondas" que veri­ficaba la ecuación de Schrbdinger. Esel interrogante central de la mecánicacuántica, que permanece abierto.

A Born se le ocurrió que la funciónde onda podía interpretarse en claveprobabilista. Cuando los físicos expe­rimentales miden la posición de unelectrón, la probabilidad de hallarloen una región determinada dependede la magnitud de la función de ondaen esa región. Esta interpretaciónconcedía al azar un papel funda­mental en las leyes de la naturaleza,una conclusión que inquietaba pro­fundamente a Einstein, quien expresósu preferencia por un universo deter­minista con la célebre frase "No puedocreer que Dios juegue a los dados".

Gatos curiososy naipes cuánticos

Tampoco Schrbdinger se sentía sa­tisfecho. Las funciones de onda

podían describir combinaciones dedistintos estados, las llamadas super­posiciones. Un electrón, por ejemplo,podía estar en una superposición dedistintas posiciones. Para Schrbdin­ger, si los átomos y otros cuerpos mi­croscópicos podían estar en extrañassuperposiciones, por qué no iban aestarlo los objetos macroscópicos,hechos de átomos. E ideó un ejemplorebuscado: el famoso experimentomental en el que un dispositivo per­verso acaba con un gato si un átomoradiactivo se desintegra. Puesto queel átomo radiactivo se halla en unasuperposición de desintegrado y nodesintegrado, produce un gato queestá a la vez vivo y muerto, en super­posición.

El recuadro "Naipes cuánticos"muestra una variante sencilla de esteexperimento mental. Consiste entomar un naipe con un borde impe­cable y colocarlo en equilibrio sobreuna mesa. Según la física clásica, elnaipe permanecerá en equilibrio inde­finidamente. Según la ecuación deSchrbdinger, caerá a los pocos segun­dos aunque esté perfectamente equi­librado, y lo hará en ambos sentidos,a derecha y a izquierda, en superpo­sición.

Si acometiéramos ese experimento

FENÓMENOS CUÁNTICOS 23

l

Interpretación de los muchos universos

PROBABILIDADES DE GANAR SI SE DEJAN CAER CUATRO NAIPES

0/41/42/4

+

3/4lID

4/4

Si las funciones de onda nunca se colapsan, la ecua­ción de Schrodinger predice que la persona que con­

templa la superposición del naipe entrará en una super­posición de dos posibles resultados: ganar o perder laapuesta. Estas dos partes de la función de onda total (dela persona y del naipe) evolucionan independientemente,como dos mundos paralelos. Si se repite el experimentomuchas veces, la gente que habita la mayoría de los uni­versos paralelos verá que el naipe cae hacia arriba apro­ximadamente la mitad de las veces.Los naipes apilados de la derechamuestran los 16 universos que generael dejar caer un naipe cuatro veces.

IDEA: Las superposiciones aparecerán como universos alternativos paralelosa sus habitantes.VENTAJAS: La ecuación de Schrbdinger se cumple siempre; la función de ondano se colapsa jamás.INCONVENIENTES: Idea arriesgada que todavía plantea problemas decarácter técnico.

LAURIE GRACE

de la mecánica cuántica implican asu extensión, la teoría cuántica decampos, que se halla en la base de lafísica de las partículas elementalesdesde sus orígenes hasta los actua­les experimentos con las oscilacionesde neutrinos y la búsqueda de la par­tícula Higgs y la supersimetría.

Muchos universos

Amediados del siglo pasado eraevidente que los sucesivos éxi­

tos de la mecánica cuántica no podíanser fruto de una teoría provisional eimprovisada. En el ecuador de losaños cincuenta, un alumno de la Uni­versidad de Princeton, Hugh Eve­rett III, decidió dedicar su tesis docto­ral a revisar el postulado del colapso.Everett llevó las ideas cuánticas allímite al plantearse qué pasaría si laevolución temporal del universo en­tero fuera siempre unitaria. Despuésde todo, si la mecánica cuántica bas­tara para describir el universo, elestado actual del universo estaríarepresentado por una función de onda(una función extraordinariamentecomplicada). Según el planteamientode Everett, tal función de onda evo­lucionaría siempre de forma deter­minista, excluyendo todo desplomemisterioso no unitario o la posibili­dad de que Dios juegue a los dados.

En lugar de desplomarse por lasmediciones, las superposiciones mi­croscópicas se amplificarían vertigi­nosamente en complicadas superpo­siciones macroscópicas. Nuestro naipeestaría realmente en dos lugares a lavez. Además, una persona que lo con­templara entraría en una superposi­ción de dos estados mentales distin­tos, cada uno de los cuales percibiríauno de los dos resultados. Si hubié­ramos apostado que el naipe caeríacara arriba, acabaríamos en una su­perposición de alegría y desengaño.Everett intuyó genialmente que losobservadores de este universo cuán­tico, determinista pero esquizofréni­co, percibirían la realidad con la queestamos familiarizados y, lo que esmás importante, percibirían que elazar aparente obedece las reglas deprobabilidad correctas (véase el recua­dro "Interpretación de los muchosuniversos").

Al punto de vista de Everett se leconoce en la academia por formula­ción de estado relativo. Más famosaes su denominación popular de "inter­pretación de los muchos universos"de la mecánica cuántica; en efecto, ensu seno cada componente de la super­posición del observador percibe supropio universo. La formulación deEverett simplifica la teoría subyacen-

te porque elimina el postulado del co­lapso, pero a un precio elevado: el quele lleva a la conclusión de que todasestas percepciones paralelas de larealidad son igualmente reales.

El trabajo de Everett pasó sin penani gloria durante cerca de veinte años.Muchos físicos seguían confiando enel advenimiento de una teoría fun­damental que mostraría que el mundoes, después de todo, clásico, y que enél no caben absurdos como el de labilocación de un objeto grande. Perouna nueva serie de experimentos dioal traste con estas esperanzas.

¿No podría sustituirse la aparentealeatoriedad cuántica por algún tipode variable desconocida propia de laspartículas (las variables ocultas)?J ohn S. Bell, físico teórico del CERN,mostró que en tal caso las magnitu­des que se podían medir en ciertosexperimentos de difícil realización,mostrarían una discrepancia inevi­table con las predicciones estándarde la mecánica cuántica. Muchos añosdespués, la técnica permitió ejecutarlos experimentos y eliminar, así, laposibilidad de la existencia de varia­bles ocultas.

Uno de nosotros (Wheeler) propusoen 1978 un experimento de "selec­ción diferida" (delayed choice). Reali­zado con éxito en 1984, mostró otro

24 TEMAS 31

Decoherencia: el cuanto se hace clásico

IDEA: La menor interacción con el ambiente hace que se disipe rápidamente el peculiar carácter cuánticode las superposiciones.VENTAJAS: Contrastable experimentalmente. Explica por qué el mundo en torno parece "clásico" y no cuántico.ADVERTENCIA: La decoherencia no elimina por completo la necesidad de adoptar una interpretación, ya seala de Copenhague o la de los muchos universos.

La indeterminación de una superposición cuántica(izquierda) es distinta de la incertidumbre de la proba­

bilidad clásica, como la que se da al lanzar una moneda(derecha). Un objeto matemático denominado matriz de den­sidad ilustra la distinción. La función de onda del naipe cuán­tico se corresponde con una matriz de densidad con cua­tro máximos. Dos de estos máximos representan la

probabilidad (50 %) de cada resultado, cara arriba o caraabajo. Los otros dos indican que estos dos resultados pue­den, en principio, obstruirse entre sí. El estado cuánticotodavía es "coherente". La matriz de densidad de un lan­zamiento de moneda sólo tiene dos máximos, lo que sig­nifica, por convención, que la moneda está realmente caraarriba o cara abajo, aunque no la hayamos mirado aún.

INDETERMINACION CUANTICA INCERTIDUMBRE CLA51CA

~

LANZAMIENTO DE MONEDA

Caraabajo

Interferencia

Caraarriba

SUPERPOSICION COHERENTE

La teoría de la decoherencia muestra que la menorinteracción con el entorno, como la colisión de un fotóno una molécula de gas, transforma rápidamente unamatriz de densidad coherente en una matriz de den-

sidad que, a todos los efectos, representa las proba­bilidades clásicas como las de un lanzamiento demoneda. La ecuación de Schrodinger controla el pro­ceso entero.

DECOHERENCIACara arriba Cara abajo

CUANTICO

Interacción en el entorno

CLASICO

FENÓMENOS CUÁNTICOS 25

l

Dividir la realidad

Resulta instructivo dividir el universo en tres partes: el objeto consi­derado, el entorno y el estado cuántico del observador, o sujeto. La ecua­

ción de Schrbdinger que rige el universo en su totalidad puede dividirse entérminos que describen la dinámica interna de cada uno de los tres subsis­temas y términos que exponen las interacciones entre ellos. Estos términosejercen efectos muy distintos desde el punto de vista cualitativo.

El término que describe la dinámica del objeto suele ser el más importante;por ello, para saber qué hará el objeto, los teóricos pueden empezar igno­rando el resto de los términos. En el caso de nuestro naipe cuántico, su diná­mica predice que caerá a derecha e izquierda en superposición. Cuando nues­tro observador mira al naipe, la interacción entre sujeto y objeto extiende lasuperposición a su estado mental, produciendo una superposición de ale­gría y tristeza por haber ganado y perdido la apuesta. Pero el observadornunca percibe esta superposición, porque la interacción entre el objeto y elentorno (que incluye el choque de las moléculas de aire o los fotones con­tra el naipe) conduce rápidamente a una decoherencia que hace que la super­posición no pueda observarse.

Aun en el caso de que nuestro observador consiguiera aislar completa­mente al naipe de su entorno (por ejemplo, haciendo el experimento en unacámara oscura en el cero absoluto de temperatura) las cosas no serían muydistintas. Por lo menos una neurona del nervio óptico entraría en una super­posición de activarse o no activarse cuando el observador mirara el naipe;los cálculos recientes cifran en 10-20 segundos el tiempo en que la decohe­rencia haría mella en esta superposición. A poco que los complejos proce­sos de excitación de las neuronas de nuestro cerebro tengan que ver con laconciencia y con la formación de nuestro pensamiento y percepciones, ladecoherencia de las neuronas garantizará que nunca percibiremos una super­posición cuántica de estados mentales. En esencia, nuestros cerebros rela­cionan inextricablemente sujeto y entorno, imponiéndonos la decoherencia.

éxito con objetos cada vez mayores:átomos, pequeñas moléculas y, recien­temente, buckybolas de 60 átomos.Tras este logro, el grupo de AntonZeilinger en Viena comenzó a plan­tear la posibilidad de realizar el expe­rimento con un virus. El veredictoexperimental es inapelable: nos gusteo no, la rareza del universo cuánticoes real.

La censura cuántica:la decoherencia

L os progresos experimentales delas últimas décadas se acompa­

ñaron de notables avances en la com­prensión teórica. El trabajo de Eve­rett había dejado sin responder doscuestiones cruciales. A tenor de la pri­mera, si el mundo contiene realmenteextrañas superposiciones macroscó­picas, ¿por qué no las percibimos?

La respuesta la aportó en 1970H. Dieter Zeh, de la Universidad deHeidelberg, en un artículo seminal.Mostraba que la propia ecuación deSchrodinger comportaba decohe­rencia, cierta forma de censura. Asívino en designarse tal fenómeno por­que de la superposición ideal prís­tina se predica la coherencia. El con­cepto de decoherencia sería depuradopor Wojciech H. Zureck, Zeh y otrosen las décadas siguientes. Hallaronque las superposiciones coherentessólo persisten mientras permanecenocultas al resto del mundo. Nuestronaipe cuántico recibe constante­mente el impacto de moléculas deaire y fotones que comprueban si hacaído hacia la derecha o hacia laizquierda, destruyendo ("decohesio­nando") la superposición y hurtán­dola a la observación (véase el recua­dro "Decoherencia: el cuanto se haceclásico").

Es como si el entorno sustituyeraal observador, provocando el hundi­miento de la función de onda. Su­pongamos que una persona mirara alnaipe sin decirnos de qué lado hacaído. Según la interpretación deCopenhague, su medida fuerza lasuperposición en un resultado deter­minado, y nuestra mejor descripcióndel naipe pasa de una superposicióncuántica a una representación clá­sica de nuestra ignorancia de lo queaquella persona vio. Los cálculos dela decoherencia muestran, pues, queno es precisa la intervención de unobservador humano (o el colapso ex­plícito de la función de onda) paraobtener prácticamente el mismoefecto; bastaría con una molécula deaire que rebotara en el naipe caído.A efectos prácticos, una interacciónínfima torna la superposición en una

El sencillo experimento de inter­ferencia de la doble rendija, en el queluz o electrones pasan a través de dosrendijas y producen un patrón deinterferencia, y que Richard Feynmanensalzó como la madre de todos losefectos cuánticos, fue repetido con

~SUJETO

OBJETO

aspecto cuántico de la realidad quedesafía la descripción clásica: no sólopuede un fotón estar en dos lugaresa la vez, sino que los experimenta­dores pueden escoger tras el experi­mento si el fotón estaba en los dossitios o sólo en uno.

26 TEMAS 31

situación clásica, en un abrir y cerrarde ojos.

La decoherencia explica por qué nosolemos ver las superposicionescuánticas en el mundo que nos rodea.No se debe a que la mecánica cuán­tica se ciña, por principio, a objetosmayores que cierta talla mágica, sinoa la cuasiimposibilidad de manteneraislados los objetos macroscópicoscomo los gatos o los naipes en el gradonecesario para evitar la decoheren­cia. Los objetos microscópicos, en cam­bio, pueden ser aislados de su entornopara que retengan su comportamientocuántico.

La segunda pregunta sin respuestaplanteada por Everett, más sutil aun­que de igual importancia, inquiríapor el mecanismo que selecciona losestados clásicos (cara arriba y caraabajo, en el caso del naipe). Si losconsideramos estados cuánticos abs­tractos, no tienen nada de particular,comparados con las innumerablessuperposiciones posibles de arriba yabajo en distintas proporciones. ¿Porqué respetan los muchos universos laseparación estricta entre arriba yabajo con la que estamos familiari­zados, y nunca otras alternativas?La decoherencia responde también aesta cuestión, ya que los cálculosmuestran que los estados clásicoscomo arriba y abajo son precisamentelos más resistentes a la decoheren­cia. Con otras palabras, las interac­ciones con el entorno no afectarían alos naipes cara arriba o cara abajo,pero harían que toda superposiciónde arriba y abajo desembocara en unade las dos alternativas clásicas.

La decoherenciay el cerebro

D e lejos les viene a los físicos sutendencia a analizar el universo

dividiéndolo en dos partes. En ter­modinámica, los teóricos separan uncuerpo material de todo cuanto lerodea (el "ambiente"), que propor­ciona las condiciones prevalentes detemperatura y presión. Tradicional­mente la física cuántica separa delaparato de medición clásico el sis­tema cuántico. Si se toman en seriola unitariedad y la decoherencia,resulta instructivo dividir el universoen tres partes descritas por sendosestados cuánticos: el objeto conside­rado, el ambiente y el observador, osujeto (véase el recuadro "Dividir larealidad").

La decoherencia causada por lainteracción entre el ambiente y elobjeto o el sujeto es la responsable deque nunca percibamos una superpo­sición cuántica de estados mentales.

FENÓMENOS CUÁNTICOS

Además, nuestros cerebros están inex­tricablemente ligados con el ambien­te, de forma que la decoherencia delas neuronas excitadas es inevitabley esencialmente instantánea. Comoha hecho notar Zeh, estas conclusio­nes justifican el que en los libros detexto se use el postulado del colapsode la función de onda como una recetapráctica que recomienda "callar y cal­cular": se deben calcular las proba­bilidades como si la función de ondase desplomara cuando observamos elobjeto. Pese a que, según Everett, lafunción de onda no llega nunca a hun­dirse, los investigadores están deacuerdo en que la decoherencia pro­duce un efecto que tiene el mismoaspecto que un "colapso".

El descubrimiento de la decohe­rencia, junto con los experimentoscada vez más refinados que ponen demanifiesto las perplejidades cuánti­cas, no han dejado indiferentes a losfísicos. La principal motivación parala introducción de la noción de colapsode la función de onda era explicarpor qué los experimentos producíanresultados determinados y no extra­ñas superposiciones de resultados.Esta motivación ha dejado de exis­tir. Además, llama la atención quenadie haya sugerido una ecuacióndeterminista contrastable que espe­cifique con exactitud el momento enque se supone debe producirse elcolapso.

De una encuesta informal reali­zada enjulio de 1999 durante un con­greso sobre computación cuántica enel Instituto Isaac Newton de Cam­bridge se desprende que la percepciónde los físicos está cambiando. De los90 físicos encuestados, sólo ocho decla­raron que su punto de vista implicabael colapso explícito de la función deonda. Treinta prefirieron "muchosuniversos o historias consistentes(sin colapso)". (A grandes rasgos, elenfoque de historias consistentes ana­liza secuencias de medidas y reúnegrupos de resultados alternativos queformarían una historia "consistente"para un observador.)

Pero la imagen resultante no esclara: 50 de los investigadores res­pondieron "ninguna de las anterioreso indeciso". Puede que la confusiónlingüística reinante haya contribuidoa un número tan alto. No es raroencontrar dos físicos que afirmansubscribir la interpretación de Co­penhague y discrepan, sin embargo,en qué entender por tal.

Dicho esto, la encuesta plantea sinambages la necesidad de poner al díalos manuales de mecánica cuántica.Aunque estos libros incluyan, sin

excepcIOn, en uno de los primeroscapítulos el colapso no unitario comoun postulado fundamental, la en­cuesta sugiere que muchos físicos(especialmente los cada vez másnumerosos que se dedican a la com­putación cuántica) no toman este pos­tulado en serio. La noción de colapsoseguirá siendo útil como receta decálculo, pero una advertencia adicio­nal de que probablemente no se tratade un proceso fundamental que violala ecuación de Schrodinger ahorra­ría muchas horas de confusión a losestudiantes más avispados.

Mirando al futuro

T ras 100 años de ideas cuánticas,¿qué nos depara el futuro? ¿Qué

misterios quedan por resolver? ¿Quéhemos de pensar o hacer con los cuan­tos? Aunque las cuestiones relacio­nadas con la ontología y la natura­leza última de la realidad aparecenrecurrentemente en los debates sobrela interpretación de la mecánica cuán­tica, puede que la teoría no sea sinouna de las piezas del rompecabezas.Podemos agrupar las teorías en árbo­les genealógicos de forma que, almenos en principio, cada una de ellasesté basada en las teorías más fun­damentales que la preceden. Muy enlo alto del árbol hallamos la teoría dela relatividad general y la teoría cuán­tica de campos. En el siguiente nivelaparecen la relatividad especial y lamecánica cuántica, que a su vez com­prenden el electromagnetismo, la me­cánica clásica, la física atómica, etc.Disciplinas como la informática, lapsicología o la medicina aparecen enlas ramas inferiores.

Todas estas teorías tienen dos com­ponentes: las ecuaciones matemáti­cas y la prosa que explican la rela­ción entre ecuaciones y observaciónexperimental. La mecánica cuánticaenseñada en los manuales presentaambos componentes: algunas ecua­ciones y tres postulados fundamen­tales enunciados con palabras dellenguaje ordinario. En cada nivel dela jerarquía de teorías se introducennuevos conceptos (por ejemplo, pro­tones, átomos, células, organismos,culturas) porque son convenientes yporque captan la esencia de los fenó­menos, sin tener que recurrir a lasteorías de niveles superiores. La pro­porción entre ecuaciones y prosadecrece a medida que descendemospor el árbol de teorías, y aquéllas ter­minan por desaparecer llegados a lamedicina o la sociología. Las teoríasde la copa del árbol, en cambio, estánfuertemente matematizadas, y losfísicos siguen esforzándose por com-

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ONE HUNDRED YEARS OF QUANTUM PHY­SICS. Daniel Kleppner y Roman Jackiw,en Science, vol. 289,págs. 893-898; 11 deagosto de 2000.

BEAM LINE. Número especial dedicado alsiglocuántico. Volumen 30,número 2 (ve­ran%toño 2000). Disponible en la red enwww .slac .stanford.edu/pubs/beamline/pdf/OOii.pdf.

MAX PLANCK: THE RELUCTANT REVOLU­TIONARY. Helge Kragh, en Physics World,vol. 13, n.o 12, págs. 31-35; diciembre de2000.

THE QUANTUM CENTENNIAL. A. Zeilinger,en Nature, vol. 408, págs. 639-641; 7 dediciembre de 2000.

BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA

prender los conceptos codificados enlas fórmulas que utilizan.

El objetivo último de la física esdar con lo que popularmente se conocecomo una teoría del todo, a partir dela cual se deduzca el resto. De exis­tir una teoría así, ocuparía el lugarmás alto del árbol genealógico, lo quequerría decir que tanto la teoría dela relatividad general como la teoríacuántica de campos se deducirían deella. Los físicos echamos de menosalgo en lo alto del árbol, porque care­cemos de una teoría consistente queincluya la gravedad y la mecánicacuántica, mientras que el universocontiene ambos fenómenos.

Una teoría del todo puede que nodebiera contener ningún concepto,ya que de otro modo nos veríamosobligados a buscar una explicaciónpara esos conceptos en términos deuna teoría más fundamental, y asísucesivamente en un proceso sin fin.En otras palabras, la teoría deberíaser pura matemática y no incluirexplicaciones ni postulados. Un ma­temático infinitamente inteligen­te podría deducir todo el árbol ge­nealógico de teorías a partir de lasecuaciones, e inferir así las propie­dades del universo que estas ecua­ciones describen, junto con las pro­piedades de sus habitantes y suspercepciones del mundo.

El primer siglo de mecánica cuán­tica nos ha regalado técnicas muypoderosas y ha contestado a muchaspreguntas. Pero la física ha plantea­do nuevas cuestiones tan importan­tes como las que preocupaban aMaxwell cuando impartió su leccióninaugural, cuestiones relacionadascon la gravedad cuántica y con lanaturaleza última de la realidad. Sila historia nos enseña algo, la cen­turia que iniciamos nos deparará másde una sorpresa.

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Manuel García Doncel: Heisenberg, imprecisión y revolución cuántica y Dirac y labelleza de lafísica; Xavier Roqué: Cien años de misterios cuánticos; RamónPascual: Reglas para un mundo cuántico complejo, Trampa de láser para partículasneutras, Puntos cuánticos y Electrodinámica cuántica en cavidades; Ma VictoriaGracia: Computación cuántica con moléculas; Juan Pedro Campos: Teletransportecuántico, El límite clásico del átomo y El condensado de Bose-Einstein; Julio A.Alonso: El láser monoatómico

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