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ASIGNATURA: Asignatura

DOCUMENTO: Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación

CÓDIGO DOCUMENTO: Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

HISTORIA DEL DOCUMENTO

Nombre del documento: Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación

Código del documento: Tráfico-Ejer-06-12.doc

Versión Revisión Fecha Motivo de la modificación Responsable

01 0 2/8/2006 Documento Original Jesús Corrales Serrano

01 0 2/6/2006 Documento Original Víctor Riesco Maqueda

01 0 2/6/2006 Ampliación Elisa Bernal

02 1 23/9/2006 Cotejo Jesús Hernández Puga

02 1 23/9/2006 Cotejo José Luis Galarreta

1 30/10/2006 Cotejo y ampliación Estefanía Moya

1 30/10/2006 Ampliación Blanca Esther García

1 20/10/2006 Ampliación Cristina Martín

Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones

Ejercicios de Tráfico en Telecomunicación


Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc Pág 1

INDICE

1. DESCRIPCIÓN DEL DOCUMENTO................................................................................. 4

2. INTRODUCCIÓN.................................................................................................................. 6

2.1 A QUIÉN VA DIRIGIDO EL DOCUMENTO................................................................................ 6 2.2 PROPÓSITO DEL DOCUMENTO .............................................................................................. 6 2.3 CÓMO UTILIZAR EL DOCUMENTO ........................................................................................ 6 2.4 DOCUMENTOS RELACIONADOS ........................................................................................... 6 2.5 FORMA DE CONTACTAR CON LOS AUTORES ......................................................................... 6

3 DESARROLLO...................................................................................................................... 8

3.1 EJERCICIO 1 ........................................................................................................................ 8 3.2 EJERCICIO 2 ...................................................................................................................... 10 3.3 VARIACIÓN DEL EJERCICIO 2............................................................................................. 14 3.4 EJERCICIO 3 ...................................................................................................................... 17 3.5 EJERCICIO 3 RESUELTO CON QUEUE ............................................................................... 19 3.6 EJERCICIO 4 ...................................................................................................................... 21 3.7 EJERCICIO 4 RESUELTO CON QUEUE ............................................................................... 22 3.8 EJERCICIO 5 ...................................................................................................................... 24 3.9 EJERCICIO 5 RESUELTO CON QUEUE................................................................................ 26 3.10 EJERCICIO 6 ...................................................................................................................... 34 3.11 EJERCICIO 6 RESUELTO CON QUEUE .............................................................................. 35 3.12 EJERCICIO 7 ...................................................................................................................... 39 3.13 EJERCICIO 7 RESUELTO CON EL QUEUE.......................................................................... 41 3.14 EJERCICIO 8 ...................................................................................................................... 43 3.15 EJERCICIO 9 ...................................................................................................................... 46 3.16 EJERCICIO 10 .................................................................................................................... 47 3.17 EJERCICIO 10 RESUELTO CON QUEUE ............................................................................. 48 3.18 EJERCICIO 11 .................................................................................................................... 50 3.19 EJERCICIO 12 .................................................................................................................... 51

3.20 EJERCICIO 13 .................................................................................................................... 54 3.21 EJERCICIO 14 RESUELTO CON QUEUE ............................................................................. 56 3.22 EJERCICIO 15 RESUELTO CON QUEUE ............................................................................. 58 3.23 EJERCICIO 16 RESUELTO CON QUEUE ............................................................................ 61 3.24 EJERCICIO 17 RESUELTO CON QUEUE ............................................................................. 64

3.24.1 Solución Ejercicio 17(horas) .................................................................................. 66 3.24.2 Solución Ejercicio 17(minutos) .............................................................................. 67

3.25 EJERCICIO 18 RESUELTO CON QUEUE ............................................................................. 68 3.25.1 Solución Ejercicio 18(horas) .................................................................................. 69 3.25.2 Solución Ejercicio 18 (minutos) ............................................................................. 70

3.26 EJERCICIO 19 RESUELTO CON QUEUE ............................................................................. 71 3.26.1 Solución Ejercicio 19 (horas) ................................................................................. 73

3.27 EJERCICIO 20 RESUELTO CON QUEUE ............................................................................. 73 3.27.1 Solución Ejercicio 20 (horas) ................................................................................. 74

3.28 EJERCICIO 21 RESUELTO CON QUEUE.............................................................................. 75

3.29 EJERCICIO 22 RESUELTO CON QUEUE.............................................................................. 78


Pág 2 Tráfico-Ejer-06-12-v1.0.doc

3.30 EJERCICIO 23 .................................................................................................................... 81

CONCLUSIONES....................................................................................................................... 86

REFERENCIAS 88

APÉNDICE A. GLOSARIO ................................................................................................... 90



1. DESCRIPCIÓN DEL DOCUMENTO



2. INTRODUCCIÓN

2.1 A quién va dirigido el documento

A todos los alumnos que cursen la asignatura Redes de Comunicación I.

2.2 Propósito del documento

Desarrollo de una serie de ejercicios propuestos para una mayor comprensión de la teoría de tráfico en sistemas de telecomunicación.

2.3 Cómo utilizar el documento

Desarrollar los ejercicios propuestos.

2.4 Documentos relacionados

Documento (Apuntes) desarrollado por el alumnado sobre teoría de tráfico en sistemas de telecomunicación.

2.5 Forma de contactar con los autores



3 DESARROLLO

3.1 Ejercicio 1

En un haz de 4 circuitos, cada uno está ocupado un cuarto de hora diferente de la hora cargada (HC) ¿Cuál es el tráfico cursado por cada circuito y por el haz? Si coinciden los 4 cuartos de hora, ¿cuál es ahora el tráfico cursado por cada circuito y por el haz? a)

TV

UT

= Donde T HC=

1 1 1 160min

4 4 4 4

60min1

60min

1

4 4

t

t

t

t

i

V HC HC HC HC HC

V HCU E

T HC

UU E

= + + + = =

= = = =

= =

b) Al igual que en el apartado anterior pero ahora coinciden los cuatro cuartos de hora.

3

2

1

15 30 45 60

4



TV

UT

= Donde T HC=

1 1 1 160min

4 4 4 4

60min1

60min

1

4 4

t

t

t

t

i

V HC HC HC HC HC

V HCU E

T HC

UU E

= + + + = =

= = = =

= =

Como se puede observar el trafico cursado en el caso a y en el caso b es el mismo, ya que el volumen de trafico es la suma de los tiempos de ocupación, sin influir el periodo de tiempo en el que este ocupado el circuito. Por ello los resultados en el apartado a y b son los mismos.

3

2

1

15 30 45 60

4



3.2 Ejercicio 2

Un sistema de espera que inicialmente está vacío, se le atribuye la secuencia de tiempos de llegada {1, 3, 4, 16,17} y la correspondiente secuencia de tiempos de servicio {5, 6, 2, 3, 1}. El sistema se va ha estudiar en el intervalo de tiempo 0-20. Considere tres disciplinas de gestión de cola:

� FIFO (First In First Out) � SJF (Shortest Job First) sin expropiación. � SRPT (Shortest Remaining Processing Time First) con expropiación.

a) Dibujar gráficamente la curva de trabajo por hacer. b) Dibujar para cada disciplina de gestión de cola el proceso de servicio pendiente de recibir el usuario en el intervalo de tiempo 0-20. c) Para cada una de las disciplinas estime el tiempo medio de espera en cola. d) Para cada una de las disciplinas estime el tiempo medio promediado sólo sobre los usuarios que esperan. e) Calcular la tasa de llegadas, el factor de utilización y el tiempo medio de servicios.

a) Tiempos de llegada [1, 3, 4, 16, 17] Tiempos de servicio [5, 6, 2, 3, 1] Intervalo de tiempo [0-20]

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

t



b) - FIFO (First input, First output)

- SJF (Shortest Job First) sin expropiación. Cuando hay cola el primero que se ejecuta es el que menos tiempo solicite.

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

U1

U3

U2

U4

U5

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

U1 U2

U3 U4

U5

5 min

6 min

2 min 3 min

1 min

t



- SRPT (Shortest Remaining Processing Time First) con expropiación. En cuanto llega una petición mas corta que el tiempo que queda por ejecutarse de la anterior, lo desaloja y comienza a ejecutarse.

c)

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5

3 8 2 13 5 2 2 92,6min 1,8min

5 5 5 5

SJF SRPT

0 0 0

6 3 3min 8 3 5min 8 3 5min

12 4 8min 6 4 2min 6 4 2min

0 0 1

19 17 2min 2min

Q QW W

FIFO

w w w

w w w

w w w

w w w

w w

+ + + += = = = = =

= = == − = = − = = − == − = = − = = − == = == − = =

144424443 1444244435

5 2 1 81,6min

5 5

0min

QW

w

+ += = =

=144424443

d)

Q Q Q

13 9 8 W min SJF W min SRPT W min

3 3 3FIFO = = =

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

U1 U3

U2



e) La tasa de llegadas, el factor de utilización y el tiempo medio de servicios no de penden de la disciplina de cola, pero si la probabilidad de estado.

�

��

�

��

1

2

3

4

3 1 2

4 3 1 164

16 4 12 4

17 16 1

4

1 1 10,25

4

5 6 2 3 1 medio de servicios 3,4

5

1 1 10,29

3,4

0,2Factor de utilización =

t s

t st seg

t s

t s

segE t

usu

usuE

segE

segTiempo S

usu

usuS

segS

λλ

µµ

λρµ

∆ = − = ⎫⎪∆ = − = ⎪∆ = =⎬∆ = − = ⎪⎪∆ = − = ⎭

= ∆ =

= → = = =

+ + + +→ = =

= → = = =

→ = 50,86 86% 1

0,29ρ= → ≤



3.3 Variación del ejercicio 2

Estado: corregido Ejemplo de sistema M/M/1 5 llegadas consecutivas

Usuarios Instante de

entrada al sistema (sg)

Instante de entrada al

servidor T´(sg)

Instante de salida del servidor

T´´(sg) 0 0 0 0.051 1 1.75 1.75 3.006 2 2.405 3.006 39.992 3 20.557 39.992 74.533 4 22.95 74.533 100.517

a) Calcular el tiempo medio de estancia en el sistema.

b) Calcular la tasa media de llegadas. c) Calcular la tasa media de servicio (tiempo medio en el servidor).

d) Calcular el tiempo medio de espera ( QT )

e) Observación:



a) Calcular el tiempo medio de estancia en el sistema. Tiempo de estancia en el sistema = Instante de salida del servidor – Instante de entrada al sistema

i i i

T T´ T´´= −

Usuarios Instante de

entrada al sistema

T´(sg)

Instante de salida del

servidor T´´(sg)

Tiempo de estancia en el

sistema T(sg)

0 0 0,051 0,051

1 1,75 3,006 1,256

2 2,405 39,992 37,587

3 20,557 74,533 53,976

4 22,95 100,517 77,567

0 1 2 3 40,051 1.256 37,587 53,976 77,567

5 5

T T T T T+ + + + + + + += = = 34,087T sg

b) Calcular la tasa media de llegadas. Tiempo entre llegadas: Instante de entrada al sistema del usuario “t + 1” – instante de entrada al sistema del usuario “t”.

Tiempo medio entre llegadas:

4

11

5,744

=

=

∆= =∑i

i

i

T

λ sg/usuario

λ = (Tiempo medio entre llegadas)-1 = (5,74)-1 = 0,174 usuarios /s

Dato de la simulación para fuente de 5 usuarios: 1

2 /= sg usuλ

Usuarios Instante de entrada al sistema T´(sg)

Tiempos entre llegadas (sg)

0 0 -

1 1,75 1

1,75t

∆ =

2 2,405 2

0,655t

∆ =

3 20,557 3

18,152t

∆ =

4 22,95 4

2,393t

∆ =



c) Calcular la tasa media de servicio (tiempo medio en el servidor). Tiempo de servicio = Instante de salida del servidor – Instante de entrada al servidor

Usuarios Instante de entrada al servidor(s)

Instante de salida del

servidor (s)

Tiempo de servicio

(s)

0 0 0,051 0,051 1 1,75 3,006 1,256 2 3,006 39,992 36,986 3 39,992 74,533 34,541 4 74,533 100,517 25,984

Tasa media de servicio = µ-1= (Σ tiempos de servicio) / nº de servicios =

= 0,051+1,256+36,986+34,541+25,984

5= 19, 763 sg /usuario

Dato de la simulación para fuente de 5 usuarios: 1

18 /= sg usuµ

d) Calcular el tiempo medio de espera ( QT )

Tiempo de espera = Instante de entrada al servidor – Instante de entrada al sistema

Usuarios

Instante de

entrada al sistema (s)

Instante de

entrada al servidor(s)

Tiempos

de espera (s)

0 0 0 0 1 1,75 1,75 0 2 2,405 3,006 0,601 3 20,557 39,992 19,435 4 22,95 74,533 51,583

0 0 0,601 19,435 51,583

5

+ + + += = 14, 324QT sg/usuario

Comprobación:

Q

1T T 14.324 19.763 34.087 sg / usuario= + = + =

µ

e) Observación: λ µ>> ⇒ Sistema inestable



3.4 Ejercicio 3

Los enlaces que unen los nodos componentes de una Red Iberpac X.25 tienen una velocidad de transmisión de 9600 bps. El conmutador de paquetes puede analizarse como un modelo M/M/1. Despreciando el tiempo de proceso y considerando paquetes con longitud media de 128 bytes, calcular: a) Número medio de paquetes servidos por segundo. b) Valor medio del tiempo de respuesta de los paquetes para garantizar un tiempo de respuesta no mayor a 10 segundos para el 95% de los casos. Suponer que el tiempo de respuesta tiene una distribución exponencial. c) Número máximo de paquetes por segundo que puede admitir el conmutador en la situación anterior. d) Ocupación media (en bytes) de la memoria intermedia o buffer del conmutador.

9600

Longitud paquete =128 128 8 1024

V bps

bytes bytes bits bitsx

paquetes paquetes bytes paquetes

=

= =

a) En este apartado nos piden una tasa de servicio, paquetes servidos/segundo, la longitud de paquete que nos proporcionan es de bytes/paquetes y la velocidad de bits/segundos.

Convertimos los paquetes (bytes) en bits, para realizarlo sabemos que 1byte equivale a 8bits, nos queda:

9600

8Longitud paquete 128 128 1024

1

V bps

bytes bitsbytes bitspaquetes paquetespaquete byte

=

= = × =

1

( / ) 9600 9,3751024

bits paquete paquetespq s

segundosegundo bitsµ = × =

b) Nos indican que el tiempo de respuesta del sistema tiene una distribuión exponencial,

donde γ es la tasa media de respuesta de los paquetes y por tanto 1γ − es el tiempo

medio de respuesta (lo que me están pidiendo). Para garantizar un tiempo < 10s y viene dada por la función:

tetf γγ −⋅=)(

P{t ≤ T0(10s)}= 0,95



P{t > T0(10s)}=(1- 0,95)= 0,05

P{t > T0(10s)}= ∫

∞

To

dttf )( = ∫∞

⋅To

γ e tγ−dt = -e tγ− ∞

To = e 10γ−

0,05 = e 10γ− γ = ln (0,05)/(-10) = 0,2996 s 1−

T = 1/γ = 3,338 s

Tiempo medio de respuesta de los paquetes es de 3,338 s

c) En este apartado nos piden la tasa media de llegadas ( )λ , ya que nos piden el

número máximo de paquetes por segundo que pueden llegar al conmutador en la situación de respuesta no mayor a 10s.

T = 3,338s, si además sabemos que la tasa de servicio segundopaquetes375,9=µ

Tratándose de un sistema M/M/1, Solo tenemos que despejar λ

1 =

0.296

9.375 0.2996 9.0754

T

pq

s

µ λµ λ

λ

−− =

= − =

To

F(t)



d) Ocupación media ( QN ), el tiempo que debemos considerar es el tiempo de espera en el

buffer QT .

2

x

1

0.968 29.324

29.324 x 128 3752

Q Q

Q

Q

Q

N T

N

N pq

byteN pq bytes

pq

λ

ρρ

λρµ

=

=−

= = → =

= =

3.5 Ejercicio 3 Resuelto con QUEUE

Los enlaces que unen los nodos componentes de una Red Iberpac X.25 tienen una velocidad de transmisión de 9600 bps. El conmutador de paquetes puede analizarse como un modelo M/M/1. Despreciando el tiempo de proceso y considerando paquetes con longitud media de 128 bytes, Calcular: a) Número medio de paquetes servidos por segundo. b) Número máximo de paquetes por segundo que puede admitir el conmutador para garantizar un tiempo de respuesta no mayor a 10 segundos para el 95% de los paquetes. Suponer que el tiempo

de respuesta tiene una distribución exponencial. c) Ocupación media (en bytes) de la memoria intermedia o buffer del conmutador.

Extracción datos del problema

- C=1 servidores

- M/M/1 porque es una distribución de Poisson y es un sistema de espera puro.

- __

128 128 8 1024bytes byte bits bit

Lpq pq byte paq

= = × =

- 9600tx

V bytes=

A) bit 1

µ =9600 9,375paq 1024

paq paq

bit seg× =



B)

___ 1

3,338T sgγ

= = � ___ 1T

µ λ=

−� 9.0754λ =

Final Solution for ejerc13 M/M/1 With lambda = 9.0754 customers per sg and æ = 9.375 customers per sg Overall system effective arrival rate = 9.074966 per sg Overall system effective service rate = 9.074966 per sg Overall system effective utilization factor = 0.968004 Average number of customers in the system (L) = 29.9976 Average number of customers in the queue (Lq) = 29.0296 Average time a customer in the system (W) = 3.305532 sg Average time a customer in the queue (Wq) = 3.198865 sg The probability that all servers are idle (Po)= 0.032004 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.967996 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.03200 P(1) = 0.03098 P(2) = 0.02999 P(3) = 0.02903 P(4) = 0.02810 P(5) = 0.02721 P(6) = 0.02634 P(7) = 0.02550 P(8) = 0.02468 P(9) = 0.02389 P(10) = 0.02313 P(11) = 0.02239 P(12) = 0.02167 P(13) = 0.02098 P(14) = 0.02031 P(15) = 0.01966 P(16) = 0.01903 P(17) = 0.01843 P(18) = 0.01784 P(19) = 0.01727

P(20) = 0.01671 P(21) = 0.01618 P(22) = 0.01566 P(23) = 0.01516 P(24) = 0.01468 P(25) = 0.01421 P(26) = 0.01376 P(27) = 0.01332 P(28) = 0.01289 P(29) = 0.01248 P(30) = 0.01208

( )30

0

0.635561

i

P i=

=∑

Factor ocupación = 0.9679Pwϕ = = �96,8 %



C) ____

29.029Nq pq= � ____

29.029 128 3715.78bytes

Nq pq bytespaq

= × =

3.6 Ejercicio 4

Un concentrador reparte paquetes de datos en N líneas de forma equiprobable. La longitud media de los paquetes es de 4096 bits. En promedio llega al concentrador un paquete cada 0.208 segundos. Cada línea tiene una capacidad de 2048 bps. a) Calcular el número mínimo de líneas de salida para poder cursar el tráfico ofrecido. b) Para el número mínimo de líneas, calcular el tráfico cursado por línea. c) Porcentaje de ocupación de las líneas. d) Calcular el número de líneas del sistema para que cada línea estuviera desocupada al menos el 10% del tiempo. e) Determinar el número de paquetes por segundo que envía cada línea y el sistema completo en las condiciones del apartado anterior.

Datos:

M/M/C

4096

1 12048 x

24096

0.208

1 14.808

bitL

pq

bit pq

bitsg sg

pq

E sg

pqE

E sg

µ

λλ

=

= =

=

= → = =

a)

1 9.6 10 .

c cc

λ λρµ µ

= = → = = → =

b)

10

4.808

0.4808i

c

pq

sg

pq

c sg

λ

λλ

=

=

= =

c)



0.9619 1 96.16%i

i

λρµ

= = ≤ →

d)

0.9

0.9 10.68 11 .

c c

c

ρλ λρ

µ µ

≤

= = → = = → =

e)

0.436

.

i

i

pq

c sg

c

λλ

λ λ

= =

=


Un concentrador reparte paquetes de datos en N líneas de forma equiprobable. La longitud media de los paquetes es de 4096 bits. En promedio llega al concentrador un paquete cada 0.208 segundos. Cada línea tiene una capacidad de 2048 bps. a) Calcular el número mínimo de líneas de salida para poder cursar el tráfico ofrecido. b) Para el número mínimo de líneas, calcular el tráfico cursado por línea. c) Porcentaje de ocupación de las líneas. d) Calcular el número de líneas del sistema para que cada línea estuviera desocupada al menos el 10% del tiempo. e) Determinar el número de paquetes por segundo que envía cada línea y el sistema completo en las condiciones del apartado anterior.


- M/M/C porque es una distribución de Poisson y es un sistema de espera puro.

- __

4096bits

Lpaq

=

- 1

0.208seg

paqλ= � 4.808

paq

segλ =



- 2048bits

segµ = �

2048

0.5

4096

bit

paqseg

bit seg

paq

µ = =

A) min{1, }c

λϕµ

= � 1c

λµ

= � 10c

λµ

= =

B) C = 10

4.808 /pq sgλ =

0.4808i c

λλ = =

C) 0.9616 1i

λϕ

µ= = <

D) 0.9ϕ ≤ � 0.9c

λϕµ

= = � 10.68c = � 11c =

E) 0.436(11)i

paq

c seg

λλ = =



Final Solution for ejer14

M/M/10

With lambda = 4.808 customers per s and æ = .5 customers per s

Overall system effective arrival rate = 4.807905 per s

Overall system effective service rate = 4.807905 per s

Overall system effective utilization factor = 0.961582

Average number of customers in the system (L) = 31.1695

Average number of customers in the queue (Lq) = 21.5537

Average time a customer in the system (W) = 6.482968 s

Average time a customer in the queue (Wq) = 4.482966 s

The probability that all servers are idle (Po)= 0.000018

The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.864438

3.8 Ejercicio 5

Una sucursal bancaria estima que la tasa de llegada de clientes (siguiendo una distribución de Poisson) es de 30 clientes/hora. En el momento de observación del fenómeno a estudiar hay solo una ventanilla abierta al público y el tiempo de servicio está distribuido exponencialmente con media 115 sg/cliente. Determinar: a) Número medio de clientes en el sistema y número medio de clientes en espera. b) Tiempo medio de espera y tiempo medio de permanencia en la sucursal.

c) Ante la vista de los resultados en los apartados anteriores se decide abrir una segunda ventanilla al público. Repita los cálculos realizados.



/ /1

30

115

1 10.008695 31.30

115

M M

c

h

sgS

c

c c

S sg h

λ

µ

=

=

= = = =

a)

2

Q

.

.

30.100 95.8%

31.30

22.9 clientes 23 clientes1

N 22.04 clientes1

Q QN T

N T

N

λ

λλ λ

ρ

ρρ

ρρ

=

=

=

= =

= = →−

= =−

b)

44.08 min

45.997 min

QT

T

=

=

c)

( )

/ / 2

0.479 .

1. ,

1

/ /.

Q

M M

c

N C c U

M M Cc

U

λρµ

ρλρµ

λµ

= =

⎧ ⎫=⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪=⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪

=⎪ ⎪⎩ ⎭



0.285 clientes

1.24 clientes

34.23 sg

2.49 min

Q

Q

N

N

T

T

=

=

=

=

3.9 Ejercicio 5 resuelto con QUEUE

Una sucursal bancaria estima que la tasa de llegada de clientes (siguiendo una distribución de

Poisson) es de 30 clientes/hora. En el momento de observación del fenómeno a estudiar hay solo

una ventanilla abierta al público y el tiempo de servicio está distribuido exponencialmente con

media 115 sg/cliente. Determinar:

a) Número medio de clientes en el sistema y número medio de clientes en espera.

b) Tiempo medio de espera y tiempo medio de permanencia en la sucursal.

c) Ante la vista de los resultados en los apartados anteriores se decide abrir una segunda

ventanilla al público. Repita los cálculos realizados.

Lo primero que tenemos que hacer es identificar los términos que nos están dando en el

enunciado y transformarlos de tal manera que podamos trabajar con ellos;

- Tasa de Entrada

clientes 30 clientes clientes = 30 = = 0.5

hora 60 min minλ

- Tasa de Salida

1 seg 60 clientes clientes = 115 => µ = = 0.5217

cliente 115 min minµ

- Numero de servidores



Como solo hay una ventanilla luego tenemos un único servidor, y como nos indica en el

enunciado que es un proceso con una distribución de Poisson y tal y como hemos

aprendido en la teoría que es un sistema de espera puro, luego estamos ante un M/M/1

Una vez hallamos adecuado los datos empezaremos a trabajar con ellos en el QUEUE: por lo

tanto abrimos la aplicación QUEUE.EXE

Esta es la pantalla principal de presentación del Queue, desde la cual vamos a poder

acceder a todas las aplicaciones del programa. Para acceder a dichas funciones nos valdría

únicamente con pulsar el numero de la función que deseemos en cada momento, o bien,

desplazarnos con los cursores.

Para empezar lo primero que tenemos que hacer es meter nuestro problema, en cuyo caso

la función que nos interesa en este caso es la numero 2. Dicha función nos lleva ala siguiente

pantalla:



En esta pantalla nos pide:

- En primer lugar que pongamos el nombre del ejercicio

- En segundo lugar que introduzcamos con que unidades vamos a trabajar. En este caso

como ya hemos realizados las operaciones oportunas hemos visto que las operaciones nos

las dan en minutos (m)

En la siguiente pantalla nos pide que insertemos todos los datos para la resolución del

problema.



* Para la distribución de Poisson o Normal, no hay que especificar la desviación típica puesto

que una distribución de Poisson queda completamente definida por el valor medio del tiempo

entre sucesos.

* Pressure coefficient: 0. (no es necesario especificar)

* Discouraged coefficient: 0. (no es necesario especificar)

* Bulk arrival size (tamaño de llegadas en bloque). Valor medio = 1, desviación típica = 0. (No es

necesario especificar)

Procedemos a insertar los datos del problema.



Al no poner nada en las ultimas líneas el programa sobreentiende que tanto la población

como la cola es infinito, es decir que pueden llegar a la ventanilla infinitas personas.

Ahora al salir de esta pantalla vuelve a la pantalla principal del menú donde elegiremos la

opción Nº 5 para solucionar el problema

En esta pantalla lo que nos esta planteando la pregunta es que cuantas probabilidades queremos

que calcule y muestre por pantalla.



Una vez que solucionamos el problema nos disipemos a obtener los resultados

Tal y como podemos observar en la pantalla anterior obtenemos los siguientes resultados:

L = N = número de clientes en el sistema = 23 clientes

Lq = Nq = numero de clientes en cola = 22.04 clientes

Nc = numero de clientes que están siendo atendidos = Uc = 0.9583 clientes

W = T = tiempo en el sistema = 46 min

Wq = Tq = tiempo en la cola = 44´08 min

Wc = Tc = tiempo que tarda en ser atendido = 1

µ = 115 sg

ρ = factor de ocupación = 0.9583 = 95.8%

De estos resultados podemos sacar como conclusión que es un sistema muy lento en el

cual se produce mucha cola, con un factor de ocupación muy alto (96%)



En esta pantalla observamos el resultado de la probabilidad para cada numero de clientes

que puede haber en el sistema.

El siguiente dato que nos da es la suma de probabilidades, en este caso no nos da igual a 1

(que es lo que debe dar en teoría), esto es debido a que la cola es infinita y no hemos metido

suficientes valores.

C) En este apartado el único dato que cambia es que ahora tenemos dos servidores (C=2). Por

lo que tenemos que repetir los cálculos con los nuevos datos. Para no tener que volver a

introducir todo el problema utilizamos la función nº 7 para modificar el problema dejándolo de tal

manera:



Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. < 2 > Number of servers < 0.5217 > Service rate (µ) per server per ---min------- < 1 > Distribution of service time < 0 > Standard deviation of service time in units of time < 0 > Pressure coefficient < 0.5 > Arrival rate (λ) per ---min------- < 1 > Distribution of interarrival time < 0 > Standard deviation of interarrival time in units of time < 0 > Discouraged coefficient < 1 > Bulk arrival size < 0 > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population * Otra forma de mostrar los resultados es guardando la solución como un archivo de texto, mediante la función nº 8 show final solution�save solution

Obtenemos la siguiente solución:

Final Solution for e1c

M/M/2

With lambda = .5 customers per m and æ = .5217 customers per m Overall system effective arrival rate = 0.500000 per m

Overall system effective service rate = 0.500000 per m Overall system effective utilization factor = 0.479203 Average number of customers in the system (L) = 1.244093


Average time a customer in the system (W) = 2.488185 m Average time a customer in the queue (Wq) = 0.571375 m The probability that all servers are idle (Po)= 0.352080




Probability of n Customers in the System

P(0) = 0.35208 P(1) = 0.33744 P(2) = 0.16170 P(3) = 0.07749 P(4) = 0.03713 P(5) = 0.01779 P(6) = 0.00853 P(7) = 0.00409 P(8) = 0.00196 P(9) = 0.00094 P(10) = 0.00045 P(11) = 0.00022 P(12) = 0.00010 P(13) = 0.00005 P(14) = 0.00002 P(15) = 0.00001 P(16) = 0.00001 P(17) = 0.00000 P(18) = 0.00000 P(19) = 0.00000 P(20) = 0.00000 P(21) = 0.00000 P(22) = 0.00000 P(23) = 0.00000 P(24) = 0.00000 P(25) = 0.00000 P(26) = 0.00000 P(27) = 0.00000 P(28) = 0.00000 P(29) = 0.00000 P(30) = 0.00000 P(31) = 0.00000 P(32) = 0.00000 P(33) = 0.00000 P(34) = 0.00000 P(35) = 0.00000 P(36) = 0.00000 P(37) = 0.00000 P(38) = 0.00000 P(39) = 0.00000 P(40) = 0.00000 P(41) = 0.00000 P(42) = 0.00000 P(43) = 0.00000 P(44) = 0.00000 P(45) = 0.00000 P(46) = 0.00000 P(47) = 0.00000 P(48) = 0.00000 P(49) = 0.00000 P(50) = 0.00000

( )50

0

1.00

i

P i

==∑

Tal y como podemos ver tanto el tiempo de espera como la cola se reducen de una manera

importante, convirtiéndose en un sistema mucho mas eficaz. y recomendable.

3.10 Ejercicio 6

Un cyber-café mantiene 8 terminales disponibles durante 8 horas al día. Se considera que llegan al local (siguiendo un proceso de Poisson) una media de 24 clientes diarios y el tiempo medio de servicio (distribución exponencial) es de 4 horas. Cuando un cliente encuentra todos los

puestos ocupados, abandona el local. a) Calcular la probabilidad de que estén los 8 puestos ocupados. Calcular la probabilidad de que al llegar un nuevo cliente tenga algún sitio disponible. b) ¿Número mínimo de máquinas para que la probabilidad de que un cliente abandone el local

(todos puestos ocupados) no sea superior al 10 %? c) Conteste de nuevo a los apartados anteriores si el tiempo medio de servicio se reduce a la mitad.

Datos:



C=8 servidores

clientes 24 clientes clientes

= 24 = = 3 dia 8 hora min

λ

1 h 1 clientes clientes

= 4 => µ = = 0.25 cliente 4 h hµ

a)

( ) ( )

{ } ( )

, 8,12 0.42 42%

12

1 , 1 0.42 0.58 58%r

B c U B

U E

P Servidor B c U

λµ

= = →

= =

= − = − = →

b)

( ), 0.1 15B c U c= → =

c)

( ) ( ){ } ( )( )

12 6

`

, 8,6 0.15 15%

1 8,6 1 0.15 0.85 85%

,6 0.1 13

r

h U E

B c U B

P Servidor B

B c c

λµ µ

= = =

= = →

= − = − = →

= → =


Un cyber-café mantiene 8 terminales disponibles durante 8 horas al día. Se considera que llegan al local (siguiendo un proceso de Poisson) una media de 24 clientes diarios y el tiempo medio de

servicio (distribución exponencial) es de 4 horas. Cuando un cliente encuentra todos los puestos ocupados, abandona el local. a) Calcular la probabilidad de que estén los 8 puestos ocupados. Calcular la probabilidad de que

al llegar un nuevo cliente tenga algún sitio disponible. b) ¿Número mínimo de máquinas para que la probabilidad de que un cliente abandone el local (todos puestos ocupados) no sea superior al 10 %? c) Conteste de nuevo a los apartados anteriores si el tiempo medio de servicio se reduce a la mitad.




- C=8 servidores

- M/M/8/8 porque es una distribución de Poisson y es un sistema de perdida puro.

- Tasa de Entrada

clientes 24 clientes clientes = 24 = = 3

dia 8 hora hλ

- Tasa de Salida

1 h 1 clientes clientes = 4 => µ = = 0.25

cliente 4 h hµ

Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. < 8 > Number of servers < 0.25 > Service rate (µ) per server per --h-------- < 1 > Distribution of service time < 0 > Standard deviation of service time in units of time < 0 > Pressure coefficient < 3 > Arrival rate (λ) per --h-------- < 1 > Distribution of interarrival time < 0 > Standard deviation of interarrival time in units of time < 0 > Discouraged coefficient < 1 > Bulk arrival size < 0 > Standard deviation of bulk arrival size < 8 > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population

Final Solution for ejer2 M/M/8/8

With lambda = 3 customers per h and æ = .25 customers per h Overall system effective arrival rate = 3.000000 per h

Overall system effective service rate = 1.732035 per h Overall system effective utilization factor = 0.866017




Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 2.309380 h Average time a customer in the queue (Wq) = 0 h The probability that all servers are idle (Po)= 0.000040 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.422655

Probability of n Customers in the System P(0) = 0.00004 P(1) = 0.00048 P(2) = 0.00285 P(3) = 0.01141 P(4) = 0.03424 P(5) = 0.08218 P(6) = 0.16437 P(7) = 0.28177 P(8) = 0.42266 P(9) = 0.00000 P(10) = 0.00000

( )10

0

1.00

i

P i

==∑

Tal y como podemos observar es un sistema de perdida puro por lo que vemos que no hay cola, es decir que cuando todos los puestos estan llenos los desechan

A) Pw = 0.4226 = 42.2 % =PB

Pr(A) = 1- Pw = 1- 0.4226 = 0.57 = 57 %

B) PB< 10 %

Lo que vamos haciendo es modificar el programa haciendo variar el número de servidores (aumentando) hasta conseguir el dato. Final Solution for ejer2

M/M/15/15 With lambda = 3 customers per h and æ = .25 customers per h

Overall system effective arrival rate = 3.000001 per h Overall system effective service rate = 2.742812 per h

Overall system effective utilization factor = 0.731417 Average number of customers in the system (L) = 10.9712



Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 3.657082 h Average time a customer in the queue (Wq) = 0 h The probability that all servers are idle (Po)= 0.73E-05 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.085729 < 0.1 = 10 % Probability of n Customers in the System P(0) = 0.00001 P(1) = 0.00009 P(2) = 0.00052 P(3) = 0.00210 P(4) = 0.00629 P(5) = 0.01509 P(6) = 0.03018 P(7) = 0.05173 P(8) = 0.07760 P(9) = 0.10346 P(10) = 0.12415 P(11) = 0.13544 P(12) = 0.13544 P(13) = 0.12502 P(14) = 0.10716 P(15) = 0.08573 P(16) = 0.00000

( )16

0

1.00

i

P i

==∑

Luego hasta que no tengamos 15 servidores no conseguiremos descender la probabilidad

de bloqueo por debajo del 10 % C.1) Final Solution for ejer2 M/M/8/8

With lambda = 3 customers per h and æ = .5 customers per h

Overall system effective arrival rate = 3.000000 per h

Overall system effective service rate = 2.634373 per h

Overall system effective utilization factor = 0.658593

Average number of customers in the system (L) = 5.268745 Average number of customers in the queue (Lq) = 0

Average time a customer in the system (W) = 1.756248 h Average time a customer in the queue (Wq) = 0 h





Pw= 0.121876 = PB = 12.2 %

Pr (A) = 1 – PB = 87.7 %

C.2)

El otro lo lograremos de igual manera variando el numero de servidores hasta comprobar que se cumple cuando el numero de servidores es igual a:

C = 9 � Pw = 0.07 < 0.1

3.12 Ejercicio 7

En una carretera comarcal hay un surtidor de gasolina. Las llegadas de vehículos al surtidor se producen según un proceso de Poisson de media 10 a la hora mientras que el tiempo medio de servicio es de 4 minutos por cliente, siendo éste exponencial. a) Calcular la probabilidad de que cuando un vehículo llega, el surtidor esté vacío. b) Calcular la probabilidad de que cuando llega un vehículo a la gasolinera, haya más de dos esperando en la cola. c) Cuando llega un vehículo al sistema ¿cuál es el número esperado de vehículos que encontrará en la cola?

d) Calcular el tiempo medio de un coche en la estación de servicio.

Datos:

/ /1

110

6 min

14min 0.25

min

M M

c c

h

c

λ

µµ

= =

= =

a)



0

0

1

2

3

1

3

P

P

ρλρµ

= −

= =

=

b)

{ } ( )

{ } ( )

3 4 5 0 1 2

0

1 0

2

2 0

..... 1

0.22

0.148

1 0.33 0.22 0.148 0.3

r

n

n

r

P A P P P P P P

P P

P P

P P

P A

ρρρ

= + + + = − + +

== =

= == − + + =

c)

2

4

491.33

11 3

3

QN usuariosρ

ρ= = = =

−

d)

/ /1

2

32

11

3

212min

1

6

N T

M M

N

T

λλ λ

ρρ

=

→ =

= = =−

= =



3.13 Ejercicio 7 Resuelto con el QUEUE

En una carretera comarcal hay un surtidor de gasolina. Las llegadas de vehículos al surtidor se producen según un proceso de Poisson de media 10 a la hora mientras que el tiempo medio de servicio es de 4 minutos por cliente, siendo éste exponencial. a) Calcular la probabilidad de que cuando un vehículo llega, el surtidor esté vacío. b) Calcular la probabilidad de que cuando llega un vehículo a la gasolinera, haya más de dos esperando en la cola. c) Cuando llega un vehículo al sistema ¿cuál es el número esperado de vehículos que encontrará en la cola? d) Calcular el tiempo medio de un coche en la estación de servicio.

Extracción de datos:

- Nº servidores C = 1

- M/M/1 Proceso de Poisson, proceso de espera puro

- Tasa de Entrada


h 60 min minλ

- Tasa de Salida

1 min 1 clientes clientes = 4 => µ = = 0.25

cliente 4 min minµ

Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. < 1 > Number of servers < 0.25 > Service rate (µ) per server per ----min------ < 1 > Distribution of service time < 0 > Standard deviation of service time in units of time

< 0 > Pressure coefficient < 0.167 > Arrival rate (λ) per ----min------ < 1 > Distribution of interarrival time

< 0 > Standard deviation of interarrival time in units of time < 0 > Discouraged coefficient < 1 > Bulk arrival size < 0 > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system

< > Maximum number of customers in the population



Final Solution for ejer3 M/M/1 With lambda = .167 customers per m and æ = .25 customers per m Overall system effective arrival rate = 0.167000 per m Overall system effective service rate = 0.167000 per m Overall system effective utilization factor = 0.668001 Average number of customers in the system (L) = 2.012049 Average number of customers in the queue (Lq) = 1.344048 Average time a customer in the system (W) = 12.0482 m Average time a customer in the queue (Wq) = 8.048190 m The probability that all servers are idle (Po)= 0.332000 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.668000

Probability of n Customers in the System P(0) = 0.33200 P(1) = 0.22178 P(2) = 0.14815 P(3) = 0.09896 P(4) = 0.06611 P(5) = 0.04416 P(6) = 0.02950 P(7) = 0.01970 P(8) = 0.01316 P(9) = 0.00879 P(10) = 0.00587 P(11) = 0.00392 P(12) = 0.00262 P(13) = 0.00175 P(14) = 0.00117 P(15) = 0.00078 P(16) = 0.00052 P(17) = 0.00035 P(18) = 0.00023 P(19) = 0.00016 P(20) = 0.00010 P(21) = 0.00007 P(22) = 0.00005 P(23) = 0.00003 P(24) = 0.00002 P(25) = 0.00001 P(26) = 0.00001 P(27) = 0.00001 P(28) = 0.00000 P(29) = 0.00000 P(30) = 0.00000

( )30

0

0.99999

i

P i

==∑

A)

Po = 0.332� 33.2 % = Po

B)



4 5 6 7 3 2 1 0( ) ...... 1 ( )

1 (0.332 0.221 0.148 0.099) 0.2 ( )

r

r

P A P P P P P P P P

P A

= + + + + = − + + += − + + + =�

Luego la probabilidad de que haya más de 3 en el sistema es de un 20%

C)

____

Nq =

____

1.34Lq = clientes

D) ___

W 12minT = =

3.14 Ejercicio 8

Un supermercado cuenta con 7 cajas de cobro. Los clientes llegan a ellas siguiendo un proceso de Poisson con una tasa media de 100 clientes/hora. El personal que atiende cada caja de cobro necesita en media 5 segundos para procesar cada unidad de compra (cada elemento que el cliente desea comprar) Además, se estima que el tiempo de cobro de un cliente, sea en efectivo o con tarjeta, es de 1.5 minutos. Se estima que los clientes se distribuyen en dos grupos: - Grupo A: clientes que compran cestas de hasta x unidades, - Grupo B: usuarios que llevan en sus carros más de x unidades. El grupo A supone el 10% de los clientes totales. En este grupo, el número medio de unidades en las compras es 9 unidades/cliente, mientras que en el grupo B asciende a 30 unidades/cliente. Con vistas a reducir el tiempo medio de espera en cola, el gerente de tienda se está planteando aplicar una de las dos soluciones siguientes: -Añadir una caja de cobro equivalente a las ya existentes. -Añadir una caja de cobro rápida. La caja rápida despacharía todos los clientes del grupo A y ninguno del grupo B. a) Calcule el tiempo medio de espera en cola en la situación inicial, con 7 cajas de cobro.

b) ¿Cuál de las dos soluciones planteadas recomendaría al responsable? Justifique la respuesta con los cálculos apropiados.

Datos:



/ /

7

10100 1.667

6 min

min1.5

5 1 min5

60 12

10% 9 unidades por cliente

90% 30 unidades por cliente

c

r

M M C

c

c c

h

tc

segt

unidad unidad

A

B

λ

=

= = =

=

= = =

→ →→ →

Análisis:

/ / 8

1.667min

9 0.1 30 0.9 27.9

1 min min27.9 2.325

12

13.525

10.28

3.525

6.375

r

c r

M M

usu

unik x x

cliente

unit x

uni cliente cliente

t t

U E

λ

µ

µ

λµ

=

= + =

= =

= + =

= =

= =

� 1)

1

1 1

1

/ /1

0.1667min

1 min 3 min9 0.75

12 4

10.375

r

c r

M M

usu

unit x

uni cliente cliente

t t U E

λ

µµ

=

= = =

= + → → =



� 2)

2

1

/ / 7

0.9 1.5min

1 min30 2.5

12

14min 0.25

16

r

c r

M M

clientex

t xcliente

t t

U x E

λ λ

µµ

λµ

= =

= =

= + = → =

= =

a)

( ) ( )

/ / 7

, 7,6.375 0.75

14.6min

Q Q

Q Q Q

M M

N xT

C c U C

N T xN

λ

λ

=

= =

→ = =

b) b.1) Sistema Completo

( )8 , 0.45

1.06minQ Q

c C c U

N T

= → =

→ =

b.2) Sistema (A)

2

1

1

1 1

/ /1

1

0.235 1.35min

Q

Q

Q Q

M M

N

NN T

λρ ρρ µ

λ

= =−

= → = =

b.3) Sistema (B)



( ) ( )/ / 7

, 7,6 0.6

2.4minQ

Q Q

M M

C c U C

NN T

λ

→ =

→ = =

La opción del sistema completo (M/M/8) es el que introduce un menor tiempo de espera en la cola.

3.15 Ejercicio 9

Una central telefónica produce un tráfico saliente de 750 LLR/HC. Suponga que los circuitos desean explotarse con una pérdida menor del 1%. a) Calcule el número mínimo de circuitos empleando un único haz. Indique el rendimiento de utilización de los circuitos. b) Si se emplean 5 haces, indique el número de circuitos por haz. Indique en este caso también el rendimiento de utilización de los circuitos. Datos:

( )

750

1% , 0.01

75025

30

LLRU

HC

Perdida B c U

U E

=

→ ≤

= =

p

Mirando la tabla de la Erlang-B para un trafico de 25 Erlangs y un probabilidad del 1% a)

( ), 0.01 36

25100 69.4%

36

B c U c circuitos

xη

= → =

= =

b)



( )

255 haces 5

5

, 0.01

11

5100 45.45%

11

U

B c U

c circuitos

xη

→ = =

==

= =

3.16 Ejercicio 10

Un codificador trabaja a 10 kbps y le llega un nuevo paquete de información cada 125 milisegundos. La longitud media de los paquetes es de 128 bytes. Suponga que el elemento tiene una capacidad de almacenamiento suficiente para evitar pérdidas de paquetes. Determinar: a) Probabilidad de que al llegar un paquete sea almacenado en el buffer de memoria. b) Número medio de paquetes en el buffer de memoria del codificador. c) Tiempo medio de estancia en el buffer. d) Si se duplican el tráfico entrante y la velocidad del codificador, ¿cómo afectaría esta variación a los parámetros calculados en los apartados anteriores?

Datos:

4

1

10

Cada paquete 128

109.765

128 8

0.125 8

Kbs

bytes

bps pq

bytes bits sgx

pq byte

sg pq

pq sg

µ

µ

λ λ−

=

= =

= → =

a)

/ /1

0.82 82%

M M

λρµ

= = →

b)

2

3.731

Q QN N pqρ

ρ= → =

−



c)

464

Q Q

Q

N T

T msg

λ

λ λ

=

=

=

d)

`

`

`

`

`

2

2

λ λµ µ

λρ ρµ

==

= =

a) No varia b) No varia

c) 232QT msg=


Un codificador trabaja a 10 kbps y le llega un nuevo paquete de información cada 125 milisegundos. La longitud media de los paquetes es de 128 bytes. Suponga que el elemento tiene una capacidad de almacenamiento suficiente para evitar pérdidas de paquetes. Determinar: a) Probabilidad de que al llegar un paquete sea almacenado en el buffer de memoria. b) Número medio de paquetes en el buffer de memoria del codificador. c) Tiempo medio de estancia en el buffer


- C=1 servidores

- M/M/1 porque es una distribución de Poisson y es un sistema de espera puro.

- __

128 128 8 1024bytes byte bits bits

Lpaq paq byte paq

= = × =

- 10tx

V Kbps=

- bit 1

µ =10000 9.765paq 1024

paq paq

bit seg× =



- paq

=0.125 seg

λ

<1 > Number of servers <9.765 > Service rate (æ) per server per units <1 > Distribution of service time <.1024066> Standard deviation of service time in units <0 > Pressure coefficient <8 > Arrival rate (lambda) per units <1 > Distribution of interarrival time <.125 > Standard deviation of interarrival time in units <0 > Discouraged coefficient <1 > Bulk arrival size <0 > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population M/M/1 With lambda = 8 customers per units and æ = 9.765 customers per units Overall system effective arrival rate = 8.000000 per units Overall system effective service rate = 8.000000 per units Overall system effective utilization factor = 0.819252 Average number of customers in the system (L) = 4.532577 Average number of customers in the queue (Lq) = 3.713324 Average time a customer in the system (W) = 0.566572 units

Average time a customer in the queue (Wq) = 0.464166 units The probability that all servers are idle (Po)= 0.180748

The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.819252 Probability of n Customers in the System

P(0) = 0.18075 P(1) = 0.14808 P(2) = 0.12131 P(3) = 0.09939 P(4) = 0.08142 P(5) = 0.06671 P(6) = 0.05465 P(7) = 0.04477 P(8) = 0.03668 P(9) = 0.03005 P(10) = 0.02462



A) Prob {esperar} = Pw = 0.819252. Luego la probabillidad de que sea almacenado es de un 81.92 % Otra forma de calcularlo es:

Prob {esperar} = p(1) p(2) p(3) ... p(n) 1 p(0)n 1

∞+ + + = = −∑

=

Al tratarse de un sistema con un único servidor, la probabilidad de esperar coincide con el factor de ocupación (probabilidad de estar ocupado el servidor)

B) ____

3.7133 pqNq Lq= =

C) ____

0.464166Tq Wq sg= = ___

0.5665T W sg= = esto es el tiempo medio de estancia en el sistema

3.18 Ejercicio 11

Para el conjunto de 5 órganos de una red telefónica se ha verificado que en la hora cargada la intensidad de tráfico es de 30 Erlangs. En este período son rechazadas 2 llamadas entrantes que encuentran todos los órganos ocupados. El tiempo total en la hora cargada en que todos los órganos están ocupados de forma simultánea es de 12 segundos. Se pide:

a) Grado de servicio (G○S) b) Tráfico ofrecido y cursado.

c) Duración media de las llamadas.

Datos:

( )5

30

=2r r

c

U E HC

ll

HCλ

==

= Α Α

a)

( ) 12 12 10.33%

3600 300B B

seg segP P

HC sg→ = = = =



b)

( )

0

0

0

0

0

.

2

6001

300

1

598

c r

r B

r

B

c B

c r

c

P

ll

llHC

P HC

P

ll

HC

Α = Α + ΑΑ = Α

ΑΑ = = =

Α = Α −Α = Α − Α

Α =

c)

1

1 30 1 min0.05 3

60

U

U

E HCt

ll ll ll

HC

λµ

µ λ

µ µ

=

=

= = = → =

3.19 Ejercicio 12

Una empresa de supermercados con tiendas a lo largo de toda la geografía nacional distribuye sus productos con dos marcas diferentes:

-AhorraSuper, marca original de la empresa con presencia en centro y sur de España. -SuperPrecios, empresa recientemente adquirida y con presencia en el norte y este de la península. Cada una de las cadenas dispone de su propio Centro de Atención al Cliente: un “Call Center” de

AhorraSuper en Madrid y otro de SuperPrecios en Barcelona. Los centros de llamadas están diseñados bajo los siguientes criterios:

- Número de enlaces primarios RDSI (30 canales de voz): 3 en enlaces para AhorraSuper y 4 primarios para SuperPrecios.



- Considerar que el número de teleoperadores atendiendo llamadas coincide con el número de circuitos. - Si todos los canales de voz se encuentran ocupados no se retiene la llamada sino que directamente se libera con el tono de ocupado. Adicionalmente, analizando las estadísticas de llamadas de ambos call centers se conoce lo siguiente: - El tiempo medio de atención por llamada es de 4 minutos. - La distribución de llamadas en función del tramo horario en el centro de SuperPrecios en Barcelona se muestra en la figura 1. Considere que la hora cargada corresponde a los 60 minutos consecutivos de mayor volumen de tráfico con inicio en horas en punto, es decir entre las xx:00 horas y las xx:59 horas. - Suponga que la hora de mayor intensidad de llamadas coincide en Madrid y Barcelona. - El número de llamadas no atendidas en AhorraSuper es mayor que en SuperPrecios detectado por un mayor número de reclamaciones. Una auditoria externa en AhorraSuper concluye que en la hora de mayor carga se pierden una de cada 20 llamadas. a) Calcule la probabilidad de que una llamada de el tono de ocupado por saturación en el call center de SuperPrecios en Barcelona. b) Indique el número mínimo de E1´s (enlaces primarios) que habría que ampliar en Madrid para tener una calidad de servicio no peor que en Barcelona. c) Si se tuviese un único Centro de Atención al Cliente con recursos totales idénticos a la suma de los recursos de los dos call centers, ¿la probabilidad de pérdida de llamadas variaría? En caso afirmativo, indique si aumentaría o se reduciría. Justifique su respuesta.



Datos:

1 30

3 1 3 30 90

4 1 4 30 120

Todo ocupado Sistema de pérdidas (M/M/c/c)

1 min4

la grafica 1500 25min

Tráfico en Barcelona 100

o

E c ctos

Ah Madrid E ctos

S Barcelona E ctos

llam

ll llBarcelona De A

HC

U E

µ

λ

λµ

→ =→ → → × =

→ → → × =→

=

→ → = → =

→ = =

a)



{ } (M/M/c/c) Erlang B

B(c,U)=B(120,100)=0,6%

BP Barcelona →

b)

15%

20

( , )

9085

5%

85105 4 1 1 1

0,6%

B

B

B

Madrid P

B c U

c ctosU E

P

U Ec ctos E Añadir E

P

→ = =

= ⎫=⎬= ⎭

= ⎫= → →⎬= ⎭

c)

se reduciríaBP

3.20 Ejercicio 13

En un comedor universitario hay una cola de autoservicio en la que tres camareros en serie atienden al público. Un camarero sirve el primer plato, el segundo camarero sirve el segundo plato y el tercero se encarga de cobrar el menú. El número de clientes que forma cola para ser atendido por el primer camarero no tiene limitación (hay suficiente espacio físico para los clientes que están esperando). Por el contrario, el número

de clientes que esperan ser atendidos por el encargado de servir el segundo plato, o por el cajero, está limitado a dos personas como máximo por razones de espacio.

Dado que el autoservicio se puede modelar como una red de colas, se realiza un estudio que muestra que, a la hora de la comida, la tasa media de llegada es de 57 clientes por hora. El primer camarero tiene un tiempo medio de servicio de un minuto y el segundo de 36 sg. a) El valor máximo del tiempo medio de servicio del tercer camarero para que su labor no

entorpezca la de sus compañeros. En esas condiciones: b) La longitud de todas las colas que se forman en el sistema.



c) El tiempo medio que un cliente pasa en el autoservicio desde que llega hasta que sale dispuesto, por fin, a comer.

Datos:

1

1

2

2

57 0.95min

11min 1

min

1 536

3 min

1

M/M/1 LITTLE

c c

h

c

cseg

T

N

λ

µµ

µµ

µ λ

= =

= → =

= → =

=−

a)

2

2

3

3

3

2

/ /11

0.7322 2 0

.....

46.23

Q

Q

N

M M N

sg

ρρ

λρµ

ρρ ρ ρ

ρλµρ

⎧⎪ =⎪⎪ =⎨ −⎪⎪

=⎪⎩

=⎧− − = → ⎨ = −⎩

= =

b)



2

1

2

3

1

18.05

0.75

2

Q

Q

Q

Q

N

N c

N c

N c

ρρ

λρµ

=−

=

=

=

=

c)

1

2

3

1

19.99min

83.72 241̀6``

172.48

N T

T

T

T sg T

T sg

λ

µ λ

=

=−

⎫=⎪⎪= =⎬⎪= ⎪⎭


Se pretende mejorar el rendimiento de una sala de ordenadores. El sistema tiene las siguientes características:

3 ordenadores.

Usuarios acceden a la sala (distribución poissoniana) con una tasa de 5 usuarios/hora.

Tiempo medio de utilización de cada ordenador, bajo una distribución exponencial negativa, es

de 2 horas.

Cuando un usuario encuentra todos los puestos ocupados abandona la sala. Determinar en número de computadoras a adquirir si se desea triplicar el número medio de usuarios en la habitación.


- Nº de Servidores C= 3

- M/M/3/3 Proceso de Poisson de perdida puro



- Tasa de Entrada

= 5 clientes/horaλ

- Tasa de Salida

1 1 = 2 hora/cliente => µ = clientes/hora = 0.5 clientes/hora

4µ

Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. < 3 > Number of servers < 0.5 > Service rate (µ) per server per ---------- < 1 > Distribution of service time < 0 > Standard deviation of service time in units of time < 0 > Pressure coefficient < 5 > Arrival rate (λ) per ---------- < 1 > Distribution of interarrival time < 0 > Standard deviation of interarrival time in units of time < 0 > Discouraged coefficient < 1 > Bulk arrival size < 0 > Standard deviation of bulk arrival size < 3 > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population

Final Solution for ejerc4: M/M/3/3

With lambda = 5 customers per h and æ = .5 customers per h Overall system effective arrival rate = 5.000000 per h Overall system effective service rate = 1.339678 per h Overall system effective utilization factor = 0.893119


Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 0.535871 h

Average time a customer in the queue (Wq) = 0 h The probability that all servers are idle (Po)= 0.004392



P(0) = 0.00439 P(1) = 0.04392 P(2) = 0.21962 P(3) = 0.73206 P(4) = 0.00000 P(5) = 0.00000 P(6) = 0.00000 P(7) = 0.00000

( )7

0

1.00

i

P i

==∑



A)

___

L N= = 2.679 clientes tripulamos(x3)� ___

L N= = 8.037

Vamos aumentando servidores hasta que consigamos dicho numero de clientes en el

sistema. Lo conseguimos cuando C = 11 servidores�L=8.3676 M/M/11/11 With lambda = 5 customers per h and æ = .5 customers per h Overall system effective arrival rate = 5.000000 per h Overall system effective service rate = 4.183838 per h Overall system effective utilization factor = 0.760698 Average number of customers in the system (L) = 8.367677 Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 1.673535 h Average time a customer in the queue (Wq) = 0 h The probability that all servers are idle (Po)= 0.000065 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.163232


Un nuevo restaurante de comida rápida tiene una sola caja. En media, los clientes llegan a la caja con una tasa de 20 a la hora. Las llegadas se suponen con distribución de Poisson. El cajero puede cobrar, en media, a 12 clientes cada media hora. Se supone que el tiempo de servicio es exponencial.

a) Determinar el tiempo medio de espera de un cliente en la cola.

b) ¿Cuál es el número medio de clientes en el sistema?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de tres clientes en el sistema?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero no esté cobrando a nadie?





- M/M/1 Proceso de Poisson de espera puro

- Tasa de Entrada

= 20 clientes/horaλ

- Tasa de Salida

clientes 12 clientes clientesµ = 12 = = 24

h 1/2 h h

Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. < 1 > Number of servers < 24 > Service rate (µ) per server per ---------- < 1 > Distribution of service time < 0 > Standard deviation of service time in units of time < 0 > Pressure coefficient < 0 > Arrival rate (λ) per ---------- < 20 > Distribution of interarrival time < 0 > Standard deviation of interarrival time in units of time < 0 > Discouraged coefficient < 1 > Bulk arrival size < 0 > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population

Final Solution for ejer5 M/M/1 With lambda = 20 customers per h and æ = 24 customers per h

Overall system effective arrival rate = 20.0000 per h

Overall system effective service rate = 20.0000 per h Overall system effective utilization factor = 0.833333



Average number of customers in the system (L) = 4.999997 Average number of customers in the queue (Lq) = 4.166664 Average time a customer in the system (W) = 0.250000 h Average time a customer in the queue (Wq) = 0.208333 h The probability that all servers are idle (Po)= 0.166667 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.833333 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.16667 P(1) = 0.13889 P(2) = 0.11574 P(3) = 0.09645 P(4) = 0.08038 P(5) = 0.06698 P(6) = 0.05582 P(7) = 0.04651 P(8) = 0.03876 P(9) = 0.03230 P(10) = 0.02692 P(11) = 0.02243 P(12) = 0.01869 P(13) = 0.01558 P(14) = 0.01298 P(15) = 0.01082 P(16) = 0.00901 P(17) = 0.00751 P(18) = 0.00626 P(19) = 0.00522 P(20) = 0.00435 P(21) = 0.00362 P(22) = 0.00302 P(23) = 0.00252 P(24) = 0.00210 P(25) = 0.00175 P(26) = 0.00146 P(27) = 0.00121 P(28) = 0.00101 P(29) = 0.00084 P(30) = 0.00070 P(31) = 0.00059 P(32) = 0.00049 P(33) = 0.00041 P(34) = 0.00034 P(35) = 0.00028 P(36) = 0.00024 P(37) = 0.00020 P(38) = 0.00016 P(39) = 0.00014 P(40) = 0.00011 P(41) = 0.00009 P(42) = 0.00008 P(43) = 0.00007 P(44) = 0.00005 P(45) = 0.00005 P(46) = 0.00004 P(47) = 0.00003 P(48) = 0.00003 P(49) = 0.00002 P(50) = 0.00002

( )50

0

0.999

i

P i

==∑

A) ____

0.208Tq Wq horas= =

B) ___

5N L clientes= �

C) 0 1 2

( ) 0.1667 0.139 0.1154 0.4211rP A P P P= + + = + + =

Luego la probabilidad de que haya menos de tres usuarios en el sistema es de un 42.11 %

D) Po = 0.16667 �Luego la probabilidad de que no este cobrando a nadie es de un 16.6 %




10 usuarios de una línea telefónica están conectados al mismo terminal. Durante las horas punta cada usuario genera llamadas con una duración media de 3 minutos, el número medio de llamadas es de 2 a la hora a) ¿Cuantas líneas necesita el terminal si se quiere asegurar que la probabilidad de que una llamada se pierda, por no haber suficientes líneas sea menor o igual que 0.01? Suponer las variables exponenciales.



- M/M/1/1/10 Proceso de Poisson de perdida puro

- Tasa de Entrada


h 60 min minλ

- Tasa de Salida

1 min 1 clientes clientes = 3 => µ = = 0.33

cliente 4 min minµ

Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. < 1 > Number of servers < 0.33 > Service rate (µ) per server per ----min------ < 1 > Distribution of service time < 0 > Standard deviation of service time in units of time < 0 > Pressure coefficient < 0.033 > Arrival rate (λ) per ---min-------

< 1 > Distribution of interarrival time < 0 > Standard deviation of interarrival time in units of time < 0 > Discouraged coefficient

< 1 > Bulk arrival size < 0 > Standard deviation of bulk arrival size < 1 > Maximum number of customers allowed in the system < 10 > Maximum number of customers in the population



Final Solution for ejer6 M/M/1/1/10 With lambda = .033 customers per min and æ = .33 customers per min Overall system effective arrival rate = 0.313500 per min Overall system effective service rate = 0.165000 per min Overall system effective utilization factor = 0.500000 Average number of customers in the system (L) = 0.500000 Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 1.594896 min Average time a customer in the queue (Wq) = 0 min The probability that all servers are idle (Po)= 0.500000 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.500000 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.50000 P(1) = 0.50000 P(2) = 0.00000 P(3) = 0.00000 P(4) = 0.00000 P(5) = 0.00000 P(6) = 0.00000 P(7) = 0.00000 P(8) = 0.00000 P(9) = 0.00000 P(10) = 0.00000 P(11) = 0.00000 P(12) = 0.00000 P(13) = 0.00000 P(14) = 0.00000 P(15) = 0.00000

( )15

0

1.000

i

P i

==∑

Vamos a ir aumentando para conseguir que la PB = Pw < 0.01.



Final Solution for ejer6 M/M/2/2/10 With lambda = .033 customers per min and æ = .33 customers per min Overall system effective arrival rate = 0.304408 per min Overall system effective service rate = 0.255918 per min Overall system effective utilization factor = 0.387755 Average number of customers in the system (L) = 0.775510 Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 2.547600 min Average time a customer in the queue (Wq) = 0 min The probability that all servers are idle (Po)= 0.408163 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.183673

Vemos que aun sigue siendo >0.01

Final Solution for ejer6 M/M/3/3/10

With lambda = .033 customers per min and æ = .33 customers per min

Overall system effective arrival rate = 0.300981 per min

Overall system effective service rate = 0.290195 per min

Overall system effective utilization factor = 0.293126 Average number of customers in the system (L) = 0.879377 Average number of customers in the queue (Lq) = 0

Average time a customer in the system (W) = 2.921708 min

Average time a customer in the queue (Wq) = 0 min The probability that all servers are idle (Po)= 0.389105



The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.046693 Final Solution for ejer6 M/M/4/4/10 With lambda = .033 customers per min and æ = .33 customers per min Overall system effective arrival rate = 0.300146 per min Overall system effective service rate = 0.298541 per min Overall system effective utilization factor = 0.226168 Average number of customers in the system (L) = 0.904670 Average number of customers in the queue (Lq) = 0 Average time a customer in the system (W) = 3.014101 min Average time a customer in the queue (Wq) = 0 min The probability that all servers are idle (Po)= 0.385951 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.008105

En este caso ya si podemos observar que la PB < 0.01 y lo hemos conseguido cuando el

numero de servidores es C = 4


Una peluquería de caballeros mantiene en plantilla 3 peluqueros que atienden a todos los clientes que entran en el local por orden de llegada. Uno de los tres es el dueño de la empresa. Se estima que los usuarios acuden bajo una distribución de Poisson con una media de 10 clientes en la hora cargada (mayor intensidad de trabajo). Se asume que cuando un profesional comienza a atender a

un usuario no realiza ninguna otra tarea hasta que finaliza el servicio a dicho usuario. Uno de los peluqueros tiene mucha mayor experiencia que los otros dos pero en media, el tiempo de servicio es de 15 minutos por cliente (distribución del tiempo de servicio exponencial).

Complete las tres plantillas siguientes y responda detalladamente a las siguientes preguntas:



a) el tiempo medio de espera de los clientes b) un dato numérico que indique el porcentaje de ocupación de un peluquero c) la probabilidad de que al llegar un cliente no sea atendido inmediatamente



- M/M/3 Proceso de Poisson de espera

- Tasa de Entrada

=10 clientes/horaλ

- Tasa de Salida

1 min 1 clientes min clientes = 15 => µ = 60 = 4

cliente 15 min hora hµ×



3.24.1 Solución Ejercicio 17(horas)

Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. <3 > Number of servers <4 > Service rate (æ) per server per hours <1 > Distribution of service time < > Standard deviation of service time in hours < > Pressure coefficient <10 > Arrival rate (lambda) per hours <1 > Distribution of interarrival time < > Standard deviation of interarrival time in hours < > Discouraged coefficient <1 > Bulk arrival size < > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population M/M/3 With lambda = 10 customers per hours and æ = 4 customers per hours Overall system effective arrival rate = 10.0000 per hours Overall system effective service rate = 10.0000 per hours Overall system effective utilization factor = 0.833333 Average number of customers in the system (L) = 6.011234

Average number of customers in the queue (Lq) = 3.511236 Average time a customer in the system (W) = 0.601124 hours Average time a customer in the queue (Wq) = 0.351124 hours


The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.702247 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.04494 P(1) = 0.11236 P(2) = 0.14045 P(3) = 0.11704



P(4) = 0.09753 P(5) = 0.08128 P(6) = 0.06773

A) ____

0.351124Tq Wq horas= =

B) 0.8333ϕ = � 83,3 % factor de ocupación

C) Pw = 0.702247� Probabilidad de esperar es de un 70.22 %

3.24.2 Solución Ejercicio 17(minutos)

Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. <3 > Number of servers <.0666 > Service rate (æ) per server per minutes <1 > Distribution of service time < > Standard deviation of service time in minutes < > Pressure coefficient <.1666 > Arrival rate (lambda) per minutes <1 > Distribution of interarrival time < > Standard deviation of interarrival time in minutes < > Discouraged coefficient <1 > Bulk arrival size < > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population M/M/3

With lambda = .1666 customers per minutes and æ = .0666 customers per minutes

Overall system effective arrival rate = 0.166600 per minutes Overall system effective service rate = 0.166600 per minutes Overall system effective utilization factor = 0.833834





Average time a customer in the system (W) = 36.1923 minutes Average time a customer in the queue (Wq) = 21.1773 minutes The probability that all servers are idle (Po)= 0.044782 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.703086 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.04478 P(1) = 0.11202 P(2) = 0.14011 P(3) = 0.11683 P(4) = 0.09742 P(5) = 0.08123 P(6) = 0.06773 Las soluciones son las mismas lo único que expresado en minutos


Una peluquería de caballeros mantiene en plantilla 3 peluqueros, uno de los tres es el dueño de ésta. La recepción del local es limitada contando con espacio suficiente para no más de 3 clientes esperando a ser atendidos. Se estima que los usuarios acuden bajo una distribución de Poisson con una media de 10 clientes en la hora cargada (mayor intensidad de trabajo). Se asume que cuando un profesional comienza a atender a un usuario no realiza ninguna otra tarea hasta que finaliza el servicio a dicho usuario. Uno de los peluqueros tiene mucha mayor experiencia que los otros dos pero en media, el tiempo de servicio es de 15 minutos por cliente (distribución del tiempo de servicio exponencial).

Calcular:

A) el tiempo medio de espera de los clientes

B) un dato numérico que indique el porcentaje de ocupación de un peluquero C) la probabilidad de que al llegar un cliente no sea atendido inmediatamente



- M/M/3/6 Proceso de Poisson de perdida : Una vez llega a 6 clientes en total rechaza los

siguientes que vengan

- Tasa de Entrada

=10 clientes/horaλ



- Tasa de Salida

1 min 1 clientes min clientes = 15 => µ = 60 = 4

cliente 15 min hora horaµ×

3.25.1 Solución Ejercicio 18(horas)

Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. <3 > Number of servers <4 > Service rate (æ) per server per hours <1 > Distribution of service time < > Standard deviation of service time in hours < > Pressure coefficient <10 > Arrival rate (lambda) per hours <1 > Distribution of interarrival time < > Standard deviation of interarrival time in hours < > Discouraged coefficient <1 > Bulk arrival size < > Standard deviation of bulk arrival size <6 > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population

M/M/3/6

With lambda = 10 customers per hours and æ = 4 customers per hours

Overall system effective arrival rate = 8.975832 per hours Overall system effective service rate = 8.975832 per hours


Average number of customers in the queue (Lq) = 0.700530 Average time a customer in the system (W) = 0.328046 hours



Average time a customer in the queue (Wq) = 0.078046 hours The probability that all servers are idle (Po)= 0.067959 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.549773 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.06796 P(1) = 0.16990 P(2) = 0.21237 P(3) = 0.17698 P(4) = 0.14748 P(5) = 0.12290 P(6) = 0.10242

A) ____

0.078046Tq Wq horas= =

B) 0.747986ϕ = � luego el factor de ocupación es de un 72,79 %

C) Pw = 0.549773 = P(3)+P(4)+P(5)+P(6)� la probabilidad de espera es de un 54,87 %

3.25.2 Solución Ejercicio 18 (minutos)

Distribution code: Poisson (exponential time) (1), constant (2), or general (3) with a specified standard deviation. <3 > Number of servers <.0666 > Service rate (æ) per server per minutes <1 > Distribution of service time < > Standard deviation of service time in minutes < > Pressure coefficient <.1666 > Arrival rate (lambda) per minutes <1 > Distribution of interarrival time < > Standard deviation of interarrival time in minutes < > Discouraged coefficient

<1 > Bulk arrival size < > Standard deviation of bulk arrival size <6 > Maximum number of customers allowed in the system




M/M/3/6 With lambda = .1666 customers per minutes and æ = .0666 customers per minutes Overall system effective arrival rate = 0.149506 per minutes Overall system effective service rate = 0.149506 per minutes Overall system effective utilization factor = 0.748279 Average number of customers in the system (L) = 2.946327 Average number of customers in the queue (Lq) = 0.701491 Average time a customer in the system (W) = 19.7071 minutes Average time a customer in the queue (Wq) = 4.692059 minutes The probability that all servers are idle (Po)= 0.067839 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.550212 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.06784 P(1) = 0.16970 P(2) = 0.21225 P(3) = 0.17698 P(4) = 0.14757 P(5) = 0.12305 P(6) = 0.10260 Los resultados son los mismos lo único que al estar resuelto en minutos obtendremos minutos.


Recientemente un municipio de la comunidad valenciana ha puesto en marcha un servicio de reparación de defectos en las vías públicas. El servicio funciona de la siguiente manera: un ciudadano notifica mediante una llamada a un número 901 la necesidad de una reparación en dicho municipio indicando el tipo de defecto en vía pública y la dirección exacta del mismo. El

ayuntamiento se compromete a reponer los elementos deteriorados en un máximo de tres días laborables. Se aconseja estudiar el problema con unidades de tiempo horas y asumiendo jornadas laborables diarias de 8 horas. Se estima que la entrada de incidencias responderá a un proceso

poissoniano con una media de 3.5 incidencias por día. El ayuntamiento ha subcontratado este servicio a la empresa XXHoras S.A. La organización dispone de 2 unidades móviles con el material completo y recursos humanos necesarios para solventar el problema. Cuando una patrulla toma una incidencia, el tiempo medio que le lleva desplazarse hasta el lugar y reconstruir la situación es de 4 horas (distribución exponencial). Se pide:



a) ¿Cumple la organización XXHoras el grado de exigencia ofrecido por el ayuntamiento? Es decir tiempo de respuesta máximo de tres días laborables. b) Indicar el tiempo medio que transcurre desde que un ciudadano introduce una incidencia en el sistema hasta que una de las dos patrullas acude a resolverla. c) Porcentaje de tiempo en el que las patrullas móviles están atendiendo incidencias.




- Tasa de Entrada

incid 3.5inc/dia =3.5 = 0.4375

dia 8horas/dia

incid

horaλ =

- Tasa de Salida

1 horas 1 clientes clientes = 4 => µ = = 0.25

cliente 4 hora horaµ

M/M/2 With lambda = .4375 customers per units and æ = .25 customers per units Overall system effective arrival rate = 0.437500 per units Overall system effective service rate = 0.437500 per units Overall system effective utilization factor = 0.875001 Average number of customers in the system (L) = 7.466666 Average number of customers in the queue (Lq) = 5.716664 Average time a customer in the system (W) = 17.0667 units Average time a customer in the queue (Wq) = 13.0667 units

The probability that all servers are idle (Po)= 0.066667 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.816667 Probability of n Customers in the System

P(0) = 0.06667 P(1) = 0.11667 P(2) = 0.10208 P(3) = 0.08932 P(4) = 0.07816 P(5) = 0.06839 P(6) = 0.05984 P(7) = 0.05236 P(8) = 0.04581 P(9) = 0.04009 P(10) = 0.03508



3.26.1 Solución Ejercicio 19 (horas)

<2 > Number of servers <.25 > Service rate (æ) per server per units <1 > Distribution of service time <4 > Standard deviation of service time in units <0 > Pressure coefficient <.4375 > Arrival rate (lambda) per units <1 > Distribution of interarrival time <2.285714> Standard deviation of interarrival time in units <0 > Discouraged coefficient <1 > Bulk arrival size <0 > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population A) W = 17.0667 horas en realizar una incidencia como trabajan en turnos de 8horas al dia �

17.0667horas2.133 3

8 /dias dias

horas dia= < luego cumplen de sobra el grado de exigencia ofrecido por el

ayuntamiento

B) ____

13,0667Tq Wq horas= =

C) 0.875=ρ Luego el factor de ocupación de la patrulla es de un 87.5 %


Recientemente un municipio de la comunidad valenciana ha puesto en marcha un servicio de reparación de defectos en las vías públicas. El servicio funciona de la siguiente manera: un

ciudadano notifica mediante una llamada a un número 901 la necesidad de una reparación en dicho municipio indicando el tipo de defecto en vía pública y la dirección exacta del mismo. El ayuntamiento se compromete a reponer los elementos deteriorados en un máximo de dos días

laborables. Se aconseja estudiar el problema con unidades de tiempo horas y asumiendo jornadas laborables diarias de 8 horas. Se estima que la entrada de incidencias responderá a un proceso poissoniano con una media de 16 incidencias por cada 5 días laborables. El ayuntamiento ha subcontratado este servicio a la empresa XXHoras S.A. La organización dispone de 2 unidades móviles con el material completo y recursos humanos necesarios para solventar el problema.

Cuando una patrulla toma una incidencia, el tiempo medio que le lleva desplazarse hasta el lugar y reconstruir la situación es de 4 horas (distribución exponencial). Se pide:

a) ¿Cumple la organización XXHoras el grado de exigencia ofrecido por el ayuntamiento? Es decir tiempo de respuesta máximo de dos días laborables.



b) Indicar el tiempo medio que transcurre desde que un ciudadano introduce una incidencia en el sistema hasta que una de las dos patrullas acude a resolverla. c) Porcentaje de tiempo en el que las patrullas móviles están atendiendo incidencias.




- Tasa de Entrada

16incid 16 incidencia = = 0.4

5dia 5dia 8horas/dia

incid

horaλ =

×

- Tasa de Salida

1 hora 1 clientes clientes = 4 => µ = = 0.25

cliente 4 hora horaµ

3.27.1 Solución Ejercicio 20 (horas)

<2 > Number of servers <.25 > Service rate (æ) per server per units <1 > Distribution of service time <4 > Standard deviation of service time in units <0 > Pressure coefficient <.4 > Arrival rate (lambda) per units

<1 > Distribution of interarrival time <2.5 > Standard deviation of interarrival time in units

<0 > Discouraged coefficient <1 > Bulk arrival size

<0 > Standard deviation of bulk arrival size < > Maximum number of customers allowed in the system < > Maximum number of customers in the population

M/M/2 With lambda = .4 customers per units and æ = .25 customers per units

Overall system effective arrival rate = 0.400000 per units

Overall system effective service rate = 0.400000 per units Overall system effective utilization factor = 0.800001



Average number of customers in the system (L) = 4.444445 Average number of customers in the queue (Lq) = 2.844444 Average time a customer in the system (W) = 11.1111 units Average time a customer in the queue (Wq) = 7.111112 units The probability that all servers are idle (Po)= 0.111111 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.711111 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.11111 P(1) = 0.17778 P(2) = 0.14222 P(3) = 0.11378 P(4) = 0.09102 P(5) = 0.07282 P(6) = 0.05825 P(7) = 0.04660 P(8) = 0.03728 P(9) = 0.02983 P(10) = 0.02386 A) W = 11.1111 horas en realizar una incidencia como trabajan en turnos de 8horas al dia �

11.111horas1.388 2

8 /dias dias

horas dia= < luego cumplen de sobra el grado de exigencia ofrecido por el

ayuntamiento

B) ____

7.111Tq Wq horas= =

C) 0.8ϕ = � Luego el factor de ocupación de la patrulla es de un 80 %


Un codificador trabaja a 10 kbps y le llega un nuevo paquete de información cada 125 milisegundos. La longitud media de los paquetes es de 128 bytes. El codificador tiene un buffer de memoria de 2048 bits incluido el paquete que está siendo procesado en cada instante.

Determinar: a) Probabilidad de que al llegar un paquete sea almacenado en el buffer de memoria. b) Número medio de paquetes en el buffer de memoria del codificador. c) Tiempo medio de estancia en el buffer.


- C=1 servidores



- __

128 / 128 / 8 / 1024 /L bytes paquete byte pq bits byte bit pq= = × =

- 10tx

V Kbps=

- bit 1

µ =10000 9,765paq 1024

paq paq

bit seg× =

- =0.125 pq/sgλ

- Como el buffer tiene una capacidad de 2048 bit que es equivalnte a:

20482

1024 /

bitpq

bit pq= por lo que vemos que es capaz de almacenar 2 paquetes con lo que

cuando llegan más se pierden � M/M/1/2 porque es una distribución de Poisson y es un

sistema de espera puro.

<1 > Number of servers <9.765 > Service rate (æ) per server per units <1 > Distribution of service time <.1024066> Standard deviation of service time in units <0 > Pressure coefficient <8 > Arrival rate (lambda) per units <1 > Distribution of interarrival time <.125 > Standard deviation of interarrival time in units <0 > Discouraged coefficient <1 > Bulk arrival size <0 > Standard deviation of bulk arrival size <2 > Maximum number of customers allowed in the system


M/M/1/2

With lambda = 8 customers per units and æ = 9.765 customers per units

Overall system effective arrival rate = 5.843986 per units Overall system effective service rate = 5.843986 per units





Average time a customer in the system (W) = 0.148523 units Average time a customer in the queue (Wq) = 0.046116 units

The probability that all servers are idle (Po)= 0.401538 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.598462 Probability of n Customers in the System P(0) = 0.40154 P(1) = 0.32896 P(2) = 0.26950 P(3) = 0.00000 P(4) = 0.00000 P(5) = 0.00000 P(6) = 0.00000 P(7) = 0.00000 A) PB = 0.5984 � Pr(A) = 1 – PB = 0.4015 Luego la probabilidad de que sea almacenado es

de un 40.15 %

B) ____

0.2695 pqNq Lq= =

C) ____

0.046116Tq Wq sg= =




A continuación se muestra parte de los resultados obtenidos mediante la aplicación Queue.exe para un sistema M/M/5/7. Se pide:

a) Tiempo medio de servicio. b) Factor de utilización. c) Número medio de usuarios en el sistema. d) Probabilidad de que al llegar un usuario deba esperar sin producirse bloqueo.

M / M / 5 / 7

With λ= 8 customers/minute and µ = ?? customers/minute

Overall system effective arrival rate = ??

Overall system effective service rate = ??

Overall system effective utilization factor = ??

Average number of customers in the system = ??

Average number of customers in the queue = ??

Average time a customer in the system = 0.544647 minutes

Average time a customer in the queue = 0.044647 minutes

The probability that all servers are idle = 0.018131

The probability an arriving customer waits = ??


P(0) = ?? P(1) = 0.07252 P(2) = 0.14505

P(3) = 0.19340 P(4) = 0.19340 P(5) = ?? P(6) = 0.12377 P(7) = 0.09902 P(8) = ??

8

i 1

P(i) 1.0=

=∑

Un sistema M/M/5/7 es un sistema con 5 servidores y una capacidad limitada de 7 usuarios en el sistema, por lo que habrá una cola de espera de 2 clientes a lo sumo.

Se puede representar de la siguiente manera: µ



λ

� servidores (c)

a) El tiempo medio de servicio ,CW es el tiempo medio que un cliente permanece en un

servidor. Si definimos W como el tiempo medio en el sistema, y QW como tiempo

medio en cola, tenemos que : __ __ __ W = WQ + Wc ___ ___ De donde Wc = W – WQ

C Q

1W = =W-W =0.544647 - 0.44647=0.5 min

µ

NOTA: Wc = 1

µ

b) El factor de utilización o de ocupación del servidor se define como :

( ), 1c

siendo PB

λ

ρ λ λµ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = −

PB es la probabilidad de bloqueo o de pérdida. En este caso, como la capacidad total del sistema es de 7 clientes, P(7) expresa dicha probabilidad.

(1 PB) (1 p(7)) 7.2078472.0784%

c c c c

λ λ − λ −ρ = = = = ⇒

µ µ µ µ

7 6

1

2

3

4

5

_

λ = λ( 1 - PB)

cola de espera

λ PB



c) Según las Fórmulas de Little y siendo L el número medio de usuarios en el sistema:

L W 3.9257 usuarios= λ = d) Se pide la probabilidad se que un usuario espere. En realidad decir que un usuario deba esperar sin que se produzca bloqueo o pérdida es redundante : si el usuario no se pierde es porque puede esperar. Será la probabilidad de que haya 5 usuarios en el sistema ( todos los servidores ocupados, pudiendo ocupar el nuevo cliente el primer puesto en la cola) o de que haya 6 ( ocupe el segundo puesto en la cola).

{ }4

i 0

Pr esperar sin bloqueo p(5) p(6) 1 p(i) p(7) 1 - [p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4) +

+ p(7)] = 27.848%

=

= + = − − =∑

NOTA: P(0) es dato : “The probability that all servers are idle”



3.30 Ejercicio 23

Estado: Corregido Una pequeña empresa ITA S.A. realiza inspecciones técnicas de vehículos con validez en territorio nacional. Para desarrollar estas funciones cuenta con una plantilla de personal técnico y administrativo, además de una superficie en alquiler sobre la cual se ha construido una edificación que consta de tres

partes:

− Una ventanilla o caseta donde los conductores de los vehículos entregan la documentación

correspondiente y realizan el pago de las tasas.

− Una nave principal dotada de dos circuitos completos para revisar los vehículos. Por circuito

completo se entiende todo el equipamiento y personal técnico necesarios para examinar el estado técnico de un vehículo (faros, niveles de expulsión de gases contaminantes, neumáticos, frenos, dirección, …)

− La oficina donde los conductores deben recoger la documentación del vehículo junto a la

evaluación (positiva o negativa) de la inspección técnica del vehículo. Existen dos puestos permanentes para realizar estas labores.

El sistema se puede estudiar simplificadamente como la red de colas o red de Jackson de la figura

siguiente, estando compuesto por tres subsistemas:

� Subsistema 1 o caseta con un único

servidor

� Subsistema 2 o nave, con dos servidores equivalentes

� Subsistema 3 u oficina: con dos servidores equivalentes

Modelo de red de colas en tandem

Además se sabe que:

− En las horas de mayor afluencia de vehículos se registran una media de 55 clientes por hora.

− El trabajador de la caseta despacha a una velocidad de 1 conductor por minuto, mientras que un

oficinista tarda una media de 2 minutos para despachar un cliente.

− El espacio físico desde la caseta hasta las puertas de la nave es apto para un máximo de 15 vehículos.

Un número mayor de vehículos esperando la entrada en la nave interrumpiría el trabajo en la caseta.

− Al utilizar la tabla, aproximar al valor más cercano existente en la tabla.

Se pide: a) Tasa de servicio mínima para el subsistema 2.

b) Longitud media de la cola de vehículos que habiendo pagado las tasas se encuentran esperando la entrada en la nave.

c) Tiempo medio, en minutos, que transcurre desde que un conductor acude con su coche a la empresa

de ITV hasta que puede marcharse con la certificación actualizada. d) Se está estudiando la posibilidad de ampliar en uno el número de servidores en los subsistemas

primero o tercero. Suponiendo que hacerlo en uno u otro tuviese un coste equivalente, ¿qué recomienda usted tomando como criterio el tiempo medio de respuesta del sistema total? Justifíquelo con los cálculos pertinentes.

…

c = 2 19 0,93 9 0,85 5,67 0,78 4 0,71 3 0,64 … 1,22 0,39 1 0,33 0,82 0,28c = 3 1,73 0,4 1,5 0,35 1,31 0,31 1,14 0,27 1 0,24 … 0,58 0,11 0,5 0,09 0,43 0,07c = 4 0,9 0,15 0,82 0,13 0,74 0,11 0,67 0,09 0,6 0,07 … 0,38 0,03 0,33 0,02 0,29 0,01

intensidad de tráfico u (Erlangs)

…1 0,9C(c,u) C(c,u)

1,5C(c,u)

1,1C(c,u)

1,6C(c,u) C(c,u) C(c,u)

1,9C(c,u)

1,8 1,7

1

ρρ− 1

ρρ− 1

ρρ− 1

ρρ− 1

ρρ− 1

ρρ−1

ρρ− 1

ρρ−

Tabla de valores de probabilidad de espera y relación ( 1)ρ ρ −

λ1

µ2µ

2µ

Subsistema 1 Subsistema 2 Subsistema 3

3µ

3µ



PLANTEAMIENTO:

Subsistema 1 Subsistema 2 Subsistema 3

1

___

1min

/ /1

1

usuarios

M M

T

λ

µ

µ λ

=

=−

___

___ ___

__

__

0.92min

2 ¿?

/ / ; 2

( , )1

q

q q

q

usuarios

M M c c

N C c u

N NT

λ

µ

ρρ

λλ

≈

==

= ⋅−

= =

3

0.92min

0.5min

2

clientes

usuarios

c

λ

µ

=

=

=

a) Tasa de servicio mínima para el subsistema 2.

Como nos dicen el número máximo de clientes apto: ___

15qN usuarios≤ y al ser un sistema

M/M/C aplicamos la expresión ___

( , )1

qN C c uρ

ρ= ⋅

−y, de aquí sacaremos la intensidad de tráfico en

el subsistema 2 ( 2u ) con la ayuda de la tabla facilitada en el enunciado. El proceso se llevará a cabo con la expresión del número máximo de usuarios en cola,

mientras no se supere el límite dado en el enunciado, mediante la tabla para c=2. ___

( , ) 151

qN C c uρ

ρ= ⋅ ≤

−→

___

(2, ) 151

qN C uρ

ρ= ⋅ ≤

−

-19 x 0,93 =17,67 usuarios → supera los 15usuarios que tiene que haber como máximo. -9 x 0,85 = 7,65 usuarios ≤ 15usuarios, por tanto tomaremos el valor de u2 en esta

columna 2 1,8u E=

Para calcular µ2, tenemos u2 y λ con lo cual:

2 2

2 2

0,92min 0,51

1.8

usuarios

uu E

λ λµµ

= ⇒ = = = ⇒µ2=0,51 usuarios/min



b) Longitud media de la cola de vehículos que habiendo pagado las tasas se encuentran esperando la entrada en la nave.

Ya estaba calculado anteriormente y nos quedaba:

2 1,8u E=

c=2usuarios ___

( , )1

qN C c uρ

ρ= ⋅

−=9 x 0,85 =7,65 usuarios

→ Nq (medio) =7,65usuarios

c) Tiempo medio, en minutos, que transcurre desde que un conductor acude con su

coche a la empresa de ITV hasta que puede marcharse con la certificación actualizada. 3___ ___ ___ ___ ___

1 2 3

1

i

i

T T T T T

== = + +∑

Subsistema 1 Al ser un sistema M/M/1 aplicamos la expresión

__

11 1

12min1 0,92

Tµ λ

= = =− −

; sustituyendo valores nos queda:

__

11 1

12min1 0,92

Tµ λ

= = =− −

→ T1 (medio)=12min

Subsistema 2 Al ser un sistema MM/C (c=2) aplicamos las siguientes expresiones:

______ 7,65

8,35min

0,92min

q

q

N clientesT

clientesλ= = = 8,35min=

___ ___

2

2

18,35 1 9,35minqT T

µ= + = + = → T2 (medio)= 10,31min

Subsistema 3 (valores idénticos) Igual que en subsistema 2, dando el mismo resultado → T3 (medio)= 10,31min

3___ ___ ___ ___ ___

1 2 3

1

i

i

T T T T T

== = + +∑ =12min+10,31min+10,31min→ T (medio)=32,62min



d) Se está estudiando la posibilidad de ampliar en uno el número de servidores en los subsistemas primero o tercero. Suponiendo que hacerlo en uno u otro tuviese un coste equivalente, ¿qué recomienda usted tomando como criterio el tiempo medio de respuesta del sistema total? Justifíquelo con los cálculos pertinentes.

Subsistema 1 Pasa de ser un sistema M/M/1 → M/M/2 con lo cual aplicaremos las siguientes

expresiones:

Q Q

Q

c=2

N 0.2296 T 0.25 min.u= 0.916 0.9

1T T 11 min.

Mejora 11min 0.25 min .

⎫⎪ = ⇒ =λ ⎬= ≈ ⎪µ ⎭

= − =µ

= −

Subsistema 3 Pasa de ser un sistema M/M/2 → M/M/3 con lo cual las expresiones que aplicaremos no

cambian:

Q Q

c=3N 0.525 T 0.57 min .

u 1.8

Mejora 8.34min . 0.57 min .

⎫= ⇒ =⎬= ⎭

= −

Por tanto, se recomienda el primer subsistema como solución.



CONCLUSIONES



REFERENCIAS



APÉNDICE A. GLOSARIO

historia del documento - servidor de teoria de...

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