lgebra

Facultad de Ingeniera

Divisin de Ciencias Bsicas

Breve Historia del lgebra

Javier Gutirrez SoriaProfesor de la Facultad de Ingeniera, UNAM

Mxico, D. F.

1.-INTRODUCCIN AL LGEBRA LINEAL

As, en su forma ms general, se dice que el lgebra es el idioma de las matemticas

En la antigedad, el lgebra fue una parteinseparable de la Aritmtica, ms tarde se separ de ella, es por eso que en laliteratura cientfica al estudiar ambas ramas se hace de manera conjunta:

En la Aritmtica las cantidades serepresentan por nmeros y stosexpresan valores determinados.

En el lgebra, para lograr la generalizacin,las cantidades se representan por medio deletras (variables), las cuales pueden representartodos los valores, independientemente de losnmeros u objetos concretos.

El lgebra clsica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza smbolosen vez de nmeros especficos y operaciones aritmticas para determinar cmo usar dichos smbolos.

El lgebra moderna ha evolucionado desde el lgebra clsica al poner ms atencin en las estructuras matemticas.

Evolucin

PERIODODel 25,000 al 5,000 a.C.

Los Pueblos primitivos

La nocin de pluralidad, en esencia, comparar fue el primer paso hacia contar y medir, fueron las primeras actividades matemticas del hombre primitivo. Haciendo marcasen los troncos de los de los rboles lograban, estos primeros pueblos, la medicin del tiempo y el conteo del nmero de animales que posean; as surgi la Aritmtica. El origen del lgebra es posterior. Pasaron cientos desiglos para que el hombre alcanzara un concepto abstracto del nmero, base indispensable para laformacin de la ciencia algebraica.

La historia del lgebra inicio con Babilonia yEgipto entre los siglos IV y III a.C.

Breve Historia del lgebra

PERIODODel 2,000 al 500 a.C.

Mesopotamia y BabiloniaLos matemticos ya saban resolver operaciones algebraicas con ecuaciones de primer, segundo y tercer grado y tablas de potencias que requieren un dominio de la matemtica elemental, pero no supone esto que tuvieran toda una concepcin abstracta de las matemticas.

EgiptoSus exigencias vitales, sujetas a las peridicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionar la Aritmtica y la Geometra. Lo egipcios desarrollaron un mtodo para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el mtodo de la falsa posicin, en donde la incgnita se llamaba montn. Tambin resolvieron ecuaciones de segundo grado.

GreciaEl PERIODOEl siglo I d.C.

Hern de AlejandraMatemtico y Cientfico griego

10 a 70 d. C.

Como matemtico, escribi la obra La Mtrica, donde estudia las reas y volmenes de distintas superficies y cuerpos. Desarrolla tambin tcnicas de clculo, tomadas de los babilonios y egipcios, como el clculo de races cuadradas mediante iteraciones. Incursion en los problemas de las mediciones terrestres con mucho ms xito que cualquier otro de su poca.

El Teatro deDelfos, Capital de la antigua Grecia.No se tiene ninguna imagen de Hern.

El PERIODOEl siglo II d.C.

Nicmaco de Gerasa

Matemtico y Cientfico griego60 a 120 d. C.

Escribi el libro Introduccin a la Aritmtica, considerado el primer trabajo en el que la aritmticase separa de la geometra y donde se trat sobre losnmeros deficientes, perfectos o abundantes. De tal importancia que fue libro de texto durante toda la Edad Media. Santuario de Delfos, capital de la antigua Grecia

No se tiene ninguna imagen de Nicmaco.

El PERIODOEl siglo III d.C.

Diofanto de Alejandra

Matemtico y Cientfico griegoalrededor del 200/214 a 284/298 d. C.

Fue un matemtico, considerado el padre del lgebra gracias a sus libros denominados Aritmtica en donde, utilizando por primera vez una simbologa matemtica (si bien muy rudimentaria), hizo un estudio riguroso de las ecuaciones de primero y segundo grado. Se le conoce principalmente por considerar ecuaciones que deban resolverse en enteros, ahora denominadas ecuaciones diofantinas o diofnticas.

ChinaEl PERIODODel siglo II a VI d.C.

El lgebra en la poca de la primera dinasta Han, procede el tratado Matemticas en nueve Libros(que significa "El Arte del clculo). Posteriormente otros matemticos como LiuHui (siglo III), Sun-zi (siglos II-IV), Liu Zhuo (siglo VI), y otros hicieron aportaciones a este tratado. En el que plantearon diversos mtodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, as como sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas. Con su baco (Sun-z) tenan la posibilidad de representar nmeros positivos y negativos. Estos nmeros constituyen uno de los principales descubrimientos de la matemtica china. Muralla China

La IndiaEl PERIODODel siglo VI a XII d.C.

Fue, entre los siglos V-XII d.C. donde la contribucin ala evolucin de las matemticas fue interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria(s.XII). La caracterstica principal, es el predominio de las reglas aritmticas de clculo, destacando la correcta utilizacin de los nmeros negativos y la introduccin del cero, llegando incluso a aceptar como nmeros validos las nmeros irracionales. Profundizaron en la obtencin de reglas de resolucin de ecuaciones lineales y cuadrticas, en las cuales las races negativas eran interpretadas como deudas.

La escuela de Bagdad(Mesopotamia, Irak)

El PERIODODel siglo IX a XII d.C.

Los rabes fueron los verdaderos sistematizadores del lgebra. A fines del siglo VIII floreci la Escuela de Bagdad, a la que pertenecan Al Juarismi, Al Batani y Omar Khayan. Destacndose, Abu JafarMuhammad ibn Musa Al-Jwarizmi, que en rabe significa Mohamed, hijo de Moiss, padre de Jafar, el de Khorezm, escribi ms de media docena de obras matemticas y astronmicas, dos de las cuales han tenido especial importancia: la primera es la traduccin rabe de Brahmagupta (s.VI) y en la que se da una reproduccin exacta del sistema de numeracin hind, lo que ha originado la creencia popular de que nuestro sistema de numeracin procede del rabe. Su segunda obra es el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro nombre mucho ms popular, la palabra "lgebra" Al Batani sirio (858-929), aplico el lgebra a problemas astronmicos.

Y Omar Khayan, persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en rubayat, escribi un Tratado de lgebra.

"Carmen de Algorismo".Un poema en latin en "El Arte de Algorismos", el cual es el arte de calcular, usando la novedosa introduccin de los nmeros Indo-Arbigos

LAS MATEMTICAS EN LAS UNIVERSIDADES HISPANO RABES

El PERIODODel siglo VIII a XV d.C.

La cultura rabe alcanza elevado desarrollo en ciudades como Sevilla, Crdoba y Toledo.De las universidades hispano-rabes fluye la cultura musulmana hacia Europa. Tres nombres pueden sealarse como representacin de la cultura rabe en Espaa: Geber Ibn-Aphla , (Sevilla, siglo XI), que rectificlas Tablas de Ptolomeo; Arzaquel, (Toledo, 1080), autor de unas famosas Tablas; y Ben Ezra, (Calahorra, 1089), rabino de Toledo.El punto de arranque de las matemticas en Europa fue la creacin de los centros de enseanza, como el de Reims en Francia, organizado por Gerberto (Silvestre II, en 940-1003), en el que seense el uso de los numerales indo-arbigos.

Aula universitaria, segunda mitad, siglo XIV

PROPAGADORES EUROPEOS DE LA MATEMTICA HISPANO RABE

El PERIODOEl siglo XIII d.C.

La matemtica hispano-rabe, se introdujo enEuropa a travs de las traducciones que hicieronnumerosos eruditos que se trasladaron a las universidades rabes de Cordoba, Sevilla, Toledo, etc. Se destacaron como traductores:Juan de Espaa, que puso en latn las obras deAl Juarismi; Juan de Sacrobosco, que tradujodiversos tratados; y Adelardo de Bath, el msdistinguido de stos, que dio una versin latinade Euclides.

Torre de Oro (Sevilla). Arquitectura almohade. Primer tercio siglo XIII.

LEONARDO DE PISA (1170-1250)

El PERIODOEl siglo XIII d.C.

Conocido como Fibonacci, hijo de Bonaccio, no era un erudito, pero por razn de sus continuos viajes por Europa y el Cercano Oriente, fue el que dio a conocer en Occidente los mtodos matemticos de los Hindes. Famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeracin arbiga actualmente utilizado, el que emplea notacin posicional base 10, o decimal y un dgito de valor nulo, el cero.Alrededor del ao 1202 escribi su clebre obra "Liber Abaci" (el libro del baco), en el que se encuentran expuestos: el clculo de nmeros segn el sistema de numeracin posicional.

Lonardo de pisa,FibonacciPisa, Italia

Nicols Oresme(1328-1382 )

El PERIODOEl siglo XIV d.C.

En su obra Algorismus proportionum desarrolla Oresme el clculo de potencias con exponentes enteros y racionales, e incluso deja entrever la posibilidad de potencias de exponente irracional. En un trabajo posterior, De proportionibus proportionum, vuelve sobre las mismas ideas, pero cimentndolas con una base terica ms slida. Una proposicin de De proportionibus merece ser sealada: dadas dos magnitudes, es ms probable que sean inconmensurables que lo contrario. Hoy sabemos, en efecto, que el infinito de los racionales es numerable y el de los irracionales no lo es. Nicols de Oresmesostiene que este resultado invalida las pretensiones de los astrlogos.

Matemtico y astrnomo francs

Nicols Chuquet(1445-1488)

El PERIODOEl siglo XV d.C.

El matemtico francs, introdujo en Europa occidental el uso de los nmeros negativos, introdujo adems una notacin exponencial muy parecida a la que usamos hoy en da, enla cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos. Nicols Chuquet

Johann Widmann dEger(1460 - despus de 1498 )

El PERIODOEl siglo XV d.C.

En 1489, el matemtico alemn Johann WidmanndEger invent los smbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (ms) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

EscudoBandera

Cheb ciudad Checa, Eger en Alemn

El PERIODOEl siglo XVI d.C.

ChristophChristoph RudolfRudolfMatemtico alemn(1500-1545)

Girolamo CardanoMatemtico italiano(1501-1576)

Rafael BombelliMatemtico italiano(1526-1572)

Introdujo el smbolo de la raz cuadrada que usamos hoy en da: Este smbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raz.

Introdujo un mtodo regular de resolucin de ecuaciones de tercer y cuarto grado en su obra "Ars Magna".

En el lgebra de Bombelli se dan las reglas de los signos, que an hoy dan tantos problemas a los estudiantes, para operar con nmeros positivos y negativos, y fue el nico que dio importancia a los nmeros complejos cundo an nadie se la daba.

Francois ViteMatemtico francs(1540-1603)

Desarroll la notacin simblica del lgebra. Represent las incgnitas y las constantes con literales y utiliz tambin smbolos para representar las operaciones +, - y us la raya para los quebrados. Hizo del lgebra una ciencia puramente simblica y complet el desarrollo de la trigonometra de Ptolomeo.

Robert RecordeMatemtico ingls(1510-1558)

Invent el smbolo de la igualdad, =.

El PERIODOEl siglo XVII d.C.

John NeperMatemtco ingls(155-1617)

Henry BriggsMatemtco ingls(1561-1630)

Su obra "Canonis mirifici logarithmorum descriptio" y en ella las primeras tablas de logaritmos de funciones trigonomtricas de base e.

Notable por el cambio de los logaritmos origiales de base e, inventado por John Neper a logaritmos de base 10, que se conocen como logaritmos de Briggs en su honor.

Ren DescartesMatemtico francs(1596-1650)

Leonard EulerMatemtico suizo(1707-1783)

Fusion la geometra y el lgebra inventando la geometra analtica.El sistema de coordenadas cartesianas fue nombrado en honor a l. Se le atribuye como el padre de la geometra analtica, permitiendo que formas geomtricas se expresaran a travs de ecuaciones algebraicas. Introdujo tambin la notacin exponencial que usamos hoy en da.

En 1748 escribi su Introductio en Analysin Infinitorumque presentaba una introduccin a la matemtica analtica. La primera parte de ste trata sobre lgebra, teora de ecuaciones y trigonometra. En el lgebra puso su atencin en la expansin de varias funciones en serie, y seal que una serie infinita no puede emplearse para el clculo a menos que sea convergente

El PERIODOEl siglo XVIII d.C.

Gabriel CramerMatemtico suizo(1704-1752)

Carl FriedrichGaussMatemtico alemn(1777-1855)

Cramer deline lo que se conoce como la regla de Cramer, que proporcion un mecanismo para soluciones de ecuaciones lineales. Aunque los deteminantes fueron descubiertas por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1693, es Cramer quien trajo los factores determinantes y sus usos para la atencin de forma generalizada

Llamado El Prncipe de las Matemticas y el matemtico ms grande desde la antigedad. Public en 1799 la demostracin de que toda ecuacin polinmica tiene al menos una raz en el plano complejo. (Teorema Fundamental del lgebra). El foco de atencin se traslad de las ecuaciones polinmicas al estudio de la estructura de sistemas matemticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemticos, como los nmeros complejos.

Jean Robert ArgandMatemtico suizo(1768-1822)

Pierre Frdric SarrusMatemtico francs(1798-1861)

En 1806, public a sus expensas su Essai sur une manire de reprsenter les quantits imaginaires dans les constructions gomtriques (Ensayo sobre una forma de representar las cantidades imaginarias mediante construcciones geomtricas). En un sistema de coordenadas Cartesianas, un punto se puede representar usando coordenadas (x, y). Cuando este punto se toma para representar el nmero complejo (x+iy), al plano se le llama plano complejo, o diagrama de Argand.

Demostr el lema fundamental del clculo de variaciones y public numerosas obras sobre la resolucin de ecuaciones de varias incgnitas.Se le debe la regla de Sarrus, para el clculo de determinantes.

El PERIODOEl siglo XIX d.C.

variste GaloisMatemtico francs(1811-1832)

NIELS HENRIK ABELMatemtico Noruego(1802-1829)

Realiz trabajos sobre fracciones continuas, cuestiones de anlisis, teora de las ecuaciones y teora de nmeros. Aparecen por primera vez las propiedades ms importantes de la teora de grupos (nombre que l acu) que convierten a Galois en el padre del lgebra abstracta.

Sus aportaciones se centran en el estudio de las ecuaciones algebraicas de quinto grado, de las que demostr que eran irresolubles por el mtodo de los radicales, y en el de las funciones elpticas, mbito en el que desarroll un mtodo general para la construccin de funciones peridicas recprocas de la integral elptica.

Augustin LouisCauchy

Matemtico francs(1789-1857)

Arthur CayleyMatemtico ingls(1821-1895)

Sophus LieMatemtico noruego(1842-1899)

Pionero en el anlisis y la teora de permutacin degrupos. Tambin investig la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y fsica-matemtica. Gracias a Cauchy, el anlisis infinitesimal adquiere bases slidas.

Hicieron importantes contribuciones a la teora de grupos. El foco de atencin se traslad de las ecuaciones polinmicas al estudio de la estructura de sistemas matemticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemticos, como los nmeros complejos, que los matemticos haban encontrado al estudiar las ecuaciones polinmicas.

William Rowan HamiltonMatemtico irlands(1805-1865)

Hermann GrassmannMatemtico alemn(1809-1877)

Desarroll la aritmtica de los nmeros complejos y para los cuaternios; mientras que los nmeros complejos son de la forma a+bi, las cuaternios son de la forma a+bi+cj+dk.

Se le puede considerar el creador del lgebra Lineal, define conceptos como combinacin lineal, independencia lineal; define las primeras nociones de subespacio, dimensin, entre otros conceptos.

George BooleMatemtico britnico(1815-1864)

Giuseppe PeanoMatemtico italiano(1858-1932)

El gran descubrimiento de Boole fue aplicar una serie de smbolos a operaciones lgicas y hacer que estos smbolos y operaciones por eleccin cuidadosatuvieran la misma estructura lgica que el lgebra convencional. En el lgebra de Boole, los smbolos podan manipularse segn reglas fijas que produciran resultados lgicos.

En 1889 Peano public sus famosos axiomas, denominados axiomas de Peano, que definen los nmeros naturales en trminos de conjuntos. Se public en el texto Arithmetices principia, nova methodo exposita.

FIN