Capítulo 2Iniciación al estudio didáctico del álgebra. Orígenes y perspectivas (Carmelo Sessa)

Una entrada al algebra a través de la generalización.

Introducción.

Se estudiará distintas aspectos de la complejidad en la introducción del álgebra en la escuela.¿Cómo se introduce el algebra en la escuela? Nos encontramos con una gran variedad de respuestas.- Mediante el tratamiento de las ecuaciones, que designa con letras, números desconocidos (la letra como incógnita) donde los alumnos deben poner en ecuación un problema y despejar la incógnita (con todas sus reglas asociadas). Esta posición es la que predomina.Para los alumnos, las ecuaciones son cosas que se dejan, y dominar las reglas de técnica presenta muchas dificultades.Las ecuaciones son objetos complejos y su tratamiento temprano lleva una simplificación que oculta su naturaleza y la descarga de sentido. No se puede decir nada de la igualdad que aparece en la escritura de una ecuación 2x + 4= 7, no es verdadera, ni falsa. El signo = expresa una condición que se impone sobre X. Habrá valores de x para los cuales es verdadera y valores para los cuales es falsa. La ecuación, define un conjunto de valores de x para los cuales es verdadera. Para que ese conjunto este bien definido hay que explicitar sobre qué dominio numérico se esta considerando la ecuación, por ejemplo, en los números naturales, el conjunto solución de esta ecuación no tiene ningún elemento, en números racionales, la solucion es 3/2. En la escuela, el dominio de definición de la ecuación, suele ser implícito y no se presenta la ocasión de resolver una misma ecuación en dos conjuntos numericos.Los problemas que se presentan hablan de un número desconocido, que cumplen condiciones que se expresan por una ecuación. La ecuación es asimilada a una igualdad (numérica) verdadera, de la cual no se conoce una parte (un número o una incógnita).Se define la ecuación como una igualdad entre números con incógnita, y se acerca el objeto al campo de lo aritmético: es una cuenta, de la se desconoce un término. Esta concepción asimila el concepto de ecuación al de "ecuación en una sola variable y con solución única". En esta concepción el docente al enseñar los procedimientos de resolución de las ecuaciones dice en su discurso. "Si sumamos a ambos miembros el mismo número, se conserva la igualdad", y omite decir que se conserva el conjunto solución de la ecuación. Desde esta concepción no pueden comprenderse las ecuaciones lineales a una variable sin solución o con infinitas soluciones. Menos las de coser escuadra eficaz a las ecuaciones en dos o más variables.En la escuela se presenta al alumno problemas para resolver con ecuaciones, que no hacen necesario el uso de esta herramienta: los recursos aritméticos que disponen son suficientes y el planteo en forma de ecuación como la resolución, devienen de una imposición (estamos en el tema de ecuaciones, tengo que usar una ecuación).Separando el principio de necesidad, la nueva herramienta aparece como una complicación innecesaria. Su sentido no es construido por los alumnos que memorizan las reglas que permiten despejar la x.Poner en ecuación un problema, les cuesta a los alumnos porque resiste a una algoritmizacion. No se presentan distintos problemas que se modelicen por una misma ecuación, lo que permitiría identificar

la ecuación como modelo de un tipo de relación, independientemente de cada situación. No se presentan problemas que, eligiendo diferentes variables, admita dos ecuaciones distintas para

modelizar las relaciones entre datos e incógnitas.Estas ausencias llevan a pensar ilusoriamente una relación entre los problemas y las ecuaciones.Enfrentar al alumno a problemas en los cuales la herramienta de las ecuaciones resulte más eficaz y económica que los recursos aritméticos implica plantear ecuaciones con una complicación técnica excesiva para un principiante.El asunto que se considera en la enseñanza para que los alumnos entren el mundo del álgebra es el aprendizaje de las técnicas para despejar la incógnita en una ecuación lineal con una variable. Y se trata de ecuaciones para las cuales hay que realizar importantes transformaciones, para llevarlas al formato estándar ax+b=c. Se asocia la complicación técnica de los ejercicios con un aprendizaje de mayor jerarquía.Es necesario pensar qué referencias debe tener un principiante para comprender y controlar el sentido estas transformaciones.Las técnicas de resolución de ecuaciones requieren transformaciones de 2 tipos:. Operar de manera independiente cada miembro de la igualdad, transformando la escritura en otra expresión

equivalente para x: aplicar distributiva, sumar términos con x y términos numéricos. Despejar la incógnita y efectuar transformaciones respetando el conjunto de valores para los cuales la

igualdad de ambos miembros va a resultar verdadera (restar a ambos lados) .Las expresiones a cada lado del igualdad ya no siguen siendo equivalentes a las primeras porque se ha conservado el conjunto solución.

La diferencia entre los 2 tipos de transformaciones permanecen implícita en la enseñanza, y si se explicitara estas diferencias en los tramos iniciales de la formación, no habría suficientes elementos para que pudiera comprenderla.

Esta paradoja y las simplificaciones inevitables por una presentación temprana de las ecuaciones, llevan a pensar otras vías de entrada a lo algebraico:

La generalización está en el corazón de la matemática. Vamos un problema para trabajar aspectos generales. Generalizar es encontrar características que unifican, reconocer tipos de objetos y de problemas. Al descontextualizar el trabajo hecho sobre un problema y discutir sobre la matemática involucrada, estamos en un proceso de generalización, que permitirá utilizar y adaptar lo hecho con este problema a otros problemas del mismo tipo. Esta herramienta está bien adaptada para expresar la generalidad y provee un mecanismo de validación de conjeturas apoyados en las reglas de transformación del escritura, las letras representan números genéricos.

Entrada funcional: la dependencia entre 2 magnitudes o cantidades y la consideración de las letras para expresar esas cantidades variables. Esto implica considerar la construcción del concepto de función. Implica analizar desde la enseñanza la complejidad de la tarea de modelizacion de fenómenos de la realidad. Requiere explorar la variedad de registros de representación semiótica con lleva esta noción y reflexionar sobre el papel de los procesos de conversión entre registros, en la construcción del sentido del objeto, requiere analizar el complejo semiótico que constituyen los gráficos artesianos.

Ambas vías proven oportunidades para arribar al concepto de ecuación, objeto que puede considerarse como una restricción que se impone en un cierto dominio. Así es posible sostener la idea de variable o de número general en el tratamiento de las ecuaciones, accediendo a un mayor grado de complejidad del concepto y abarcando las ecuaciones, con mas de una variable o las ecuaciones de mayor grado.Una entrada vigorosa al álgebra requiere la exploración de todas estas vías y de un trabajo que permita relacionar y diferenciar cada una.La llegada de las ecuaciones de la idea de variable, de fórmula, o de número general,pone en mejores condiciones a los alumnos para atrapar el sentido de ese objeto. El trabajo en torno a la generalización permite que los alumnos construyan referencias para realizar y controlar las transformaciones algebraicas que respetan la equivalencia de expresiones abordando el objeto ecuación, con mayor dominio tecnico.La generalización identificamos 2 zonas de trabajo que involucran lo algebraico desde aspectos diferentes. La producción de fórmulas para contar colecciones. La formulación y validación de conjeturas sobre los números y las operaciones.

La producción de fórmulas para contar colecciones.

Los problemas presentados son las primeras experiencias con el lenguaje algebraico que son enfrentados los alumnos.Las características de este lenguaje serán estudiadas en función de las tareas que se plantean en los problemas. Al elegir estos problemas como iniciación al trabajo se asume la complejidad del campo que se está abordando, el trabajo anterior de los alumnos en el terreno de aritmetica será un punto de apoyo, los elementos de ruptura que implica enfrentar el álgebra, no son suavizados sino puestos de relieve.Un asunto central es encontrar una fórmula para el paso N de una cierta colección que se construye según una regularidad. La producción de la fórmula es el punto de apoyo para abordar cuestiones constitutivas del lenguaje algebraico.

Ejemplo 1La idea del problema es considerar cuadrados cuadriculados, variando la cantidad de cuadritos de las cuadrículacion.Se trata de contar los cuadritos que hay en el borde de la figura y de encontrar una fórmula que permita ese cálculo en función de la cantidad de cuadritos del lado del cuadrados. Se plantea este problema como primera experiencia de los alumnos con las letras (12/13 años). La diversidad de maneras de contar los cuadraditos sombreado dará origen a diferentes escrituras para la fórmula. Durante una discusión en torno a la equivalencia entre las distintas escrituras. El enunciado del problema puede adoptar diferentes formas:individual primera etapa : se da a cada alumno un cuadrado dibujado con cinco o seis

cuadraditos del lado y se pregunta por la cantidad de cuadraditos del borde segunda etapa : se pregunta cuántos cuadraditos habra en el borde de un

cuadrado de 37 cuadritos de ladogrupal tercera etapa : confrontar las soluciones y elegir una para ha erl. Redactar una explicación del método utilizado

para contar en el caso de 37 cuadritos de lado, que pueda servir para contar en otros casos. Cuarta etapa : discusión sobre los métodos de cálculo, dados en lenguaje usual: se presentan en el pizarrón y

cada grupo analiza los métodos de los otros, rechazar los que considere erróneos y agrupar formulaciones diferentes del mismo método de cálculo (debate sobre rechazos y agrupamientos)

quinta etapa : cada grupo escribe una fórmula que refleje el método de cálculo que prefieran. El profesor debe explicar, lo que los alumnos entienden por fórmula, con ejemplos asociados al cálculo de un área o perímetro.

Sexta etapa: se presentan las diferentes fórmulas. Se trabaja sobre la equivalencia de fórmulas

séptima etapa : se plantean preguntas que muestren la utilidad de la fórmula para conocer características de la situación que modeliza.

Elementos para el análisis didáctico del problema y cuestiones transversales relacionadas con las propiedades del lenguaje algebraico.primera etapa: para hacer comprender a todos los alumnos de que se trata. Algunos contarán los cuadritos del dibujosegunda etapa: los enfrenta con los límites de tales procedimientos, alentandolos en la búsqueda de simplificaciónes para el conteo.trabajo grupal: diferentes estrategias estarán en confrontación, al igual que criterios como la economía, la claridad, la sencillez, que determina las comparaciones y elección de una estrategia de cálculo para expresar por escrito y para el resto de la clase.Respuesta de los chicos: sumar 4 x 37, por los cuatro lados, y luego sacarle uno por cada esquina donde se superponen dos lados, o sea

37 x 4 - 4 contar dos lados enteros de 37 y luego 35 por cada uno de los otros 2 lados

contar los cuadraditos en cada fila de arriba para abajo: 37 dos veces y luego 37 otra ves: 37+ 35 x 2+37 contar tiras en cada lado de 36 cuadritos 4 x 36

contar todos los cuadritos del cuadrado de 37 de lado y restarle los del cuadrado de 35 de lado: 37^2 - 35^2.Quinta etapa: cada procedimiento derivará en una fórmula. Proponga que todos utilizan la misma letra se expresarla.Sexta etapa: la discusión sobre cada una de las escrituras donde hacen públicas las cuestiones como la multiplicidad de forma diferentes de indicar un producto: 2.n; 2*n; 2n; (pluralidad de escrituras) estar atentos a las preguntas y dudas en sus alumnos para despejar asuntos que luego suelen ser fuente de malentendidos.Cada grupo ha llegado una respuesta, y ha producido una fórmula: 2.n + 2 (n-2) 4. (n-1) n^2-(n-2)^2 (al trabajar con áreas) 4n - 4 n+(n-2).2+n¿es posible? ¿cómo lo explican?

Este es un momento de desconcierto y discusión entre los alumnos. Algunos piensan que la única respuesta correcta es la propia, otros suponen que es un problema con mas de una respuesta y otros tratarán de ver en qué medida las distintas fórmulas son iguales.Asuntos didácticos: un problema que se pueda resolver por distintos procedimientos: asunto que necesita sostenerse en todo el

proceso enseñanza. Dependerá, de las experiencias previas, del grado de novedad de esta cuestión. Está presente desde etapas previas del problema.

La posibilidad de que un problema admita dos respuestas diferentes: puede que los alumnos no busquen ninguna relación entre las distintas fórmulas.

La respuesta a un problema es una fórmula: producir fórmula como tarea es algo nuevo y debe ser desarrollado con distintos problemas y actividades.

Se obtienen distintas fórmulas y todas son correctas, porque cuentan o calculan lo mismo para cada valor en la variable.

Es un concepto a construir la noción de equivalencia de expresiones algebraicas.Discutir en torno a la equivalencia entre distintas fórmulas admite un trabajo en 3 planos diferentes: evaluar las distintas fórmulas en números particulares y constatar que den igual. Asegurarse que todas las fórmulas cuentan lo mismo, apoyarse en lo correcto de cada fórmula para contar

los cuadraditos del borde y concluir que valen lo mismo para cada valor de la variable independiente. Apoyarse en las propiedades de los números y de las operaciones para afirmar la igualdad de 2 cálculos,

para todo valor de n.Este último punto, constituye un inicio del tratamiento algebraico de las expresiones. La potencia de este problema está en explotar este tercer aspecto de interacción con el primero y el segundo. Apoyarse en el contexto para fortalecer el sentido del equivalencia de las escrituras, aprovechar las evaluaciones en ejemplos numéricos, como fuente de información para formular la equivalencia de las expresiones.Este equivalencia, estática (2 fórmulas dadas son equivalentes), derivará en un futuro en leyes de transformación más dinámica, que permitirán pasar de una escritura a otra, conservando la denotación de la expresion algebraica. Usamos el término denotación apoyándonos en por ejemplo, las expresiones 4= 2+2 y 2^2 tienen la misma denotación o (x^2- y^2) y (x-y).(x-y) o 2x+3=7 y 2x=4.Lo que falla en los alumnos con dificultad en álgebra es que no tienen en cuenta la denotación de los objetos algebraicos y desconocen que al trabajar con expresiones algebraicas o ecuaciones es preciso conservar dicha denotación. "Autómata formal" es un alumno que no tiene en cuenta cuando manipula las expresiones, que al transformar una de ellas se obtiene un equivalencia. La validación del resultado no se plantea en términos de equivalencia, sino de conformidad con reglas y procedimientos, por ejemplo, lo que está restando pasa sumando.Modificar el sentido conservando la denotación es fundamental del trabajo en el lenguaje algebraico.Que distintas escrituras con la misma denotación tenga sentido diferentes se apoya en una propiedad fundamental de lenguaje algebraico, leer información en la escritura de una expresión, por ejemplo (x-1).(x-5) y (x-3)^2-4, son equivalentes pero portan diferentes sentidos: la primera muestra los ceros de esta función, la segunda permite identificar el eje de simetría y el vértice de la parábola.Séptima etapa: lectura de información en una expresión algebraica: preguntas:¿existe algún valor de n para el cual la cantidad de cuadrados sombreados sea 587?Los alumnos deben identificar que el resultado del conteo es múltiplo de 4. Si unos alumnos se apoyan en expresión 4n - 4 atraparán primero que 4n es múltiplo de 4, y se apoyarán en una tabla del cuatro, para establecer que, restando 4, se corrieron a otro múltiplo.Si partieran de la expresión 4.(n-1), podrían reconocer más rápido que se trata de un múltiplo de 4.Si bien esta pregunta llevaría el planteo de una ecuación, no es necesario despejar la n para poder responder a ella.Otras fórmulas se muestran menos amigables para responder esta pregunta. Así en función de la tarea, una fórmula resulta más conveniente que otra.Será necesario otro tipo de preguntas, ejemplo, la fórmula con cuadrados. Una posibilidad es poner en juego la equivalencia entre esta expresión y otras y preguntar:¿es cierto que todo múltiplo de 4 se puede escribir como la resta entre 2 números cuadrados?¿Podés encontrar esta diferencia para el número 4x 198557?Si te parece que no siempre se puede hacer, encontra un múltiplo de 4 que no lo cumpla.Los alumnos deberán aprender a controlar las leyes de transformación de las escrituras y anticipar sus efectos sobre una expresión para elegir la transformación mejor adaptada al problema. Niveles semánticos referidos al tratamiento de las expresiones:1 nivel (nivel de evaluación): se le da sentido a una expresión a algebraica mediante el reemplazo de valores en las variables y la realización del cálculo correspondiente.2 nivel (nivel de tratamiento): transformar las expresiones en otras equivalentes, implica conocer las transformaciones y justificarla, apoyado en que un expresión y su transformación coinciden en toda evaluación.3 nivel (nivel de resolución de los problemas): conocer estrategias que permitan la elección de las transformaciones adecuadas para resolver un problema, haciendo significativo el cálculo, implica, sabe anticipar el efecto de las transformaciones a realizar. Ejemplo, un estudiante deberá aprender que (x+ 1).(x-5)= (x-2)^2 -9= x^2 -4x -5, debe

saber transformar estas expresiones y optar por las más conveniente, de acuerdo con la tarea a realizar (hallar las raíces de una ecuación cuadradita, dibujar la gráfica, hallar su vértice,).Muchos alumnos no dominan este tercer nivel frente a cada problema no llegan a darse cuenta de cómo organizar su actividad para poder arribar a una conclusión.Las actividades presentadas apuntan a la construcción de este tercer nivel, que se presenta en simultáneo con un trabajo en los otros dos niveles. El alumno debe construir sus herramientas de control y sus estrategias para elegir.Respecto de la construcción de tecnicas para tratar las expresiones algebraicas: se trata de proponer contextos que ofrezcan elementos para producir y validar las técnicas.En los tramos iniciales la actividad de producción de fórmulas necesita de problemas para prender en los alumnos principiantes.Ejemplos y elementos para su análisis didáctico.

Ejemplo 2Se propone una sucesión de figuras, construidas con fósforos y se informa que la secuencia continúa agregando en cada paso un cuadrado más

A) calcular la cantidad necesaria de fósforos para construir la figura que ocuparía el sexto lugar.b) calcular la cantidad de fósforos necesarios para construir la figura en el lugar 100 de la secuencia.c) hallar una fórmula para la cantidad de fósforos de lugar n.Respuesta: 3n + 1 que corresponde a mirar N de estas formas y un fósforo más para cerrar. 4 + 3 (n-1), mira un cuadrado entero y luego n-1 de las formas anteriores. 4n - (n-1), toma todos los cuadrados completos y resta los lados superpuestos.d) se formulan preguntas para hacer funcionar la fórmula, ejemplo, ¿podría ser que en alguna ubicación la figura tuviera 154 fósforos? ¿Si tengo 1550 fósforos, y armó una figura de esta forma lo más grande posible, me sobra alguno? ¿Cuántos cuadrados me quedan formados?.El tratamiento puede ser en el que se busca el múltiplo de 3 más cercano a 1550 , que es 1548, si le sumamos 1, y con estos 1549 armó una figura completa entonces sobra 1 y la cantidad de cuadrados será 1548/3.Varíantes que derivan en fórmulas con diferente nivel de complejidad. Ejemplo, contar los fósforos en una disposición de triángulos, donde cada vez se agrega un triángulo más

O en disposiciones rectangulares de 2 cuadraditos por fila con n cuadraditos por columna.

o en disposiciones cuadradas o con filas y columnas que guarden alguna relación: el doble de filas que de columnas, una fila más que la cantidad de columnas, etc.

Ejemplo 3

primera parte

para separar un patio de un lavadero se colocan en línea cantero cuadrados rodeados de baldosas de la misma forma

Proponer distintas preguntas para llegar a la elaboración de una fórmula que permita calcular la cantidad de baldosas a utilizar en función de los canteros: 8+5(n-1) si cuenta 8 que rodean al primer cantero y 5 por cada uno de los restantes. 5n+3 si se cuentan 5 baldosas por cada cantero, en una forma y 3 más para cerrar al final 3(n+1) si se cuentan todas las columnas verticales de 3 baldosas y se le suman 2 baldosas más por cada

cantero. 2(2n+1)+n+1 si contamos 2n+1 la fila de arriba, la multiplicamos por 2 para agregar la de más abajo y le

sumamos n+1 que es la cantidad de baldosas en la fila del medio. 3(2n+1)-n si contamos la totalidad de lugares en la grilla rectangular y le quitamos los que ocupan los canteros.Realizar una discusión acerca de la equivalencia de estas expresiones y hacer preguntas que apunten a la utilización de la fórmulasegunda parterepensar el problema si las baldosas y los canteros fueran de forma hexagonal. Plantea una situación más exploratoria para los alumnos: deberán dibujar un posible patio con canteros y baldosas para realizar una representación del problema. Los canteros pueden ubicarse de muchas maneras:

Dando lugar a disposiciones que requieren de distinta cantidad de baldosas

4n + 2Contar cada una de colecciones y encontrar una fórmula en cada caso.Si los alumnos producen un dibujo colocando el cantero en uno u otro sentido, arribarán a fórmulas distintas. Muchos intentarán probar que las fórmulas son equivalentes.El concepto de equivalencia de expresiones será completado con una regla: 2 fórmulas o expresiones no son equivalentes si, verificando en un solo valor de n, ambas arrojan resultados distintos.Analizar que un enunciado lleva a dos situaciones diferentes, porque se ha dejado en libertad de elección en la posición del cantero, dando lugar a situaciones distintas. El contexto y el trabajo algebraico se nutren para la construcción del sentido de las reglas que rigen la manipulación de este lenguaje.Reflexión: luego habrá que poner en escena una situación diferente, en la cual dos fórmulas coincidan en uno o varios valores pero no sean equivalentes. Enfrentar al alumno a tareas como las siguientes:(a+b)^2=..........................a) completa con una expresión algebraica a la derecha del igual de manera que la igualdad resulte verdadera para todo valor de a y b.b) completa con una expresión algebraica a la derecha del igual de manera que la igualdad resulte siempre falsa.c) completa con una expresión algebraica a la derecha del igual de manera que le igualdad resulte a veces verdadera y otras veces falsa. Da un ejemplo en que resulte verdadera y otro en que resulte falsa.d) describí el conjunto solución del ítem c.O tareas como:a) inventa 2 expresiones equivalentes.b) inventa 2 expresiones en una variable n de manera que no sean iguales para ningún valor de n.c) inventa 2 expresiones en una variable n de manera que sean iguales para algún valor de N. y falsas para algún otro.¿Cuales son todos los valores de n para los cuales son iguales?Así se pone una matriz a la dualidad = , =. Aparece una igualdad de expresiones que no es ni siempre falsa ni siempre verdadera. Se trata de la noción de ecuación reencontrada, que permite comprender estas igualdades que determina un cierto conjunto solución.

Esto lleva a la necesidad del uso de cuantificadores en el trabajo con expresiones algebraicas. muchas veces esos cuantificadores permanecen implícitos para simplificar el tratamiento. Y queda a cargo de los alumnos entender la diferencia entre la igualdad (a+b)^2= a^2+2ab + b^2, expresa la equivalencia de 2 expresiones algebraicas, y la igualdad (a+b)^2= a^2, que expresa una condición que se impone y que determina un conjunto de valores que hace verdadera el igualdad (una ecuación). La igualdad (a+b)^2= a^2+ b^2 es falsa y raramente es trabajada como condición que defina un conjunto soluciónn a=0 o b=0.

Situaciones, con mayor complejidad, que necesitan un trabajo más variado para resolverlas (segunda instancia de trabajo en la producción de fórmulas).

Ejemplo 4contar la cantidad de puntos en una configuración triangular en función de la cantidad de puntos en la base. Es el cálculo de los números triangulares o de la suma de los n primeros números naturales. Se les presenta a los alumnos la siguiente serie y se explica cómo continúa, agregando cada vez una fila más abajo con un punto más.

1) se propone el cálculo de la cantidad de puntos que hay en la figura está en el séptimo lugar, luego en el lugar número 50.Se pide el cálculo para 7 y para 50 por qué los alumnos utilizan el conteo sobre el dibujo para el primer número, pero esas estrategias resultarán insuficientes para el segundo y deberá organizar su cuenta de manera de poder hacerla efectiva para él 50.Si los alumnos no avanzan, el docente aporta elementos. Ejemplo, si el trabajo lo plantean en el terreno de lo numerico y hacen cuentas, tenderá a que atrapen que los

términos equidistantes de las puntas de toda la tira 1+2+3....+50 suman lo mismo. Si se apoya en la forma triángulo y bajan en el terreno de lo geométrico, apuntar a que consideren 2

triángulos para llegar a una configuración cuadrada o rectangular. El triángulo de 50 en la base en conjunto con el triángulo de 49 en la base se pueden acomodar para tener un cuadrado de 50 x50, pero habría que conocer la cantidad puntos del triángulo 49 para obtener el resultado para n=50. Si se acomodan dos triángulos de 50 en la base, se obtiene un rectángulo de 50 × 51.

Puede suceder que los alumnos prueban calculando con más ejemplo que él 7 y extraen alguna regularidad que luego extienden hasta convertirla en ley, que se aplica al caso n= 50 (generalización inductiva). En estos casos el papel del docente es pedir alguna justificación de aquello que están tomando como regla general y los alumnos suelen sentirse incómodos. Para ellos era así porque funciona en todos los ejemplos, buscar otra explicación es un requerimiento excesivo del docente.

Se trata de instalar la necesidad de una forma de validación más segura y efectiva que la generalización inductiva (esto se realiza en el ejemplo 7).

Se trata de ir incorporando gestos de la manera de producir en la matemática, relacionados con los modos de validar. Ambos se enmarcan en un proyecto a largo plazo y requieren de la negociación colectiva con el grupo. En este espacio colectivo se van modificando y enriqueciendo las normas que regulan el trabajo de los alumnos en un curso.

La confrontación con las producciones de otros alumnos es importante porque ponen contraste distintas calidades de trabajo, que serán objetadas o aceptadas por los pares.

2) Establecer la cantidad de puntos de la figura que se encuentra en la posición n.El análisis del éxito de esta parte se modifica según se considere que el punto 1 ha tenido o no una instancia de discusión colectiva y cuantos se avanzó en el análisis del caso de la cantidad de puntos del triángulo, con 50 en la base la dificultad que presente el caso N puede ser menor si se trató colectivamente el caso 50 con profundidad y como un ejemplo genérico.Esto lleva a muchos alumnos a abandonar sus formas personales de trabajo y a elegir alguna de otro compañero que consideren más eficaz. Los alumnos aportarán ideas genuinas e interpretaciones que ellos hagan de los gestos, las palabras, o el entonación del docente, a medida que se vayan trabajando estas producciones.Suponemos que ese trabajo colectivo está pendiente.Podrá ocurrir que los alumnos que hubieran trabajado en un plano, para usar el hecho de que los términos equidistantes suman lo mismo, se vean necesitados de distinguir el caso en que N es par del caso en el que es impar. Deben constatar que llegan en ambas situaciones a la misma fórmula. Es un asunto nuevo que caso N= 50 no le había obligado a enfrentar.Los alumnos que trabajaron en el plano geométrico, de encaje de dos triángulos iguales pueden llegar a la fórmula apoyados en la misma representación de situación que construyeron para n= 50. En ambos casos, los alumnos mirarian un dibujo con un número pequeño, entendiendo en el ejemplo que la situación se repetirá con cualquier número n.

Este dibujo de dos triángulos encajados que arman un rectángulo puede modelarse numéricamente agrupando los términos que aparecen al sumar dos veces 1+2+3....+n, de manera de obtener n sumando cada uno con valor n+1.El tercer grupo, que busca regularidades numéricas a partir de ejemplo, llega inductivamente la fórmula, pero de manera similar a lo analizado para n= 50.Algunos ejemplos de esta modalidad:un alumno busco regularidades estudiándolo casos n=3,4,5 para los cuales dividió el valor de la suma obtenía por n. El resultado era 1/2 n más 1/2 y estableció una ley: si se divide el número triangular tn por el rango (n) tiene el 1/2 del rango + 1/2. Formula: Tn: (1/2 n + 1/2).notra alumna calculó el área del cuadrado de lado n, lo dividió por dos y estudió la diferencia entre esto y los números regulares para rango 4 y 8 y concluyó que la diferencia entre la mitad del cuadrado del rango y el número triangular es la mitad del rango, fórmula. Tn: 1/2 n^2 + 1/2 n.Luego afirmó que la misma valía seguro para todo número par, porque sus ejemplos de base fueron pares y porque él 1/2 le provocaba inseguridad con respecto a lo que sucedería con el rango impar. Necesito comprobar con un número impar haciendo con la calculadora la cuenta y verificando que daba lo mismo que al aplicar la fórmula. Así se convenció que la fórmula funcionaba siempre.Estos alumnos no tienen conciencia de porque esta regularidad se repite para todo los valores, llegan a la generalidad por un atajo una conjetura que aceptan, validada por los ejemplos en los cuales la chequean.Hay distancia entre el tratamiento inductivo de los ejemplos y la comprensión del fenómeno a través de un dibujo de dos triángulos encajados.El espacio colectivo cumplirá un papel muy importante para hacer avanzar la calidad de las producciones. Para gestar ese espacio y que no se restrinja a interacciones de cada grupo con el docente, se necesita una organización específica, por grupos según el trabajo realizado, que redacten un afiche donde expongan sus procedimientos o el docente puede solicitar que se lo dicten en el pizarrón.Hay tres aproximaciones diferentes al trabajo sobre estas preguntas: apoyarse en varios ejemplos e inferir regularidades a partir de ellos. apoyarse en el contexto geométrico de la situación que permite comprender que siempre se obtiene un

cierto rectángulo al sumar dos veces un número triangular. apoyarse en un trabajo numerico con la introducción de letras para tratar con números generales, que

permita obtener n veces n+1 cuando uno sumar dos veces el número triangular de rango n.Con esta diversidad en la clase, la gestión del docente es imprescindible para lograr la puesta en relación de unas producciones con otras y obtener un enriquecimiento en la conceptualización de cada alumno, la diversidad, otorga un plus que permite hacer avanzar el tiempo didáctico.La posibilidad de obtener diferentes fórmulas para expresar el conteo de un número triangular da la oportunidad de trabajar sobre la noción de equivalencia de expresiones.El problema puede continuar con otras tareas para poner la fórmula en funcionamiento. Ejemplo:3) ¿habrá algún triángulo formado por 70 puntos?Se trataría de resolver una ecuación cuadratica. Pero para el momento de la escolaridad que ubicamos este problema no se dispone de esta herramienta, por lo que hay que desplegar otro tipo de estrategias y conocimientos. Podría pensarse la situación de dos maneras.1) analizar que se trata de encontrar los números consecutivos cuyo producto es 140. Haciendo la descomposiciónes de 140 en dos factores, verían que en ningún caso los dos números resultan consecutivos.2) armar una tabla de productos de 2 consecutivos, en la cual figuren.11.12=13212.13=156y concluir que no se puede obtener nunca 140.También se podría confeccionar una tabla para las sumas y constatar para n=11 hay 66 puntos y para n=12 hay 78, con lo cual no puede haber un triángulo con 70 puntos.Se enfrenta a los chicos a una fórmula más compleja, que deriva el planteo de una ecuación con números naturales. Se propicia un trabajo temprano con fórmulas y ecuaciones más cualitativo, previo a los métodos de resolución.

Ejemplo 5el cálculo de la cantidad de diagonales de un polígono de n lados.Proponer una exploración para polígonos de 4,5,6,7 lados, para la construcción de relaciones más generales que deriven en la fórmula buscada.Maneras de pensar este problema: cada vértice hace diagonal con todos los que no son sus vecinos, así cada vértice forma diagonal con n-3

vértices. Como hay n vértices, tendríamos la fórmula n.(n-3). Pero cómo 2 puntos determinan una única diagonal t estaríamos contando dos veces, la fórmula es1/2 n (n-3).

Cada vértice se asocia con todos los otros, 1/2 n (n-1) segmentos distintos con extremos en los vértices. Pero los vértices continuos determinan un lado, no una diagonal. Por eso hay que restarle la cantidad n de lados. La fórmula que se obtiene es 1/2 n (n-1)-n.

Establecer un juego de validación apoyado en el contexto del problema y la operacion algebraica permite afirmar que ambas expresiones son equivalentes.

El trabajo con la fórmula puede extenderse en varias direcciones. Ejemplo, la exploración para casos particulares permitiría la construcción de una tabla que relacione la cantidad de lados del polígono con la cantidad de diagonales que se obtiene:

Cantidad del lado del polígono 4 5 6 7 8 9cantidad de diagonales 2 5 9 14 20 27

La regularidad en la fila de abajo es la diferencia entre un número y el siguiente aumentando en 1.Si: cantidad de diagonales de un polígono de 4 lados +3= cantidad de diagonales de un polígono de 5 lados.Esto permite formular la conjetura: cantidad de diagonales de un polígono de n lados + n -1 = cantidad de diagonales de un polígono de n+1 lados.Supongamos que los alumnos atravesaron el estado en el cual, de la constatación sobre ejemplos, se obtenía la generalidad y que aceptan esa generalización como una conjetura a probar.¿En qué podrían apoyar la prueba para la conjetura?Supongamos un polígono de n lados al cual se le agregó un vértice A para convertirlo en uno de n+1 lados.Todas las diagonales del polígono de n lados lo serán de este de n+1 lados, y se agregarán las que tienen por extremo el vértice A y por otro extremo a cualquiera de los n-2 vértices con los que puede formar diagonal. Pero al imponer el vértice A entre otros dos, un viejo lado se transforma en diagonal, con lo cual en total se agregan n-1 diagonales.

El lado marcado pasa a ser diagonal al agregar un vértice. Se agregan el viejo lado y las tres diagonales que pasan por A.el análisis sobre la figura explicar la regularidad numérica que se observa en la tabla. Resta hacer un tratamiento algebraico: se valida que si a 1/2 n (n-3) se le suma n-1, se obtiene la cantidad de diagonales del polígono de n+1 lados.Si se aplica la fórmula que se obtuvo al principio para un polígono de n+1 lados se obtiene: 1/2 (n+1)(n+1-3)=1/2(n+1)(n-2) y tiene que ser equivalente a 1/2 n (n-3) + n-1.El fin de las operaciones sobre las expresiones algebraicas es validar una igualdad que debe ser cierta y un contexto que permite a los alumnos controlarlas (si no se tienen igualdad de expresiones hicieron algo mal). Esto aporta a la construcción de sentido de estos aspectos técnicos del trabajo algebraico.En relación con el problema la fórmula se puede explotar con preguntas similares a las formuladas con los números triangulares.Se puede plantear problemas análogos en otros contextos. Si n personas asisten a una reunión y todas se dan la mano, ¿cuántos apretones de manos hubo? Si se arma un campeonato de voléy con n equipos, y se quiere que todos jueguen con todos, partido de

revancha, ¿cuántos partidos debe haber en el campeonato?Relacionar estos problemas con anteriores y aprovechar el trabajo ya realizado para resolverlo. La diferencia entre tres situaciones planteadas tiene su correlato en la diferencia entre las tres fórmulas obtenidas. Estudiar las relaciones es necesario para dominar la modelización. Y aporta, a la construcción de sentido del lenguaje algebraico.

Ejemplo 6

Actividad para la producción de un procedimiento para calcular la suma de 10 números consecutivos.Parte 1: el profesor escribe en el pizarrón 10 números consecutivos y pide hallar su suma sin usar calculadora. Luego propone jugar: el profesor dice un número y se trata de ver quién da primero el resultado de la suma de los 10 números consecutivos a partir del dado.

Parte 2: se divide la clase en equipos, se juega un par de veces más. Cada equipo tendrá un tiempo para pensar y escribir una estrategia en lenguaje coloquial, que le permita obtener rápidamente la suma de 10 números consecutivos. Se discuten las estrategias.

Parte 3: se busca escribir una fórmula que permita, dado el primero de los 10 números obtener la suma de esos 10 números.Parte 4. Se analizan, se comparan y se validan las diferentes producciones.Parte 5: se pone la fórmula en funcionamiento. Preguntar:¿es posible que la suma de 10 números consecutivos de por resultado 735245? ¿Por qué? ¿Cuáles son los números que se han sumado? ¿Es posible que la suma sea 18450?Este problema es diferente del resto ya que los cálculos dependen de un valor inicial.Los chicos, en el ánimo de ganar encuentran regularidades que les permiten dar la respuesta rápidamente sin encontrar las razones por las cuales eso funciona.La finalidad es encontrar una explicación o justificación del procedimiento, no solamente encontrar una respuesta.Para arribar a una estrategia tal vez los alumnos necesiten hacer ensayos con casos particulares o que los ensayos se dirijan hacia la búsqueda de una estrategia que fueran constataciones que no responden a ningún proyecto. En este último caso sería interesante que es docente plantearse alguna cuestión que les permitiera a los alumnos analizar la estructura de cada cálculo hecho. Para esto solicitarles que escriban los cálculos y no solamente su resultado. La visualización de los 10 números consecutivos puede mostrarles aspectos que la cuenta hecha con la calculadora oculta. Ejemplo: si el docente dicta un número que termina en 0, los 10 comandos empiezan con los mismos dígitos, lo que

facilita pensar en estrategias de agrupamiento. Las últimas cifras son siempre distintas y recorren entonces de 1 al 9, sumando 45.Algunos alumnos pueden plantear un procedimiento, sin demasiada precisión. La escritura de la fórmula va a forzarlos a explicar las relaciones del procedimiento. Otros puede que tuvieran claro el procedimiento les resultará difícil atraparlo en una fórmula. La escritura de la fórmula no es una traducción del pensamiento sino que constituye un soporte para el pensamiento.Si algunos alumnos encuentran un procedimiento y no saben cómo escribirlo en fórmula, se puede solicitar a los otros grupos que propusieran escrituras para dicho procedimiento.Puede observarse distintos procedimientos por los cuales los alumnos llegaron a producir la fórmula 10 n +45 como respuesta al problema, porque consideran la tira de sumandos como n+n+1+n+2+...+n+9 y agrupan esta suma como 10 x n (1+2+3+4+5+6+ 7 + 8 + 9)= 10n +45.También puede ser que después de haber probado con varios números, formula una estrategia: Tomás el quinto número de la serie y de agregar un cinco a finales, pero le resultó imposible transformar este mecanismo en una fórmula.Fomentar el intercambio en esa clase entre los diferentes grupos. Una vez que la fórmula 10n +45 se hizo pública y sus productores la justificaron, se pudo entender que agregarle un cinco al final era lo mismo que al multiplicar por 10 y sumarle 5. Esto daría una fórmula del estilo (n+4).10 +5, equivalente a la fórmula ya producida. Al hacer esto los alumnos no están apoyándose en el contexto para construir su fórmula sino en las producciones explicaciones de otros compañeros.Reflexión respecto a la manera de plantear los ejercicios de producción de fórmula en algunos textos bajo el título de: buscar una regularidad o patrón.Se trata de problemas donde se muestran dos o tres términos de una secuencia y se solicita a los alumnos que la continúen, sin dar indicación de cómo se construye el término general de la serie o de cómo se pasa de un lugar al siguiente. También se pide una fórmula para expresar el número o la cantidad de elementos del lugar n de la secuencia.Presentación de un problema de ese tipo para trabajar sobre los límites de la generalización inductiva.Ejemplo 71)en cada caso establecer una regla en palabras para extender la secuencia de figuras dadas. ¿Cuantos cuadraditos habrá en el lugar 13?

2)¿Cuantos cuadraditos habrá en el lugar 13?

Para la secuencia 1 es probable que los alumnos vean una única manera de continuarla, agregando en cada paso un cuadradito más en cada extremo horizontal y uno en la parte superior. Así en el lugar 13 hay 12. 3 +1 cuadraditos.

En la secuencia 2 se van incorporando cuadraditos arriba, a la derecha, abajo y a la izquierda. Cada vez se incorpora una tira de un cuadradito más que en la incorporación anterior. Así la Cruz del paso 5 tiene un cuadradito más en cada brazo. Ocurre también que en el paso 2, el lado más largo tiene cuadraditos, en el paso 3 al lado más largo tiene 3 cuadraditos y en el cuarto paso 4.Hay distintas regularidades que se pueden considerar en la misma secuencia. Ejemplo: pensar en reiniciar la serie de cuadradito que se agregan desde el paso 6, incorporando un arriba, dos a la

derecha, tres abajo, etc. de este modo, en el lugar 13 tendríamos tres vueltas y 1+ (1+2+3+4).3 cuadraditos. Ir incorporando tiras cada vez más grandes, así en un lugar 13 habría 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

cuadradito.Buscar distintos puntos de vista para la continuación, podría intentar conservar el hecho de que la Cruz tenga en el paso n, n cuadritos en el brazo más largo, el cual sigue ocupando un lugar rotativo, arriba, derecha, abajo, izquierda. En el paso 13, ese brazo resultaría ser el de la izquierda y habría 1+12+11+10+9 cuadritos. Se puede considerar una secuencia cíclica, pensar en que se vuelve a comenzar con la secuencia completa

después del quinto paso. Y por lo tanto habría 1+1+2+3+4 cuadritos.

La diversidad de este ejemplo abre la mente para imaginar otras continuaciones en el ítem 1 . Ejemplo una continuación cíclica o simétrica.

2, 3 o 4 pasos de una serie no determinan cómo sigue la misma, si no está expresamente indicado, la secuencia puede continuar de cualquier manera.La regularidad que se puede obtener permanece a nivel de una conjetura sobre la serie completa, salvo que otra información, en el texto, permita validar la regla obtenida.Lo que está en juego acá es la relación entre los ejemplos y una ley general. Relación importante de construir y que se encuentra en otro momento del trabajo matemático. El ejemplo 7 es pertinente para trabajar sobre este aspecto.Estos siete ejemplos son una puerta de entrada al mundo algebraico, y que se apoya en la noción de fórmula, concebida como modelo de una situación como reflejo de un proceso de cálculo. Esto resignificaría el sentido de esta noción, que los alumnos pueden traer de su participación en el cálculo de magnitudes geométricas.La fórmula ha mostrado sus funciones mas alla de la computación de una cantidad. Permite extraer nuevas formaciones gracias a la forma de su escritura.Esta pluralidad de escrituras ha dado lugar a la noción de equivalencia entre expresiones algebraicas. Las propiedades de las operaciones numéricas juegan un papel primordial en la validación de la equivalencia.Los contextos de los problemas y las situaciones que se trabajan también son importantes en estas validaciones. Así estos contextos podrían constituirse en referencias válidas para los alumnos en relación con las reglas del álgebra.

Formulación y validación de conjeturas sobre los números y las operaciones

los números, sus operaciones y los problemas que se resuelven con ella son objeto de trabajo de los alumnos en la escolaridad elemental. Ahora hay que estudiar las propiedades de los números y considerar las operaciones como objetos de estudio. Los conocimientos aritmeticos de los alumnos estarán en la base del nuevo trabajo.Al presentar actividades a los alumnos con la formulación de conjeturas acerca de los números y las operaciones, es necesario producir argumentos para validarlas. El problema 6 es ejemplo de esto.El álgebra se constituye como herramienta en la organización y producción de argumentos.Las relaciones entre el álgebra y la aritmética han sido estudiadas por investigadores que ponen el foco sobre aspectos de continuidad y ruptura que relacionan a ambos dominios.Una diferencia entre el tratamiento arotmetico y el algebraico es que este último permite guardar traza de las operaciones realizadas en la expresión final de un cálculo. De este modo, se puede analizar las propiedades del objeto obtenido a partir de la lectura de una expresión.Ejemplo que muestra la potencia del álgebra al conservar la génesis de las diferentes operaciones:

Ejemplo 8explica porque si se eligen dos números cualesquiera que asumen 3000 y se realizan con ello en las siguientes cuentas el resultado que se obtiene es siempre 2104:1. Multiplicar los dos números elegidos.2. Sumar 7 a cada uno de los números elegidos y multiplicar los nuevos números obtenidos.3. restar el resultado tenido en 2 menos al resultado obtenido en 1.Teniendo en cuenta que hay una exigencia de generalización, se puede traducir el enunciado de la siguiente manera:1. a.b2. (a+7).(b+7)= a.b+ 7a+7b+49=a.b+7(a+b)+493. a.b+7(a+b)+49-a.b=7(a+b)+49=7.3000+49=21049

Si se realizan las cuentas con números se encuentra al final, con el resultado, sin tener una pista de porque ocurrió esto y de por qué sucederá con cualquier otro número.El álgebra presenta un aspecto estelar y mexicano por taba. En las cuentas con números se impone una ley de simplificación para finalizar los cálculos, que en los alumnos permanece vigente en el trabajo algebraico, de manera que no aceptan una expresión como 4b+1 como producto final, pretendiendo simplificarla en una que no incluya la operación suma, como 5b (para muchos alumnos no hay en esta expresion una operación, la consideran como 5 objetos b).En traza ejemplos la propiedad de guardar la grasa de los cálculos es fundamental.

Ejemplo 9¿es cierto que si se suma 1 número más su doble, más su triple, más hoy cuádruple, el resultado es siempre 1 número que termina en 0?¿Por qué?Los alumnos deben discutir en torno a 1 regularidad. Las pruebas con números confirman que él resultado siempre termina en 0. Para tener alguna pista de por qué se produce eso, escribir las cuentas en cada ejemplo sin finalizar los cálculos. Ejemplo: si escribimos 5+ 5. 2+ 5. 3+ 5. 4 (usar resultado es 50) se ve que los cuadros humanos comparten 1 5 y por propiedad de las operaciones se reescribe la cuenta y se obtiene . 5 (1+ 2+ 3+ 4)= 5. 10= 50.Continuar la tarea con otro número anticipando que parte de las cuentas va a cambiar.Estamos tratando los ejemplos de forma álgebraica dejando escrita las operaciones intermedias. Finalmente, se trata de expresar este cálculo para un número cualquiera n: n. (1+ 2+ 3+ 4)= 10.n. De esta última expresión se infiere que el resultado obtenido terminará siempre el cero.

Ejemplo 10juego: consideren 3 numeros enteros consecutivos cualquiera. Realizen la diferencias entre el cuadrado del número del medio y el producto de los otros 2 números. Gana el que llega al resultado mas grande.Una realidad no evidente para muchos chicos es que el resultado es siempre 1. No vale la pena jugar al juego. Después de que hayan llegado a esta conclusión los alumnos deben explicar por qué sucede eso (ya no deben buscar un resultado sino explicar lo que encuentran).Pueden expresar los 3 números como,a, a+1, y a+2 o a-1, a, a+1. Al plantear el cálculo en cada caso se llega a:(a+2).a-(a+1)^2 o (a-1).(a+1)-a^2.Al transformar estas expresiones se concluye que de los 2 números elegidos, el resultado es siempre 1 punto la información que plantea el tratamiento algebraico relacionado a lo general es que el resultado dará siempre lo mismo.Con este ejemplo se encuentra sentido a las transformaciones álgebraica como herramienta para tener nueva información a partir de datos iniciales.

Ejemplo 11(los 2 primeros items y plantean conjeturas verdaderas, el 3º no)a) si se suman 3 números naturales consecutivos cualquiera,¿el resultado es siempre múltiplo de 3?

b) si se suman 5 números naturales consecutivos cualquiera,¿al resultado es siempre múltiplo de 5?c)¿será cierto que si se suman k números naturales consecutivos cualquiera, el resultado siempre será un múltiplo de k?La exploración vía ejemplo permite conjeturar que la respuesta es afirmativa para las 2 primeras preguntas.4+5+6=158+9+10=2712+13+14= 39no es claro identificar una característica común. Se puede escribir una relación entre un número y su consecutivo como (el consecutivo se obtiene sumando 1): 4+(4+1)+(4+2)= 3x4+3, donde se hace visible que es un múltiplo de 3. Para llegar a este resultado de manera general llamar n al primero de los 3 números, la suma será: n+(n+1)+(n+2)=3n+3, que resulta siempre múltiplo de 3. Otra posibilidad es focalizar la atención en que múltiplo de 3 es el resultado. Revisar los ejemplos y constatar que es múltiplo del número del medio. Así se puede modelizar el caso general llamando n a ese número del medio y se obtienen (n-1)+n+(n+1)=3n.Algunos alumnos pueden tratar casos particulares, como que el primero de los 3 números sea múltiplo de 3. Si generalizaran estas situaciones llamando 3n al primer número, la suma de los 3 se expresa como 9n +3 , que es múltiplo de 3, para todo valor de n.Un aspecto importante ligado a la modelización es que se llevó a 3 fórmulas diferentes y no equivalente, porque en cada caso en la letra n define algo diferente. Hay una elección diferente de variable que se pone en escena desde las primeras experiencias de los alumnos con la modelización algebraica. Esto muestra la distancia entre un proceso de modelización la traducción de un lenguaje a otro. Saberse habilitado para elegir, ubica al alumno en una posición de mayor control sobre su trabajo.Él items b permite un trabajo similar, más complejo en la escritura.El items c plantea una doble generalización: se trata de sumar cualquier número y estudiar el problema para cualquier cantidad de sumando. No espera una excesiva formalidad con esta doble generalización. En la exploración de ejemplos los alumnos se encuentran con casos donde no da. Con aportes docentes se pretende arribar, a que si sumamos una cantidad impar de números consecutivos, se puede hacer un razonamiento algebraico. Para esta generalización, en la modelización llamando n al número del medio es la más eficaz. Se pretende arribar a que si sumamos una cantidad par de números consecutivos, nunca se logra la propiedad enunciada, porque si sumamos k números consecutivos, esa suma se expresaría, para un valor par cualquiera de k , y un valor cualquiera de n (esta formalidad está fuera del alcance de los alumnos principiantes):n + (n+1)+ (n+2)+......+ (n+k-1)= kxn + (1+2+3+...+k-1)=kxn+(k-1)x(K/2)= kx(n+(k-1)/2).La única manera de obtener un múltiplo de k, es si el número n+(k-1)/2 fuera entero, pero esto nunca es así si k es un número par.Llegar a esta conclusión informalmente depende de la calidad del trabajo y de los hábitos de expresión ya instalados en esa clase. Es pertinente pensar el trabajo con esta doble generalización ya que contribuye a un avance en esa calidad de trabajo.

Ejemplo 12(para que el alumno establezca una conjetura y la valide)¿cuales son todos los números que verifican que, elevados al cuadrado, tienen resto 1 al dividirlos por 8?La exploración en diferentes ejemplos arroja:

Número al cuadrado resto al dividir por 8

2 4 43 9 14 16 05 25 16 36 4

Según la tabla ningún número par va a tener resto1, al cuadrado sigue siendo par, y sigue la conjetura de que serán todo los números impares. Podría ser que los alumnos necesiten verificar esa conjeturas en algún impar grande para estar seguro. Finalmente, habrá que llegar a un modelo de la situación para un número impar cualquiera.Se designa ese número impar con n, la expresión de su cuadrado (n^2) no permite atrapar nada de su posible resto al dividirlos por 8. Será necesario dejar expresado que se trata de un número impar. (Importancia de la elección de la variable para poder avanzar con la tarea).Si se expresa un numero impar genérico como 2n+1 para cualquier valor de n , se obtiene (2n+1)^2= 4n^2+4n+1=4x(n^2+n)+1=4xnx(n+1)+1.Ahora analizarla, el 4 restringe el problema a controlar sí nx(n+1) es múltiplo de 2, y es así porque n o n+1 tienen que hacer números pares. Entonces concluimos que el cuadrado de 2n+1 es un múltiplo de 8 más 1.Si el número impar se expresara como 2n-1, se obtendría (2n-1)^2= 4n^2-4n+1=4x(n^2-n)+1=4xnx(n-1)+1 y el razonamiento es análogo.

Otra manera es ver que se trata de probar es que si n es un número impar, n^2-1 es siempre múltiplo de 8. La descomposición de esta resta en 2 factores (conocimientos que quizás no tengan los alumnos principiantes) nos informaría que n^2-1=(n-1)(n+1).El miembro derecho presenta el producto de 2 números pares consecutivos: uno de los 2 debe ser múltiplo de 4. Con esta observación se concluye que la conjetura es cierta.La pluralidad de modelizaciones posible, la necesidad de transformar las escrituras, la lectura de información en una expresión son ingredientes que hay que abordar para el trabajo algebraico.

Ejemplo 13(que necesita de la noción de división entera y colaboran en su reelaboración)

1) hallar, si es posible, un valor b para que el resto de dividir por 4 el número 4x(b+1)+2 sea 2, y otro valor de b para lograr que el resto sea 3.2) hallar, si es posible, un valor de b para que el resto de dividir por 8 el número 4x(b+1)+2 sea 2, y otro valor de b para lograr que el resto sea 4.3) hallar, si es posible un valor de b para que el resto de dividir por 5 el número 4x(b+1)+2 sea 2, y otro valor de b para lograr que el resto sea 3.Se trata de recuperar las propiedades de la división y el resto. El análisis de la estructura del cálculo que se expresa permite leer información pertinente para cada tarea que se propone. En cada items, las 2 preguntas requieren tratamientos específicos.En 1 como se trata de la división por 4, la lectura de la forma del número permite responder para todo valor de b el resto será 2.En 2, el primer ejemplo que se pide obliga a considerar b+1 debe ser múltiple de 2. Hay infinitos ejemplos (impares). El segundo ejemplo debe lograr que 4x(b+1) tenga resto 2 al dividirlo por 8. Si b es impar, tiene siempre resto 0. Si b es par, b se puede expresar como 2k, y el número 4x(b+1) se puede expresar como 4x 2k+4= 8xk+4, nunca tiene resto 2 al dividirlo por 8.Para 3, la situación es más abierta y se pueden encontrar casos a mano. En el primer ejemplo, el resto 2 está garantizado el resultado de la cuenta 4x(b+1) es indivisible por 5. La única manera, ya que 4 y 5 son coprimos, es pidiendo a b+1 sea múltiplo de 5. Esto permite producir infinitos ejemplos de b: 4, 9, 14... etc., es decir todos los números que tienen resto 4 al dividírloos por 5, que se pueden expresar como 5k+4. Para el segundo ejemplo, hay que transformar la escritura 4x(b+1)+2 = 4b +6= 4b+5+1. Para que este número tenga resto 3 al dividirlo por 5, es necesario que 4b tenga resto 2. Esto se logra, con por ejemplo, b=3, b=8 cualquier número b responda a la forma 3+5k.Una nueva técnica de trabajo se puso un juego en este problema, la posibilidad de sustituir la variable en una expresión álgebraica por otra expresión. Los alumnos deberán enfrentar diferentes problemas que la pongan en juego y lograr la destreza necesaria para hacer de esta técnica una herramienta util para el trabajo matemático.Se demostró la potencia del álgebra para estudiar propiedades y relaciones de los números enteros y las operaciones.La propiedad fundamental que permitió este estudio fue la posibilidad que tiene el lenguaje algebraico de guardar la traza de las operaciones realizadas.Las transformaciones álgebraica de la escritura estuvieron al servicio de la formulación de una conjetura y de la validación de un resultado dado.Otros aspectos de la modelización álgebraica aparecieron: la elección de variables adecuadas, la técnica de sustitución de una variable por una expresión, que deben ser trabajados en diferentes tipos de problema y en relación con otros objetos del álgebra y las funciones.

La matemática y la didáctica. Hacer y estudiar matemática. El currículum de matemáticas (Fioriti, Bifano)

Se investiga la didáctica de la matemática para entender los fenómenos y procesos didácticos,(relaciones que se juegan entre el alumno, el docente y el saber matemático).

Concepción de enseñar: es crear las condiciones que producirán en los alumnos la apropiación del saber. Concepción de aprender: es implicarse en una actividad intelectual para luego disponer de un saber como instrumento para resolver problemas y como objeto a ser estudiado.La matemática es el medio de comunicación entre alumnos y profesor.Chevallard: la didáctica de la matemática es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de la matemática la actividad matemática, es una actividad de modelización matemática para estudiar sistemas. Hay 3 aspectos de la actividad matemática que tienen lugar en diferentes tipos de instituciones porque las relaciones en esos saberes están organizadas a partir de finalidades diferentes:-utilizar matemática, en instituciones de utilización.-construir matemática nueva, en instituciones de producción.-enseñar o aprender matemática, en instituciones didácticas. Aquí está en juego el saber, se estudia matemática, donde sus integrantes deben probar su capacidad para poner en obra el saber. Si bien en otros lugares, también se estudia matemática, en empresas, universidades, centros de investigación o innovación tecnológica, la diferencia entre éstos y la escuela, como institución didáctica, se caracteriza porque el saber le da sentido su existencia.En esta teoría, el aprendizaje se produce durante la enseñanza y es el efecto perseguido por el estudio, y la enseñanza el medio para el estudio.

¿Qué hacer matemática? (charlot)No es una actividad que permite a un pequeño grupo el acceso a un mundo particular por su abstracción, es un trabajo del pensamiento, que:- construye los conceptos para resolver problemas, - plantea nuevos problemas a partir de los conceptos construidos, - corrige y completa conceptos para resolver problemas nuevos- generaliza y unifica los conceptos en universos matemáticos que se articulan, estructuran, desestructuran y reestructuranDemocratizar la enseñanza de la matemática supone romper con una concepción elitista de un mundo abstracto que existía por sí mismo y que sólo era accesible a algunos. Se debe pensar la actividad matemática como un trabajo, accesible a todos mediante el respeto de reglas. El punto de partida de la actividad matemática es el problema, saber que proporciona el problema, si tiene sentido para el alumno, si le permite desarrollar una actividad intelectual, para así poder construir los saberes matemáticos para resolverlos.

¿Qué se estudia matemática?Es hacerla, construirla, fabricarlas, producirla. El sentido de estudio que se debe recuperar en la escuela es por ejemplo, al estudiar violín una persona dedica horas a trabajar con el instrumento, y estar con el maestro, lo que motiva estudiar no son las evaluaciones sino los logros y avances en el dominio del instrumento.

¿La matemática debe ser utilitaria?La matemática está en todos los aspectos de la vida, en algunos casos de manera más evidente que en otros. Estudiar es más que resolver ejercicio, aunque ésta está incluida en el estudio. Estudiar un concepto involucra - relacionarlo con otros conceptos, - identificar qué tipo de problemas se puedan resolver y cuáles no con una herramienta- saber los errores más comunes cometidos en la producción y el porque.Cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer formas particulares de producir, de comunicar y validar conocimientos que deben estar incluidas en el momento de estudio. El alumno no puede estudiar desconociendo por ejemplo, la manera de establecer la verdad matemática. Estudiar supone resolver problemas, construir estrategias de validación, comunicar y confrontar con otros el trabajo producido y reflexionar sobre el propio aprendizaje.La matemática está poco visible en las prácticas sociales no escolares o cultura. Los programas televisivos, conferencia o exposiciones de matemática son escasos. Para cualquiera, la matemática sólo se opera escuelas y entra en la cultura por medio de ésta. La escuela debe distribuir equitativamente la cultura y la matemática, por ser un bien cultural, debe integrar el capital cultural de todos los ciudadanos.

¿Qué hacer para estudiar matemática?

Un grupo de estudio, (docente y alumnos en una clase), para estudiar matemática debe realizar un proyecto de estudio. El docente dirige el estudio, el alumno estudia, los padres ayudan a sus hijos a estudiar y a dar sentido al esfuerzo que se les exige.

El trabajo del docente...Es hacer la transposición didáctica:- identificar los contenidos a enseñar, - seleccionar situaciones de enseñanza - gestionar la clase para hacer que los alumnos se apropien del conocimiento y aprendan formas de estudiar matemática. - Institucionalizar el conocimiento construido en la clase para presentarlo tal cual como se utiliza en la comunidad matemática.

La responsabilidad del alumno...- resolver los problemas que le proponga el docente- escribir los procedimientos que utilizó para resolverlos- comunicar a los compañeros sus soluciones, discutirlas, y defender la validez de las mismas.

Algunos elementos y el álgebra (barallobres)

Introducción

Se investigará una competencia en el álgebra elemental, según el dominio de problemas algebraico. Esta competencia supone más que la manipulación de símbolos, para definir la estructura del saber algebraico alrededor de 2 dimensiones:-útil: considera al álgebra un útil para resolver problemas-objeto considera el álgebra un conjunto de objetos (ecuación, incógnitas, función, variable, parámetros, ecuaciones) con propiedades, modo de tratamiento, de representación, permitiendo escrituras álgebraica, gráficos y notaciones funcionales.La historia del desarrollo algebraico permite mostrar que el útil, adquiere y acrecienta su rendimiento al hacer de él, un objeto de estudio. La ruptura entre el pensamiento aritmético y algebraico es transversal a estas 2 dimensiones.

La ruptura aritmética -álgebraicaA partir de las dificultades de los alumnos, se planteó la relación entre la aritmética y el álgebra. El pensamiento algebraico se construye sobre el pensamiento aritmético pero también en ruptura con este. Puntos que caracterizan esta ruptura:1) una doble ruptura epistemológica entre la genética y el álgebra: la introducción de un aspecto formal en el tratamiento de problemas tratados intuitivamente y la introducción de objetos matemáticos nuevos (ecuación, incógnitas, variables, funciones).2) rupturas por la oposición en la resolución aritmética y álgebraica:hacer cuadro- La resolución aritmética consiste en buscar y calcular las incógnitas, mediante estrategias. La resolución álgebraica consiste en representar formalmente el problema (relaciones entre incógnitas y datos) y utilizar procedimientos formales para arribar a la solución (el tratamiento es independiente del contenido del problema).- En un razonamiento aritmético, se parte de lo conocido hacia lo desconocido. En álgebra, se designa a un número desconocido con una letra, se lo manipula como si fuera conocido y se traspone el enunciado como forma accesible a un tratamiento algebraico. En los problemas, las ecuaciones son resueltas con operaciones inversa a la que se hacen el tratamiento aritmético. Ejemplo¿cual es el número cuyo doble mas 8 da 40?Resolución aritmética: (40-8):2Resolución álgebraica: 2x + 8= 40- al resolver un problema aritmético, las operaciones realizadas se ocultan tras el resultado. En álgebra se conserva la información que produce un resultado, transformándose en un útil para el estudio de lo numerico.3) Nuevos objetos o cambio de status de los objetos viejos- la función del signo = . En aritmética es utilizado como el enuncio de un resultado, o relación de equivalencia. Acá se llega a expresiones que violan la transitavidad y la simetría del igualdad, ejemplo: 18 + 12 = 30 - 5 = 25. En álgebra, el = transforma igualdades con denotación fija variando el sentido de las expresiones (en una ecuación), donde el signo traduce una relación de equivalencia. El estatus aritmético de = es un obstáculo para el aprendizaje del álgebra. Pensar que el miembro de la derecha de un igualdad indica un resultado, permite a los alumnos dar sentido a ecuaciones del tipo 3x -5 = 2 pero no a ecuaciones como 3x-1= x-5 donde las transformaciones de igualdades deben conservarse como equivalencia.- El trabajo en aritmética consiste en hacer procedimientos, los números y operaciones no se consideran objetos sino procedimientos que producen una respuesta. En álgebra los símbolos tienen sentido, independientemente de los procedimientos que representan, sin embargo, ellos utilizan los signos usuales de las operaciones, así el procedimiento forma parte del objeto. Ejemplo a+b indica un procedimiento (sumar) y un resultado (la suma). En álgebra, para que el funcionamiento de este útil sea eficaz hay que estudiarlo como objeto.4) En aritmética el razonamiento es sobre los enunciados, en álgebra el razonamiento se hace cálculoEl útil del aritmética es el lenguaje ordinario más que el cálculo de los números. La aritmética obliga a razonar sobre los enunciados y el cálculo sobre los números es mecánico. En álgebra se utilizan letras y se calcula sobre expresiones literales.

La dimensión útil del álgebraEl álgebra es útil para resolver problemas:- aritméticos: donde hay que buscar incógnitas verificando las relaciones indicadas en el enunciado. Es la entrada al álgebra privilegiado en la enseñanza, cuya resolución pasa por la escritura de relaciones explicitadas entre datos en

incógnitas, (planteo de ecuaciones), y procedimientos para encontrar la solución. Ejemplo: hace 3 años, el triple del edad de Patricia era 30. ¿Cuantos años tiene hoy Patricia?. Dificultades: - Si estos problemas admiten una resolución aritmética los alumnos la eligirán por su familiaridad con este dominio, así el álgebra se impone como una necesidad de contrato y no como una necesidad de situación. Por eso proponer problemas que no se puedan resolver por medios aritméticos. - Se utilizan problemas con una sola incógnita, perdiendo el valor útil del álgebra, por eso complejizar los problemas y la estructura lingüística. Pero sería inaccesible el planteo de la ecuación para los principiantes.En ecuaciones del tipo ax+b=cx+d la resolución álgebraica aparece más operatoria que la resolución aritmética, y presentan dificultades a los alumnos principiantes, ya que su resolución demanda operar con una cantidad desconocida. El álgebra toma una significación más clara en la resolución de problemas con dos incógnitas, aunque serían problemas complejos para iniciar a los alumnos al álgebra. La paradoja es que el álgebra resulta conceptualmente delicada justo cuando se torna más operativa que la aritmética. No es que estos problemas no se deban tratar en las clases, sino que acarrean dificultades en la introducción de los alumnos en las prácticas álgebraica.- Problemas que requieren generalización: el álgebra posee una generalización de la aritmética, ya que es un útil esencial para acceder a propiedades numéricas. El lenguaje algebraico permite memorizar una expresión numérica para deducir sus propiedades, oponiéndose a la aritmética, donde una simplificación se impone para finalizar los cálculos. Ejemplo 8x5 se reduce a 40, escribiendo el resultado se pierde el origen del mismo. El álgebra, permite guardar el origen de una expresión y analizar sus propiedades, ejemplo: explicar por qué si se eligen 2 números que sumen 3000 y se . multiplican . se suma 7 a cada uno de los números elegidos y se multiplica los nuevos números obtenidos. Restar al resultado obtenido en 2, el resultado de 1.Se obtiene siempre 21049.Al traducir el enunciado en escritura, no se pierde el origen de las operaciones. La operacion algebraica está al servicio de la explicación de un resultado general y no es una práctica rutinaria sin sentido. En los primeros aprendizajes, estos aspectos operatorios deben estar al servicio de la resolución de un problema. Así el álgebra es un útil para probar propiedades de los números. Al lenguaje algebraico permite formular problemas o propiedaddes generales y luego resolverlos.- Dificultades al utilizar el símbolismo algebraico para expresar propiedades y como medio de prueba, sólo algunos llegan a la expresión deseada, y otros sin realizar un cálculo algebraico, otros formulan álgebraicamente problemas pero no utilizan el álgebra para concluir sino que van probando. Estas dificultades no significan que se deje fuera de la enseñanza a este tipo de problema sino que el docente debe conocer estas dificultades y desarrollar prácticas álgebraicas que contemple diferentes funciones del álgebra, aun con dificultades para permitir un mejor acercamiento del alumno- Dificultades en los problemas ligados a la construcción de fórmulas, donde los alumnos deberán explorar regularidades, encontrar estructuras, generalizar procedimientos, ejemplo: encontrar una fórmula que permita calcular la suma de 10 números consecutivos, sin necesidad de tener que hacer las 9 sumas. Deben buscar un procedimiento económico de cálculo que involucre el análisis de la estructura y la identificación de regularidades. a+(a+1)+(a+2)+....(a+9)= 10xa + 45. ¿Que modifica la fórmula si en lugar de 10 números se consideran 20? ¿y si se consideran n números consecutivos?- Problemas ligados a la modelización de situciones extramatemática: el trabajo de modelización incluye la selección de las variables a estudiar, el uso del lenguaje matemático para expresar la relación entre las mismas, la elección de las formas más adecuadas de representación. Trabajar la lectura de fórmulas y gráficos y su construcción como diferentes modos de representar las relaciones. El significado de dependencia de variables, no debe perder su carácter dinámico. No presentar propuestas: - que introducen las funciones como una relación entre 2 conjuntos en la que a cada elemento le corresponde uno y sólo uno del otro, esta definición deja de lado los aspectos de dependencia y variación, esenciales para la modernización del proceso de cambio,- luego definiciones de dominio e imagen- ejercicios para encontrar dichos conjuntosEn esta algoritmizacion, estas nociones no funcionan como herramientas sino como objeto de estudio en sí mismos, son ejercicios de aplicación reiterada de procedimientos, que ocultan el sentido de dependencia entre variables , variabilidad, cambio, de una función, desvaneciendose el problema como generador de conocimientos.

También utiliza la expresión álgebraica y la construcción de una tabla para llegar a una representación gráfica de la funcion, sin proponer problemas de variación donde la gráfica sea la representación de esa variación, que el alumno debe analizar para estudiar características de esta variación. Este tipo de representación aparece como fin y no como una herramienta de trabajo. Generalmente se presentan funciones afines, cuadraticas y a trozos, donde los alumnos deben determinar el dominio y la imagen, sin representarlas. Las funciones se clasifican de acuerdo a la tarea que los alumnos deban realizar:-funciones para estudiar dominio-funciones adaptadas para analizar su derivabilidad.Proponer actividades que pongan en juego la dependencia y variabilidad, para significar el concepto de función.

4) La dimensión objeto del álgebraSe organiza alrededor de: - la resolución de ecuaciones, inecuasiones y de sistemas lineales-y alrededor de la aproximación al marco funcionalLas 2 dimensiones, útil y objeto, se relacionan y aportan mutuamente a la construcción del pensamiento algebraico. Abordar la dimensión objeto a partir de: -problemas de estatus de los nuevos objetos, dando lugar a búsquedas sobre, por ejemplo, el estatus de las

letras o el análisis en términos de procesos/objetos.Estatus de los objetos del álgebra:estatus de las letras: en aritmética las letras designan unidades de medida u objetos, la letra es utilizada como etiqueta. En la entrada al álgebra, las letras designan números y estará involucrada en cálculos. El estatus de las letras depende del contexto y no se puede reducir al de etiqueta. Este cambio de status no es evidente para los alumnos, debido a la continuidad de las escrituras y por qué las propuestas pedagógicas refuerzan la idea de la letra como etiqueta al proponer discursos en los que en una ecuación se sugiere pensar a la x como si fueran manzanas. Diferentes estatus para las letras:-para designar una dimensión: en la fórmula de cálculo de perímetro o areas o al designar objetos geométricos (puntos, rectas. Círculos. Ángulos) la letra es una herramienta de designación.-En el cálculo algebraico, al trabajar con ecuaciones, el número buscado se designa por una letra, es una incógnita. Problemas didácticos: los números desconocidos designados por letras impide hacerlos participar del cálculo.-En ecuaciones complejas, donde se encadenan operaciones a partir de expresiones literales, las letras adquieren el estatus de indeterminadas donde no es necesario considerarlas un número para realizar las manipulaciones álgebraicas.-Con la introducción de funciones y la utilización de graficos y tablas, las letras son vista por los alumnos como números desconocidos no fijos. El alumno debe evolucionar de esta concepción hacia la noción de letra definida por su pertenencia a un conjunto conocido en números, es decir la noción de variable. El estatus de las letras y la noción de variable están ausentes como objeto de enseñanza los programas siendo los alumnos responsables del aprendizaje.Las ecuaciones: para los alumnos, una exposición se identifica con el procedimiento que se debe realizar para resolverla (preponderancia del aspecto procesual). Ecuación: función proposicional no está dentro de las posibilidades de los alumnos de 12-13 años y que hacen su primera aproximación al uso de las letras como variables o incógnitas. Es una noción paramétrica, herramienta de la actividad matemática que no constituye objeto de enseñanza a la escuela. Pero para que los alumnos adquieran con sentido los objetos algebraico (ecuación de 2º grado, ecuaciones lineales con más de una variable, inecuaciones, funciones) los alumnos deben construir aproximaciones al concepto de ecuación. Esto involucra la elaboración de los conceptos de raíz, variable, ecuaciones equivalentes. En la escuela la definición de ecuación es: igualdad con incógnita. Parece que los estudiantes manejan 2 concepciones de igualdad con incógnita, una vinculada a la forma de expresión y ligada a la presencia de un signo que no es un número. En la otra, los alumnos identifican igualdad con igualdad numérica e incógnitas con número a revelar. La ecuación es una igualdad entre números en la que la x tapa un número. Así la ecuación sería una proposición, la afirmación de una igualdad y no una función proposicional. Esta concepción se opone a la que ecuación como restricción sobre un dominio. La concepción de ecuación, como igualdad numérica bloquea la comprensión de la naturaleza de las ecuaciones con 2 variables ya que en las mismas es imposible interpretar cada una de las variables como un número desconocido.Expresiones álgebraicas: en aritmética, los encadenamientos operatorios no son tratados como objeto sino como procesos de cálculo que permiten obtener un resultado por ejemplo, 2 (3+5)= 16. Contrariamente el álgebra no permite una distinción clara entre proceso de cálculo y su resultado. Los alumnos no aceptan que una expresión álgebraica teniendo un estatus de resultado pueda conservar un signo operatorio, ejemplo, x+3, los alumnos transforman la expresión en 3x porque esta última está más determinada que la anterior. Deben aceptar que las expresiones álgebraica pueden ser respuestas aunque los alumnos las consideran expresiones incompletas y las completan transformandolas en igualdades, ejemplo poniendo =0. Otros alumnos no pudieron darle sentido a la letra del expresión, ya que falta un signo igual en el 2º miembro. Las nociones matemáticas abstractas

-La dualidad de las expresiones álgebraicas, dotadas de una semántica y sintaxis que es esencial en la manipulación formal.

-Para transformar expresiones utilizar conocimientos estratégicos como metareglas, (utilizar conocimientos sobre las reglas, su utilización, su funcionamiento), ejemplo reglas de transformación sintáctica, planes de resolución. Estos conocimientos permiten un razonamiento estratégico y significar el cálculo algebraico. Esto define el tercer nivel semántico.Se efectúa un trabajo real sobre el álgebra cuando la actividad se sitúa en el tercer nivel, sin esto el álgebra es usada como notación.Hay que comprender las estructuras simbólicas del álgebra, tomar en cuenta:-su sintaxis: para manipular las estructuras simbólicas del álgebra es necesario: por un lado, definir las convenciones y los implícitos ligados a su escritura, ejemplo, las 3 funciones del punto múltiplicativo (poner de relieve la ambigüedad de la escritura de un producto, agregar factores, marcar el aspecto interno de la multiplicación), de los parentecis y, de la barra de fracción, la no presencia de la constante multiplicativa 1, por otro estudiar las transformaciones de los significantes, asociadas a las reglas álgebraicas realizables sobre los significados (números).-denotación, sentido e interpretación: se distingue sentido y denotación, ejemplo, el número 2 tiene muchas escrituras, que denotan el mismo número, 1+1, 4:2. Pero las expresiones no tienen el mismo sentido se provienen del mismo punto de vista. La elección de las transformaciones aplicadas a estas expresiones dependen de su sentido. Los conocimientos puestos en juego son de nivel meta. Además expresiones con una misma denotación, brindan informaciones diferentes y al resolver la ecuación lo pueden hacer despejando o utilizando alguna fórmula. La interpretación, es todo objeto que corresponde a la denotación de esa expresión en un marco determinado, ejemplo, 2x en funciones reales, tiene por interpretación a la función f (x)=2x. El autómata, es un alumno que no tiene en cuenta, cuando manipula las expresiones, su denotación, la validación del resultado no se plantea en términos de valor de verdad de la escritura obtenida sino, por la conformidad a las reglas y procedimientos realizados. Los alumnos deben ser capaces de poder dar una denotación, sentido, interpretación a las estructuras simbólicas álgebraicas. La significación es opcional. El algebrista cesa en algunos momentos la interpretación de los cálculos, realiza una suspensión semántica, que es la fuerza del álgebra. El alumno debe considerar las estructuras simbólicas álgebraica desde el punto de vista sintáctico.-Connotación: es la interpretación subjetiva de cada alumno sobre la estructura simbólica del álgebra, depende de su experiencia escolar, de las situaciones en las cuales ha manipulado esta expresión.

El álgebra es útil para el estudio de lo numerico y para que el funcionamiento de este útil sea eficaz, hay que estudiar este útil como objeto en sí mismo y debe estar ligado a algún problema a resolver. El cálculo algebraico, es un cálculo funcional y no formal (manipulaciones, factorizaciones, expresadas bajo consignas del tipo desarrolle, factorice, sin ningún objetivo).