hidraulica de canales

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA - LA MOLINAFACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

DEPARTAMENTO DE RECURSOS HIDRICOS

Prof. Miguel Sánchez Delgado

PRINCIPIO DE FLUJO EN CANALES PRINCIPIO DE FLUJO EN CANALES ABIERTOS Y SU CLASIFICACION ABIERTOS Y SU CLASIFICACION

http://www.lamolina.edu.pe/portada/

Flujo a superficie libreFlujo a superficie libre• El movimiento del fluido se realiza por

conductos abiertos o cerrados parcialmente llenos, de forma que existe una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. El movimiento se realiza gracias a la fuerza de la gravedad (pendiente).

Diferencia entre flujo en tuberías y Diferencia entre flujo en tuberías y canales abiertoscanales abiertos

Clasificación de los flujosClasificación de los flujosSegún el espacioFlujo uniforme

Los parámetros hidráulicos del flujo (velocidad, profundidad del agua) permanecen constantes a lo largo del conducto. Se considera uniforme el flujo de líquidos en tuberías o canales de sección constante y gran longitud.

Flujo variadoLos parámetros hidráulicos del flujo varían a lo largo del conducto.Por ejemplo, controles en los canales como compuertas, presas, cambios de pendiente, hacen que el flujo sea variado. En conductos a presión, el flujo es variado cuando hay cambios de sección transversal y presencia de controles como válvulas.

Según el tiempoSegún el tiempoFlujo permanente

Los parámetros hidráulicos del flujo permanecen constantes en el tiempo o sea que la velocidad de las partículas que ocupan un punto dado es la misma para cada instante.La mayoría de los problemas prácticos implican condiciones permanentes del flujo, como por ejemplo, el transporte de líquidos bajo condiciones constantes de altura de carga.

Flujo no permanente o inestableLos parámetros hidráulicos del flujo varían en el tiempo.Ejemplos son la salida de agua por el orificio de un depósito bajo carga variable y la creciente de un río.

Según el tiempo y el Según el tiempo y el espacioespacio

Flujo permanente uniformeLos parámetros hidráulicos del flujo permanecen constantes en el espacio y el tiempo.

Flujo no permanente uniformeLos parámetros hidráulicos del flujo permanecen constantes en el espacio pero no en el tiempo.

Flujo variado permanenteLos parámetros hidráulicos del flujo varían en el espacio pero no en el tiempo. Este tipo de flujo puede subdividirse en gradualmente variado o rápidamente variado.

- Flujo gradualmente variado. Los cambios en la velocidad del flujo son graduales en la dirección principal del flujo como cuando existen contracciones o expansiones suaves en las conducciones. También es el caso de las curvas de remanso en los embalses. Este tipo de flujo se subdivide a su vez en gradualmente variado retardado o acelerado, según que la velocidad disminuya o aumente en el sentido del flujo.

- Flujo rápidamente variado. Los cambios en las características del flujo son abruptos a lo largo de la conducción como cuando ocurren variaciones bruscas en la sección transversal de un conducto, o flujo a través de válvulas y rotores de bombas. Este tipo de flujo se subdivide a su vez en rápidamente variado retardado o acelerado, según que la velocidad disminuya o aumente en el sentido del flujo.

Clasificación del flujo en Clasificación del flujo en canales abiertoscanales abiertos

Flujo no uniformeFlujo no uniforme

Características geométricas de Características geométricas de un canalun canalEn un canal se identifican las siguientes variables:

• Profundidad de flujo, y: es la distancia medida desde el fondo del canal hasta la superficie libre.

• Área de flujo, A: es la sección transversal al flujo perpendicular a la dirección del mismo.

• Perímetro mojado, p: es la frontera del canal en contacto con el fluido.

• En caso de no ser rectangular, para canales, se definen radio hidráulico (RH) y profundidad hidráulica (yH) como:

superficie la de anchoal transversárea y ;

mojado perímetroal transversárea H HR

Área (en metros cuadrados) • Ancho Superficial (en metros) • Profundidad Hidráulica (en metros) • Perímetro Mojado (en metros)

• Radio Hidráulico

CANAL RECTANGULAR

Área (en metros cuadrados)

Ancho Superficial (en metros)

Profundidad Hidráulica (en metros)

Perímetro Mojado (en metros)

Radio Hidráulico

CANAL TRIANGULAR

CANAL TRAPECIAL

Área (en metros cuadrados)



Perímetro Mojado (en metros) Radio Hidráulico

CANAL CIRCULARÁrea (en metros cuadrados)



Perímetro Mojado (en metros)

Radio Hidráulico

CANAL PARABOLICO

Área (en metros cuadrados) • Ancho Superficial (en metros) • Profundidad Hidráulica (en metros) • Perímetro Mojado (en metros) • Radio Hidráulico

Energía o carga Energía o carga hidráulicahidráulica

• La carga total de agua que se mueve en un canal es expresada como carga total, en columna de agua.

• Simplemente es la suma de la elevación sobre el nivel de referencia (carga de elevación ), carga de presión y la carga de velocidad.

• La carga de elevación es la distancia vertical desde el nivel de referencia al punto en consideración.

• La carga de velocidad es expresada por:

gV2

Velocidad de carga2

Flujo en canales abiertosFlujo en canales abiertosLa Carga Total es la suma de la carga de velocidad, carga de presión y de elevación.

Línea de energía

Línea de gradiente hidráulica(superficie agua)

Fondo canal

pérdida de cargag

v2

21

zz11

h1

Nivel de referencia

h2

Carga de Carga de velocidadvelocidad

Distribución de velocidad en la Distribución de velocidad en la sección de un canalsección de un canal

• Debido a la superficie libre y a la fricción a lo largo de las paredes del canal, las velocidades, no están uniformemente distribuidos en la sección del canal. La velocidad máxima medida en canales comunes, normalmente ocurre a una distancia de 0.05 a 0.25 de la profundidad por debajo de la superficie libre del agua.

• La distribución de la velocidad en una sección del canal depende también de otros factores, tales como la forma común de la sección, la rugosidad del canal y la presencia de codos o curvas. En un curso de agua ancho, bajo y rápido o en un canal muy liso, la máxima velocidad se puede encontrar muy a menudo en la superficie libre.

Medidas de la velocidadMedidas de la velocidad • De acuerdo al procedimiento utilizado por la U.S. Geological

SURVEY, para medir las corrientes, la sección transversal del canal se divide en fajas verticales mediante el trazado de sucesivas verticales, las velocidad a los 0.6 de la profundidad, en cada vertical o cuando se requiere resultados mas exactos, tomando el promedio de las velocidades a las 0.2 y 0.8 de la profundidad.

• El promedio de las velocidades medias en cualesquiera de dos verticales adyacentes multiplicando por el área entre las verticales da un caudal o descarga a través de esa faja vertical de la sección transversal. La suma de los caudales a través de todos las fajas, es el caudal total

Medida de la velocidad en una sección de canalMedida de la velocidad en una sección de canal

La velocidad en una vertical es:

28.02.0 yy

i

vvv

1.7

o yi vv 6.0 1.8

Por lo tanto el gasto es:

ii

n

i

AvQ

1

1.9

VELOCIDAD DEL AGUA EN CANALES

Coeficientes de distribución Coeficientes de distribución de velocidad de velocidad

Como un resultado de la distribución no uniforme de velocidades sobre la sección de un canal, la altura o carga de velocidad del escurrimiento de un canal abierto es, en general mas grande que el valor calculado de acuerdo a la

expresión gv2

2

, donde v es la velocidad media. Cuando se utiliza el principio

de la energía en el cálculo, la verdadera altura de velocidad se puede expresar

como gv2

2

, donde es conocido como el coeficiente de energía o

coeficiente de Coriolis.

Datos experimentales indican que el valor de varia desde 1.03 a 1.36; para canales prismáticos ligeramente rectos. El valor es generalmente mas alto para canales pequeños y más bajo para corrientes grandes de considerable profundidad. La distribución no uniforme de la velocidad también afecta al calculo de momentum en el flujo de canales abiertos.

Coeficientes de distribución Coeficientes de distribución de velocidad de velocidad

Partiendo del principio de la mecánica, la momentum de fluido pasando a través de la sección de canal por unidad de tiempo se expresa como: Qv; donde se le conoce como coeficiente de momentum o coeficiente de Boussinesq. Generalmente el valor de para canales prismáticos ligeramente rectos varia desde 1.01 a 1.12. Los coeficientes y pueden ser del orden de 1.6 y 1.2 respectivamente en el caso de canales de sección transversal compleja.

A menudo se considera a los coeficientes y = 1; debido a que fundamentalmente los valores respectivos son ligeramente más altos que el valor límite, y que al realizar los cálculos en las ecuaciones que intervienen la velocidad de la ecuación de energía y momentum es pequeño especialmente en compensación con otras incógnitas en el cálculo

Coeficiente de Coriolis (Coeficiente de Coriolis ()) Sea un área elemental del área total mojada A. Peso especifico del agua. Entonces el peso del agua pasando por el área elemental por unidad de tiempo con una velocidad v es:

Av 1.10 La energía cinética pasando por el área elemental por unidad de tiempo es:

gAv

gvAv

223

2

La energía cinética total para todo el área hidráulica es:

gAv

n

i 21

3

1.11

Si consideramos a A, como área total mojada; a V a velocidad media y la

altura de velocidad corregida para el área total como 2gV2

, la energía

cinética total es:

gAV 2

3 1.12

Igualando las ecuaciones (1.11) y (1.12) se obtiene:

n

ii g

AvgAV

1

33

22

n

ii AvAV

1

33

A

dAvAv

VVA

n

ii

3

3

31

3

1.13

Coeficiente de Boussinesq (Coeficiente de Boussinesq ()) El momentum del agua pasando por el área elemental por unidad de tiempo es el producto de la masa por la velocidad.

gAV

22 1.14

El momentum total es:

gAv

n

i 22

1

. 1.15

El Momentun corregido es:

gAV

22 1.16

Coeficiente de Boussinesq (Coeficiente de Boussinesq ())Igualando las ecuaciones 1.15 y 1.16 se obtiene el coeficiente de de momentum conocido también como el coeficiente de Boussinesq

gv

g i

n

iV

2

1

2

VVdAvv

A

n

ii

2

2

21

2

1.17

Para valores aproximados, los coeficientes de energía y momentum se pueden calcular con la formula siguiente:

2312 1.18

2

1 1.19

1-V

V donde m 1.20

Vm = Velocidad máxima V = Velocidad media

Aforo con flotadoresAforo con flotadores• Escoger un lugar recto del

cauce de una longitud L• Medir la velocidad

superficial (V)• El procedimiento para

medir la velocidad es como sigue:– Medir la longitud (L) del

tramo AB.– Medir con un cronómetro el

tiempo (T), que tarda en desplazarse el flotador (botella lastrada, madera, cuerpo flotante natural) en el tramo AB.

– Calcular la velocidad superficial

Q= Caudal (m3/seg)Q= Caudal (m3/seg)v= Velocidad (m/seg)v= Velocidad (m/seg)A= Area (m2)A= Area (m2)

Aforo con flotadoresAforo con flotadores• Cálculo del área

promedio del tramo– Para el cálculo del

área hacer lo siguiente:

• Calcular el área en la sección A ( AA )

• Calcular el área en la sección B ( BB )

• Calcular el área promedio

Q= Caudal (m3/seg)v= Velocidad (m/seg)A= Area (m2)

Aforo con flotadoresAforo con flotadores• Cálculo del área

en una sección– Calcular el área

para cada tramo, usando el método del trapecio.

– Calcular el área total de una sección

Aforo con flotadoresAforo con flotadores• Cálculo del área en

una sección– Para calcular el área en

cualquiera de las secciones, hacer lo siguiente:

• Medir el espejo de agua (T).

• Dividir (T), en cinco o diez partes (midiendo cada 0.20, 0.30, 0.50, etc), y en cada extremo medir su profundidad.

Aforo VolumétricoAforo Volumétrico• Calcular o medir el

volumen del depósito o recipiente (V).

• Con un cronómetro, medir el tiempo (T), requerido para llenar el depósito.

• Calcular el caudal con la ecuación:

• Repetir 3 veces la medición y hacer un promedio.

• Es el método más exacto, pero se adapta a pequeñas corrientes o para calibrar otros equipos (aforadores, vertederos, etc).

Aforo con VertederosAforo con Vertederos• Los vertederos, son los

dispositivos más utilizados para medir el caudal en canales abiertos, ya que ofrecen las siguientes ventajas:– Se logra precisión en los

aforos.– La construcción de la

estructura es sencilla.– No son obstruidos por los

materiales que flotan en el agua.

– La duración del dispositivo es relativamente larga.

Aforo con VertederosAforo con Vertederos Vertedero rectangular c/cont. Vertedero rectangular c/cont.

Aforo con VertederosAforo con Vertederos Vertedero rectangular s/cont Vertedero rectangular s/cont..

Aforo con VertederosAforo con Vertederos Vertedero triangular Vertedero triangular

Aforo con VertederosAforo con Vertederos Calibración Calibración

• Consiste en hallar la ecuación que relaciona la carga sobre el vertedero h, con el caudal Q.

• Para realizar la calibración del vertedero, se puede utilizar el método volumétrico, con el siguiente proceso:– Suponer la ecuación potencial:

– Medir para varios caudales Q, su respectiva carga h y tabularlos

– Establecer la correlación potencial simple, de los datos h y Q registrados, y calcular los parámetros a y b.

– Conocidos a y b, la ecuación, estará definida para su utilización

Aforo con molinete o correntómetroAforo con molinete o correntómetro• Los correntómetros son

aparatos que miden la velocidad, en un punto dado del curso del agua.

• La velocidad es medida en los instrumentos, por medio de un órgano móvil (hélice)

• La hélice detecta la velocidad de la corriente y transmite una seña cuando ha dado un cierto número de vueltas sobre un contador o contómetro (impulsiones de sonido, señales luminosas, digitales, etc)

Aforo con molinete o correntómetroAforo con molinete o correntómetro• La velocidad se mide

indirectamente, ya que en la práctica lo que se mide es el tiempo que emplea la hélice, para dar un cierto número de revoluciones, y mediante una fórmula propia para cada hélice se calcula la velocidad.

• Ejemplo:– Correntómetro OTT-Meter

Nº 7569, • Para n < 0.57 → v =

0.2358 × n + 0.025• Para n ≥ 0.57 → v =

0.2585 × n + 0.012

Fórmula de correntómetroFórmula de correntómetro

Aforo con molinete o correntómetroAforo con molinete o correntómetroCondiciones de la sección de aforoCondiciones de la sección de aforo

• Ubicación ideal– Los filetes líquidos son paralelos entre si.– Las velocidades sean suficientes, para una buena

utilización del correntómetro.– Las velocidades son constantes para una misma altura

de la escala limnimétrica.• Condiciones exigidas:

– Un recorrido rectilíneo entre dos riberas o márgenes francas.

– Un lecho estable.– Un perfil transversal relativamente constante, según el

perfil en longitud

Aforo con molinete o correntómetroAforo con molinete o correntómetroFormas de aforoFormas de aforo

• A pie– Curso de agua es pequeño– Curso de agua poco profundo y fondo resistente– Colocar una cinta graduada de un margen a otro, y se va

midiendo la velocidad a diferentes profundidades, a puntos equidistantes de un extremo a otro de la sección.

• A cable– La sección se materializa con un cable tendido de un

extremo a otro, y el aforo se hace en bote o por un funicular.

• Sobre una pasarela– Se coloca una pasarela entre los pilones de un puente,

el aforador se coloca sobre la pasarela, y realiza la medición de las velocidades desde allí.

Aforo con molinete o correntómetroAforo con molinete o correntómetroProceso para realizar el aforoProceso para realizar el aforo

• Medir el ancho del río (longitud de la superficie libre de agua o espejo de agua T1)

• Dividir el espejo de agua T1, en un número N de tramos (por lo menos N = 10), siendo el ancho de cada tramo:


• La distancia mínima entre verticales, se muestra en la tabla siguiente:


• Medir en cada vertical, la profundidad h, puede suceder que en los márgenes la profundidad sea cero o diferente de cero.

• El área de cada tramo, se puede determinar como el área de un trapecio. Si la profundidad en algunos de los extremos es cero, se calcula como si fuera un triángulo.


• Calcular la velocidad– La velocidad en una

sección de una corriente varía tanto transversalmente como con la profundidad

– Las velocidades, se miden en distintos puntos en una vertical

– La cantidad de puntos, depende de las profundidades del cauce y del tamaño del correntómetro.


• Calcular la velocidad en un punto– Colocar el instrumento (correntómetro o

molinete) a esa profundidad.– Medir el número de revoluciones (NR) y el

tiempo (T en segundos), para ese número de revoluciones.

– Calcular el número de revoluciones por segundo (n), con la ecuación:

– Calcular la velocidad puntual en m/s, usando la ecuación proporcionada por el fabricante del equipo, por ejemplo, el correntómetro A-OTT 1-105723, tiene las siguientes ecuaciones:


• Calcular la velocidad promedio en una vertical– La distribución de velocidades en una vertical, tiene la forma de una

parábola, como se muestra en la figura.

– En la figura se observa:• vs = velocidad superficial• vmáx = ubicada a 0.2 de la profundidad, medido con respecto a la superficie

del agua• vm = velocidad media en la vertical, la cual tiene varias formas de cálculo

– La relación entre la velocidad media y superficial es:– vm = C × vs

» donde:» C varía de 0.8 a 0.95, generalmente se adopta igual a 0.85

4.3. Aforo con molinete o correntómetro4.3. Aforo con molinete o correntómetroProceso para realizar el aforoProceso para realizar el aforo

• Medir la velocidad media en un punto

– Se emplea, cuando la profundidad del agua es pequeña, o hay mucha vegetación a 0.8 de la profundidad.

4.3. Aforo con molinete o 4.3. Aforo con molinete o correntómetrocorrentómetro

Proceso para realizar el aforoProceso para realizar el aforo• Medir la velocidad media en dos

puntos


• Medir la velocidad media en tres puntos


• Calcular la velocidad promedio en un tramo

v1 v2

vp2


• Calculo del caudal– Método del área y velocidad

promedio• Calcular para cada vertical la velocidad

media, usando el método de uno, dos o tres puntos.

• Determinar la velocidad promedio de cada tramo, como el promedio de dos velocidades medias, entre dos verticales consecutivas, es decir:


• Calculo del caudal– Método del área y velocidad promedio

• Determinar el área que existe entre dos verticales consecutivas, utilizando la fórmula del trapecio, es decir:

• Determinar el caudal que pasa por cada tramo utilizando la ecuación de continuidad, multiplicando la velocidad promedio del tramo por el área del tramo, es decir:

• Calcular el caudal total que pasa por la sección, sumando los caudales de cada tramo, es decir:


• Calculo del caudal– Método de las parábolas

• Trazar para cada vertical, la curva profundidadvelocidad pv (parábolas de velocidad).

• Calcular las áreas de las parábolas (usar el planímetro o el método de la balanza).

• Cada área calculada representa un caudal por unidad de ancho (m2/s).

• Trazar la curva pv vs ancho.• Calcular con un planímetro o

balanza analítica el área de la curva anterior, la cual representa el caudal.


• Calculo del caudal– Método de Isotaquias

• Ubicar en cada vertical las velocidades calculadas.

• Trazar las isotaquias interpolando las velocidades (las isotaquias son líneas que unen puntos de igual velocidad), en forma similar, que la interpolación de puntos para obtener las curvas de nivel.

• Calcular con el planímetro, o con la balanza analítica, las áreas que quedan por encima de cada velocidad.

• Trazar la curva v vs área acumulada por encima de cada velocidad.

• Calcular con el planímetro, o con la balanza analítica, el área de la curva anterior, la cual representa el caudal.

Distribución de la Distribución de la presión en la sección de presión en la sección de

un canalun canal • La presión en cualquier punto de una sección

transversal del flujo en un canal de pendiente pequeña, se puede medir por la altura de la columna de agua en un tubo piezométrico instalado en un punto.


un canalun canal • Eliminando disturbios menores debido a la turbulencia, es

aparente que esta columna de agua debiera alzarse desde el punto de medida hasta la línea de gradiente hidráulico o, la superficie de agua. De este modo la presión en cada punto de la sección es directamente proporcional a la profundidad del punto debajo de la superficie libre e igual a la presión hidrostática y puede ser representada por una línea recta AB.

• Para propósitos prácticos la ley hidrostática de distribución de presión es aplicable al flujo uniforme y al flujo gradualmente variado. Si la curvatura de las líneas de corriente es importante, del flujo se conoce teóricamente como flujo curvilíneo. El flujo curvilíneo puede ser convexo o cóncavo


un canalun canal

Flujo convexo

Flujo concavo

PRINCIPIOS DE ENERGÍA PRINCIPIOS DE ENERGÍA EN CANALES ABIERTOSEN CANALES ABIERTOS

• Definición de la ecuación de energía.• Un principio que debe recordarse en la hidráulica

de los canales abiertos es la ley de conservación de energía. La energía total de una porción de agua viajando sobre una línea de corriente esta dada por la ecuación de Bernoulli:

gvPZH2

2

PRINCIPIOS DE ENERGÍA PRINCIPIOS DE ENERGÍA EN CANALES ABIERTOSEN CANALES ABIERTOS

A la suma

P

Z define la elevación del gradiente hidráulico sobre el plano

de referencia; en general, el valor de esta suma varía de punto a punto a lo largo de la línea de corriente. La energía total en la sección del canal es:

gv

CosdZH AAA 2

2

2.2

Para canales de pequeña pendiente, 0; = 1; así la energía total en la sección del canal es:

gyZH

2

2 2.3

Debido al principio de la energía, la altura total de la energía en la sección 1 aguas arriba debería ser igual a la altura total de la energía en la sección 2 aguas abajo más la pérdida de energía hf . entre las dos secciones.

fhgYZ

gyZ

22

22

222

21

111 2.4

Esta ecuación se aplica a los flujos paralelos o gradualmente variados. Para un canal de pequeña pendiente, cuando 1= 2=1, y hf = 0 entonces:

constg

YZg

YZ 22

22

222

21

11

2.5

Esta última expresión es conocida como la ecuación de Bernoulli.

Energía especificaEnergía especifica En la sección de un canal se define como la energía por kilogramo de agua en cualquier sección de un canal medida con respecto al fondo del canal.

gdCosE

2 2.6

Para un canal de pequeña pendiente y = 1

gyE

2

2 2.7

En función del caudal:

gQyE

22

2

2.8

Esta última expresión muestra que para una sección dada de un canal y un caudal Q, la energía especifica en la sección del canal es una función de la profundidad del flujo solamente.

Como la ecuación de energía especifica es función del tirante y las características geométricas de canal se puede tabular valores E con Y obteniéndose la conocida curva de energía especifica.

Curva de Energia Especifica

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 1 2 3 4 5 6

Energía Especifica (m)

Tira

nte

(m)

E Emin

Yc

Y1

Y2

A

C

B

O

S

Figura 2.2 Curva de energía especifica

• Entonces al realizar un gráfico de y versus E se obtiene una curva con dos ramas. La rama AC se aproxima asintóticamente al eje E y la rama AB aproxima asintóticamente al la línea OS.

• Para todos los puntos sobre el eje E mayor que el punto A, hay las posibles tirantes de flujo, conocidos como los tirantes alternos del flujo.

• A representa la mínima energía especifica, las coordenadas de este punto puede ser encontradas tomando la primera derivada de la ecuación 2.8 con respecto al tirante e igualando el resultado a cero se determina la ecuación general del flujo critico.

02

2Q-1 3

2

dyd

gdydE 2.9

Operando

01 3

2

dyd

gQ 2.10

El diferencial del área mojada dA cerca de la superficie libre es igual a Tdy.

dyd Reemplazando en la ec. 2.10 T

0.1 3

2

g

Q 2.11

Finalmente encontramos la ecuación de flujo critico.

13

2

g

TQ 2.12

dy dA = Tdy

Por definición se dice que el flujo critico es el estado del flujo al cual la energía específica es mínimo para una descarga dada.

Cuando el flujo es critico, la altura de velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica.

22

2 Dg

2.13

Para un canal de gran pendiente de ángulo y coeficiente de energía , la carga de velocidad para flujo crítico puede escribirse como:

22

2

DCosg 2.14

Y el número de Froude puede expresarse como:

/ Cos D gF 2.15

Relaciones importantes del Flujo Crítico Relaciones importantes del Flujo Crítico en canales de sección rectangularen canales de sección rectangular

De la ecuación del flujo crítico:

13

2

g

TQ , y considerando una sección rectangular donde: A = by, T = y.

Reemplazando se obtiene:

32

2

gbQyc 2.16

Expresando la ecuación 2.16 en función del caudal especifico, que se define por

bQq , queda como:

3

2

gqyc 2.17

gy

2 : que sabemos lado otroPor

2 . Tendremos energía específica mínima

cuando el tirante es crítico (yc); entonces:

2

2

min 2

gQyc 2.18

Expresando la ecuación 2.18 en términos del caudal unitario, base del canal y simplificando se determina que la energía especifica mínima es 1.5 veces el valor del tirante crítico.

22

22

min 2 cc ybg

qby

2

2

min 2

cc gy

qy y como gqyc

23 ; por lo tanto:

cy23

min 2.19

.c 32

mimy 2.20

Para el caso de canal de sección triangular: 2zy zyT 2 . Reemplazando en la ecuación del flujo crítico:

c

c

zyyz

g 2Q 622

2.21

Despejando yc

52

2

c2y

gzQ

2.25

Para la energía especifica mínima se tiene:

gyc 2

2

min 2.26

Canal de sección triangular

Expresando v en función del caudal y el área en función de la geometría del canal se determina que la energía especifica mínima es 1.25 veces el valor del tirante critico

42

2

min 42

cc gyz

Qy

4

5

min 4 c

cc y

yy

cy45

min 2.27

min54cy 2.28

Canal de sección triangular

Para una sección trapezoidal:Para una sección trapezoidal:

yyb 2.29

ygg

y 22

2

2.30

ygyybQ 2 2.31

En condiciones críticas, para E=cte; Q es mínimo por lo tanto 0dydQ

Previamente a la ecuación 2.31 debe tomarse logaritmos:

)-log( 21 g 2 log

21loglog yyybQ

y)-log(E212g log

21 log) (b log Q log yy 2.32

diferenciando:

y)-2(E1

y1

ZybZ

dydQ

Q1

Ordenando convenientemente:

0y)-2(E

1Zyb

Z1

y 2.33

0)()(2))((2 ZybyZyEyyEZyb 2.34

Agrupando términos:

02)43(5 2 bEZybyZy 2.35

Resolviendo esta ecuación de segundo grado y haciendo y = yc

ZZbEZEbZEb

yc 1040)43()43( 2

2.36

Finalmente:

ZEZZbEbbZEyc 10

1616934 222 2.37

PRINCIPIOS DEPRINCIPIOS DE MOMENTUM EN MOMENTUM EN CANALES ABIERTOSCANALES ABIERTOS

• Definición de la ecuación de momentun en canales abiertos

• Como se estableció anteriormente del flujo pasando por la sección de un canal por unidad de tiempo se expresa por QV donde es el coeficiente del momentum, es la densidad del agua, Q es la descarga y V es la velocidad media del flujo.

• De acuerdo a la segunda ley de Newton del movimiento, el cambio de momentum por unidad de tiempo en el cuerpo de agua de un canal fluyendo es igual a la resultante de todas las fuerzas externas que están actuando en el cuerpo. Aplicando este principio a un canal de gran pendiente, la siguiente expresión para el cambio del momentum por unidad de tiempo en el cuerpo de agua encerrado entre las secciones 1 y 2 se puede escribir

Figura No 3.1 Perfil longitudinal de canal mostrando una superficie de control indicando las variables que intervienen en la ecuación de cantidad de movimiento.

3.1

donde: F1 y F2 = Componentes horizontales de la presión que actúan en las secciones 1 y 2, respectivamente. W sen = Componente horizontal del peso de agua. W = Peso del fluido entre las secciones 1 y 2. Ff = Sumatoria de fuerzas de fricción.

y 21 = coeficiente de corrección de la cantidad de movimiento. Si, se supone que, es pequeño y por tanto sen = 0 y Cos = 1,

;121 y considerando un tramo relativamente corto 0F f

1122f21 gF-sen FF Qw

F2

F1

y1

y2

Z2

Z1

L

Ff

Wsen

W

1 2

N.R

Y sabiendo que:

11111F 3.2

22222F 3.3 La ecuación queda como:

122211 Qg

3.4

Dividiendo cada termino entre y ordenando convenientemente:

122211 gQ 3.5

Expresando las velocidades de la ecuación 3.5 en función del caudal:

1

2

2

2

2211

gQ

gQ 3.6

Reordenando términos:

222

2

111

2

gQ

gQ 3.7

Generalizando la ecuación 3.7 tendremos la relación 3.8 conocido como ecuación de Fuerza especifica o de Momentum:

gQ 2

M 3.8

Si consideramos 2 secciones en un tramo de canal la ecuación de Momentun en la sección 1 será:

11

1

2

1M

gQ 3.9

Y en la sección 2:

22

2

2

2M

gQ 3.10

Al graficar M versus Y, se obtiene una curva de dos ramas. La rama AC es asintótica al eje (M) horizontal mientras que la rama CB se extiende indefinidamente hacia arriba y a la derecha. Para un M1 mayor que la fuerza especifica mínima dado en el punto de inflexión C y trazando una línea vertical este corta a la curva en dos puntos dando origen a los tirantes y1 y y2 conocidos como tirantes conjugados.

CURVA DE FUERZA ESPECIFICA

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 2 4 6 8 10

FUERZA ESPECIFICA (M)

TIR

AN

TE (Y

)

El valor mínimo de la función momentum puede calcularse si se supone que existe un flujo paralelo y una distribución uniforme de velocidad, al tomar la primera derivada de M con respecto al tirante del flujo en la ecuación 3.8 e igualando la expresión a cero se obtiene la ecuación del flujo critico.

A

C

B

y1

y2

M1

0dyM 2

2

dyd

dyd

gQd 3.11

Como: dy 3.12 Remplazando 3.12 en 3.11 y operando se tiene:

ydyd

dyd

gQd

2

2

dyM

.0 2

2

gQ

13

2

gQ 3.13

Esta última expresión es la ecuación general del Flujo crítico

Problemas de aplicación

1. En la siguiente figura se presenta una compuerta con descarga de fondo para las condiciones dadas calcular: yo q, y el valor de F. Desprecie las pérdidas de carga por fricción.

0 1 2

yo

0.6m

y2=1.5m

F

SolucionSolucion

Por continuidad: (A)1 = (A)2

zAVAV 2211 5.16.0 21 bVbV

6.05.1

2

1 VV

21 5.2 VV 3.14 Por conservación de energía en el salto hidráulico:

Eg

Vy

gV

y z 22

22

21

1

21

312

22

21

425.1

26.0

yyyy

gV

gV

6.05.14

6.05.12

5.12

6.032

22

1

gV

gV

gV

gV

21025.1

2

22

21 3.15

Remplazando 3.14 en 3.15

1025.122

25.6 22

22

gV

gV

Resolviendo

smg

V /029.225.5

21025.1 2/1

2

Luego: smV /074.51

Entonces el caudal unitario es:

segmxyVq /0444.36.0074.5 211

Para el calculo de yo

100 6.0 bxVVbxy 074.56.000 xVy 044.300 Vy

00

044.3V

y 3.16

Por otro lado:

gV

gVy

26.0

2

21

20

0 81.92074.56.0

2

220

0 g

Vy 9122.12

20

0 g

Vy

Reemplazando 3.16 en la expresión anterior:

9122.12

044.3 20

0

g

VV

9122.162.19

723.59

0

30

VV

smV /72.10

Finalmente reemplazando 0V en 3.16

my 769.172.1044.3

0

Calculo de la fuerza F, para ello consideramos una superficie de control entre las secciones 0 y 2 y aplicamos la ecuación de cantidad de movimiento:

01121

20 2

121 VVQ

gFybyb

01121

20 2

121 VV

gqbbFybyb

025.172.1074.581.9

044.36.021769.1

21 22 F

Finalmente:

mkgF /3596.0

a) parámetros geométricos

26.27.02.17.017.012.117.0 mxxxA mxxP 4.535.027.02

mPAR 4814.0

mTAD 8666.0

0.36.2

b) Velocidad media del flujo

6.2

)8.0(5.07.0)6.0(5.07.0.........7.05.07.0)8.0)(5.07.0(

6

xxxxii

V ii

m/s 8173.06.2

125.26.2

28.021.051.06.0245.08.0

V

Q = 2.6 x 8173.0 2.125 m3/s c) Coeficiente y

07.1

4194.15225.1

6.28175.035.08.035.06.0......35.07.035.08.0

3

3333

3

63

xxxxx

iv

Vii

i

02.1

7367.1779.1

6.28175.035.08.035.06.0......35.07.035.08.0

2

2222

2

62

xxxxx

V

iviii

2. Dado el siguiente perfil de velocidades encontrar el gasto y los coeficientes y considere el canal de sección regular, cuya base es 1m.

1

0

2/1

1

0

2/1

.85.02.011

35.02.0dyydy

x

dyyvdA

T

A

smyy /766.0)1)(85.0(32)1(2.0

23

85.02.0 23

1

0

2/3

sxVAQ /m 766.01766.0 3

1.05m/s

v = 0.2+0.85y1/2 1m

1m V

y

.3

3

V

dAvA

1

0

2/32/1

3

1

0

32/1 6141.04335.0102.0008.0

1766.0

85.02.0 dyyy

x

dyy

1

02/5

22/3 6141.0

52

24335.0102.0

32008.0

449455.01 yyyy

19.153839.044945.0

1

58675.0

dy 85.085.02.0204.0

1766.0

185.02.01

0

22/12/1

2

1

0

22/1

yy

x

dyy

1

022/3

27225.0

3234.04.0

44945.01 yyxy

07.16278.058675.0

1

hidraulica de canales

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