AryNoéActividad 7

A menudo es posible hallar la Antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

Se elimina el radical haciendo una sustitución trigonométrica adecuada. El resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar.

En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:

Sustitución Trigonométrica

Este método nos permite resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por la derivada de otra. Deduciremos la fórmula de integración por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones.

[f(x)g(x)]' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)

Integración Por Partes

integrando en ambos lados:

Obtenemos:

y despejando la segunda integral:

Primer caso: [Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas]

Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos, es decir:

Q(x) = (x – a1) (x - a2) (x - a3)... (x - an),

hacemos la siguiente descomposición:

donde A1, A2, A3,... An son constantes reales.

Integración por fracciones parciales

Segundo caso: [Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haber repetidas]

Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente distintos, es decir:

Por cada factor lineal aparecerán tantas fracciones parciales como multiplicidad tenga este factor, por ejemplo para el factor (x-ak)mk

habrá mk fracciones parciales:

donde A1, A2, A3,... Amk son constantes reales.

Tercer caso:[Q(x) tiene raíces complejas distintas]

Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma:

a cada uno de estos factores le corresponderá una fracción parcial de la forma:

donde A y B son constantes reales.

Se basa en la derivada de la función compuesta:

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

Integración por sustitución de una nueva variable.

Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

Se vuelve a la variable inicial: