Universidad Fermín Toro

Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Análisis de Problemas y Toma de Decisiones

TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS PARA

LA TOMA DE DECISIONES

Autor: Sara Reyes Rovatti

Cabudare, 08 Febrero 2013

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MÉTODOS DETERMINISTICOS

Programación Lineal

Es un procedimiento o algoritmo

matemático mediante el cual se resuelve

un problema indeterminado, formulado a

través de un sistema de inecuaciones

lineales, optimizando la función objetivo,

también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal,

denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha

función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos

mediante un sistema de inecuaciones lineales.

Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un

número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación

entera.

Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1:

3

Tipo 2:

Tipo 3:

Donde:

A = valor conocido a ser respetado estrictamente;

B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;

C = valor conocido que no debe ser superado;

j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de

restricciones);

a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;

X = Incógnitas, de 1 a N;

i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M.

Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.

Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede

ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.

Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el

mismo problema.

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La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por

varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones

pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos

especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y

problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las

matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos

mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de

algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización

constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal.

La programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de

empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los

costos de un sistema de producción.

Función Objetivo

La función objetivo puede ser:

o

Donde: = coeficientes son relativamente iguales a cero.

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Método SIMPLEX

El método Simplex es un algoritmo de George Dantzig para

resolver problemas de optimización (de la rama de

programación lineal).

George Dantzig (8 de

noviembre de 1914 – 13 de mayo

de 2005) matemático

norteamericano inventor del

método Simplex y considerado

como el padre de la

programación lineal.

Durante la Segunda Guerra

Mundial Dantzig dirigió la

rama de Análisis de Combate

de los Cuarteles Centrales

Estadísticos de Fuerza Aérea de los Estados Unidos,

enfrentándose a los grandes problemas logísticos de una cadena

de abastecimiento y gestión de cientos de miles de artículos y

personas. Su trabajo resolviendo estos problemas dio paso al

desarrollo en 1947 de la programación lineal, proponiendo el

Método Simplex para resolverlo.

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Es un procedimiento algebraico que, mediante una serie de

operaciones repetitivas, se aproxima progresivamente a una

solución óptima. Teóricamente, el método simples puede resolver un

problema con cualquier cantidad de variables, y restricciones,

aunque para el problemas que tenga más de, de por ejemplo, cuatro

variables o cuatro restricciones, es mejor confiar los cálculos al

computador. Sin embargo, para saber cómo definir las ecuaciones

que se colocarán en un programa, y para poder utilizar la

producción del programa de computador, vale la pena hacer el

esfuerzo de desarrollar el método simplex manualmente.

Procedimiento de solución en seis pasos; el método simplex incluye

varios pasos técnicos, cada uno de los cuales se describe en detalle.

Paso 1: Formular el problema. Recuerde que para maximizar las

utilidades se tenía:

Maximizar: Z=2x1+4x2

Sujeto a:

4x1+6c<120(restricción de centro de la máquina A)

2x1+6x2<72(restricción de centro de maquina B)

1X2 <10 (restricción de la maquina C)

X1, X2>0 (requerimiento no negatividad)

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Paso 2: Establecer una tabla inicial con variable de holgura en la

solución. La utilización del método simplex exige dos ajustes

importantes al problema según se expresa: (1) introducción de la

variable de holgura y (2) el establecimiento de una tabla de solución.

Introducir variables de holgura: Cada restricción se expande par

incluir una variable de holgura. Una variable de holgura, que puede

pensarse como un recurso ocioso desde un punto de vista práctico,

representa, desde el punto de vista computacional, la cantidad

requerida para hacer que una parte de la ecuación de restricción se

igual a la otra. Para el presente problema, se necesitan tres variables

de holgura, xh1 para la primera ecuación, xh2 para la segunda

restricción y xh3 para la última restricción.

La ecuación de restricción es:

4x1+6x2+xh1

2x1+6x2+xh2

1x2+xh3

Para que todas las variables estén representadas en cada

ecuación, a cada variable de holgura no originalmente asociada con

una ecuación de restricción se le asigna un cociente cero e esa

ecuación. Al ajustar el sistema de ecuaciones de esta manera, se

tiene:

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4x1+6x2+xh1+0h2+0h3=120

2x1+6x2+0xh1+1h2+0h3=72

1x2+0h1+0h2+1h3=10

Observe que la variable xh, con un coeficiente cero, se ingresa en

la tercera ecuación para asegurar que también estará representada

en todas las ecuaciones. Así mismo, la función objetiva refleja la

adición de variables de holgura, pero como no producen ninguna

utilidad, su coeficiente es 0xh.

Construir una tabla inicial. Una tabla es una manera conveniente

de establecer el problema para el calculo simpex. La tabla inicial

indica:

1. Las variables en la solución hasta ese punto.

2. La utilidad asociada con la solución.

3. La variable (si la hay) que agrega más utilidad se introduce en

la solución.

4. La cantidad de reducción en las variables en la solución que

resulta de introducir una unidad de cada variable. Esta

cantidad se denomina la tasa de sustitución.

5. El valor de un unidad adicional (por ejemplo una hora) de

capacidad de recursos, este valor se denomina precio sombra.

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Tabla Inicial Simplex

Variables

base X1 X2 Xh1 Xh2 Xh3

Valor

de la

variable

Centro

de

maquina

Xh1 4 6 1 0 0 120 A

Xh2 2 6 0 1 0 72 B

Xh3 0 1 0 0 1 10 C

F 2 4 0 0 0 0

Paso 3. Determinar cual variable introducir en la solución: Es

posible tener una solución mejorada si existe un valor positivo en la

fila F, recuerde que esta fila provee la utilidad neta obtenida al

agregar un unidad de su variable de la columna asociada a la

solución. En este ejemplo hay dos valores positivos 2 y 4. Como el

objetivo es maximizar la utilidad, la opción lógica es escoger 4 de la

variable que genera mayor utilidad es decir x2, ya que genera

mayor utilidad. La columna asociada con esta variable se designa

mediante la pequeña flecha debajo de la columna x1 (sólo se puede

agregar una variable a la vez cuando se desarrolla cada solución

mejorada).

Paso 4. Determinar cual es la variable a remplazar: Como resulta

deseable introducir x2 en la solución, lo siguiente que debe hacer es

determinar cuál variable reemplazará. Para efectuar esta

determinación, se divide cada cantidad de la columna valor de la

variable entre los coeficientes de la variable entrante, y se escoge la

10

variable asociada con el cociente positivo más pequeño como aquella

que se va reemplazar:

Para la fila xh1: 126/6=20

Para la fila xh2: 72/6=12

Para l a fila xh3: 10/1=10

Como el coeficiente más pequeño es 10, xh3 será remplazada, y su

fila se identifica mediante la pequeña flecha a la derecha de la tabla

en referido cuadro. Esta es la cantidad máxima que x2 puede

introducir a la solución.

Paso 5. Calcule nuevos valores de fila para introducir variable: La

introducción de x2 en la solución exige que reemplace toda la fila

xh3. Los valores para x2, la fila remplaza, se obtiene dividiendo cada

valor que encuentre actualmente en la fila de xh3, por el valor en la

columna x2 en la misma fila. Este valor se denomina elemento

interseccional porque se presenta en la intersección de una fila y

una columna. Los resultados de esta división se reflejan en la

siguiente tabla.

Paso 6. Revisar las filas restantes. Los nuevos valores de la tercera

fila (ahora asociados con x2) son 0, 1, 0, 0, 1,10, que en este caso son

idénticos a los de la antigua fila tres.

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Calculo de filas y columnas

Fila 1

4-0(6/1)=4

6-1(6/1)=0

1-0(6/1)=1

0-0(6/1)=0

0-1(6/1)=-6

120-10(6/1)=60

Fila 2

2-0(6/1)=4

6-1(6/1)=0

0-0(6/1)=1

1-0(6/1)=0

0-1(6/1)=-6

72-10(6/1)=60

Fila 3

2-0(4/1)=2

4-1(4/1)=0

0-0(4/1)=0

0-0(4/1)=0

0-1(4/1)=--4

0-10(4/1)=-40

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MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

Lógica Bayesiana

El teorema de Bayes fue creado por

el clérigo y matemático ingles Tomas

Bayes, publicado en 1763 después de su

muerte. Este teorema puede ser usado

para formular un conjunto de

probabilidades previas, llamadas

probabilidades a priori, para un

conjunto de nuevas probabilidades, llamadas probabilidades

posteriori. La formulación esta basada en formulación adicional, la

cual puede ser obtenida por registros de una muestra.

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado

enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad

condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la

distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la

distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de

Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de

A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la

probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se

podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener

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gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la

alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus

ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la

probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Sea

Un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y

tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0).

Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades

condicionales . Entonces, la probabilidad viene dada

por la expresión:

Donde:

Son las probabilidades a priori.

Es la probabilidad de en la hipótesis .

Son las probabilidades a posteriori.

Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

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El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría

de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo

de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la

estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en

experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica

mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten

probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para

indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas

cuando recibimos información adicional de un experimento. La

estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas

estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho

de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia

empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer

conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores

bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de

filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

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Teoría de los Juegos

La teoría de juegos es una rama de la

economía que estudia las decisiones

en las que para que un individuo

tenga éxito tiene que tener en cuenta

las decisiones tomadas por el resto de

los agentes que intervienen en la situación. La teoría de juegos como

estudio matemático no se ha utilizado exclusivamente en la

economía, sino en la gestión, estrategia, psicología o incluso en

biología.

En teoría de juegos no tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer,

tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer teniendo en cuenta lo

que pensamos que harán los demás, ellos actuarán pensando según

crean que van a ser nuestras actuaciones. La teoría de juegos ha sido

utilizada en muchas decisiones empresariales, económicas, políticas o

incluso para ganar jugando al póker.

Para representar gráficamente en teoría de juegos se suelen utilizar

matrices (también conocidas como forma normal) y árboles de

decisión como herramientas para comprender mejor los

razonamientos que llevan a un punto u otro. Además los juegos se

pueden resolver usando las matemáticas, aunque suelen ser bastante

sofisticadas como para entrar en profundidad.

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Representación de juegos:

Forma normal de un juego: es

una matriz de pagos, que muestra los

jugadores, las estrategias, y las

recompensas. Hay dos tipos de

jugadores; uno elige la fila y otro la

columna. Cada jugador tiene dos

estrategias, que están especificadas

por el número de filas y el número de

columnas. Las recompensas se

especifican en el interior. El primer

número es la recompensa recibida por

el jugador de las filas; el segundo es la

recompensa del jugador de las columnas. Si el jugador de las

filas elige arriba y el jugador de las columnas elige izquierda

entonces sus recompensas son 4 y 3, respectivamente.

Cuando un juego se presenta en forma normal, se presupone que

todos los jugadores actúan simultáneamente o, al menos, sin saber la

elección que toma el otro. Si los jugadores tienen alguna información

acerca de las elecciones de otros jugadores el juego se presenta

habitualmente en la forma extensiva.

El

jugador 2

elige

izquierda

El

jugador 2

elige

derecha

El jugador

1 elige

arriba

4, 3 -1, -1

El jugador

1 elige

abajo

0, 0 3, 4

Un juego en forma normal

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Forma extensiva de un juego:

Los juegos se presentan como árboles,

que cada vértice o nodo representa un

punto donde el jugador toma

decisiones. El jugador se especifica por un número situado

junto al vértice. Las líneas que parten del vértice representan

acciones posibles para el jugador. Las recompensas se

especifican en las hojas del árbol.

En el juego que se muestra en el ejemplo hay dos jugadores. El

jugador 1 mueve primero y elige F o U. El jugador 2 ve el

movimiento del jugador 1 y elige A o R. Si el jugador 1 elige U y

entonces el jugador 2 elige A, entonces el jugador 1 obtiene 8 y el

jugador 2 obtiene 2.

Los juegos en forma extensiva pueden modelar también juegos de

movimientos simultáneos. En esos casos se dibuja una línea punteada

o un círculo alrededor de dos vértices diferentes para representarlos

como parte del mismo conjunto de información (por ejemplo, cuando

los jugadores no saben en qué punto se encuentran).

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MÉTODOS HÍBRIDOS

Método de Transporte y Localización

Es un caso especial simplificado de

método simplex. Recibe su nombre de su

aplicación a problemas que tienen que

ver con el transporte de productos desde

diversos puntos de origen hasta diversos

destinos. Los dos objetivos comunes de estos problemas son:

Minimizar el costo de enviar N unidades hasta M destinos

Maximizar las utilidades de enviara n unidades a m destinos.

Para resolver problemas de trasportes se deben seguir tres pasos

generales. Cada uno se examinará en el contexto de un ejemplo

sencillo. Este consiste en enviar las unidades de las fábricas a los

almacenes mas cercanos buscando siempre minimizar los costos en

función de la disponibilidad y demanda de los centros que

intervienen en el proceso de transporte.

Podemos decir que las variables mas importantes que

intervienen en este método de programación lineal, es que busca

minimizar los costos de una unidad de producción a otra, es decir es

un método de minimización de los costos. Es decir con el este método

se pretende desarrollar la mejor distribución de las unidades en

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función a las variables mas importantes, como son el costo,

disponibilidad, demanda y la distancia entre los centros de consumo.

Método del Rincón Noroeste:

Este método se aplica comenzando siempre por la celda

superior del lado izquierdo. Se debe comenzar agotando la oferta

de cada fila antes de pasar a la fila siguiente, luego ir agotando

las necesidades de cada columna antes de pasar a la columna

siguiente por la derecha y finalmente comprobar que todas las

ofertas y demandas estén cubiertas.

Valencia Maracay Caracas OFERTA

Barinas 50 10 50 18 8 100

Guanare 17 30 13 30 19 60

Barquisimeto 20 6 40 24 40

DEMANDA 50 80 70 200

Costo Total de Transporte:

(50x10) + (50x18) + (30x13) + (30x19) + (40x24) = 3.320

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Método del Menor Costo:

Se debe identificar la celda con menor costo y romper

cualquier vínculo para conseguir arbitrariamente el menor costo,

luego se asignan tantas unidades como sean posibles en esa celda

sin que se sobre pase la oferta o la demanda y se tachan las filas o

columnas ya agotadas, conseguir la siguiente celda con el menor

costo entre las restantes y continuar con los pasos anteriores.

Valencia Maracay Caracas OFERTA

Barinas 30 10 18 70 8 100

Guanare 20 17 40 13 19 60

Barquisimeto 20 40 6 24 40

DEMANDA 50 80 70 200

Costo Total de Transporte:

(30x10) + (20x17) + (40x13) + (40x6) + (70x8) = 1.960

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Técnica de Monte Carlo

El método de Monte Carlo es un método

no determinístico o estadístico

numérico, usado para aproximar

expresiones matemáticas complejas y

costosas de evaluar con exactitud. El

método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo

(Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser

la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el

desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan

aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el

desarrollo de la computadora.

Este método proporciona soluciones aproximadas a una gran

variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de

experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una

computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema,

ya sea estocástico o determinista.

Ejemplo de aplicación de Monte Carlo en el

juego de barcos (battleship), primero se realizan

una serie de tiros a puntos aleatorios. Si el

jugador genera un algoritmo puede deducir la

posición del barco conocidos los datos anteriores.

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Ejemplo:

Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada

sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un

intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera

de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos

se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada

cara de la moneda. Tenemos así:

CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499

CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999

Después, al generar un número aleatorio a partir de la función

RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado

simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos

que está incluido en el intervalo asignado a CARA.

En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios

según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.