desviaciones estadisticas

12
?~,:'_",~:>~-.".;:.>' i\ .... t!,:> ..•." , {.. r•••. ,: .• ~ ..• :i.'.?,;:.:_-.'.f ":;', [)i} '!"1 '<. _. , '~,':',"':'" .".:l •... ;T~, ;~:". '~. . ;: indicar el estimador y eOil ma)'úseula pMa el par"metro, Otra forma de s;¡hl';bli;;&: .. I;,I'~> .•' ,¡, media es utilizanclo la 1"ITa M (mayúscLlI~) colocando corno sl¡[;índr~\~,.:'Y ...entre 'O,,! .«.>f paréntesis la letr8 que identifica la \'a.r¡ab'\~~: "/\x); M(,.); M(zJ; tarnbién ::d:.;unns ,:h"J_j\~.:r'i"t:.i "-':-:-"..:,.:" a (rninClscula). En poblaciones, corno paránletro¡ es enlpleacL.l con 1l1udl<1 freci"¡e"rí"c:.i-a la letra griega miu.o mu (1')' La nledia de un conjunto de valores' Xl I X~l/ XJ¡ .. " XiiI es lasun13 de los rni:;rnos, dividida por el núrnero total de observaciúnes que se consideran. (.J!Js(;rvernos (lIJe esra fórnlula "nlZltenlática es simplenlente un conjunto de instrucciones. En esle caso, se esl-án impartiendo instruccio"nes. ' ,. '. , ...d MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE , Algunos la den'or:ninan como Inedia' no ponderada, y se obticnedividil:ndo la surna de torios los valores que toma la variable, por' el ~llmero de observ,1Ciones, x su.na de todo~ los valores observados - --------"--_._- ._- núnlcro de observaciones n = x = '\' = <- x' , húrTlero total de observaciones en el cOllJLinl"O. nledia, para el conjunto de observaciones. indica sunl;:l de 105 elernentos o valores de la"variahle. valores de la vari,J.ble, donde i torna valores de 1 h;"Jsl:a n. El procedimiento'es mucho más r"pido y seguro si.emplea'Tic)slacalculadora manual, por ejemplo, la CASIO 3GOOp cuyo manejo es simple, ,como k, vamos a ver a conli nuac:ión: a) Encendida la calculadora, se oprime: la tecla (MODE) y luego. el :1, Debe aparec"r en pantalla SO, cuando se va a tl";;lbajar en estadrslic;J con una sob vZtri;1blc. ' b) Si hay información en la memoria, debe borrarse utilizanclo las teclas: @ @ @@ , -:" ~7 5 5 6+8 .•.6+10 .•.5' F-I proceso que debe seguirse en la aplic;:ación, ser~): a) Sume todos los valores observados. b) Divida el resultado anterior por el númer.o de observ'lCiones. El emplear la fórmula en vez de la descripción verbal, significa economía y pre:cisión. La anterior fórmula denominada por algunos corno media simple o Il() ponder~da, se . enlplea cuando los e1dLos están sin agrupar, es decir, se ITabaja con los datos ()riginales provenientes del instrumento ele recolección utiliz;:zdo, sin que se l1dY() inici;lc1o el proceso ele conceht.ra~ión, t~~bulación o elaboración de cuadros o tabl.:--ls. Este procedimiento es nluy conocido y enlpleado por el estudiante, ya que frecuente- t11ente calcula el'p"romedio obtenido enun(l asignatura o en'el cu/soque adelanta. Pnr ejemplo, si se utiliza una escala de () a 'j O.)' las calificaciones obtenicbs por un alumno son: 6, 8, 6, "O Y 5, ¡cuál es el promedio! . " '.'

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Page 1: Desviaciones estadisticas

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[)i} '!"1 '<. _. , '~,':',"':'".".:l•...;T~,;~:". '~. . ;:indicar el estimador y eOil ma)'úseula pMa el par"metro, Otra forma de s;¡hl';bli;;&: ..I;,I'~>.•' ,¡,

media es utilizanclo la 1"ITa M (mayúscLlI~) colocando corno sl¡[;índr~\~,.:'Y...entre 'O,,! •.«.>fparéntesis la letr8 que identifica la \'a.r¡ab'\~~: "/\x); M(,.); M(zJ; tarnbién ::d:.;unns ,:h"J_j\~.:r'i"t:.i "-':-:-" ..:,.:"a (rninClscula). En poblaciones, corno paránletro¡ es enlpleacL.l con 1l1udl<1 freci"¡e"rí"c:.i-ala letra griega miu.o mu (1')'

La nledia de un conjunto de valores' Xl I X~l/ XJ¡ .. " XiiI es lasun13 de los rni:;rnos, divididapor el núrnero total de observaciúnes que se consideran. (.J!Js(;rvernos (lIJe esra fórnlula

"nlZltenlática es simplenlente un conjunto de instrucciones. En esle caso, se esl-ánimpartiendo instruccio"nes. ' ,.

'. ,

...d MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE ,

Algunos la den'or:ninan como Inedia' no ponderada, y se obticnedividil:ndo la surna detorios los valores que toma la variable, por' el ~llmero de observ,1Ciones,

xsu.na de todo~ los valores observados- --------"--_._- ._-

núnlcro de observaciones

n =x ='\' =<-

x',

húrTlero total de observaciones en el cOllJLinl"O.

nledia, para el conjunto de observaciones.

indica sunl;:l de 105 elernentos o valores de la"variahle.

valores de la vari,J.ble, donde i torna valores de 1 h;"Jsl:a n.

El procedimiento'es mucho más r"pido y seguro si.emplea'Tic)slacalculadora manual,por ejemplo, la CASIO 3GOOp cuyo manejo es simple, ,como k, vamos a ver aconli nuac:ión:

a) Encendida la calculadora, se oprime: la tecla (MODE) y luego. el :1, Debe aparec"r enpantalla SO, cuando se va a tl";;lbajar en estadrslic;J con una sob vZtri;1blc. '

b) Si hay información en la memoria, debe borrarse utilizanclo las teclas: @ @@@

, -:"

~ 755

6+8 .•.6+10 .•.5'

F-Iproceso que debe seguirse en la aplic;:ación, ser~):

a) Sume todos los valores observados.

b) Divida el resultado anterior por el númer.o de observ'lCiones.

El emplear la fórmula en vez de la descripción verbal, significa economía y pre:cisión.

La anterior fórmula denominada por algunos corno media simple o Il() ponder~da, se. enlplea cuando los e1dLos están sin agrupar, es decir, se ITabaja con los datos ()riginalesprovenientes del instrumento ele recolección utiliz;:zdo, sin que se l1dY() inici;lc1o elproceso ele conceht.ra~ión, t~~bulación o elaboración de cuadros o tabl.:--ls.

Este procedimiento es nluy conocido y enlpleado por el estudiante, ya que frecuente-t11ente calcula el'p"romedio obtenido enun(l asignatura o en'el cu/soque adelanta. Pnrejemplo, si se utiliza una escala de () a 'j O.)' las calificaciones obtenicbs por un alumnoson: 6, 8, 6, "O Y 5, ¡cuál es el promedio! .

"'.'

Page 2: Desviaciones estadisticas

ir. ,;', .

.'\,:.. , ',-,',,"-

10 lJD

suma de los productos'número de observaciones

6 lJD

comprobamos si borró ydebe apare,cer en pantalla O

x

3

. ': 1f-; ji ~

Para ,,1 desarrollo de la fórmula, se procede de la sigUienté-man'éra,:

d) 6 lJD 8 lJDc) r¥iA)

fA0!A) 1 @D corresponde, a 2: Xf - 261

~~ 2 @D ¿:X; = 35,,;,:

~~ 3 @D n 5"~

@~J 1 @D x = 2,82

Este es el proceso que seguir~mos en la entrad~'o captura de los datos.

el Procedemos a observar los resultados de las operaciones,que real iza la calculadora'

cl Nos aseguramos que se haya borrado tecleando [KOIIT) 3. En pantalla debe, dpi!.recer'O. ., "

d) Entramos la información oprimiendo seguidamente las tecids:

e) "Los resultados se obtienen con: (KOIIT)1, la suma de cada uno de los valores de la

"variab.le el~vadós al cuadrado igual a 261, Con [KOlITjZ, la suma detodos los valores

:::'dela variable, igual a 35. Con [KOui-)3, el número de observaciones,'es decir, n. Ahora

'bien, con la tecld OED 1 se obtiene el valor de la media aritmética, igual a 2,82.

Otra calculadora muy utilizada es la CASIO 4000p 'c'uyo pr'oéeclimiento de operar es',,' parE'cido al anterior. <::onservando el significado de los órdin,ales, se tendrá:

aY @@ .m' aparece en pantalla SO

b) (SHiFT) (DEL) @D borra la memoria

"EI alumno puede ~omprobar con el ejercIcIo de la 'tabla 7~i;;'correspondiente a la,infornlación de d~t?s sin agrupar de la variable discreta, si€nC!o x = 2,82: También

,,,,_-.a....,... puede practicar con la infor,mación de la tabla 7,9, de datos sin agrupar de una variablet:~/"'''''-~-''~S- ". ' -V"',\ :,~;,--',S[¡~"':'-~""" , cO"n,[inua, cuya media debe ser x = 52,4.~.:..\- " c(~,. ~' " .;., l"~~{(.".>/".,;~~'MEDlA ARlTMÉTICAPOi\lDERADA "

",:'_'~,:.(.r,:.,.,.r,tif) [':¡'~Se aplica cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias. El término, __ ..,-f''';:'-' ponderación se da,a la importancia o peso que tiene cada valor de la variable dentro~". __;:/;;1 del conjunto, y corresponde a la frecuencia absoluta o relativa, siendo su mayor

..:e._".",';;;>" 'importancia cuanto más alta sea la frecuencia. La fórmula es casi'igual a la 'anterior,sólo que en este"caso se multiplica cada valor de la variable por su "'espectivafrecu(~llcia:.

.'.~.

Page 3: Desviaciones estadisticas

suma de los produc:tos'x

Tabla 8.2 Variable continua. Cálculo de la media aritmética (ponderada]

.'....i4$.:...~:,J1t ~_.~.:.~.~4.~8".:i~.,.~,;.:.;...~7:~.<:.~~'~::.';~g~'~);). - '1,5:S;~>;-:r"3'i'-8~-5 .•41l,1 c. 53 '. ,9' 50;5

:1;'.-, ' ~1l~5J';,1i ~;';'~5'B~~-~:;;¡(t5::?/ •.5,,5:;5:1,'58,'\ - '63 9 60,563,1 - 68 2 65,5

2: 50 .

. ,Tabla 8."' Variahle.discreta. Cálculo de la media aritmética (p?nde.ra.da).

~~f~¡~'~~f~tf~.'~,,~~Jtt8 '3'2' 'O'l'ó' ' ....:0'.6..4 .," x ;,;.:S.x'.l ...,1.)\:'" 2,82..4 '. f t.""L., I " .';~.

5 5 25 0,10. "'0,50 . '~-""/ . n' '.'

6 2 12 0,04 0,24 los dos rc?ult.ados' anterir ¡res son iguales

2: 50 141 1,00 2,82

f/f~f:fj3~f!G¡Có~,a) Se multiplica cada valor de la' variable por su respectiva frecuencia. (,/<Y .6'¡H;:;;:'. . fy .:::1 (L~~t)b) Se suman los productos anteriores y el resultado se divide por el Ij.~nif"roe.<;j~--~.'

obs(ervaciones, es decir, por el tamaño de la muestra (n) o de la poblac.ión.~.(!'J):o,.;".~,,:.,, '"" , • "; '.' /" ••.• - ; - •. " : -o" o', _. (:"';';'.'. ',' '''''<:,.., ~:~.> , ..Cuando s'olo' se dispone de.la frécl.Jenciarelativa, '\ánibiénp\Jede calcularse fa...,'y1eclja"Aritmética, aplicando la sig:-,ien.t",fórml,Jla:.. . <.,;;:;.;-' .• _."j

á , ~. ,,-o'" . ¡, ..•~ . ~; .';' ¡ "., i:, •. ~. .,¡ .. :7,! .~'.;":'.-/" : ..,..-.'-£:,,-.. . ~". - lo. .1,

Al igual que en datos no agrupados, se podrá utilizarla calculadora para obtener elpromedioen 'dil'ti:is'agrllpados: Veáílloslo, p""tiendo de'la éntrada de Ills datos, pues lospasos anteriores son iguates: .

Ahora aplicaremos las dos fórmulas anteriores, en variables discretas y continuas; paraello, se considerará la información ciada por las tablas 7.6 y 7.10.

.• : o",; '. .', "',1,,'. . '.... ~:"' '.:, ,",.,- ,- L..¡' .' ; ,',

Si cornpararno's los anteriores resullados con los obtenidos para datos no agrupados,observarnos que en la variable discreta son iguales; en cambio en la v;¡riable continua,por lo g"neral, difieren. Ello se debe a la pérdida de informacio", primero, al "grupar

"'Ios datos en intervalos de clase; luego, al calcular la media utilizando las marcas de~clase~ "o ir.J '}n .-",1- ;':-:',;' .- i ' . ' .. ';'> .

..i :.:.

. ,,' ,

Page 4: Desviaciones estadisticas

QD está

'!, ',.

Cuando oprima paréntesis CO debe aparece're'n pantalla ~~nt~ '( coma. El10c"lizado en I~tecla [r). "b) PMa la salida, o se<lla obtención de los resultados, se opera exactamente igual al

procedimiento que empleamos en dalas no <lgrupados,., .

" \, . . l.

A DESVIACIONESSon diferencias que se obtienen e!"tre los valores de la variable y un punto fijo, quepuede ser un promedio, por lo general, la media, aun valar arbitrario, es decir,cualquier valor que c<lprichosamente se quiera tomar, ya sea positivo o negativo,dentro o fuera del recorrido,' denominado media supuesta u origen de trabajo, y quelo simbolizaremos mediante A u 01.

Se consideran tr~s ~Iases de desviaciones: respecto a la media; a una media supuesta;ya la medi<l supuesta tornada en unidades de amplitud del intervalo.

. ,:""."

d) En l<l3600p, i<lentrada o captura de datos se realiza de la siguiente manera:.

A DESVIACIONES RESPECTO A LA MEDIA ARITMÉTICA

Se obtienen calculando las diferencias entre cada uno de los valores que toma lavariabley la n:'edi~;la c~al se simboliza medi<lnte di' Endatos no agrupados se obtienede la sigu fente' forma: ' •.. """'.',,,.,'"

, ¡. ,- ' .. ,""'~.~~:.,:'ic'\','Supong<lmos los,valores,6, 8, 6, 10,5, para los cuales se sabe' qu~.I,a,media es igual'. ",.' . ), .' "~"a x = 7, Y las desviaciones, <lplicando la fórmula de d; = Xi-' x,serán: 6 - 7 = -1

._" ....•.,.f."f

; 13 - 7 = 1;, 6 - 7 = .,-1 ; 'fO - 7 = 3; 5 - 7 = -2 ., :1 !';';' ;~Úir....

En datos agrupados, el procedimiento de cálculo escomos,igu<;: ';;0";;. . : . I

di = Xi - X . '(lh f'f\~'!:-'~:(~

, '

""1

" ::.,.: .. ,•"0, "

. '. l"',:, 35,.5 03 @D 50,5 0 9 @D '605 09 @D'. -.) ~ '-,40,5 05 @D 55,5 015 @D 65,5 02 @D45,5 07 @D

" 35,S [SHIFT) CD 3 QD ,55,5, ,[SHIFr) {JJ 15 iJD,

40,5 ISHIFT) CD 5 QD 60,5 [SHIFr)' CD 9 QD45,5 (SHIFTj CD 7 CE] 65,5 (sHIFTI CD 2 QD50,5 [SHIFT] CD 9 QD

,< ¡ (

~...•--;,'

Page 5: Desviaciones estadisticas

l'

o¿ (xi - x)fi

O¡r~l~l~, 3,7 27,4

O

°

91592

,50

50

,c,~~¡r~;:f~t:¡~~8 .',HJ 9,445 2,' 8 , 0,902 3,'5 6,36

3'456

;~:~:i:rt::;~ff~~¡;"~,'',:,48,] J C':: ,53 ",

53,1 58,58,1 6363,1 68

Tabla 8.3 Variable dis~ret~l::'Ocsviacjones respe¿to a la media'< " , •

Tabla 8.4 Variable continua - Desvi~~iones respecto a .la medía

Observe detenidamcnte quc, en datos no agrupados, la, suma de las desviacionesrespecto a la media ariimética, debe ser siempre igual a"cero;' en cambio en datosagrupados o tablas de frecucncia debe estar multiplicada cada desviación por surespectiva frecuencia, para que la surnatoria sea igual a cero,

...••DESVIACIONES RESPECTO JI,LA MEDIA SUPUESTA U ORIGEN DETR"',BAJO , ,

El procedimiento es exactamente igual al cálculo anterior, con la diferencia que en vezde tornar el valor de la media elegirnos un valor cualquiera; sin embargo, es preferibleteneren cuenta un valor de la tabla, ojalá un valor central. ValeJa pena aclarar que estas,desviacioni,s se calculan de preferencia en datos agrupados, Con las mismas tablasanteriores, calcularemos SLlS desvié\ciones respecto al origen de trabajo, tanto par¡1 lavariable discreta como para la continua: ."":'

":,:[/

~;~-:~: .

:.:.:,--"'.:

J{~;1'"

l .,;1.'~C-~4:"~'

h -PI

"

O5'0, 520

:*~1~~~!t~~:---;~.

1\17155, 560, 565, 5

O -4, -3

,~'c2:<bc::.':::¡.- .~:"~:':1;:+:'-?-{3 ",:.':'~-s-~.--:1;', ..

4 °5 ,6 ,2

; .:0'::c:~t:6E~V,IÁCI ºN'ES :~/f:;":!:'x'i'::,'A

A=4

-,

J

"

.1Tabla 8.5 Variable discreta - Desviaciones

respecto a un origen de traba/o .Tabla B.6 Variable continua - Desviaciones

'.. respecto a un ari8en de trahajo .

Page 6: Desviaciones estadisticas

315

aritmética, .

,J

média,,

50

Tabla 8.8 Variab1e continua - Cálculo de lamedia aritmética, o método abreviado

-59

+'¿(X;'-'A)ft ~"A + ¿di; '"n n

A

,",1.

¿d¡fc I

n

x

A +

x. -A, ,.c

.so

x

d, ~ d.-'c.:

También se aplica para cale,ular algunas medidas, entreei'las' laconocida CO,mosegundo método abreviado, cuya fórmul;¡ es:. e

:.:.¡,

.,La fórmula que 'utilizaremos para calculaf;lamedia aritmética en ambos caso~';:erá:

.,- .. _ -. "'~.~'-""'--"""--'------~'."'; .

~". -.;

Reemplaza"do;s~[¡e;;e: x = ~ +'(- 59 + SO) = 4:" 1,18 =2,82 en la variable discreta, " -;,' , ' .. ) '." (~

x.= 45,5 + (315 '(' 50) = 45,5 +6,3 = 51,8 en la variable continua!','. . ,'" .1" -~.,\). ;

Generalmente se aplica en datos :agrupados cuando la variable es continua y laampli lud del intervalo es constante. Se calcula dividiendo cad;¡ una de las desviacionesrespecto a la media supuesta por la respectiva amplitud. Como siempre, se trabaja conampl itud constante; su cálculo es más abreviado; basta colocar cero al frente del origenyapa nir de ese punto, hacia arriba, se tendrá: -1-2 -3 Yasí sucesivamente. Se procedelo mismo hacia ab'ljo, pero tomando números positivos: 1 2 J 4 ...

Tabla U.7 Variable d~screla - Cá.lculo de lamedia aritmética o método abreviado

+;<r~.~."~,.~~~~;i\~t¥~t~I~~~b~f~~'-,''1, ",~[;;:,\i:7~ibr'I.l~~;~1f~1'

h ....~~",~::.2,....~, ,,.i'" .•.;..;-2-,.~_c;-~,,-'" --..?-A:+ ..;.~.:'

Lamedia supuesta se simb611zá pO,,'A o por Ol; considerando el valor 4 para la variabl~:,'"discrela y 45,5 para la continua, ",' ' '

Una de las tantas utilizaciones que se le da a estas desviaciones, corresponde al cálculode la media aritmética, medianle e\.denominado primer método abreviado, Veamossu fórmula y su aplicación con las tablas anteriores. .

Se simboliza' mediante d; y su fórmula de cálculo es:,. ~ . ~., _~ ' .>" < .,' I

: -Al! DESVIAi:lONESRESPECTO A UN ORIGEN DE TRABAJO TOMADASEN UNIDADES DE AMPLITUD 'G '

",.:",",.':,'Su aplicación es la siguiente:

Page 7: Desviaciones estadisticas

"., '

,8

, .. :,,'

. ¡63• 50

Vari~ble continua - Cálculo de la rnedj~,~rítlnétíca -'~;~l;~¿Jkh/¿1g5baldevíado. ;,.' .. ,.-, '~"lh~~'-'i-;-l"~'~'l1;~~,._{:

Tao!a 8.9

.;;t<t'iJ¡;}~~i'A PROPH~:DADESDE 'LA MEDIA ARlTMÉTlcA:Jt\~~;im

.' I ' f ¡::' ~'.¡_::~,k:d..:~)t,',;:i,~!¡;)iEs de gran importancia conocer y manejar las p,'opiédades'8e"É'ste promedio, a fin de

. simplificar y agilizar procedimientos dé cálculo, o para;~.nl.~n,der illgunos métodosestadísticos. • . . .... . .

'{~'I ;.-. " "';~';:;(¡'f0~.:f."~-~.

',;

'j;O,\'

1I

:.¡

t~'~1'J~;

1-, j."

~ '::, '!:.; ':"1,.. :.:;L-}i~(l:~';_\¡'.a) La suma de las desviaciones respecto a la media siempre debe ser igual a cero.

En datos no agrupados será 2: (x; - xT'~ O.":'i"y"eri";datos agrupados será2: (x, - x)f, = O. Ya estas propiedades las habíamos',de'rl-1o:s.tradocuando se hablóde las desviaciones respecto a la media. . ,.. ' .

'. ,. . _....'.' '".' : ""-:i:}v1:dr:,~\~;.n~{~<::'."b) La media aritmética de tina constante. es igual a' ra'~cú-j'stante.Propiedad fácil de

entender y de explicar mediante un ejemplocomq ~..I.~¡g,:-!i<e'nte:si en un curso todoslos estudiantes obtienen la misma nota, esa será el promedio .

. . , '__."'-: .. .-~; ,l.:.. '__. ,

M[k]= 2:k :,. h = nk + n = k, ~,''

La media aritmética de una constante por una v'ariábléserá'igual al producto de.la constante por la media aritmética de la variable.

.',' ,

+ n!= ',; _ "i1.:';: ':>~:';~-i• • " ',C -.: .,' .'. ~••'-; , ';: ..~.rJ!,:~.~;t,;ei:~?:~,1:- i

La media de una variable más una' constante ,es igual..,,:-'~,\uin:aefe la media más laconstante. M[x +' k) = M[xl + M[kJ' = x + k. Esta propied.ad es válida para ladiferencia': J\1lx _' k] = 'x - k . _.:....;;_._.; ¡

, . "?, ,'l.'" 1

La media de la suma <ledos o más muestras es igu,aU£J?.i!Y'ediade estas mediasponderadas, es decir, las medias deben estar multiplic~d~s [lor su respectivonúmero de .elementos, y la suma de estos productos ..dividida por el tolal deelementos, ,

. Mlkxl

ef)

e)

e)

],

1 1

1~.,J

xx1n, + x2n2 + x3n3

n

1,

,. !,. , ..-' :! -~ -" '

Veamos la aplicácion de algunas de estas propiedades en)atabla correspondiente a lavariable continua. "".

Page 8: Desviaciones estadisticas

!

51,,8

5.180

ltRi~f*J"1.6651.089262

50

2.590;..5.0",

(3) Tabla B. 12'Propiedad deL Producto.

Ifig~.;: Í'1 1(,,121;. 131

(5) Tabla 8.14' 'Segunda 's~bmuesrra

~\r*iJ.Tt~l1¡tij¡,~~t:~tj1jl~~

~'¡~f!:!I~~~W~~~!~q;~~!•.;",6,? (5);'....f-I':'~.~~:(.~~r~f.:lh.131,0 .

2: ?5 1 962,5.J;' ... •...r: ,. , ,.~-'

x2 ~ 1.962,5 + 35 56,071

.,',.-.'

3.115

,

. '.

41,83(15) + 56,071(35)50

50

. . :

x

(2) Tabla 8.1.7Propiedad de la Suma

I¡f~_~~i~76 2 152.•.

50

~lY~t~~~~{{~~lJ~,~~~~l~f.¡~~

<~~&~(:!í~~iriJi~~~!:~~1. .. ..... :,,-

" 15 627,5"" H-"¡ " ,.'- '627,5115 4 1<33X, ~ =

.,

(4) Tabla 8.13 Primera submuestra

j~~,/l,\l~!

fn~".'~"..Ir.~lt=H

I~,trJ¡;,~

J!~;\¡j¡\":~,ti~~':I~,¡:t;i.~lif~jl'tlijil~¿~r.::,

Infonnación:'correspondiente, a la tabla ini~i3"1,,d.'f:,la c,ual,'.~abemos que el J~l"prc','.,l~.~V,o.esiguala: '.' II,,"';51,8. .~,

Se le ha sumado 10, 5 a cada uno de los valores de la variable (tabla 8.10) ;111y con ella se cal,cula la nueva media aritmética. ~N¡,'_" 3'1'''1''5'':''''5:''0''''''''6'''2':'3''..,'.,''''',''.''':" , .' .. ,~, .. :L.: 3; ~Irx = '.,.+ =.' " ': ..,. :1i!.Í"'~r.,.~..¡..tM[x+',;(="51;8'¡:'10;5 = 62;3' ¡" '( , 1 '",'

. . ~. ó"; :. 1,_" ',' ,\, .' ',. .' ~J~~(Se ha multiplicado por dos cada' uno de los valores de la variable (tabla 8.10) Yse :.'....I...'.~:Pj...ha calculado nuevamente la me'dia aritmética. . ,~.,' . " ,. ~'-',' .-" ",;.!"!~; ... "'y

,,;':5:180 +50=' '103,6" K•.¡:MI~~)I=51,3 x 2 = 103,6 • "I~lDividamos la distribución (ver tabla 8.1 O)en dos su.bmuestras, la primera de ellas .i~\con 15 elementos y la segunda con 35. Luego, calcularnos la mee/ia para cada una '~~f.de las .submuestras, , !i¡:~~.~ \.. ~.~,.;.Il

': l. ~t,

.• 11.;~;~1.~l()~!~~~,~_nt~l.~*.""~ñ'1$¡¡i

l:i~".r..~.f\~'JJ,f .:~~t..,:

~im~r:ii~

(1) Tabla 8. 10Dal~; iñi~iales'

é...-

¡~~~'W60;5 ;-,9, .65,.5 2

(4)

(3 )

(1)

(2)

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"",..'''!''Lamediá'paia'el total será

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Page 9: Desviaciones estadisticas

Para el cálculo de la mediana, cuando losdatos'no están agrupados en una labia defrecuencias, debe tenerse en cuenta si el número de observaciones es impar o par. Encada CZlSO se siguen los siguiérites pasos:' ' , "

a) Se ordenan Iqs datos de menor a mayor o de mayor a menor.,.b) Se deterrnina el ,;alor central, ya sea mediante la observación directa de los datos

O a través de la apl icación de la fórmula: (n + l)/2. Elresultado n(h señala el nC,rnerode la observación en que se localiza la Mediana; por ejernplo:

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J'

...d DATOS NO AGRUPADOS

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;1;'J:;.t->~_r..~ . . :",,'''':%J::' --..1jJ? ....--~~:rf.."l_'.... 'i_. ,.-'t:'->¡~.'!'."", 1:~,,, .?~~~J I - ~~~~~~'ó'¿~~~l;¡~~~~_'lt:~:f4f~~Jid\'}1íl< "'1:~ .. ~

':;::':.' Esaquel valor de la variable que divide la frecuencia total en dos parles iguales, esdecir,

,[~.:,(:. aquel valor de la variablequ'e supera y a la vez es superado por m~,; de la mitad de lasobservacione's en un conjunto ordenado. La mediana es el valor cenlral. ' ,tt.:: i.~("

J. "sr' Se le considera como unamedicia de tendencia cen'tral, ya,que se localiza en el centro,:{" superando la mitad y siendo superada por la ,otra mitad de las observaciones. Este~'i";-t!, promedio es menos importante que la media aritmética y su cálculo es un poco m~s,.1,,'" complicado, ya que en cada situación'en particular debe aplicarse una determinadaP~~.L'."!" fórmula, tan rígida que no admite tratamiento algebraico alguno, pero presenta la,', ventaja de no ser afectada por cambios que se I,ehagan a la variable, manteniendo sui;~i~ ordenamiento, a:uncuá~~o e~istan valores demasiad~ ~;al"des.;'1+~fn',., Para la detefmin'\ción de Ii¡mediana no se requiere conocer el valor de todos los datos;

, ~":.•,-'",.,¡".,,','.;',,;,, .•¡'.,.'.,.(",,".;t ..,::':,:".,',',:,' " ~~I~17~t::~~s~~~~~:,sc~~~ ~t;: ~l~~ae~v~~i:o~~t~~~:lé~t~U?~~~sb~:r~o;:~sp:~:~:n~~~'ic: ;t:~. ".... datosincornpletó's, por ejemplo, en aquellas distribuciones cuya variahle tiene valores

extrenlOS no 'definidos con intervalos titula"dos'"lInlenos 'de" 'o "IIm;)s de".i',., ' " , , ',"~l:",,,,;'" Vearnos su apllc:~ció~ en cada caso en particular:', ':,' ,,' ,,',

j',,:.",C:.:-:;Z-:"';,"-

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1'.~

Número impar de obse~vaciones

Si sólo se dispone ele un nCmlero impar de datos, la medi,ana estar:'; localizada en elcentro, Consideremos nuevamente los datos 6,8,6,10 Y5. Se ha dicho que prirnerolús ordena/nos 'de menor a may(;>r o de mayor a"menor, deja siguiente rnanera: 5668 '/O. Observemos que uno de los seis ocupa el centro; por lo tanto, a ese valor lecorresponde la ¡'nediana, Me'~ 6. Ahora disponemos dedos resultados: x = 7 YMe = 6. ¡Quésucede si el últirno valor en vez de lOes lOO? La mediana sigue siendo 6 y la media sealtera, pasa a ser 25 para el rnismo conjunto de datos, debido a lo ,;ensible que es larnedia, a cualquier cambio que se haga en I",variable. ,

En el misrno, ejercicio podemos calcular la mediana aplicando la fórmula(n + 1) " 2 = (5 + 1) .;.2 = 3, lo cual indica que ,la mediana,está' localizada en el tercerdato de la variable orden",da. '

Ní.mero par ~e observaciones

Si disponemos de un 'conjunto par de dMOS, se toma convencionalmente la mediana,a la media de las dos observaciones centrales. Si estos dos valores son iguales, se tomaráuno de ellos. Cón los datos: 6; 8; 6; 10; 5; 10, los ordenamos de mayor a menor: 1010 8 6 6 5. La mediana será el promedio entre la tercera y la cuarta observziCiónobten,ida de la siguiente manera: (6 + 1) .;. 2 ;", 3,5, es' decir, que, promedia-

mos (8; 6) = 7. Este será el valor de I,amediana: Me=7,

Page 10: Desviaciones estadisticas

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2:

(2) Tabla 8. t 6 Variable dis.creta -Cálculo de la l7.1ediana

~~~~;i~t"," .. 5'" . '5" - \'(8

6 2 "50

Me = 3 ¡

2 +3'Me ~ ~ 2,52

50

, L J'.' "

M"e = Xi

Xj_l-?

Xj->

I~Ji

Xj_1 + xJ'Me = ----

", " 2

Aparece en la c.olumna de las frecuencias el valor obtenido al cal,c,ular n/2 = 25;por lo tanto, se dirá qU'e Ni-, = n/2, En este caso la fórmula q'ue'debe emplearsees: . , l' " .. - ~.:~ ~

(1) Tabia 8.15 Variable discreta -Cálculo de la mediana

b) Dividi;':;os pbr dos el total de observaciones: n '.¡. 2,' .. ,; - ',' . " ; '..

El resultado anterior lo buscamos en I,a columna de las frecuencias absolutas"cumuladas, ""[respecto'recordemos que se pre'sentan dos situaciones: [a primera,cuando el valor puede o,?servarse; dichovalor lo simb()lizarenl<?s por Ni-, yalinmediatam"nte superior en valor por Ni' por lo cual se dice queN¡_, = ;'/2, Lasegunda situación seda cuando el valor no se observa en dicha columna; enestecaso Ni', corresponded al valor inmediatamente inf~rior '''' n/2 y N¡ al in-mediatamente superior en valor y se dirá que N¡-1<n/2, Además, la fórmula quedebe aplicarse es diferente al tipo de variable, discreta o continua,

c)

"A VARIABLE DISCRETA "r-

'P,:ocedem';~ia '~~i~'~lar la' mediana, de' ac,Lierd~' con las '~'os situaciones descritas''o .

anterionllente:.

- (1)

"¡~'¡:¡t2) COIl1~~~'¡~colu,mnade las frecuencia~ absblutas acum~lag~s '~o"aparece el valor;,.¡",; 25, ,éo.ns.ideremos COn'O Ni-, ,a 20, ~s decir, e,l valor innii:,diatamente inferior, y

com,? ~j, a[, inmediatamente superipr ", 25, o, sea, '35" ,Sei.dirá en, este casoNi-, < n12, y la'fórmula a emplear será: ' '.-.'

;--'

';;l~'?.;t1[)ATO~,.A~.~UPADOS''Cuando trabajamos con tablas de frecuencias, debe 'establecerse si la variable esdisueta o continua; luego, miraremos si al dividir por dos el total de observaciones,el valor se encuentra en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas, Se nos

, pres,~ntan dos, situaciones al calcularla mediana, En cad'l e:asodebe aplicarse unafórmula difel'eilte, con base en [as siguientes recorriendac'i,ones:.' '. . ' . '--'"' , ." '.,', ...

a) Se obtienen..las frecuencias absolutas acumu[adas,sum'aiído las sucesivas frecuen-cias, ya sea"'de arriba hacia abajo, o en sentido contrario, sin que este procedimien-to afecte el resultado,

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Page 11: Desviaciones estadisticas

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absolutas

f~';f0~:~l~11. '-¡

SI)

,'1n~r,~,11"48,1 53 9 24 '<-Ni"53,1' "58 r{:9,~39 <-,Ni58,1 - 63 9 - 4863,1 68 2 50

(2) Tabla 8.1 (J V~rjabfe continua -Cálculo efe la mediana

50

Localizamos el valór de n/2 = 25 en la columna de las frecuenciasa5=umuladas, siendo Nj., = nl2. La fórmula que debe aplicarse será:

Me = xi .•• = 53 .

-~..

-<-

'xjr,?

~ VARIABLE COi\iTINUA

(1 )

(1) Tabla 0.77 Variable continua -;" Cálculo de la m?diana

....

Observe que el valor de X¡_l lo hemos localizado al frente de Ni ya que 53 es el

cen~:ro de la distribución, en cuanto al númerb de observaciones.

(2)' En (.ste chso, el,v~(~;'15pó se en~J~;~traen lacol~mna,rí'or lo tlnto;sedirá queN¡., < nl2. Para' su C~lculo se "plicará la siguientefórmula: '

••n , '~, _. _ N, r \

',","'"'' Me x'.,¿¡+G_2_._'_j,~_' Me 53 + 53.""1¡4' ~53,U1, J,'~. -~5 ' ---.tr:.'; ., . -F/ ~o ., NOTA: N¡ es el símbolo que utilizaremos para indicar la columna de las frecuencias1',.,L absolutas acumuladas por ser más fácil de manejar ..~~ •••~."_i1I_

, ),', "Es una medida de posición q~,e sacrifica ~na mayor cantidad de información que la, mediana. 5u resultado es rnás general yen algunos casos poco L,til. Fs definida corno]:;.; aquel valor de la var.iable que rné~sse re-pite, es decir que tiene IJ. 1l1<:lxinla frecuenciaJ de la distribución. Se simboliza por Md, siendo igual a Xj' e""

,.f

i,1

Lr,'

"A DATOS SIN AGRUPARApliquemos la moda en los datos siguientes: 6; 8; 6; 10; 5, ,Ob~er;";ltnos que el 6 esel valor de la variable que rnás se repite, por lo tanto: X¡'=-. Md=',6. '

Consideremos otro conjunto de 6 observaciones, cuyos valores.,son: G; 8; 6; 10; 5; 10.Se presentan dos valores de la variable con igual número de repeticiones, 6)' 10. Eneste caso h"y dos modas, lugo se dice que la distribución es.l~imodal.

Cuando ningún valor se repite más de una vez, puede a(irnlar,se que no hay moda. 5iun solo valor de la variable se repite más veces que los, dernás, será u"imodal; si haymás de dos modas, seráplurimodaJ. " ,,,,,;,~.íj> ,.,

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50

~i';I.155~5~ ' l'5' . ~~".;:',;~-'::~.:.i;.. '!>..;~'.}'~

.,60,S: ,.'c¡.

,65,,5. 2

. TéJ./Jla8.20 Var(able continua - Cálculo del modo

,'., ,.),.-,,',5.2 ,

50

..5.6

Tahfa 8. 19 Var¡ab/~ discreta -.C:.ílculo del.modo

A D,ATOS AGHI,JPADOS

ii~~;[~¡"..t{r..f!'~.;',.,"o¡Jl"~~"'.-..i~r

'Jiiw:r,Así corno se calculó la nloq~/ en datos nO'agrupados; en una forma sinlple e inlnedi(~.ta,',~~~~lcasi por simple observación y sin,fórmula alguna, podernos proceder igual en datos lt.J¡tf.~agrupados, tanto para la variable discreta como para la continua. En esta CdUmadebe "i~lW.~ser calculada uti I izando las mal'cas de clase y sólo cuando, la amplitud del intervalo ~ea A~J;constante; cuando n0.10 sea, es preferible aplicar otra medida diferente. :.~~b'i

;'"íl.\~En las tablas que se presentan a continuación, se han calculado las modas en cada una ""1 '.de las distribuciones, siendo Md = 3en la variable discreta'y Md =55,5 en la variable "continua, utilizando para ello las marcas de clase.

.,d)

, .. e)

f)

g)

i;,'~,'r~(~,;¡,~~"i;~!~~{Ifl)¡'.~~,~::'~~~

.:~~¡SW.";~~:'~t:',,;~l'i\l

l~~~Hmii~

~

-' :;';111$1,

¿ ~-i:,'~,'\,,'., ",:,'...••••• ~!í~-------"'H""'a-g-a-mosalgunas comparaciones en cuanto a la aplicación de estas medidas, que :~~r",l;?",

hemos considerad~ como las más importantes y de mayor utilidad. ' :;,I~a) La media ai'itmética es la más conocida y,aplicada: Es frecuente que numerosas ~¿;l~,

p,ersonas, d,e.,scon.o,zca,n ,'a.eXistencia,de o.tras fnedidas} 0, si las' ca,nacen tienen -,.~:"',":','~,.,:",_r","""'~~".~.',',:',,l~",",.,":':,',dificulta,cl.no sólo,efl su cálculo, sino en su verdaderaaplicación,. .l)i'~:~;..,..-

r:/",':;:",'":,;,:~,~,,:f.~,,:,,,':,',:,_,:,::'.';,~.'~,'"~""~,,~'",:.',.',,.,,~:',,'.',~,.,',,,:.,',<,.,',:':",'~.'.,"',~".,','":,",<""""',.,,,",.':,,""":,,",.',,,""" b) ~:~nu~:~; :~.I~~C~~t:s~:~~l'Is~a;r:~!:~~~1 Uu~~"~ed~,::e;i:

ola

, la med lana y la moda llb. ," : .,'. ""; '~:. c) Lo~tres p.r¿:'rhédi,~s,d,e~eí1~;~n'déJaf8ril:iaquetome la distribuciÓn; Si es simétrica".~

"', '" O lIgeramente aSlmetnca, debe util,zarse la medIa; en cambIO cuando esto no ,,<,;j!;

ocurre, la mediana es la más indicada. k,~~',¡~!

Si una distribución tiene más de un máximo en la frecuencia, la sola aplicación de"'" 'la media, o la mediana, puede ocultar propiedades intel'esantes. '~,;,~[,'.'La media no se puede calcular en distribuciones con intel'valos abiertos, por tanto, ~~'la mediana y la moda son las más indicadas. ,? ',', ~r;Dos medianas o dos modas no se pueden l' me i l' obtener el valor romedio'~,~,Lele dos nluestras combinadas, per sí se puede realizar con la .media aritmética, 'I~:~:~V/1En urja distribución ele frecuen;:ias, cuando, la ampiitud del intervalo no es' '¡'~i

h)~::::,:e::~:::::::::~::I:::::;::::::.m:::;:~;:::;:;::;b:~::::,::.¡IentrE'el resultado en una muestra comparada con el.de otras obtenidas de la misma'~~~"población, por tanto propor~iona una mejor estimaciÓn del parámeúo. . J,t!

¡i!¡' ,-lB.~s~'~ ..,~.

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